第1章 空间向量与立体几何概念清单速记表（知识清单）数学人教B版选择性必修第一册

第1章 空间向量与立体几何清单速记表 章节 概念 定义或说明 相关概念 1.1 空间向量及其运算 空间向量 在空间中，既有大小又有方向的量叫作空间向量（简称为向量），向量的大小称为模。大小相等、方向相同的向量相等；始点与终点相同的向量为零向量，方向不确定；模等于 1 的向量为单位向量。 向量、模、零向量、单位向量、相等向量 共线向量（平行向量） 方向相同或相反的两个非零向量称为平行向量，两个向量平行也称共线；约定零向量与任意向量平行。 平行、共线向量基本定理 共线向量基本定理 若 且 ，则存在唯一的实数 ，使 。 共线向量、存在唯一实数 共面向量 空间中的多个向量，若表示它们的有向线段经过平移后都能在同一平面内，则称这些向量共面，否则称不共面。空间中任意两个向量都共面，任意三个向量不一定共面。 共面、不共面、共面向量定理 共面向量定理 若 不共线，则向量 与 共面的充要条件是存在唯一的实数对 ，使 。由此可判断四点是否共面。 共面、四点共面的判定 空间向量的加法与减法 空间向量的加法满足三角形法则和平行四边形法则，且满足交换律与结合律；减法可看成加法，。 三角形法则、平行四边形法则、相反向量 空间向量的数乘 实数 与空间向量 的积记作 ：当 时与 同向，当 时与 反向，模为 ；当 或 时，。运算律：，。 线性运算、数乘运算律 空间向量的夹角与垂直 空间两个非零向量 的夹角记作 ，满足 ；当 时称 与 垂直，记作 ；约定零向量与任意向量垂直。 夹角、垂直 空间向量的数量积 ，几何意义与投影有关。性质：，。坐标式：若 ，，则 。 夹角、垂直、投影 空间向量基本定理 若 不共面，则对空间中的任意向量 ，存在唯一的有序实数组 ，使 。此时 称为空间向量的一组基底， 称为基向量。 基底、基向量、分解式、线性组合 空间向量的坐标 若基底 为单位正交基底，且 ，则有序实数组 为向量 的坐标。向量的坐标等于表示它的有向线段的终点坐标减去始点坐标；两向量相等的充要条件是坐标分量对应相等。 单位正交基底、单位正交分解、坐标分量 空间直角坐标系 在空间中选定一点 O 为原点，过 O 作两两垂直的数轴 x 轴、y 轴、z 轴，建立空间直角坐标系。通过每两个坐标轴的平面称为坐标平面（xOy 平面、yOz 平面、zOx 平面）；空间中的点 M 与有序实数组 一一对应， 称为点 M 的坐标，x、y、z 分别为横坐标、纵坐标、竖坐标。三个坐标平面把空间分成八个卦限。 坐标轴、坐标平面、卦限、点的坐标 空间两点间的距离公式与中点坐标公式 设 ，，则 ；线段 AB 的中点 M 的坐标为 。 距离公式、中点坐标公式 1.2 空间向量在立体几何中的应用 位置向量 在空间中指定一点 O 后，空间中任意一点 P 的位置都可以由向量 唯一确定，称 为点 P 的位置向量。 点、坐标 直线的方向向量 若 是非零向量，且表示 的有向线段所在直线与直线 l 平行或重合，则称 为直线 l 的一个方向向量。直线可由其上一点和一个方向向量唯一确定，且直线 l 的任意两个方向向量都平行。 直线、平行、共线 平面的法向量 若 是非零向量，且表示 的有向线段所在直线与平面 α 垂直，则称 为平面 α 的一个法向量。平面可由其上一点和一个法向量唯一确定，且平面 α 的任意两个法向量都平行。 平面、垂直 两直线所成的角 设直线 的方向向量为 ，则两直线所成角 满足 ；特别地，。 线线角、垂直、夹角 直线与平面的位置关系 设直线 l 的方向向量为 ，平面 α 的法向量为 ：若 （即 ），则 l 平行于 α 或在 α 内；若 ，则 l 垂直于 α。 平行、垂直、相交 平面与平面的位置关系 设平面 的法向量为 ：若 ，则两平面平行或重合；若 ，则两平面垂直。 平行、垂直 异面直线与公垂线段 既不平行也不相交的两条直线称为异面直线。若 不共面，则 为异面直线。与两条异面直线都垂直且相交的线段称为公垂线段，它存在且唯一；公垂线段的长称为两条异面直线之间的距离，即两异面直线上任意两点间距离的最小值。 异面直线、公垂线、异面直线距离 三垂线定理及其逆定理 三垂线定理：平面内的一条直线，如果与平面的一条斜线在该平面内的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直。三垂线定理的逆定理：平面内的一条直线，如果与平面的一条斜线垂直，那么它也和这条斜线在该平面内的射影垂直。 斜线、射影、垂直 直线与平面所成的角 直线与平面垂直时所成角为 90°，直线与平面平行或直线在平面内时所成角为 0°。斜线与平面所成的角是斜线与它在平面内的射影所成的角，也是斜线与平面内所有直线所成角中最小的角。设直线方向向量为 ，平面法向量为 ，则 。 斜线、射影、线面角 二面角及其平面角 从一条直线出发的两个半平面组成的图形称为二面角，这条直线称为二面角的棱，两个半平面称为二面角的面。在棱上任取一点，分别在两个半平面内作垂直于棱的射线，这两条射线所成的角称为二面角的平面角；平面角为直角的二面角称为直二面角。二面角的大小不小于 0° 且不大于 180°。 半平面、棱、面、直二面角 两平面的夹角 两个相交平面所成的角，是它们所形成的四个二面角中不小于 0° 且不大于 90° 的角。设两平面的法向量为 ，则所成角 满足 。 二面角、法向量 点到直线的距离 过直线外一点作直线的垂线段，垂线段的长称为点到直线的距离，即该点与直线上任意一点连线的长度中的最小值。 距离、垂线段 点到平面的距离 过平面外一点作平面的垂线段，垂线段的长称为点到平面的距离，即该点与平面内任意一点连线的长度中的最小值。设 A 为平面外一点，B 为平面内一点，平面的法向量为 ，则 。 距离、射影、投影 平行直线与平面、平行平面间的距离 直线与平面平行时，直线上任意一点到平面的距离称为直线与这个平面之间的距离；两个平行平面之间，一个平面内任意一点到另一个平面的距离称为这两个平行平面之间的距离。线面距离与面面距离都可归结为点到平面的距离。 线面距离、面面距离、公垂线 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $