13.2.1 三角形的边-【随堂笔记】2026-2027学年八年级上册数学（人教版·新教材）

《随堂笔记 第十三章 13.1三角形的概念 预习检测 1.C2.C 举三反目 1-1C【解析】题图中的三角形为△ABD, △ACE,△DCE,△ACD和△ABC,三角形的个数 为5. 1-2C【解析】题图中以BC为边的三角形有 △BCE,△BAC,△DBC,共有3个三角形. 2-1C【解析】A.知道两个角，可以计算出第 三个角的度数，因此可以判断出三角形类型；B. 露出的角是钝角，因此是钝角三角形；C.露出的 角是锐角，其他两角都不知道，因此不能判断出 三角形类型；D.露出的角是钝角，因此是钝角三 角形 3-1A【解析】当P位于点A时，△PCB是直 角三角形；当P到达AB的中点时，△PCB是等 边三角形；当CP⊥AB时，△PCB是直角三角 形.因此，在运动开始后，△PCB形状的变化过 程中，依次出现的特殊三角形是直角三角形、等 边三角形、直角三角形. 变式训练 1-1解：(1)题图中共有7个三角形，分别为 △ABD,△ABE,△ABC,△ADE,△ADC,△AEC, △AFG. (2)在△ABD中，它的三个内角是∠B, ∠BDA,∠BAD (3)由(1)知，题图中含AB边的三角形有 △ABD,△ABE,△ABC. 2-1D【解析】题图中能看见的只有一个锐 角，故这个三角形可能是锐角三角形、直角三角 形或钝角三角形 3.2与三角形有关的线段 13.2.1 三角形的边 预习检测 1.C2.A3.B 参考答案 三角形 举一反写 1-12c【解析】因为a,b,c是△ABC的三条 边，所以b-c-a<0,a-b-c<0,所以1b-c-al+ la-b-cl=-b+c+a-a+b+c=2c. 2-1B【解析】因为5+6=11，所以6,5,11不 能组成三角形，故A选项不符合题意.因为3+ 4>5,所以3,4,5能组成三角形，故B选项符合 题意.因为5+5=10，所以5,10,5不能组成三角 形，故C选项不符合题意.因为2+4=6，所以 2,4,6不能组成三角形，故D选项不符合题意. 2-2C【解析】①因为2+3>4，所以能组成三 角形.②因为2+3=5，所以不能组成三角形. ③因为a:b:c=1:2:3,所以设a=x,b= 2x,c=3x.因为x+2x=3x,即a+b=c,所以不能 组成三角形.④因为m>2,所以2m>m+2>m+1. 因为m+1+m+2>2m,所以能组成三角形.综上 所述，能组成三角形的有①④ 3-1A【解析】具有稳定性的是选项A中的 图形. 变式训练 1-1B【解析】因为三角形的三边长分别为 3,1-2a,8,所以8-3<1-2a<8+3,即-5<a<-2. 2-1A【解析】因为三角形三边长分别为 3,a,8,所以8-3<a<8+3,即5<a<11.又a为奇 数，所以a的取值可以为7,9，所以三角形三边 长分别为3,7,8或3,9,8，所以这样的三角形共 有2个. 3-1A【解析】当长是8cm的边是腰时，三边 为8cm,8cm,2cm,能组成等腰三角形，腰长是 8cm;当长是8cm的边是底边时，三边为 8cm,5cm,5cm,能组成等腰三角形，腰长是 5cm.综上所述，腰长是8cm或5cm. 3-232【解析】①当a+2是底边时，则腰长为 3a-6,12,所以3a-6=12,所以a=6,所以a+2= 8,所以等腰三角形的周长=12+12+8=32.②当 3a-6是底边时，则腰长为a+2,12,所以a+2= 12,所以a=10,所以3a-6=24.因为12+12= 24,所以不能构成三角形.③当12是底边时，则 腰长为a+2,3a-6,以a+2=3a-6,所以a= 4,所以a+2=3a-6=6.因为6+6=12，所以不能 构成三角形.则这个等腰三角形的周长为32 4-1A【解析】根据题意，得a-3=0,b-6= 0,解得a=3,b=6.①当3是腰长时，三角形的 三边长分别为3,3,6.因为3+3=6，所以不能组 成三角形.②当3是底边时，三角形的三边长分 别为3,6,6，能组成三角形，周长=3+6+6= 15,所以，这个等腰三角形的周长为15. 5-1证明：如图，将DE向两边延长分别交 AB,AC于点M,N. 在△AMN中，AM+AN>MD+DE+NE,① 在△BDM中，MB+MD>BD,② 在△CEN中，CN+NE>CE,③ ①+②+③，得AM+AN+MB+MD+CN+NE>MD+ DE+NE+BD+CE, .AB+AC>BD+DE+CE. 13.2.2三角形的中线、 角平分线、高 预习检测 1.B2.D 举一反三 1-1A【解析】因为点D,E分别是边BC,AD 的中点，△ABC的面积为8，所以S△ABc= Sao,Saam=2SAc,所以SA= 1 1 1 4x8=2. 2-1C【解析】由题图可知BE是△ABD的中 线，故A选项正确.由题图可知BD是△BCE的 角平分线，故B选项正确.因为BD是△BCE的 角平分线，所以∠3=∠2.因为BE是中线，所以 无法得到∠1=∠2，故C选项不正确.因为 ∠C=90°，所以BC是△BDE的边DE上的 高，故D选项正确. 3-1B【解析】因为CE⊥BA,交BA的延长线 于点E,所以在△ABC中，AB边上的高为线 段CE. 3-2A 变式训练 1-1解：设腰长为xcm.①当腰长与腰长的一 半的和是9m时，+分=9，解得x=6,所 以，底边长=15-7×6=12(cm).因为6+6= 12,所以6cm,6cm,12cm不能组成三角形. ②当腰长与腰长的一半的和是15cm时，x+ 2x=15,解得x=10,所以，底边长=9-}×10= 4(cm),所以，三边为10cm,10cm,4cm,能组 成三角形.综上所述，等腰三角形的腰长为 10cm,底边长为4cm. 2-1B【解析】因为△ABC的中线AD,BE,CF 交于点0，所以SABOD=S△coD,S△c0E=S△40E; S△A0F=S△BOF:因为SAB0D+SACOE+SA40F=7,所以 S△coD+S△MOB+S△BOP=7,所以△ABC的面积是7× 2=14. 3-1C【解析】因为AD⊥BC,BF⊥AC,所以 9ac=2AC·BF=BC·AD,所以4MC=8X 1 2 2,所以AC=4. 4-1解：AE∥DF.理由如下： 因为AB∥CD,所以∠BAD=∠ADC. 因为AE,DF分别是△ABD和△ACD的角平分 线，所以2∠DAE=∠BAD,2∠FDA=∠ADC 所以∠DAE=∠FDA,所以AE∥DF. 13.3三角形的内角与外角 13.3.1三角形的内角 第1课时 三角形的内角和 预习检测， 1.B2.B3.B 举一反写 1-1A【解析】.∠A=20°，∠B=4∠C, ∠A+∠B+∠C=180°，..20°+4∠C+∠C= 180°，解得∠C=32°. 1-255°【解析】.·DE∥BC,∠BDE=120°， ∴.∠B=180°-120°=60°..FG∥AC,∠DFG= 115°，∴.∠A=180°-115°=65°，∴.∠C= 180°-∠B-∠A=55°. 2-1A【解析】.∠DBA=120°，∠ECA=125°， .∴.∠ABC=180°-∠DBA=60°，∠ACB= 180°-∠ECA=55°，∴.∠BAC=180°-∠ABC- ∠ACB=180°-60°-55°=65°，即∠BAC=65°. 3-1∠A两直线平行，内错角相等 ∠B两直线平行，同位角相等 ∠A+∠B+∠ACB=180° 变式训练 1-1B【解析】在△ABC中，∠A=70°，∠C= 30°，∴，∠ABC=180°-∠A-∠C=80°..BD平 分LABC,-LABD=)∠ABC=40°.：DE∥ AB,.∴.∠BDE=∠ABD=40°13.2与三角形有关的线段 13.2.1 三角形的边 课前·预习笔记 预 1.理解三角形三边之间的关系， 习 目 【2.运用三角形的三边关系解决问题.重点@ 标 13.了解三角形的稳定性，会解释生活中与三角形稳定性有关的现象 第二步明确考情 11.考频：5年3考 2分值：3分 13.题型：选择题、填空题 第步梳理知识 1.三角形的三边关系 三角形两边的和大于第三边，两边的差小于第三边.其中“两边”是指三角形 中的任意两条边. 2.组成三角形的条件 一般地，如果三条线段中任意两条线段的和大于第三条线段，那么这三条线段能 预 组成三角形；如果三条线段中有两条线段的和小于或等于第三条线段，那么这三 习 条线段不能组成三角形 任 !3.三角形的稳定性 务 三角形的三条边确定后，这个三角形的形状、大小就确定了，这就是三角形的稳 定性 第目步预习检测 11.在下列选项的四条线段中，能与长6cm,8cm的两条线段围成一个三角形的 是() A.1 cm B.2 cm C.13 cm D.14 cm 2.下列图形中具有稳定性的是( A.三角形 B.长方形 C.正方形 D.平行四边形 3.长度分别为2,3,3,4的四根细木棒首尾顺次相连，围成一个三角形（木棒允许 连接，但不允许折断)，得到的三角形的最长边的长为( A.4 B.5 C.6 D.7 第十三章三角形 课堂·听课笔记 新知解读 知识点1●》三角形的三边关系 举一反三●》参考答案见答案册P1 图示 文字语言 数学语言 理论依据 1-1已知a,b,c是△ABC的 三角形两边的和大 a+b>c. 三条边的长，则Ib-c-a1+ 指任意 b+c>a, Ia-b-cl的值为 于第三边 两边 a+c>b 两点之间， 三角形两边的差小 a-b<c 线段最短 b-c<a, 于第三边 a-c<b 例1已知a,b,c为△ABC的三条边的长，求1a+b-c|-1b a-cl的值， 【答案】解：因为a,b,c为△ABC的三条边 所以a+b>c,a+c>b,所以a+b-c>0,b-a-c=b-(a+c)<0. 所以Ia+b-cl-lb-a-cl =la+b-cl-1b-(a+c)l =a+b-c-[(a+c)-b] =a+b-c-a-c+b =2b-2c. 知识点2>组成三角形的条件 举一反三>参考答案见答案册P1 般地，如果三条线段中任意两条线段的和大于第三条线 2-1下面各组线段中，能组 段，那么这三条线段能组成三角形；如果三条线段中有两条线段 成三角形的是() 的和小于或等于第三条线段，那么这三条线段不能组成三角形 A.6,5,11B.3,4,5 例2[教材P6例题]用一条长为18cm的细绳围成一个等腰三 C.5,10,5 D.2,4,6 角形 周长 (1)如果腰长是底边长的2倍，那么各边的长是多少？ (2)能围成有一边的长是4cm的等腰三角形吗？为什么？ 2-2线段a,b,c满足下列 【答案】解：(1)设底边长为xcm,则腰长为2xcm 条件： ①a=2,b=3,c=4; 则x+2x+2x=18.解得x=3.6. ②a=3,b=5,c=2; 人两茶腰 ③a:b:c=1:2:3; 所以，三角形三边的长分别为3.6cm,7.2cm,7.2cm. ④a=m+1,b=m+2,c=2m (2)因为长为4cm的边可能是腰，也可能是底边，所以需要 (m>2). 分情况讨论， 其中能组成三角形的有 ①如果4cm长的边为底边，设腰长为xcm, () 则4+2x=18.解得x=7. A.①② B.③④ ②如果4cm长的边为腰，设底边长为ycm, C.①④ D.①③ 则2×4+y=18.解得y=10. 8 随堂笔记8年级数学RJ上册 因为4+4<10，不符合“三角形两边的和大于第三边”， 所以不能围成腰长是4cm的等腰三角形. 由以上讨论可知，可以围成底边长是4cm的等腰三角形 ★方法点我 判断三条线段能否组成三角形的方法 大于最长线 能组成 判断三条线 求两条较 段的长度 三角形 段长度的大 短线段长 小关系 度的和 小于或等于最 不能组成 长线段的长度 三角形 知识点3》三角形的稳定性 >举一反三》参考答案见答案册P1 1.三角形的三条边确定后，这个三角形的形状、大小就确定 了，这就是三角形的稳定性. 2.三角形是具有稳定性的图形 圆拓展提升(1)稳定性是三角形所特有的特征，在实际生产 和生活中具有广泛的应用.需要保持稳定性的物体大多数都 被制成三角形或包含三角形的形状，如起重机、钢架桥等. (2)四边形不具有稳定性，为保证其稳定性，常在四边形中 构造三角形.四边形的不稳定性在实际生活中也有广泛的应 用，如活动挂架、伸缩门等。 例3如图，小明家有一个由六条钢管顺次连接而成的钢架 ABCDEF,为了使这一钢架稳固不变形，他计划在钢架的内部 用三根钢管连接，请帮助小明解决这个问题.（用三种不同的 方法画图说明) 3-1下列选项中，具有稳定 甲 丙 性的图形是( 【答案】解：要使钢架稳固不变形，需要在六边形中构造三角 形，如图所示 甲 丙 ★方法京拨 判断一个图形是否具有稳定性，就看它的基本组成部分是不 是三角形.为了保证多边形具有稳定性，最简单的方法就是 连接对角线，在其内部构造三角形 第十三章三角形 9 课本练习[教材7练习] 1.下列长度的三条线段能否组成三角形？为什么？ 答案 (1)3,4,8;(2)5,6,11；(3)5,6,10. 1.(1)不能.(2)不能. 2.一根4dm长的木条和两根1dm长的木条，能否组成一个等 (3)能.（原因略) 腰三角形？两根4dm长的木条和一根1dm长的木条呢？ 2.不能；能. 课后·提升笔记 题型训练 题型1●》三角形三边关系的应用 》变式训练》参考答案见答案册P1 例某同学从长度分别为10cm,6cm,5cm,4cm的四根木 1-1三角形的三边长分别为 棒中，任选其中三根组成三角形，则能组成的三角形的个数是 3,1-2a,8,则a的取值范 () 围是() A.1 B.2 C.3 D.4 A.-6<a<-3 【解析】 B.-5<a<-2 选取的木棒长度 判断过程 结论 C.a<-5或a>2 10 cm,6 cm,5 cm 5+6>10 能组成三角形 D.2<a<5 10 cm,6 cm,4 cm 4+6=10 不能组成三角形 10 cm,5 cm,4 cm 4+5<10 不能组成三角形 6 cm,5 cm,4 cm 4+5>6 能组成三角形 【答案】B 例2如图，用四颗螺丝将四根不能弯曲的木条围成一个木框， 不计螺丝大小，其中相邻两颗螺丝的距离依次为3,4,6,8， 且相邻两根木条的夹角均可以调整，若调整木条的夹角使其围 2-1已知三角形三边长分别 成的木框能构成三角形，则调整后任意两颗螺丝的距离的最大 为3，a,8,且a为奇数，则 值是() 这样的三角形共有() A.2个 B.3个 C.4个 D.5个 A.7 B.10 C.11 D.14 【解析】①选3+4,6,8作为三角形，则三边长为7,6,8， 7-6<8<7+6,能构成三角形，此时两颗螺丝间的最长距离为8； 10 随堂笔记8年级数学RJ上册 ②选6+4,3,8作为三角形，则三边长为10,3,8,8-3<10< 8+3,能构成三角形，此时两颗螺丝间的最大距离为10； ③选3+8,4,6作为三角形，则三边长为11,4,6,4+6<11， 不能构成三角形，此种情况不成立； ④选6+8,3,4作为三角形，则三边长为14,3,4，而3+4< 14,不能构成三角形，此种情况不成立. 