第2章 平面解析几何概念清单速记表（知识清单）数学人教B版选择性必修第一册

第2章 平面解析几何清单速记表 章节 概念 定义或说明 相关概念 2.1 坐标法 坐标法 建立适当的平面直角坐标系，用坐标和代数式表示点、直线及曲线，把几何问题转化为代数问题。 平面直角坐标系、数形结合 两点间的距离公式 平面直角坐标系内两点 、 间的距离为 。 中点坐标公式、基本公式 中点坐标公式 线段两端点分别为 、 时，线段中点的坐标为 。 两点间距离公式、基本公式 2.2 直线及其方程 直线的倾斜角与斜率 直线向上的方向与 轴正方向所成的角叫倾斜角；斜率 （当直线不垂直于 轴时）。 倾斜角、斜率、平行 直线的点斜式方程 经过点 且斜率为 的直线方程为 。 斜截式、两点式 直线的一般式方程 直线的一般式方程为 ，其中 不同时为 0。 截距式、法向量 两直线的位置关系 对直线 与 ，可由斜率或系数判断平行、重合和相交。 平行、垂直、交点 点到直线的距离 点 到直线 的距离为 。 距离公式、垂线 直线的方向向量 如果表示非零向量 的有向线段所在直线与直线 平行或重合，则称 为直线 的一个方向向量，记作 。 倾斜角、斜率 直线的法向量 如果表示非零向量 的有向线段所在直线与直线 垂直，则称 为直线 的一个法向量，记作 。 方向向量、垂直 直线的斜截式方程 斜率为 、在 轴上的截距为 的直线方程为 。 点斜式、截距 直线的两点式方程 经过两点 、（，）的直线方程为 。 点斜式、方向向量 直线的截距式方程 在 轴、 轴上的截距分别为 （）的直线方程为 。 两点式、一般式 两条平行直线间的距离 平行线 与 间的距离为 。 点到直线的距离 2.3 圆及其方程 圆的标准方程 圆心为 、半径为 的圆的方程为 。 圆心、半径 圆的一般方程 圆的一般方程为 ，配方可求圆心和半径。 标准方程、配方法 直线与圆的位置关系 设圆心到直线的距离为 ，半径为 ，则相交 ，相切 ，相离 ；也可由联立方程组的判别式判断。 割线、切线、切点、判别式 圆与圆的位置关系 设两圆的圆心距为 ，半径分别为 ，则外离 ，外切 ，相交 ，内切 ，内含 。 圆心距、公切线 圆的切线 过圆上一点的切线垂直于过该点的半径，圆心到切线的距离等于半径，可利用此性质求切线方程。 切点、半径、切线 2.4 曲线与方程 曲线的方程与方程的曲线 若曲线 上点的坐标都是方程 的解，且以方程的解为坐标的点都在曲线 上，则称 为曲线 的方程，曲线 为方程 的曲线。 轨迹方程、充要条件 两曲线的交点 两条曲线的交点坐标，是这两条曲线方程组成的方程组的公共实数解。 方程组、公共解 轨迹方程 动点按某种几何条件运动形成的曲线方程，即满足条件的点的轨迹方程。求轨迹方程的步骤：建系设点、写出几何条件并坐标化、化简检验。 曲线与方程、坐标法 2.5 椭圆及其方程 椭圆的定义 平面内与两个定点 的距离之和等于常数 的点的轨迹叫作椭圆，且 。 焦点、焦距、长轴 椭圆的标准方程 焦点在 轴上的椭圆标准方程为 ，其中 ，且 。 离心率、焦半径 椭圆的范围与对称性 椭圆 的范围是 ，；它关于 轴、 轴及原点对称，对称中心称为椭圆的中心。 范围、对称性、中心 椭圆的顶点与长轴、短轴 椭圆与对称轴的四个交点称为椭圆的顶点；长轴长 ，短轴长 ， 分别是半长轴长和半短轴长。 长轴、短轴、顶点 椭圆的离心率 离心率 （）， 越接近 1，椭圆越扁； 越接近 0，椭圆越接近于圆。 焦距、离心率 2.6 双曲线及其方程 双曲线的定义 平面内与两个定点 的距离之差的绝对值等于常数 的点的轨迹叫作双曲线，且 。 焦点、焦距、实轴 双曲线的标准方程 焦点在 轴上的双曲线标准方程为 ，且 。 渐近线、离心率 双曲线的范围与对称性 双曲线 的范围是 或 ；它关于 轴、 轴及原点对称，对称中心称为双曲线的中心。 范围、对称性、中心 双曲线的顶点与实轴、虚轴 双曲线与实轴的两个交点称为双曲线的顶点；实轴长 ，虚轴长 ；实轴长与虚轴长相等的双曲线称为等轴双曲线。 实轴、虚轴、等轴双曲线 双曲线的渐近线 焦点在 轴上的双曲线，渐近线方程为 ；过实轴、虚轴端点作坐标轴的垂线所得矩形，其对角线所在直线就是渐近线。 渐近线、离心率 双曲线的离心率 离心率 （）， 越接近 1，双曲线的渐近线所夹区域越狭窄。 离心率、渐近线 2.7 抛物线及其方程 抛物线的定义 平面内与一个定点 和一条定直线 距离相等的点的轨迹叫作抛物线，点 为焦点，直线 为准线。 焦点、准线、离心率 抛物线的标准方程 开口向右的抛物线可表示为 （），其焦点和准线可由参数 确定。 焦点、准线、参数 抛物线的几何性质 抛物线 （）的范围是 ，开口向右，关于 轴对称，顶点是坐标原点；焦点为 ，准线为 。 焦点、准线、顶点、开口方向 抛物线的离心率 抛物线上点到焦点的距离与到准线的距离之比称为抛物线的离心率，恒有 。 离心率、焦点、准线 2.8 直线与圆锥曲线的位置关系 直线与圆锥曲线的位置关系 联立直线方程与圆锥曲线方程，消去一个变量，所得一元二次方程的判别式可判断相交、相切或相离。 判别式、相切、相交 直线与圆锥曲线的相切 联立消元后所得一元二次方程有两个相等的实数解时，直线与圆锥曲线相切；注意直线与双曲线、抛物线只有一个公共点不一定相切。 判别式、公共点、相切 弦与弦长 直线与圆锥曲线两个公共点之间的线段称为圆锥曲线的弦，弦长可用两点间距离公式求，也可联立方程利用韦达定理（设而不求）求。 韦达定理、设而不求 圆锥曲线的综合应用 综合运用定义、标准方程、参数方程、弦长公式和韦达定理，研究直线与圆锥曲线的交点及相关几何性质。 弦长、中点、韦达定理 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $