第2章 实数(随堂反馈)（PDF部分书稿）-【鸿鹄志·名师测控】2026-2027学年八年级上册数学（北师大版·新教材 宁夏专版）

第二章实数 1认识实数 知识梳理 ① 小数称为无理数， 和 统称实数 ②实数与数轴上的点是 的 (a>0), 3数a的相反数是 ;a (a=0), 数a的倒数是二(a≠0). (a<0); 当堂练习 1.下列实数中，绝对值最小的是 A.-3 B.0 C.2 D.-1 2.点A,B,C,D在数轴上的位置如图所示，则表示的相反数的点可能是 01 A.点A B.点B C.点C D.点D 3.一π的相反数是 ,|3.14-π= ,π的倒数是 4.把下列各数分别填在相应的横线上： --31,1.525525552…,0,- )3.14,-(-6),-罗 (1)负数： (2)非负整数： (3)分数： (4)无理数： 5.在4×4的正方形网格中，点A,B,C,D的位置如图所示.连接AB,AC,AD,哪几条线 段的长是无理数？请说明理由. D ·5· 2平方根与立方根 第1课时算术平方根 知识梳理 ①一般地，如果一个正数x的平方等于a,即x2=a,那么这个正数x就叫作a的 ,记作a,读作“根号a”.特别地，我们规定：0的算术平方根是，即0=一 ②当a≥0时，√a=,(Wa)2=；当a<0时Va=_ 当堂练习 16的算术平方根是 () A吉 B-1 6 C±片 D.士6 2.若一个正方形的面积等于5，则这个正方形的边长为 A.2.5 B.√5 C.√2.5 D.25 3.9的算术平方根是 ;算术平方根是9的数是 4.求下列各数的算术平方根： (1)144; 6 (2)2 (3)0.49. 5.计算： (1)√8； (2)4 (3)-√14； (4)(√0.6)2； (5) (6)√（-1.3)2. 64 ·6 第2课时 平方根 知识梳理 ①一般地，如果一个数x的 等于a,即x2=a,那么这个数x就叫作a的平方根 (也叫作二次方根).正数a的平方根记作 ,读作“ 9 ②一个正数有 平方根，它们互为 ;0的平方根是 ;负数没有平方根. 当堂练习 1.4的平方根是 A.±4 B.±2 C.2 D.√2 2.下列计算正确的是 A.√36=士6 B.-√0.81=-0.9 49_7 C.±Ng3 D.士√(-6)2=-6 3.400的平方根是 ;1.21的平方根是 (- 的平方根是 4.一个数的平方根只有一个，则这个数是 5.已知一个正数的两个平方根是8和a一16，则a的值为 6.求下列各式中x的值： (1)x2-2=0; (2)2-8=0: (3)(1-x)2=1. 7.已知2a一2的平方根是土3,3a+b一1的算术平方根是4. (1)求a一3b的算术平方根； (2)求√a-3b的平方根. 。7● 第3课时 立方根 当堂练习 1.一个正方体魔方的体积为25cm3,则它的棱长为 cm. 2.1000000的立方根为 ;0的立方根为 ；-15号的立方根为 3.若(a)3=-7,则a= ;若(a一1)3=27，则a= 4.计算： (1)-95=: (2)8-0.512= (3) 33」 8 5.已知4a一1的立方根是3,3a十b的算术平方根是5. (1)求a,b的值； (2)求2a一b一1的平方根与立方根. 第4课时估算及用计算器开方 当堂练习 1.估计√38的值在 ( A.4和5之间 B.5和6之间 C.6和7之间 D.7和8之间 2.在计算器上按键□16日7目显示的结果是 ) A.3 B.-3 C.9 D.-9 3.利用计算器求下列各式的值：（结果精确到0.001） (1)9/83≈ (2)-√3.28≈ (3)√32.106≈ 4.比较大小： 1)5和一： (2)6与17； 3和 ·8· 3二次根式 第1课时二次根式及其乘除运算 知识梳理 ①一般地，形如 的式子叫作二次根式. ②二次根式的乘除法法则：√a·√石= (a≥0，b≥0)； a (a≥0，b>0). 当堂练习 1.下列式子是二次根式的是 A.√-9 B.9 C.√3 D.√a 2.下列计算正确的是 A.√2X5=10 B.√2X√3=5 C.25÷38-号 D.2÷8= 3 3.若二次根式√2x十1有意义，则x的取值可以是 .(写出一个即可) 4.当x=1+√2，y=1一√2时，代数式xy的值是 5.若某长方形的长为（√32十√8）cm,宽为√⑧cm,则此长方形的面积为 cm2. 6.计算： (1)23×3√2； (3)12X6 24 (4)√18： 4 (5)(2+√3)2； (6)(54+√96)÷√6. 9· 第2课时二次根式的性质及其加减运算 知识梳理 ①√ab= %= (a≥0，b≥0) (a≥0，b>0). ②一般地，被开方数不含 ,也不含 ,这样的二次根式， 叫作最简二次根式. ③二次根式加减时，先将二次根式化成 二次根式，再将 的二次根 式进行合并 当堂练习 1.下列各式中，是最简二次根式的是 ( A福 B.5 C.√18 D.√a 2.下列各组二次根式能合并的是 ( A.√2与√12 C.√4与⑧ D.√6与3 3.化简： (1)√/4×225= (2)√300=； 4.计算： (1)√24-√6； (2)√18+√32； (3)√12+2 (4(骨+2)× ()/) ·10· 第3课时二次根式的混合运算 当堂练习 1.计算（√12一√3）÷√3的结果是 A.-1 B.-3 C.3 D.1 2.甲、乙两人各在黑板上写了一个算式，则其中计算结果为有理数的算式是 甲：√2×（√⑧-√2）；乙：（√5-√3）(5+√3). A.甲 B.乙 C.甲和乙 D.甲和乙都不是 3.计算：(10√6+30 51 ;(2)23 v5 √10 4.计算： (1)W3×(√7-√3)； (2)(√24十√18)÷√3； (3)W5-(3+√15)÷√6×√2； (4)(1-√5)×（√5+1）+(5-1)2. 5.在一个边长为(3√2+2√6)cm的正方形的内部挖去一个长为(3+√3)cm,宽为(4一 √3)cm的长方形，求剩余部分的面积. ·11·21.(1)证明：.'AB∥CD,.∠FAB=∠C.∠C=∠ABE,.∠FAB=∠ABE..AC∥BE.(2)解：.AD⊥BE,.∠BGD=90°. .AC∥BE,.∠FAD=∠BGD=90°..AB∥CD,∴.∠FAB=∠C=65°，∠ADC=∠BAD..∠BAD=∠FAD-∠FAB=25°. ∴.∠ADC=25°. 2.解：(1)50（②）平均数为品×(6×4+7×10+8×15+9×11+10×10)=826（分），众数为8分，中位数为8分.(3)社区工作人 员大约需准备一等奖奖品的数量为50×8-10（份）. 23,解：①)设甲种长枣每千克的价格为x元，乙种长枣每千克的价格为y元根据题意，得亿十2)-28 解得x=8, 答：甲种长枣 2x+3y=46, y=10. 每千克的价格为8元，乙种长枣每千克的价格为10元.(2)W=10a十8(50一a)=2a+400(30≤a≤50).2>0，.W随a的增大而 增大.∴.当a=30时，W有最小值，最小值为2×30+400=460.答：此次采购的最低费用为460元. 24.解：(1)√4×16=√64=8，√4×25=√100=10，√16×25=√400=20，且8,10,20都是整数，.4,16,25这三个数是“漂亮 数”.(2)两组数分别为：1,9,16；4,25,64.（答案不唯一）(3)9<25<m,.“最小算术平方根”为√9×25=√225=15，“最大算术平 方根”为√25×m,即√25m..√/25m=3X15..25m=(3×15)2,解得m=81. 25.解：(1)连接AC.:∠B=90°，AB=BC=452m,∴AC=√AB2+BC=90m,∠CAB=∠ACB=45°.：AC+AD2=902+ (30√3)2=10800，CD2=(603)2=10800,∴.AC+AD=CD2..△ACD是直角三角形，且∠CAD=90°.∴.∠DAB=∠CAD+ ∠CAB=135°.(2)这辆车不能被摄像头监控到.理由如下：过点D作DM⊥DA,交BE于点M.由(1)知∠DAB=135°，.∠DAM= 180°-∠DAB=45°.，DM⊥DA,'.∠ADM=90°..∠AMD=90°-∠DAM=45°.∴.DM=DA=30√3m.∴.点A,M为摄像头在 道路BE上能监控的最远位置.在Rt△ADM中，AM=√AD2+DM=30√6m.∴.BM=AB+AM=(45√2+30√6)m.105√2> 45√2+30√6，∴.这辆车不能被摄像头监控到. 26.解：(1D在)=是x十3中，令x=0,则)y=3,B(0,3).令y=0,则x十3=0，解得x=-4,A(-4,0).:C是点A关于y轴 对称的点C(4,0.CD∥y轴，点D的横坐标为4.当x=4时，=子x+3=6,D(4,6).(2):A(-4,0),C(4,0),D(4,6), ∴.AC=8,CD=6.∴.AD=√AC+CD=10.由折叠的性质，得∠ACP=∠ACP=90°，CP=CP,AC=AC=8,∠DCP=180° -∠ACP=90°，CD=AD-AC=2.设CP=CP=a,.DP=CD-PC=6-a.在Rt△DCP中，CP2+CD2=DP2,即a2+22= (6-a),解得a=号P(4,号）.(3)存在.设P(4,mCP=m,DP=m-61.Sace=2SCP=2DP.m=2m-61, 解得m=4或m=12,点P4,)或P4,12.当P4,时，直线OP的函数表达式为=联立少= 4x+3 解得12， .Q(12, (y=12. (y=x, 3 4 12).当P(4,12)时，直线OP的函数表达式为y=3x.联立 y=4x+3,6 解得 =言'Q(告4)小：综上所述，满足条件的点Q的 y=3x, （y=4. 坐标为12,12)或(÷4)： 随堂反馈 第一章勾股定理 1探索勾股定理 第1课时认识勾股定理 知识梳理 ①勾股弦②平方和平方a2十b2=c2 当堂练习 1.D2.B3.D 4.解：(1)在Rt△ABC中，AC=AB2+BC=202+152=625,所以AC=25.(2)因为AE⊥CD,所以∠E=90°.在Rt△ACE中，AE =AC-CE2=252-242=49,所以AE=7. 第2课时勾股定理的验证及其简单应用 当堂练习 1.C2.10.73.48 34 4.解：因为S大E影=2，S大E方第=4S直角三角形十S小E第=4X号ab十(b-a)2,所以2=4X合ab十(6一).化简，得a2+0=2. 5.解：在Rt△ABC中，AC=AB2-BC=2.52-1.52=4,所以AC=2m.在Rt△A1B1C中，A1C=A1B2-B1C=2.52-2.4=0. 49,所以A1C=0.7m.所以AA1=AC-A1C=1.3m.答：电杆上两固定点A和A1的距离是1.3m. 2一定是直角三角形吗 知识梳理 ①a2+b2=c2②正整数 当堂练习 1.A2.C3.直角4.705.63 6.解：因为AB⊥BC,所以∠ABC=90°.在Rt△ABC中，AC2=AB2十BC=12+22=5.在△ACD中，AC+CD=5十2=9，AD2= 32=9,所以AC十CD2=AD2.所以△ACD是直角三角形，且∠ACD=90°.所以AC⊥CD. 3勾股定理的应用 当堂练习 1.C2.A 3.解：连接AC.因为AB=BC=2km,∠ABC=90°，所以AC2=AB2十BC2=8,∠BAC=45°.所以AC2十AD2=8十3.52=20.25.因 为CD2=4.5=20.5,所以AC十AD2=CD.所以△ACD是直角三角形，且∠CAD=90°.所以∠DAB=∠BAC+∠CAD=135°. 4.解：延长FC,交AB于点G,则CG⊥AB,AG=CD=1m,CG=AD=15m.设BG=xm,则BC=(26一1一x)m.