14.3 角平分线（讲义）数学新教材人教版八年级上册

本讲义聚焦“角平分线”核心知识点，系统梳理尺规作图（SSS全等原理）、性质定理（到两边距离相等）、判定定理（内部距离相等的点在平分线上）及三角形内心性质与面积比拓展，构建从操作到推理再到应用的完整知识支架。 资料亮点在于分层设计，含6类题型典例与变式，通过实际应用（如加油站选址）发展应用意识，强调易错点（垂直条件）培养推理能力，课中辅助教师针对性教学，课后助力学生查漏补缺，提升数学思维与表达能力。

可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 第十四章 全等三角形 14.3角平分线 课时目标 1.掌握角平分线的尺规作图方法，理解作图原理，能够独立完成角平分线的作图操作。 2.熟记角平分线的性质定理，会使用几何语言书写推理，能解决线段相等相关计算证 明。 课标要点 3.掌握角平分线的判定定理，分清性质与判定的因果关系，会判断点是否在角平分线 上。 4.了解三角形内心特点，掌握文字几何命题的证明步骤，会处理相关拓展结论。 重点： 1.角平分线的尺规作图，牢记作图步骤，理解利用SSS全等的作图原理。 2.角平分线的性质与判定定理，熟练运用定理完成几何证明与简单计算。 学习重难点 3.三角形内心的性质，理解角平分线分割三角形面积比的拓展结论。 难点： 1区分角平分线性质与判定，做题容易遗漏垂直、点在角内部等前提条件。 2综合运用角平分线知识，结合三角形，完成几何证明、面积比类题型。 清主线 课时内容导图 1/53 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 已知：∠AOB,求作角平分线 1.O为圆心画孤交OA、OB于M、N 尺规作角平分线 作图步骤 2.M、N为圆心，大于号MN画弧交于C 3.画射线OC即为平分线 原理：△OMC≌△ONC(SSS) 平分角：0C学分∠A0B→LA0C=∠B0C=号A0B 性质定理：角平分线上的点到角两边距离相等 角平分线的性质 几何语言：OC平分∠AOB.PD⊥OA,PE⊥OB→PD=PE 三角形内心：三条角平分线交点，到三边距离相等 拓展 角平分线分三角形面积比：AMDB=AB 角平分线 S△ADC AC 角平分线的 内容：角的内部到角两边距离相等的点，在角平分线上 判定定理 几何语言：点P在∠AOB内部，PD⊥OA,PE⊥OB,PD=PE,则P在角平分线上 1.分清命题的已知、求证 文字几何命题证明步骤 2.画图形，用符号写出已知、求证 3分析推理，书写完整证明过程 题型01利用角平分线性质求线段长度或周长 题型02利用角平分线性质解决面积问题 题型03角平分线在实际中的应用 常见题型 题型04角平分线的尺规作图问题 题型05角平分线的判定 题型06角平分线的性质和判定的综合 理新知 教材全盘梳理 。知识点一 角平分线的尺规作图 已知：∠AOB,求作：∠AOB的平分线。 1.以点O为圆心，适当长为半径画弧，交OA于点M,交OB于点N。 2分别以M、N为圆心，大于号MN的长为半径画弧，两弧在∠AOB内部交于点C, 3.画射线OC,射线OC就是∠AOB的平分线。 2/53 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 M B 作图原理证明：连接MC、NC。 由作图得：OM=ON,MC=NC,又OC=OC。 ∴.△OMC≈△ONC(SSS),∴.∠MOC=∠NOC,即OC平分∠AOB。 特别提醒 尺规作角平分线，第二步半径要求大于一MN。如果半径小于或等于之MN,两条圆弧不会在角内部相 交，无法完成作图。 。即学即练 1.如图，在△ABC中，∠B=40°，∠C=70°.以点A为圆心，适当长为半径作弧，交AB于点M,交AC 于点N;分别以M,N为圆心，大于MN的一半的长为半径作弧，两弧在∠BAC的内部相交于点P；作 射线AP,交BC于点D.则∠BAD=() A.35° B.40° C.105o D.115° 【答案】A 【详解】解：，在△ABC中，∠B=40°，∠C=70°， .∠BAC=180°-∠B-∠C=180°-40°-70°=70°， 由作图可知：AD平分∠BAC, :∠BAD=)∠BAC=)x70°=350 2 2.如图，在△ABC中，AB=BC.请用尺规作图法作∠ABC的平分线BD交边AC于点D(保留作图痕迹， 不写作法). 3/53 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【答案】如图，BD即为所作，（作法不唯一） D 【详解】略 《。知识点二 角平分线的性质 1.平分性质：若OC是∠A0B的平分线，则∠A0C=∠B0C=∠A0B。 2.角平分线的性质定理：角的平分线上的点到角的两边的距离相等。 D 0 E B 几何语言： :OC平分∠AOB,点P在OC上，PD⊥OA,PE⊥OB,垂足分别为D、E,.PD=PE 拓展： (1)三角形的三条角平分线交于三角形内部一点（内心)，该点到三角形三边的距离相等。反 之，三角形内部到三边距离相等的点是三条角平分线的交点。 4/53 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (2)三角形的角平分线分三角形所得两个小三角形，面积之比等于夹这个角的两条邻边之比。 若AD平分∠BAC,则 AADB=AB AADC F 特别提醒 使用角平分线性质定理，必须要有垂直条件。只说点在角平分线上，没有向两边作垂线，不能直接得 到线段相等，做题不要漏掉垂直这个前提。 ◇即学即练 3.如图，在△ABC中，∠C=90°，AD是∠BAC的平分线，若BC=5,BD=3,则点D到AB的距离是 () D B A.1 B.2 C.3 D.5 【答案】B 【详解】解：作DE⊥AB,如图所示： 5/53 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D B :∠C=90°，AD是∠BAC的平分线， .'DE=CD :BC=5,BD=3 ∴.DE=CD=BC-BD=2 ∴点D到AB的距离是2， 4.如图，在△ABC中，∠C=90°，BD平分∠ABC,若CD=3cm,AB=10cm,则△ABD的面积是 cm2 B D 【答案】15 【详解】解：如图，过D作DE⊥AB于点E, B ∠C=90°，BD平分∠ABC, .'DE =CD=3cm, AABD的面积是2A4B×DE=)×10x3=15(cm）. ◇知识点三角平分线的判定定理 角的内部到角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上。 6/53 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D D 0 E B 几何语言： '点P在∠AOB内部，PD⊥OA,PE⊥OB,垂足分别为D、E,且PD=PE, ∴.点P在∠AOB的平分线上。 《。即学即练 5.在∠AOB内部，将两个完全一样的含30°角的直角三角尺按如图所示的方式放置，连接OP,则可得到 OP平分∠AOB,判断依据是 B 【答案】在一个角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上 【详解】 解：两个完全一样的三角尺， .∠PCA=∠PDB=90°，且PC=PD, :根据角的平分线的判定定理：在一个角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上， ∴.OP平分∠AOB 6.如图，△ABC的外角∠DAC和∠ACE的平分线交于点P,PM⊥AD于点M,PN⊥CE于点N,判断点 P是否在∠ABC的平分线上，并说明理由. 7/53 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D M B E 【答案】解：点P在∠ABC的平分线上，理由如下： 如图，过点P作PF⊥AC于点F,连接PB, D M E :∠DAC和∠ACE的平分线交于点P,且PM⊥AD,PN⊥CE,PF⊥AC, ∴.PM=PF,PN=PF, .PM=PN, 又，点P在∠ABC的内部， ∴点P在∠ABC的平分线上 【分析】 【详解】解：略。 今知识点四 文字类几何命题的证明步骤 1.分清命题中的已知和求证： 2.根据题意画出几何图形，用符号语言写出已知、求证： 3.分析推理，写出完整的证明过程。 通题型 解题能力构建 8/53 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ◆题型01利用角平分线性质求线段长度或周长 醒题贴士 角平分线性质核心：角平分线上的点到角两边距离相等，做题要先找到角平分线上的点，向角的两边 作垂直辅助线。 得到两条垂线段相等，实现线段等量代换。求周长时，通过线段转化，把未知周长转化为已知线段的 和，注意不要遗漏题目中的垂直条件。 典例1精1析 【例1】如图，在△ABC中，∠ACB=9O°，AD平分∠BAC,DE⊥AB于点E,如果△BDE的周长为12cm, AC长为4cm,则△ABC的周长为cm. 【答案】20 【分析】 【详解】解：：AD平分∠BAC,∠ACB=90°，DE⊥AB, .'CD=ED. C.BDE DE+BD+BE=12cm. .'CD+BD+BE =12cm, 即BC+BE=12cm, ,在RtAACD和Rt△AED中 AD=AD CD=ED' ∴.RIAACD≌Rt△AED(直角三角形全等的判定定理)， .'AE=AC=4cm, .C.BC AC+BC+AB=AC+BC+BE+AE=4+12+4=20(cm) 故答案为：20 【例2】己知：如图，点P、D在∠AOB的平分线上，OA仁OB,PM⊥BD,PN⊥AD,垂足分别是点 M、N.求证： 9/53 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B M (I)∠BDO=∠ADO: (2)PM=PN 【答案】(I)略 (2)略 【分析】 【详解】(I)证明：点P、D在∠AOB的平分线上， .OD平分∠AOB, .∠BOD=∠AOD 在△BDO和△ADO中，OA=OB,∠BOD=∠AOD,OD=OD, ∴.△BDO≌△ADO(SAS) ∴∠BDO=∠ADO(全等三角形对应角相等)· (2)证明：由(1)知，∠BD0=∠AD0,即DP平分∠ADB, ∴.点P在∠ADB的平分线上， 又：PM⊥BD,PN⊥AD, ..PM=PN 变1式巩1固 【变式1-1】如图，在△ABC中，∠C=90,AD平分∠BAC交BC于点D,DE⊥AB,垂足为E,若 BC=4,DE=1.6,则BD的长为一· E B D 【答案】2.4 【详解】解：∠C=90°，AD平分∠BAC,DE1AB,DE=1.6, 10/53 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .CD=DE=1.6, :BC=4, ∴.BD=BC-CD=4-1.6=2.4. 【变式1-2】如图，在△ABC中，BD平分∠ABC,交AC于点D,DE⊥AB于点E,DF⊥BC于点F, AG是△ABC的高，交BC于点G.己知：DE=3,AB=6,BC=8. E B (I)求DF的长： (2)求AG的长. 【答案】(1)3 、21 ②4 【分析】 【详解】(I)解：：BD平分∠ABC,DE⊥AB于点E,DF⊥BC于点F,且DE=3, .DF=DE=3」 (2)解：：Sam=)AB-DE=)×6x3=9, 2 2 S.xo-BC-DF- 8x3=12, .S.ABC=S.4BD+SBCD =9+12=21. 又，AG是△ABC的高， 5版号8cA4G=21, 即2×8AG=21, 解得AG=2 4· 【变式1-3】如图所示，△ABC中，∠C=90°，AC=BC,AD平分∠CAB交BC于D,DE⊥AB于E,若 AB=6Cm,求△DEB的周长 11/53 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A E B 【答案】6cm 【详解】解：AD平分∠CAB,∠C=90(DC⊥AC),DE⊥AB, ∴.CD=DE 在RI△ACD和Rt△AED中： AD=AD CD=DE' ∴.Rt△ACD≌Rt△AED(HL). .AC=AE 又AC=BC, ∴.BC=AE △DEB的周长：CDEB=DE+DB+BE =CD+DB+BE =BC+BE =AE+BE =AB =6cm. 。题型02利用角平分线性质解决面积问题 解题贴士 角平分线可以得到点到两边距离相等，以此作为三角形的高，结合三角形面积公式进行计算。 三角形角平分线分出来的两个小三角形，面积之比等于两条邻边之比。解题优先使用这个拓展结论， 减少计算量，注意该结论只适用于角平分线，不能乱用在普通线段上。 典1例1精1析 【例3】如图，I是△ABC三条角平分线的交点，△ABI的面积记为S,△ACI的面积记为S2,△BCI的面 积记为S,且S,=6,则S+S2的值可能为() 12/53 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 S B S A.4 B.5 C.6 D.8 【答案】D 【分析】 【详解】解：，I是△ABC三条角平分线的交点， :.△ABI、△ACI和△BCI的边AB,AC,BC上的高相等，设这个相等的高长为h, ,△ABI的面积记为S,△ACI的面积记为S2,△BCI的面积记为S, :8=B,8=4C,=Bc B-分.4c-2空，c=2器 h h 由三角形三边关系得AB+AC>BC, 29+2>29 分+h>h S+S2>S3, 又S=6 .S+S2>6 S+S2可能的值为8， 选项D符合题意，选项A、B、C不符合题意. 故选：D 【例4】如图，△ABC中，AD是∠BAC的平分线，BE是△ABD边AD上的中线，若△ABC的面积是24， AB=5,AC=3,则△ABE的面积是 5 【答案】2 13/53 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【详解】解：如图，过点D分别作AB、AC的垂线，垂足为F、G, O :AD是∠BAC的平分线，且DF⊥AB,DG⊥AC, .'.DF =DG. SA二 AB·DF 2 5 = AC·DG 3 2 ,:BE是△ABD边AD上的中线， 1 15 ∴.SAMm= 25%m=2 变|式巩固 【变式2-1】如图，在△ABC中，E为AC的中点，AD平分∠BAC,BM:CA=3:4,AD与BE交于点O,若 aOAE的面积比aOBD的面积大I,则△ABC的面积是 E D B 【答案】14 【详解】解：：AD平分∠BAC, ∴点D到AC的距离和点D到AB的距离相等， ..S.ACD S.ARD=AC:AB=4:3, 设SAcD=4x,SABD=3x, S.ABC =S.4CD+S.4D=3x+4x=7x, :点E为AC的中点， 1 7 2 2* ∴SME=S,BC=)SAc= 14/53 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 AC:AB=4:3, :4C:AB=2:3, 2 :点E为AC的中点， .EC AE:AB=2:3, S.oE S.0=AE:AB=2:3, 277 3721 .a-×2=5,am-3*2=10, 219 ..S.OBD =SABD-S4OB=3x- 1010, -X= 若△OAE的面积比△OBD的面积大1， 79 5x-1 x=1, 解得：x=2, .SMBc=7x=7×2=14 故答案为：14. 【变式2-2】如图，AD是△ABC的角平分线，BE是△ABD边AD上的中线，若△ABC的面积是8，AB=6, AC=3,则△ABE的面积是 B 【答案】3 【详解】解：如图所示，过点D作DF⊥AB于F,过点D作DG⊥AC于G, D :AD是△ABC的角平分线， .DF DG. AB=6,AC=3, 15/53 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ABDE SABD二 AB_6=2, ACDG AC 37 2 :△ABC的面积是8 *816 2 .SAABD= 3 3 3 BE是△ABD边AD上的中线， 1 . 1.168 233 8 故答案为：3· 【变式2-3】如图，在△ABC中，E为AC的中点，AD平分∠BAC,BA:CA=2:3,AD与BE相交于点 O,若△OAE的面积比△BOD的面积大1，则△ABC的面积是多少？ B D 【答案】10 【分析】 【详解】解：如图所示，作DM⊥AC于M,DN⊥AB于N, D C :AD平分∠BAC,DM⊥AC于M,DN⊥AB于N, ∴.DM=DN, SmSa-AB-DN:AC.DM=AB:AC=2:3. 2 3 设AABC的面积为S.则Sc=号S,S.c=2S, S ,AOAE的面积比△BOD的面积大1， 16/53 耐学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∴.△ADC的面积比△BEC的面积大1， 3 1 S=1, 2 .S=10 ◆题型03角平分线在实际中的应用 典例1精」析 【例5】如图，三条相互交叉的公路，现在要建一个加油站，要求它到三条公路的距离相等，则可以供选 择的地址有() A.1处 B.2处 C.3处 D.4处 【答案】D 【详解】解：三条直线两两相交围成一个三角形： ,角平分线上的点到角两边的距离相等， ∴到三条直线距离相等的点必在角的平分线上，三角形内部有一个点，即三条内角平分线的交点？：三角 形外部有三个点，即两条外角平分线与一条内角平分线的交点B,?,?: ● P ∴共有1+3=4处可供选择的地址 【例6】如图1，这是一个平板电脑支架，图2是其侧面结构示意图，现量得AB=12cm,C恰好是AB的中 点.当CD L AB,且射线DB恰好是∠CDE的平分线时，此时点B到直线DE的距离是() 17/53 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 图1 图2 A.4cm B.6cm C.8cm D.12cm 【答案】B 【分析】 【详解】解：如图：过点B作BF⊥DE,垂足为点F, A B .C是 的中点， FE AB AB=12cm .BC=4B =6cm :CD⊥AB,BF⊥DE,射线DB是∠CDE的平分线， ∴.BF=BC=6cm 故选：B 变式巩固 【变式3-1】青山村计划在一块周长为60m的三角形闲置土地上挖一口水井，使得水井到土地边沿的距离 相等，已知这块土地的面积是600m,那么这口水井到士地边沿的距离是() A.5m B.10m c.20m D.30m 【答案】C 【详解】解：三角形闲置土地如图所示， p 由题意，设点P到AB,BC,AC的距离为h, S.ABC=SAP+S.ncP+SAcP, 18/53 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 :600-Bh+8c-h+号4C-h=B+Bc+4C). 2 又：△ABC的周长为60m,即AB+BC+AC=60, 60-0x60, .h=20 即这口水井到土地边沿的距离是20m, 故选：C 【变式3-2】计划在滹沱河某个绿化区增设3条漫步小路，小路MW∥P吧，小路AB与M,P吧均相交. 若要在小路MN上修建一个凉亭O,使其到小路AB,P№的距离相等，关于如图所示的甲、乙两个方案， 下列判断正确的是() B B 甲方案 乙方案 A.只有甲对 B.只有乙对 C.甲、乙均对 D.甲、乙均不对 【答案】B 【详解】解：甲方案：O在AB的垂直平分线上，O到A、B的距离相等，O不一定到AB和PQ的距离相等， 乙方案：OB平分∠AB,由角平分线的性质定理得到O到小路AB,P巴的距离相等. .甲、乙两个方案，只有乙对. 故选：B. 【变式3-3】如图，三角形地块ABC中，边AB=4Om,AC=30m,其中绿化带AD是该三角形地块的角 平分线.若三角形地块ABD的面积为320m,则三角形地块ACD的面积为() A.120m2 B.240m2 C.400m2 D.560m2 19/53 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【答案】B 【详解】解：过D分别作DE⊥AB于E,DF⊥AC于F, :AD是∠BAC的平分线， :DE DF, :AB=40m,△ABD的面积为320m2, DE=DF=2×320 16(m), 40 △ACD的面积=2 C-DF=x30×16=240(m2), 2 故选：B D 【点睛】本题主要考查了角平分线的性质，三角形的面积公式，根据角平分线的性质证得DE=DF是解决 问题的关键 题型04角平分线的尺规作图问题 典1例1精析 【例7】校园一角的形状如图所示，其中AB,BC,CD表示围墙.现要修建一个垃圾投放点P,使得点 P到三面墙的距离都相等，请确定点P的位置， C 【答案】 点P如图所示 20/53 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D 【详解】解：作∠ABC的角平分线，再作∠BCD的角平分线， 两条角平分线在图中围成区域内的交点就是满足条件的点P, 理由：，点P在∠ABC的平分线上， ∴.P到AB、BC距离相等： 又，点P同时在∠BCD的平分线上， ∴.P到BC、CD距离相等： ∴.P到AB、BC、CD距离相等； 最终就是点P到三面墙的距离都相等，符合要求， 【例8】如图，点O在直线AB上，在AB上方作射线OC,∠BOC=110°.请你用尺规作图法在∠COB内部 作射线OD,使得∠COD=55°.（不写作法，保留作图痕迹） A B 【答案】 A B 【详解】略 变式巩固 【变式4-1】如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，以顶点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交AC,AB于 点M,N,再分别以点M,N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧交于点P,作射线AP交边BC于点 D,点E在AB上.若AC=7,CD=3,AB=9,当DE长度最小时，△BDE的面积是() 21/53 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 M E B A.1 B.2 C.3 D.6 【答案】C 【详解】解：由垂线段最短可知，当DE⊥AB时，DE长度最小， 、M N 由作图过程可知AD平分∠BAC, :∠C=90°，CD=3, .DE=CD=3. :AD=AD, .RtAACD≌Rt△AED(HL)」 .AE=AC=7, .BE=AB-AE=9-7=2, 六△BDE的面积是BE-DE=)×2x3=3 2 【变式4-2】如图，∠ACD是△ABC的外角，请用尺规作图法在∠ACD内部求作射线CP,使得 ∠DCP=(4+∠B).(不写作法，保里作图痕迹) D 【答案】 22/53 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【详解】解：，∠ACD是△ABC的外角， ∴.∠ACD=∠A+∠B, C-(). ∴.∠DCP= ∠ACD, ∴.CP是∠ACD的平分线 如图，作∠ACD的平分线CP,射线CP即为所求. P D 【变式4-3】如图，已知AB‖CD,直线EF分别与AB,CD相交于点E,F.请用尺规作图的方法过点 P作P·使得∠PFD-L4.(保留作图痕迹，不号作法) E -B 【答案】 <P C 【详解】略。 23/53 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 >题型05角平分线的判定 醒题贴士 判定定理：角的内部到角两边距离相等的点，在角平分线上。必须同时满足两个条件：点在角内部、 垂线段长度相等。 做题一定要具备垂直条件，没有垂直不能直接判定角平分线。几何书写时，要写全垂直、距离相等， 再推出点在角平分线上，避免逻辑漏洞。 典例精1析 【例9】如图，已知AD∥BC,∠B=∠C,求证：AD平分∠EAC 证明：AD∥BC .∠2=∠ () ∠1=∠ 又∠B=∠C .∠1=∠ .AD平分∠EAC 【答案】C;两直线平行，内错角相等；B;两直线平行，同位角相等；2： 【详解】证明：：AD∥BC, ∴.∠2=∠C(两直线平行，内错角相等) ∠1=∠B(两直线平行，同位角相等) 又∠B=∠C, .∠1=∠2， ∴AD平分∠EAC. 【例1O】如图，在△ACE中，∠E=90°，点B在边AE上，点D在边CE上，连接AD、BD,过点D作 DF⊥AC于点F,BE=CF,DB=DC.求证：AD是∠BAC的平分线， 24/53 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 E 【答案】证明：：∠E=90°，DF⊥AC, ∴.∠E=∠CFD=90°」 ..BE=CF,DB=DC, ..RtABDESRtACDF(HL). .DE=DF, ∴.AD是∠BAC的平分线. 【详解】略 变式巩1固 【变式5-1】如图，BP为∠MBN的平分线，点A、C分别在MB、BN上，连接AC、AP,AP恰为 ∠MAC的平分线，过P作PE⊥BM于E,PF⊥AC于F,PG⊥BN于G.求证：点P在∠ACN的平分线 上 M G N 【答案】证明：·BP为∠MBN的平分线，AP恰为∠MAC的平分线， ∴.PE=PG,PE=PF, .PF=PG :PF⊥AC,PG⊥BN, ∴.点P在∠ACN的平分线上. 【详解】略 【变式5-2】如图，AD是△ABC的中线，DF⊥AC,DE1AB,垂足分别为P,E,BE=CF,求证：AD 平分∠BAC 25/53 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 F B 【答案】 证明：：AD是△ABC的中线， .BD=CD :DF⊥AC,DE⊥AB. ∴.∠DEB=∠DFC=90°， 在RtoBDE和RtACDF中， BD=CD BE=CF' ∴.RtABDE≌RtACDF(HL), ..DE =DF, :DE⊥AB,DF⊥AC,且DE=DF, ∴.点D在∠BAC的平分线上， 即AD平分∠BAC」 【详解】略 【变式5-3】已知：如图，在△ABC中，角平分线BM与角平分线CN相交于点P.求证：∠A的平分线经 过点P B 【答案】证明：过点P分别作PD⊥AB,PE⊥BC,PF⊥AC, 26/53 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 N 的角平分线， .·BM △ABC ∴PD=PE(角平分线上的点到这个角的两边的距离相等)· 同理，PE=PF ∴.PD=PE=PF」 ∴·点P在∠A的平分线上（在一个角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上），即∠A的平 分线经过点P 【详解】略 >题型06角平分线的性质和判定的综合 典例精析 【例I1】如图，在△ABC中，∠ABC的平分线与∠ACD的平分线交于点E,连接AE,如果要求出∠CAE 的度数，只需知道下列哪个角的度数() E A.∠ABC B.∠ACB C.∠BAC D.∠AEC 【答案】C 【详解】解：过点E作EF⊥AB交BA的延长线于点F,EG L AC交AC于点G,EH⊥BC交BC的延长 线于点H, 平分 D H BE ∠ABC EF⊥AB EH⊥BC .EF=EH. 27/53 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 :CE平分∠ACD,EG⊥AC,EH⊥BC(D、B、C共线)， .EG=EH ..EF=EG EF⊥AB,EG⊥AC ∴.AE平分∠FAG C4EFAG=180-∠B 2 ∴只要求出∠CAE的度数，只需知道∠BAC的度数.故选C 【例12】如图，已知点O是△ABC内一点，且点O到△ABC三边的距离相等. B )求证：∠B0C=90+)∠BAC: (2)若△ABC的周长为12，面积为18，求点O到△ABC三边的距离. 【答案】(1)见解析 (2)3 【分析】 【详解】(1)证明：过点O分别作OD⊥AC于点D,OE⊥AB于点E,OF1BC于点F,如图. E 、O OE=OF,∴BO平分∠ABC, ∴.∠ABC=2LOBC, .OD=OF .CO平分∠ACB, ∴.∠ACB=2∠OCB .·∠ABC+∠ACB=180°-∠BAC. .2∠OBC+2∠OCB=180°-∠BAC, 28/53 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ·∠OBC+LOCB=90-∠BAC 2 ∴.∠BOC=180°-（∠OBC+∠OCB) =180°- 90-ZBAC =90+2BAC. (2)解：连接OA,如图. A 根据腿意，得SC=Sm+Saw+Sm×ABx0E+xBCx0F+分×4Cx0D 2 21 -x(B+BC+AC)xOD. AB+BC+AC=12,S.ARC=18. X12x0D=18 .OD=3」 ∴.点O到△ABC三边的距离为3. 变|式巩固 【变式6-1】如图，四边形ABDC中，∠DAB=∠DAC=20°，∠ABD=1I4°，∠CBD=66°，则∠BCD的度 数为() D B A.40° B.44° C.46° D.48° 【答案】B 【详解】解：如图，作DE⊥AB于E,DF⊥AC于F,DG⊥BC于G, 29/53 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 C D G B :∠DAB=∠DAC=20°. ∴.AD平分∠BAC :DE⊥AB,DF⊥AC, :DF=DE. .∠ABD=114°， :.∠EBD=180°-∠ABD=66°， ∴.∠EBD=∠CBD、 .BD平分∠CBE, :DE⊥AB,DG⊥BC, .DG=DE, ..DG=DF, :DF⊥AC,DG⊥BC, ∴.CD平分∠BCF, ZBCD=3∠BC, :∠DAB=∠DAC=20°，∠ABD=114°，∠CBD=66°， :.∠BAC=∠DAB+∠DAC=40°，∠ABC=∠ABD-∠CBD=114°-66°=48°， :.∠BCF=∠BAC+∠ABC=40°+48°=88°， :∠BCD=∠BCF=440 【变式6-2】己知△ABC中，BE平分∠ABC,BE交AC于点E,CD平分∠ACB,交AB于点D,BE与 CD交于点O 图1 图2 30/53 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (①如图1.求证：∠B0C=90+)∠BMC, (2)如图2，连接OA,求证：OA平分∠BAC 【答案】(I)证明：~BE平分∠ABC,CD平分∠ACB, 设∠AE=∠CBE-ABc=a,AcD=∠CD-4c8=R, 2 .∠BAC=180°-∠ABC-∠ACB=180°-2a-2B,∠B0C=180°-∠CB0-∠BC0=180°-a-B, ∠B0C=90+22BMC: (②)证明：过O作OF⊥AB于点F,作OG⊥BC于点G,作OH⊥AC于点H, A D 0 平分 G 图2 BE ∠ABC ∴.OF=0G, :CD平分∠ACB, :.0G=OH, :.OF =OH. ∴.OA平分∠BAC. 【分析】 【详解】(1)略 (2)略 【变式6-3】如图，△ABC的外角∠CBD,∠BCH的平分线BP,CP相交于点F. 0 E C (I)求证：PE=PF; (2)连接AP,若∠PAH=18°，求∠BPC的度数. 31/53 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【答案】(1) 证明：过P作PG⊥BC于G,如图所示： D E B GH H :PB平分∠CBD,PE⊥BD, .PE=PG. 同理：PF=PG, ∴.PE=PF: (2)72° 【分析】 【详解】(1)略： (2)解：如图， D E B G F H :PE⊥AD,PF⊥AC,PE=PF, ∴，AP平分∠BAC, .∠BAC=2∠PAH=36°， .∴∠ABC+∠ACB=180°-∠BAC=144° :CP平分LBCH,BP平分LCBD, ∴∠BcP-BCH,∠CBP=∠CBD, ∠BCP+∠CBP=(∠BCH+∠CBD)=I80°-∠ABC)+(I80P-∠ACB]=360°-（∠ABC+∠ACB]=108 :.∠BPC=180°-(LBCP+∠CBP）=72°. 32/53 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 刷好题 课时巩固精炼 ©基础通关 一、单选题 1.运城某社区被学苑路AB、禹都大道AC、条山街BC三条道路合围而成.随着电动车辆增多，社区打 算增设便民电动车集中充电点，规范充电秩序、消除安全隐患.现要求充电点选址到三条道路的距离均相 等，则该充电点应该建在△ABC() A.三个角的平分线的交点处 B.三条中线的交点处 C.三条边的垂直平分线的交点处 D.三条高线的交点处 【答案】A 【详解】解：充电点到三条路的距离相等， ∴.充电点应该建在△ABC三个角的角平分线的交点处， 故选：A, 2.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC,若CD=3,则点D到AB的距离为（） B D A.4.5 B.4 C.3.5 D.3 【答案】D 【详解】解：过点D作DE⊥AB,交AB于点E, :AD平分∠BAC,∠C=∠AED=90°， .DE CD=3. 33/53 面学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 所以点D到AB的距离是3， A E B D 3.如图，在△ABC中，∠C=90°，AD是角平分线，若CD=4,AB=9,则△ABD的面积为() C A A.13 B.26 C.36 D.18 【答案】D 【详解】解：过点D作DE L AB于点E,如图所示： D B :AD是∠BAC的角平分线，∠C=90°，DE L AB, .DE=CD=4. 六B0的面积-方1x05=9x4=18 4.如图，为了作出∠AOB的角平分线，小明利用尺规进行了如下操作：以点O为圆心，任意长度为半径 画弧分别交OA'OB于点C,D'再分别以C,D为圆心，大于2CD的长度为半径画弧，两弧在∠4OB 内部交于点E,连接OE并延长，射线OE则为∠AOB的角平分线.小明说，可以通过判定 △OCE≌△ODE得到对应角相等来证明射线OE是∠AOB的角平分线，他使用的全等判定方法是() 34/53 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B A.斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等 B.两条边及其夹角相等的两个三角形全等 C.两角及其夹边对应相等的两个三角形全等 D.三条边分别相等的两个三角形全等 【答案】D 【详解】如图： B 由作图步骤可知OC=OD,CE=DE 在△OCE和△ODE中， OC=OD .CE=DE OE=OE ∴.△OCE≌aODE(SSS) ·使用的全等判定方法是三条边分别相等的两个三角形全等， 5.如图，△ABC中，∠CAB和∠CBA的角平分线交于点P,若AB:BC:AC=5:4:3,则△PAB、△PBC、 △PAC的面积之比为() P B A.3:4:5 B.5:4:3 C.25:16:9 D.9:16:25 【答案】B 35/53 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【详解】解：过P点作PD⊥AB于D,PE⊥BC于E,PF⊥AC于F,如图， B 设△PAB、△PBC、△PAC的面积分别为S、S2、S, :∠CAB和∠CBA的角平分线交于点P, .PD=PF,PD=PE(角平分线的性质)， ∴.PD=PE=PF, 设PD=PE=PF=t, ·根据三角形的面积公式得， S=IPD-AB=14B 2 2 5-PE-DC-BC 2 AC 2 AB:BC:AC=5:4:3. ∴.△PAB、△PBC、△PAC的面积之比为5：4：3， 6.如图，在Rt△ABC中，∠ACB兰90°，以点A为圆心，小于AC长为半径画弧分别交AC、AB于点P、 Q,又分别以pQ为圆心，大于2P吧为半径画弧交于点M,连接AM交BC于点D.已知AB=5” CD=2,则△ABD的面积是() B M A.2 B.3 C.4 D.5 【答案】D 36/53 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【详解】解：由作图痕迹可知，AD是∠BAC的角平分线， 过点D作DE⊥AB于点E, B :∠ACB=90°，即DC⊥AC, .DE CD=2. .S.ABD2 AB.DEs ×5×2=5 21 二、填空题 7.如图，已知∠AOB,以点O为圆心，任意长度为半径画弧，分别交OA、OB于点E、F,再以点E为圆 心，EF的长为半径画弧，交前弧于点D,画射线OD.若∠AOB=28°，则∠AOD的度数为 F 【答案】28°/28度 【详解】解：如图，连接DE,EF,通过尺规作图可知， F BOD=OF,DE=EF 又OE=OE ·.aDOE≌aEOF(SSS). .∠AOD=∠AOB=28 8.如图，在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC,交BC于点D,若DC=3,AB=10,则△ADB的面 37/53 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 积为 【答案】15 【详解】解：如图，过D作DK⊥AB于K, B :AD平分∠BAC,∠C=90°，DK⊥AB, .'DK=DC=3, AB=10 AMDB的面积为)4B-DK=x10×3=15. 9.如图，在△ABC中，AD为△BAC的平分线，DE⊥AB于E,DF⊥AC于F,△ABC的面积是30， AB=12,AC=10,则DE= B 0 【容192 【详解】：AD为△BAC的平分线，DE⊥AB,，DF⊥AC, :.DE DF, :△ABC面积是30， :4B.DE+4C-DF=30. 1 2 38/53 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 即2×I2DE+)x10DE=30, 解得DE=30 11· 三、解答题 10.如图，已知△ABC,请你用尺规作图法作△ABC的角平分线AD.(不写作法，保留作图痕迹) 【答案】如图所示，射线AD即为所求， M D B 【详解】略. 1L.如图，DE平分∠ADC交BC于点E,∠CDE=∠CED,求证：ADI‖BC, D B E 【答案】 证明：DE平分∠ADC, ∴.∠ADE=∠CDE, .∠CDE=∠CED, .∠ADE=∠CED .ADI BC 【详解】略 12.如图，DE⊥AB于点E,DF⊥AC于点F.若BD=CD,BE=CF 39/53 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B (I)求证：AD平分∠BAC (2)已知AB=10,CF=2,求AC的长. 【答案】(1)见解析： (2)14. 【分析】 【详解】(I)证明：，DE⊥AB,DF⊥AC, ∴.∠E=∠DFC=90°， 在Rt△BDE与RtACDF中， BD=CD BE=CF· :.Rt△BDE≌Rt△CDF(HL), ∴DE=DF, 又：DE⊥AB,DF⊥AC, .AD平分∠BAC: (2)解：BE=CF-2, AE=AB+BE=10+2=12, 在Rt△ADE与Rt△ADF中， AD=AD DE=DF· :.Rt△ADE≌Rt△ADF(HL). .AF=AE=12, .AC=AF+CF=12+2=14 ©素养提升 1.如图，OC是∠AOB的平分线，点D,E分别是OC,OB上的动点，OA=4,当△AOD的面积是6时， 40/53 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 线段DE的长不可能为() E A.4.5 B.4 C.3 D.2 【答案】D 【详解】解：过点D作DM⊥OA于M, -B E :SA0D=6,0A=4, 六2 XOAxDM=6. 1 ×4×DM=6, .2 2DM=6」 .DM=3, :OC平分∠AOB,DM⊥OA, ∴点D到OB的垂线段长度等于3， 垂线段最短， DE≥3， ∴.DE的长可能为4.5、4、3，DE的长不可能为2. 2.如图，直线AB,CD被直线EF所截，交点分别是E,F,己知AB∥CD,∠BEF与LDFE的角平分 线相交于点R,∠BER与LDFR的角平分线相交于点B,∠BE与∠DF?的角平分线相交于点B,,按 此规律依次进行，则∠P2026的度数是（) 41/53 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A E B 7P >P3 D 90° 90° 180° D. 180° A.2026 B.2025 C.26 22025 【答案】C 【详解】解：，AB∥CD, .