第04讲 圆的综合应用讲义（思维导图+6大知识点+15大题型+过关测试）-2025-2026学年高二数学上学期期末必考题型归纳及过关测试（人教A版）

该高中数学讲义通过思维导图系统构建圆的综合应用知识体系，将圆的定义、方程、位置关系等6个核心知识点按“概念-关系-应用”逻辑串联，并用对比表格呈现点与圆、直线与圆、圆与圆的位置关系判定方法，清晰展现知识内在联系与重难点分布。 讲义亮点在于“题型归纳举一反三”的创新设计，涵盖求圆的方程、切线问题、阿氏圆等15类题型，每题型配典型例题与变式训练，引导学生通过逻辑推理深化数学思维。如阿氏圆问题结合轨迹方程培养数学建模能力，过关测试分层设置，基础题巩固知识，综合题提升解题技巧，既支持学生自主复习，也为教师实施精准教学提供资源。

第04讲 圆的综合应用 目录 01 题型归纳目录 2 02 思维导图 3 03 知识点梳理 4 知识点1 ：圆的定义和圆的方程 4 知识点2 ： 点与圆的位置关系判断 4 知识点3 ： 直线与圆的位置关系 5 知识点4 ： 圆与圆的位置关系 5 知识点5：轨迹方程 6 知识点6：圆系方程 6 04 题型归纳，举一反三 7 题型1：求圆的方程 7 题型2：点与圆的位置关系 8 题型3：二元二次方程表示的曲线与圆的关系 10 题型4：轨迹问题 11 题型5：直线与圆的位置关系 13 题型6：切线问题 15 题型7：切点弦问题 17 题型8：弦长问题 19 题型9：面积问题 20 题型10：圆与圆的位置关系 22 题型11：两圆的公共弦问题 24 题型12：公切线问题 25 题型13：阿氏圆问题 27 题型14：圆中的定点定值问题 30 题型15：范围与最值问题 35 05 过关测试 39 知识点1 ：圆的定义和圆的方程 1、平面内到定点的距离等于定长的点的集合（轨迹）叫圆． 2、圆的四种方程 （1）圆的标准方程：，圆心坐标为（a，b），半径为 （2）圆的一般方程：，圆心坐标为，半径 （3）圆的直径式方程：若，则以线段AB为直径的圆的方程是 （4）圆的参数方程： ①的参数方程为（为参数）； ②的参数方程为（为参数）． 知识点2 ： 点与圆的位置关系判断 （1）点与圆的位置关系： ①点P在圆外； ②点P在圆上； ③点P在圆内． （2）点与圆的位置关系： ①点P在圆外； ②点P在圆上； ③点P在圆内． 知识点3 ： 直线与圆的位置关系 1、几何法（圆心到直线的距离和半径关系） 圆心到直线的距离，则： 直线与圆相交，交于两点，； 直线与圆相切； 直线与圆相离 2、代数方法（几何问题转化为代数问题即交点个数问题转化为方程根个数） 由， 消元得到一元二次方程，判别式为，则： 直线与圆相交； 直线与圆相切； 直线与圆相离． 知识点4 ： 圆与圆的位置关系 用两圆的圆心距与两圆半径的和差大小关系确定，具体是： 设两圆的半径分别是，（不妨设），且两圆的圆心距为，则： 两圆相交； 两圆外切； 两圆相离 两圆内切； 两圆内含（时两圆为同心圆） 设两个圆的半径分别为，，圆心距为，则两圆的位置关系可用下表来表示： 位置关系 相离 外切 相交 内切 内含 几何特征 代数特征 无实数解 一组实数解 两组实数解 一组实数解 无实数解 公切线条数 4 3 2 1 0 知识点5：轨迹方程 求符合某种条件的动点的轨迹方程，实质上就是利用题设中的几何条件，通过“坐标法”将其转化为关于变量之间的方程． （1）当动点满足的几何条件易于“坐标化”时，常采用直接法；当动点满足的条件符合某一基本曲线的定义（如圆）时，常采用定义法；当动点随着另一个在已知曲线上的动点运动时，可采用代入法（或称相关点法）． （2）求轨迹方程时，一要区分“轨迹”与“轨迹方程”；二要注意检验，去掉不合题设条件的点或线等． （3）求轨迹方程的步骤： ①建立适当的直角坐标系，用表示轨迹（曲线）上任一点的坐标； ②列出关于的方程； ③把方程化为最简形式； ④除去方程中的瑕点（即不符合题意的点）； ⑤作答． 知识点6：圆系方程 （1）过直线与圆的交点的圆系方程是 （2）以为圆心的同心圆系方程是：； （3）与圆同心的圆系方程是； （4）过同一定点的圆系方程是． 题型1：求圆的方程 【例1】（25-26高二上·甘肃武威·期末）以为圆心，且过点的圆的标准方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由题可知，，所以圆的半径， 又以为圆心，所以圆的标准方程为：， 故选：D． 【变式1-1】（25-26高二上·江苏淮安·期中）已知的三个顶点分别为，则的外接圆方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】设的外接圆方程为， 因为的三个顶点分别为， 所以有， 配方得， 故选：C 【变式1-2】（25-26高二上·重庆·期中）已知圆的圆心在轴上，且与直线相切于点，则圆的标准方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】 已知圆的圆心在轴上，设圆心坐标为，圆心与切点的连线斜率为，半径为， 则，解得， ，解得，即圆心， 圆心到切点的距离即为圆的半径， ， 圆的标准方程为，故A正确． 故选：A． 【变式1-3】（25-26高二上·江西·月考）以点为圆心且经过点的圆的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】依题意得圆的半径， 则圆的标准方程为. 故选：D. 题型2：点与圆的位置关系 【例2】（25-26高二上·重庆·期中）若点在圆外，则的取值范围（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】将圆化为标准方程得， 因为点在圆外， 所以，解得， 所以的取值范围. 故选：D. 【变式2-1】（25-26高二上·吉林长春·期中）已知点在圆内，则直线与圆（    ） A．相交 B．相切 C．相离 D．以上均有可能 【答案】C 【解析】因点在圆内，则， 则点到直线的距离， 则直线与圆相离. 故选：C 【变式2-2】（25-26高二上·山东济宁·期中）“点在圆外部”是“，或”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】因为点在圆外， 所以，解得， 所以或， 所以的取值范围为或， “点在圆外部”是“，或”的充分不必要条件. 故选：A. 【变式2-3】（25-26高二上·重庆·期中）若点在圆的内部，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为点在圆内部， 所以，解得. 故选：C. 题型3：二元二次方程表示的曲线与圆的关系 【例3】（25-26高二上·浙江·期中）下列方程一定表示圆的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】对于A，因为等价于，表示圆，故A符合题意； 对于B，含项，不表示圆，故B不符合题意； 对于C，，易知时，不表示圆，故C不符合题意； 对于D，，，不表示圆，故D不符合题意． 故选：A． 【变式3-1】（25-26高二上·福建三明·期中）已知方程表示圆，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由题意可知，，即，解得. 故选：B. 【变式3-2】（25-26高二上·陕西商洛·期中）若方程表示的曲线是一个圆，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由方程表示的曲线是一个圆，得，解得， 所以实数a的取值范围是. 故选：D 【变式3-3】（25-26高二上·河北·期中）若关于的方程有实数解，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为关于的方程有实数解， 所以方程表示圆或点， 则，即 ， 解得或， 故选：B 题型4：轨迹问题 【例4】（25-26高二上·广东深圳·期中）平面直角坐标系中，已知． (1)求过三点的圆的方程； (2)已知为坐标原点，点，请问（1）中圆上是否存在点满足？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【解析】（1）设过三点的圆方程为， 则，解得，满足， 所以所求圆的方程为. （2）设，MH ，得， 整理得，即，点的轨迹是以为圆心，为半径的圆， 而过三点的圆的圆心，半径， 又，因此圆与圆内含，无公共点， 所以不存在点满足. 【变式4-1】（25-26高二上·福建泉州·期中）已知圆，直线过点. (1)若直线与圆相切，求直线的方程； (2)若P为圆C上任意一点，，点Q满足，求点Q的轨迹方程. 【解析】（1）因为，所以点A在圆外， 若直线的斜率不存在，则直线的方程为， 此时圆心到直线的距离为2，所以直线与圆相切，符合题意； 当直线的斜率存在时，设直线的方程为，即， 因为直线与圆相切，所以圆心到直线的距离等于半径， 即，解得. 所以直线的方程为，即. 综上所述，直线的方程为或. （2）设，，则. 因为，所以，即. 又因为点在圆C：上，所以. 将代入可得， 整理得，即点Q的轨迹方程为. 【变式4-2】（25-26高二上·安徽·期中）已知直线，动点与两个定点的距离之比为． (1)求证：直线恒过定点，并求出定点坐标； (2)求出动点的轨迹方程，并说明轨迹的形状； (3)若直线与动点的轨迹交于两点，当时，求直线的方程． 【解析】（1）直线的方程化为， 由，解得， 所以直线恒过定点. （2）设，依题意，，则， 整理得，即， 所以点的轨迹方程为，是圆心为，半径为2的圆. （3）直线过点，由，得圆心到直线距离， 圆心到直线的距离为1，因此直线的方程可以为； 当直线的斜率存在时，设直线的方程为，即， 于是，解得，此时直线方程为， 所以直线的方程为或. 【变式4-3】（25-26高二上·辽宁大连·期中）已知圆，直线过点． (1)当直线与圆相切时，求直线的斜率； (2)线段的端点在圆上运动，求线段的中点的轨迹方程. 【解析】（1）已知的圆心是，半径是2， 显然直线斜率存在，设直线斜率为， 则直线方程是，即， 则圆心到直线的距离为， 解得直线的斜率. （2）设点， 由点是的中点得 所以①， 因为在圆上运动，所以②， ①代入②得，， 化简得点的轨迹方程是. 题型5：直线与圆的位置关系 【例5】（25-26高二上·广东惠州·月考）已知直线，圆，则直线与圆的位置关系是（   ） A．相交 B．相切 C．相离 D．不确定 【答案】A 【解析】因为直线：， 所以直线经过定点. 因为，所以点在圆：内， 所以直线与圆：相交. 故选：A 【变式5-1】（25-26高二上·江苏·期末）已知直线与曲线有公共点，则实数k的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由得，表示圆的上半部分，且含端点， 由直线恒过定点，一般方程为， 作出图象： 由图知，当与半圆左上部相切时， 可得且，解得， 结合图知：实数k的取值范围为：． 故选：D. 【变式5-2】（25-26高二上·四川绵阳·期中）若直线：与圆：相切，则实数的取值为（    ） A．或 B．或 C． D． 【答案】A 【解析】方程可化为， 所以圆的圆心的坐标为，半径， 因为直线:与圆:相切， 所以点到直线的距离， 所以， 解得，或， 故选：A 【变式5-3】（25-26高二上·贵州贵阳·期中）若圆：上有且仅有个点到直线：的距离为，则实数的值是（   ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】D 【解析】圆：的圆心，半径， 由圆上有且仅有个点到直线的距离为，得圆心到直线的距离为， 则，解得或. 故选：D. 题型6：切线问题 【例6】（25-26高二上·辽宁抚顺·期末）过圆上一点作圆的切线，则的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】圆的圆心为， 则直线的斜率， 因为过圆上一点的切线与该点和圆心所在的直线垂直， 即， 所以， 则切线的斜率， 所以直线的方程为， 即. 故选：C. 【变式6-1】（25-26高二上·云南楚雄·期中）过圆上的点作圆的切线，则切线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】圆的圆心为，因为点在圆上，且， 所以所求切线与轴垂直，故所求切线的方程为. 故选：D. 【变式6-2】（25-26高二上·山东泰安·期中）过点作圆的切线，则的方程为（   ） A．或 B．或 C．或 D． 【答案】A 【解析】当斜率不存在时，，圆的圆心到的距离为， 故此时是圆的切线，符合； 当斜率存在时，设，即， 则圆的圆心到的距离， 解得，则； 综上所述：的方程为或. 故选：A. 【变式6-3】（25-26高二上·江苏·期末）点P为直线上一动点，过点P作圆的切线，切点为Q，则的最小值为（    ） A．1 B． C． D．2 【答案】C 【解析】设点的坐标为，，圆的圆心坐标为，半径， 则 由圆的几何性质可得， 又， 当且仅当时取等号，所以的最小值为． 故选：C 题型7：切点弦问题 【例7】（25-26高二上·甘肃兰州·期末）过直线上一点作圆的两条切线，切点分别为，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】设，则以线段为直径的圆的方程是， 与圆的方程相减，得，即直线的方程为， 又点在直线上，所以，则，代入直线的方程， 得，则，解得， 所以直线过定点，所以， 数形结合可知的最小值为． 故选：B. 【变式7-1】（25-26高二上·甘肃白银·期中）已知，直线为上的动点，过点作的切线，，切点为A，B.当最小时，直线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为，点到直线的距离为，所以直线与圆相离. 由题意知,所以A，P，B，O四点共圆，且， 所以.因为， 当直线时，，，此时最小， 所以直线，由解得 所以以为直径的圆的方程为，即. 两圆的方程相减得，，即直线的方程为. 故选：D 【变式7-2】（25-26高二上·江西九江·月考）过点作圆的两条切线，切点分别为和，则切点弦所在直线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】 如图所示，连接， 由平面几何知，，，点P，A，C，B共圆，且为直径. 因为，，所以所求圆的圆心为中点， 即，半径为， 所以所求圆的方程为，即. 又直线为这两个圆的公共弦所在直线， 由与相减， 可得的方程为. 故选：A 【变式7-3】（22-23高二下·河南漯河·期末）设点P为直线l：上任意一点，过点P作圆O：的切线，切点分别为A，B，则直线AB必过定点（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】如图，连接，， 根据题意，设为直线上的一点，则， 由于为圆的切线，则有，， 则点、在以为直径的圆上， 以为直径的圆的圆心为，半径， 则其方程为，变形可得， 联立可得直线AB：， 又由，则有AB：， 变形可得， 则有，解可得，故直线恒过定点. 故选：B. 题型8：弦长问题 【例8】（25-26高二上·西藏拉萨·期末）已知直线与圆相交于两点，则 . 【答案】 【解析】圆的圆心，半径， 圆心到直线的距离， 所以. 故答案为： 【变式8-1】（21-22高二上·河北唐山·期中）直线：被圆C：截得的弦长为 . 【答案】 【解析】由C：，可知C圆心坐标为，半径为， 点C到直线的距离为， 所以直线被圆C截得的弦长为， 故答案为： 【变式8-2】（25-26高二上·湖北十堰·月考）设直线与圆相交于两点，且，则 ． 【答案】 【解析】圆的圆心为，半径， 则圆心到直线的距离， 由题意可得，即，解得. 故答案为：. 【变式8-3】（25-26高二上·陕西安康·期中）已知圆：与圆：交于，两点，若，则 . 【答案】1 【解析】已知圆：的圆心为，半径为1， 与圆：的圆心为，半径为1， 将两个圆作差可得相交弦的直线方程为， 即，即， 设圆心到直线的距离为，因为，所以，解得， 又两圆半径相等，所以公共弦所在的直线为的垂直平分线，所以. 故答案为： 题型9：面积问题 【例9】（25-26高二上·黑龙江大庆·期中）过原点的直线与圆交于，两点，设的面积为S，则S的最大值是 【答案】 【解析】由题意可知圆心，半径， 设，则圆心到l的距离为，即， 所以， 则 令，显然，即，当时取得最大值. 故答案为： 【变式9-1】（25-26高二上·江苏·期中）已知圆，以圆上任意一点为圆心，为半径的圆与圆： 交于，两点，则当最大时，的面积为 . 【答案】 【解析】由题意知，，在中，， 显然， 所以是锐角，， 又函数在上单调递增， 因此当且仅当公共弦最大时，最大，此时弦为圆的直径， 在中，，， 所以，. 故答案为： 【变式9-2】（23-24高二下·陕西西安·期末）已知直线与交于，两点，则的面积为 . 【答案】 【解析】的圆心坐标为，半径， 圆心到直线的距离， 直线被圆截得的弦长为. 面积为. 故答案为：. 【变式9-3】（23-24高二上·福建厦门·期中）已知直线与交于，两点，写出满足“面积为”的的一个值 . 【答案】（中任意一个皆可以，答案不唯一） 【解析】的圆心为，半径， 设点到直线的距离为，由弦长公式得， 所以，解得或， 由，所以或， 解得或． 故答案为：（中任意一个皆可以，答案不唯一）． 题型10：圆与圆的位置关系 【例10】（25-26高二上·黑龙江哈尔滨·期末）圆与圆相交，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为圆的圆心为，半径， 圆的圆心为，半径， 所以圆心距， 又圆与圆相交，所以， 即，又，所以解得：， 故选：C. 【变式10-1】（25-26高二上·贵州遵义·月考）已知圆，圆，则圆与圆的位置关系为（    ） A．外离 B．相交 C．外切 D．内含 【答案】B 【解析】圆的圆心为半径为 ，圆的圆心为半径为 ， 则 ，， 因为 ，所以圆与圆相交. 故选：B. 【变式10-2】（25-26高二上·广西来宾·期中）已知圆：与圆（）内切，则（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【解析】因为圆：的圆心，半径为1； 圆的圆心，半径为； 又，由题意，解得. 故选：D 【变式10-3】（25-26高二上·安徽·期中）若圆与圆外切，则为（    ） A．1 B．2 C．5 D．1或5 【答案】A 【解析】圆的圆心和半径分别为. 圆的标准方程为，其圆心和半径分别为. 由两圆外切，得，所以，解得. 故选：A. 题型11：两圆的公共弦问题 【例11】（25-26高二上·河北邢台·期中）圆与圆的公共弦长为 ． 【答案】 【解析】已知圆，圆， 圆的圆心的坐标为，半径， 圆的圆心的坐标为，半径， 因为，所以，所以两圆相交， 两圆方程作差，得到其公共弦所在直线的方程为， 而圆心到公共弦所在直线的距离， 又圆的半径为， 所以公共弦长为． 故答案为： 【变式11-1】（25-26高二上·贵州贵阳·期中）圆：与圆：相交于、两点，则两圆公共弦的长为 . 【答案】4 【解析】由圆：与圆：， 两圆相减得公共弦所在直线方程为：，即， 由圆：，可得，所以圆心，半径， 所以圆心到直线的距离， 所以. 故答案为：4. 【变式11-2】（25-26高二上·广东·期中）圆与圆的公共弦所在直线的方程为 . 【答案】 【解析】两圆方程相减得到，即. 故答案为：. 【变式11-3】（25-26高二上·江苏泰州·期中）圆与圆的公共弦所在的直线方程为 . 【答案】 【解析】将两圆方程作差得，即. 故两圆公共弦所在直线的方程为. 故答案为：. 题型12：公切线问题 【例12】（25-26高二上·天津·期中）已知圆A：和圆B：有3条公共切线，则实数m的值是 . 【答案】或5 【解析】由圆A：，则圆心为，半径为， 圆B：，圆心为，半径为， 由于两圆有3条公共切线，则两圆外切， 所以，则，解得或5. 故答案为：或5. 【变式12-1】（25-26高二上·江西南昌·期中）若圆与圆（）有且仅有2条公切线，则的取值范围为 . 【答案】 【解析】由圆，可得圆心，半径， 圆，可得圆心，半径. 因为圆与圆有且仅有2条公切线，可得圆与圆相交， 又因为， 所以点在以原点为圆心，半径分别为2和4的圆所夹的圆环内部（不含边界）， 因为， 所以代表点到直线的距离的倍， 又因为圆心到直线的距离为， 所以圆环内的点到直线的距离， 所以的取值范围为. 故答案为：. 【变式12-2】（25-26高二上·江西宜春·期中）若圆与圆仅有一条公切线，则实数的值为 . 【答案】 【解析】由题意可知，两圆内切， 圆的圆心为，半径为， 圆的圆心为，半径为， 所以，解得. 故答案为： 【变式12-3】（25-26高二上·江苏常州·期中）已知圆和圆，则圆与公切线段的长度为 . 【答案】2 【解析】圆的圆心为，半径， 则轴为的切线，切点为， 圆的圆心，半径， 则轴为的切线，切点为， 如图所示： 又， 则，故两圆相交，则轴为圆与的一条公切线， 公切线段的长度为. 故答案为：2. 题型13：阿氏圆问题 【例13】（24-25高二上·内蒙古赤峰·期末）阿波罗尼斯（约公元前262—190年）证明过这样一个命题：平面内到两定点距离之比为常数的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿氏圆.已知在中，，则的面积最大值为 . 【答案】 【解析】由题设，构建如下图示的直角坐标系，令， 由，则， 所以，故在以为圆心，为半径的圆上， 所以的面积最大值为. 故答案为： 【变式13-1】（24-25高二上·吉林·期末）古希腊几何学家阿波罗尼斯证明过这样一个命题：平面内到两定点的距离之比为定值的点的轨迹是圆，后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆.已知在平面直角坐标系中，，，动点满足，则动点的轨迹方程为 ；点为抛物线：上的动点，点在上的射影为，则的最小值为 . 【答案】 【解析】设为所求轨迹上任意一点， ∵，，动点满足， ∴， ∴， ∴， 化简可得动点的轨迹方程为； ∵抛物线C：的焦点为，准线为， 所以， ∴ ， 当且仅当，，，四点共线时，等号成立， ∴的最小值为 故答案为：； 【变式13-2】（23-24高二上·山东·月考）若A，B是平面内不同的两定点，动点满足（且），则点的轨迹是一个圆，这个轨迹最先由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，故被称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆．已知是圆上的动点，点，，则的最大值为 ． 【答案】 【解析】由题意得设，， 所以，则， 由于是圆上的点， 所以， 所以，解得，即， 所以，如图， 所以的最大值为， 故答案为：. 【变式13-3】（24-25高二下·湖北荆州·开学考试）古希腊著名数学家阿波罗尼斯发现：已知平面内两个定点A、B及动点，若（且），则点的轨迹是圆．后来人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆（简称“阿氏圆”）．在平面直角坐标系中，已知，直线，直线，若为的交点，则的最小值为 ． 【答案】 【解析】 当时，，此时交点为， 当时，由直线，斜率为k； 由直线，斜率为，， 又，所以直线恒过点， ，所以直线恒过， 若M为，的交点，则， 所以点M的轨迹是以为直径的圆，除去F点，E点, 综合以上两种情况，点M的轨迹是以为直径的圆，除去F点， 则圆心为的中点，圆的半径为， 故M的轨迹方程为，即， 又,易知在该圆内，又由题意可知圆C上一点 满足，取，则，满足.下面证明任意一点都满足，即， 因为， 又,所以, 所以， 又，， 如图,当且仅当三点共线,且M位于N,D之间时,等号成立,即的最小值为. 故答案为： 题型14：圆中的定点定值问题 【例14】（25-26高二上·山东潍坊·期中）设的圆心在直线上，且点和均在上. (1)求圆的标准方程； (2)若直线与圆相交于两点，且为等边三角形，求直线的方程； (3)已知点为圆上任意一点，试问在轴上是否存在定点（异于点），使得为定值？若存在，求点的坐标；若不存在，请说明理由. 【解析】（1）设圆的圆心坐标为，半径为， 则解得， 所以圆的标准方程为. （2）由（1）可知该圆的半径为，因为为等边三角形，且边长为， 所以该等边三角形的高为， 所以圆心到直线的距离为，即，解得， 所以直线的方程为或. （3）假设存在定点，设， 设，则，. 则， 当，即时，为定值，且定值为， 故存在定点，使得为定值，的坐标为. 【变式14-1】（25-26高二上·江苏扬州·期中）动点到点的距离是到点的距离的3倍，记动点的轨迹为曲线. (1)求曲线的方程； (2)直线与曲线交于，两点，，当面积最大时，求的值； (3)已知动点在直线上，过点作曲线的两条切线，，切点分别为，，直线是否过定点？如果是，求出定点坐标；如果不是，说明理由. 【解析】（1）由题意得，所以. 设，因为点，，所以， 化简得. 所以曲线的方程为. （2）曲线是圆心为，半径的圆， ， 当时，面积最大，所以为等腰直角三角形， 圆心到直线距离为，解得或. （3） 圆的圆心，半径， 因为点为直线上一动点，则可设， 因为，都是圆的切线，所以，， 所以，也在以为直径的圆上， 以为直径的圆的圆心为，半径为， 所以以为直径的圆的方程为，即①，化为②， 由①-②整理得， 所以直线的方程为，即， 令，解得，所以直线过定点. 【变式14-2】（25-26高二上·广东·期中）已知一动点在圆上移动，它与定点连线的中点为. (1)求点的轨迹方程； (2)已知，，若的轨迹上存在两个不同的点，使得成立，求实数的取值范围. 【解析】（1）设， 由题意可得， 所以，即， 因为点在圆上移动， 所以，即， 所以点的轨迹是以为圆心，为半径的圆， 即点的轨迹方程为； （2）设，因为， 所以， 化简可得，， 所以点的轨迹是以为圆心，为半径的圆， 即点的轨迹方程为， 若的轨迹上存在两个不同的点P，使得成立， 则圆与圆相交，则， 即解得，所以， 因为，所以实数λ的取值范围是. 【变式14-3】（25-26高二上·广东广州·期中）已知点为圆上的一个动点，点是点关于点的对称点. (1)求点的轨迹方程； (2)已知点，求的最大值； (3)若过点的直线与点的轨迹交于，两点，试问在轴上是否存在点，使恒为定值？若存在，求出点的坐标和定值；若不存在，请说明理由. 【解析】（1）设，因为点是点关于点的对称点， 所以，即，因为点在圆上， 所以，化简得，即为点的轨迹方程. （2）易知 ， 令，则， 可视为直线在轴上的截距， 所以的最小值就是直线与圆有公共点时直线纵截距的最小值，即直线与圆相切时在轴上的截距， 由直线与圆相切时圆心到直线的距离等于半径可得，， 所以的最小值为，因此的最大值为138. （3）存在点，使得为定值， 理由如下：当直线斜率存在时，设其斜率为，则直线的方程为， 由，消去得， 设，则，， 又，， 则 ， 要使上式恒为定值，需满足，解得， 此时，为定值. 题型15：范围与最值问题 【例15】（多选题）（25-26高二上·山西晋中·期中）已知点是圆上的一个动点，过原点的动直线与圆交于，两点，则下列说法正确的是（    ） A．的最小值为 B．的最大值为 C．的最小值为2 D．的最大值为6 【答案】ABD 【解析】对于AB，由题意知，则点在圆内， 所以，故AB正确； 对于CD， 当直线过圆心时，，当时，，故C错误，D正确． 故选：ABD． 【变式15-1】（多选题）（22-23高二上·河北唐山·期中）已知实数x，y满足曲线C的方程，则下列说法正确的是（    ） A．的最大值为 B．的最大值为 C．的最大值为 D．曲线C上恒有四个点到直线的距离等于 【答案】AD 【解析】根据题意，方程，即， 表示圆心为，半径为的圆， 对于A，设，即， 直线与圆有公共点， 所以，解得 则的最大值为，故A正确； 对于B，设，其几何意义为圆上的点到原点的距离， 所以的最大值为， 故的最大值为，故B错误； 对于C，设，则，直线与圆有公共点， 则，解得，即的最大值为，故C错误； 对于D，直线化为， 令，解得， 所以直线过圆心， 则圆上的点到直线距离的最大值为，且直线与圆相交， 因为， 所以曲线C上恒有四个点到直线的距离等于，故D正确. 故选：AD. 【变式15-2】（多选题）（25-26高二上·安徽阜阳·期中）已知实数，满足，则下列结论正确的是（   ） A．圆的半径为2 B．的最大值为14 C．的取值范围为 D．的最小值为 【答案】ACD 【解析】对于A，圆的一般方程化简为圆的标准方程为，所以圆的半径为2，故A正确； 对于B，设，化为，可知直线与圆有交点， 所以圆心到直线的距离，得，所以的最大值为21，故B错误； 对于C，设，即，直线与圆有交点， 所以圆心到直线的距离，得或，所以的取值范围为，故C正确； 对于D，的几何意义为坐标原点到圆上任意一点的距离， 圆心到坐标原点的距离为=，故的最小值为，故D正确. 故选：ACD 【变式15-3】（多选题）（25-26高二上·江苏南通·期中）已知点，，动点满足，在圆上，则下列结论正确的是（    ） A．点的轨迹方程为 B．的最大值为6 C．的取值范围是 D．