14.3角平分线讲义-2025-2026学年人教版八年级数学上册

本讲义聚焦“角平分线”核心内容，系统梳理尺规作图画角平分线的步骤、角平分线上的点到两边距离相等的性质、到两边距离相等的点在角平分线上的判定定理，以及三角形内心（三条角平分线交点且到三边距离相等），构建从操作到定理再到应用的学习支架。 资料通过分层题型设计，从作图依据推理（如SSS全等证明）到性质应用计算、判定定理证明，再到实际问题（如油库位置选择），培养几何直观与推理能力。参考答案含辅助线作法与证明过程，课中助力教师高效授课，课后帮助学生理清思路，弥补知识盲点，提升用数学思维解决问题的能力。

14.3角平分线 知识点1：尺规作图画角平分线 步骤：1，以O为圆心，任意长为半径画弧交0A于M,交OB于N; 2,分别以点M、N为圆心大于MN的长为半径作弧，两弧在∠AOB内部相较于点C, 3,作射线OC,射线OC即为∠AOB的平分线 知识点2：角平分 线的性质 角平分线上 的点到角两边的 A 距离相等 0 B 几何语言： :OC平分∠AOB,P在OC上，且PD⊥OA,PE⊥OB D :PD=PE 知识点3：角平分线的判定定理 角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上。 几何语言：：PD⊥OA,PE⊥OB且PD=PE :OP平分∠AOB 知识点4：三角形的内心 三角形三条角平分线的交点叫做三角形的内心。 三角形的内心到三条边的距离相等。 题型一：利用尺规作图画角平分线 1,(25-26八年级上·福建厦门阶段练习)如图是尺规作∠A0B的 角平分线的痕迹，这样作角平分线的根据是() M B A.SSS B.SAS C.ASA D.AAS 2,(25-26八年级上江苏扬州阶段练习)用尺规作图作角平分线，下列作法错误的是(）· 3,(25-26八年级上·四I川自贡阶段练习)在Rt△ABC中，∠C=90°，利用尺规在BC,BA上分别截取 BE、BD,使BE=BD;分别以点D,E为圆心，大于DE的长为半径画弧，两弧在∠CBA的内部交于点 F,作射线BF交AC于点G,若CG=1,P为AB上一动点，则GP的最小值为() C G D A.无法确定 B. C.1 D.2 4.(2025天津红桥·二模)如图，在△ABC中，∠C=60°，∠B=50°·以点A为圆心适当长为半径 画弧，交AB于点D,交AC于点E;再分别以点D,E为圆心，大于专DE的长为半径画弧，两弧（所在圆 的半径相等)相交于点P,作射线AP,与边BC相交于点F,则∠AFB的大小为（) P B A.80° B.85° C.900 D.95o 5.(25-26八年级上江苏泰州阶段练习)如图，Rt△ABC中，∠C=90°，用尺规作图法作出射线AE, AE交BC于点D,CD=3,P为AB上一动点，则PD的最小值为一· D A B 题型二：角平分线性质的应用 1,(24-25八年级上·天津宁河阶段练习)如图，D是BC的中点，AD⊥BC,那么下列说法不一定成立的 是() A,△ABD≌△ACD B.∠B=∠CC.AD平分∠BAC D·AD=BD 2,(24-25八年级上，天津宁河阶段练习)在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC,若DC=7,则D 点到AB的距离为 3.(24-25八年级上·天津期中)如图，点G在AB的延长线上，∠GBC,∠BAC的平分线相交于点F,连 接CF.若∠AFB=40°，则∠BCF的度数为() E A.40° B.50o C.55 D.60° A B G 4.(23-24八年级上·天津滨海新期中)如图，在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC,DE⊥AB于E, 则下列结论：①AD平分∠CDE;②∠BAC=∠BDE;③DE平分∠ADB;④BE+AC=AB.其中正确 的有() A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 5.(24-25八年级上·天津河北期中)如图，在△ABC中，AB=7,AD平分∠BAC,DE⊥AC,DE=2, 则△ABD的面积为() B A.7 B.10 C.12 D.14 6,(24-25八年级上·天津期中)如图，在四边形ABCD中，AC平分∠BAD,CE⊥AB于 E,∠ADC+∠B=180 (1)求证：2AE=AB+AD· D (2)当AD=4,BE=3时，AB=(直接写出结果) 7,(24-25八年级上·天津期中)如图，在△ABC中，AD平分∠BAC,点D是BC的中点，DE⊥AB于点 E,DF⊥AC于点F.