第二章 平面解析几何（13考点+3易错+易错训练）（知识清单）数学人教B版高二选择性必修第一册

该高中数学知识清单系统梳理了平面解析几何核心内容，涵盖直线、圆、椭圆、双曲线、抛物线等知识范畴，搭建了从基础概念（倾斜角、斜率）到方程形式、位置关系，再到轨迹方程、离心率求解的递进式学习支架。 清单通过表格对比（如直线方程适用条件、圆锥曲线定义性质）、易错点标注（如焦点三角形离心率公式、中点弦点差法）呈现知识体系，培养数学思维与数学语言。设计“对点训练”与方法总结（如待定系数法、参数法），助力学生构建逻辑联系，教师可据此精准教学，提升学习实效。

第二章 平面解析几何 一　直线的倾斜角与斜率 1．要正确理解直线倾斜角的定义，明确直线倾斜角的范围0°≤α<180°，熟记直线的斜率公式k＝(x2≠x1)，该公式与两点顺序无关．已知两点坐标(x1，y1)，(x2，y2)(x1≠x2)，根据该公式可以求出经过两点的直线的斜率，当x1＝x2，y1≠y2时，直线的斜率不存在，此时直线的倾斜角为90°. 2．在分析直线的倾斜角与斜率的关系时，可根据正切函数k＝tanα的单调性判断．当α∈时，k是关于α的增函数，当α的取值在此区间内由0增大到时，k由0增大到＋∞；当α∈时，k也是关于α的增函数，当α在此区间内由增大到π(α≠π)时，k由－∞增大到0(α≠0)．当然，解决此类题时，也可利用数形结合思想，借助图形，直观地作出判断． 3．要正确运用直线的方向向量和法向量，首先，一条直线的方向向量与法向量互相垂直，其次由方向向量或法向量可得到直线的斜率，即若a＝(u，v)是直线l的一个方向向量，则u＝0时，斜率不存在；u≠0时，斜率k＝. 二　直线方程的几种形式 名称 方程 常数的几何意义 适用条件 点斜式 y－y0＝k(x－x0) (x0，y0)是直线上的一个定点，k是斜率 直线不垂直于x轴 斜截式 y＝kx＋b k是斜率，b是直线在y轴上的截距 直线不垂直于x轴 两点式 ＝ (x1，y1)，(x2，y2)是直线上的两个定点 直线不垂直于x轴和y轴 截距式 ＋＝1 a，b分别是直线在x轴、y轴上的非零截距 直线不垂直于x轴和y轴，且不过原点 一般式 Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为0) A，B，C为系数 任何情况 特殊直线 x＝a(y轴：x＝0) 垂直于x轴且过点(a，0) 斜率不存在 y＝b(x轴：y＝0) 垂直于y轴且过点(0，b) 斜率k＝0 解题时要根据题目条件灵活选择，注意其适用条件：点斜式和斜截式不能表示斜率不存在的直线，两点式不能表示与坐标轴垂直的直线，截距式不能表示与坐标轴垂直和过原点的直线，一般式虽然可以表示任何直线，但要注意A2＋B2≠0，必要时要对特殊情况进行讨论． 三　两直线的平行与垂直 直线的方程 l1：y＝k1x＋b1， l2：y＝k2x＋b2 l1：A1x＋B1y＋C1＝0， l2：A2x＋B2y＋C2＝0 平行的等价条件 l1∥l2⇔ k1＝k2且b1≠b2 l1∥l2⇔A1B2－A2B1＝0，且B1C2－B2C1≠0 垂直的等价条件 l1⊥l2⇔ k1k2＝－1 l1⊥l2⇔ A1A2＋B1B2＝0 由两直线的方程判断两条直线是否平行或垂直时，要注意条件的限制；同时已知平行或垂直关系求直线的方程或确定方程的系数关系时，要根据题目条件设出合理的直线的方程．结合方向向量和法向量，与直线l：Ax＋By＋C＝0平行的直线可设为Ax＋By＋C1＝0(C1≠C)，与直线l垂直的直线可设为Bx－Ay＋C2＝0. 四　距离问题 类型 已知条件 公式 两点间的距离 A(x1，y1)，B(x2，y2) d＝ 点到直线的距离 P(x0，y0)， l：Ax＋By＋C＝0 (A，B不同时为0) d＝ 两条平行直线之间的距离 l1：Ax＋By＋C1＝0， l2：Ax＋By＋C2＝0 (A，B不同时为0) d＝ 学习时要注意特殊情况下的距离公式，并注意利用它的几何意义，解题时往往将代数运算与几何图形直观分析相结合． 五　圆的方程 1．圆的标准方程：(x－a)2＋(y－b)2＝r2，其中圆心是C(a，b)，半径是r.特别地，圆心在原点的圆的标准方程为x2＋y2＝r2.圆的一般方程：x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0)． 2．由于圆的方程均含有三个参变量(a，b，r或D，E，F)，而确定这三个参数必须有三个独立的条件，因此，三个独立的条件可以确定一个圆． 3．求圆的方程常用待定系数法，此时要善于根据已知条件的特征来选择圆的方程．如果已知圆心或半径，或圆心到直线的距离，通常可用圆的标准方程；如果已知圆经过某些点，通常可用圆的一般方程． 六　点与圆的位置关系 1．点在圆上 (1)如果一个点的坐标满足圆的方程，那么该点在圆上． (2)如果点到圆心的距离等于圆的半径，那么该点在圆上． 2．点不在圆上 (1)若点的坐标满足φ(x，y)＝x2＋y2＋Dx＋Ey＋F>0，则该点在圆外；若满足φ(x，y)＝x2＋y2＋Dx＋Ey＋F<0，则该点在圆内． (2)点到圆心的距离大于半径，则点在圆外；点到圆心的距离小于半径，则点在圆内． 注意：若点P是圆C外一定点，则该点与圆上的点的最大距离为dmax＝|PC|＋r，最小距离为dmin＝|PC|－r. 