2.2.3 直线的一般式方程（讲义，知识点&6大题型&刷好题）高二数学人教A版选择性必修第一册

本讲义聚焦高中数学“直线的一般式方程”核心知识点，系统梳理其与点斜式、斜截式等方程的互化方法，明确系数几何意义及平行垂直判定规则，搭建从特殊形式到综合应用的学习支架。 资料通过分层题型设计（基础辨析到综合应用）和随学随练即时反馈，以解题贴士培养数学思维（如逻辑推理判定位置关系），综合题型提升数学眼光（如抽象含参定点问题），课中辅助教师系统授课，课后助力学生查漏补缺。

司 第二章 直线和圆的方程 2.2.3 直线的一般方程 课标要点 1.掌握直线一般式方程的标准形式，理解所有直线都可以用一般式方程表示。 2.能实现直线的点斜式、斜截式、两点式、截距式与一般式的相互转化。 3.掌握一般式方程中系数的几何意义，能通过系数判断直线位置与斜率。 4.熟练运用直线一般式判定两直线平行、垂直关系，解决相关计算与证明问题。 学习重难点 重点： 1.直线一般式方程的标准形式与各类直线方程的相互转化。 2.由一般式方程求直线斜率、截距，判断直线图象特征。 3.利用一般式方程的系数关系判定两直线平行、垂直。 难点： 1.理解一般式中系数为0时对应的特殊直线形态，规避图象判断失误。 2.区分斜率式与一般式平行、垂直判定的差异，避免公式混用。 3.灵活运用一般式解决含参数的直线位置关系综合问题。 知识点 直线的一般式方程 1、一般式方程的定义 在平面直角坐标系中，任意一个关于，的二元一次方程都表示一条直线．我们把关于,的二元一次方程（其中,不同时为0）叫做直线的一般式方程，简称一般式． 2、系数的几何意义 （1）当时，方程可以写成它表示斜率为，在轴截上的截距为的直线．特别的，当时，它表示垂直于轴的直线． （2）当时，，方程可以写成，它表示垂直于轴的直线． 3、一般式方程适用范围 直线的一般式方程是直线方程中最为一般的表达式，它适用于任何一条直线． 随学随练 1．（25-26高二上·新疆乌鲁木齐·阶段检测）已知直线l的方程为，则直线的倾斜角为 （    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由题意可知，所以直线的斜率， 因，则直线的倾斜角． 2．（25-26高二上·陕西西安·阶段检测）直线的斜率为（    ） A．5 B． C． D． 【答案】B 【解析】直线的斜率为.故选：B. 知识点 直线的一般式方程与其他形式方程的互化 1、一般式方程的桥梁作用：直线的点斜式、斜截式、两点式和截距式方程四种形式之间的互化，一般要利用一般式方程作为桥梁，现将一种形式的方程化为一般式方程，然后将一般式方程转化为另一种形式． 2、一般式化为斜截式的步骤 （1）移项得； （2）当时，得斜截式方程． 3、一般式化为截距式的步骤 （1）把常数项移到方程右边，得； （2）当，方程两边同时除以，得； （3）化为截距式方程：． 随学随练 1．（25-26高二上·贵州遵义·阶段检测）已知直线经过点，则直线的一般式方程为__________. 【答案】 【解析】由题意可得直线，化简可得. 2．（25-26高二上·贵州铜仁·阶段检测）（多选）下列直线斜率相等的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【解析】由，可化为，斜率为， 由，可化为，斜率为， 由、的斜率分别为、， 所以只有与的斜率相同.故选：AC 知识点 一般式方程的平行与垂直 1、平行与垂直的系数关系 已知直线的方程分别是（不同时为0），（不同时为0）（1）若．（2）若． 2、平行与垂直的直线系方程 （1）平行直线系：与直线垂直的直线方程可设为． （2）垂直直线系：与直线垂直的直线方程可设为． 随学随练 1．（25-26高二上·重庆·阶段检测）已知直线过点，且与直线平行，则（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】B 【解析】因为直线过点， 所以，解得. 因为直线与直线平行， 所以，即，解得， 所以.故选：B. 2．（23-24高二下·湖北宜昌·期中）已知两条直线和相互垂直，则（    ） A．2 B．3 C． D． 【答案】C 【解析】∵直线和相互垂直， ∴，解得.故选：C. 题型 直线一般式方程及辨析 ▌例1 （25-26高二下·浙江·阶段检测）直线的倾斜角是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】设直线的倾斜角为， 由题可知，直线斜率为，则， 又，所以直线的倾斜角是． 