求证：∠B=∠C. B D 题型三：角平分线的判定 1,(25-26八年级上吉林阶段练习)如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AD是高，BE是中线，CF是 角平分线，CF交AD于点G,交BE于点H,给出下列四个结论：①△ABE的面积等于△BCE的面积： ②∠AFG=∠AGF;③∠FAG=2∠ACF;④AF=DG,其中正确结论有()个 A.1 B.2 C.3 D.4 2,(25-26八年级上·广东广州阶段练习)如图，△ABC的外角ACD的平分线与内角∠ABC的平分线交 于点P· E D (1)延长BA至点E,求证：AP平分∠CAE; (2)若∠BPC=40°，求∠CAP的度数. 3.(25-26八年级上江苏南通阶段练习)如图，∠B=∠C=90°，点E是BC的中点，DE平分∠ADC, D E A B (1)求证：AE是∠DAB的平分线， (2)已知AE=4,DE=3,求四边形ABCD的面积· 4.(25-26八年级上·内蒙古呼和浩特阶段练习)如图，在△ABC中，D是BC中点，DE1AB, DF⊥AC,垂足分别是E、F,BE=CF,求证：AD是△ABC的角平分线. A E人 B D 5.(23-24八年级上·天津南开·期中)如图，△ABC中，点D在边BC延长线上，∠ACB=110°，∠ABC的 平分线交AD于点E,过点E作EH⊥BD,垂足为H,且∠CEH=55°， E B (1)∠ACE的度数是 (2)求证：AE平分∠CAF, (3)若AC+CD=14,AB=8,且S△4cD=21,求△ABE的面积. 题型四：角平分线性质的应用 1.(25-26八年级上，全国课后作业)在三角形中，到三边距离相等的点是() A,三条中线的交点 B,三条角平分线的交点 C,三条高线的交点 D.内部任意一点 2.(24-25八年级下·广东深圳期末)如图，三条公路两两相交，现计划修建一个油库，要求油库到这三条 公路(AB,AC,BC)的距离都相等，则油库的位置可以设计在() A,△ABC三条中线的交点 B.△ABC三条角平分线的交点 C,△ABC三条高所在直线的交点 D,△ABC三条边的垂直平分线的交点 3.(25-26八年级上·全国课后作业)如图是某校的局部平面图，学校有三条小路MNPQ和AB,已知 MN‖PQ,AB与MN,PQ相交.学校计划修建一个亭子，使其到小路MN,PQ,AB的距离均相等，则亭子 可以选择的修建位置有（) M A.4处 B.3处 C.2处 D.1处 4,(24-25八年级上·全国·期中)某镇要在三条公路围成的一块三角形平地内修建一个砂石场，如图，要使 这个砂石场到三条公路的距离相等，则可供选择的地址() A.仅有一处 B.有四处 C.有七处 D.有无数处 B 9 6 12 5.(24-25七年级下.全国课后作业)如图，△ABC的三边长分别是6,9,12，其三条角平分线将其分为 三个三角形，则S△AB0:S△BC0:S△C40等于 6(22-23八年级上·福建福州期中)）如图，∠B=∠C=90°，AE平分∠BAD,DE平分∠ADC,若 S△cDE:S△4BE=2:3,则S△4 DE:SADCE=— 参考答案 题型一答案： 1.A 【详解】解：由作法得：OM=ON,CM=CN, 在△OCM和△OCN中 .OM=ON,CM=CN,OC=OC .△OCM≌△OCN(SSS) ∴·∠A0C=∠B0C,即0C平分∠A0B 故选：A. 2.D 【详解】解：A.如图，由作图可知，AB=AC,BD=CD, 在△ABD和△ACD中， AB=AC BD=CD 、AD=AD ∴.△ABD≌△ACD ∴∠CAD=∠BAD ·AD是∠BAC的角平分线 ∴选项A作法正确，不符合题意； B B.如图，由作图可知，AB=AC,AD=AE 在△ABE和△ACD中 AB=AC ∠BAE=∠CAD AE=AD ∴.△ABE≌△ACD .∠AEB=∠ADC, .AB=AC.AD=AE ∴AD-AB=AE-AC ∴.BD=CE 在△BOD和△COE中， 1∠BOD=∠COE ∠ODB=∠OEC BD=CE .△BOD≌△COE, ∴.0B=0C 在△A0B和△A0C中， (AB=AC A0=A0 (0B=0C .△A0B≌△AOC, ∴∠OAB=∠OAC ∴·AO是∠BAC的角平分线 选项B作法正确，不符合题意 B ID C.如图，由作图可知，AB=AC=DE=DF,FE=CB,DG=DA, 在△BAC和△EDF中 (AB=DE AC=DF 、CB=FE .△BAC≌△EDF, ,∴·∠BAC=∠EDF, .DEll AB ∴∠DGA=∠BAG DG=DA ∴.∠DAG=∠DGA ∴.∠DAG=∠BAG ∴AG是∠BAC的角平分线 选项C作法正确，不符合题意； D B D.如图，由作图可知，AB=CD,AC=BD, 不能得出AD是∠BAC的角平分线， ∴选项D作法错误，符合题意. D B 故选：D 3.C 【详解】解：由尺规作图步骤可得，BF平分∠ABC :角平分线上的点到角两边的距离相等，GC⊥BC,当GP⊥AB时，GP=GC,CG=1, ·GP的最小值为1·