综上所述，任意两颗螺丝的距离的最大值是10. 【答案】B 题型2》解决与等腰三角形有关的问题 变式训练参考答案见答案册P1 例3已知等腰三角形的两条边长分别是5cm,7cm,那么这 3-1已知等腰三角形的一边长 个等腰三角形的周长是 为8cm,周长为18cm,则腰长 【解析】分两种情况进行讨论： 为() A.8cm或5cm ①当5cm是腰长，7cm是底边长时，5+5>7，能构成三角形， B.10cm或5cm 此时等腰三角形的周长=5+5+7=17(cm); C.8cm或2cm ②当7cm是腰长，5cm是底边长时，7+7>5，能构成三角形， D.5 cm 此时周长=7+7+5=19(cm). 3-2一个等腰三角形的三边 综上所述，这个等腰三角形的周长是17cm或19cm. 长分别为12，a+2,3a-6, 则这个等腰三角形的周长 【答案】17cm或19cm 是 题型3>三角形三边与绝对值的综合应用 >变式训练》参考答案见答案册P2 例4已知a,b,c为△ABC的三边长. 4-1已知等腰三角形的两边 (1)化简1a-b+cl+1a-b-cl; 长为a,b,且满足Ia-31+ (2)若△ABC为等腰三角形，且周长为16，已知a=4,求b, (b-6)2=0,则这个等腰三角 c的值 形的周长是() A.15 B.9 【答案】解：(1)由三角形三边关系得，a+c>b,b+c>a, C.12 D.12或15 所以Ia-b+cI+la-b-cl =a-b+c+b+c-a =2c. (2)如果△ABC的腰长是a. 因为a=4, 所以△ABC的底边长是16-4×2=8. 因为4+4=8，不满足三角形的三边关系， 所以△ABC的腰长不能是a,即a只能是底边长， 所以b,c是△ABC的腰长， 所以6=c=×(16-4)=6 21 第十三章三角形 11 题型4>利用三角形的三边关系证明线段间的不等关系>变式训练参考答案见答案册P2 例5如图所示，D是△ABC内任意一点，连接BD,CD.求证： 5-1如图，D,E是△ABC内 AB+AC>BD+CD 两点.求证：BD+DE+CE< AB+AC. 【答案】证明：如图所示，延长BD交AC于点E. 在△ABE中，AB+AE>BE, 在△CDE中，DE+CE>CD, 则AB+AE+DE+CE>BE+CD, 所以AB+AE+CE>BE-DE+CD, 所以AB+AC>BD+CD. 链接中考 考点1◆三角形的三边关系 为23cm和10cm,第三边与其中一边的长相 等，那么第三边的长为 cm 题型 难度 分值 【解析】设第三边的长为x,则23cm-10cm< 选择题、填空题 ★☆☆ 3分 x<23cm+10cm,即13cm<x<33cm,则第三 典例1[大庆中考]三个数3,1-a,1-2a在数 边的长为23cm. 轴上从左到右依次排列，且以这三个数为边长 【答案】23 的三条边能构成三角形，则a的取值范围为 典例3[齐齐哈尔中考]等腰三角形的两条边长 分别为3和4，则这个等腰三角形的周长 【解析】因为3,1-a,1-2a在数轴上从左到 是 右依次排列，所以3<1-a<1-2a,所以a<-2. 【解析】当3是腰长时，三角形的三边长分别 因为以这三个数为边长的三条边能构成三角形， 为3,3,4，能组成三角形，周长=3+3+4= 所以3+(1-a)>1-2a,所以a>-3,所以-3< 10; a<-2. 当3是底边长时，三角形的三边长分别为3， 【答案】-3<a<-2 4,4,能组成三角形，周长=3+4+4=11. 考点2●三角形的三边关系在等腰三角形 综上所述，这个等腰三角形的周长是10或11. 问题中的应用 【答案】10或11 题型 难度 分值 选择题、填空题 ★☆☆ 3分 典例2[柳州中考]如果三角形的两条边长分别 12 随堂笔记8年级数学RJ上册