过点作圆的两条切线，切点分别为，，则存在点，使得 【答案】ACD 【解析】因为，所以 化简得到，点的轨迹方程为，选项A正确； ，几何意义为点到定点距离的平方加1， 因为点在圆上，圆心为 ，半径 ， 到圆心距离为 ，则到圆上的最大距离为 所以最大值为，选项B错误； 圆，圆心为 ,半径 ； 两圆心距为 ; 则的最小距离为； 的最大距离为； 所以范围是，选项C正确； 当时，四边形为正方形，故时，因为点到的最小距离为，则存在点，，选项D正确. 故选：ACD 1．（25-26高二上·甘肃武威·期末）已知圆C：，定点，点A为圆C上任意一点，若点P满足，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】设，，由得：， 即，解得：，即， 又因为点A为圆C上任意一点，所以， 化简整理得：．故点P的轨迹是以为圆心，为半径的圆， C点坐标， 而的取值范围为，经计算易知. 故选：A． 2．（25-26高二上·湖北·期中）已知圆，．若圆上存在点，使得，则的值可能为（　　） A．2 B． C． D．5 【答案】D 【解析】圆的圆心为，半径， 设，因为，即， 整理可得， 可知点的轨迹是以为圆心，半径的圆， 由题意可知：圆与圆有公共点，则， 可得，解得或， 所以实数的取值范围为，结合选项可知ABC错误，D正确. 故选：D． 3．（25-26高二上·甘肃酒泉·期末）圆心为且与直线相切的圆的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】设圆的方程为， 因为直线与圆相切，所以圆心到直线的距离为，即， 所以. 故选：A 4．（25-26高三上·北京西城·月考）已知直线经过圆的圆心，则的最小值为（   ） A． B． C．0 D．1 【答案】A 【解析】圆变形可得，圆心为， 因为直线经过圆心， 所以，即， 所以， 所以当时，的最小值为. 故选：A 5．（24-25高二上·陕西汉中·期末）已知点，点满足，则点到直线的距离的最大值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【解析】设，又，得， 即点的轨迹为以为圆心，以1为半径的圆， 又过定点，又，所以在圆外， 设点到直线的距离为，点在圆上，直线恒过点， 点到直线的距离的最大值，等于圆心到直线的距离与半径之和的最大值， 圆心到直线的距离的最大值为， 所以点到直线的距离的最大值为. 故选：C. 6．（25-26高二上·江苏淮安·期中）已知为坐标原点，椭圆的下顶点为，动点满足，是上的动点，则的最大值为（   ） A． B． C． D．5 【答案】C 【解析】设点，由题意可知. 因为，所以， 将式子展开可得， 即，即， 所以点的轨迹是以为圆心，半径的圆. 设椭圆上动点，则有，即. 点到圆心的距离 . 对于二次函数，其图象开口向下，对称轴， 所以当时，取到最大值，， 所以. 因为的最大值为圆心到椭圆上点的最大距离加上圆的半径， 所以的最大值为. 故选：C 7．（25-26高二上·广东东莞·期中）已知圆，是圆上的动点，点，若动点满足，则点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】设点，由，得为线段中点，则点， 而点在圆上，因此，即， 所以点的轨迹方程为. 故选：B 8．（24-25高二上·辽宁抚顺·期末）已知直线 与圆 相离，过直线上的点作圆的两条切线，切点为．若四边形的面积的最小值为9，则（    ） A．或 B．或7 C．或5 D．5或7 【答案】B 【解析】由题意得圆C：的圆心为，半径为3，， 根据题意可得四边形的面积为，则， 因为，故的最小值为， 因为时，取得最小值， 所以点到直线的距离为，解得或. 故选：B. 9．（多选题）（25-26高二上·甘肃兰州·期末）已知直线与圆，则下列说法正确的是（   ） A．直线恒过定点（2，1） B．圆的半径为2 C．存在实数，使得直线与圆相切 D．若，则直线被圆截得的弦长为2 【答案】AB 【解析】对于选项A，由直线，得，故直线恒过定点，故A选项正确； 对于选项B，由，得，所以圆的半径为，故B选项正确； 对于选项C，将点代入圆的方程，得， 所以（2，1）在圆内， 所以直线与圆相交，故不存在实数，使得直线与圆相切，故C选项错误； 对于选项D，若，直线方程为，圆心（1，2）在直线上，故直线被圆截得的弦长为直径4，故D选项错误． 故选：AB 10．（多选题）（25-26高二上·广东·期末）已知双曲线经过点，且右焦点为，的虚轴为线段，为上任意一点，平面内一动点满足，则（    ） A．的渐近线方程为 B．动点的轨迹与无公共点 C．的最大值为6 D．的最小值为 【答案】ABD 【解析】设双曲线半焦距为，则，由双曲线经过点，得， 而，解得，因此双曲线的方程为， 对于A，双曲线的渐近线方程为，即，A正确； 对于B，由对称性不妨令，设，由， 得，整理得， 点的轨迹是以为圆心，半径为的圆，由， 消去得，，因此动点的轨迹与无公共点，B正确； 对于C，点到圆心的距离，因此的最大值为，C错误； 对于D，设双曲线上任一点，则，到圆心的距离为： ， 当且仅当时取等号，因此的最小值为，D正确. 故选：ABD 11．（多选题）（25-26高二上·贵州·期中）已知直线，圆，点为直线上一点，点为圆上一点，则下列选项正确的是（    ） A．直线恒过定点 B．若圆关于直线对称，则 C．若直线与圆相切，则 D．当时，取轴上一点，则的最小值为 【答案】ACD 【解析】对于A，直线的方程化为， 令，解得， 所以直线恒过定点，故A正确； 对于B，圆的圆心， 因为圆关于直线对称， 所以直线过圆心， 则，解得，故B错误； 对于C，圆的半径， 若直线与圆相切， 则，解得，故C正确； 对于D，当时，直线， 点关于直线的对称点， 则有，解得，即， 所以的最小值为，故D正确. 故选：ACD. 12．（25-26高二上·甘肃酒泉·期末）已知点，点在圆上运动，则的取值范围是 . 【答案】 【解析】依题意，设， 则， 因为，所以，所以，即的取值范围是. 故答案为：. 13．（25-26高二上·云南昭通·期中）若圆上到直线（为实数）的距离为的点有且仅有2个，则的取值范围是 ． 【答案】 【解析】由题意得圆心为，半径为，圆心到直线的距离为， 因为圆上到直线的距离为的点有且仅有个，所以，即， 解得或， 故答案为：. 14．（25-26高二上·广东·期中）已知，则的取值范围是 . 【答案】 【解析】设，，则（，），， 表示圆弧（，）上的点与点连线的斜率， 如图，连线过，时斜率最大为，连线与圆弧相切时斜率最小，设最小斜率为k， 则此时切线方程为，即， 则，解得（舍去）或，即连线与圆弧相切时斜率最小为， 所以的取值范围是. 故答案为：. 15．（25-26高二上·安徽合肥·期末）已知圆的圆心在坐标原点，且与直线相切． (1)过点作直线与圆相交，相交弦长为，求此直线的方程； (2)若与直线垂直的直线与圆交于不同的两点，，若为钝角，求直线的纵截距的取值范围． 【解析】（1）由题意得，圆心到直线：的距离为圆的半径长， 所以 所以圆的方程为． ①当直线斜率不存在时，过点的直线为，代入圆方程可解得，所以弦长为，满足题意； ②当直线斜率存在时，设直线方程为，即 由弦长公式可得，圆心到直线的距离为. 圆心到直线的距离，解得， 此时，即. 所以所求直线方程为或； （2）因为直线的斜率为1且，所以直线的斜率为， 设直线的方程为. 与圆的方程联立，整理得． 设，，则，是方程的两个不同的根， 所以，即，解得. 所以，， ， ， 因为为钝角，所以，又，， 所以 ，解得． 当时，与反向共线，直线经过，此时，不符合题意，应舍去. 