解题贴士 1、由直线的点斜式、斜截式、两点式、截距式方程去分母、移项就可以转化直线的一般式方程（化一般式方程后原方程的限制条件就消失了）；反过来，也可以由直线的一般式方程化斜截式、截距式方程，注意斜截式、截距式方程的适用条件． 2、求直线方程时，一般将方程化一般式方程，其形式一般作如下设定：x的系数为正；系数及常数项一般不出现分数；一般按含x项、含y项、常数项顺序排列． ▌对点练1-1 （25-26高二上·河北承德·阶段检测）设直线的倾斜角为，则直线的斜率为（    ） A． B． C． D．-2 【答案】C 【解析】因为直线，所以斜率为． 因为该直线的倾斜角为，，所以． 又因为直线的斜率为， 所以．故选：C． ▌对点练1-2 （25-26高二上·宁夏吴忠·阶段检测）根据下列条件，分别求出直线的一般式方程： (1)经过点，平行于直线； (2)倾斜角是，在轴上的截距是4； (3)经过点，点； 【答案】(1)；(2)；(3) 【解析】（1）由题可知，所求直线斜率为3， 故方程为，整理得. （2）直线在轴上的截距是4，即该直线过点， 由倾斜角是可得斜率为， 故方程为，整理得. （3）由条件得直线的两点式方程为， 整理得. ▌对点练1-3 （25-26高二上·安徽·阶段检测）（多选）设直线l的方程为，其中，若直线l在两坐标轴上的截距的绝对值相等，则m的取值可以为（    ） A．0 B．-3 C．3 D．2 【答案】ABD 【解析】当时，直线l的方程为，纵截距为，无横截距，不满足题意； 当时，令，得；令，得， 此时直线l的纵截距为，横截距为. 由题意得，所以或， 解得或或.故选：ABD. 题型 一般式方程的图象判断 ▌例2 （25-26高二上·浙江杭州·期中）如果，那么直线一定经过（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．坐标原点 【答案】B 【解析】直线在轴上的截距为， 在轴上的截距为， 因为，所以同号， 则直线在坐标轴上的截距同正或同负，如图， 则直线一定经过第二象限. 故选：B 解题贴士 根据直线一般式方程的系数特征判断直线图象形态，通过x、y系数是否为0区分水平直线、竖直直线、倾斜直线，可将一般式化为斜截式判断直线升降趋势、斜率正负与截距大小，结合系数符号快速辨析直线经过的象限，规避特殊直线图象判断错误． ▌对点练2-1 （24-25高二上·陕西西安·阶段检测）已知直线：，则以下四个情况中，可以使的图象如下图所示的为（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】D 【解析】由，当时，，当时，， 由图可知， 所以当时，，当时，， 所以ABC错误，D正确，故选：D ▌对点练2-2 （25-26高二上·河南郑州·期中）如图所示，直线与的图象可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】直线方程可化为，斜率为，在轴上的截距为，直线方程可化为，斜率为，在轴上的截距为， 对于A：由直线的图象可得，即，由直线的图象可得，A不满足条件； 对于B：由直线的图象可得，即，由直线的图象可得，B不满足条件； 对于C：由直线的图象可得，即，由直线的图象可得，C不满足条件； 对于D：由直线的图象可得，即，由直线的图象可得，D满足条件.故选：D. ▌对点练2-3 （24-25高二上·河北唐山·阶段检测）（多选）若，，则在下列函数图象中，不可能是直线的图象的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【解析】由可知直线斜率， 直线在轴上的截距，满足条件的只有B， 所以不可能是ACD.故选：ACD 题型 一般式下的平行问题 ▌例3 （25-26高二下·福建厦门·阶段检测）若直线：与直线：平行，则（    ） A．4 B． C．1或 D．或4 【答案】D 【解析】由题可得：直线：与直线：平行， 则，整理可得，解得或， 若，直线：与直线：平行，符合题意； 若，直线：与直线：平行，符合题意； 综上所述：或. 解题贴士 已知两直线一般式方程，利用系数比例关系判定平行，在两直线系数对应成比例、常数项不成比例时判定两直线平行，系数与常数项均成比例则两直线重合，解题无需讨论斜率是否存在，可统一判定所有直线，有效规避斜率不存在导致的漏解问题． ▌对点练3-1 （25-26高二上·安徽·阶段检测）（多选）已知直线：与直线：平行，则的值可能是（    ） A． B． C．2 D．3 【答案】BD 【解析】因为直线平行于直线， 所以由题意可得，解得或，故选：BD. ▌对点练3-2 （25-26高二下·辽宁铁岭·阶段检测）已知直线，则过原点且与l平行的直线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】与平行的直线的方程可以设为， 又直线过原点，所以． 所以过原点且与l平行的直线的方程为． ▌对点练3-3 （25-26高二上·吉林长春·阶段检测）过点且与直线平行的直线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】与直线平行的直线方程可设为，且， 将代入直线可得. 所以过点且与直线平行的直线方程为，即，故选：A 题型 一般式下的垂直问题 ▌例4 （25-26高二上·宁夏中卫·阶段检测）直线与直线垂直，且它在轴上的截距为4，则直线的一般方程为_________. 【答案】 【解析】直线的斜率为， 因为直线与直线垂直， 所以直线的斜率为， 因为直线在轴上的截距为4， 所以直线的方程为，即. 解题贴士 依托直线一般式系数的垂直判定结论，两直线一般式对应x、y系数交叉相乘之和为0，则两直线垂直，该方法适用于所有直线，无需分类讨论斜率存在或不存在，可直接代入系数快速判定垂直关系、求解参数，简化特殊垂直情况的运算流程． ▌对点练4-1 （24-25高二上·河北张家口·阶段检测）若直线与直线垂直，则实数______________. 【答案】 【解析】因为直线与直线垂直， 所以，即，解得。 ▌对点练4-2 （24-25高二上·贵州毕节·期末）过点且垂直于直线的直线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由题可知，直线的斜率为，故与其垂直的直线斜率为， 又因为直线过点，故可设点斜式，整理得，故选：A. ▌对点练4-3 （25-26高二上·北京海淀·阶段检测）经过点，且与直线垂直的直线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由题意，直线的斜率为， 所以所求直线的斜率为， 又直线经过点，所以所求的直线方程为， 即.故选：A 题型 含参直线过定点问题 ▌例5 （25-26高二上·河南漯河·阶段检测）直线经过的定点的坐标为__________. 【答案】 【解析】不论为何值，直线经过的定点的坐标为. 解题贴士 1、若直线存在斜率，则可把直线方程化为点斜式的形式，所以无论直线的斜率取何值，直线都恒过定点． 2、曲线过定点的常见方法有两种 （1）可设出曲线方程，然后利用条件建立等量关系进行消元（往往可以化为的形式，根据求解），借助于曲线系的思想找出定点（直线过定点，也可以根据直线的各种形式的标准方程找出定点）． （2）从特殊情况入手，先探求定点，再证明与变量无关． ▌对点练5-1 （25-26高二上·福建宁德·阶段检测）已知直线l的方程为，则直线l始终过定点______． 【答案】 【解析】， 令，则， ∴直线l始终过定点. ▌对点练5-2 （25-26高二上·陕西商洛·阶段检测）已知直线的方程为，无论为何值，直线恒过定点___________． 【答案】 【解析】直线的方程可变形为， 由题意可知，解得. 故直线恒过定点. ▌对点练5-3 （25-26高二上·四川内江·阶段检测）平面直角坐标系中的直线系方程：经过的定点是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由，可得， 因为方程对恒成立， 所以可得：，解得，， 所以直线系方程：经过的定点是，故选：C 题型 直线的综合应用 ▌例6 （25-26高二上·陕西咸阳·阶段检测）已知的三个顶点分别为，，，试求： (1)边上的中线所在直线的方程； (2)边上的高所在直线的方程． 【答案】(1)；(2) 【解析】（1）的中点为， 则中线所在直线的斜率为， 所以中线所在直线的方程为，即. （2）由， 则高所在直线的斜率为2， 所以高所在直线的方程为，即. 解题贴士 整合直线四种方程形式的转化、图象特征、平行与垂直判定等知识，根据题干条件灵活选用最优方程形式，结合一般式系数的通用判定优势解决含参数求值、直线位置判定、图形面积、定点定值等综合问题，解题时兼顾特殊直线情况，分类讨论排除增根，结合数形结合思想简化复杂运算． ▌对点练6-1 （25-26高二上·北京平谷·阶段检测）已知的三个顶点分别为，求： (1)所在直线的方程； (2)过点与边平行的直线方程； (3)边的垂直平分线的方程． 【答案】(1)；(2)；(3). 【解析】（1）如图，因为，所以直线的斜率为， 由点斜式可得直线的方程为，即. （2）因为所求直线与直线平行， 由（1）知可设所求直线方程为， 又直线过点， 所以将的坐标代入可得，解得， 所以所求直线方程为. （3）因为，且其斜率都存在， 所以，解得. 又直线过线段的中点， 由点斜式可得直线的方程为，即. ▌对点练6-2 （25-26高二上·四川南充·期末）已知的三个顶点． (1)求边上的高所在直线的方程： (2)若点是线段的中点，直线经过点且平行于直线，求直线的方程． 【答案】(1)；(2) 【解析】（1）因为，所以， 所以边上的高所在直线的斜率为，又， 所以边上的高所在直线的方程为， 即； （2）因为，且点是线段的中点， 所以，即， 又，所以， 又因为直线经过点且平行于直线，所以， 所以直线的方程为，即． ▌对点练6-3 （25-26高二上·河北邯郸·阶段检测）已知直线均过点． (1)若直线过点，且，求直线的方程； (2)若直线在轴和轴上的截距互为相反数，求直线的方程； (3)若直线与两坐标轴的正半轴能够围成三角形，求该三角形面积最小时直线的方程． 【答案】(1)；(2)或；(3) 【解析】（1）由点和，可得，即 因为，可得，所以直线的方程为，即. （2）由直线在轴和轴上的截距互为相反数， 当直线过坐标原点时，可得，此时直线的方程为，即； 当直线不过坐标原点时，可设直线的方程为， 将点代入直线方程，可得，解得， 所以直线的方程为， 综上可得，直线的方程为或. （3）设直线的方程为，则满足， 由，即，解得， 当且仅当时，即时，取等号， 则，即围成三角形的面积的最小值为，此时直线的方程为. 基础通关 1．（25-26高二上·山西·阶段检测）直线和的位置关系是（    ） A．平行 B．垂直 C．相交但不垂直 D．重合 【答案】C 【解析】因为直线的斜率，直线的斜率， 要判断两直线的位置关系，需要找到与的关系，是否满足两直线平行、垂直、相交但不垂直、重合四种情况， 也就是验证是否相等、是否等于， 验证结果，， 所以两条直线不平行，也不垂直，也不重合.故选：C. 2．（25-26高二上·山西·阶段检测）已知点，则线段的垂直平分线的方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由题可得，直线的斜率不存在，所以线段的垂直平分线的斜率为， 且线段的中点坐标为，所以线段的垂直平分线的方程是．故选：B 3．（23-24高二下·河南·开学考试）已知直线，䒴，，则（    ） A．或 B． C．或 D． 【答案】B 【解析】已知直线， 由，得，且，解得， 由，得，故.故选：B. 4．（25-26高二下·河南信阳·阶段检测）经过点且与直线平行的直线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】直线 的斜率为 。 因为所求直线与已知直线平行，故设所求直线方程为 。 将点 代入方程得： ， 因此，所求直线方程为：。故选：A 5．（25-26高二上·天津滨海新区·阶段检测）已知直线的斜率为，直线，且直线在轴上的截距为，则的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为直线的斜率为，直线，可知直线的斜率为， 又直线在轴上的截距为，所以的方程为，即.故选：B. 6．（25-26高二上·福建莆田·期中）若，，则直线的图象只能是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由题意，，将方程转化为，易知，，故选：D. 7．（24-25高二上·福建厦门·阶段检测）（多选）已知直线： ，则下列结论正确的是（    ） A．直线的倾斜角是 B．过与直线平行的直线方程是 C．直线的两个截距相等 D．若直线：，则 【答案】BD 【解析】由，得，所以直线的斜率为，所以直线的倾斜角是，故A错误； 过与直线平行的直线方程是，即，故B正确； 直线，令，得；令，得， 即直线在轴上的截距为，在轴上的截距为1，故C错误； 由，得，所以直线的斜率为，直线的斜率为， ，所以，故D正确. 8．（25-26高二上·河北沧州·期末）（多选）已知直线，直线，下列结论正确的是（    ） A．直线恒过点 B．对于任意的，直线的斜率都存在 C．若，则 D．若，则 【答案】AB 【解析】对于A，由题意得，即， 若直线过定点，则有，解得，定点为，故A正确； 对于B，直线的斜率为，对于任意的，直线的斜率都存在，故B正确； 对于C，因为，所以有，解得或，故C错误； 对于D，因为，所以，解得，故D错误. 故选：AB. 9．（25-26高二下·湖北荆州·阶段检测）若直线与直线互相垂直，那么a的值等于______． 【答案】 【解析】因为直线与直线互相垂直，所以，所以. 10．（25-26高二下·贵州遵义·阶段检测）直线l过点且与直线平行，则l的方程为______ 【答案】 【解析】设直线， 依题意得直线l过点，则，得， 故l的方程为． 素养提升 11．（25-26高二上·上海·阶段检测）已知，则直线和直线的位置关系不可能是（    ） A．平行 B．重合 C．垂直 D．关于轴对称 【答案】D 【解析】由，整理得到，解得或， 当时，两直线方程为和，此时两直线重合， 当时，两直线方程为和，此时两直线平行，所以A和B可能， 对于C，由，整理得到，又， 所以有解，即存在值，使两直线垂直，所以C可能， 对于D，由，得到， 由，解得，所以直线过定点， 若两直线关于轴对称，则点在另一直线上，所以， 得到，此时两直线方程为和， 显然两直线不关于轴对称，所以D不可能.故选：D. 12．（25-26高二上·甘肃天水·阶段检测）（多选）已知直线与直线，则下列结论正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．存在，使得与重合 【答案】AB 【解析】由，得，解得或， 当或时，与都不重合，则A正确，C、D错误. 由，则，得，则B正确.故选：AB 13．（25-26高二上·海南三亚·阶段检测）（多选）已知过定点A的直线与过定点B的直线相交于点，则下列选项正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【解析】由直线，令，可得，所以直线过定点，所以A正确； 由直线，可得， 联立方程组，解得，所以恒过定点，所以B不正确； 由和，可得，所以，所以C正确，D不正确； 故选：AC. 14．（25-26高二上·天津南开·阶段检测）已知，，若曲线和线段有公共点，则实数的取值范围是_____. 【答案】 【解析】因为曲线，表示的是两条直线， 直线和直线. 直线化简为，该直线过定点，斜率为， 要使得该直线与线段有公共点，则. 因为，所以. 此时的取值范围为； 直线化简为， 该直线过定点，斜率为， 要使得该直线与线段有公共点，则. 因为，所以. 此时的取值范围为，则的取值范围为； 当时，直线为直线，此时该直线与线段无公共点； 综上，的取值范围为. 15．（25-26高二上·江苏常州·期末）设直线的方程为． (1)求经过定点的坐标； (2)若直线在轴上的截距是在轴上的截距的2倍，求直线的方程． 【答案】(1)；(2)或 【解析】（1）由整理可得， 令，解得， 所以不论为何值，直线必过一定点. （2）由题意可知：，且， 令，解得；令，解得； 因为，解得或， 当时，直线的方程为：； 当时，直线的方程为：； 综上所述：所求直线的方程为或. 迁移创新 16．（25-26高二上·贵州贵阳·阶段检测）已知直线恒过定点，点也在直线上，其中、均为正数，则的最小值为（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】D 【解析】由，得， 由得，则直线过定点，故， 代入直线，得，整理得， ， 当且仅当时，即时取等号， 故最小值为.故选：D． 17．（25-26高二上·北京朝阳·期末）已知和是平面直角坐标系中的两个点集，其中中的点被涂成红色，中的点被涂成蓝色．若直线l：满足红色点和蓝色点分别位于l的两侧（红色点和蓝色点均不在上），则（   ） A．当时，b的值可以为6 B．当时，k的值可以为 C．当时，b的取值范围是 D．当时，的取值范围是 【答案】C 【解析】若，，则，则点满足方程，不符合题意，故A错误； 若，，则，则满足方程，不符合题意，故B错误； 当时，，即， 将中的坐标依次代入中得，①， 将中的坐标依次代入中得， ②， 因为直线l：满足红色点和蓝色点分别位于l的两侧， 所以①中各式与②中各式正负性相反， 若①中各式均为正数，②中各式均为负数，则，，舍； 若①中各式均为负数，②中各式均为正数，则，故C正确； 当时，，即， 将中的坐标依次代入中得，， 因为，所以各式均为正数，则， 将中的坐标依次代入中得， ，均为负数，则， 则的取值范围是，故D错误.故选：C 18．