七　直线与圆的位置关系 直线与圆的位置关系有三种：相交、相离、相切，其判断方法有两种：代数法(通过解直线的方程与圆的方程组成的方程组，根据解的个数来判断公共点的个数)、几何法(由圆心到直线的距离d与半径r的大小关系来判断)． (1)当直线与圆相离时，圆上的点到直线的最大距离为d＋r，最小距离为d－r. (2)当直线与圆相交时，圆的半径、弦心距、弦长的一半构成直角三角形． (3)当直线与圆相切时，经常涉及圆的切线． ①若切线所过点(x0，y0)在圆x2＋y2＝r2上，则切线方程为x0x＋y0y＝r2；若切线所过点(x0，y0)在圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2上，则切线方程为(x0－a)(x－a)＋(y0－b)(y－b)＝r2； ②若切线所过点(x0，y0)在圆外，则切线有两条．此时解题时若用到直线的斜率，则要注意斜率不存在的情况也可能符合题意． (4)过直线l：Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为0)与圆C：x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0)的交点的圆系方程是x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＋λ(Ax＋By＋C)＝0，λ是待定的系数． 八　圆与圆的位置关系 两个不相等的圆的位置关系有五种：外离、外切、相交、内切、内含，其判断方法有两种：代数法(通过解两圆的方程组成的方程组，根据解的个数来判断，即根据公共点的个数来判断)、几何法(由两圆的圆心距d与半径r，R的和、差的大小关系来判断)． (1)求相交两圆的弦长时，可先求出两圆公共弦所在直线的方程，再利用相交两圆的几何性质和勾股定理来求弦长． (2)过圆C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0与圆C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0的交点的直线的方程为(D1－D2)x＋(E1－E2)y＋F1－F2＝0. 九　求轨迹方程的几种常用方法 1．直接法：建立适当的坐标系，设动点为(x，y)，根据几何条件直接寻求x，y之间的关系式． 2．代入法：利用所求曲线上的动点与某已知曲线上的一动点的关系，把所求动点转换为已知动点．具体地说，就是用所求动点的坐标来表示已知动点的坐标并代入已知动点坐标满足的曲线的方程，由此即可求得所求动点的轨迹方程． 3．定义法：如果所给几何条件正好符合圆、椭圆、双曲线、抛物线等曲线的定义，则可直接利用这些已知曲线的方程写出动点的轨迹方程． 4．参数法：选择一个(或几个)与动点变化密切相关的量作为参数，用参数表示动点的坐标(x，y)，即得动点轨迹的参数方程，消去参数，可得动点轨迹的普通方程． 用参数求轨迹方程的关键在于选择适当的参数，其选择原则如下： (1)动点的运动是随着参数的变化而变化的，即参数能反映动点的变化特征； (2)参数与题设的已知量有密切的联系．常用的参数有物理参数(时间、速度、位移)和几何参数(角度、有向线段的数量、斜率、点坐标)等． 十　椭圆、双曲线、抛物线的定义、标准方程、几何性质 椭圆 双曲线 抛物线 定义 平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹 平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于常数(小于|F1F2|且不等于零)的点的轨迹 平面内与一个定点F和一条定直线l(F∉l)的距离相等的点的轨迹 标准方程 ＋＝1(a>b>0) －＝1(a>0，b>0) y2＝2px(p>0) 关系式 a2－b2＝c2 a2＋b2＝c2 — 图形 封闭图形 无限延展，有渐近线 无限延展，没有渐近线 对称性 对称中心为原点 无对称中心 两条对称轴 一条对称轴 顶点 四个 两个 一个 离心率 0<e<1 e>1 e＝1 准线方程 — — x＝－ 决定形状的因素 e决定扁平程度 e决定开口大小 2p决定开口大小 十一　待定系数法求圆锥曲线的标准方程 1．椭圆、双曲线的标准方程 求椭圆、双曲线的标准方程包括“定位”和“定量”两方面，一般先确定焦点的位置，再确定参数．当焦点位置不确定时，要分情况讨论，也可将方程设为一般形式：椭圆方程为Ax2＋By2＝1(A>0，B>0，A≠B)，其中当>时，焦点在x轴上，当<时，焦点在y轴上；双曲线方程为Ax2＋By2＝1(AB<0)，当A<0时，焦点在y轴上，当B<0时，焦点在x轴上． 另外，在求双曲线的标准方程的过程中，根据不同的已知条件采取相应方法设方程，常常可以简化解题过程，避免出错．如：与已知双曲线－＝1(a>0，b>0)共渐近线的双曲线方程可设为－＝λ(λ≠0)；已知所求双曲线为等轴双曲线，其方程可设为x2－y2＝λ(λ≠0)． 2．抛物线的标准方程 求抛物线的标准方程时，先确定抛物线的方程类型，再由条件求出参数p的大小．当焦点位置不确定时，要分情况讨论，也可将焦点在x轴或y轴上的抛物线方程设为一般形式y2＝2px(p≠0)或x2＝2py(p≠0)，然后建立方程求出参数p的值． 十二　求离心率的方法 1．定义法：由椭圆(双曲线)的标准方程可知，不论椭圆(双曲线)的焦点在x轴上还是在y轴上都有关系式a2－b2＝c2(a2＋b2＝c2)以及e＝.已知其中的任意两个参数，可以求其他的参数．这是基本且常用的方法． 2．方程法：建立参数a与c之间的齐次关系式，从而求出其离心率．这是求离心率的十分重要的思路及方法． 3．几何法：求与过焦点的三角形有关的离心率问题，根据平面几何性质以及椭圆(双曲线)的定义、几何性质，建立参数之间的关系，通过画出图形，观察线段之间的关系，使问题更形象、直观． 十三　直线与圆锥曲线的位置关系 1．直线与圆锥曲线的位置关系，可以通过讨论直线的方程与圆锥曲线方程组成的方程组的实数解的个数来确定，通常消去方程组中变量y(或x)得到关于变量x(或y)的方程，若为一元二次方程，考虑该一元二次方程的判别式Δ，则有Δ>0⇔直线与圆锥曲线相交于两点；Δ＝0⇔直线与圆锥曲线相切于一点；Δ<0⇔直线与圆锥曲线无公共点． 2．直线l截圆锥曲线所得的弦长|AB|＝或，其中k是直线l的斜率，(x1，y1)，(x2，y2)分别是直线与圆锥曲线的两个交点A，B的坐标，且(x1－x2)2＝(x1＋x2)2－4x1x2，x1＋x2，x1x2可由一元二次方程的根与系数的关系整体给出． 易错点1 焦点三角形中的离心率问题 易错提醒 1.在焦点三角形背景下求椭圆的离心率,一般结合椭圆的定义,运用已知条件研究出△PF1F2的三边长之比或内角正弦值之比.公式:e====. 2.在焦点三角形背景下求双曲线的离心率,一般结合双曲线的定义,运用已知条件研究出△PF1F2的三边长之比或内角正弦值之比. 公式:e====. 【对点训练】1．（2026·云南·模拟预测）（多选）已知椭圆：的两个焦点分别为，，点为上的动点，以下正确的是（     ） A．椭圆离心率为 B．的周长为6 C．的最小值为 D．面积的最大值为 易错点2 中点弦问题 易错提醒 处理椭圆中的中点弦问题主要有三种途径: (1)方程组法:通过联立直线方程与椭圆方程构成的方程组,利用一元二次方程根与系数的关系及中点坐标公式求解. (2)点差法:设出弦的两个端点的坐标,代入椭圆方程,两式相减即得弦的中点与斜率的关系; ①若方程为+=1,则有k=-·; ②若方程为+=1,则有k=-·. (3)中点转移法:先设出一个端点坐标,再借助中点得出另一个端点的坐标,分别代入椭圆方程作差即可. 【对点训练】2．（2026高三·全国·专题练习）已知双曲线经过点，其渐近线方程为． (1)求双曲线的方程； (2)过点的直线与双曲线相交于两点，能否是线段的中点？请说明理由． 易错点3 求离心率的值 易错提醒 关于离心率的求值 (1)利用条件求出a,c的值后直接计算离心率; (2)椭圆利用e==计算离心率;双曲线利用e==计算离心率; (3)根据题设条件,借助a,b,c之间的关系,构造出a,c的齐次式(一次或二次等式),进而得到关于e的方程,得出离心率e的值. 【对点训练】3．（（25-26高二上·山东潍坊·阶段检测）已知，分别为椭圆的左、右焦点，点为椭圆外轴上一点，线段与交于点，，内切圆的半径为，则椭圆的离心率为______. 一、单选题 1．（第03讲圆的方程（专项训练）（全国通用）2027年高考数学一轮复习讲练测）已知，，则以为直径的圆的方程为（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高二上·重庆·阶段检测）已知直线，则该直线的倾斜角是（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高二上·重庆·阶段检测）已知直线与垂直，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 4．（第01讲直线的方程（专项训练）（全国通用）2027年高考数学一轮复习讲练测）已知为坐标原点，过点的直线分别与轴的正半轴交于两点，则当的面积取得最小值时，直线的纵截距为（ ） A．4 B．7 C．8 D．14 5．（26-27高三上·湖北·开学考试）已知，是椭圆的左、右焦点，为上一点，且，，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 6．（26-27高三上·湖北·开学考试）已知抛物线的焦点为，准线为．过点作直线交于，两点，分别过，作的切线，两切线交于点．若，则直线的斜率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 7．（25-26高三上·上海·期中）已知正方体边长为，分别是棱，的中点，动点在正方形（包括边界）内运动，则平面的一个充分非必要条件是（   ）    A．为 B．为的中点 C．的轨迹长度为 D．为的中点 8．（2026·安徽宿州·模拟预测）已知是抛物线：的焦点，直线与抛物线相交于两点，满足，记线段的中点到抛物线的准线的距离为，则的最大值为（    ） A．2 B． C．3 D．4 二、多选题 9．（25-26高二下·广东揭阳·期末）已知圆：，直线：.若圆与直线有公共点，则的值可能为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 10．（25-26高二下·山西朔州·期中）设双曲线，则（    ） A．C的虚轴长为4 B．C的焦距为 C．C的离心率为 D．C的渐近线方程为 11．（25-26高二下·吉林长春·期末）（多选题）已知，是椭圆的左、右焦点，过点的直线与椭圆交于，两点，则（    ） A．的周长为4a B．当直线垂直于轴时， C．若，，则椭圆的离心率为 D．当时，椭圆上存在点，使得点向圆所引的两条切线互相垂直 三、填空题 12．（2026高三·全国·专题练习）倾斜角为的直线交椭圆于A、B两点，则线段AB中点M的轨迹方程是_______． 13．（25-26高二下·云南曲靖·期末）已知双曲线的左、右顶点分别为，，右焦点为，且，则的离心率为__________． 14．（25-26高二下·江西赣州·期末）已知抛物线的焦点为F，准线为l，P是C上一点，直线PF与l交于点Q，若，则________． 