在Rt△BGC中， 因为BG十CG=BC,所以x2+152=(26-1-x)2,解得x=8.所以BG=8m.所以AB=BG十AG=9m.答：AB段的长度为9m. 第二章实数 1认识实数 知识梳理 ①无限不循环有理数无理数②一一对应③一aa0一a 当堂练习 LB2B3发314是 4.1--31,-吾(20，-(-6)(3)-(-）3.14(01.52552552，-号 5.解：AC,AD的长是无理数.理由如下：因为AB2=32+42=25=52,AC2=32+12=10,AD2=32+22=13,所以AC,AD的长是无 理数. 2平方根与立方根 第1课时算术平方根 知识梳理 ①算术平方根00②aa-a 当堂练习 1.A2.B3.381 4解：(1)因为12=14，所以144的算术平方根是12，即V0-12(2)因为（告）广-号，所以号的算术平方根是号，即√票 /16 号.(3)因为0.7)2=0.49，所以0,49的算术平方根是0.7，即V0的=0.7 5.解：(1)原式=8.(2)原式=子.(3)原式=-14（④原式-06.（⑤）原式-令.(6)原式=1.3 第2课时平方根 知识梳理 ①平方±√a正、负根号a②两个相反数0 当堂练习 1.B2.B3.±20±1.1±号4.05.8 6.解：1)x=2,x=士V反.(2)22=8，x2=16,x=士4(31-x=1,或1-x=-1,x=0,或x=2. 7.解：(1)因为2a一2的平方根是士3,3a十b一1的算术平方根是4，所以2a一2=9,3a十b-1=16.所以a=5.5,b=0.5.所以a一3b =5.5一3×0.5=4.所以a一3b的算术平方根为2.(2)由(1)知√a一3b=2,所以√a一3b的平方根为士√2. 35 第3课时立方根 当堂练习 152100-号3.-7441)-5(2)-0.83)含 5.解：(1)由题意，得4a-1=33,3a十b=25,解得a=7,b=4.(2)由(1)得2a-b-1=9,所以2a-b-1的平方根为士3，立方根为9. 第4课时估算及用计算器开方 当堂练习 1.C2.B3.(1)4.362(2)-1.811(3)5.666 4獬：1因为3>是所以w5>√厚=号所以-5<-号.（②）因为6≈249，≈2.571,240<2.571，所以6<沉.(8) 因为1<5<，所以w5-1<1.所以5←<号 3二次根式 第1课时二次根式及其乘除运算 知识梳理 0va(a≥0)( 瓜√号 当堂练习 1.C2.C3.0(答案不唯一)4.-15.24 6解：1)原式=6v.(2②)原式=√=言(3)原式=-.(40原式=√18×号×号=6=4.(5)原式=2+2×2×w8+ √J24 (W5)2=4+4√5+3=7+4√5.(6)原式=√54÷√6+√96÷√6=√9+√/16=3+4=7. 第2课时二次根式的性质及其加减运算 知识梳理 ①av6ya ②分母能开得尽方的因数或因式③最简被开方数相同 当堂练习 1.B2.B3.(1)30(2)10V5(3) 4解：1)原武=2v后-后-后.（②）原式=3v厄+4=7反.(3)原式-25+号-29-+.（④原式-√层×2+7×2 3 -V厚+V5厨=56原式=3×2vg-4×9-3+2g-6vg-E-5+22=55+2 第3课时二次根式的混合运算 当堂练习 1.D2cae-得 4解：服式=vI-3.2)源式=2+6.(8)原式=5-w5+)×后×，万=5-5+V×后5-1-5=-1 (4)原式=1-5+5+1-2√5=2-2√5. 5.解：(3√2+2√6)2-(3+√3)×(4-√3)=(18+24√3+24)-(12-3√5+4√3-3)=33+23√3(cm).答：剩余部分的面积为 (33+23√3)cm2. 第三章位置与坐标 1确定位置 当堂练习 1.9排8号2.A3.D 2平面直角坐标系 第1课时平面直角坐标系 当堂练习 1.C 36