第2章 学案46 章末复习提升课 平面解析几何-【智学校本学案】2025-2026学年高中数学选择性必修第一册（人教B版）

6k(3k-1) 4k -2 x1十x2= 3k2+1 则x1十x:=1十26x1x2=1+2k 由N(3,1)是线段AB的中点， 4k 所以AB=1+E·√(1+2) 8 得1十4=3， +1+2k 2 =2 (1+k2)(1+4k2) 解得k=-1,代入②得a2>12, (1+2k2)2 故直线AB的方程为y一1=一(x一3)， 即x+y-4=0. 令4=1+≥1，则-分 (2)因为CD垂直平分线段AB, 所以直线CD的方程为y一1=x一3， 1+1+4令】 可得|AB|=2V2· 即x-y-2=0, 代入椭圆方程， /212+t-1 =2 1 整理得4x2-12x+12-a2=0,△>0. ++2, 又设C(xy3),D(x4y4), 当11 所以西十z=3,x4=12Q =2,即1=2，k=士 2时，AB取得最大值3 41 yy4=(,-2)(x4-2)=4-Q2, 综上所选，当AB最大时，所求直线1的方程为y=士)x一1. 4 3.解：(1)因为横坐标为1的点到焦点的距离为3， 假设存在这样的椭圆，使得以CD为直径的圆经过坐标原，点 0,则OC⊥0D, 所以1+号-3，解得p=4, 即x3x4十y3y4=0,得a2=8, 所以抛物线C的方程为y2=8x, 又a2>12,故不存在这样的椭圆」 其准线方程为x=一2. 课堂达标 (2)显然直线1的斜率存在，设直线I的方程为y=k(x十1) 1.解：(1)椭圆C的长轴端点是A(一2√2,0)和B(2√2,0)，离 (k≠0)，A(x1y1),B(x2y2). 心率是 由p2=8z, 消去y, 2 y=k(x+1), 得k2x2+(2k2-8)x十k2=0. a=22, 令△=(2k2一8)2一4k4>0,解得一√2<k<√2， 则有=3 a=22, 解得 a 2' b=√2， 所以一√2<k<√2，且k≠0. a2=b2+c2, 8-2k3 由根与系数的关系得x1十x2= k2,x1x2=1. 所以横周C的方粒为号+苦-1 BAIBFI (2)设P(x,y)是椭圆C上的任意一点，由椭圆C的方程可 因为DE,∥AF,所以BE-TBD' 得x2=8-4y2, 所以严？一工1=x2-2 `x2十4x2十1 所以PM=V2+g--,√厂3(+写》+图 整理得x1x2十(x1十x2)=8, 其中y∈[-√2，w2]. m8二26 及2 =7,整理得k2=8 91 所以E-IePM<2 解得-±2E】 3一，经检验，k=土2符合题意 故点P到点M(0,1)的距离的取值范围是[2-1,2@] 所以存在这样的直线L,使得DE∥AF,直线L的方程为y= 3 22 2√ 2.解：1)设M(x,y),得x-2)+少2 3 x+1)或y= 3(x+1). |x-221 2 学案46章末复习提升课 垫现得菊点的款旋C的方粒为+苦-儿 专题提升 (2)当直线l的斜率不存在时，方程为x=0,此时|AB|=2√2； 专题一 当直线l的斜率存在时，设方程为y=kx一1，A(x1,y1), 应用体验1解：(1)证明：直线方程为(2一m)x+(2m+1)y十 B(x2,y2), 3m+4=0, y=kx-1, 可化为(2x十y十4)十m(一x+2y十3)=0，对任意m都 联立方程 x2y2,消去y得(1+2k2)x2-4kx-2=0, 成立， 42=1, -x+2y+3=0, x=-1, 所以《 解得 △=16k2+8(1+2k2)=32k2+8>0恒成立，故k∈R, 2x+y+4=0, y=-2, 168 所以直线1恒过定点（一1，一2）. ()1+1 a b atb la2162+2ab (2)设定点为P(一1，一2)， a+市+va+市+坊√+ 当m变化，PQ⊥直线l时， 2ab 点Q(3,4)到直线的距离最大，可知，点Q与定点P(一1，一2) √1+。+ 的连线的距离就是所求最大值， 因为a>0,b>0,由不等式a2+b2≥2ab,当且仅当a=b时 即√(3+1)2+(4+2)=2√13， 取等号， 此时直线l过点P(一1，一2)，且与PQ垂直， 2ab 可得0< 所以骨·二名音1解得烟=亭 -2-4 4 2+62s1, 故直线1的方程为2x十3y十8=0. 所以1< 十。≤E,即子+的取值范国是1w 2ab 、/1+ e2 专题二 专题四 应用体验2解：(1)证明：直线1的方程可化为y十3 √a2+b2=25, =2m(x-4), 应用体验4解：(1)由题可得b=c, 由，点斜式可知，直线恒过点P(4,一3)， a2=b2+c2, 由于42+(-3)2-6X4+12×(-3)+20=-15<0,所以，点 a=2V2, P在圆C内，故直线1与圆C总相交 解得b=2, (2)圆C的方程可化为(x一3)2+(y+6) 2 (c=2, =25. 0 如图，当圆心C(3,一6)到直线L的距离最 故围C的方枢为后+号-1 大时，线段AB的长度最短， (2)如图，设A(x2y2),B(x1y1), 此时PCLl.又kre= -3-(-6) 4-3 =3,所 1 以直线1的斜率为一方， 则2m=-1 ,所以m=1 6 在Rt△APC中，|PC1=√(3-4)2+(-6+3)7=√10， ACI=r=5, |y=kx-1, 所以|AB|=2√AC-PC严=2√5， 联立x2y2,化简得(1+2k)x2-4x-6=0,显然4 8+4=1, 故当m=一日时，直线1被同C我得的弦长最短，最短孩长 >0恒成立， 4k -6 为2√/15」 则x1十x2=1十2x1x21+2 专题三 又直线1：y=kx一1恒过点(0，一1)，且点(0，一1)在椭圆 应用体验3解：(I)设双曲线C的焦距为2c,长轴长为2a,短 C内， 轴长为2b, 1 由双曲线C的中心在原点，焦点在y轴上，焦距为16，离心率 故SAMAB= -X3|x2-x1 3 =2√x,+x)=4z西 可得2c=16, 后-专，解得a=6,c=8,6=Vg- 3/7 4k\ 2 -6 2V八1+2k) 一4(1+2k2 √64-36=2√7， 3 16k2+24(1+2k2) 16k2+6 = =3 所以双面线C的方教为站需-1，从西它的共起双南钱的 (1+2k2)2 V(1+2k2)2 令166+6=4，则2=二6（≥6， 方程为”y 16 2836=1. 16k2+6 t 故3 ②)设双曲线G的标准方程为号-茶-16>0,6>0， W(1+2k2)2 =3 (1+62 8 则G的标攻方轻场学-号-1a>06>0. 64t =3/+2)=24 1 生十4 所以e,=a+6 a ,e2=a+6 b 易知函数y=t十 +4在≥6时单调递增，故t4+4≥6 t 1 1a2 b2 (1)证明： +a2+6+a2+6=1 6+4=64 6 6911 化简直线(m+2)x十(m-1)y-5m一1=0，得m(x+y-5) 1一≤√64，因此Saws≤24XG=3V6 +2x-y-1=0, 所以直线(m+2)x+(m-1)y-5m-1=0经过直线x+y 故当t=6,k=0时，△MAB的面积取最大值3√6 -5=0和2x-y-1=0的交点M(2,3). 课堂达标 设线段AB中点为N,则OA+OB=2ON 1.ABD[,直线y=2x与x十y十a=0交于点P(1,b), 可得(OA+OB)2=41ON12,即OA12+20A.OB+1OB12 8 =4ON12,结合1OA1=1OB1=4,化简得OA·0B= 解得b=2,a=一3， 210N12-16. 故点P(1,2),直线ax十by十3=0可化为-3x十2y十3=0， 根据圆的性质，可得0≤1ON12≤OM2=2+32=13, 故点P到直线ax十6y十3=0的距离为-3+2X2+3 当O,M,A,B共线时（此时O,N重合）， √/(-3)2+22 ON12=0,达到最小值； =4I3 当OM⊥AB时（此时M,N重合），|ON12=13,达到最大值 131 所以0A·0B的最大值为2×13-16=10，最小值为-16， 故选ABD.] 2.C[因为圆C与x轴相切，圆心在直线2x一y=0上，且经 即0A·0B的取值范围是[-16,10].] 过点(1,0)， F[设描国后+若-1a>6>0y的泉矩为2cc>0. 4 所以设圆心坐标为(a,2a), 所以圆C的方程为(x-a)2+(y-2a)2=4a2, 则椭图二+1(a>b>0)的左焦点F的坐标为(G 因为点(1,0)在圆C上，所以(1-a)2十(0-2a)2=4a2, 0),右焦点F2的坐标为(c,0) 解得a=1, 依题意，不妨设点A的坐标为(0，b),在△F,AF2中，由余弦 所以圆C的方程为（x一1)2十(y一2)2=4. 定理得， 故选C. |F1F212=|AF1I2+|AF212-2|AF1|·AF2· Y cos∠F1AF2. 4 :cos∠F1AF2=4' 3 4c=a-2a×是-gc-a -3-2-101234x 6.解：(1)设d是动点M到直线l的距离， -2 -3 则动点M的轨速是点的案合P=M-, 3.B[建立如图所示的平面直角坐标系，依题意得A(0.49,2.1), 由此得/x-3)P+y =5,两边平方，得2x2-y2=2,即 x一3 x2、 21, 即动，点M的轨迹是焦点在x轴上，实轴长为2、虚轴长为 00.492 2√2的双曲线 (2)设曲线C与直线x一y十m=0的交点分别为A,B, x-y+m=0, -21B 则联立方程( lr2-y? 得x2-2mx-m2-2=0, 2=1, 设抛物线的方程为y2=2px(p>0), 设A(x1y1),B(x2y2), 由，点A在抛物线上，得(2.1)2=2p×0.49, 14=8m2+8>0, 解得p=4.5, 所以x1+x2=2m, 所以抛物线的方程为y2=9x,焦点F(2.25,0), x1x2=-2-m2, 故“金色大伞”的边缘A点到焦，点F的距离为|AF|= 则y1+y2=x1+x2十2m=4m, √2.1+(2.25-0.49)7=√7.5076=2.74(m). 则线段AB的中点坐标为(m,2m), 故选B.] 又因为线段AB的中点在圆x2+y2=20上， 4.[-16,10][根据题意，圆x2+y2=16的圆心为O(0,0), 所以m2+4m2=20, 半径r=4. 解得m=士2. I170章未复习提升课学案46 听 学案46章末复习提升课 课笔记 平面上两点间的距离公式 坐标法 线段中点的坐标公式 直线的倾斜 角与斜率 直线的方向向量、法向量 直线的 点斜式方程 斜截式方程 一般式 方程 两点式方程 截距式方程 方程 直线 两条直线相交的条件 两条直线垂直的条件 两条直线的 位置关系 两条直线平行的条件 两条直线重合的条件 直线与圆 点到直线的距离一 两条平行线间的距离 圆的标准方程 圆的方程 圆的一般方程 直线与圆相交的条件 直线与圆的 圆 位置关系 直线与圆相切的条件 直线与圆相离的条件 圆与圆相交的条件 外切 圆与圆的位 圆与圆相切的条件 内切 置关系 圆与圆相离的条件 外离 曲线与方程 根据方程研究曲线的性质 内含 定义 椭圆 标准方程】 图形 范围 几何性质 对称性 顶点、焦点 离心率 定义 标准方程 范围 双曲线 图形 对称性 应用》 圆锥曲线 几何性质 顶点、焦点 渐近线 离心率 定义 标准方程 范围 抛物线 图形 对称性 几何性质 顶点、焦点 准线 离心率 直线与圆锥曲 相交 圆锥曲线的弦长 线的位置关系 相切 相离 1371 人教B版数学选择性必修第一册 听 专题提升 等.充分利用圆的几何性质可获得解题途径，减 专题一直线的方程 少运算量.另外，对于未给出图形的题目，要边 笔 1.直线方程有五种形式：重点是点斜式、斜截式和 读题边画图，这样能更好地体会圆的几何形状， 一般式方程，直线是平面解析几何的核心内容， 有助于找到解题思路， 求直线的方程一般用公式法和待定系数法，注 2.研究直线与圆、圆与圆的位置关系，集中体现了 意五种方程的各自特点和优缺点，在利用待定 直观想象和数学运算的核心素养 系数法求直线方程时，选择哪种方程，注意讨论 应用体验2已知直线l:2mx一y一8m一3=0和 斜率是否存在，截距是否存在，是否为0等特殊 圆C:x2+y2-6x+12y+20=0. 情况，以免漏解， (1)当m∈R时，证明直线l与圆C总相交； 2.掌握直线方程的五种形式，会求直线的方程，重 (2)m取何值时，直线1被圆C截得的弦长最 点提升数学运算和逻辑推理素养. 短？并求此弦长， 应用体验1已知直线l:(2-m)x+(2m+1)y +3m+4=0,其中m∈R. (1)求证：直线l恒过定点； (2)当m变化时，求点Q(3,4)到直线1的距离 的最大值及此时的直线方程。 「方法总结」直线与圆问题的类型 (1)求切线方程：可以利用待定系数法结合图形或 代数法求得」 「方法总结」求直线方程时，要根据给定条件， (2)弦长问题：常用几何法（垂径定理），也可用代 选择恰当的方法，常用以下两种方法求解 数法结合弦长公式求解， (1)直接法：直接选取适当的直线方程的形式，写 专题三圆锥曲线的几何性质 出结果。 