22.3 相似三角形（第5课时 相似三角形的应用1）（教学课件）数学新教材华东师大版九年级上册

该初中数学课件聚焦相似三角形的应用，核心内容为利用相似三角形测量高度与宽度。通过泰勒斯测量金字塔的故事导入，结合复习相似三角形性质，以抽象模型探究测高、测距方法，构建从知识回顾到实际应用的学习支架。 其亮点在于情境化设计激发兴趣，通过建立数学模型将实际问题抽象为相似三角形问题，分层练习巩固基础与提升能力。体现数学眼光（抽象现实问题）、思维（推理证明相似）、语言（模型表达关系），教学方法注重问题驱动与步骤归纳，助力学生提升分析解决问题能力，为教师提供清晰的应用教学路径。

【新教材】华东师大版·九年级上册 第22章 图形的相似 22.3 相似三角形 第5课时 相似三角形的应用1 章节导读 22.1成比例线段 22.2相似图形 相似三角形的判定2.3 相似三角形 图形的变换与坐标 成比例线段 相似三角形的判定1 22.3相似三角形 相似图形 相似三角形的性质 相似三角形的应用 位似图形 22.4位似图形 22.5图形与坐标 平行线分线段成比例 用坐标确定位置 2 学 习 目 标 1 2 3 掌握利用相似三角形测量高度； 掌握利用相似三角形测量长度、宽度； 了解数学建模思想，提高分析问题、解决问题的能力. 复习回顾 相似三角形的性质有哪些？ ①对应高，中线，角平分线的比等于相似比； ②周长的比等于相似比； ③面积的比等于相似比的平方； 回顾训练 如果两个相似三角形的最长边的长分别是35 cm和14 cm，它们的周长之差为60 cm，那么这两个三角形的周长分别是 . 100 cm，40 cm 新课引入 古埃及金字塔诞生于四千五百多年前，是古埃及法老的陵墓。最大的胡夫金字塔，底座是巨大正方形，塔身由上百万块巨石堆砌而成。在古代，没有无人机、没有卷尺，人们根本无法直接爬到塔顶测量它的垂直高度。 相传古希腊数学家泰勒斯游历到埃及，法老向他提出难题：谁能测出金字塔的真实高度，就给予重赏。很多人束手无策，泰勒斯却找到了巧妙的办法。他选择一个晴朗的日子，在地面竖直立起一根木棒，不断观察木棒影子。等到太阳光照射下，木棒的影子长度恰好等于木棒自身高度时，立刻去测量金字塔影子的长度，直接得到金字塔的高度。 泰勒斯是如何测量的呢？ 新知探究 我们建立抽象模型，如图，为了测量金字塔的高度，先竖一根已知长度的木棒，比较木棒的影长与金子塔的影长，即可近似算出金字塔的高度.如果，求金字塔的高度. 利用相似三角形测量高度 分析：利用相似三角形对应边成比例进行求解。 注意：金字塔的影长为露在外面的影长与金字塔底边的一半的长度的和. 新知探究 我们建立抽象模型，如图，为了测量金字塔的高度，先竖一根已知长度的木棒，比较木棒的影长与金子塔的影长，即可近似算出金字塔的高度.如果，求金字塔的高度. 利用相似三角形测量高度 解：∵ 太阳光线是平行光线， ∴ ． ∵ ． ∴ (两角分别相等的两个三角形相似)， ∴ ＝ . ∴(m). 答：金字塔的高度为137 m． 你还有其他方法吗？ 新知探究 利用相似三角形测量高度 A F E B O ┐ ┐ 利用物理中平面镜反射的原理： OB EF = OA AF OB = OA · EF AF 平面镜 8 利用相似三角形测量高度的一般步骤： 1.找垂直：明确物体垂直地面，得到两组直角；太阳光线平行，得到一组相等锐角。 2.证相似：依据两角分别相等，证明两个直角三角形相似。 3.列比例：根据相似三角形对应边成比例列出等式。 4.代值计算：代入已知长度，求解未知高度，写答。 归纳总结 归纳总结 利用相似三角形测量高度 求解过程中注意单位要统一，结果要检验符合实际. 典例分析 例1 小红利用下面的方法来测量学校教学楼的高度.如图，在水平地面上点处放一面平面镜，镜子与教学楼的距离m.当她与镜子距离m时，她刚好能从镜子中看到教学楼的顶 端，已知她的眼睛距地面高度m，请你帮 助她计算大楼的高度. 解：根据光的反射定律，， 又∵， ∴， ∴,可得 答：大楼AB高度为12.8 m 利用相似三角形测量高度 新知探究 利用相似三角形测量宽度 如图，想要估算河的宽度，应该怎样建立模型计算呢？ 思考 分析：利用相似三角形对应边成比例进行求解。 如图，我们可以在河的对岸选定一个目标作为点，再在河的这一边选定点和，使，然后，再选定点，使，用视线确定和的交点. 你能计算吗？ 新知探究 利用相似三角形测量宽度 解：∵， ∴(两角分别相等的两个三角形相似). ∴＝. 解得＝96.7(m). 答：河的宽度约为96.7 m． 已知m，m，m，求河的宽度（精确到0.1 m）. 你还有其他方法吗？ 新知探究 利用相似三角形测量宽度 我们还可以在河对岸选定一目标点 ，再在河的一边选点 和 ，使 ，然后，再选点 ，作 ，与视线 相交于点 。此时，测得 ，就可以求两岸间的大致距离 了。 试一试吧！ A D E B C 利用相似三角形测量宽度的一般步骤： 1.构图形：根据题意，构造出两组直角（或等角），标记已知边长、待测宽度。 2.证相似：利用对顶角相等、平行线得到同位角 / 内错角相等，两角分别相等证明三角形相似。 3.列比例：根据相似三角形对应边成比例列出等式。 4.代值计算：代入已知长度，求解未知宽度，写答。 归纳总结 归纳总结 利用相似三角形测量宽度 典例分析 例2 已知左、右并排的两棵大树的高分别是m 和m，两树的根部的距离m，一个身高1.6 m的人沿着正对这两棵树的一条水平直路从左向右前进，当他与左边较低的树的距离小于多少时，就不能看到右边较高的树的顶端点了？ 利用相似三角形测量宽度 典例分析 解：如图，假设观察者从左向右走到点 时，她的眼睛的位置点 与两棵树的顶端点 恰在一条直线上． ∵ ∴ ∴. ∴ . 即. 解得 . 由此可知，如果观察者继续前进，当他与左边的树的距离小于 8 m 时，由于这棵树的遮挡，就看不到右边树的顶端 C . 利用相似三角形测量宽度 随堂练习 1.在同一时刻，物体的高度与它在阳光下的影长成正比.在某一时刻，有人测得一高为1.8m的竹竿的影长为3m，某一高楼的影长为60m，那么这幢高楼的高度是多少米? 基础过关(P87) 解：设这幢高楼的高度是 m. 根据题意，得＝，解得. ∴这幢高楼的高度是36m. 17 随堂练习 2.如图,在中,, 梯形的面积是面积的3倍。求的长. 基础过关(P87) 解：∵DE//BC， ∴△ADE ∽ △ABC. 又∵梯形DBCE的面积是△ADE面积的3倍， ∴＝, ∴＝ . ∵ BC=6, ∴DE=3. A D E B C 随堂练习 3.如图，停车场的栏杆的短臂长为1.25m，长臂长为16.5m.当短臂端点下降0.85m时，长臂端点升高多少米?(栏杆的宽度忽略不计) 基础过关(P87) 解：设长臂端点升高 m， 根据题意，得＝， 解得, 经检验,是分式方程的解，且符合题意. 答:长臂端点升高11.22m. 随堂练习 能力提升 解：∵， ∴， ∴，即， ∴. 又∵， ∴， ∴ ，即， ∴.故此时墙上人影的高为2.25 m. 4.如图，地上安置了一盏照明灯，照着一堵高墙，现有一人(身高1.5 m)自光源处向墙壁走近3 m时，墙上的人影恰好也是3 m，若此人再向前走1 m，求此时墙上人影的高． 随堂练习 能力提升 5.如图， 某校数学兴趣小组利用自制的直角三角形硬纸板DEF来测量操场旗杆AB的高度，他们经过调整测量地点，使斜边DF与地面保持平行，并使边DE与旗杆顶点A在同一条直线上，已知DE＝0.5 m，EF＝0.25 m，目测点D到地面的距离DG＝1.5 m，到旗杆的水平距离DC＝20 m，求旗杆的高度． 解：由题意可得，则 ∵ m， m， m， ∴ ，解得m， 故(m)． 答：旗杆的高度为11.5 m. 21 课堂小结 测高 相似三角形的应用1 在同一时刻物高与影长成比例 测距 测量不能到达两点间的距离，常构造相似三角形求解 感谢聆听! 【新教材】华东师大版·九年级上册 $