综上，直线的纵截距的取值范围是且． 16．（24-25高二上·天津北辰·期中）已知圆经过坐标原点，且圆心为. (1)求圆的标准方程； (2)已知直线与圆相交于，两点，求弦长的值； (3)过点引圆的切线，求切线的方程. 【解析】（1）因为圆心为，且过原点，所以半径， 则圆的方程为. （2）设圆心到的距离为，则， 所以. （3）当斜率不存在时，过点P的方程为，圆心到的距离为2等于半径，符合题意； 当斜率存在时，设切线方程为，即， 则圆心到直线的距离，解得 所以切线方程为， 综上所述：切线的方程为和． 17．（25-26高二上·黑龙江哈尔滨·期末）（1）已知直线经过直线和的交点且与直线垂直，求直线的方程； （2）求圆关于直线对称的圆的方程. 【解析】（1）由题意联立，解得， 则直线和的交点为， 设所求直线l的方程为， 将点代入得，解得， 故所求直线l的方程为； （2）圆，圆心，半径为， 设关于直线的对称点为， 则，解得， 可知所求圆的圆心为，半径为， 所以对称圆的方程为. 18．（25-26高二上·甘肃兰州·期末）已知圆的圆心在直线上，过点的直线与圆相交于两点． (1)求圆的方程； (2)当时，求直线的方程； (3)若点，是否存在直线，使得向量与共线？如果存在，求出直线的方程；如果不存在，请说明理由． 【解析】（1）圆的圆心的坐标为， 将其代入直线得，解得. 即圆的方程为. （2）圆的标准方程为，设弦的中点为，则. ①当直线的斜率不存在时，直线的方程为，圆心到直线的距离为，所以，符合题意． ②当直线的斜率存在时，设直线的方程为，即. 因为，所以，则圆心到直线的距离，解得. 此时直线的方程为， 故直线的方程为或． （3）因为，所以． ①当直线的斜率不存在时，易知. ，所以与不共线，不符合题意； ②当直线的斜率存在时，设直线的方程为. 由，得， 可得. 所以， 所以， 则， 所以． 若向量与共线，则， 即，解得或， 当时，，舍去， 当时，. 所以存在直线，使得向量与共线，且直线的方程为，即. 19．（25-26高二上·甘肃兰州·期末）已知圆C经过点和，且圆心在直线上. (1)求圆C的方程； (2)过点作直线L与圆C交于两点，如果，求直线L的方程. 【解析】（1）因为A，B的中点为， 故AB的垂直平分线所在的直线方程为， 由解得，故圆心为， 半径，故圆C的方程为； （2）当直线L斜率不存在时，直线L的方程为， 此时直线L与圆C交于，此时，符合题意； 当直线L斜率存在时，设直线L的方程为，即， 由，可得圆心到直线L的距离为， 解得， 故直线L的方程为或. 20．（25-26高二上·辽宁抚顺·期末）已知圆经过两点，且圆心在直线上. (1)求圆的方程； (2)已知圆，求圆与圆的公共弦的方程以及公共弦的长. 【解析】（1）由题可知直线的斜率为， 线段的中点坐标为， 线段的中垂线方程为，所以圆心在直线上， 又圆心在直线上， 由，得，所以圆心， 又， 所以圆的方程为. （2）将圆与圆的方程相减，得公共弦的方程为， 所以圆心到直线的距离， 又圆的半径，所以由圆的弦长公式得. 故公共弦的方程为；公共弦的长为. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 第04讲 圆的综合应用 目录 01 题型归纳目录 2 02 思维导图 3 03 知识点梳理 4 知识点1 ：圆的定义和圆的方程 4 知识点2 ： 点与圆的位置关系判断 4 知识点3 ： 直线与圆的位置关系 5 知识点4 ： 圆与圆的位置关系 5 知识点5：轨迹方程 6 知识点6：圆系方程 6 04 题型归纳，举一反三 7 题型1：求圆的方程 7 题型2：点与圆的位置关系 7 题型3：二元二次方程表示的曲线与圆的关系 8 题型4：轨迹问题 8 题型5：直线与圆的位置关系 9 题型6：切线问题 10 题型7：切点弦问题 10 题型8：弦长问题 11 题型9：面积问题 11 题型10：圆与圆的位置关系 11 题型11：两圆的公共弦问题 12 题型12：公切线问题 12 题型13：阿氏圆问题 12 题型14：圆中的定点定值问题 13 题型15：范围与最值问题 14 05 过关测试 16 知识点1 ：圆的定义和圆的方程 1、平面内到定点的距离等于定长的点的集合（轨迹）叫圆． 2、圆的四种方程 （1）圆的标准方程：，圆心坐标为（a，b），半径为 （2）圆的一般方程：，圆心坐标为，半径 （3）圆的直径式方程：若，则以线段AB为直径的圆的方程是 （4）圆的参数方程： ①的参数方程为（为参数）； ②的参数方程为（为参数）． 知识点2 ： 点与圆的位置关系判断 （1）点与圆的位置关系： ①点P在圆外； ②点P在圆上； ③点P在圆内． （2）点与圆的位置关系： ①点P在圆外； ②点P在圆上； ③点P在圆内． 知识点3 ： 直线与圆的位置关系 1、几何法（圆心到直线的距离和半径关系） 圆心到直线的距离，则： 直线与圆相交，交于两点，； 直线与圆相切； 直线与圆相离 2、代数方法（几何问题转化为代数问题即交点个数问题转化为方程根个数） 由， 消元得到一元二次方程，判别式为，则： 直线与圆相交； 直线与圆相切； 直线与圆相离． 知识点4 ： 圆与圆的位置关系 用两圆的圆心距与两圆半径的和差大小关系确定，具体是： 设两圆的半径分别是，（不妨设），且两圆的圆心距为，则： 两圆相交； 两圆外切； 两圆相离 两圆内切； 两圆内含（时两圆为同心圆） 设两个圆的半径分别为，，圆心距为，则两圆的位置关系可用下表来表示： 位置关系 相离 外切 相交 内切 内含 几何特征 代数特征 无实数解 一组实数解 两组实数解 一组实数解 无实数解 公切线条数 4 3 2 1 0 知识点5：轨迹方程 求符合某种条件的动点的轨迹方程，实质上就是利用题设中的几何条件，通过“坐标法”将其转化为关于变量之间的方程． （1）当动点满足的几何条件易于“坐标化”时，常采用直接法；当动点满足的条件符合某一基本曲线的定义（如圆）时，常采用定义法；当动点随着另一个在已知曲线上的动点运动时，可采用代入法（或称相关点法）． （2）求轨迹方程时，一要区分“轨迹”与“轨迹方程”；二要注意检验，去掉不合题设条件的点或线等． （3）求轨迹方程的步骤： ①建立适当的直角坐标系，用表示轨迹（曲线）上任一点的坐标； ②列出关于的方程； ③把方程化为最简形式； ④除去方程中的瑕点（即不符合题意的点）； ⑤作答． 知识点6：圆系方程 （1）过直线与圆的交点的圆系方程是 （2）以为圆心的同心圆系方程是：； （3）与圆同心的圆系方程是； （4）过同一定点的圆系方程是． 题型1：求圆的方程 【例1】（25-26高二上·甘肃武威·期末）以为圆心，且过点的圆的标准方程为（   ） A． B． C． D． 【变式1-1】（25-26高二上·江苏淮安·期中）已知的三个顶点分别为，则的外接圆方程是（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】（25-26高二上·重庆·期中）已知圆的圆心在轴上，且与直线相切于点，则圆的标准方程是（    ） A． B． C． D． 【变式1-3】（25-26高二上·江西·月考）以点为圆心且经过点的圆的标准方程为（    ） A． B． C． D． 题型2：点与圆的位置关系 【例2】（25-26高二上·重庆·期中）若点在圆外，则的取值范围（   ） A． B． C． D． 【变式2-1】（25-26高二上·吉林长春·期中）已知点在圆内，则直线与圆（    ） A．