∠BEF+∠DFE=180°， :∠BEF与∠DFE的角平分线相交于点， :.∠BER=∠FER=)∠BEF,∠DFR=∠EFPR=)∠DFE, 2 如图所示，过点？作M∥AB E B M C IF D AB∥PM∥CD :.∠BER=∠ERM,∠DFR=∠FPM, :∠ERF=∠EPM+∠FPM. :∠ERF=∠BER+∠DFR=,∠BEF+,∠DFE=(∠BEF+∠DFE)=)x180°=90， 2 过点B作NI‖AB, .AB∥PN∥CD :∠BE配与∠DFR的角平分线相交于点B,AB∥BN∥CD, EN=BR-号BR-×BED,mN=∠DR-号DFR=方nE 22 :∠BBF=∠B3N+∠RN-(BEr+∠DFE)=7xI80, 22 同里，2R=分BF+DPA)-1w0, 42/53 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 依此类推，∠Pn 2×180°=180 2, ∴.∠P2026= 22026×180°=1800 22026. 3.如图，在四边形ABCD中，AB∥CD,BP,CP分别平分∠ABC,∠DCB,过点P作EF⊥AB,分别 交AB,CD于点E,F.若BC=6,△BCP的面积为12，则EF的长为() B EA A.8 B.10 C.12 D.18 【答案】A 【详解】解：如图，过点P作PH⊥BC于H, B :AB∥CD,EF⊥AB, ∴.EF⊥CD :BP,CP分别平分∠ABC,∠DCB, ∴PH=PE,PH=PF, ,aBCP的面积为12，BC=6, )BCPH=I2。即×6xPH-2 .PH=4, ∴.PH=PE=PF=4, .EF=PE+PF=4+4=8 4.如图，在△ABC中，BD是角平分线，AE是中线，AE交BD于点F.若AB=6,BC=4,△ABC的面 积为8，则△ABF的面积为 43/53 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 E 【答案】3 【详解】解：：AE是中线，BC=4, 1 .BE=EC=BC=2. :△ABC的面积为8， S睡7=4 过点F作FM⊥BC于点M,过点F作FN⊥AB于点N,如图， D B EM BD是角平分线， .FM=FN, S.ABF= BFN.S. 1 EB-FM:AB=6 1 SABE AB.FN AB3, 1EB-FM EB 则SAr=3Sr, :SMBs=SMBr+S附r=3S贴r+SB附r=4, ∴S△B=1. 则SMBr=3SABF=3 5.如图，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AC,垂足为E,DF=DC,△ADE和△ADF的面积分别为S 和S2,则△CDE的面积用含S和S2的代数式表示为 44/53 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【答案】S2-S/-S+S2 【详解】解：如图：过D作DG⊥AB于G, G B :AD是△ABC的角平分线，DE⊥AC, .DE=DG,∠FGD=∠DEC=90°， .DF=DC, :.△FGD≌aCED(HL) S.CDE=SDEG DE=DG,AD=AD, .△ADG≌aADE(HL). SAADG SAADE: SACDE =SDFG=S.ADF-S.4DG=S.4DF-S4DE=S2-S1. 6.如图，D、E、F分别是△ABC三边上的点，AD平分∠BAC,CE=BF,∠BFD+∠C=180°，E是AC 的中点，若aDCE的面积为3cm,则△ABC的面积为一： B D 【答案】15cm2 【详解】解：如图：过点D分别作DG⊥AC于G,DH⊥AB于H, 45/53 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 H C D :AD平分∠BAC, .DG=DH,∠FAD=∠CAD. S.ow=xBFxDH,S.nc=7xCExDG,CE=BF 2 .S.DBF =SADCE=3. :E是AC的中点， 、.SaMc=2SnE=6, .:∠BFD+∠C=180°，∠BFD+∠AFD=180°， ∴∠AFD=∠C, AD=AD, .△ADF≌aADC(AAS), .S4DF=SADC=6, ∴.△ABC的面积为S。MDF+SADC+SDF=6+6+3=15 7.如图，在△ABC中，BD平分∠ABC,AB:BC=2:3,点E为BC上一点，连接AE交BD于点F,若 AF=2EF,且△ADF的面积比△BEF的面积大3，则四边形CDFE的面积为. F B E 【答案】22 【详解】解：：AF=2EF, ∴设SABFE=x,则S△AB=2x, 如图，连接CF, 46/53 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D ,BD平分∠ABC,AB:BC=2:3, 由角平分线的性质可知，点D到AB和到BC的距离相等，设距离为h, h:AB AB 2 S.DBC 、h-BC BC3, 1 同理可得：SMr:SBCF=2:3，SAADE:Scr=2:3, ∴SBCF=3x」 SABFE =X, .SACEF =2x .SAAFC =2SACEF =4x :S△ADr+SACDF=S△ArC=4x,S△MDr:Scpr=2:3, 8 12 aMr-，Sam=5, ,△ADF的面积比△BEF的面积大3， 、.x+3=亏， 8 解得：x=5, 12. STMMOODEE =SACDE +SACFE=5x+2x==22 5 8.如图，两个等腰直角三角形ADC与EDG,连接AG,CE相交于点H.求证： (1)AG=CE: 47/53 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (2)∠EHG=90°： (3)连接HD,求证HD平分∠AHE. 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】 【详解】(1)证明：，两个等腰直角三角形ADC与EDG, :.AD=CD,GD=ED,∠ADC=∠GDE=90°， ∴.∠ADC+∠CDG=∠GDE+∠CDG, 即∠ADG=LCDE, 在△ADG和△CDE中， AD=CD ∠ADG=∠CDE DG=DE .△ADG≌aCDE(SAS). ..AG=CE (2)证明：如图，设CE,DG的交点为K, △ADG≌ACDE」 .∠AGD=LCED ·∠HKG=∠DKE,∠EDG=90°， ∴.∠EHG=∠EDG=90°： (3)解：作D⊥AG于N,D)⊥CE于J,如图所示： 48/53 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ·△ADG≌aCDE, ..SADG =SACDE,AG=CE, GxDN-CExD/ 1 ..DN=DJ, ∴.HD平分∠AHE. 迁移创新 1.如图，在△ABC中，∠BAC和∠ABC的平分线相交于点O,过点O作EF∥AB交BC于F,交AC于E, 过点O作OD⊥BC于D,下列四个结论中错误的是() D A408=90+号C B.当∠C=90°时，E,F分别是AC,BC的中点 C.AE+BF=EF D.若OD=a,CE+CF=2b,则SAcr=ab 【答案】B 【详解】解：在△ABC中，∠BAC+∠ABC=180°-∠C, :∠BAC和∠ABC的平分线相交于点O, ∴∠0MB=5BAC∠0BA=ABc 49/53 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 20MB+∠0A=BMC+ABc=uB4C+∠MBC)=p-C, 在A40B中，∠408=180-(2018+∠0B4=180-(90-∠C-0+C,放A正箱：不符合思意 :在△ABC中，∠BAC和∠ABC的平分线相交于点O, .∠OBC=∠OBA,∠OAE=∠OAB :EF∥AB, ∴.∠OBA=∠BOF,∠BAO=∠AOE. .∠BOF=∠FBO,∠OAE=∠AOE, ..FB=FO,EO=EA. :.EF=OE+OF=BF+AE,故选项C正确，不符合题意： 当∠C=9O°时，在aCEF中，EF<CF+CE,即AE+BF<CF+CE, 、.AE-CE<CF-BF,即AE-CE=0和CF-BF=O不能同时成立， ∴.E,F不是AC,BC的中点，即选项B错误； :∠BAC和∠ABC的平分线相交于点O, ∴.O在∠ACB的平分线上， ∴.点O到AC的距离等于OD, Sam(CE+CF)-0D-×2ba=ab,故选项D正确，不符合腿意 2.如图，分别以△ABC的边AB,AC为直角边，向外作等腰直角三角形ABD,ACE,连接BE,CD, BE,CD交于点F,连接AF.下列结论中不一定成立的是() 50/53 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D A.∠DAF=∠DCA B.∠EFC=90° C.FA平分∠BFC D.BE=CD 【答案】A 【详解】解：由题意得AB=AD,AC=AE,∠BAD=∠CAE=90°， .∠BAD+∠BAC=∠CAE+∠BAC,即∠DAC=∠BAE, AD=AB 在△DAC和△BAE中， ∠DAC=∠BAE, AC=AE 、.△DAC≌aBAE(SAS), ∴CD=BE,故D成立，不符合题意： :△DAC≌△BAE, ∴.∠ADC=∠ABE, 设AD与BE交于点O,∠DAB=90° ·.∠BOD=∠BAD+∠ABE=∠BFD+∠ADC .∠BFD=∠DAB=90° :∠EFC=∠BFD=90°，故B成立，不符合题意； 过点A作AM⊥BE于点M,过点A作AN LCD于点N, D F B ,ADAC≌△BAE, 51/53 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 Sc=SE'即)CDAN=)BEAM, 1 2 9 .CD=BE. :.AM=AN,AM⊥BE,AN⊥CD .FA平分∠BFC,故C成立，不符合题意： 现有条件不足以证明∠DAF=∠DCA,故A不一定成立，符合题意 3.在锐角三角形ABC中，∠BAC=60°，BE、CD分别为△ABC的角平分线，BE、CD相交于点F. E B G (1)则∠BFC的度数为 (2)若FG平分∠BFC,当BD=3,CE=2,△BFC的面积为2.5时，则△BCD的面积为 【答案】 120°/120度 4 【详解】解：(1)∠BAC=60°，BE,CD分别为△ABC的角平分线， ∴∠BBC+ZDCB=ABC+)ACB=3×080-∠B1G=60, ∠BFC=180°-(LEBC+∠DCB)=120°： (2)如图，过点F作FM⊥AB于点M,过点F作FN⊥BC于点N, M F GN ,∠BFC=120°，FG平分∠BFC, ∴.∠BFD=180°-∠BFC=60°， ∠BFG=ZBFC=60P=ZBFD 在△BDF和△BGF中， 52/53 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∠BFD=∠BFG BE=BE ∠DBF=∠GBF ∴.△BDF≌aBGF(ASA, .BD=BG 同理可得△CEF≌aCGF(ASM) ∴CE=CG, ..BC=BG+CG=BD+CE, BD=BG=3,CE=CG=2, ..BC=BD+CE=5, △BFC的面积=2.5， ÷BC.FN=25, .FN=1, :BE为△ABC的角平分线，FN⊥BC,FM⊥AB, ∴.FM=FN=1, .8wwBD FA3x1- 2 3 :ABCD的面积=Sr+Smc=号+2.5=4， 2 53/53 第十四章 全等三角形 14.3 角平分线 课标要点 1.掌握角平分线的尺规作图方法，理解作图原理，能够独立完成角平分线的作图操作。 2.熟记角平分线的性质定理，会使用几何语言书写推理，能解决线段相等相关计算证明。 3.掌握角平分线的判定定理，分清性质与判定的因果关系，会判断点是否在角平分线上。 4.了解三角形内心特点，掌握文字几何命题的证明步骤，会处理相关拓展结论。 学习重难点 重点： 1.角平分线的尺规作图，牢记作图步骤，理解利用 SSS 全等的作图原理。 2.角平分线的性质与判定定理，熟练运用定理完成几何证明与简单计算。 3.三角形内心的性质，理解角平分线分割三角形面积比的拓展结论。 难点： 1.区分角平分线性质与判定，做题容易遗漏垂直、点在角内部等前提条件。 2.综合运用角平分线知识，结合三角形，完成几何证明、面积比类题型。 知识点一 角平分线的尺规作图 已知：，求作：的平分线。 1.以点为圆心，适当长为半径画弧，交于点，交于点。 2.分别以为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在内部交于点。 3.画射线，射线就是的平分线。 作图原理证明：连接。 由作图得：，，又。 ，，即平分。 特别提醒 尺规作角平分线，第二步半径要求大于。如果半径小于或等于，两条圆弧不会在角内部相交，无法完成作图。 即学即练 1．如图，在中，，．以点为圆心，适当长为半径作弧，交于点，交于点；分别以，为圆心，大于的一半的长为半径作弧，两弧在的内部相交于点；作射线，交于点．则（    ） A． B． C． D． 2．如图，在中，．请用尺规作图法作的平分线交边于点（保留作图痕迹，不写作法）． 知识点二 角平分线的性质 1.平分性质：若是的平分线，则。 2.角平分线的性质定理：角的平分线上的点到角的两边的距离相等。 几何语言： 平分，点在上，，，垂足分别为 拓展： （1）三角形的三条角平分线交于三角形内部一点（内心），该点到三角形三边的距离相等。反之，三角形内部到三边距离相等的点是三条角平分线的交点。 （2）三角形的角平分线分三角形所得两个小三角形，面积之比等于夹这个角的两条邻边之比。若平分，则。 特别提醒 使用角平分线性质定理，必须要有垂直条件。只说点在角平分线上，没有向两边作垂线，不能直接得到线段相等，做题不要漏掉垂直这个前提。 即学即练 3．如图，在中，是的平分线，若，则点到的距离是（     ） A．1 B．2 C．3 D．5 4．如图，在中，，平分，若，，则的面积是___________． 知识点三 角平分线的判定定理 角的内部到角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上。 几何语言： 点在内部，，，垂足分别为，且， 点在的平分线上。 即学即练 5．在内部，将两个完全一样的含角的直角三角尺按如图所示的方式放置，连接，则可得到平分，判断依据是__________． 6．如图，的外角和的平分线交于点P，于点M，于点N，判断点P是否在的平分线上，并说明理由． 知识点四 文字类几何命题的证明步骤 1.分清命题中的已知和求证； 2.根据题意画出几何图形，用符号语言写出已知、求证； 3.分析推理，写出完整的证明过程。 题型01 利用角平分线性质求线段长度或周长 解题贴士 角平分线性质核心：角平分线上的点到角两边距离相等，做题要先找到角平分线上的点，向角的两边作垂直辅助线。 得到两条垂线段相等，实现线段等量代换。求周长时，通过线段转化，把未知周长转化为已知线段的和，注意不要遗漏题目中的垂直条件。 典｜例｜精｜析 【例1】如图，在中，，平分，于点，如果的周长为，长为，则的周长为_____． 【例2】已知：如图，点、在的平分线上，，，，垂足分别是点、．求证： (1)； (2)． 变｜式｜巩｜固 【变式1-1】如图，在中，平分交于点D，垂足为E，若，则的长为______． 【变式1-2】如图，在中，平分，交于点，于点，于点，是的高，交于点．已知：，，． (1)求的长； (2)求的长． 【变式1-3】如图所示，中，，平分交于，于，若，求的周长． 题型02 利用角平分线性质解决面积问题 解题贴士 角平分线可以得到点到两边距离相等，以此作为三角形的高，结合三角形面积公式进行计算。 三角形角平分线分出来的两个小三角形，面积之比等于两条邻边之比。解题优先使用这个拓展结论，减少计算量，注意该结论只适用于角平分线，不能乱用在普通线段上。 典｜例｜精｜析 【例3】如图，是三条角平分线的交点，的面积记为，的面积记为，的面积记为，且，则的值可能为（   ） A．4 B．5 C．6 D．8 【例4】如图，中，是的平分线，是边上的中线，若的面积是，，，则的面积是__________． 