四、解答题 15．（25-26高二下·陕西汉中·期末）已知椭圆的两个焦点分别是，，并且其离心率为. (1)求椭圆的标准方程； (2)若直线与椭圆有两个公共点，求实数的取值范围. 16．（25-26高二下·贵州铜仁·期末）已知抛物线C： 上一点到准线的距离是3． (1)求； (2)求曲线C在点A处的切线方程． 17．（25-26高二下·吉林长春·期末）已知抛物线的焦点为． (1)求抛物线的方程； (2)设直线与抛物线相交于两点， （ⅰ）若，求实数的值； （ⅱ）为坐标原点，求重心的轨迹方程． 18．（25-26高二下·青海海东·期末）已知双曲线：的左顶点为，离心率为． (1)求的方程； (2)已知为坐标原点，直线与的左、右支分别交于点，，设直线，的斜率分别为，，求． 19．（25-26高二下·上海黄浦·期末）已知A、F分别是双曲线（常数）的右顶点和右焦点．记过一、三象限的渐近线为． (1)设，求双曲线的离心率和渐近线方程； (2)设，是上一点，若线段的中点在双曲线上，求点Q的坐标； (3)设，过A作两条相互垂直的直线与双曲线交于M、N两点（M在第一象限），若直线、分别与交于C、D两点，且与的面积之比为2，求直线的方程． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 4 / 17 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二章 平面解析几何 【答案】； ； 正切值； ； ； ； ； ； 增大； 增大； ； ； ； ； （，不同时为0） 【答案】 且； 且（或 且）； 无； 且； 且（或 且）； 无数； ； ； 一个； ； ； 一个； ； ； ； ； 【答案】； ； ； ； ； ； ； ； ； ； ； ； ； 【答案】； ； ； ； ； ； ； 【答案】； ； ； ； ； ； ； ； ； ； 原点； 【答案】； ； ； ； ； ； ； ； ； ； ； ； 1； 原点； 【答案】相等； ，； ，； ，； ，； ； ； ； ； 轴； 轴； ； 1 一　直线的倾斜角与斜率 1．要正确理解直线倾斜角的定义，明确直线倾斜角的范围0°≤α<180°，熟记直线的斜率公式k＝(x2≠x1)，该公式与两点顺序无关．已知两点坐标(x1，y1)，(x2，y2)(x1≠x2)，根据该公式可以求出经过两点的直线的斜率，当x1＝x2，y1≠y2时，直线的斜率不存在，此时直线的倾斜角为90°. 2．在分析直线的倾斜角与斜率的关系时，可根据正切函数k＝tanα的单调性判断．当α∈时，k是关于α的增函数，当α的取值在此区间内由0增大到时，k由0增大到＋∞；当α∈时，k也是关于α的增函数，当α在此区间内由增大到π(α≠π)时，k由－∞增大到0(α≠0)．当然，解决此类题时，也可利用数形结合思想，借助图形，直观地作出判断． 3．要正确运用直线的方向向量和法向量，首先，一条直线的方向向量与法向量互相垂直，其次由方向向量或法向量可得到直线的斜率，即若a＝(u，v)是直线l的一个方向向量，则u＝0时，斜率不存在；u≠0时，斜率k＝. 二　直线方程的几种形式 名称 方程 常数的几何意义 适用条件 点斜式 y－y0＝k(x－x0) (x0，y0)是直线上的一个定点，k是斜率 直线不垂直于x轴 斜截式 y＝kx＋b k是斜率，b是直线在y轴上的截距 直线不垂直于x轴 两点式 ＝ (x1，y1)，(x2，y2)是直线上的两个定点 直线不垂直于x轴和y轴 截距式 ＋＝1 a，b分别是直线在x轴、y轴上的非零截距 直线不垂直于x轴和y轴，且不过原点 一般式 Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为0) A，B，C为系数 任何情况 特殊直线 x＝a(y轴：x＝0) 垂直于x轴且过点(a，0) 斜率不存在 y＝b(x轴：y＝0) 垂直于y轴且过点(0，b) 斜率k＝0 解题时要根据题目条件灵活选择，注意其适用条件：点斜式和斜截式不能表示斜率不存在的直线，两点式不能表示与坐标轴垂直的直线，截距式不能表示与坐标轴垂直和过原点的直线，一般式虽然可以表示任何直线，但要注意A2＋B2≠0，必要时要对特殊情况进行讨论． 三　两直线的平行与垂直 直线的方程 l1：y＝k1x＋b1， l2：y＝k2x＋b2 l1：A1x＋B1y＋C1＝0， l2：A2x＋B2y＋C2＝0 平行的等价条件 l1∥l2⇔ k1＝k2且b1≠b2 l1∥l2⇔A1B2－A2B1＝0，且B1C2－B2C1≠0 垂直的等价条件 l1⊥l2⇔ k1k2＝－1 l1⊥l2⇔ A1A2＋B1B2＝0 由两直线的方程判断两条直线是否平行或垂直时，要注意条件的限制；同时已知平行或垂直关系求直线的方程或确定方程的系数关系时，要根据题目条件设出合理的直线的方程．结合方向向量和法向量，与直线l：Ax＋By＋C＝0平行的直线可设为Ax＋By＋C1＝0(C1≠C)，与直线l垂直的直线可设为Bx－Ay＋C2＝0. 四　距离问题 类型 已知条件 公式 两点间的距离 A(x1，y1)，B(x2，y2) d＝ 点到直线的距离 P(x0，y0)， l：Ax＋By＋C＝0 (A，B不同时为0) d＝ 两条平行直线之间的距离 l1：Ax＋By＋C1＝0， l2：Ax＋By＋C2＝0 (A，B不同时为0) d＝ 学习时要注意特殊情况下的距离公式，并注意利用它的几何意义，解题时往往将代数运算与几何图形直观分析相结合． 五　圆的方程 1．圆的标准方程：(x－a)2＋(y－b)2＝r2，其中圆心是C(a，b)，半径是r.特别地，圆心在原点的圆的标准方程为x2＋y2＝r2.圆的一般方程：x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0)． 2．由于圆的方程均含有三个参变量(a，b，r或D，E，F)，而确定这三个参数必须有三个独立的条件，因此，三个独立的条件可以确定一个圆． 3．求圆的方程常用待定系数法，此时要善于根据已知条件的特征来选择圆的方程．如果已知圆心或半径，或圆心到直线的距离，通常可用圆的标准方程；如果已知圆经过某些点，通常可用圆的一般方程． 六　点与圆的位置关系 1．点在圆上 (1)如果一个点的坐标满足圆的方程，那么该点在圆上． (2)如果点到圆心的距离等于圆的半径，那么该点在圆上． 2．点不在圆上 (1)若点的坐标满足φ(x，y)＝x2＋y2＋Dx＋Ey＋F>0，则该点在圆外；若满足φ(x，y)＝x2＋y2＋Dx＋Ey＋F<0，则该点在圆内． (2)点到圆心的距离大于半径，则点在圆外；点到圆心的距离小于半径，则点在圆内． 注意：若点P是圆C外一定点，则该点与圆上的点的最大距离为dmax＝|PC|＋r，最小距离为dmin＝|PC|－r. 七　直线与圆的位置关系 直线与圆的位置关系有三种：相交、相离、相切，其判断方法有两种：代数法(通过解直线的方程与圆的方程组成的方程组，根据解的个数来判断公共点的个数)、几何法(由圆心到直线的距离d与半径r的大小关系来判断)． (1)当直线与圆相离时，圆上的点到直线的最大距离为d＋r，最小距离为d－r. (2)当直线与圆相交时，圆的半径、弦心距、弦长的一半构成直角三角形． (3)当直线与圆相切时，经常涉及圆的切线． ①若切线所过点(x0，y0)在圆x2＋y2＝r2上，则切线方程为x0x＋y0y＝r2；若切线所过点(x0，y0)在圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2上，则切线方程为(x0－a)(x－a)＋(y0－b)(y－b)＝r2； ②若切线所过点(x0，y0)在圆外，则切线有两条．此时解题时若用到直线的斜率，则要注意斜率不存在的情况也可能符合题意． (4)过直线l：Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为0)与圆C：x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0)的交点的圆系方程是x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＋λ(Ax＋By＋C)＝0，λ是待定的系数． 八　圆与圆的位置关系 两个不相等的圆的位置关系有五种：外离、外切、相交、内切、内含，其判断方法有两种：代数法(通过解两圆的方程组成的方程组，根据解的个数来判断，即根据公共点的个数来判断)、几何法(由两圆的圆心距d与半径r，R的和、差的大小关系来判断)． (1)求相交两圆的弦长时，可先求出两圆公共弦所在直线的方程，再利用相交两圆的几何性质和勾股定理来求弦长． (2)过圆C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0与圆C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0的交点的直线的方程为(D1－D2)x＋(E1－E2)y＋F1－F2＝0. 九　求轨迹方程的几种常用方法 1．直接法：建立适当的坐标系，设动点为(x，y)，根据几何条件直接寻求x，y之间的关系式． 2．代入法：利用所求曲线上的动点与某已知曲线上的一动点的关系，把所求动点转换为已知动点．具体地说，就是用所求动点的坐标来表示已知动点的坐标并代入已知动点坐标满足的曲线的方程，由此即可求得所求动点的轨迹方程． 3．定义法：如果所给几何条件正好符合圆、椭圆、双曲线、抛物线等曲线的定义，则可直接利用这些已知曲线的方程写出动点的轨迹方程． 4．参数法：选择一个(或几个)与动点变化密切相关的量作为参数，用参数表示动点的坐标(x，y)，即得动点轨迹的参数方程，消去参数，可得动点轨迹的普通方程． 用参数求轨迹方程的关键在于选择适当的参数，其选择原则如下： (1)动点的运动是随着参数的变化而变化的，即参数能反映动点的变化特征； (2)参数与题设的已知量有密切的联系．常用的参数有物理参数(时间、速度、位移)和几何参数(角度、有向线段的数量、斜率、点坐标)等． 十　椭圆、双曲线、抛物线的定义、标准方程、几何性质 椭圆 双曲线 抛物线 定义 平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹 平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于常数(小于|F1F2|且不等于零)的点的轨迹 平面内与一个定点F和一条定直线l(F∉l)的距离相等的点的轨迹 标准方程 ＋＝1(a>b>0) －＝1(a>0，b>0) y2＝2px(p>0) 关系式 a2－b2＝c2 a2＋b2＝c2 — 图形 封闭图形 无限延展，有渐近线 无限延展，没有渐近线 对称性 对称中心为原点 无对称中心 两条对称轴 一条对称轴 顶点 四个 两个 一个 离心率 0<e<1 e>1 e＝1 准线方程 — — x＝－ 决定形状的因素 e决定扁平程度 e决定开口大小 2p决定开口大小 十一　待定系数法求圆锥曲线的标准方程 1．椭圆、双曲线的标准方程 求椭圆、双曲线的标准方程包括“定位”和“定量”两方面，一般先确定焦点的位置，再确定参数．