椭圆方程及几何性质知识清单-2026届高三数学二轮专题复习

高三二轮复习：椭圆方程及几何性质讲义 一、椭圆的定义 内容 符号语言 图形语言 说明 第一 定义 平面内与两个定点F1，F2的距离之和等于常数2a(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆．这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距． |PF1|＋|PF2|＝2a，其中2a>|F1F2| 设|F1F2|＝2c，其中a>0，c>0，且a，c为常数： (1)若a>c，则表示为椭圆； (2)若a＝c，则表示线段； (3)若a<c，则不表示任何图形． 第二定义 平面内与两个定点的斜率之积为定值的点的轨迹叫做椭圆 其中是椭圆的顶点， 第三定义 平面上到定点F的距离与到定直线的距离之比为常数e(即椭圆的离心率)的点的轨迹叫做椭圆（定点F不在定直线上，该常数为小于1的正数），其中定点F为椭圆的焦点，定直线称为椭圆的准线 其中定直线叫做准线 2、 椭圆标准方程的推导 椭圆方程推导体现的思想 曲线与方程：建系，设点，列式，化简 椭圆标准方程方程在建系时将两个焦点对称的置于x轴或y轴 利用椭圆的定义列式 设则 化简 变形得 即 将①+②得： 再平方： 利用了分子有理化 得出标准方程 令可得焦点在x轴上的椭圆方程 互换x，y即可得焦点在y轴上的椭圆 由此，遇到椭圆上的点一想定义，二想方程 三、椭圆的标准方程和几何性质 标准方程 ＋＝1 (a>b>0) ＋＝1(a>b>0) 椭圆方程的特点 二元二次方程，不含有一次项，xy项 区分焦点在x轴，y轴 右侧化为1后，x2下的数大，焦点在x轴；y2下的数大，焦点在y轴，大的数是a2，小的是b2 椭圆上的点坐标（x0,y0）的相互表示 图形 性 质 范围 －a≤x≤a －b≤y≤b －b≤x≤b －a≤y≤a 点在椭圆上，利用方程进行x，y关系进行替换时，要注意x，y的范围 根据椭圆标准方程的特点，把距离问题转化为二次函数求最值的问题(适用于定点在椭圆的对称轴上) 对称性 对称轴：坐标轴　　对称中心：原点 将x换成-x，y换成-y 顶点 A1(－a,0)，A2(a,0) B1(0，－b)，B2(0，b) A1(0，－a)，A2(0，a) B1(－b,0)，B2(b,0) 长轴与焦距同在一个数轴 轴 长轴A1A2的长为2a；短轴B1B2的长为2b；焦距F1F2的长为2c 长半轴的长为a，短半轴点的长为b，半焦距为c 焦距 |F1F2|＝2c 离心率 定义 e＝=∈(0,1) 离心率对椭圆形状的影响 离心率越大，椭圆越扁平； 离心率越小，椭圆越圆 离心率的本质 离心率实质上给出了a，b，c间的比例关系，离心率相同的椭圆可认为形状相同即相似，且 离心率的求法 利用定义、方程、几何建构a，b，c间的等量关系（齐次），从而同除a或者a2，得到关于e的方程或不等式 离心率的三角表示 离心率等于最大张角一半的正弦值 a，b，c的关系 勾股定理 a2＝b2＋c2 a最大 高三数学备课组 大连市第四十八中学 学科网（北京）股份有限公司 $