变｜式｜巩｜固 【变式2-1】如图，在中，为的中点，平分与交于点，若的面积比的面积大，则的面积是_____． 【变式2-2】如图，是的角平分线，是边上的中线，若的面积是，，，则的面积是________． 【变式2-3】如图，在中，E为的中点，平分，与相交于点O，若的面积比的面积大1，则的面积是多少？ 题型03 角平分线在实际中的应用 典｜例｜精｜析 【例5】如图，三条相互交叉的公路，现在要建一个加油站，要求它到三条公路的距离相等，则可以供选择的地址有（     ） A．1处 B．2处 C．3处 D．4处 【例6】如图1，这是一个平板电脑支架，图2是其侧面结构示意图，现量得恰好是的中点．当，且射线恰好是的平分线时，此时点到直线的距离是（   ） A． B． C． D． 变｜式｜巩｜固 【变式3-1】青山村计划在一块周长为的三角形闲置土地上挖一口水井，使得水井到土地边沿的距离相等，已知这块土地的面积是，那么这口水井到土地边沿的距离是（    ） A． B． C． D． 【变式3-2】计划在滹沱河某个绿化区增设3条漫步小路，小路，小路与，均相交．若要在小路上修建一个凉亭O，使其到小路，的距离相等，关于如图所示的甲、乙两个方案，下列判断正确的是（    ） A．只有甲对 B．只有乙对 C．甲、乙均对 D．甲、乙均不对 【变式3-3】如图，三角形地块中，边，，其中绿化带是该三角形地块的角平分线．若三角形地块的面积为，则三角形地块的面积为（    ） A． B． C． D． 题型04 角平分线的尺规作图问题 典｜例｜精｜析 【例7】校园一角的形状如图所示，其中，，表示围墙．现要修建一个垃圾投放点，使得点到三面墙的距离都相等，请确定点的位置． 【例8】如图，点在直线上，在上方作射线，．请你用尺规作图法在内部作射线，使得．（不写作法，保留作图痕迹） 变｜式｜巩｜固 【变式4-1】如图，在中，，以顶点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点M，N，再分别以点M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线交边于点D，点E在上．若，，，当长度最小时，的面积是（     ） A．1 B．2 C．3 D．6 【变式4-2】如图，是的外角，请用尺规作图法在内部求作射线，使得．（不写作法，保留作图痕迹） 【变式4-3】如图，已知，直线分别与，相交于点E，F．请用尺规作图的方法过点F作，使得．（保留作图痕迹，不写作法） 题型05 角平分线的判定 解题贴士 判定定理：角的内部到角两边距离相等的点，在角平分线上。必须同时满足两个条件：点在角内部、垂线段长度相等。 做题一定要具备垂直条件，没有垂直不能直接判定角平分线。几何书写时，要写全垂直、距离相等，再推出点在角平分线上，避免逻辑漏洞。 典｜例｜精｜析 【例9】如图，已知，，求证：平分． 证明： ________（     ） ________（     ） 又 ________ 平分． 【例10】如图，在中，，点在边上，点在边上，连接、，过点作于点，，．求证：是的平分线． 变｜式｜巩｜固 【变式5-1】如图，为的平分线，点A、C分别在、上，连接、，恰为的平分线，过P作于E，于F，于G．求证：点P在的平分线上． 【变式5-2】如图，是的中线，，垂足分别为F，E，，求证：平分． 【变式5-3】已知：如图，在中，角平分线与角平分线相交于点P．求证：的平分线经过点P． 题型06 角平分线的性质和判定的综合 典｜例｜精｜析 【例11】如图，在中，的平分线与的平分线交于点，连接，如果要求出的度数，只需知道下列哪个角的度数（   ） A． B． C． D． 【例12】如图，已知点是内一点，且点到三边的距离相等． (1)求证：； (2)若的周长为12，面积为18，求点到三边的距离． 变｜式｜巩｜固 【变式6-1】如图，四边形中，，，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【变式6-2】已知中，平分，交于点，平分，交于点D，与交于点． (1)如图1．求证：； (2)如图2，连接，求证：平分． 【变式6-3】如图，的外角，的平分线，相交于点． (1)求证：； (2)连接，若，求的度数． 基础通关 一、单选题 1．运城某社区被学苑路、禹都大道、条山街三条道路合围而成．随着电动车辆增多，社区打算增设便民电动车集中充电点，规范充电秩序、消除安全隐患．现要求充电点选址到三条道路的距离均相等，则该充电点应该建在（     ） A．三个角的平分线的交点处 B．三条中线的交点处 C．三条边的垂直平分线的交点处 D．三条高线的交点处 2．如图，在中，，平分，若，则点D到的距离为（     ） A．4.5 B．4 C．3.5 D．3 3．如图，在中，，是角平分线，若，，则的面积为（     ） A．13 B．26 C．36 D．18 4．如图，为了作出的角平分线，小明利用尺规进行了如下操作：以点为圆心，任意长度为半径画弧分别交，于点，，再分别以，为圆心，大于的长度为半径画弧，两弧在内部交于点，连接并延长，射线则为的角平分线．小明说，可以通过判定得到对应角相等来证明射线是的角平分线，他使用的全等判定方法是（     ） A．斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等 B．两条边及其夹角相等的两个三角形全等 C．两角及其夹边对应相等的两个三角形全等 D．三条边分别相等的两个三角形全等 5．如图，中，和的角平分线交于点，若，则、、的面积之比为（   ） A． B． C． D． 6．如图，在中，，以点为圆心，小于长为半径画弧分别交、于点、，又分别以、为圆心，大于为半径画弧交于点，连接交于点D．已知，，则的面积是（     ） A． B． C． D． 二、填空题 7．如图，已知，以点O为圆心，任意长度为半径画弧，分别交、于点E、F，再以点E为圆心，的长为半径画弧，交前弧于点D，画射线．若，则的度数为___________． 8．如图，在中，，平分，交于点D，若，，则的面积为________． 9．如图，在中，为的平分线，于E，于F，的面积是30，，，则____________           三、解答题 10．如图，已知，请你用尺规作图法作的角平分线．（不写作法，保留作图痕迹） 11．如图，平分交于点，，求证：． 12．如图，于点，于点F．若，． (1)求证：平分． (2)已知，，求的长． 素养提升 1．如图，是的平分线，点，分别是，上的动点，，当的面积是时，线段的长不可能为（     ） A．4.5 B．4 C．3 D．2 2．如图，直线，被直线所截，交点分别是，，已知，与的角平分线相交于点，与的角平分线相交于点，与的角平分线相交于点，，按此规律依次进行，则的度数是（     ） A． B． C． D． 3．如图，在四边形中，，，分别平分，，过点作，分别交，于点，．若，的面积为12，则的长为（     ） A．8 B．10 C．12 D．18 4．如图，在中，是角平分线，是中线，交于点．若，，的面积为8，则的面积为_________． 5．如图，是的角平分线，，垂足为，，和的面积分别为和，则的面积用含和的代数式表示为________． 6．如图，D、E、F分别是三边上的点，平分，，，E是的中点，若的面积为，则的面积为_____； 7．如图，在中，平分，，点E为上一点，连接交于点F，若，且的面积比的面积大3，则四边形的面积为________． 8．如图，两个等腰直角三角形与，连接，相交于点H．求证： (1)； (2)； (3)连接，求证平分． 迁移创新 1．如图，在中，和的平分线相交于点，过点作交于，交于，过点作于，下列四个结论中错误的是（     ） A． B．当时，，分别是，的中点 C． D．若，，则 2．如图，分别以的边，为直角边，向外作等腰直角三角形，，连接，，，交于点，连接．下列结论中不一定成立的是（     ） A． B． C．平分 D． 3．在锐角三角形中，，、分别为的角平分线，、相交于点． （1）则的度数为________； （2）若平分，当，，的面积为时，则的面积为________． 1 / 10 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