相交 B．相切 C．相离 D．以上均有可能 【变式2-2】（25-26高二上·山东济宁·期中）“点在圆外部”是“，或”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式2-3】（25-26高二上·重庆·期中）若点在圆的内部，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 题型3：二元二次方程表示的曲线与圆的关系 【例3】（25-26高二上·浙江·期中）下列方程一定表示圆的是（    ） A． B． C． D． 【变式3-1】（25-26高二上·福建三明·期中）已知方程表示圆，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式3-2】（25-26高二上·陕西商洛·期中）若方程表示的曲线是一个圆，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式3-3】（25-26高二上·河北·期中）若关于的方程有实数解，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 题型4：轨迹问题 【例4】（25-26高二上·广东深圳·期中）平面直角坐标系中，已知． (1)求过三点的圆的方程； (2)已知为坐标原点，点，请问（1）中圆上是否存在点满足？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【变式4-1】（25-26高二上·福建泉州·期中）已知圆，直线过点. (1)若直线与圆相切，求直线的方程； (2)若P为圆C上任意一点，，点Q满足，求点Q的轨迹方程. 【变式4-2】（25-26高二上·安徽·期中）已知直线，动点与两个定点的距离之比为． (1)求证：直线恒过定点，并求出定点坐标； (2)求出动点的轨迹方程，并说明轨迹的形状； (3)若直线与动点的轨迹交于两点，当时，求直线的方程． 【变式4-3】（25-26高二上·辽宁大连·期中）已知圆，直线过点． (1)当直线与圆相切时，求直线的斜率； (2)线段的端点在圆上运动，求线段的中点的轨迹方程. 题型5：直线与圆的位置关系 【例5】（25-26高二上·广东惠州·月考）已知直线，圆，则直线与圆的位置关系是（   ） A．相交 B．相切 C．相离 D．不确定 【变式5-1】（25-26高二上·江苏·期末）已知直线与曲线有公共点，则实数k的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式5-2】（25-26高二上·四川绵阳·期中）若直线：与圆：相切，则实数的取值为（    ） A．或 B．或 C． D． 【变式5-3】（25-26高二上·贵州贵阳·期中）若圆：上有且仅有个点到直线：的距离为，则实数的值是（   ） A．或 B．或 C．或 D．或 题型6：切线问题 【例6】（25-26高二上·辽宁抚顺·期末）过圆上一点作圆的切线，则的方程为（    ） A． B． C． D． 【变式6-1】（25-26高二上·云南楚雄·期中）过圆上的点作圆的切线，则切线方程为（    ） A． B． C． D． 【变式6-2】（25-26高二上·山东泰安·期中）过点作圆的切线，则的方程为（   ） A．或 B．或 C．或 D． 【变式6-3】（25-26高二上·江苏·期末）点P为直线上一动点，过点P作圆的切线，切点为Q，则的最小值为（    ） A．1 B． C． D．2 题型7：切点弦问题 【例7】（25-26高二上·甘肃兰州·期末）过直线上一点作圆的两条切线，切点分别为，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【变式7-1】（25-26高二上·甘肃白银·期中）已知，直线为上的动点，过点作的切线，，切点为A，B.当最小时，直线的方程为（    ） A． B． C． D． 【变式7-2】（25-26高二上·江西九江·月考）过点作圆的两条切线，切点分别为和，则切点弦所在直线的方程为（    ） A． B． C． D． 【变式7-3】（22-23高二下·河南漯河·期末）设点P为直线l：上任意一点，过点P作圆O：的切线，切点分别为A，B，则直线AB必过定点（    ） A． B． C． D． 题型8：弦长问题 【例8】（25-26高二上·西藏拉萨·期末）已知直线与圆相交于两点，则 . 【变式8-1】（21-22高二上·河北唐山·期中）直线：被圆C：截得的弦长为 . 【变式8-2】（25-26高二上·湖北十堰·月考）设直线与圆相交于两点，且，则 ． 【变式8-3】（25-26高二上·陕西安康·期中）已知圆：与圆：交于，两点，若，则 . 题型9：面积问题 【例9】（25-26高二上·黑龙江大庆·期中）过原点的直线与圆交于，两点，设的面积为S，则S的最大值是 【变式9-1】（25-26高二上·江苏·期中）已知圆，以圆上任意一点为圆心，为半径的圆与圆： 交于，两点，则当最大时，的面积为 . 【变式9-2】（23-24高二下·陕西西安·期末）已知直线与交于，两点，则的面积为 . 【变式9-3】（23-24高二上·福建厦门·期中）已知直线与交于，两点，写出满足“面积为”的的一个值 . 题型10：圆与圆的位置关系 【例10】（25-26高二上·黑龙江哈尔滨·期末）圆与圆相交，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【变式10-1】（25-26高二上·贵州遵义·月考）已知圆，圆，则圆与圆的位置关系为（    ） A．外离 B．相交 C．外切 D．内含 【变式10-2】（25-26高二上·广西来宾·期中）已知圆：与圆（）内切，则（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式10-3】（25-26高二上·安徽·期中）若圆与圆外切，则为（    ） A．1 B．2 C．5 D．1或5 题型11：两圆的公共弦问题 【例11】（25-26高二上·河北邢台·期中）圆与圆的公共弦长为 ． 【变式11-1】（25-26高二上·贵州贵阳·期中）圆：与圆：相交于、两点，则两圆公共弦的长为 . 【变式11-2】（25-26高二上·广东·期中）圆与圆的公共弦所在直线的方程为 . 【变式11-3】（25-26高二上·江苏泰州·期中）圆与圆的公共弦所在的直线方程为 . 题型12：公切线问题 【例12】（25-26高二上·天津·期中）已知圆A：和圆B：有3条公共切线，则实数m的值是 . 【变式12-1】（25-26高二上·江西南昌·期中）若圆与圆（）有且仅有2条公切线，则的取值范围为 . 【变式12-2】（25-26高二上·江西宜春·期中）若圆与圆仅有一条公切线，则实数的值为 . 【变式12-3】（25-26高二上·江苏常州·期中）已知圆和圆，则圆与公切线段的长度为 . 题型13：阿氏圆问题 【例13】（24-25高二上·内蒙古赤峰·期末）阿波罗尼斯（约公元前262—190年）证明过这样一个命题：平面内到两定点距离之比为常数的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿氏圆.已知在中，，则的面积最大值为 . 【变式13-1】（24-25高二上·吉林·期末）古希腊几何学家阿波罗尼斯证明过这样一个命题：平面内到两定点的距离之比为定值的点的轨迹是圆，后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆.已知在平面直角坐标系中，，，动点满足，则动点的轨迹方程为 ；点为抛物线：上的动点，点在上的射影为，则的最小值为 . 【变式13-2】（23-24高二上·山东·月考）若A，B是平面内不同的两定点，动点满足（且），则点的轨迹是一个圆，这个轨迹最先由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，故被称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆．已知是圆上的动点，点，，则的最大值为 ． 【变式13-3】（24-25高二下·湖北荆州·开学考试）古希腊著名数学家阿波罗尼斯发现：已知平面内两个定点A、B及动点，若（且），则点的轨迹是圆．后来人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆（简称“阿氏圆”）．在平面直角坐标系中，已知，直线，直线，若为的交点，则的最小值为 ． 题型14：圆中的定点定值问题 【例14】（25-26高二上·山东潍坊·期中）设的圆心在直线上，且点和均在上. (1)求圆的标准方程； (2)若直线与圆相交于两点，且为等边三角形，求直线的方程； (3)已知点为圆上任意一点，试问在轴上是否存在定点（异于点），使得为定值？若存在，求点的坐标；若不存在，请说明理由. 【变式14-1】（25-26高二上·江苏扬州·期中）动点到点的距离是到点的距离的3倍，记动点的轨迹为曲线. (1)求曲线的方程； (2)直线与曲线交于，两点，，当面积最大时，求的值； (3)已知动点在直线上，过点作曲线的两条切线，，切点分别为，，直线是否过定点？如果是，求出定点坐标；如果不是，说明理由. 【变式14-2】（25-26高二上·广东·期中）已知一动点在圆上移动，它与定点连线的中点为. (1)求点的轨迹方程； (2)已知，，若的轨迹上存在两个不同的点，使得成立，求实数的取值范围. 【变式14-3】（25-26高二上·广东广州·期中）已知点为圆上的一个动点，点是点关于点的对称点. (1)求点的轨迹方程； (2)已知点，求的最大值； (3)若过点的直线与点的轨迹交于，两点，试问在轴上是否存在点，使恒为定值？若存在，求出点的坐标和定值；若不存在，请说明理由. 题型15：范围与最值问题 【例15】（多选题）（25-26高二上·山西晋中·期中）已知点是圆上的一个动点，过原点的动直线与圆交于，两点，则下列说法正确的是（    ） A．的最小值为 B．的最大值为 C．的最小值为2 D．的最大值为6 【变式15-1】（多选题）（22-23高二上·河北唐山·期中）已知实数x，y满足曲线C的方程，则下列说法正确的是（    ） A．的最大值为 B．的最大值为 C．的最大值为 D．曲线C上恒有四个点到直线的距离等于 【变式15-2】（多选题）（25-26高二上·安徽阜阳·期中）已知实数，满足，则下列结论正确的是（   ） A．圆的半径为2 B．的最大值为14 C．的取值范围为 D．的最小值为 【变式15-3】（多选题）（25-26高二上·江苏南通·期中）已知点，，动点满足，在圆上，则下列结论正确的是（    ） A．点的轨迹方程为 B．的最大值为6 C．的取值范围是 D．过点作圆的两条切线，切点分别为，，则存在点，使得 1．（25-26高二上·甘肃武威·期末）已知圆C：，定点，点A为圆C上任意一点，若点P满足，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 2．（25-26高二上·湖北·期中）已知圆，．若圆上存在点，使得，则的值可能为（　　） A．2 B． C． D．5 3．（25-26高二上·甘肃酒泉·期末）圆心为且与直线相切的圆的方程为（   ） A． B． C． D． 4．（25-26高三上·北京西城·月考）已知直线经过圆的圆心，则的最小值为（   ） A． B． C．0 D．1 5．（24-25高二上·陕西汉中·期末）已知点，点满足，则点到直线的距离的最大值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 6．（25-26高二上·江苏淮安·期中）已知为坐标原点，椭圆的下顶点为，动点满足，是上的动点，则的最大值为（   ） A． B． C． D．5 7．（25-26高二上·广东东莞·期中）已知圆，是圆上的动点，点，若动点满足，则点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 8．（24-25高二上·辽宁抚顺·期末）已知直线 与圆 相离，过直线上的点作圆的两条切线，切点为．若四边形的面积的最小值为9，则（    ） A．或 B．或7 C．或5 D．5或7 9．（多选题）（25-26高二上·甘肃兰州·期末）已知直线与圆，则下列说法正确的是（   ） A．直线恒过定点（2，1） B．圆的半径为2 C．存在实数，使得直线与圆相切 D．若，则直线被圆截得的弦长为2 10．（多选题）（25-26高二上·广东·期末）已知双曲线经过点，且右焦点为，的虚轴为线段，为上任意一点，平面内一动点满足，则（    ） A．的渐近线方程为 B．动点的轨迹与无公共点 C．的最大值为6 D．的最小值为 11．（多选题）（25-26高二上·贵州·期中）已知直线，圆，点为直线上一点，点为圆上一点，则下列选项正确的是（    ） A．直线恒过定点 B．若圆关于直线对称，则 C．若直线与圆相切，则 D．当时，取轴上一点，则的最小值为 12．（25-26高二上·甘肃酒泉·期末）已知点，点在圆上运动，则的取值范围是 . 13．（25-26高二上·云南昭通·期中）若圆上到直线（为实数）的距离为的点有且仅有2个，则的取值范围是 ． 14．（25-26高二上·广东·期中）已知，则的取值范围是 . 15．（25-26高二上·安徽合肥·期末）已知圆的圆心在坐标原点，且与直线相切． (1)过点作直线与圆相交，相交弦长为，求此直线的方程； (2)若与直线垂直的直线与圆交于不同的两点，，若为钝角，求直线的纵截距的取值范围． 16．（24-25高二上·天津北辰·期中）已知圆经过坐标原点，且圆心为. (1)求圆的标准方程； (2)已知直线与圆相交于，两点，求弦长的值； (3)过点引圆的切线，求切线的方程. 17．（25-26高二上·黑龙江哈尔滨·期末）（1）已知直线经过直线和的交点且与直线垂直，求直线的方程； （2）求圆关于直线对称的圆的方程. 18．（25-26高二上·甘肃兰州·期末）已知圆的圆心在直线上，过点的直线与圆相交于两点． (1)求圆的方程； (2)当时，求直线的方程； (3)若点，是否存在直线，使得向量与共线？如果存在，求出直线的方程；如果不存在，请说明理由． 19．（25-26高二上·甘肃兰州·期末）已知圆C经过点和，且圆心在直线上. (1)求圆C的方程； (2)过点作直线L与圆C交于两点，如果，求直线L的方程. 20．（25-26高二上·辽宁抚顺·期末）已知圆经过两点，且圆心在直线上. (1)求圆的方程； (2)已知圆，求圆与圆的公共弦的方程以及公共弦的长. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $