2.1 坐标法-【金版教程】2025-2026学年高中数学选择性必修第一册创新导学案全书Word（人教B版2019）

数学　选择性必修 第一册 RJ (教师独具内容) 课程标准：1.掌握数轴上向量的坐标公式，会用向量法推导出数轴上两点之间的距离公式、中点坐标公式.2.了解并掌握平面直角坐标系内的两点之间的距离公式、中点坐标公式及其推导过程.3.能用坐标法解决几何问题． 教学重点：1.两点之间的距离公式、中点坐标公式.2.坐标法． 教学难点：用坐标法解决相关问题． 核心素养：1.通过对两点之间距离公式及坐标法的学习提升直观想象素养.2.通过建立平面直角坐标系、利用坐标法解决问题培养逻辑推理素养和数学运算素养． 知识点一　数轴上的基本公式 如果数轴上点A(x1)，B(x2)，线段AB的中点为M(x)，则 (1)向量的坐标为x2－x1； (2)|AB|＝||＝|x2－x1|； (3)x＝． [拓展]　在数轴上，点A(x1)，B(x2)，用绝对值定义两点间的距离，表示为d(A，B)＝|x1－x2|.若A，B，C是数轴上任意三点，则d(A，B)≤d(A，C)＋d(B，C)． 知识点二　平面直角坐标系中的基本公式 已知A(x1，y1)，B(x2，y2)是平面直角坐标系中的两点，M(x，y)是线段AB的中点，则 (1)＝(x2－x1，y2－y1)； (2)|AB|＝||＝； (3)x＝，y＝． [点拨]　对两点间距离公式的几点说明 (1)公式中，点A，B的位置没有先后之分，即距离公式还可以写为 |AB|＝. (2)坐标平面内的两点间的距离公式是数轴上两点间的距离公式的推广． (3)若B点为原点，则|AB|＝|OA|＝. (4)若A，B两点在x轴上，或在与x轴平行的直线上，此时|AB|＝|x2－x1|. (5)若A，B两点在y轴上，或在与y轴平行的直线上，此时|AB|＝|y2－y1|. 注意：(4)(5)在应用时，可根据实际情况去掉绝对值符号，解题更容易． [拓展]　(1)中点问题可看成中心对称问题，即线段AB的中点M就是线段AB的对称中心，或点A关于点M的对称点为点B.由此得P(x，y)关于G(x0，y0)的对称点P′的坐标为(2x0－x，2y0－y)． (2)三角形的重心坐标公式：以A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)为顶点的△ABC的重心的坐标为. 知识点三　坐标法 通过建立平面直角坐标系，将几何问题转化为代数问题，然后通过代数运算等解决问题．这种解决问题的方法称为坐标法． 1．(数轴上的基本公式)下列说法正确的是(　　) A．点M(x)位于点N(2x)的左侧 B．数轴上等长的向量是相等的向量 C．在数轴上，点A(x1)，B(x2)，则向量在数轴上的坐标为x2－x1 D．有方向的直线是数轴 答案：C 2．(坐标法)已知△ABC的三个顶点分别是A(－a，0)，B(a，0)和C，则△ABC的形状是(　　) A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．斜三角形 答案：C 3．(两点间的距离公式)设A(3，4)，在x轴上有一点P(x，0)，使得|PA|＝5，则x＝________． 答案：0或6 4．(中点坐标公式)点P(2，－1)关于点M(3，4)的对称点Q的坐标为________． 答案：(4，9) 题型一　两点间的距离公式及其应用　 例1　(1)已知数轴上点A，B的坐标分别为x1，x2，若x2＝－1，且|AB|＝5，则x1的值为________． [解析]　|AB|＝|x2－x1|＝5，即|x1＋1|＝5，解得x1＝－6或x1＝4. [答案]　－6或4 (2)已知平面直角坐标系中的点A(3，6)，x轴上的点P与点A的距离等于10，则点P的坐标为________． [解析]　设点P的坐标为(x，0)，由|AP|＝10，得＝10，解得x＝11或x＝－5，所以点P的坐标为(－5，0)或(11，0)． [答案]　(－5，0)或(11，0) (3)已知△ABC的三个顶点分别为A(－a，0)，B(a，0)，C(0，a)．求证：△ABC是等边三角形． [证明]　由两点间距离公式，得 |AB|＝＝2|a|， |BC|＝＝2|a|， |CA|＝＝2|a|. ∴|AB|＝|BC|＝|CA|， 故△ABC是等边三角形． 【感悟提升】两点间的距离公式的几种应用 (1)求点的坐标：求到某点的距离满足某些条件的点P(x，y)的坐标时，需要根据已知条件列出关于x，y的方程或方程组，解之即可． (2)判断三角形的形状：从三边边长入手，根据边长是否相等判断是否是等腰或等边三角形，根据勾股定理判断是否是直角三角形． (3)判断三点共线：根据两个距离之和等于第三个距离判断三点共线． (4)求参数：利用两点间的距离公式得到含参数的方程，解之即可． 【跟踪训练】 1．(1)已知数轴上三点A，B，C的坐标分别为x1，x2，x3，若x2＝1，x3＝2，且|AB|＝2|BC|，则x1的值为______． 答案：3或－1 解析：由题意，得|AB|＝|1－x1|，|BC|＝|2－1|＝1，又|AB|＝2|BC|，所以|1－x1|＝2，解得x1＝3或x1＝－1. (2)已知△ABC的三个顶点分别为A(4，1)，B(－3，2)，C(0，5)，则△ABC的周长为________． 答案：12 解析：∵A(4，1)，B(－3，2)，C(0，5)，∴|AB|＝＝＝5，|BC|＝＝＝3，|AC|＝＝＝4.∴△ABC的周长为|AB|＋|BC|＋|AC|＝5＋3＋4＝12. (3)已知点A(5，2a－1)，B(a＋1，a－4)，当|AB|取最小值时，实数a的值是________． 答案： 解析：点A(5，2a－1)，B(a＋1，a－4)，由两点间距离公式得到|AB|＝＝，根据二次函数的性质得到最小值在对称轴处取得，又对称轴方程为a＝，故实数a的值是. 题型二　中点坐标公式的应用　 例2　(1)已知三点A(x，5)，B(－2，y)，C(1，1)，且C是线段AB的中点，求x，y的值． [解]　由题意知解得 (2)求点M(4，3)关于点N(5，－3)的对称点． [解]　设所求点的坐标为(x，y)， 则解得 故所求对称点的坐标为(6，－9)． (3)已知平行四边形ABCD的三个顶点分别为A(0，0)，B(2，0)，D(1，3)，求顶点C的坐标． [解]　∵平行四边形的对角线互相平分， ∴平行四边形对角线的中点坐标相同． 设顶点C的坐标为(x，y)， 则解得 即顶点C的坐标为(3，3)． 【感悟提升】利用中点坐标公式解决问题的策略 (1)中点坐标公式常用于求线段的中点、三角形的中线长、平行四边形的对角线交点等，解决这类问题的关键是根据几何概念与性质，提炼出点之间的“中点关系”，从而根据中点坐标公式解决． (2)因为两点关于其中点对称，所以利用中点坐标公式可以解决中心对称问题． 【跟踪训练】 2．已知△ABC三边AB，BC，CA的中点分别为P(3，－2)，Q(1，6)，R(－4，2)，则顶点A的坐标为________． 答案：(－2，－6) 解析：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，因为△ABC三边AB，BC，CA的中点分别为P(3，－2)，Q(1，6)，R(－4，2)，由中点坐标公式可得解得故顶点A的坐标为(－2，－6)． 题型三　坐标法的应用　 例3　如图所示，△ABD和△BCE是在直线AC同侧的两个等边三角形，用坐标法证明：|AE|＝|CD|. [证明]　如图所示，以B为坐标原点，AC所在的直线为x轴，建立平面直角坐标系． 设△ABD和△BCE的边长分别为a和c， 则A(－a，0)，E，C(c，0)，D， 因为|AE|＝ ＝＝， |CD|＝ ＝ ＝， 所以|AE|＝|CD|. 【感悟提升】坐标法解决平面几何问题的思路 (1)建立坐标系，用坐标表示有关的量． (2)进行有关代数运算． (3)把代数运算的结果“翻译”成几何结论． 提醒：建系时让图形中尽可能多的点落在坐标轴上，这样便于运算． 【跟踪训练】 3．已知△ABC是直角三角形，斜边BC的中点为M，建立适当的直角坐标系．求证：|AM|＝|BC|. 证明：如图所示，以A为坐标原点，Rt△ABC的直角边AB，AC所在直线分别为x，y轴，建立平面直角坐标系，则A(0，0)， 设B，C两点的坐标分别为(b，0)，(0，c)． 因为点M是BC的中点， 所以点M的坐标为，即. 由两点间的距离公式得 |BC|＝，|AM|＝＝， 所以|AM|＝|BC|. 题型四　构造几何模型解决代数问题　 例4　求函数y＝－的值域． [解]　显然函数的定义域为R，函数的解析式可化为y＝ －. 设P(x，0)，A，B为平面上三点， 则|PA|＝， |PB|＝， y＝|PB|－|PA|. ∵||PB|－|PA||<|AB|，且|AB|＝1， ∴|y|<1，即－1<y<1，故函数的值域为(－1，1)． 【感悟提升】对于涉及无理式，其中含二次三项式的，我们可以联想到两点间的距离公式，即构造两点间的距离公式，再结合平面几何知识求解(证)． 【跟踪训练】 4．求函数y＝＋的最小值． 解：函数的解析式可化为 y＝＋. 令A(0，1)，B(2，2)，P(x，0)，则问题转化为在x轴上求一点P(x，0)，使得|PA|＋|PB|取最小值． 设A关于x轴的对称点为A′(0，－1)，则|PA|＝|PA′|， ∵|PA|＋|PB|＝|PA′|＋|PB|≥|A′B|， ∴(|PA|＋|PB|)min ＝|A′B|＝ ＝＝. 即函数y＝＋的最小值为. 1．已知线段AB的端点A(3，4)及中点O(0，3)，则点B的坐标为(　　) A. B．(－3，2) C．(3，2) D．(3，10) 答案：B 解析：设B(x，y)，已知AB的端点A(3，4)及中点O(0，3)，则解得故点B的坐标为(－3，2)．故选B. 2．(多选)数轴上点P，M，N的坐标分别为－2，8，－6，则有(　　) A.的坐标与的坐标相等 B．|MP|＝10 C.的坐标为－4 D.的坐标为10 答案：BC 解析：数轴上的两点对应向量的坐标等于终点坐标减去起点坐标，故的坐标与的坐标不相等，A不正确；的坐标为－2－8＝－10，|MP|＝||＝10，B正确，D不正确；的坐标为－6－(－2)＝－4，C正确．故选BC. 3．(多选)数轴上一点P(x)，它到点A(－8)的距离是它到点B(－4)的距离的2倍，则点P的坐标x可以是(　　) A．0 B．－4 C. D．－ 答案：AD 解析：|x－(－8)|＝2|x－(－4)|，解得x＝0或x＝－.故选AD. 4．已知点(0，2)是点(－2，b)与点(2，4)的对称中心，则b＝________． 答案：0 解析：∵点(0，2)是点(－2，b)与点(2，4)的对称中心，∴b＋4＝2×2，即b＝0. 5．函数y＝|－|的最小值为________，最大值为________． 答案：0　 解析：函数可化为y＝|－|，表示点M(x，0)到定点A(1，2)与B(2，1)的距离之差的绝对值．当|MA|＝|MB|时，y取最小值0；当A，B，M三点共线时，||MA|－|MB||＝|AB|，此时ymax＝|AB|＝＝. 课后课时精练 基础题(占比60%)　中档题(占比30%)　拔高题(占比10%) 题号 1 2 3 4 5 6 7 难度 ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ 考点 已知中点坐标求参数 求两点间的距离 求对称点的坐标；求两点间的距离 求对称点的坐标 构造两点间距离公式 求两点间的距离；求中点坐标 求两点间距离的最值 题号 8 9 10 11 12 13 14 难度 ★ ★ ★★ ★★ ★★ ★★ ★★★ 考点 求中点坐标；求两点间的距离 求中点坐标；求两点间的距离 用坐标法证明等式成立 求距离差的最值 向量的坐标；求点的坐标 构造两点间距离公式；求距离和的最值 有关三角形的证明问题 一、选择题 1．已知线段AB的中点为坐标原点，且A(x，2)，B(3，y)，则x＋y＝(　　) A．5 B．－1 C．1 D．－5 答案：D 解析：由题意知则x＝－3，y＝－2，故x＋y＝－5.故选D. 2．已知A(x，－)和B(y，)两点，则|AB|＝(　　) A．x＋y B．|x－y| C．－x－y D．|x＋y| 答案：D 解析：|AB|＝＝＝＝|x＋y|. 3．已知A(3，1)，B(2，4)，C(1，5)，且点A关于点B的对称点为D，则|CD|＝(　　) A．2 B．4 C. D. 答案：A 解析：设D(x，y)，由题意知∴∴D(1，7)，∴|CD|＝＝2.故选A. 4．已知菱形的三个顶点分别为(a，b)，(－b，a)，(0，0)，则它的第四个顶点是(　　) A．(2a，b) B．(a－b，a＋b) C．(a＋b，b－a) D．(a－b，b－a) 答案：B 解析：令A(a，b)，B(－b，a)，C(0，0)，因为三条线段AB，AC，BC中必有一条为对角线，另两条为相邻两边，由菱形的性质(相邻两边长度相等)及|AC|＝|BC|＝，得AB为对角线．设菱形的第四个顶点为D(x0，y0)，由中点坐标公式，得解得即菱形的第四个顶点的坐标为(a－b，a＋b)． 5．(多选)对于，下列说法正确的是(　　) A．可看作点(x，0)与点(1，2)的距离 B．可看作点(x，0)与点(－1，－2)的距离 C．可看作点(x，0)与点(－1，2)的距离 D．可看作点(x，－1)与点(－1，1)的距离 答案：BCD 解析：由题意，可得＝＝＝，可看作点(x，0)与点(－1，－2)的距离，可看作点(x，0)与点(－1，2)的距离，可看作点(x，－1)与点(－1，1)的距离，故A不正确．故选BCD. 二、填空题 6．在数轴上，已知A(3)，B(－1)，则|AB|＝________，AB中点的坐标为________． 答案：4　1 解析：由题意，|AB|＝|－1－3|＝4，AB中点的坐标为＝1. 7．若动点P的坐标为(x，1－x)，x∈R，则动点P到原点的距离的最小值是________． 答案： 解析：由两点间的距离公式得所求距离为＝＝，所以所求距离的最小值为＝. 8．已知三角形的三个顶点分别为A(7，8)，B(10，4)，C(2，－4)，则BC边上的中线AM的长为________． 答案： 解析：设BC的中点M的坐标为(x，y)，则即点M的坐标为(6，0)，所以|AM|＝＝. 三、解答题 9．已知四边形ABCD的四个顶点分别为A(－4，3)，B(2，5)，C(6，3)，D(－3，0)，E，F分别为边AB，BC的中点，求|CE|，|DE|，|AF|，|DF|. 解：设边AB的中点E的坐标为(x，y)， 则x＝＝－1，y＝＝4，则E(－1，4)， 则|CE|＝＝5， |DE|＝＝2. 设边BC的中点F的坐标为(m，n)， 则m＝＝4，n＝＝4，则F(4，4)， 则|AF|＝＝， |DF|＝＝. 10．已知四边形ABCD是一个长方形，且M是ABCD所在平面内任意一个点，求证：|AM|2＋|CM|2＝|BM|2＋|DM|2. 证明：因为四边形ABCD是长方形，故以A为坐标原点，建立如图所示的平面直角坐标系， 则A(0，0)，不妨设B，D两点的坐标分别为(a，0)，(0，b)，则C(a，b)，设M(x，y)，故|AM|2＋|CM|2＝x2＋y2＋(x－a)2＋(y－b)2， |BM|2＋|DM|2＝(x－a)2＋y2＋x2＋(y－b)2＝x2＋y2＋(x－a)2＋(y－b)2， 故|AM|2＋|CM|2＝|BM|2＋|DM|2，即证． 11．已知点A(2，2)，B(3，4)，P为x轴上一点，则||PB|－|PA||的最大值为(　　) A．2 B．3 C. D．2 答案：C 解析：由题设知，A，B两点同处于x轴上方，对于x轴上任意一点P，当P，A，B三点不共线时，在△ABP中，||PB|－|PA||<|AB|，而|AB|＝＝，∴||PB|－|PA||<.当P为直线AB与x轴的交点，即P，A，B三点共线时，||PB|－|PA||＝|AB|＝，∴||PB|－|PA||的最大值为. 12．已知数轴上有点A(－2)，B(1)，D(3)，点C在直线AB上，且的坐标与的坐标之比为，延长DC到点E，使＝，则点E的坐标为________． 答案：－ 解析：设C(x)，E(x′)，则由的坐标与的坐标之比为，得＝，解得x＝－5，所以C(－5)．如图所示，因为E在DC的延长线上，所以＝＝，解得x′＝－，即点E的坐标为－. 13．求函数f(x)＝＋的最小值． 解：因为f(x)＝＋ ＝＋， 所以f(x)为点A(3，2)和P(x，0)之间的距离与点B(5，－2)和P(x，0)之间的距离之和，即f(x)＝|PA|＋|PB|，如图， 由三角不等式可知，|PA|＋|PB|≥|AB|，当且仅当A，P，B三点共线时，|PA|＋|PB|有最小值|AB|＝＝2，即f(x)的最小值为2. 14．在△ABC中，D为BC边上任意一点(D与B，C不重合)，且|AB|2＝|AD|2＋|BD|·|DC|.求证：△ABC为等腰三角形． 证明：如图，作AO⊥BC，垂足为O，以O为坐标原点，BC所在直线为x轴，OA所在直线为y轴，建立平面直角坐标系． 设A(0，a)，B(b，0)，C(c，0)， D(d，0)(b<d<c)． 因为|AB|2＝|AD|2＋|BD|·|DC|， 所以由距离公式可得b2＋a2＝d2＋a2＋(d－b)(c－d)， 即－(d－b)(b＋d)＝(d－b)(c－d)． 又d－b≠0，故－b－d＝c－d，即－b＝c. 所以|AB|＝|AC|，即△ABC为等腰三角形． 13 学科网（北京）股份有限公司 $$