（25-26高二上·辽宁大连·期中）设为实数，直线恒过一定点记作，为的一个直角顶点，另两个顶点为、，其中点在轴上，点 (1)求点，的坐标； (2)求斜边中线所在的直线方程； (3)设点，若是线段上的动点，求的取值范围. 【答案】(1)，；(2)；(3) 【解析】（1）由可得， 令且，解得，， 故直线恒过定点 设，则， 故则，解得，故 （2）由于，， 故的中点坐标，则， 故直线方程为，即 （3）法一：设与轴的交点为， ①当动点在上运动时， 由斜率的几何意义可得， 当与重合时，， 当在轴上时，，所以.   ②当动点在上运动时， 由斜率的几何意义可得， 当在轴上时，， 当与重合时，，所以， 综上可得. 法二：由于，， 得，所以，即 则线段的方程为且③③ 设，其中不为0， 得代入③化简整理得， 即，且， 令，且， 解得 ，则， 即. 学科网（北京）股份有限公司1 / 10 zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 $ 司 第二章 直线和圆的方程 2.2.3 直线的一般方程 课标要点 1.掌握直线一般式方程的标准形式，理解所有直线都可以用一般式方程表示。 2.能实现直线的点斜式、斜截式、两点式、截距式与一般式的相互转化。 3.掌握一般式方程中系数的几何意义，能通过系数判断直线位置与斜率。 4.熟练运用直线一般式判定两直线平行、垂直关系，解决相关计算与证明问题。 学习重难点 重点： 1.直线一般式方程的标准形式与各类直线方程的相互转化。 2.由一般式方程求直线斜率、截距，判断直线图象特征。 3.利用一般式方程的系数关系判定两直线平行、垂直。 难点： 1.理解一般式中系数为0时对应的特殊直线形态，规避图象判断失误。 2.区分斜率式与一般式平行、垂直判定的差异，避免公式混用。 3.灵活运用一般式解决含参数的直线位置关系综合问题。 知识点 直线的一般式方程 1、一般式方程的定义 在平面直角坐标系中，任意一个关于，的二元一次方程都表示一条直线．我们把关于,的二元一次方程（其中,不同时为0）叫做直线的一般式方程，简称一般式． 2、系数的几何意义 （1）当时，方程可以写成它表示斜率为，在轴截上的截距为的直线．特别的，当时，它表示垂直于轴的直线． （2）当时，，方程可以写成，它表示垂直于轴的直线． 3、一般式方程适用范围 直线的一般式方程是直线方程中最为一般的表达式，它适用于任何一条直线． 随学随练 1．（25-26高二上·新疆乌鲁木齐·阶段检测）已知直线l的方程为，则直线的倾斜角为 （    ） A． B． C． D． 2．（25-26高二上·陕西西安·阶段检测）直线的斜率为（    ） A．5 B． C． D． 知识点 直线的一般式方程与其他形式方程的互化 1、一般式方程的桥梁作用：直线的点斜式、斜截式、两点式和截距式方程四种形式之间的互化，一般要利用一般式方程作为桥梁，现将一种形式的方程化为一般式方程，然后将一般式方程转化为另一种形式． 2、一般式化为斜截式的步骤 （1）移项得； （2）当时，得斜截式方程． 3、一般式化为截距式的步骤 （1）把常数项移到方程右边，得； （2）当，方程两边同时除以，得； （3）化为截距式方程：． 随学随练 1．（25-26高二上·贵州遵义·阶段检测）已知直线经过点，则直线的一般式方程为____. 2．（25-26高二上·贵州铜仁·阶段检测）（多选）下列直线斜率相等的是（    ） A． B． C． D． 知识点 一般式方程的平行与垂直 1、平行与垂直的系数关系 已知直线的方程分别是（不同时为0），（不同时为0）（1）若．（2）若． 2、平行与垂直的直线系方程 （1）平行直线系：与直线垂直的直线方程可设为． （2）垂直直线系：与直线垂直的直线方程可设为． 随学随练 1．（25-26高二上·重庆·阶段检测）已知直线过点，且与直线平行，则（    ） A． B． C．1 D．2 2．（23-24高二下·湖北宜昌·期中）已知两条直线和相互垂直，则（    ） A．2 B．3 C． D． 题型 直线一般式方程及辨析 ▌例1 （25-26高二下·浙江·阶段检测）直线的倾斜角是（    ） A． B． C． D． 解题贴士 1、由直线的点斜式、斜截式、两点式、截距式方程去分母、移项就可以转化直线的一般式方程（化一般式方程后原方程的限制条件就消失了）；反过来，也可以由直线的一般式方程化斜截式、截距式方程，注意斜截式、截距式方程的适用条件． 2、求直线方程时，一般将方程化一般式方程，其形式一般作如下设定：x的系数为正；系数及常数项一般不出现分数；一般按含x项、含y项、常数项顺序排列． ▌对点练1-1 （25-26高二上·河北承德·阶段检测）设直线的倾斜角为，则直线的斜率为（    ） A． B． C． D．-2 ▌对点练1-2 （25-26高二上·宁夏吴忠·阶段检测）根据下列条件，分别求出直线的一般式方程： (1)经过点，平行于直线； (2)倾斜角是，在轴上的截距是4； (3)经过点，点； ▌对点练1-3 （25-26高二上·安徽·阶段检测）（多选）设直线l的方程为，其中，若直线l在两坐标轴上的截距的绝对值相等，则m的取值可以为（    ） A．0 B．-3 C．3 D．2 题型 一般式方程的图象判断 ▌例2 （25-26高二上·浙江杭州·期中）如果，那么直线一定经过（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．坐标原点 解题贴士 根据直线一般式方程的系数特征判断直线图象形态，通过x、y系数是否为0区分水平直线、竖直直线、倾斜直线，可将一般式化为斜截式判断直线升降趋势、斜率正负与截距大小，结合系数符号快速辨析直线经过的象限，规避特殊直线图象判断错误． ▌对点练2-1 （24-25高二上·陕西西安·阶段检测）已知直线：，则以下四个情况中，可以使的图象如下图所示的为（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， ▌对点练2-2 （25-26高二上·河南郑州·期中）如图所示，直线与的图象可能是（    ） A． B． C． D． ▌对点练2-3 （24-25高二上·河北唐山·阶段检测）（多选）若，，则在下列函数图象中，不可能是直线的图象的是（    ） A． B． C． D． 题型 一般式下的平行问题 ▌例3 （25-26高二下·福建厦门·阶段检测）若直线：与直线：平行，则（    ） A．4 B． C．1或 D．或4 解题贴士 已知两直线一般式方程，利用系数比例关系判定平行，在两直线系数对应成比例、常数项不成比例时判定两直线平行，系数与常数项均成比例则两直线重合，解题无需讨论斜率是否存在，可统一判定所有直线，有效规避斜率不存在导致的漏解问题． ▌对点练3-1 （25-26高二上·安徽·阶段检测）（多选）已知直线：与直线：平行，则的值可能是（    ） A． B． C．2 D．3 ▌对点练3-2 （25-26高二下·辽宁铁岭·阶段检测）已知直线，则过原点且与l平行的直线的方程为（    ） A． B． C． D． ▌对点练3-3 （25-26高二上·吉林长春·阶段检测）过点且与直线平行的直线方程为（    ） A． B． C． D． 题型 一般式下的垂直问题 ▌例4 （25-26高二上·宁夏中卫·阶段检测）直线与直线垂直，且它在轴上的截距为4，则直线的一般方程为_________. 解题贴士 依托直线一般式系数的垂直判定结论，两直线一般式对应x、y系数交叉相乘之和为0，则两直线垂直，该方法适用于所有直线，无需分类讨论斜率存在或不存在，可直接代入系数快速判定垂直关系、求解参数，简化特殊垂直情况的运算流程． ▌对点练4-1 （24-25高二上·河北张家口·阶段检测）若直线与直线垂直，则实数______________. ▌对点练4-2 （24-25高二上·贵州毕节·期末）过点且垂直于直线的直线方程为（    ） A． B． C． D． ▌对点练4-3 （25-26高二上·北京海淀·阶段检测）经过点，且与直线垂直的直线方程为（    ） A． B． C． D． 题型 含参直线过定点问题 ▌例5 （25-26高二上·河南漯河·阶段检测）直线经过的定点的坐标为__________. 解题贴士 1、若直线存在斜率，则可把直线方程化为点斜式的形式，所以无论直线的斜率取何值，直线都恒过定点． 2、曲线过定点的常见方法有两种 （1）可设出曲线方程，然后利用条件建立等量关系进行消元（往往可以化为的形式，根据求解），借助于曲线系的思想找出定点（直线过定点，也可以根据直线的各种形式的标准方程找出定点）． （2）从特殊情况入手，先探求定点，再证明与变量无关． ▌对点练5-1 （25-26高二上·福建宁德·阶段检测）已知直线l的方程为，则直线l始终过定点______． ▌对点练5-2 （25-26高二上·陕西商洛·阶段检测）已知直线的方程为，无论为何值，直线恒过定点___________． ▌对点练5-3 （25-26高二上·四川内江·阶段检测）平面直角坐标系中的直线系方程：经过的定点是（    ） A． B． C． D． 题型 直线的综合应用 ▌例6 （25-26高二上·陕西咸阳·阶段检测）已知的三个顶点分别为，，，试求： (1)边上的中线所在直线的方程； (2)边上的高所在直线的方程． 解题贴士 整合直线四种方程形式的转化、图象特征、平行与垂直判定等知识，根据题干条件灵活选用最优方程形式，结合一般式系数的通用判定优势解决含参数求值、直线位置判定、图形面积、定点定值等综合问题，解题时兼顾特殊直线情况，分类讨论排除增根，结合数形结合思想简化复杂运算． ▌对点练6-1 （25-26高二上·北京平谷·阶段检测）已知的三个顶点分别为，求： (1)所在直线的方程； (2)过点与边平行的直线方程； (3)边的垂直平分线的方程． ▌对点练6-2 （25-26高二上·四川南充·期末）已知的三个顶点． (1)求边上的高所在直线的方程： (2)若点是线段的中点，直线经过点且平行于直线，求直线的方程． ▌对点练6-3 （25-26高二上·河北邯郸·阶段检测）已知直线均过点． (1)若直线过点，且，求直线的方程； (2)若直线在轴和轴上的截距互为相反数，求直线的方程； (3)若直线与两坐标轴的正半轴能够围成三角形，求该三角形面积最小时直线的方程． 基础通关 1．（25-26高二上·山西·阶段检测）直线和的位置关系是（    ） A．平行 B．垂直 C．相交但不垂直 D．重合 2．（25-26高二上·山西·阶段检测）已知点，则线段的垂直平分线的方程是（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高二下·河南·开学考试）已知直线，䒴，，则（    ） A．或 B． C．或 D． 4．（25-26高二下·河南信阳·阶段检测）经过点且与直线平行的直线方程为（    ） A． B． C． D． 5．（25-26高二上·天津滨海新区·阶段检测）已知直线的斜率为，直线，且直线在轴上的截距为，则的方程为（    ） A． B． C． D． 6．（25-26高二上·福建莆田·期中）若，，则直线的图象只能是（    ） A． B． C． D． 7．（24-25高二上·福建厦门·阶段检测）（多选）已知直线： ，则下列结论正确的是（    ） A．直线的倾斜角是 B．过与直线平行的直线方程是 C．直线的两个截距相等 D．若直线：，则 8．（25-26高二上·河北沧州·期末）（多选）已知直线，直线，下列结论正确的是（    ） A．直线恒过点 B．对于任意的，直线的斜率都存在 C．若，则 D．若，则 9．（25-26高二下·湖北荆州·阶段检测）若直线与直线互相垂直，那么a的值等于______． 10．（25-26高二下·贵州遵义·阶段检测）直线l过点且与直线平行，则l的方程为______ 素养提升 11．（25-26高二上·上海·阶段检测）已知，则直线和直线的位置关系不可能是（    ） A．平行 B．重合 C．垂直 D．关于轴对称 12．（25-26高二上·甘肃天水·阶段检测）（多选）已知直线与直线，则下列结论正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．存在，使得与重合 13．（25-26高二上·海南三亚·阶段检测）（多选）已知过定点A的直线与过定点B的直线相交于点，则下列选项正确的是（    ） A． B． C． D． 14．（25-26高二上·天津南开·阶段检测）已知，，若曲线和线段有公共点，则实数的取值范围是_____. 15．（25-26高二上·江苏常州·期末）设直线的方程为． (1)求经过定点的坐标； (2)若直线在轴上的截距是在轴上的截距的2倍，求直线的方程． 迁移创新 16．（25-26高二上·贵州贵阳·阶段检测）已知直线恒过定点，点也在直线上，其中、均为正数，则的最小值为（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 17．（25-26高二上·北京朝阳·期末）已知和是平面直角坐标系中的两个点集，其中中的点被涂成红色，中的点被涂成蓝色．若直线l：满足红色点和蓝色点分别位于l的两侧（红色点和蓝色点均不在上），则（   ） A．当时，b的值可以为6 B．当时，k的值可以为 C．当时，b的取值范围是 D．当时，的取值范围是 18．（25-26高二上·辽宁大连·期中）设为实数，直线恒过一定点记作，为的一个直角顶点，另两个顶点为、，其中点在轴上，点 (1)求点，的坐标； (2)求斜边中线所在的直线方程； (3)设点，若是线段上的动点，求的取值范围. 学科网（北京）股份有限公司1 / 10 zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 $