13.2.1三角形的边（导学案）数学新教材人教版八年级上册

该初中数学导学案聚焦“三角形的边”，核心知识点包括三角形三边关系（任意两边之和大于第三边、之差小于第三边）、稳定性及等腰三角形周长计算。课堂导入通过“哪吒路线”情境引导学生从生活现象抽象出三边关系，再经变形推导和追问简化判断方法，构建从具体到抽象的学习支架。 该导学案通过自主预习、实验探究（如三角形木架稳定性演示）、分层典例（含参数及等腰三角形问题）和变式训练，培养学生用数学眼光观察现实（情境抽象）、用数学思维推理（实验归纳、分类讨论）、用数学语言表达（规范解题）的核心素养，助力自主学习与严谨思维养成。

13.2.1 三角形的边 （导学案） 【学习目标】 1、理解并掌握三角形三边关系：“三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”。 2、能利用三边关系判断三条线段能否组成三角形，会求已知两边时第三边的取值范围。 3、理解三角形的稳定性，能识别生活中利用三角形稳定性的实例。 4、会解决等腰三角形边长、周长的相关计算问题，掌握分类讨论和检验构三角形的解题规范。 【学习重点】 三角形三边关系的探究与应用；三角形的稳定性的理解。 【学习难点】灵活运用三边关系解决含参数的边长、等腰三角形周长问题；理解“任意”的含义，养成解题时验证三角形的习惯。 【自主预习】阅读教材，完成以下问题： 1. 三角形三边的关系 (1)任意两边之和大于第三边：,, (2)任意两边之差小于第三边：,, 2. 三角形的稳定性 三角形具有稳定性，四边形没有稳定性 【课堂探究】 探究一、三边的关系 1. 三边满足的关系 “哪吒从家到太乙真人洞府的三条路线”问题： 【提问】：哪条路最短？为什么？ 线段BC，两点之间线段最短 引导推导：结合路线问题，给出△ABC的三边AB、AC、BC， 【提问】由“AC是最短路径”能得到什么不等式？ 同理，BC+AB和AC是什么关系？AC+BC和AB呢？ 【归纳总结】： “三角形任意两边之和大于第三边”。 【变形推导】：引导学生利用不等式性质，对上述三个式子进行变形，得出“三角形任意两边之差小于第三边”。 / / / 【追问】：要判断三条线段能否组成三角形，需要验证所有三组关系吗？有没有更简单的方法？ 只需验证“较短两边之和大于最长边”即可，简化判断方法 2. 新知应用 1.下列长度的三条线段能否组成三角形？为什么？ （1）3，3，6 （2）2，5，6 （3）15，16，2 （4）3，8，20 解：(1)∵3+3=6， ∴这三条线段不能组成一个三角形. (2)∵2+5>6， ∴这三条线段能组成一个三角形. (3)∵15+2>16， ∴这三条线段能组成一个三角形. (4)∵3+8<20， ∴这三条线段不能组成一个三角形. 【注意】：只要满足较小的两条线段之和大于第三条线段，或较长线段与最短线段之差小于中间线段，便可构成三角形;若不满足，则不能构成三角形. 2.三条线段分别满足下列条件，其中能构成三角形的是( C ) A. B. C. D. 3.从长为的四根本条中选出其中三根组成三角形，可以选 或或 (写出所有的方案) 4.若三角形的两边分别为和，则第三条边长的取值范围为 【方法总结】:已知三角形的两边，确定第三边的取值范围，其方法是：第三边大于已知两边之差，小于已知两边之和。 探究二、三角形的稳定性 1. 探究三角形的稳定性 【演示实验】 （1）拿出预先做好的三角形木架，扭动它，提问：形状改变吗？ 不会 （2）拿出四边形木架，扭动它，提问：形状改变吗？ 不会 （3）在四边形木架上钉一根木条，连接一对顶点，再扭动，提问：现在形状改变吗？ 不会 【总结】：三角形具有稳定性，四边形没有稳定性。 2. 针对训练 1.如图，在建筑工地我们常看见用木条EF固定矩形门框ABCD的情形，这种做法的根据是(　C　) A．两点之间线段最短 B．两点确定一条直线 C．三角形的稳定性 D．矩形的四个角是直角 2.下列不是利用三角形的稳定性的是（ C ） A.自行车的三角形车架 B.三角形房梁 C.四边形活动挂架 D.长方形门框的斜拉条 3.空调安装在墙上时，一般都会采用如图所示的方法固定，这种方法应用的几何原理是三角形具有稳定性 4.(1)在如图所示的图形中，哪些具有稳定性？ (2)对上图中不具有稳定性的图形，请适当地添加线段，使之具有稳定性． 解(1)1，4，6具有稳定性 2，3，5不具有稳定 (2)如图所示 【规律与方法】怎样判断一个图形是否具有稳定性 从整体上看，如果这个图形全部是由三角形组成的，一般情况下，这个图形就具有稳定性；如果这个图形中除含有三角形外，还含有其他图形（如四边形），那么一般情况下，这个图形不具有稳定性 典例分析 例1(1).已知等腰三角形的腰等于7，底边等于8，则它的周长为____22______ (2).已知等腰三角形的一边等于7，另一边等于8，则它的周长为___ 22或23___ (3).已知等腰三角形的一边等于3，另一边等于8，则它的周长为 19 【易错题型】：必须验证是否能够构成三角形 例2.如果是△ABC的三边，满足 (1)求的取值范围； (2)若a为偶数，求三角形的周长. 解(1)由题意可得：解得： 将代入可得： ∵ ∴ (2)∵为偶数 ∴或或 当时，三角形的周长为：13 当时，三角形的周长为：15 当时，三角形的周长为：17 综上所述：三角形的周长为13，15或17. 例3.已知的三边长分别为,,10,求的取值范围． 解：由三角形三边关系定理得到：， 解①得， 解②得， 解③得， 不等式组的解集为． 例4.用一条长为18cm的细绳围成一个等腰三角形. （1）如果腰长是底边的2倍，那么各边的长是多少？ （2）能围成有一边的长为4cm的等腰三角形吗？为什么？ （3）能围成有一边的长为9cm的等腰三角形吗？为什么？ （4）假设等腰三角形的腰长为,求的取值范围？ （5）假设等腰三角形的底边长为,求的取值范围？ （6）假设等腰三角形的最长边为,求的取值范围？ （7）三角形每条边的长度都是整数，最多可以围出几个满足条件的等腰三角形？请分别写出各等腰三角形的边长 解（1）：设等腰三角形底边长为,则腰长为 ∴ 解得 ∴此时各边的长为，， (2) 能围成，理由如下： 当为腰长时：底边长为： ∵ ∴不能围成三角形，因此腰长不能为4cm. 当为底边时：腰长为： ∵ ∴能围成底边长的等腰三角形 综上所述：能围成底边长的等腰三角形。 (3) 不能围成一边长是9cm的等腰三角形，理由如下： 分两种情况讨论，如下： ①当长为的边为腰时，设底边长为,根据题意， 得，解得， 所以腰长为时，不能围成等腰三角形； ②当长为的边为底边时，设腰长为,根据题意， 得，解得, 由，可知两条线段的和等于第三条线段，所以以为底边长不能组成三角形. 故不能围成一边长是9cm的等腰三角形； （4）由题意可知三边长为,, 当腰为短边时：解得 当腰为长边：解得 ∴取值范围为 （5）由题意可知三边长为,,, 则有 解得： ∴取值范围为 （6）由题意可知 解得： ∴取值范围为 （7）设等腰三角形的腰长为,则等腰三角形的底边长为, 由题意得：解得： , ∵取整数，∴或, 当时，;当时，; 当时，;当时，; ∴最多可以围出个满足条件的等腰三角形，等腰三角形的边长分别为或或或. 变式训练 1.已知三角形的三边长分别为3,,4，求的取值范围 解：由两边之和大于第三边，两边之差小于第三边 则：即 2.已知三角形三条边的长分别为，，，求的取值范围 解：由题意可得∴ 3.若是△ABC的三边，化简： 解：∵两边之和大于第三边，两边之差小于第三边 ∴,, ∴原式= 4.若等腰三角形的三边长分别为，，，求三角形的周长 解 ①当底边长为时，，解得， 此时三边长分别为，，，不符合三角形三边关系； ②当底边长为时，，解得， 此时三边长分别为，，，符合三角形三边关系； ③当底边长为时，，解得， 此时三边长分别为，不符合三角形三边关系. ∴三角形的周长为. 5.如图，是一个四边形木框，为了使它保持稳定的形状，需在或上钉上一根木条，现量得，，，，试问所需的木条长度至少要多长(结果保留整厘米数) 解:当连接时,在△中: 在△中： 即 当连接时,在△中: 在△中： 即 综上所述：所需的木条长度至少要 【课堂总结】 1.三角形的三边关系（核心考点） (1)任意两边之和大于第三边：,, (2)任意两边之差小于第三边：,, 2.判断三条线段能否围成三角形 最快方法：最短两边之和最长边​只要这一条成立，其余自动成立。 3.已知两边，求第三边的取值范围 设已知两边为 ，第三边为，则：如果是整数边，再在这个范围内数整数解即可 4.三角形具有稳定性，四边形没有稳定性 【课堂练习】 1．下列图形中，不具有稳定性的是(　B　) 2．王师傅用4根木条钉成一个四边形木架，如图要使这个木架不变形，他至少要再钉上木条(　B　) A．0根 B．1根 C．2根 D．3根 3.若三角形的两边分别为2和3，则第三条边可能是( B ) A.1 B. 2 C.5 D.6 4.三角形ABC中，三边均为整数，周长为11，且有一边为4，则这个三角形可能最长边是（ C ） A.7 B.6 C.5 D.4 5.若一个三角形有两边长为5和2，第三边长为奇数，则此三角形的周长为 12 6.在三角形ABC中，AB=7,BC=3，并且AC为奇数,那么三角形ABC的周长 15或17或19 。 【课后反思】本节课学习中，你有哪些收获，还有哪些问题？ 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 13.2.1 三角形的边 （导学案） 【学习目标】 1、理解并掌握三角形三边关系：“三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”。 2、能利用三边关系判断三条线段能否组成三角形，会求已知两边时第三边的取值范围。 3、理解三角形的稳定性，能识别生活中利用三角形稳定性的实例。 4、会解决等腰三角形边长、周长的相关计算问题，掌握分类讨论和检验构三角形的解题规范。 【学习重点】 三角形三边关系的探究与应用；三角形的稳定性的理解。 【学习难点】灵活运用三边关系解决含参数的边长、等腰三角形周长问题；理解“任意”的含义，养成解题时验证三角形的习惯。 【自主预习】阅读教材，完成以下问题： 1. 三角形三边的关系 (1)任意两边之和 第三边：_____________________ (2)任意两边之差 第三边：_____________________ 2. 三角形的稳定性 三角形具有 ，四边形 【课堂探究】 探究一、三边的关系 1. 三边满足的关系 “哪吒从家到太乙真人洞府的三条路线”问题： 【提问】：哪条路最短？为什么？ 引导推导：结合路线问题，给出△ABC的三边AB、AC、BC， 【提问】由“AC是最短路径”能得到什么不等式？ 同理，BC+AB和AC是什么关系？AC+BC和AB呢？ 【归纳总结】： ___________________________。 【变形推导】：引导学生利用不等式性质，对上述三个式子进行变形，得出“三角形任意两边之差小于第三边”。 __________________________________ __________________________________ __________________________________ 【追问】：要判断三条线段能否组成三角形，需要验证所有三组关系吗？有没有更简单的方法？ 2. 新知应用 1.下列长度的三条线段能否组成三角形？为什么？ （1）3，3，6 （2）2，5，6 （3）15，16，2 （4）3，8，20 2.三条线段分别满足下列条件，其中能构成三角形的是( ) A. B. C. D. 3.从长为的四根本条中选出其中三根组成三角形，可以选 (写出所有的方案) 4.若三角形的两边分别为和，则第三条边长的取值范围为 【方法总结】:已知三角形的两边，确定第三边的取值范围，其方法是：第三边大于已知两边之差，小于已知两边之和。 探究二、三角形的稳定性 1. 探究三角形的稳定性 【演示实验】 （1）拿出预先做好的三角形木架，扭动它，提问：形状改变吗？ （2）拿出四边形木架，扭动它，提问：形状改变吗？ （3）在四边形木架上钉一根木条，连接一对顶点，再扭动，提问：现在形状改变吗？ 【总结】： 2. 针对训练 1.如图，在建筑工地我们常看见用木条EF固定矩形门框ABCD的情形，这种做法的根据是(　　) A．两点之间线段最短 B．两点确定一条直线 C．三角形的稳定性 D．矩形的四个角是直角 2.下列不是利用三角形的稳定性的是（ ） A.自行车的三角形车架 B.三角形房梁 C.四边形活动挂架 D.长方形门框的斜拉条 3.空调安装在墙上时，一般都会采用如图所示的方法固定，这种方法应用的几何原理是 4.(1)在如图所示的图形中，哪些具有稳定性？ (2)对上图中不具有稳定性的图形，请适当地添加线段，使之具有稳定性． 【规律与方法】怎样判断一个图形是否具有稳定性 典例分析 例1(1).已知等腰三角形的腰等于7，底边等于8，则它的周长为__________ (2).已知等腰三角形的一边等于7，另一边等于8，则它的周长为__________ (3).已知等腰三角形的一边等于3，另一边等于8，则它的周长为_______ 【易错题型】：必须验证是否能够构成三角形 例2.如果是△ABC的三边，满足 (1)求的取值范围； (2)若a为偶数，求三角形的周长. 例3.已知的三边长分别为,,10,求的取值范围． 例4.用一条长为18cm的细绳围成一个等腰三角形. （1）如果腰长是底边的2倍，那么各边的长是多少？ （2）能围成有一边的长为4cm的等腰三角形吗？为什么？ （3）能围成有一边的长为9cm的等腰三角形吗？为什么？ （4）假设等腰三角形的腰长为,求的取值范围？ （5）假设等腰三角形的底边长为,求的取值范围？ （6）假设等腰三角形的最长边为,求的取值范围？ （7）三角形每条边的长度都是整数，最多可以围出几个满足条件的等腰三角形？请分别写出各等腰三角形的边长 变式训练 1.已知三角形的三边长分别为3,,4，求的取值范围 2.已知三角形三条边的长分别为，，，求的取值范围 3.若是△ABC的三边，化简： 4.若等腰三角形的三边长分别为，，，求三角形的周长 5.如图，是一个四边形木框，为了使它保持稳定的形状，需在或上钉上一根木条，现量得，，，，试问所需的木条长度至少要多长(结果保留整厘米数) 【课堂总结】 1.三角形的三边关系（核心考点） (1)任意两边之和大于第三边：______________________________ (2)任意两边之差小于第三边：______________________________ 2.判断三条线段能否围成三角形 最快方法：最短两边之和最长边​只要这一条成立，其余自动成立。 3.已知两边，求第三边的取值范围 设已知两边为 ，第三边为，则：__________如果是整数边，再在这个范围内数整数解即可 4.三角形具有稳定性，四边形没有稳定性 【课堂练习】 1．下列图形中，不具有稳定性的是(　　) 2．王师傅用4根木条钉成一个四边形木架，如图要使这个木架不变形，他至少要再钉上木条(　　) A．0根 B．1根 C．2根 D．3根 3.若三角形的两边分别为2和3，则第三条边可能是( ) A.1 B. 2 C.5 D.6 4.三角形ABC中，三边均为整数，周长为11，且有一边为4，则这个三角形可能最长边是（ ） A.7 B.6 C.5 D.4 5.若一个三角形有两边长为5和2，第三边长为奇数，则此三角形的周长为________ 6.在三角形ABC中，AB=7,BC=3，并且AC为奇数,那么三角形ABC的周长______________。 【课后反思】本节课学习中，你有哪些收获，还有哪些问题？ 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $