13.1 三角形的概念-【随堂笔记】2026-2027学年八年级上册数学（人教版·新教材）

《随堂笔记 第十三章 13.1三角形的概念 预习检测 1.C2.C 举三反目 1-1C【解析】题图中的三角形为△ABD, △ACE,△DCE,△ACD和△ABC,三角形的个数 为5. 1-2C【解析】题图中以BC为边的三角形有 △BCE,△BAC,△DBC,共有3个三角形. 2-1C【解析】A.知道两个角，可以计算出第 三个角的度数，因此可以判断出三角形类型；B. 露出的角是钝角，因此是钝角三角形；C.露出的 角是锐角，其他两角都不知道，因此不能判断出 三角形类型；D.露出的角是钝角，因此是钝角三 角形 3-1A【解析】当P位于点A时，△PCB是直 角三角形；当P到达AB的中点时，△PCB是等 边三角形；当CP⊥AB时，△PCB是直角三角 形.因此，在运动开始后，△PCB形状的变化过 程中，依次出现的特殊三角形是直角三角形、等 边三角形、直角三角形. 变式训练 1-1解：(1)题图中共有7个三角形，分别为 △ABD,△ABE,△ABC,△ADE,△ADC,△AEC, △AFG. (2)在△ABD中，它的三个内角是∠B, ∠BDA,∠BAD (3)由(1)知，题图中含AB边的三角形有 △ABD,△ABE,△ABC. 2-1D【解析】题图中能看见的只有一个锐 角，故这个三角形可能是锐角三角形、直角三角 形或钝角三角形 3.2与三角形有关的线段 13.2.1 三角形的边 预习检测 1.C2.A3.B 参考答案 三角形 举一反写 1-12c【解析】因为a,b,c是△ABC的三条 边，所以b-c-a<0,a-b-c<0,所以1b-c-al+ la-b-cl=-b+c+a-a+b+c=2c. 2-1B【解析】因为5+6=11，所以6,5,11不 能组成三角形，故A选项不符合题意.因为3+ 4>5,所以3,4,5能组成三角形，故B选项符合 题意.因为5+5=10，所以5,10,5不能组成三角 形，故C选项不符合题意.因为2+4=6，所以 2,4,6不能组成三角形，故D选项不符合题意. 2-2C【解析】①因为2+3>4，所以能组成三 角形.②因为2+3=5，所以不能组成三角形. ③因为a:b:c=1:2:3,所以设a=x,b= 2x,c=3x.因为x+2x=3x,即a+b=c,所以不能 组成三角形.④因为m>2,所以2m>m+2>m+1. 因为m+1+m+2>2m,所以能组成三角形.综上 所述，能组成三角形的有①④ 3-1A【解析】具有稳定性的是选项A中的 图形. 变式训练 1-1B【解析】因为三角形的三边长分别为 3,1-2a,8,所以8-3<1-2a<8+3,即-5<a<-2. 2-1A【解析】因为三角形三边长分别为 3,a,8,所以8-3<a<8+3,即5<a<11.又a为奇 数，所以a的取值可以为7,9，所以三角形三边 长分别为3,7,8或3,9,8，所以这样的三角形共 有2个. 3-1A【解析】当长是8cm的边是腰时，三边 为8cm,8cm,2cm,能组成等腰三角形，腰长是 8cm;当长是8cm的边是底边时，三边为 8cm,5cm,5cm,能组成等腰三角形，腰长是 5cm.综上所述，腰长是8cm或5cm. 3-232【解析】①当a+2是底边时，则腰长为 3a-6,12,所以3a-6=12,所以a=6,所以a+2= 8,所以等腰三角形的周长=12+12+8=32.②当 3a-6是底边时，则腰长为a+2,12,所以a+2= 12,所以a=10,所以3a-6=24.因为12+12= 24,所以不能构成三角形.③当12是底边时，则 腰长为a+2,3a-6,以a+2=3a-6,所以a= 4,所以a+2=3a-6=6.因为6+6=12，所以不能 构成三角形.则这个等腰三角形的周长为32课堂·听课笔记 新知解读 知识点1●》三角形的概念 线段的位置 线段的数量 线段的连接方式 1.三角形：由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组 成的图形叫作三角形 2.三角形的三要素（边、角、顶点）：组 顶点 成三角形的线段叫作三角形的边，相邻 边 两边的公共端点叫作三角形的顶点，相 -C 邻两边所组成的角叫作三角形的内角， 简称三角形的角.如图，线段AB，BC, B< 角。 CA是三角形的边；点A,B,C是三角形 的顶点；∠A,∠B,∠C是三角形的角.顶 点是A,B,C的三角形，记作“△ABC”,读作“三角形ABC”. 是表示三角形的特号，三个字母没有先后顺序.△ABC也可以写成△ACB △BAC,△BCA等，通常情况下我们习惯按英文字母的顺序排列 △ABC的三边有时也用a,b,c来表示.如图，顶点A所对 的边BC用a表示，顶点B所对的边AC用b表示，顶点C所 对的边AB用c表示. 任意三角形的顶点所对的边也都可以用与这个顶点相对应的小写字 母表示 一易错分析：符号“△”代表“三角形”，其后女须紧跟表示三角 形三个顶点的大写宇母，宇母顺序可以自由排列， 例1如图，在△ABC中，D,E分 别是BC,AC上的点，连接BE,AD 交于点F,问： (1)图中共有多少个三角形？请把 它们表示出来 (2)△BDF的三个顶点是什么？三 B 条边是什么？ (3)以AB为边的三角形有哪些？ (4)以点F为顶点的三角形有哪些？→注意做到不重不漏 【答案】解：(1)图中共有8个三角形，它们是△ABC,△ABF, △ABE,△ABD,△ACD,△AEF,△BDF,△BCE. (2)△BDF的三个顶点分别为B,D,F;三条边分别为BD, DF,BF. 固定A,B,我第三个顶点 (3)以AB为边的三角形为△ABC,△ABF,△ABE,△ABD. (4)以点F为顶点的三角形为△ABF,△AEF,△BDF 举一反三●》参考答案见答案册P1 1-1如图，三角形的个数 为() A E B D C A.3 B.4 C.5 D.6 1-2如图，以BC为边的三 角形共有() A E B C A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 第十三章三角形 3 ★方法点拨上 确定三角形个数的方法：（1)按图形形成的过程数； (2)从图形中的某一条线段开始沿着一定的方向数； (3)先固定一个顶点，再变换另外两个顶点来数 知识点2>三角形的分类 1.等腰三角形 有两边相等的三角形叫作等腰三角形.其中相等的两边叫作 腰，另一边叫作底边，两腰的夹角叫作顶角，腰和底边的夹 角叫作底角 2.等边三角形 三边都相等的三角形叫作等边三角形.等边三角形是特殊的 等腰三角形，即底边和腰相等的等腰三角形 3.三角形的分类，分类标准：按边分类和按角分类 (1)按边的相等关系分类 三边都不相等的三角形 等腰 三边都 三角形 三角形 不相等 底边和腰不相等的 等腰三角形！ 的三角形 等边 等腰三角形 三角形 等边三角形“ 特殊的等腰三角形 三角形 (2)按最大内角分类 直角 锐角三角形 三角形 三角形 直角三角形 锐角 钝角 钝角三角形 三角形三角形 三角形 易错分析：对三角形分类时必须统一标准，即要么按边的相等关 系分类，要么按最大内角分类，这两种不同的分类方式各自独立，如 等腰直角三角形按边的相等关系分类属于等腰三角形，按最大内角 分类属于直角三角形 例2[教材P3例题]如图，在△ABC中，点D在边BC上，BD= AD=DC=AC. (1)写出以点C为顶点的三角形； (2)写出以AB为边的三角形； (3)找出图中的等腰三角形和等边三 角形 【答案】解：（1)以点C为顶点的三角形是△ABC,△ADC (2)以AB为边的三角形是△ABC,△ABD, (3)等腰三角形是△ABD,△ADC;等边三角形是△ADC. 4 随堂笔记8年级数学RJ上册 一反三>参考答案见答案册P1 2-1下面给出的四个三角形都 有一部分被遮挡，其中不能判 断三角形类型的是() B C D 3-1如图，在直角三角形 ABC中，∠ACB=90°，∠A= 30°，点P从点A出发，沿射 线AB的方向运动，在运动开 始后，△PCB形状的变化过 程中，依次出现的特殊三角 形是() A P B A.直角三角形→等边三角 形→直角三角形 B.等边三角形→直角三角 形→等腰三角形 C.等边三角形→等腰三角 形→直角三角形 D.等腰三角形→直角三角 形→等边三角形 例3根据下列所给条件，判断△ABC的形状！ (1)∠A=45°，∠B=65°，∠C=70°；(2)∠C=120°； (3)∠C=90°；(4)AB=BC=4,AC=5. 【答案】解：（1)因为∠A=45°，∠B=65°，∠C=70°， 所以∠A<90°，∠B<90°，∠C<90°， 所以△ABC为锐角三角形.按最大内角分类 (2)因为∠C=120>90°， 所以△ABC为钝角三角形.按最大内角分美 (3)因为∠C=90°， 所以△ABC为直角三角形.按最大内角分美 (4)因为AB=BC, 所以△ABC为等腰三角形.按边的相等关系分类 课本练习[教材P3练习] 1.如图，在△ABC中，AB=BC=CA,点O在△ABC内，OA= OB=OC,找出图中的等腰三角形和等边三角形 E (第1题) (第2题) 2.如图，在△ABC中，∠BAC是直角，AD⊥BC,垂足为D, 点E在线段BD上，找出图中的锐角三角形、直角三角形和 钝角三角形 课后·提升笔记 题型训练， 题型1●》确定三角形 例如图所示。 (1)图中共有多少个三角形？ (2)线段AE是哪些三角形的边？ (3)∠B是哪些三角形的角？ BD E 【答案】解：(1)图中共有6个三角形，它们分别是△ABD: △ABE,△ABC,△ADE,△ADC,△AEC (2)线段AE是△ABE,△ADE和△AEC的边， (3)∠B是△ABD,△ABE和△ABC的角. 答案 1.等腰三角形有△ABC, △OAB,△OAC,△OBC;等 边三角形有△ABC. 2.锐角三角形有△AEC;直 角三角形有△ADC,△ADE, △ADB,△BAC;钝角三角形 有△ABE. 变式训练》参考答案见答案册P1 1-1如图所示. (1)图中共有几个三角形？ (2)写出△ABD的三个内角. (3)含AB边的三角形有哪些？ D G 第十三章三角形 5 题型2●》>判断三角形的形状 )变式训练>参考答案见答案册P1 例2下列说法正确的是( ) 2-1如图，某三角形被木板 A.直角三角形一定不是等腰三角形 遮住了一部分，这个三角形 B.等腰三角形一定不是锐角三角形 是() C.钝角三角形一定不是等腰三角形 D.等边三角形一定不是钝角三角形 【解析】 选项 理由 判断 A 等腰直角三角形既是直角三角形，又是等腰三角形 × A.锐角三角形 & 等边三角形既是等腰三角形，又是锐角三角形 + B.直角三角形 顶角是钝角的等腰三角形既是钝角三角形，又是等腰 C.钝角三角形 三角形 D.以上都有可能 D 等边三角形的三个内角都是锐角，故一定不是钝角三角形 【答案】D ★方法流我： 判断三角形形状的方法 确定分类标准 按最大 按边的相 内角 等关系 看最大 看是否有 角是哪 边相等 一类角 链接中考 考点三角形的个数 典例2[绍兴中考]若有一条公共边的两个三角 形称为一对“共边三角形”，则图中以BC为 题型 难度 分值 公共边的“共边三角形”有（) 选择题、填空题 ★☆☆ 3分 典例[柳州中考]如图，图中直角三角形共有 ) D A.2对 B.3对C.4对D.6对 B 【解析】△BDC与△BEC,△BDC与△BAC, A.1个 B.2个C.3个 D.4个 △BEC与△BAC,共3对. 【解析】图中有直角三角形ABD,直角三角形 【答案】B BDC,直角三角形ABC,共有3个 【答案】C 6 随堂笔记8年级数学RJ上册