1.本类问题主要有两种考查类型： (2)待定系数法：先以直线满足的某个条件为基础 (1)已知圆锥曲线的方程研究其几何性质，其中 设出直线方程，再由直线满足的另一个条件求出 以求椭圆、双曲线的离心率为考查重点。 待定系数，从而求得方程 (2)已知圆锥曲线的性质求其方程，基本方法是 专题二直线与圆、圆与圆的位置关系 待定系数法，其步骤可以概括为“先定位、后 :1.圆具有许多重要的几何性质，如圆的切线垂直 定量” 于经过切点的半径；圆心与弦的中点的连线垂 2.圆锥曲线的性质的讨论和应用充分体现了直观 直于弦；切线长定理；直径所对的圆周角是直角 想象和逻辑推理的数学素养， 11138 章未复习提升课学案46 应用体验3定义：以已知双曲线的虚轴为实轴、 专题四直线与圆锥曲线的位置关系 听 实轴为虚轴的双曲线称为原双曲线的共轭双 1.直线与圆锥曲线的位置关系，可以通过讨论直 课 曲线 线方程与圆锥曲线方程组成的方程组的实数解 记 (1)已知双曲线C的中心在原点，焦点在y轴 的个数来确定，通常消去方程组中变量y(或 上，焦距为16，离心率为号，求双曲线C的共轭 x)得到关于变量x(或y)的一元二次方程，考 虑该一元二次方程的判别式 双曲线的方程； 2.借用直线与圆锥曲线问题培养数学运算的核心！ (2)已知双曲线C1和它的共轭双曲线C2的离 素养 心率分别为e1,e2 应用体验4已知椭圆C:2十产1(a>6>) 11 (1)求证：e+e1: 的左、右焦点分别为F1,F2,M为椭圆C的上 (1)求上+上的取值范围。 顶点，N为椭圆C的右顶点，|MN|=2√， e e2 △MF1F2为直角三角形 (1)求椭圆C的方程； (2)若直线l:y=kx-1交椭圆C于A,B两 点，求△MAB面积的最大值 「方法总结」求解离心率的三种方法 「方法总结」1.直线与圆锥曲线的位置关系可 (1)定义法：由椭圆（双曲线）的标准方程可知，不 以通过代数法判断。 2.一元二次方程的判别式△、弦长公式是代数法 论椭圆（双曲线）的焦点在x轴上还是y轴上，都 解决问题的常用工具. 有关系式a2-b2=c2(a2+b2=c2),以及e=C, a 课堂达标 已知其中的任意两个参数，可以求其他的参数，这 是基本且常用的方法. 1.(多选)已知直线y=2x与x十y十a=0交于点 P(1,b),则 ( (2)方程法：建立参数a与c之间的齐次关系式， 从而求出其离心率，这是求离心率的十分重要的 A.a=-3 思路及方法。 B.b=2 (3)几何法：求与过焦点的三角形有关的离心率问 题，根据平面几何性质以及椭圆（双曲线）的定义， C.点P到直线ax十6y+3=0的距离为2 13 建立参数之间的关系，通过画出图形，观察线段之 间的关系，使问题更形象、直观. D.点P到直线ax十十3=0的距离为4 13 13910 人教B版数学选择性必修第一册 听 2.已知圆C与x轴相切，圆心在直线2x一y=0 5已知描阿后 =1(a>b>0)的左、右焦点分别 课 上，且经过点(1,0)，则圆C的方程为() A.(x-2)2+(y-4)2=16 为F1,F2,点A是椭圆短轴的一个顶点，且 记 B.(x+1)2+(y+2)2=16 cos∠FAF,=,则椭圆的离心率e为 C.(x-1)2+(y-2)2=4 6.动点M(x,y)与定点F(√3,0)的距离和它到 D.(x+1)2+(y+2)2=4 3.2024年3月20号，我国成功发射鹊桥二号中 定直线l:x= √3 3 的距离的比是3，动点M(x,y) 继卫星，其通过一个大型可展开的星载天线，实 的轨迹记为曲线C. 现了月球背面与地球之间的信号传输.星载天 (1)求动点M的轨迹； 线展开后形成一把直径（口径）为4.2m的“金 (2)已知直线x一y十m=0与曲线C交于不同 色大伞”，它的曲面与轴截面的交线为抛物线， 的两点A,B,且线段AB的中点在圆x2+y2= 在轴截面内的卫星波束呈近似平行状态射入接 20上，求实数m的值. 收天线，经反射聚集到焦点F处，若“金色大 伞”的深度为0.49m,则“金色大伞”的边缘A 点到焦点F的距离为 深度 A.2.25m B.2.74m C.4.5m D.4.99m 4.直线(m+2)x+(m-1)y-5m-1=0与圆 x2+y2=16交于A,B两点，则OA·OB(O 为坐标原点)的取值范围是 课后反思 11140