当焦点位置不确定时，要分情况讨论，也可将方程设为一般形式：椭圆方程为Ax2＋By2＝1(A>0，B>0，A≠B)，其中当>时，焦点在x轴上，当<时，焦点在y轴上；双曲线方程为Ax2＋By2＝1(AB<0)，当A<0时，焦点在y轴上，当B<0时，焦点在x轴上． 另外，在求双曲线的标准方程的过程中，根据不同的已知条件采取相应方法设方程，常常可以简化解题过程，避免出错．如：与已知双曲线－＝1(a>0，b>0)共渐近线的双曲线方程可设为－＝λ(λ≠0)；已知所求双曲线为等轴双曲线，其方程可设为x2－y2＝λ(λ≠0)． 2．抛物线的标准方程 求抛物线的标准方程时，先确定抛物线的方程类型，再由条件求出参数p的大小．当焦点位置不确定时，要分情况讨论，也可将焦点在x轴或y轴上的抛物线方程设为一般形式y2＝2px(p≠0)或x2＝2py(p≠0)，然后建立方程求出参数p的值． 十二　求离心率的方法 1．定义法：由椭圆(双曲线)的标准方程可知，不论椭圆(双曲线)的焦点在x轴上还是在y轴上都有关系式a2－b2＝c2(a2＋b2＝c2)以及e＝.已知其中的任意两个参数，可以求其他的参数．这是基本且常用的方法． 2．方程法：建立参数a与c之间的齐次关系式，从而求出其离心率．这是求离心率的十分重要的思路及方法． 3．几何法：求与过焦点的三角形有关的离心率问题，根据平面几何性质以及椭圆(双曲线)的定义、几何性质，建立参数之间的关系，通过画出图形，观察线段之间的关系，使问题更形象、直观． 十三　直线与圆锥曲线的位置关系 1．直线与圆锥曲线的位置关系，可以通过讨论直线的方程与圆锥曲线方程组成的方程组的实数解的个数来确定，通常消去方程组中变量y(或x)得到关于变量x(或y)的方程，若为一元二次方程，考虑该一元二次方程的判别式Δ，则有Δ>0⇔直线与圆锥曲线相交于两点；Δ＝0⇔直线与圆锥曲线相切于一点；Δ<0⇔直线与圆锥曲线无公共点． 2．直线l截圆锥曲线所得的弦长|AB|＝或，其中k是直线l的斜率，(x1，y1)，(x2，y2)分别是直线与圆锥曲线的两个交点A，B的坐标，且(x1－x2)2＝(x1＋x2)2－4x1x2，x1＋x2，x1x2可由一元二次方程的根与系数的关系整体给出． 易错点1 焦点三角形中的离心率问题 易错提醒 1.在焦点三角形背景下求椭圆的离心率,一般结合椭圆的定义,运用已知条件研究出△PF1F2的三边长之比或内角正弦值之比.公式:e====. 2.在焦点三角形背景下求双曲线的离心率,一般结合双曲线的定义,运用已知条件研究出△PF1F2的三边长之比或内角正弦值之比. 公式:e====. 【对点训练】1．（2026·云南·模拟预测）（多选）已知椭圆：的两个焦点分别为，，点为上的动点，以下正确的是（     ） A．椭圆离心率为 B．的周长为6 C．的最小值为 D．面积的最大值为 【答案】ABD 【分析】由椭圆方程求出，即得离心率，判断A；根据椭圆的定义即可求出的周长，判断B；由椭圆上一点到焦点的距离最小值为，判断C；结合图形可知，当的边上的高最大时其面积最大，计算即可判断D. 【详解】由题可知，，则，则离心率，故A正确； 由椭圆的定义可知，， 所以的周长为，故B正确； 由图知，椭圆上一点到焦点的距离最小值为，即，故C错误； 由，则当点在上顶点或下顶点时， 即取得最大值时，面积的最大值为，故D正确. 易错点2 中点弦问题 易错提醒 处理椭圆中的中点弦问题主要有三种途径: (1)方程组法:通过联立直线方程与椭圆方程构成的方程组,利用一元二次方程根与系数的关系及中点坐标公式求解. (2)点差法:设出弦的两个端点的坐标,代入椭圆方程,两式相减即得弦的中点与斜率的关系; ①若方程为+=1,则有k=-·; ②若方程为+=1,则有k=-·. (3)中点转移法:先设出一个端点坐标,再借助中点得出另一个端点的坐标,分别代入椭圆方程作差即可. 【对点训练】2．（2026高三·全国·专题练习）已知双曲线经过点，其渐近线方程为． (1)求双曲线的方程； (2)过点的直线与双曲线相交于两点，能否是线段的中点？请说明理由． 【答案】(1) (2)假设是线段 的中点，设， 则由两式相减，可得， 因为是线段 的中点，， 代入上式，可得，即此时直线 的斜率为， 于是直线 的方程为，即 . 联立，消元得， ，所以方程无实数解， 即此时直线与双曲线无交点， 故不能是线段 的中点. 【分析】（1）由题设条件得出的方程，求解即得曲线的方程； （2）假设是线段 的中点，利用点差法求出直线的斜率，将得到直线的方程与双曲线方程联立，通过判别式判断方程是否有实根，即可确定能否为中点. 【详解】（1）双曲线经过点，得， 由渐近线方程为，得， 解得，， 双曲线的方程为 . （2）略 易错点3 求离心率的值 易错提醒 关于离心率的求值 (1)利用条件求出a,c的值后直接计算离心率; (2)椭圆利用e==计算离心率;双曲线利用e==计算离心率; (3)根据题设条件,借助a,b,c之间的关系,构造出a,c的齐次式(一次或二次等式),进而得到关于e的方程,得出离心率e的值. 【对点训练】3．（（25-26高二上·山东潍坊·阶段检测）已知，分别为椭圆的左、右焦点，点为椭圆外轴上一点，线段与交于点，，内切圆的半径为，则椭圆的离心率为______. 【答案】 【分析】根据条件，结合椭圆定义以及三角形内切圆性质，即可化简得到，再利用即可求得结果. 【详解】由得，， 又共线，故， 设，， 则， 所以，又， 且， 所以， 即， 又， 所以， 又， 联立，可得， 又， 化简得，， 又， 所以，， 即椭圆的离心率为. 一、单选题 1．（第03讲圆的方程（专项训练）（全国通用）2027年高考数学一轮复习讲练测）已知，，则以为直径的圆的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为以、为直径两端点的圆的圆心坐标为， 半径为，所以所求圆的标准方程为， 即以为直径的圆的方程为. 2．（25-26高二上·重庆·阶段检测）已知直线，则该直线的倾斜角是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题设知直线的斜率为，设该直线的倾斜角为，则， 又因为，故. 3．（25-26高二上·重庆·阶段检测）已知直线与垂直，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题意，与垂直，可得： ，解得. 4．（第01讲直线的方程（专项训练）（全国通用）2027年高考数学一轮复习讲练测）已知为坐标原点，过点的直线分别与轴的正半轴交于两点，则当的面积取得最小值时，直线的纵截距为（ ） A．4 B．7 C．8 D．14 【答案】D 【分析】设直线，根据已知有，再应用基本不等式求得，即可得面积最小值，确定等号成立条件即可得. 【详解】设直线，其中， 因为直线过点， 所以， 而，解得， 当且仅当，即时等号成立， 故，此时直线的纵截距为14. 5．（26-27高三上·湖北·开学考试）已知，是椭圆的左、右焦点，为上一点，且，，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由正弦定理和椭圆定义可得，求出答案 【详解】设． 在中，由三角形内角和得． 由正弦定理得，即． 由椭圆定义得，即，所以． 其中， ， 椭圆离心率，得． 6．（26-27高三上·湖北·开学考试）已知抛物线的焦点为，准线为．过点作直线交于，两点，分别过，作的切线，两切线交于点．若，则直线的斜率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设过，点的切线方程，分别与抛物线联立，求得切线方程，将切线方程联立，可求得．又，，即可求得直线的斜率的取值范围. 【详解】设直线的斜率为． 设过点的切线的斜率为，方程为． 联立，消去得． 由，得． 所以直线的方程为，化简得直线的方程为． 同理可得直线的方程为． 联立，解得. 又，且，代入上式化简得，即． 由于抛物线的焦点，所以． 因为，所以，解得或． 所以直线的斜率的取值范围是． 7．（25-26高三上·上海·期中）已知正方体边长为，分别是棱，的中点，动点在正方形（包括边界）内运动，则平面的一个充分非必要条件是（   ）    A．为 B．为的中点 C．的轨迹长度为 D．为的中点 【答案】D 【分析】取中点、中点，证得平面平面，得到点在正方形内的轨迹即可逐一分析选项. 【详解】取中点、中点，连接、、，则， 又分别是棱，的中点，则，所以， 平面，平面，所以平面， ，，则四边形为平行四边形，有， 平面，平面，所以平面， 平面，，故平面平面， 因此满足平面的点在正方形内的轨迹是线段，该线段长度为； 分析选项： 选项A：若，该点不在轨迹上，不满足条件； 选项B：若为中点，该点不在轨迹上，不满足条件； 选项C：的轨迹长度为不能得到平面，不满足充分性； 选项D：若为中点，则是线段的端点，必然满足平面， 但满足平面的点可以是线段上的任意点，不一定是中点，因此是充分非必要条件.    8．（2026·安徽宿州·模拟预测）已知是抛物线：的焦点，直线与抛物线相交于两点，满足，记线段的中点到抛物线的准线的距离为，则的最大值为（    ） A．2 B． C．3 D．4 【答案】A 【分析】设两焦半径，由抛物线定义将中点到准线距离转化为焦半径和的一半，再求焦点到中点距离的平方，利用基本不等式消元求比值的最大值. 【详解】设，过点分别作抛物线的准线的垂线，垂足分别为， 则，点到抛物线的准线的距离为， 因为， ， 所以， 又因为，所以，当且仅当时等号成立， 所以，故. 所以的最大值为. 二、多选题 9．（25-26高二下·广东揭阳·期末）已知圆：，直线：.若圆与直线有公共点，则的值可能为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】AB 【分析】利用若直线与圆有交点则圆心到直线的距离不大于半径的性质建立不等式求解即可. 【详解】圆的圆心，半径为，直线，若圆与直线有交点， 则圆心到直线的距离，解得，故选A、B. 10．（25-26高二下·山西朔州·期中）设双曲线，则（    ） A．C的虚轴长为4 B．C的焦距为 C．C的离心率为 D．C的渐近线方程为 【答案】BCD 【详解】由双曲线，即，则. 对于A，虚轴长为，故A错误； 对于B，焦距为，故B正确； 对于C，离心率为，故C正确； 对于D，渐近线方程为，即，故D正确. 11．（25-26高二下·吉林长春·期末）（多选题）已知，是椭圆的左、右焦点，过点的直线与椭圆交于，两点，则（    ） A．的周长为4a B．当直线垂直于轴时， C．若，，则椭圆的离心率为 D．当时，椭圆上存在点，使得点向圆所引的两条切线互相垂直 【答案】ABD 【分析】A选项，利用焦点三角形边长关系可得的周长；B选项，当直线垂直于轴时，可以将横坐标代入椭圆方程，得到纵坐标，从而得到；C选项，利用，，可得，，分别在和中，计算，可得，从而得到离心率；D选项假设存在满足条件的点，可求得即可. 【详解】对于选项A，的周长，故A正确； 对于选项B，当直线垂直于轴时，将代入，得，，故B正确； 对于选项C，，，， ，，，，. 在中， 在中，，得， ，，故C错误； 对于选项D，假设存在满足条件的点，过点向圆引两条切线，设切点为和， 因为，，，， 所以四边形为正方形，所以. 所以当时，椭圆上存在点满足题意，故D正确． 三、填空题 12．（2026高三·全国·专题练习）倾斜角为的直线交椭圆于A、B两点，则线段AB中点M的轨迹方程是_______． 【答案】 【分析】由题意，设直线方程为，，中点，应用点差法得到，结合在椭圆内部求自变量范围即可得. 【详解】倾斜角为，故直线斜率，   设直线方程为，，中点，则， 由在椭圆上，故，则， 由，，，可得， 联立椭圆方程，得，而中点在椭圆内部，故， 所以点M的轨迹方程为. 13．（25-26高二下·云南曲靖·期末）已知双曲线的左、右顶点分别为，，右焦点为，且，则的离心率为__________． 【答案】/ 【分析】设，由可得到的关系，从而求出的离心率. 【详解】设，由可得 , 所以，，即，. 14．（25-26高二下·江西赣州·期末）已知抛物线的焦点为F，准线为l，P是C上一点，直线PF与l交于点Q，若，则________． 【答案】/6.4 【分析】设，，利用代入数据可得的值，进而利用抛物线的定义可求解． 【详解】依题意，，准线l的方程为， 因为点Q是l上一点，所以设点，， 则，， 因为，所以， 所以，解得， 又P是C上一点，所以由抛物线的定义可得． 四、解答题 15．（25-26高二下·陕西汉中·期末）已知椭圆的两个焦点分别是，，并且其离心率为. (1)求椭圆的标准方程； (2)若直线与椭圆有两个公共点，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用椭圆的焦点与离心率求出，即得椭圆方程； （2）将直线方程与椭圆方程联立消元后，根据判别式为正，解不等式即得的取值范围. 【详解】（1）依题意可得，，可得， 则， 故椭圆的标准方程为. （2）联立，消元整理得 由，解得或. 即实数的取值范围为. 16．（25-26高二下·贵州铜仁·期末）已知抛物线C： 上一点到准线的距离是3． (1)求； (2)求曲线C在点A处的切线方程． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）根据点到准线的距离列方程，解方程即可； （2）求导，根据导数的几何意义求切线方程. 【详解】（1）由题意可得，准线方程为：，                         ∴点到准线的距离为， ∴，      ∴．           （2）由（1）可得的方程为，                                 在C上，∴，．                                 又，故．                                               当时，，∴切线方程为：，              当时，，∴切线方程为：. 17．（25-26高二下·吉林长春·期末）已知抛物线的焦点为． (1)求抛物线的方程； (2)设直线与抛物线相交于两点， （ⅰ）若，求实数的值； （ⅱ）为坐标原点，求重心的轨迹方程． 【答案】(1) (2)（ⅰ）；（ⅱ） 【分析】（1）根据抛物线焦点为，由抛物线的性质可直接求出，再求得抛物线C的方程； （2）（ⅰ）联立抛物线与直线方程，使用韦达定理得到，再根据，再求实数的值；（ii）根据三角形重心的坐标公式设点，再由韦达定理表示为的表达式，通过转化求得重心的轨迹方程. 【详解】（1）由抛物线的焦点为可得 ， 所以抛物线C的方程为. （2）（ⅰ）联立抛物线与直线的方程可得 ，整理得，故； ，，解得，． （ⅱ）由（i）得，， 设重心坐标为，则即 所以即. 18．（25-26高二下·青海海东·期末）已知双曲线：的左顶点为，离心率为． (1)求的方程； (2)已知为坐标原点，直线与的左、右支分别交于点，，设直线，的斜率分别为，，求． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由左顶点 得 ，离心率 得 ， 则 ， 故 的方程为 . （2）设 , ，联立直线与双曲线： 消去 得 ， 化简得 ， 由韦达定理 , ， 又 ， 所以 . 19．（25-26高二下·上海黄浦·期末）已知A、F分别是双曲线（常数）的右顶点和右焦点．记过一、三象限的渐近线为． (1)设，求双曲线的离心率和渐近线方程； (2)设，是上一点，若线段的中点在双曲线上，求点Q的坐标； (3)设，过A作两条相互垂直的直线与双曲线交于M、N两点（M在第一象限），若直线、分别与交于C、D两点，且与的面积之比为2，求直线的方程． 【答案】(1)，渐近线方程： (2) (3) 【分析】（1）由曲线方程得到，由定义写出曲线离心率和渐近线方程； （2）由曲线方程得到，从而写出渐近线方程，设坐标，从而求得中点的坐标，由曲线方程即可求得坐标； （3）设出直线的方程，联立曲线可得点坐标，联立渐近线方程可得点坐标，利用直线的关系计算可得点坐标，再利用面积公式计算即可得解. 【详解】（1）当时，双曲线，， 所以双曲线的离心率，渐近线方程： （2）当时，双曲线，，， 所以，设，则， 所以，即，即， 所以，即. （3）当时，双曲线，，所以， 由题意可知直线的斜率存在且不为0， 设直线的方程为，则直线的方程为， 所以，解得或， ， 由在第一象限，则，解得， ，解得，即， 则，即， ，即， ， ， 即，则， 又，故， 即直线的方程为，整理得. 4 / 17 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $