29.3 弧长和扇形面积（预习讲义）2026-2027学年人教版数学九年级上册

本讲义聚焦圆章节中弧长公式、扇形面积公式及圆锥相关计算等核心知识点，承接圆的基本性质，通过公式推导与变式应用，搭建从基础计算到复杂几何问题的学习支架。 资料以“知识点-题型-变式-巩固”分层设计，13类题型覆盖从基础到综合应用，如弧形运动路径结合挂钟、传送带等实例，培养应用意识，圆锥最短路径问题转化为平面几何，发展空间观念与推理能力。课中辅助教师分层教学，课后助力学生查漏补缺，强化知识迁移。

第二十九章圆 03讲弧长和扇形面积 >慰型归纳 【知识点1弧长公式… …1】 【知识点2扇形及其面积公式 2】 【知识点3圆锥 2】 【题型1.求弧长： 3】 【题型2.求扇形半径… 6】 【题型3.求圆心角 8】 【题型4.求扇形面积… 10】 【题型5.求某点的弧形运动路径长度 15】 【题型6.求图形旋转扫过的面积… 19】 【题型7.求弓形面积… 23】 【题型8.求其他不规则图形的面积… 27】 【题型9.求圆锥侧面积 31】 【题型10.求圆锥底面半径： 34】 【题型11.求圆锥的高… 35】 【题型12.求圆锥侧面展开图的圆心角 38】 【题型13.圆锥中最短路径问题… 40】 【巩固练习… …43】 知识清单 知识点1弧长公式 1,公式：n°的圆心角所对的弧长为l= 180 也可以用AB表 示AB的长. 1/54 :101 2.公式变形：n=1801 nπ 【提示】 ①公式里的，180在弧长计算公式中变式倍数关系，没有单位 ②题目中若没有写精确度，可用“π”变式弧长，如弧长2π，35等； ③正确区分弧、弧的度数相等、弧长相等：度数相等的弧，弧长不一定相等，弧长相 等的弧也不一定是等弧，要特别注意，只有在同圆或等圆中，才可能是等弧，才有这三者的 统一 知识点2扇形及其面积公式 1扇形的定义：由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧围成的图形叫做扇形 2,扇形面积公式：圆心角为°的扇形面积为S扇形= "mR=专R(1为扇形的弧长，R 360 2 为半径). 【提示】 ①扇形面积公式中的“n”与弧长公式中的“n”的意义一样的，都是“1°”的圆心 角的倍数，参与计算时不带单位 知迟点3圆维 1.圆锥的构成：圆锥是由一个底面和一个侧面围成的几何体 2.圆锥的母线：把连接圆锥顶点和底面圆周上任意一点的线段叫做圆锥的母线。 3.圆锥的高：连接圆锥顶点与底面圆心的线段叫做圆锥的高： 【提示】 2π (1)圆锥的轴通过底面的圆心，并垂直于底面： （2)圆锥的母线长都相等； 0- (3)圆锥可以看成是由一个直角三角形饶一条直角边所在的直线旋转而成的图形，故 圆锥的母线、圆锥的高h、圆锥底面圆的半径r恰好构成一个直角三角形（如图)，满足2+ h2=2,利用这一关系，已知任意两个量可以求出第三个量， 4与圆锥有关的公式：（1)S圆锥的侧面积=πrl:(2)S圆锥的全面积=πr(r+): (3)设圆锥的侧面展开扇形的圆心角为α°，则由该扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长 2/54 得出：0-2πm,即a=360· 180 【提示】 ①圆锥的侧面积就是弧长为圆锥的底面的周长，半径为圆锥的母线长的扇形的面积； ②圆锥的全面积就是它的侧面积和底面积的和。 >恩型专练 题型1.求弧长 【例1】已知圆弧所在圆的直径为12，该弧所对的圆心角为90°，则这条弧的长为() A.2π B.3π C.4π D.6元 【答案】B 【分析】本题考查弧长的计算，直接利用弧长公式求解即可. 【详解】，圆的直径d=12 半径r=6 ,圆心角n=90°，弧长公式l= 180 .1=90x6=3m 180 故选：B. 【例2】如图，用一个半径为4cm的定滑轮带动重物上升，滑轮上一点P旋转了120°，假设 绳索（粗细不计）与滑轮之间没有滑动，则重物上升了cm.(结果保留π) 重物 【答案】 【分析】本题考查了求弧长，解题关键是掌握弧长公式。 根据弧长公式计算. 【详解】解：：用一个半径为4cm的定滑轮带动重物上升，滑轮上一点P旋转了120°，假 设绳索（粗细不计）与滑轮之间没有滑动， 3/54 ∴.重物上升了2x4=(cm), 180 3 故答案为：警 【例3】制造弯曲管道时，管道中心线的圆弧半径r=1800mm,圆心角n=100°，求这段 圆弧的长度（π取3.14，结果保留整数)， 【答案】3140mm 【分析】本题考查求弧长，本思已知半径和圆心角，直接代入弧长公式！=需计算，核心是 正确代入圆心角和半径. 【详解】解：1==100x311e00=3140(mm）) 180 180 答：这段圆弧的长度是3140mm 【变式1】若扇形的圆心角扩大为原来的4倍，半径缩小为原来的一半，则扇形的弧长为原 来的() A.2倍 B.4倍 一半 D.8倍 【答案】A 【分析】本题考查了弧长公式，根据弧长公式！=C分别表示出弧长即可求解。 180° 【详解】解：设原圆心角为0，半径为r,则原弧长1=迎， 180° 新圆心角01=49，新半径1=行新弧长1：-= 180° 180° 180° 2π7 ÷兰=警=2即新弧长为原弧长的2倍， 180 故选：A。 【变式2】如图所示，当半径为30cm的传动轮按顺时针方向转过120°角时，传送带上的物 体A平移的距离为() A.101tcm B.300ncm C.30ncm D.20Ttcm 【答案】D 【分析】此题考查弧长的计算，解题关键在于掌握弧长公式. 传送带上的物体A平移的距离为半径为30cm的传动轮转过120°角的扇形的弧长，根据弧 4/54 长公式可得 【详解】解： 120×30r=20πcm, 180 即传送带上的物体A平移的距离为20πcm. 故选：D 【变式3】如图是一款带有提梁的茶壶，提梁与壶盖CD的平面图可近似看作半圆，为了防 止烫伤和保护提梁，常在提梁上缠绕一层隔热布，己知隔热布两端点A与点B关于直线L对称， 直线L1CD于点0，O为CD中点，测得直径CD为8Cm,∠A0C=30°，则提梁AB的长为cm. 提梁 【答案】π 【分析】本题主要考查弧长的计算，根据题意得出LA0B=2×(90°-30)=120°，再由弧 长公式计算即可. 【详解】解：~隔热布两端点A与点B关于直线I对称，直线I1CD于点O,O为CD中点， 直径CD为8cm,∠A0C=30°， ∴.LA0B=2×(90°-30)=120°， AB的长为： 120m×(周) 8 180 故答案为π 【变式4】己知一个扇形的面积为12cm2,圆心角的度数为108°，则它的弧长为 【答案】 6W10 5-ncm 【分析】本题考查的知识点是扇形的面积公式、弧长公式. 根据扇形的面积公式求出半径，再代入弧长公式计算弧长. 【详解】解：设扇形的半径为rcm, 由扇形的面积公式S=总m㎡2， 5/54 代入已知数据得器m2=12m 解得r2=40, ∴r=2V10(取正值)， 由弧长公式1=高， 86m×2而=×2V而-m 得l=108 n(cm). 故答案为：6正cm 5 【变式5】如图，已知四边形ABCD内接于⊙O,∠DCB=90°.连接BD,若AD=2AB且⊙0 的半径为6，求AB的长. 【答案】2π 【分析】本题考查弧长的计算、圆内接四边形的性质.根据题意可以得到BD是直径，然后 根据AD=2AB且⊙O的半径为6，即可求得AB的长. 【详解】解：四边形ABCD内接于⊙O,∠DCB=90, BD是直径， AD=2AB且⊙0的半径为6， :.AB=BD, “AB的长是：××2m×6=2m, 即AB的长2π. 题型2.求扇形半径 【例1】如果一条弧长为18.84cm,圆弧所对的圆心角是72°，那么这条弧所在圆的半径是 cm(π取3.14) 【答案】15 【分析】n°的圆心角所对的弧长l= 再设出圆的半径，代入已知条件列方程即可求解. 180 6/54 【详解】解：设这条弧所在圆的半径为Rcm, 根据弧长公式，得72×314x8=18.84. 180 整理计算得1.256R=18.84. 解得R=15(cm). 【变式1】一个扇形的圆心角为60°，它所对的弧长为2πcm,则这个扇形的半径为() A.6cm B.12cm C.2cm D.8cm 【答案】A 【分析】此题考查了扇形弧长，设这个扇形的半径为r根据题意列方程求解即可. 【详解】·一个扇形的圆心角为60°，它所对的弧长为2πcm, .设这个扇形的半径为r %×2m=2n .r=6 .这个扇形的半径为6cm. 故选：A. 【变式2】在⊙0中，如果120°的圆心角所对的弧长是4rcm,那么⊙0的半径是 cm. 【答案】6 【分析】本题考查了弧长公式，掌握弧长公式1=匹是解题的关键.根据弧长公式，代入圆 180 心角和弧长列式求解即可. 【详解】解：根据题意得20c=4r,解得r=6. 180 故答案为：6 【变式3】弧长为6π的弧所对的圆心角为60°，则该弧所在圆的半径是 【答案】18 【分析】本题考查了弧长计算公式及其应用，涉及的知识点包括圆的性质、弧长与圆心角的 关系.解题的关键在于准确理解并运用弧长公式！=，通过代入己知的弧长和圆心角，进 180 行正确的代数变换求得半径R的值.根据弧长公式=需其中I为频长，n为圆心角度数， R为半径，将已知数据代入公式即可求解半径R. 【详解】解：~l=6π，n=60°， 7/54 ·6n=60xnxR 180 解得，R=18, 故答案为：18. 题型3，求圆心角 【例1】已知扇形的弧长为4π，半径为6，则其圆心角的度数为() A.60° B.90° C.120° D.150° 【答案】C 【分析】本题主要考查了弧长公式，根据弧长公式直接计算圆心角度数 【详解】解：弧长公式为：1=01=4抓，T=6, .4n =nnx6 180 整理得：4=6m 180 即4=品 解得：n=4×30=120, 故选：C 【变式1】将一张半径为6的圆形纸片沿着两条半径剪开形成两个扇形.若其中一个扇形的 弧长是5π，则另一个扇形的圆心角度数是() A.30° B.60 C.150 D.210° 【答案】D 【分析】两个扇形的弧长之和等于圆的周长，先求出另一个扇形的弧长，再利用弧长公式求 圆心角。 【详解】，圆的半径r=6, ∴.圆的周长C=2m=2π×6=12r。 已知一个扇形弧长L1=5π， ∴.另一个扇形弧长L2=C-L1=12π-5m=7π. 设另一个扇形的圆心角度数为n°， 根据弧长公式L-品×2， 8/54 ÷7n=60×2rx6, 简化得7n=66×12m, 两边除以：7=高×12。 即7=器 简化品=动 六7=0 .n=7×30=210. 故选：D· 【点睛】本题考查弧长公式的应用，理解扇形弧长与圆周长的关系是解题的关键 【变式2】已知弧的长为4πcm,该弧所在圆的半径为8cm,则该弧的度数为 0 【答案】90 【分析】设弧的度数为n°，利用弧长公式构造方程并求解即可： 【详解】解：设弧的度数为n°， 由弧长公式可得，需-=4， 需4抓 解得n=90. 【变式3】一个扇形的弧长是3πcm,半径是9cm,则此扇形的圆心角是 【答案】60° 【分析】设扇形的圆心角为，利用弧长公式U=需列方程求解即可。 【详解】解：设此扇形的圆心角为n°， .nnx9 180 =3, 解得：n=60 【变式4】已知时钟的分针长10cm,初始时刻为14：00整，如图所示，若经过一段时间后， 分针的针尖走过的路程为号π，则经过一段时间后的时刻为 9/54 【答案】14：10 【分析】本题主要考查了弧长公式，钟面角， 先根据弧长公式求出分针转动的角度，再根据分针1分钟转动6°可得答案. 【详解】解：设分针走过的角度为n, 由题意可知，10=10= 1803 解得n=60, ,分针1分钟转动6°， g-10. 所以分针走了10分钟，即14：10. 故答案为：14：10. 题型4.求扇形面积 【例1】如图，⊙0是正五边形ABCDE的外接圆.若⊙O的半径为6，则半径0A,OB与AB 围成的扇形的面积是() A.2π B.5π C. D.10m 【答案】c 【分析】本题考查了扇形面积的求解，解题的关键是熟知圆内正多边形的性质及扇形面积公 式的运用.先求出圆心角∠AOB的度数，再根据扇形面积公式即可求解 【详解】解：，⊙O是正五边形ABCDE的外接圆，且⊙O的半径为6， ∠A0B=360=720, 5 10/54 :0A.0B与AB围成的扇形的面积是2xx6=L, 360 5 故选：C. 【例2】一个扇形的弧长是2π，圆心角是60°，则这个扇形的面积是 (结果保留π) 【答案】6m 【分析】本题考查求扇形的面积，根据扇形的弧长公式求出半径，再利用扇形面积公式求解. 【详解】解：设扇形的半径为，由弧长公式1=高×2，代入l=2,n=60,得：2m=需× 2r,解得r=6. “扇形面积s=r=×2n×6=6: 故答案为：6m 【变式1】如图，点A,B,C是⊙0上的点，且∠ACB=40°，⊙O的半径为2，则此阴影部 分的面积为（) B. D. 【答案】A 【分析】本题考查圆周角定理，扇形的面积，熟练掌握圆周角定理和扇形面积公式是解题的 关键.先利用圆周角定理得出∠AOB=2LACB=80°，再利用扇形面积公式计算即可. 【详解】解：，∠ACB=40°， .∠A0B=2∠ACB=80°， nr2_80r×22_8m ∴.S阴影=360 360 91 故选：A, 【变式2】如图，已知一钟表的分针0A段的长为10cm,若时间从10：00到10：20，则经过 扇形的面积为 cm2. 11 =9 6 11/54 【答案】9 【分析】本题考查了扇形面积的计算：根据分针转一大格即5分钟所转的角度是30°，则可 计算出分针从10：00到10：20所转的角度，即可得扇形的圆心角，从而由扇形面积公式即 可求解， 【详解】解：分针从10：00到10：20所转的角度为4×30°=120°， 所以分针所扫过的扇形的面积是2m10=10严(cm): 360 3 故答案为： 【变式3】如图，在⊙0中，∠C=30°，0A=2,则扇形A0B的面积为 B 【答案】π 【分析】本题考查了圆周角定理，扇形的面积，由圆周角定理得∠A0B=2LC=60°，再根 据扇形的面积公式计算即可，掌握以上知识点是解题的关键. 【详解】解：LC=30°， .∠A0B=2LC=60°， S扇形A0B 60mx2=2, 360 3 故答案为：。 【变式4】如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠B=20°，以点C为圆心，CA长为半径的圆交AB 于点D,连接CD,且AC=4. B (1)求AD的长： 12/54 (2)求扇形ACD的面积. 【答案】号 29 【分析】本题考查求弧长，求扇形的面积，熟练掌握弧长公式和扇形的面积公式是解题的关 键： (1)根据三角形的内角和定理，等边对等角，求出∠ACD的度数，再利用弧长公式进行计 算即可； (2)根据扇形的面积公式进行计算即可. 【详解】(1)解：，在△ABC中，∠ACB=90°，∠B=20°， ∴.∠BAC=70°， ,以点C为圆心，CA长为半径的圆交AB于点D, ..AC=CD, ∴.∠CDA=∠CAD=70°， .∠ACD=180°-2×70°=40°， l知=栅×4=号 (2)解：由(1)知：l如-警 扇形ACD的面积=×号×4=g 9 【变式5】如图，在△ABC中，以边AB为直径作⊙O分别交BC,AC于点D,E.若点D是 中点，连接OE,OD. (1)求证：△ABC是等腰三角形. (2)若AB=4,∠A=50°，求弧AE的长和扇形E0D的面积. 【答案】(1)见解析 2gg和 【分析】(1)连接AD,由AB为⊙O直径，得到∠ADB=90°，继而得出AD是线段BC的中垂 13/54 线，即可求解； (2)由等边对等角及三角形外角的性质求出LA0E=80°，∠E0D=50°，再根据弧长公式 和扇形面积公式求解即可. 【详解】(1)解：如图，连接AD, ,AB为⊙O直径， .∠ADB=90°，即AD⊥BC, 又D是BC的中点， ∴.AD是线段BC的中垂线， ..AB=AC, ∴，△ABC是等腰三角形. (2)解：，∠CAB=50°，OA=0E, .LCAB=∠AE0=50°， .∴.∠A0E=80°， ,AB=4, .0A=0E=2, l=02=8u 180 9 AE .AB=AC,OB=OD, .LABC=65°=∠0DB, .∠A0D=130°， .LE0D=50°， …S扇形B0D= 50π×22 360 90. 【点睛】本题考查了圆周角定理，等腰三角形的性质和判定，三角形外角的性质，弧长公式 和扇形公式，垂直平分线的判定，熟练掌握知识点是解题的关键， 14/54 题型5，求某点的弧形运动路径长度 【例1】一个挂钟的分针长20cm,经过小时后，这根分针的尖端所走过的路程是（)(m取 3.14). A.94.2cm B.942cm C.47.1cm D.471cm 【答案】A 【分析】本题主要考查了弧长公式，熟练掌握以上知识是解题的关键， 分针尖端走过的路程是弧长，分针长度相当于半径，经过小时，分针转过的角度为270°， 利用弧长公式计算. 【详解】解：：分针长r=20cm,经过时间t=小时， “.分针转过的角度0=360°×3=270， 弧长s=品×2加=2需×2×mX20=×40m=30m 当π=3.14时，即s=30×3.14=94.2(cm), 故选：A. 【例2】如图，在平面直角坐标系xOy中，A(1,4),B(3,2),若△0AB绕点O逆时针旋转90° 后，得到△OA1B1(A对应点是A1,B对应点是B1). 3 2 -5-4-3-2-10 2345x (1)画出△OA1B1,并直接写出A1的坐标： (2)求旋转过程中A点的运动路径长（结果保留π）. 【答案】(1)作图见解析：A1的坐标为(-4,1) 受 【分析】本题考查旋转作图及求点旋转后形成的弧长，熟练掌握旋转性质，熟记弧长公式是 解决问题的关键， 15/54 (1)根据旋转性质作出图形，如图所示，直接读出A1的坐标为(-4,1)： (2)由△OAB绕点0逆时针旋转90°得到A点的运动路径为AA1,如图所示，从而得到 ∠A0A1=90°，又由于A(1,4)确定0A=V12+4平=V17,从而利用弧长公式求得A点的运动 路径长=90：厘=7m 180 2 【详解】(1)解：△0A1B1如图所示： B × 2 -5-4-3-2-10 345x ∴△0A1B1即为所求，A1的坐标为(-4,1)： (2)解：，△OAB绕点0逆时针旋转90°，A点的运动路径为AA1,如图所示： -5-4-3-2-10 12345x ∴.LA0A1=90°， A(1,4), 0A=V12+4=V17, ∴旋转过程中A点的运动路径长-90V亚- 180 2 答：旋转过程中A点的运动路径长为四 【变式1】如图，在△ABC中，BC=2V5,将△ABC绕点C逆时针旋转60°得到△A'BC,则 点B转过的路径长为() 16/54 A.V3π B.2π 2死 D. 2W3π 【答案】D 【分析】本题考查了图形的变换一旋转，弧长公式，熟练掌握旋转的性质，弧长公式是解决 问题的关键.根据旋转的性质得出∠BCB'=60°，再利用弧长公式计算即可 【详解】解：，将△ABC绕点C逆时针旋转60°得到△ABC, ∴.LBCB'=60°， “点B转过的路径长为60x25=23m 180 3 故选：D 【变式2】如图，把一块∠A=30°的直角三角板ABC绕点C旋转到ABC的位置.使得三点B、 C、A在一直线上，若BC=15,则顶点A从开始到结束所经过的路径长为 【答案】20π 【分析】本题主要考查了弧长的计算，旋转的性质，根据已知条件得到AC=2BC=30, ∠ACB=60°，再根据旋转的性质得到ACA'=180°-60°=120°，再根据弧长公式计算即 可 【详解】LA=30°，∠ABC=90°，BC=15, AC=2BC=30,∠ACB=60°， ,直角三角板ABC,在水平桌面上绕点C按顺时针方向旋转到AB'C的位置， .LACA=180°-60°=120°， :顶点A从开始到结束所经过的路径长=120r30=20π： 180 故答案是：20m。 【变式3】如图，在平面直角坐标系中，小正方形网格的边长都是1个单位长度，△ABC 17/54 的三个顶点坐标分别为A(-1,1),B(-2,3),C(-5,2). 43-2- 5 (1)画出△ABC关于原点对称的图形△A1B1C1: (2)画出△ABC绕点0顺时针旋转90°后得到的△A2B2C2: (3)求点C旋转到点C1的过程中所经过的路径长（结果保留π）. 【答案】(1)见解析 (2)见解析 3)V29m 【分析】本题主要考查了利用关于原点对称作图，旋转变换作图和利用弧长公式计算弧长， 熟练掌握网格结构准确找出对应点的位置，准确运用弧长公式是解题的关键 (1)根据“关于原点对称的点的横坐标和纵坐标互为相反数"找到对应的点，然后顺次连接 即可； (2)根据网格结构找出三角形三个顶点以点0为旋转中心顺时针旋转90°后的对应点，然后 顺次连接即可： (3)利用勾股定理求出OC的长，再根据弧长公式进行求解即可. 【详解】(1)解：如图，△A1B1C1即为所求 4 32 5-43-2-1 2345衣 3 B1. (2)解：如图，△A2B2C2即为所求 18/54 4 45x (3)解：，0C=V22+52=√29， 点C旋转到点C,的过程中所经过的路径长180四=√29元. 180° 题型6.求图形旋转扫过的面积 【例1】如图，△ABC三个顶点的坐标分别为A(2,4,B(1,1),C(4,3) B 5-4-3-2-1011 (1)画出△ABC关于原点O成中心对称的△A1B1C1,并写出A1的坐标； (2)画出将△ABC绕点B逆时针旋转90°后的△A2BC2: (3)在(2)的条件下求线段BC所扫过的图形面积. 【答案】(1)作图见解析，A(-2,-4) (2)作图见解析 yπ 【分析】本题考查关于原点对称和旋转变换的作图、勾股定理、扇形面积公式，熟练掌握关 于原点对称点的坐标特征、扇形面积公式是解题的关键. (1)根据关于原点O成中心对称点的坐标特征进行解答即可： (2)通过△ABC绕点B逆时针旋转90°得到点A2、C2的位置，依次连接得到△A2BC2: (3)线段BC所扫过的图形面积是以BC为半径，圆心角为90°的扇形面积，根据网格可得出 BC=√3，根据扇形面积公式进行计算即可. 19/54 【详解】(1)解：如图：△A1B1C1即为所求，且A1(-2,-4): B 5-4-3-2-1 012 (2)解：如上图，△A2BC2即为所求： (3)解：由网格得：BC=V32+22=V13, 则线段BC所扫过的图形面积是ox回=华L 360 4 【变式1】一根长10cm的木棒，如果绕着它的一端旋转180°，木棒扫过的面积是()cm2 A.100m B.50π C.25π D.12.5π 【答案】B 【分析】根据题意，绕木棒一端旋转180°，木棒扫过的图形是半径为10cm的半圆，利用 圆的面积公式计算即可得到结果， 【详解】解：，木棒长为10cm,绕一端旋转180°， ∴.扫过的图形是半径r=10cm的半圆 ,圆的面积公式为S=r2 ∴.木棒扫过的面积为×π×102=×100π=50π(cm), 【变式2】如图，在平面直角坐标系中，△ABC三个顶点的坐标分别为A(1,2),B(4,3),C(2,1), 6 2 5-4-3-2-1,012345x (1)画出△ABC绕点A逆时针旋转90°后得到的△AB1C1:并直接写出B1的坐标： (2)在(1)的条件下，求线段AB在旋转过程中扫过的面积. 20/54 【答案】(1)图见解析，B1的坐标为(0,5) 2哼 【分析】本题主要考查坐标与图形的变化-旋转和扇形的面积的计算，熟练掌握旋转的性质 和扇形的面积公式是解题的关键. (1)根据旋转的性质得到点B,C的对应点，即可求解. (2)线段AB在旋转过程中扫过的图形为半径长是AB,圆心角为90的扇形，根据扇形面积 公式即可求解. 【详解】(1)解：如图，△AB1C1即为所求，B1的坐标为(0,5)： -5-4-3-2-11012345x (2)解：根据题意得：AB=AB1=V2+3=V10,∠BAB1=90°， ∴线段AB在旋转过程中所扫过的面积为90xxO=匹 360° 21 【变式3】如图，在平面直角坐标系中，A(2,0),B(3,3). 2 5-4-3-2-10 12345x 2 4 5 (1)作出△AB0绕原点0逆时针旋转90°后的△A1B10,并写出B1的坐标： (2)在(1)条件下，求线段0B所扫过的面积 【答案】(1)作图见解析，B1的坐标为(-3,3) 2 【分析】本题考查旋转的性质和扇形的面积公式，熟练掌握旋转的性质是解题的关键 21/54 由旋转确定点A1和点B1的坐标，连接旋转后新的三个顶点得到△A1B1O即可； 观察发现线段OB所扫过的面积为以原点O为圆心，弧BB1所形成的扇形，根据扇形面积公式 进行计算即可 【详解】(1)解：A点旋转90°后得到A1,A1点的坐标为(0,2)， B点旋转90°后得到B1,B1点的坐标为(-3,3)， 如图所示： 4 3 A 5-4-3-2-10 12345 2 3 =4 -5 (2)根据题意可知，从B到B1,线段OB到OB1,所扫过的图形为扇形，己知B(3,3), 则0B=V32+32=3V2, 因此线段0B所扫过的扇形面积为：9Ox×(3V)_ 360 2 答：线段0B所扫过的扇形面积为罗 【变式4】如图，正方形网格中，每个小正方形的边长都是一个单位长度，在平面直角坐标 系中，△ABC的三个J顶点A(5,2),B(5,5)、C(1,1)均在格点上. y (1)画出△ABC向左平移5个单位后的图形△A1B1C1: (2)画出△A1B1C1绕C1顺时针旋转90°后的图形△A2B2C1: (3)在(2)的条件下，求线段B1C1扫过的面积. 【答案】(1)见解析 22/54 (2)见解析 (3)8 【分析】本题考查了图形的平移和旋转，坐标与图形，勾股定理，扇形面积的计算，熟练掌 握“旋转图形的方法是解题的关键。 (1)分别确定△ABC的三个顶点A(5,2)、B(5,5)、C(1,1)向左平移5个单位后的对应点A1, B1,C1,再顺次连接A1,B1,C1即可： (2)分别确定A1,B1,C1绕C1顺时针旋转90°后的对应点A2,B2,C1,再顺次连接A2,B2 C1,即可； (3)线段B1C1扫过的面积是以C1为圆心，B1C1为半径的圆的面积的好，计算可得答案. 【详解】(1)解：如图所示，△A1B1C1即为所求， y C 0 (2)解：如图所示，△A1B1C1即为所求， y 0 (3)解：~B1C1=V4+4平=4V2, 线段B1C1扫过的面积为：S=π(4W22=8π. 4 题型7.求形面积 【例1】如图，已知⊙O的半径为2，点A和点B在⊙0上，若LA0B=90°，则图中阴影部 23/54 分的面积为() A.π-2 B.π-3 C.π D.2 【答案】A 【分析】本题考查了扇形面积公式，弓形面积：直接根据S阴影=S扇形04B-S△0AB即可得出 结论，熟记扇形的面积公式是解题的关键. 【详解】解：S阴影=S扇形0AB-S△0AB 90×π×22 1 360 ×2×2 =π-2， 故选：A. 【变式1】如图，在等腰△ABC中，AB=AC=8,∠BAC=90°，以AB为直径的⊙O交BC 于点D,连接OD、AD,则图中阴影部分的面积为 【答案】4π-8 【分析】本题考查了圆的性质，等腰三角形的性质，扇形面积公式，熟练掌握圆的性质，扇 形面积公式是解题的关键.根据圆周角定理可得BD=DC,∠ADB=90°，OD=OA=OB= AB=4,再根据三角形中位线定理可得0DIAC,从而得到∠A0D=180°-∠BAC=90, 即可求解 【详解】解：，AB=AC=8,∠BAC=90°，AB为⊙O的直径. ∴BD=DC,∠ADB=90,0D=0A=0B=AB=4, ..OD II AC, ∴.∠A0D=180°-∠BAC=90°， :.阴影部分的面积为0xx壁_号×4×4=4红-8. 360° 2 24/54 故答案为：4r-8 【变式2】如图，水平放置的圆柱形排水管的截面半径为12cm,截面中有水部分弓形的高 为6cm,求截面中有水部分形的面积. 0 B 6 cm 【答案】44π-365 3 【分析】本题考查的是垂径定理、勾股定理、扇形及三角形的面积，掌握相关结论解答此题 的关键.连接0A,0B,作0E1AB,由题意得：0E=12-6=6cm,0A=0B=12cm, 推出∠0BE=30°，BE=VOB2-OE=6W3Cm,求出AB=2BE=12√3cm,∠B0E=60°即 可求解： 【详解】解：连接OA,OB,作OE1AB,如图所示： 由题意得：0E=12-6=6cm,0A=0B=12cm, ∴.∠0BE=30°，BE=VOB2-0E=6V3cm, ∴.AB=2BE=12V3cm,∠B0E=60°， .∠A0B=2∠B0E=120°， Sa40B=×AB×0B=363cm2, S编形A0B-8π×12=4华cm, 120 3 ∴截面中有水部分号形的面积=S形403-S40g=(告π-36V3)cm 【变式3】如图，AB为半圆O的直径，C为半圆上一点，E为弧AC的中点，OE交弦AC于点D, 若AB=4,AC=2V3,求： 25/54 (1)DE的长 (2)阴影部分的面积. 【答案】(1)1 2培-3 【分析】本题考查垂径定理、勾股定理及扇形面积计算，掌握垂径定理，勾股定理是解题的 关键。 (1)由E是弧AC的中点，可得0E1AC.根据垂径定理得：AD=AC=V3,在Rt△OAD 中，运用勾股定理可将OD的长求出，由DE=OE一OD即可求解： (2)利用阴影部分面积等于扇形AOC面积减去△AOC面积即可求出. 【详解】(1)解：，E是弧AC的中点，AC=2V3, .0E⊥AC, ..AD=AC=V3, ,AB为半圆O的直径，AB=4, ∴.0A=0E=2, 在Rt△0AD中，0A2=0D2+AD2, 2=0D2+(32, 解得：0D=1, .DE=0E-0D=1, .DE的长为1： (2)解：连接0C, 在Rt△A0D中，0D=1,0A=2, ÷cOsA0D= ∴∠A0D=60°， OE 1 AC, .∠A0C=120°， 26/54 Sm影=S形40c-Sa40c=222-×2V5×1=誓-V5. 360 2 3 题型8。求其他不规则图形的面积 【例1】如图，在扇形A0B中，∠A0B=60°，以A0为直径作半圆，若0C的长为2m,则阴 影部分的面积为(). A.(2r-2V3m2 B.(售-v3)m2 c.号m2 D.(-V3)m2 【答案】B 【分析】本题主要考查了求扇形的面积.过点D作DE⊥OA于点E,根据阴影部分的面积为 S扇形AOB-S扇形ACD-S△0cD:解答即可. 【详解】解：如图，过点D作DE L OA于点E, ⊙ ,∠A0B=60°，0C=DC=2m, ∴.△0CD为等边三角形，∠ACD=2∠A0B=120°，0A=20C=4m, ∴cE=0C=1m, ∴.DE=VCD2-CE=V3m, ∴阴影部分的面积为S扇形A0B一S扇形ACD-S△oCD 60m×42120m×221 360 360 ×23 =(售-)m2. 故选：B 【例2】图所示，两个半圆形中，0为大半圆形的圆心，长为18的弦AB与直径CD平行且与 27/54 小半圆形只有一个交点，那么图中阴影部分的面积等于多少？ 【答案】n 【分析】本题主要考查了圆环的面积.观察图形可知阴影部分的面积等于大半圆形的面积减 去小半圆形的面积，即当小半圆形在大半圆形范围内左右移动时，阴影部分面积不改变，因 此我们可以通过平移，使两个半圆形圆心重合，用大半圆形的面积减去小半圆形的面积，即 可求解。 【详解】解：将小半圆形向右平移，使两个半圆形的圆心重合，如图，则阴影部分的面积等 于半圆环面积.作OE1AB于点E,则点E为AB与小半圆的交点，连接OA, .AE=AB=9. 阴影部分的面积=·0A2-n:0B2=知(0A2-0B2)=AB2=·9=受π 【变式1】苏州砖雕是以砖作为雕刻对象的制作技艺，其特点是细腻精致、典雅秀气.图 ①是一块扇面形的苏州砖雕作品《兰》，图②是它的设计图，其中扇形0BC和扇形0AD有 相同的圆心O,且圆心角∠0=108°，己知0A=100cm,0B=40cm,则该砖雕的面积为 () B 0 图① 图② A.6400mcm2 B.900tcm C.5500πcm2 D.2520πcm2 【答案】D 【分析】解题的关键是掌握扇形面积公式s= 360 利用大扇形面积减去小扇形面积即可求 解 【详解】解：由题意可知，该砖雕的面积等于扇形OAD的面积减去扇形OBC的面积， 28/54 ~圆心角∠0=108°，0A=100cm,0B=40cm, 该砖雕的面积为： S=S扇形04D一S扇形0BC 108:π：0A2108·π，0B2 360 360 108π (1002-402) 360 3 10π(0000-1600) 3 10元×8400 =2520m(cm2). 故选：D. 【变式2】如图，AB为半圆的直径，且AB=4,将半圆绕点A顺时针旋转45°，点B旋转 到点C的位置，则图中阴影部分的面积为() A.π B.2π C.4π D.6π 【答案】B 【分析】本题考查的是扇形面积的计算，熟记扇形的面积公式是解答此题的关键，先根据旋 转的性质得S半圆AB=S半圆AC,∠BAC=45°，再利用面积的和差得到S阴影部分十S半圆AB= S半圆AC+S扇形BAC,即有S阴影部分=S扇形BAC, 然后根据扇形的面积公式计算即可. 【详解】解：，半圆AB绕点A顺时针旋转45°，点B旋转到C的位置， ·S半圆AB=S半圆AC∠BAC=45°， :S阴影部分十S平圆AB=S半圆AC十S扇形BAC 45x号=2r: .S阴影部分=S扇形BAC=360 故选：B. 【变式3】如图，AB的长为10cm,且CD1AB于点O,则图中阴影部分的面积为_ cm2 29/54 【答案】5m 【分析】AB=10cm,CD1AB于O,则0A=5cm,且根据圆的旋转不变性，把最小的圆 顺时针旋转90°，把最外面的圆逆时针旋转90°，则阴影部分就合成了扇形0AC,再根据扇 形的面积公式计算即可. 【详解】解：AB=10cm,CD1AB于O,则0A=5cm, 根据圆的旋转不变性，把最小的圆顺时针旋转90°，把最外面的圆逆时针旋转90°，则阴影 部分就合成了扇形OAC, ∴阴影部分的面积=905=， 360° 4 . 故答案为：平和 【点睛】本题考查了旋转的性质：旋转前后的两个图形全等，对应点与旋转中心的连线段的 夹角等于旋转角，对应点到旋转中心的距离相等，也考查了扇形的面积公式， 【变式4】如图，扇形A0B的圆心角是90度，半径是2，C是弧AB的中点.两个阴影部分的 面积差是 （π取3.14) 【答案】0 【分析】本题考查不规则面积求法，涉及扇形面积公式、圆面积公式等知识，数形结合，准 确表示不规则图形面积是解决问题的关键。 如图所示，S1=S半圆-S不规则oBD:S2=S扇形0Bc一S不规则OBD'从而得到两个阴影部分的面 积差是S半圆-S扇形08c,再由S华圆=S扇形OBc=代值求解即可得到答案。 【详解】解：如图所示： 30/54 D ○ ·S1=S半圆-S不趣则0BD,S2=S扇形0Bc一S不规则08D' “S国-×πx('-S和c-S40B-xxπ×2-号 S1-S2=（S半圆-S不规则08D) (S扇形oBc-S不规则OBD) =S半圆一S扇形oBC =0, 故答案为：0. 【变式5】如图，四边形ABCD的面积为6√3，扇形ABD的半径为4，圆心角∠BAD为60°， 求图中阴影部分的面积.（结果保留根号和π） A 【答案】63-号π 【分析】本题考查了扇形的面积公式，不规则图形的面积，先根据扇形面积公式：需求出 扇形ABD的面积，然后根据阴影部分的面积=四边形ABCD的面积扇形ABD的面积求解即可. 【详解】解：，扇形ABD的半径为4，圆心角∠BAD为60°， 、扇形ABD的面积为60x坐=π， 360 又四边形ABCD的面积为6√3， ∴阴影部分的面积为6V3-. 题型9.求圆锥侧面积 【例1】若圆锥的底面周长为12πcm,母线长为8cm,则圆锥的侧面积是(). 31/54 A.30ncm2 B.481tcm2 C.60ncm2 D.961cm2 【答案】B 【详解】解：S=cl=×12m×8=48mcm2(c表示底面周长，1表示母线长). 【变式1】如图，是用绸布所制作的清代官员夏日官帽，要制作一个底面半径为16cm,高 为12cm的圆锥形官帽，则所需扇形绸布的面积为() A.240πcm2 B.280πcm2 C.320it cm2 D.640n cm2 【答案】c 【分析】本题主要考查圆锥的侧面积，已知底面半径和高，根据勾股定理可计算出母线长为 20cm,同时计算出展开后扇形弧长为32π，所以侧面积为S=R=号×32n×20=320m. 【详解】解：如图， 根据题意：BD=CD=16cm,AD=12cm,AB=AC, ∴.圆锥形官帽的母线长为：AB=AC=√CD2+AD2=20cm, ,圆锥形官帽展开后扇形弧长为：1=2×π×16=32πcm, .侧面积为S=R=×32m×20=320m. 故选：C 【变式2】如图，在Rt△PQR中，∠PQR=90°，PQ=4,RQ=3,将Rt△PQR绕直线PQ 旋转一周得到的几何体的全面积为 (结果保留π). 【答案】24r 32/54 【分析】本题考查了“旋转体的表面积”“勾股定理”，掌握旋转体与旋转面之间的关系是解题 关键。 利用勾股定理可以求出PR的长，直角三角形沿直角边旋转得到的旋转体是圆锥，根据对应 线段的长度求全面积（即表面积）即可， 【详解】解：在Rt△PQR中，由勾股定理，得PR=√PQ2+QR2=5, 旋转一周得到的几何体是圆锥，根据旋转过程，其中PR为圆锥的母线，PQ为高，QR为底面 圆半径， ∴.底面圆的面积为πQR2=9元，底面圆的周长为π2QR=6π， :圆锥的侧面积为0nPR2-智25=15m, ∴，圆锥的全面积（表面积）为15π+9=24r, 故答案为：24m. 【变式3】“草帽当锅盖”是云南十八怪中之一，当地人制作的草帽锅盖呈圆锥形，一个草帽 锅盖的母线长为30cm,底面圆的半径为20cm,这个草帽锅盖的侧面积为 cm2 【答案】600π 【分析】本题考查了圆锥的侧面积，圆锥的侧面积公式S=πl,其中r是底面圆的半径，1 是母线长，据此进行解答即可. 【详解】解：根据圆锥的侧面积公式S=rl可得： S=rl=π×20×30=600π（平方厘米）， 故答案为：600π， 【变式4】如图，圆锥的底面半径0C=3,高A0=4,求该圆锥的侧面积. 【答案】15m 【分析】本题考查了勾股定理，圆锥的侧面积，扇形的面积，熟练掌握以上知识点是解题的 关键.先根据勾股定理求得AC,再通过圆锥的侧面积公式求解即可. 【详解】解：0C=3,A0=4,LA0C=90°， ·AC=VA02+0C2=VP+32=5, 33/54 该圆锥的侧面积为π×3×5=15π. 题型10.求圆维底面半径 【例1】一圆锥的母线长为6cm,它的侧面展开图的圆心角为120°，则这个圆锥的底面半 径r为cm. 【答案】2 【分析】本题考查圆锥的展开图、扇形的弧长公式，熟记弧长公式L=是解答的关键 180 根据圆锥的展开图是扇形，母线长为扇形的半径，底面周长是扇形的弧长，利用弧长公式求 解即可. 【详解】解：根据题意，底面周长为2rcm, 由120x6=2m得r=2, 180 故答案为：2. 【变式1】如图，用矩形ABCD纸片裁一扇形ABE,围成圆锥侧面.若AB=16,则此圆锥底 面半径为(） D A.4 B.16 C.4V5 D.8 【答案】A 【分析】本题考查了圆锥的底面半径，根据弧长等于底面圆的周长，即可求解。 【详解】解：设圆锥的底面圆半径为T,依题意，得 2r=90rx16 180 解得r=4. 故圆锥的底面半径为4： 故选：A. 【变式2】已知圆锥的侧面积是8π，母线长是4，则这个圆锥的底面圆周长是() A.20π B.10π C.5π D.4π 34/54 【答案】D 【分析】本题考查圆锥的计算，直接利用扇形的面积公式求解即可.解题的关键是理解：圆 锥的侧面展开图与原来的扇形之间的关系，圆锥的母线长是扇形的半径，圆锥的底面圆周长 是扇形的弧长。 【详解】解：设这个圆锥的底面圆周长为，则： ×4=8m, 解得：1=4r, ∴，这个圆锥的底面圆周长是4π. 故选：D 【变式3】如图所示，矩形纸片ABCD中，AD=12cm,把它分割成正方形纸片ABFE和矩形 纸片EFCD后，分别裁出扇形ABF和半径最大的圆，恰好能作为一个圆锥的侧面和底面，则AB 的长为() A.4cm B.8cm C.3.5cm D.5cm 【答案】B 【分析】本题考查圆锥展开图扇形弧长等于底面圆的周长，根据圆锥展开图扇形弧长等于底 面圆的周长列式求解即可得到答案； 【详解】解：设AB=xcm,由题意可得， 90=π(12-x), 180 解得：x=8, 故选：B 题型11.求圆锥的高 【例1】把半径为4的半圆做成圆锥的侧面，则圆锥的高是() A.2V3 B.2V2 C.3V2 D.2 【答案】A 35/54 【分析】利用圆锥侧面展开图的性质，即半圆的弧长等于圆锥底面周长，圆锥母线长等于原 半圆的半径，再结合勾股定理即可求出圆锥的高. 【详解】解：原半圆的半径为4，即圆锥母线长l=4, ∴.半圆的弧长为×2π×4=4π， 设圆锥底面圆半径为T, ,圆锥底面周长等于侧面展开半圆的弧长， ∴.2r=4r, 解得r=2, ,圆锥的高h,底面半径r,母线长构成直角三角形，满足勾股定理， ∴.h=Vp-r2=Vg-22=V12=2V3 【变式1】四位同学测量圆锥高的方法如下，你认为正确的是() 0cm 1 楠楠： 晶晶： 依依 笑笑 0●- A.楠楠 B.晶晶 C.依依 D.笑笑 【答案】D 【分析】本题主要考查了圆锥的认识及特征，圆锥的高是指圆锥的项点到底面圆心之间的距 离，据此即可解答 【详解】解：，圆锥的高是指圆锥的顶点到底面圆心之间的距离， ∴正确的测量方法为 笑笑 0。- 故选：D 【变式2】用圆心角为120°，弧长为4π的扇形围成一个圆锥的侧面，则所围成的圆锥的高 为 【答案】4v2 36/54 【分析】由于圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半 径等于圆锥的母线长.则根据圆的周长公式求出圆锥的底面圆的半径为1，设利用弧长公式 求出母线长，然后利用勾股定理计算出圆锥的高. 【详解】解：设圆锥的底面圆的半径为T, 则2πr=4r,解得r=2; 设圆锥的母线长为， 则高=4，解得1=6： 所以圆锥的高=√62-22=4v2. 故答案为：4W2 【点睛】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底 面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长. 【变式3】一个圆锥的底面半径为3cm,母线长为5cm,则圆锥的体积为 cm3. 【答案】12m 【分析】本题考查圆锥的体积以及勾股定理，先根据勾股定理求出圆锥的高，再根据圆锥的 体积公式计算即可. 【详解】解：，圆锥的底面半径为3cm,母线长为5cm, ∴.圆锥的高为√52-32=4cm, .圆锥的体积为5π×32×4=12πcm2, 故答案为：12π. 【变式4】一个长方体的容器，从里面量长6.28分米，宽5分米，高3分米，水深1.5分 米.把一个半径2分米的圆锥体实心铁块浸没在水里时，水面离容器口还有1.3分米，求圆 锥体实心铁块的高是多少分米？（π取3.14） 【答案】1.5分米 【分析】本题考查了圆锥体的体积，关键是利用圆锥体实心铁块浸没在水里前后，长方体容 器内水面变化，得到圆锥体积，然后，运用圆锥体积公式V=S计算即可解答。 【详解】解：设原长方体的容器中水的体积为Vo, 则V0=6.28×5×1.5=47.1(dm3) 将圆锥体实心铁块浸没在水里，设水与圆锥的体积和为V1, 则V1=6.28×5×(3-1.3)=53.38(dm3) 37/54 设圆锥的体积为V,底面积为S,高为h, 则V=V1-V0=6.28(dm3)…① 由圆锥体积公式可得， V=Sh=}×2×3.14h=装h…② 3 75 联立①和②两式可得， 若=628， 所以h=1.5(dm) 答：圆锥体的高是1.5分米. 题型12.求圆维侧面展开图的圆心角 【例1】己知圆锥的底面半径为2，母线为5，则圆锥侧面展开图的圆心角度数为() A.90° B.120° C.144 D.180° 【答案】C 【分析】本题考查了圆锥的有关计算和弧长公式，根据底面周长等于圆锥的侧面展开图的弧 长以及弧长公式求解即可，正确理解圆锥的母线是圆锥侧面展开图的扇形半径，圆锥的底面 圆周长是扇形的弧长是解决本题的关键 【详解】设圆锥的侧面展开图的圆心角的度数为n°， 根据题意，得2m·2=5 180 .n=144, 圆锥的侧面展开图的圆心角的度数为144°， 故选：C. 【变式1】如图，△ABC是圆锥的轴截面图形，A0是圆锥的高.若BC=6,A0=4,则该圆 锥的侧面展开图的圆心角为() B-------- A.108 B.168.75° C.216° D.337.5° 【答案】C 38/54 【分析】本题考查求圆锥侧面展开图的圆心角度数，勾股定理求出母线长，根据圆锥的底面 圆周长等于侧面展开图的弧长，进行求解即可. 【详解】解：由图可知：OA1BC,0B=OC=二BC=3, ∴.AB=V32+4平=5， 设展开图的圆心角的度数为，则：6m=需×5， .n=216:即：展开图的圆心角的度数为216°： 故选：C 【变式2】某班为筹备集体生日会准备手工制作圆锥形状的生日帽.他们制作的生日帽，母 线长为30cm,底面圆的半径为8cm,这种圆锥的侧面展开图的圆心角等于 【答案】96/96度 【分析】本题考查圆锥的计算、一元一次方程的应用，解答本题的关键是明确圆锥的底面圆 的周长=扇形的弧长。 根据题意可知，圆锥的底面圆的周长=扇形的弧长，即可列出相应的方程，然后求解即可. 【详解】解：设这种圆锥的侧面展开图的圆心角度数是°， 2π×8=mmx30 180 解得n=96, 即这种圆锥的侧面展开图的圆心角度数是96°， 故答案为：96° 【变式3】母线长为5的圆锥的侧面积恰好等于其底面积的2倍，该圆锥侧面展开图所对应 扇形圆心角的度数为 【答案】180/180度 【分析】本题考查了求圆锥侧面展开图的圆心角，设圆锥侧面展开图所对应扇形圆心角的度 数为儿底面半径为r根据数量关系得r=进而得=2)-警，即可求解，熟 练掌握圆周侧面展开图的面积公式是解题的关键 【详解】解：设圆锥侧面展开图所对应扇形圆心角的度数为，底面半径为. ∴.底面周长为：2㎡，底面面积为：πr2,侧面积为：号×2r×5=5r=2×r2, =7 5 39/54 nn×52 25 360° 2 ∴.n=180°， 故答案为：180°. 题型13。圆维中最短路径问题 【例1】如图，圆锥底面圆直径BC长是6cm,母线AC长是6cm,一只蚂蚁在圆锥表面从B 点爬到AC的中点D,最短路径长是 cm. B 【答案】3√5 【分析】本题考查圆锥的侧面展开图，弧长公式，勾股定理，最短路径问题，正确求出圆锥 的侧展开图圆心角的大小是解题关键，由题意可求出圆锥的侧展开图的圆心角大小，再结合 勾股定理求解即可 【详解】解：，圆锥的侧展开图是一个扇形，设该扇形圆心角为， 根据题意有：的=元X6, 解得：n=180°，如图， ∴.AB1AC,且BD为最短路径. .'AB 6cm,AD =AC 3cm, ∴.BD=V62+32=3V5cm, 故最短路径长是3V5cm. 故答案为：3√5. 【变式1】已知圆锥的底面半径为2，母线长SA=8,现有一只小虫从圆锥底面圆上A点出 发，沿着圆锥侧面绕行到母线SA的中点B,则它所走的最短路程是_· 40/54 【答案】45 【分析】本题考查求圆锥的侧面展开图的圆心角，圆锥侧面上最短路径问题，涉及弧长公式， 圆的周长公式，勾股定理，两点之间线段最短等知识，掌握圆锥的底面周长就是侧面展开图 (扇形)的弧长和两点之间线段最短是解题的关键.根据圆锥的底面周长就是侧面展开图（扇 形)的弧长求解圆心角：再画出展开图，根据两点之间线段最短和勾股定理求解即可. 【详解】解：设它的侧面展开图的圆心角为n°， 根据圆锥的底面周长就是侧面展开图（扇形）的弧长得： 2加=需 又r=2,l=8. “2X2r=0 180 解得：n=90. ∴.它的侧面展开图的圆心角是90°； 根据侧面展开图的圆心角是90°，画出展开图如下： 根据两点之间，线段最短可知AB为最短路径， ~SA=8,B为SA的中点， .SB=4 由(1)知∠ASA'=90° ..AB=VSA2 SB2=4V5 ∴，它所走的最短路线长是4W5. 故答案为：4V5 41/54 【变式2】如图是一个圆锥与其侧面展开图，已知圆锥的底面半径是2，母线长是6. (1)求这个圆锥的侧面展开图中∠ABC的度数； (2)如果A是底面圆周上的一点，从点A拉一根绳子绕圆锥侧面一圈再回到点A,求这根绳 子的最短长度. 【答案】(1)120° (2)这根绳子的最短长度为6√3 【分析】(1)结合侧面展开图是以6为半径，4π为弧长的扇形，由弧长公式求圆心角： (2)在侧面展开图中，由两点之间线段最短得绳子的最短长度为AC的距离. 本题考查圆锥的几何性质，勾股定理、垂直定理，属于基础题. 【详解】(1)解：设LABC的度数为n, 底面圆的周长等于2π×2=”x6 180 解得n=120. (2)解：连接AC,过B作BD⊥AC于D, ∴.CD=AD,AC=2AD,∠BDA=90° 由(1)得n=120° LABD=60° ,∵∠BDA=90 则∠DAB=30 由AB=6, ∴.BD=3, .AD=V62-32=3V3, ..AC=2AD =6V3, 即这根绳子的最短长度是6V3. 42/54 B 巩固练习 1.(2026云南.中考真题)某文创团队用环保材料制作圆锥形灯罩.若该圆锥的母线长30cm, 侧面展开图是圆心角为180°的扇形，则这个圆锥的侧面积为() A.450πcm2 B.500ncm2 C.600ncm2 D.700πcm2 【答案】A 【分析】圆锥侧面展开图为扇形，圆锥母线长等于展开扇形的半径，直接利用扇形面积公式 即可求出圆锥侧面积 【详解】解：，圆锥的母线长为30cm,侧面展开图是圆心角为180°的扇形， ∴.展开扇形的半径R=30cm,圆心角n=180°， ,圆锥侧面积等于其侧面展开扇形的面积， .S=mR2=180x302=450mcm2. 360 360 2.（2026江苏扬州中考真题)“拧拉”是一种常用的乒乓球接发球技术.拧拉时，手肘保持 不动，手腕绕手肘旋转划出一段圆弧.小明手腕到手肘的距离为20cm,某次拧拉时手腕绕 手肘旋转的角度为90°，小明手腕的运动路线长为() A.5πcm B.10Ttcm C.20πcm D.40Tcm 【答案】B 【分析】根据题意确定圆的半径和圆心角，利用弧长公式1=”进行计算即可. 180 【详解】解：根据题意可知，手腕的运动路线是一段圆弧， 43/54 半径r=20cm,圆心角n=90°， 手腕的运动路线长：1=四=90m20 Γ180 180 =10π(cm). 3.(2026江苏镇江·二模)小红在一张边长为2dm的正方形纸板上，按如图方法裁出一个扇 形（阴影部分），并用它围成圆锥形礼帽（粘贴部分忽略不计），则该圆锥形礼帽的底面半径 为() A.√2dm B.1 dm C.dm D.dm 【答案】D 【分析】本题主要考查圆锥的侧面展开图及弧长公式，熟练掌握圆锥的侧面展开图及弧长计 算公式是解题的关键：根据圆锥侧面展开图的弧长等于圆锥底面圆的周长可进行求解， 【详解】解：由题意得：扇形的半径R等于正方形的边长，即R=2dm,圆心角n=90°， 扇形的弧长为1=0x2=π(dm), 180 设圆锥底面圆的半径为r, 圆锥底面圆的周长等于扇形的弧长， ∴.2πr=t ..r=(dm). 4.(2026辽宁大连·二模)如图，正方形ABCD的边长为4，以A为圆心，AD的长为半径画 弧.则图中扇形的面积为() A.π B.2π C.4π D.8π 【答案】C 【分析】利用正方形和扇形面积公式求解. 【详解】解：四边形ABCD为正方形， .∠A=90°，AD=AB=4, 44/54 ∴图中扇形的面积为90x华 =4π 360 5.(2026江苏南通.三模)一个圆锥，其母线长为12cm,底面圆半径为3cm,则侧面展开 图圆心角度数为() A.45 B.60° C.90° D.180° 【答案】c 【分析】圆锥底面圆的周长等于其侧面展开扇形的弧长，圆锥母线长等于扇形的半径，利用 该关系列方程即可求解圆心角度数， 【详解】解：设侧面展开图的圆心角度数为n°， ,母线长为12cm,底面圆半径为3cm,且圆锥底面周长等于侧面展开扇形的弧长， ∴底面圆周长为2π×3=6mcm,侧面展开扇形的弧长为需 .6n=12nz 180 解得n=90, ∴.侧面展开图圆心角度数为90° 6.(2026江苏常州.一模)如图1是一段弯管，弯管的部分外轮廓线如图2所示是一条圆弧 AB,圆弧的半径0A=10cm,圆心角∠AOB=90°，则弧AB的长是() B 图1 图2 A.2πcm B.5πcm C.10πcm D.20元cm 【答案】B 【分析】根据弧长公式1=， 180 将半径R=10和圆心角n=90代入计算即可求解. 【详解】解：，圆弧的半径0A=10cm,圆心角∠A0B=90°， ∴.弧AB的长1=90x10 180 =5π(cm 7.(2026广东清远.三模)如图，AB是⊙O的直径，BC是⊙O的切线，若∠BAC=45°，AB=4, 则阴影部分的面积是 45/54 【答案】 6-/-π+6 【分析】设AC与⊙O交于点D,连接0D,由圆周角定理得到∠B0D=2LBAC=90°，证明 △A0D是等腰直角三角形，求出OA=OB=OD=2,得到S△AoD,S扇形oBD,根据切线的性质 得到AB1BC,因为∠BAC=45°，得到△ABC是等腰直角三角形，得到SA4BC,即可求解. 【详解】解：设AC交⊙O于点D,连接OD, D B ,LBAC=45°， .LB0D=2LBAC=90°， .LA0D=90°， ∴△AOD是等腰直角三角形， AB=4, ∴.0A=0B=0D=2, 5a40=i040D=×2×2=2,Sm形0BD=02= 2 2 360 ~BC是⊙O的切线， .AB L BC, 又∠BAC=45, ∴△ABC是等腰直角三角形， ..AB BC=4, S△ABc=AB:BC=×4×4=8, ∴S阴影=S△ABc-S△40D-S扇形0BD=8-2-L=6-L. 46/54 8.（2026河南平顶山三模)如图，在扇形0AB中，OA=2,C是0B上的一点，连接AC并 将扇形0AB沿AC翻折，点B恰与点O重合，则图中阴影部分的面积为· B A 【答案】号-V3 【分析】由翻折的性质可知，AC为线段OB的垂直平分线.连接AB,△OAB为等边三角形， 得到∠AB0=60°，求出0C=1,AC=V3.根据S阴影=S扇形AB0-S△40B求出答案， 【详解】解：由翻折的性质可知，AC为线段OB的垂直平分线， 如图，连接AB, B ∴AB=A0=OB, ∴.△OAB为等边三角形， .∠AB0=60° ,0B=OA=2,C是0B的中点， ∴0C=0B=1,AC=50C=3. 由题意，得S形=Sm形A0-Sa409%×2-×2×V5-号-V3. 9.(2026浙江温州.三模)如图，某手工工作室需要制作一个扇形的装饰挂件，从一块直径 为6dm的圆形铁皮上剪出一个圆心角为90°的扇形作为挂件，则此扇形挂件的面积是 dm2. 【答案】4.5m 47/54 【分析】连接AC,由题意可得AC为直径，即AC=6dm,AB=BC,再结合勾股定理求出AB= BC=3v2dm,最后再由扇形的面积公式计算即可得出结果. 【详解】解：如图，连接AC, ,从一块直径为6dm的圆形铁皮上剪出一个圆心角为90°的扇形作为挂件，即∠ABC=90°， ∴.AC为直径，即AC=6dm,AB=BC, .'AB2 +BC2 AC2, ∴.AB=BC=3V2(dm), 此扇形挂件的面积是0x“=45m. 360 10.(25-26九年级上.宁夏吴忠期末)如图，己知圆锥的底面半径2cm,母线长6cm B (1)圆锥的高OM=一cm.侧面展开扇形BOC的圆心角= (2)求圆锥的全面积. 【答案】(1)4W2:120 (2)16π(cm2) 【分析】(1)利用勾股定理求高；设侧面展开扇形B0C的圆心角为x°，再根据扇形弧长等于 底面周长列式求解： (2)分别求出圆锥底面面积和侧面积，再求和即可， 【详解】(1)解：由题可知AM=BM=2(cm),OM1AB, ∴0M=V0A2-AM7=V62-22=4W2(cm): 设侧面展开扇形B0C的圆心角为x°，则BC= 高0rX6=希(cm), 又底面周长为2m×2=4π(cm), 48/54 0π=4，解得x=120, 则侧面展开扇形B0C的圆心角为120°： (2)解：圆锥底面积为π×22=4π(cm2), 圆锥的侧面积为S侧面=rl=L×2×6=12(cm2), 所以圆锥的全面积为4π+12π=16π(cm). 11.（25-26九年级上安徽安庆期末)如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网 格中建立平面直角坐标系xOy,△ABC的顶点均为格点（网格线的交点） (1)△ABC先向左平移5个单位，再向上平移1个单位后为△A1B1C1(点A,B,C的对应点分 别为A1,B1,C1),请画出△A1B1C1,并写出点B1的坐标； (2)画出将△ABC绕点0顺时针旋转90°后的△A2B2C2(点A,B,C的对应点分别为A2,B2,C2), 并求出点A旋转到A2所经过的路径长. 【答案】(1)作图见解析，(-4,3) 2)作图见解析，9 【分析】本题考查平面直角坐标系中的图形平移、旋转变换作图以及弧长的计算，核心知识 为平移的坐标规律、旋转的坐标规律和弧长公式， (1)先确定原三角形各顶点的坐标，依据“向左平移横坐标减，向上平移纵坐标加”的规则 求出平移后各项点的坐标，再顺次连接得到平移后的三角形，进而得到点B1的坐标： (2)根据绕原点顺时针旋转90°的坐标变换规律，求出旋转后各顶点的坐标，顺次连接得 到旋转后的三角形：再计算原点到点A的距离，结合旋转角90°，利用弧长公式计算点A旋转 的路径长 【详解】(1)解：如图所示△A1B1C1为所求的三角形，此时点B1的坐标为(-4,3)： 49/54 B B (2)解：如图所示，△A2B2C2为所求的三角形， 珠 A(3,3), ∴.0A=V32+32=3V2, 点A旋转到A2所经过的路径长90x32=3正元. 180 2 12.(25-26九年级上江苏准安期末)如图，⊙0是△ABC的外接圆，BC是⊙0的直径， ∠B=∠CAD (1)求证：AD是⊙O的切线： (2)连接0A,若∠B=30°，AC=3,求扇形0AC的面积. 【答案】(1)见解析 2呢π 【分析】本题考查了切线的判定、圆周角定理、等边三角形的判定、扇形的面积公式： (1)由BC是⊙O的直径，得到∠BAC=90°，由OA=OB得到∠OAB=∠B,进而得到∠BAC= 50/54 ∠OAD=90°，再利用切线的判定定理即可证明： (2)根据圆周角定理得到∠AOC=2∠B=60°，进而推出△OAC是等边三角形，则OA= AC=3,再利用扇形的面积公式即可求解. 【详解】(1)证明：如图，连接0A, BC是⊙O的直径， ∴.∠BAC=90°， 0A=0B, ∴.∠OAB=∠B, :LB=∠CAD, LOAB=∠CAD, ∴.∠OAB+∠OAC=∠CAD+∠OAC, 即∠BAC=LOAD, .∠0AD=90°， OA是⊙0的半径， .AD是⊙O的切线： (2)解：，∠B=30°， ∴.LA0C=2∠B=60°， ,0A=0C, .△OAC是等边三角形， ∴.0A=AC=3, ·扇形0AC的面积=60xx3=3, 360=. 13.(25-26九年级上广东东莞期末)如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都是1 个单位长度，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标分别为A(-1,1),B(-2,3),C(-5,2). 51/54 4 3 5-4-3-2-1Q 123.45x 2 3 4 5 (1)画出△ABC绕点A顺时针旋转90°后得到的△AB1C1: (2)求点C旋转到点C1的过程中线段AC扫过的面积（结果保留π）. 【答案】(1)见解析 2 【分析】本题考查了旋转变换作图、扇形面积公式，勾股定理，熟练掌握网格结构，准确找 出对应项点的位置是解题的关键 (1)将△ABC的三个顶点绕点A顺时针旋转90°得到对应点，再顺次连接即可得到△AB1C1: (2)利用勾股定理求出AC的长，再利用扇形面积公式即可求解. 【详解】(1)解：如图所示，△AB1C1即为所求： 5-4-3-2-1012345x (2)解：AC=V4+12=17, ∴点C旋转到点C1的过程中线段AC扫过的面积为： 90xxW回}=17严 360 4 14.(2026辽宁铁岭.模拟预测)如图，四边形ABCD是⊙0的内接四边形，AB是⊙O的直径， 点E在AB的延长线上，连接OC,CE,∠DCB=2LABC. 52/54 图① 图② (1)如图①，求证：ADIIOC; (2)如图②，若BC=BE=4,AE=3BE,求BC的长. 【答案】(1)证明：，四边形ABCD是⊙O的内接四边形， ∴.LA+∠DCB=180°， .OC=0B, ∴LOCB=LABC, ,∠C0B+∠0CB+∠ABC=180°， .∴.∠C0B+2∠ABC=180°， .LDCB 2LABC, ∴.∠C0B+∠DCB=180°， .LA=∠COB, ∴.AD IOC: 2 【分析】(1)根据圆内接四边形的性质得出∠A+∠DCB=180°，根据等腰三角形的性质结 合三角形内角和定理得出∠COB+∠DCB=180°，根据补角的性质得出∠A=∠COB,最后根 据平行线的判定即可得出结论： (2)先证明OC=OB=BC=4,得出△OBC为等边三角形，根据等边三角形的性质得出 LB0C=60°，最后根据弧长公式求出结果即可. 【详解】(1)略 (2)解：，AE=3BE,AE=AB+BE, ..AB=2BE, :A0=B0=C0=AB, ∴.B0=C0=BE, .BC=BE=4, 53/54 ,0C=0B=BC=4, ∴.△OBC为等边三角形， ∴.LB0C=60°， 六l屁=60gx4=红 18031 54/54 第二十九章 圆 03讲 弧长和扇形面积 题型归纳 【知识点1 弧长公式 1】 【知识点2 扇形及其面积公式 2】 【知识点3 圆锥 2】 【题型1. 求弧长 3】 【题型2. 求扇形半径 6】 【题型3. 求圆心角 8】 【题型4. 求扇形面积 10】 【题型5. 求某点的弧形运动路径长度 15】 【题型6. 求图形旋转扫过的面积 19】 【题型7. 求弓形面积 23】 【题型8. 求其他不规则图形的面积 27】 【题型9. 求圆锥侧面积 31】 【题型10. 求圆锥底面半径 34】 【题型11. 求圆锥的高 35】 【题型12. 求圆锥侧面展开图的圆心角 38】 【题型13. 圆锥中最短路径问题 40】 【巩固练习 43】 知识清单 知识点1 弧长公式 1.公式：n°的圆心角所对的弧长为 . 2.公式变形： ； . 【提示】 ① 公式里的n，180在弧长计算公式中变式倍数关系，没有单位； ② 题目中若没有写精确度，可用“”变式弧长，如弧长2，35等； ③ 正确区分弧、弧的度数相等、弧长相等：度数相等的弧，弧长不一定相等，弧长相等的弧也不一定是等弧，要特别注意，只有在同圆或等圆中，才可能是等弧，才有这三者的统一. 知识点2 扇形及其面积公式 1.扇形的定义：由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧围成的图形叫做扇形. 2.扇形面积公式： 圆心角为n°的扇形面积为（为扇形的弧长，为半径）. 【提示】 ① 扇形面积公式中的“”与弧长公式中的“”的意义一样的，都是“1°”的圆心角的倍数，参与计算时不带单位. 知识点3 圆锥高 1.圆锥的构成：圆锥是由一个底面和一个侧面围成的几何体. 2.圆锥的母线：把连接圆锥顶点和底面圆周上任意一点的线段叫做圆锥的母线. 3.圆锥的高：连接圆锥顶点与底面圆心的线段叫做圆锥的高. 【提示】 （1）圆锥的轴通过底面的圆心，并垂直于底面； （2）圆锥的母线长都相等； （3）圆锥可以看成是由一个直角三角形饶一条直角边所在的直线旋转而成的图形，故圆锥的母线、圆锥的高、圆锥底面圆的半径恰好构成一个直角三角形（如图），满足，利用这一关系，已知任意两个量可以求出第三个量. 4.与圆锥有关的公式：（1）；（2）； （3）设圆锥的侧面展开扇形的圆心角为 ，则由该扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长得出：，即 . 【提示】 ① 圆锥的侧面积就是弧长为圆锥的底面的周长，半径为圆锥的母线长的扇形的面积； ② 圆锥的全面积就是它的侧面积和底面积的和. 题型专练 题型1. 求弧长 【例1】已知圆弧所在圆的直径为12，该弧所对的圆心角为，则这条弧的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查弧长的计算，直接利用弧长公式求解即可． 【详解】∵圆的直径， ∴半径． ∵圆心角，弧长公式， ∴． 故选：B． 【例2】如图，用一个半径为的定滑轮带动重物上升，滑轮上一点旋转了，假设绳索（粗细不计）与滑轮之间没有滑动，则重物上升了______．（结果保留） 【答案】 【分析】本题考查了求弧长，解题关键是掌握弧长公式． 根据弧长公式计算． 【详解】解：∵用一个半径为的定滑轮带动重物上升，滑轮上一点旋转了，假设绳索（粗细不计）与滑轮之间没有滑动， ∴重物上升了（）， 故答案为：． 【例3】制造弯曲管道时，管道中心线的圆弧半径，圆心角，求这段圆弧的长度（取3.14，结果保留整数）． 【答案】 【分析】本题考查求弧长，本题已知半径和圆心角，直接代入弧长公式计算，核心是正确代入圆心角和半径． 【详解】解： 答：这段圆弧的长度是． 【变式1】若扇形的圆心角扩大为原来的倍，半径缩小为原来的一半，则扇形的弧长为原来的（    ） A．倍 B．倍 C．一半 D．倍 【答案】A 【分析】本题考查了弧长公式，根据弧长公式分别表示出弧长即可求解． 【详解】解：设原圆心角为，半径为，则原弧长， 新圆心角，新半径，新弧长， ，即新弧长为原弧长的倍， 故选：A． 【变式2】如图所示，当半径为的传动轮按顺时针方向转过角时，传送带上的物体A平移的距离为（   ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查弧长的计算，解题关键在于掌握弧长公式． 传送带上的物体A平移的距离为半径为的传动轮转过角的扇形的弧长，根据弧长公式可得． 【详解】解：， 即传送带上的物体A平移的距离为． 故选：D 【变式3】如图是一款带有提梁的茶壶，提梁与壶盖的平面图可近似看作半圆，为了防止烫伤和保护提梁，常在提梁上缠绕一层隔热布，已知隔热布两端点与点关于直线对称，直线于点，为中点，测得直径为，，则提梁的长为_____． 【答案】 【分析】本题主要考查弧长的计算，根据题意得出，再由弧长公式计算即可． 【详解】解：∵隔热布两端点A与点B关于直线l对称，直线于点O，O为中点，直径为，， ∴， ∴的长为： ， 故答案为． 【变式4】已知一个扇形的面积为，圆心角的度数为，则它的弧长为_____． 【答案】 【分析】本题考查的知识点是扇形的面积公式、弧长公式． 根据扇形的面积公式求出半径，再代入弧长公式计算弧长． 【详解】解：设扇形的半径为， 由扇形的面积公式， 代入已知数据得， 解得， （取正值）， 由弧长公式 ， 得． 故答案为：． 【变式5】如图，已知四边形内接于，．连接，若且的半径为6，求的长． 【答案】 【分析】本题考查弧长的计算、圆内接四边形的性质．根据题意可以得到是直径，然后根据且的半径为6，即可求得的长． 【详解】解：四边形内接于，， 是直径， 且的半径为6， ∴， ∴的长是：， 即的长． 题型2. 求扇形半径 【例1】如果一条弧长为，圆弧所对的圆心角是，那么这条弧所在圆的半径是 _______ （π取）． 【答案】15 【分析】的圆心角所对的弧长，再设出圆的半径，代入已知条件列方程即可求解． 【详解】解：设这条弧所在圆的半径为， 根据弧长公式，得． 整理计算得 ． 解得 ． 【变式1】一个扇形的圆心角为，它所对的弧长为，则这个扇形的半径为（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查了扇形弧长，设这个扇形的半径为根据题意列方程求解即可． 【详解】∵一个扇形的圆心角为，它所对的弧长为， ∴设这个扇形的半径为 ∴ ∴ ∴这个扇形的半径为． 故选：A． 【变式2】在中，如果的圆心角所对的弧长是，那么的半径是______． 【答案】 【分析】本题考查了弧长公式，掌握弧长公式是解题的关键．根据弧长公式，代入圆心角和弧长列式求解即可． 【详解】解：根据题意得，解得． 故答案为：． 【变式3】弧长为的弧所对的圆心角为，则该弧所在圆的半径是______． 【答案】18 【分析】本题考查了弧长计算公式及其应用，涉及的知识点包括圆的性质、弧长与圆心角的关系．解题的关键在于准确理解并运用弧长公式，通过代入已知的弧长和圆心角，进行正确的代数变换求得半径R的值．根据弧长公式，其中l为弧长，n为圆心角度数，R为半径．将已知数据代入公式即可求解半径R． 【详解】解：，， ， 解得， ， 故答案为：18． 题型3. 求圆心角 【例1】已知扇形的弧长为，半径为，则其圆心角的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了弧长公式，根据弧长公式直接计算圆心角度数. 【详解】解：弧长公式为：，，， ， 整理得：， 即， 解得：， 故选：C. 【变式1】将一张半径为6的圆形纸片沿着两条半径剪开形成两个扇形．若其中一个扇形的弧长是，则另一个扇形的圆心角度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】两个扇形的弧长之和等于圆的周长，先求出另一个扇形的弧长，再利用弧长公式求圆心角． 【详解】∵ 圆的半径 ， ∴ 圆的周长 。 已知一个扇形弧长 ， ∴ 另一个扇形弧长 ． 设另一个扇形的圆心角度数为 ， 根据弧长公式 ， ∴ ， 简化得 ， 两边除以 ： ， 即 ， 简化 ， ∴ ， ∴ ． 故选：D ． 【点睛】本题考查弧长公式的应用，理解扇形弧长与圆周长的关系是解题的关键． 【变式2】已知弧的长为，该弧所在圆的半径为，则该弧的度数为______． 【答案】 【分析】设弧的度数为，利用弧长公式构造方程并求解即可． 【详解】解：设弧的度数为， 由弧长公式可得，， ∴， 解得． 【变式3】一个扇形的弧长是，半径是，则此扇形的圆心角是______． 【答案】 【分析】设扇形的圆心角为，利用弧长公式列方程求解即可． 【详解】解：设此扇形的圆心角为， ， 解得：． 【变式4】已知时钟的分针长10cm，初始时刻为14：00整，如图所示，若经过一段时间后，分针的针尖走过的路程为，则经过一段时间后的时刻为___________． 【答案】 【分析】本题主要考查了弧长公式，钟面角， 先根据弧长公式求出分针转动的角度，再根据分针1分钟转动可得答案． 【详解】解：设分针走过的角度为， 由题意可知，， 解得， ∵分针1分钟转动， ∴， 所以分针走了10分钟，即． 故答案为：． 题型4. 求扇形面积 【例1】如图，是正五边形的外接圆．若的半径为6，则半径与围成的扇形的面积是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了扇形面积的求解，解题的关键是熟知圆内正多边形的性质及扇形面积公式的运用．先求出圆心角的度数，再根据扇形面积公式即可求解． 【详解】解：∵是正五边形的外接圆，且的半径为6， ∴， ∴与围成的扇形的面积是， 故选：C． 【例2】一个扇形的弧长是，圆心角是，则这个扇形的面积是______．（结果保留） 【答案】 【分析】本题考查求扇形的面积，根据扇形的弧长公式求出半径，再利用扇形面积公式求解． 【详解】解：设扇形的半径为，由弧长公式，代入，，得：，解得 ． ∴扇形面积； 故答案为： 【变式1】如图，点，，是上的点，且，的半径为2，则此阴影部分的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查圆周角定理，扇形的面积，熟练掌握圆周角定理和扇形面积公式是解题的关键．先利用圆周角定理得出，再利用扇形面积公式计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故选：A． 【变式2】如图，已知一钟表的分针段的长为，若时间从到，则经过扇形的面积为______． 【答案】 【分析】本题考查了扇形面积的计算；根据分针转一大格即5分钟所转的角度是，则可计算出分针从到所转的角度，即可得扇形的圆心角，从而由扇形面积公式即可求解． 【详解】解：分针从到所转的角度为， 所以分针所扫过的扇形的面积是； 故答案为：． 【变式3】如图，在中，，，则扇形的面积为______． 【答案】 【分析】本题考查了圆周角定理，扇形的面积，由圆周角定理得，再根据扇形的面积公式计算即可，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式4】如图，在中，，以点为圆心，长为半径的圆交于点，连接，且． (1)求的长； (2)求扇形的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查求弧长，求扇形的面积，熟练掌握弧长公式和扇形的面积公式是解题的关键： （1）根据三角形的内角和定理，等边对等角，求出的度数，再利用弧长公式进行计算即可； （2）根据扇形的面积公式进行计算即可． 【详解】（1）解：∵在中，， ∴， ∵以点为圆心，长为半径的圆交于点， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：由（1）知：， ∴扇形的面积． 【变式5】如图，在中，以边为直径作分别交，于点D，E．若点D是中点，连接． (1)求证：是等腰三角形． (2)若，求弧的长和扇形的面积． 【答案】(1)见解析 (2), 【分析】（1）连接，由为直径，得到，继而得出是线段的中垂线，即可求解； （2）由等边对等角及三角形外角的性质求出，，再根据弧长公式和扇形面积公式求解即可． 【详解】（1）解：如图，连接， ∵为直径， ∴，即， 又∵D是的中点， ∴是线段的中垂线， ∴， ∴是等腰三角形． （2）解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了圆周角定理，等腰三角形的性质和判定，三角形外角的性质，弧长公式和扇形公式，垂直平分线的判定，熟练掌握知识点是解题的关键． 题型5. 求某点的弧形运动路径长度 【例1】一个挂钟的分针长，经过小时后，这根分针的尖端所走过的路程是（    ）（取）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了弧长公式，熟练掌握以上知识是解题的关键． 分针尖端走过的路程是弧长，分针长度相当于半径，经过小时，分针转过的角度为，利用弧长公式计算． 【详解】解：∵分针长，经过时间小时， ∴分针转过的角度， ∴弧长， 当时，即， 故选：A． 【例2】如图，在平面直角坐标系中，，，若绕点O逆时针旋转后，得到（对应点是，B对应点是）． (1)画出，并直接写出的坐标； (2)求旋转过程中A点的运动路径长（结果保留）． 【答案】(1)作图见解析；的坐标为 (2) 【分析】本题考查旋转作图及求点旋转后形成的弧长，熟练掌握旋转性质，熟记弧长公式是解决问题的关键． （1）根据旋转性质作出图形，如图所示，直接读出的坐标为； （2）由绕点逆时针旋转得到点的运动路径为，如图所示，从而得到，又由于确定，从而利用弧长公式求得点的运动路径长． 【详解】（1）解：如图所示： 即为所求，的坐标为； （2）解：∵绕点逆时针旋转，点的运动路径为，如图所示： ∴， ， ， ∴旋转过程中点的运动路径长， 答：旋转过程中点的运动路径长为． 【变式1】如图，在中，，将绕点逆时针旋转得到，则点转过的路径长为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了图形的变换—旋转，弧长公式，熟练掌握旋转的性质，弧长公式是解决问题的关键．根据旋转的性质得出，再利用弧长公式计算即可． 【详解】解：∵将绕点逆时针旋转得到， ∴， ∴点转过的路径长为． 故选：D． 【变式2】如图，把一块的直角三角板绕点旋转到的位置．使得三点、在一直线上，若，则顶点从开始到结束所经过的路径长为______． 【答案】 【分析】本题主要考查了弧长的计算，旋转的性质，根据已知条件得到，，再根据旋转的性质得到，再根据弧长公式计算即可； 【详解】∵，，， ∴，， ∵直角三角板，在水平桌面上绕点按顺时针方向旋转到的位置， ∴， ∴顶点从开始到结束所经过的路径长； 故答案是：． 【变式3】如图，在平面直角坐标系中，小正方形网格的边长都是1个单位长度，的三个顶点坐标分别为． (1)画出关于原点对称的图形； (2)画出绕点顺时针旋转后得到的； (3)求点旋转到点的过程中所经过的路径长（结果保留）． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】本题主要考查了利用关于原点对称作图，旋转变换作图和利用弧长公式计算弧长，熟练掌握网格结构准确找出对应点的位置，准确运用弧长公式是解题的关键． （1）根据“关于原点对称的点的横坐标和纵坐标互为相反数”找到对应的点，然后顺次连接即可； （2）根据网格结构找出三角形三个顶点以点为旋转中心顺时针旋转后的对应点，然后顺次连接即可； （3）利用勾股定理求出的长，再根据弧长公式进行求解即可． 【详解】（1）解：如图，即为所求． （2）解：如图，即为所求． （3）解：∵， ∴点旋转到点的过程中所经过的路径长． 题型6. 求图形旋转扫过的面积 【例1】如图，三个顶点的坐标分别为，，． (1)画出关于原点O成中心对称的，并写出的坐标； (2)画出将绕点B逆时针旋转后的； (3)在（2）的条件下求线段所扫过的图形面积． 【答案】(1)作图见解析， (2)作图见解析 (3) 【分析】本题考查关于原点对称和旋转变换的作图、勾股定理、扇形面积公式，熟练掌握关于原点对称点的坐标特征、扇形面积公式是解题的关键． （1）根据关于原点O成中心对称点的坐标特征进行解答即可； （2）通过绕点B逆时针旋转得到点、的位置，依次连接得到； （3）线段所扫过的图形面积是以为半径，圆心角为的扇形面积，根据网格可得出，根据扇形面积公式进行计算即可． 【详解】（1）解：如图：即为所求，且； （2）解：如上图，即为所求； （3）解： 由网格得：， 则线段所扫过的图形面积是． 【变式1】一根长的木棒，如果绕着它的一端旋转，木棒扫过的面积是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，绕木棒一端旋转，木棒扫过的图形是半径为的半圆，利用圆的面积公式计算即可得到结果. 【详解】解：∵木棒长为，绕一端旋转， ∴扫过的图形是半径的半圆 ∵圆的面积公式为 ∴木棒扫过的面积为. 【变式2】如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为，，． (1)画出绕点A逆时针旋转后得到的；并直接写出的坐标； (2)在（1）的条件下，求线段在旋转过程中扫过的面积． 【答案】(1)图见解析，的坐标为 (2) 【分析】本题主要考查坐标与图形的变化−旋转和扇形的面积的计算，熟练掌握旋转的性质和扇形的面积公式是解题的关键． （1）根据旋转的性质得到点B，C的对应点，即可求解． （2）线段在旋转过程中扫过的图形为半径长是，圆心角为的扇形，根据扇形面积公式即可求解． 【详解】（1）解：如图，即为所求，的坐标为； （2）解：根据题意得：，， ∴线段在旋转过程中所扫过的面积为． 【变式3】如图，在平面直角坐标系中，，． (1)作出绕原点逆时针旋转后的，并写出的坐标； (2)在（1）条件下，求线段所扫过的面积． 【答案】(1)作图见解析，的坐标为 (2) 【分析】本题考查旋转的性质和扇形的面积公式，熟练掌握旋转的性质是解题的关键． 由旋转确定点和点的坐标，连接旋转后新的三个顶点得到即可； 观察发现线段所扫过的面积为以原点为圆心，弧所形成的扇形，根据扇形面积公式进行计算即可． 【详解】（1）解：点旋转后得到，点的坐标为， 点旋转后得到，点的坐标为， 如图所示： （2）根据题意可知，从到，线段到，所扫过的图形为扇形，已知， 则， 因此线段所扫过的扇形面积为：． 答：线段所扫过的扇形面积为． 【变式4】如图，正方形网格中，每个小正方形的边长都是一个单位长度，在平面直角坐标系中，的三个顶点，、均在格点上． (1)画出向左平移个单位后的图形 ； (2)画出 绕顺时针旋转后的图形 ； (3)在（2）的条件下，求线段扫过的面积． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】本题考查了图形的平移和旋转，坐标与图形，勾股定理，扇形面积的计算，熟练掌握“旋转图形的方法是解题的关键． （1）分别确定的三个顶点、、向左平移5个单位后的对应点，，，再顺次连接，，即可； （2）分别确定，，绕顺时针旋转后的对应点，，，再顺次连接，，，即可； （3）线段扫过的面积是以为圆心，为半径的圆的面积的，计算可得答案． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求， （2）解：如图所示，即为所求， （3）解：， 线段扫过的面积为：． 题型7. 求弓形面积 【例1】如图，已知的半径为，点和点在上，若，则图中阴影部分的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了扇形面积公式，弓形面积；直接根据即可得出结论，熟记扇形的面积公式是解题的关键． 【详解】解： ， 故选：． 【变式1】如图，在等腰中，，，以为直径的交于点D，连接、，则图中阴影部分的面积为_________． 【答案】 【分析】本题考查了圆的性质，等腰三角形的性质，扇形面积公式，熟练掌握圆的性质，扇形面积公式是解题的关键．根据圆周角定理可得，再根据三角形中位线定理可得，从而得到，即可求解． 【详解】解：∵，，为的直径． ∴， ∴， ∴， ∴阴影部分的面积为． 故答案为： 【变式2】如图，水平放置的圆柱形排水管的截面半径为，截面中有水部分弓形的高为，求截面中有水部分弓形的面积． 【答案】 【分析】本题考查的是垂径定理、勾股定理、扇形及三角形的面积，掌握相关结论解答此题的关键．连接，作，由题意得：，，推出，求出即可求解； 【详解】解：连接，作，如图所示： 由题意得：，， ∴， ∴， ∴， ∴， ， ∴截面中有水部分弓形的面积 【变式3】如图，为半圆的直径，为半圆上一点，为弧的中点，交弦于点，若，求：    (1)的长． (2)阴影部分的面积． 【答案】(1)1 (2) 【分析】本题考查垂径定理、勾股定理及扇形面积计算，掌握垂径定理，勾股定理是解题的关键． （1）由E是弧的中点，可得．根据垂径定理得：，在中，运用勾股定理可将的长求出，由即可求解； （2）利用阴影部分面积等于扇形面积减去面积即可求出． 【详解】（1）解：∵E是弧的中点，， ∴， ∴， ∵为半圆O的直径，， ∴， 在中，， ∴， 解得：， ∴， ∴的长为1； （2）解：连接，    在中，， ， ， ， ， ． 题型8. 求其他不规则图形的面积 【例1】如图，在扇形中，，以为直径作半圆，若的长为，则阴影部分的面积为（   ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了求扇形的面积．过点D作于点E，根据阴影部分的面积为，解答即可． 【详解】解：如图，过点D作于点E， ∵，， ∴为等边三角形，，， ∴， ∴， ∴阴影部分的面积为 ． 故选：B 【例2】图所示，两个半圆形中，为大半圆形的圆心，长为的弦与直径平行且与小半圆形只有一个交点，那么图中阴影部分的面积等于多少 【答案】 【分析】本题主要考查了圆环的面积．观察图形可知阴影部分的面积等于大半圆形的面积减去小半圆形的面积，即当小半圆形在大半圆形范围内左右移动时，阴影部分面积不改变，因此我们可以通过平移，使两个半圆形圆心重合，用大半圆形的面积减去小半圆形的面积，即可求解． 【详解】解：将小半圆形向右平移，使两个半圆形的圆心重合，如图，则阴影部分的面积等于半圆环面积．作于点E，则点为与小半圆的交点，连接， ． 阴影部分的面积． 【变式1】苏州砖雕是以砖作为雕刻对象的制作技艺，其特点是细腻精致、典雅秀气．图①是一块扇面形的苏州砖雕作品《兰》，图②是它的设计图，其中扇形和扇形有相同的圆心O，且圆心角，已知，则该砖雕的面积为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】解题的关键是掌握扇形面积公式，利用大扇形面积减去小扇形面积即可求解． 【详解】解：由题意可知，该砖雕的面积等于扇形的面积减去扇形的面积， 圆心角，，， 该砖雕的面积为： ． 故选：D． 【变式2】如图，为半圆的直径，且，将半圆绕点A顺时针旋转，点B旋转到点C的位置，则图中阴影部分的面积为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是扇形面积的计算，熟记扇形的面积公式是解答此题的关键．先根据旋转的性质得，，再利用面积的和差得到，即有，然后根据扇形的面积公式计算即可． 【详解】解：∵半圆AB绕点A顺时针旋转，点B旋转到C的位置， ∴，， ∵， ∴． 故选：B． 【变式3】如图，的长为10cm，且于点，则图中阴影部分的面积为______． 【答案】 【分析】于O，则，且根据圆的旋转不变性，把最小的圆顺时针旋转，把最外面的圆逆时针旋转，则阴影部分就合成了扇形，再根据扇形的面积公式计算即可． 【详解】解：于O，则， 根据圆的旋转不变性，把最小的圆顺时针旋转，把最外面的圆逆时针旋转，则阴影部分就合成了扇形， ∴阴影部分的面积． 故答案为：． 【点睛】本题考查了旋转的性质：旋转前后的两个图形全等，对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角，对应点到旋转中心的距离相等．也考查了扇形的面积公式． 【变式4】如图，扇形的圆心角是90度，半径是是弧的中点．两个阴影部分的面积差是________．（取3.14） 【答案】 【分析】本题考查不规则面积求法，涉及扇形面积公式、圆面积公式等知识，数形结合，准确表示不规则图形面积是解决问题的关键． 如图所示，，，从而得到两个阴影部分的面积差是，再由代值求解即可得到答案． 【详解】解：如图所示： ，， ，， ， 故答案为：． 【变式5】如图，四边形的面积为，扇形的半径为4，圆心角为，求图中阴影部分的面积．（结果保留根号和） 【答案】 【分析】本题考查了扇形的面积公式，不规则图形的面积，先根据扇形面积公式：求出扇形的面积，然后根据阴影部分的面积=四边形的面积-扇形的面积求解即可． 【详解】解：∵扇形的半径为4，圆心角为， ∴扇形的面积为， 又四边形的面积为， ∴阴影部分的面积为． 题型9. 求圆锥侧面积 【例1】若圆锥的底面周长为，母线长为，则圆锥的侧面积是（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：（c表示底面周长，l表示母线长）． 【变式1】如图，是用绸布所制作的清代官员夏日官帽，要制作一个底面半径为，高为的圆锥形官帽，则所需扇形绸布的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查圆锥的侧面积，已知底面半径和高，根据勾股定理可计算出母线长为，同时计算出展开后扇形弧长为，所以侧面积为． 【详解】解：如图， 根据题意：， ∴圆锥形官帽的母线长为：， ∵圆锥形官帽展开后扇形弧长为：， ∴侧面积为． 故选：C． 【变式2】如图，在中，，将绕直线旋转一周得到的几何体的全面积为___________（结果保留）． 【答案】 【分析】本题考查了“旋转体的表面积”“勾股定理”，掌握旋转体与旋转面之间的关系是解题关键． 利用勾股定理可以求出的长，直角三角形沿直角边旋转得到的旋转体是圆锥，根据对应线段的长度求全面积（即表面积）即可． 【详解】解：在中，由勾股定理，得， 旋转一周得到的几何体是圆锥，根据旋转过程，其中为圆锥的母线，为高，为底面圆半径， ∴底面圆的面积为，底面圆的周长为， ∴圆锥的侧面积为， ∴圆锥的全面积（表面积）为， 故答案为： ． 【变式3】“草帽当锅盖”是云南十八怪中之一，当地人制作的草帽锅盖呈圆锥形，一个草帽锅盖的母线长为，底面圆的半径为，这个草帽锅盖的侧面积为______． 【答案】 【分析】本题考查了圆锥的侧面积，圆锥的侧面积公式，其中r是底面圆的半径，l是母线长，据此进行解答即可． 【详解】解：根据圆锥的侧面积公式可得： （平方厘米）， 故答案为：． 【变式4】如图，圆锥的底面半径，高，求该圆锥的侧面积． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理，圆锥的侧面积，扇形的面积，熟练掌握以上知识点是解题的关键．先根据勾股定理求得，再通过圆锥的侧面积公式求解即可． 【详解】解：，， ， 该圆锥的侧面积为． 题型10. 求圆锥底面半径 【例1】一圆锥的母线长为，它的侧面展开图的圆心角为，则这个圆锥的底面半径r为_____． 【答案】2 【分析】本题考查圆锥的展开图、扇形的弧长公式，熟记弧长公式是解答的关键． 根据圆锥的展开图是扇形，母线长为扇形的半径，底面周长是扇形的弧长，利用弧长公式求解即可． 【详解】解：根据题意，底面周长为， 由得， 故答案为：2． 【变式1】如图，用矩形纸片裁一扇形，围成圆锥侧面．若，则此圆锥底面半径为 (　　) A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了圆锥的底面半径，根据弧长等于底面圆的周长，即可求解． 【详解】解：设圆锥的底面圆半径为，依题意，得 ， 解得． 故圆锥的底面半径为； 故选：A． 【变式2】已知圆锥的侧面积是，母线长是4，则这个圆锥的底面圆周长是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查圆锥的计算，直接利用扇形的面积公式求解即可．解题的关键是理解：圆锥的侧面展开图与原来的扇形之间的关系，圆锥的母线长是扇形的半径，圆锥的底面圆周长是扇形的弧长． 【详解】解：设这个圆锥的底面圆周长为，则： ， 解得：， ∴这个圆锥的底面圆周长是． 故选：D． 【变式3】如图所示，矩形纸片中，，把它分割成正方形纸片和矩形纸片后，分别裁出扇形和半径最大的圆，恰好能作为一个圆锥的侧面和底面，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查圆锥展开图扇形弧长等于底面圆的周长，根据圆锥展开图扇形弧长等于底面圆的周长列式求解即可得到答案； 【详解】解：设，由题意可得， ， 解得：， 故选：B． 题型11. 求圆锥的高 【例1】把半径为4的半圆做成圆锥的侧面，则圆锥的高是（    ） A． B． C． D．2 【答案】A 【分析】利用圆锥侧面展开图的性质，即半圆的弧长等于圆锥底面周长，圆锥母线长等于原半圆的半径，再结合勾股定理即可求出圆锥的高． 【详解】解：∵原半圆的半径为，即圆锥母线长， ∴半圆的弧长为， 设圆锥底面圆半径为， ∵圆锥底面周长等于侧面展开半圆的弧长， ∴， 解得， ∵圆锥的高，底面半径，母线长构成直角三角形，满足勾股定理， ∴． 【变式1】四位同学测量圆锥高的方法如下，你认为正确的是（  ） A．楠楠 B．晶晶 C．依依 D．笑笑 【答案】D 【分析】本题主要考查了圆锥的认识及特征．圆锥的高是指圆锥的顶点到底面圆心之间的距离，据此即可解答． 【详解】解：∵圆锥的高是指圆锥的顶点到底面圆心之间的距离， ∴正确的测量方法为 ． 故选：D 【变式2】用圆心角为，弧长为的扇形围成一个圆锥的侧面，则所围成的圆锥的高为________． 【答案】 【分析】由于圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．则根据圆的周长公式求出圆锥的底面圆的半径为1，设利用弧长公式求出母线长，然后利用勾股定理计算出圆锥的高． 【详解】解：设圆锥的底面圆的半径为， 则，解得； 设圆锥的母线长为， 则，解得， 所以圆锥的高． 故答案为：． 【点睛】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长． 【变式3】一个圆锥的底面半径为，母线长为，则圆锥的体积为______． 【答案】 【分析】本题考查圆锥的体积以及勾股定理，先根据勾股定理求出圆锥的高，再根据圆锥的体积公式计算即可． 【详解】解：∵圆锥的底面半径为，母线长为， ∴圆锥的高为， ∴圆锥的体积为， 故答案为：． 【变式4】一个长方体的容器，从里面量长分米，宽分米，高分米，水深分米．把一个半径分米的圆锥体实心铁块浸没在水里时，水面离容器口还有分米，求圆锥体实心铁块的高是多少分米？（π取） 【答案】分米 【分析】本题考查了圆锥体的体积，关键是利用圆锥体实心铁块浸没在水里前后，长方体容器内水面变化，得到圆锥体积，然后，运用圆锥体积公式计算即可解答． 【详解】解：设原长方体的容器中水的体积为， 则（） 将圆锥体实心铁块浸没在水里，设水与圆锥的体积和为， 则（） 设圆锥的体积为，底面积为，高为， 则（） 由圆锥体积公式可得， 联立和两式可得， ， 所以（） 答：圆锥体的高是分米． 题型12. 求圆锥侧面展开图的圆心角 【例1】已知圆锥的底面半径为2，母线为5，则圆锥侧面展开图的圆心角度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了圆锥的有关计算和弧长公式，根据底面周长等于圆锥的侧面展开图的弧长以及弧长公式求解即可，正确理解圆锥的母线是圆锥侧面展开图的扇形半径，圆锥的底面圆周长是扇形的弧长是解决本题的关键． 【详解】设圆锥的侧面展开图的圆心角的度数为， 根据题意，得， ， 圆锥的侧面展开图的圆心角的度数为， 故选：C． 【变式1】如图，是圆锥的轴截面图形，是圆锥的高．若，则该圆锥的侧面展开图的圆心角为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查求圆锥侧面展开图的圆心角度数，勾股定理求出母线长，根据圆锥的底面圆周长等于侧面展开图的弧长，进行求解即可． 【详解】解：由图可知：， ∴， 设展开图的圆心角的度数为，则：， ∴；即：展开图的圆心角的度数为； 故选：C． 【变式2】某班为筹备集体生日会准备手工制作圆锥形状的生日帽．他们制作的生日帽，母线长为，底面圆的半径为，这种圆锥的侧面展开图的圆心角等于________． 【答案】/96度 【分析】本题考查圆锥的计算、一元一次方程的应用，解答本题的关键是明确圆锥的底面圆的周长扇形的弧长． 根据题意可知，圆锥的底面圆的周长扇形的弧长，即可列出相应的方程，然后求解即可． 【详解】解：设这种圆锥的侧面展开图的圆心角度数是， ， 解得， 即这种圆锥的侧面展开图的圆心角度数是， 故答案为：． 【变式3】母线长为5的圆锥的侧面积恰好等于其底面积的2倍，该圆锥侧面展开图所对应扇形圆心角的度数为____． 【答案】/180度 【分析】本题考查了求圆锥侧面展开图的圆心角，设圆锥侧面展开图所对应扇形圆心角的度数为n，底面半径为r．根据数量关系得，进而得，即可求解，熟练掌握圆周侧面展开图的面积公式是解题的关键． 【详解】解：设圆锥侧面展开图所对应扇形圆心角的度数为n，底面半径为r． ∴底面周长为：，底面面积为：，侧面积为：， ， ， ， 故答案为：． 题型13. 圆锥中最短路径问题 【例1】如图，圆锥底面圆直径长是，母线长是，一只蚂蚁在圆锥表面从B点爬到的中点D，最短路径长是________． 【答案】 【分析】本题考查圆锥的侧面展开图，弧长公式，勾股定理，最短路径问题，正确求出圆锥的侧展开图圆心角的大小是解题关键．由题意可求出圆锥的侧展开图的圆心角大小，再结合勾股定理求解即可． 【详解】解：∵圆锥的侧展开图是一个扇形，设该扇形圆心角为n， 根据题意有：， 解得：，如图， ∴，且为最短路径． ∵，， ∴， 故最短路径长是． 故答案为：． 【变式1】已知圆锥的底面半径为2，母线长，现有一只小虫从圆锥底面圆上A点出发，沿着圆锥侧面绕行到母线的中点B，则它所走的最短路程是__． 【答案】 【分析】本题考查求圆锥的侧面展开图的圆心角，圆锥侧面上最短路径问题，涉及弧长公式，圆的周长公式，勾股定理，两点之间线段最短等知识，掌握圆锥的底面周长就是侧面展开图（扇形）的弧长和两点之间线段最短是解题的关键．根据圆锥的底面周长就是侧面展开图（扇形）的弧长求解圆心角；再画出展开图，根据两点之间线段最短和勾股定理求解即可． 【详解】解：设它的侧面展开图的圆心角为， 根据圆锥的底面周长就是侧面展开图（扇形）的弧长得： ， 又∵． ， 解得：． ∴它的侧面展开图的圆心角是； 根据侧面展开图的圆心角是，画出展开图如下： 根据两点之间，线段最短可知为最短路径， ，B为的中点， 由（1）知 ∴ ∴它所走的最短路线长是． 故答案为： 【变式2】如图是一个圆锥与其侧面展开图，已知圆锥的底面半径是2，母线长是6． (1)求这个圆锥的侧面展开图中的度数； (2)如果A是底面圆周上的一点，从点A拉一根绳子绕圆锥侧面一圈再回到点A，求这根绳子的最短长度． 【答案】(1) (2)这根绳子的最短长度为 【分析】（1）结合侧面展开图是以6为半径，为弧长的扇形，由弧长公式求圆心角； （2）在侧面展开图中，由两点之间线段最短得绳子的最短长度为的距离． 本题考查圆锥的几何性质，勾股定理、垂直定理，属于基础题． 【详解】（1）解： 设的度数为， 底面圆的周长等于， 解得． （2）解：连接，过作于， ∴， ∵由（1）得 ∴ ∵ 则 由， ∴， ∴， ∴， 即这根绳子的最短长度是． 巩固练习 1．（2026·云南·中考真题）某文创团队用环保材料制作圆锥形灯罩．若该圆锥的母线长，侧面展开图是圆心角为的扇形，则这个圆锥的侧面积为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】圆锥侧面展开图为扇形，圆锥母线长等于展开扇形的半径，直接利用扇形面积公式即可求出圆锥侧面积. 【详解】解：∵圆锥的母线长为，侧面展开图是圆心角为的扇形， ∴展开扇形的半径，圆心角， ∵圆锥侧面积等于其侧面展开扇形的面积， ∴. 2．（2026·江苏扬州·中考真题）“拧拉”是一种常用的乒乓球接发球技术．拧拉时，手肘保持不动，手腕绕手肘旋转划出一段圆弧．小明手腕到手肘的距离为，某次拧拉时手腕绕手肘旋转的角度为，小明手腕的运动路线长为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意确定圆的半径和圆心角，利用弧长公式 进行计算即可． 【详解】解：根据题意可知，手腕的运动路线是一段圆弧， 半径，圆心角， 手腕的运动路线长：． 3．（2026·江苏镇江·二模）小红在一张边长为的正方形纸板上，按如图方法裁出一个扇形（阴影部分），并用它围成圆锥形礼帽（粘贴部分忽略不计），则该圆锥形礼帽的底面半径为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查圆锥的侧面展开图及弧长公式，熟练掌握圆锥的侧面展开图及弧长计算公式是解题的关键；根据圆锥侧面展开图的弧长等于圆锥底面圆的周长可进行求解． 【详解】解：由题意得：扇形的半径等于正方形的边长，即，圆心角， 扇形的弧长为， 设圆锥底面圆的半径为， 圆锥底面圆的周长等于扇形的弧长， ， ． 4．（2026·辽宁大连·二模）如图，正方形的边长为4，以A为圆心，的长为半径画弧．则图中扇形的面积为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用正方形和扇形面积公式求解． 【详解】解：∵四边形为正方形， ∴， ∴图中扇形的面积为． 5．（2026·江苏南通·三模）一个圆锥，其母线长为，底面圆半径为，则侧面展开图圆心角度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】圆锥底面圆的周长等于其侧面展开扇形的弧长，圆锥母线长等于扇形的半径，利用该关系列方程即可求解圆心角度数． 【详解】解：设侧面展开图的圆心角度数为， ∵母线长为，底面圆半径为，且圆锥底面周长等于侧面展开扇形的弧长， ∴底面圆周长为，侧面展开扇形的弧长为， ∴， 解得， ∴侧面展开图圆心角度数为． 6．（2026·江苏常州·一模）如图1是一段弯管，弯管的部分外轮廓线如图2所示是一条圆弧，圆弧的半径，圆心角，则弧的长是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据弧长公式，将半径和圆心角代入计算即可求解． 【详解】解：∵圆弧的半径，圆心角， ∴弧的长． 7．（2026·广东清远·三模）如图，是的直径，是的切线，若，，则阴影部分的面积是_________． 【答案】 / 【分析】设与交于点，连接，由圆周角定理得到，证明是等腰直角三角形，求出，得到，根据切线的性质得到，因为，得到是等腰直角三角形，得到，即可求解． 【详解】解：设交于点，连接， ∵， ∴， ∴， 是等腰直角三角形， ∵， ∴， ∴， 是的切线， ， 又， 是等腰直角三角形， ， ， ． 8．（2026·河南平顶山·三模）如图，在扇形中，，C是上的一点，连接并将扇形沿翻折，点B恰与点O重合，则图中阴影部分的面积为______． 【答案】 【分析】由翻折的性质可知，为线段的垂直平分线．连接， 为等边三角形，得到．求出，．根据求出答案． 【详解】解：由翻折的性质可知，为线段的垂直平分线． 如图，连接， ∴， ∴为等边三角形， ∴． ∵，C是的中点， ∴，． 由题意，得． 9．（2026·浙江温州·三模）如图，某手工工作室需要制作一个扇形的装饰挂件，从一块直径为的圆形铁皮上剪出一个圆心角为的扇形作为挂件，则此扇形挂件的面积是______． 【答案】 【分析】连接，由题意可得为直径，即，，再结合勾股定理求出，最后再由扇形的面积公式计算即可得出结果． 【详解】解：如图，连接， ∵从一块直径为的圆形铁皮上剪出一个圆心角为的扇形作为挂件，即， ∴为直径，即，， ∵， ∴， ∴此扇形挂件的面积是． 10．（25-26九年级上·宁夏吴忠·期末）如图，已知圆锥的底面半径，母线长 (1)圆锥的高 cm．侧面展开扇形的圆心角 ° (2)求圆锥的全面积． 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）利用勾股定理求高；设侧面展开扇形的圆心角为，再根据扇形弧长等于底面周长列式求解； （2）分别求出圆锥底面面积和侧面积，再求和即可． 【详解】（1）解：由题可知，， ； 设侧面展开扇形的圆心角为，则， 又底面周长为， ，解得， 则侧面展开扇形的圆心角为； （2）解：圆锥底面积为， 圆锥的侧面积为， 所以圆锥的全面积为． 11．（25-26九年级上·安徽安庆·期末）如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中建立平面直角坐标系，的顶点均为格点(网格线的交点) (1)先向左平移5个单位，再向上平移1个单位后为(点，，的对应点分别为)，请画出，并写出点的坐标__________； (2)画出将绕点顺时针旋转后的(点，，的对应点分别为)，并求出点旋转到所经过的路径长． 【答案】(1)作图见解析， (2)作图见解析， 【分析】本题考查平面直角坐标系中的图形平移、旋转变换作图以及弧长的计算，核心知识为平移的坐标规律、旋转的坐标规律和弧长公式． （1）先确定原三角形各顶点的坐标，依据“向左平移横坐标减，向上平移纵坐标加”的规则求出平移后各顶点的坐标，再顺次连接得到平移后的三角形，进而得到点的坐标； （2）根据绕原点顺时针旋转的坐标变换规律，求出旋转后各顶点的坐标，顺次连接得到旋转后的三角形；再计算原点到点的距离，结合旋转角，利用弧长公式计算点旋转的路径长． 【详解】（1）解：如图所示为所求的三角形，此时点的坐标为； （2）解：如图所示，为所求的三角形， ， ∴， 点旋转到所经过的路径长． 12．（25-26九年级上·江苏淮安·期末）如图，是的外接圆，是的直径，． (1)求证：是的切线； (2)连接，若，，求扇形的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了切线的判定、圆周角定理、等边三角形的判定、扇形的面积公式； （1）由是的直径，得到，由得到，进而得到，再利用切线的判定定理即可证明； （2）根据圆周角定理得到，进而推出是等边三角形，则，再利用扇形的面积公式即可求解． 【详解】（1）证明：如图，连接， ∵是的直径， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， ∴， 是的半径， ∴是的切线； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴扇形的面积． 13．（25-26九年级上·广东东莞·期末）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都是1个单位长度，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为． (1)画出绕点顺时针旋转后得到的； (2)求点旋转到点的过程中线段扫过的面积（结果保留）． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了旋转变换作图、扇形面积公式，勾股定理，熟练掌握网格结构，准确找出对应顶点的位置是解题的关键． （1）将的三个顶点绕点A顺时针旋转得到对应点，再顺次连接即可得到； （2）利用勾股定理求出的长，再利用扇形面积公式即可求解． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求： （2）解：， 点旋转到点的过程中线段扫过的面积为： ． 14．（2026·辽宁铁岭·模拟预测）如图，四边形是的内接四边形，是的直径，点E在的延长线上，连接． (1)如图①，求证：； (2)如图②，若，求的长． 【答案】(1)证明：∵四边形是的内接四边形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； (2) 【分析】（1）根据圆内接四边形的性质得出，根据等腰三角形的性质结合三角形内角和定理得出，根据补角的性质得出，最后根据平行线的判定即可得出结论； （2）先证明，得出为等边三角形，根据等边三角形的性质得出，最后根据弧长公式求出结果即可． 【详解】（1）略 （2）解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∴． 1 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $第二十九章圆 03讲弧长和扇形面积 >型归纳 【知识点1弧长公式… …1】 【知识点2扇形及其面积公式 2】 【知识点3圆锥 2】 【题型1.求弧长 3】 【题型2.求扇形半径… 4】 【题型3.求圆心角 4】 【题型4.求扇形面积… 5】 【题型5.求某点的弧形运动路径长度 …7】 【题型6.求图形旋转扫过的面积… 8】 【题型7.求弓形面积… 10】 【题型8.求其他不规则图形的面积… 11】 【题型9.求圆锥侧面积 13】 【题型10.求圆锥底面半径 14】 【题型11.求圆锥的高… 14】 【题型12.求圆锥侧面展开图的圆心角 15】 【题型13.圆锥中最短路径问题… 15】 【巩固练习…6】 知识湾单 知识点1弧长公式 1.公式：n°的圆心角所对的弧长为l= 180 也可以用AB表 示AB的长. 1/20 2公式变形：n=黑：R=黑 nπ 【提示】 ①公式里的，180在弧长计算公式中变式倍数关系，没有单位 ②题目中若没有写精确度，可用“π”变式弧长，如弧长2π，35π等； ③正确区分弧、弧的度数相等、弧长相等：度数相等的弧，弧长不一定相等，弧长相 等的弧也不一定是等弧，要特别注意，只有在同圆或等圆中，才可能是等弧，才有这三者的 统一 知识点2扇形及其面积公式 1扇形的定义：由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧围成的图形叫做扇形 nnR2 2,扇形面积公式：圆心角为n的扇形面积为S熊形=0=R(为扇形的弧长，R 为半径)· 【提示】 ①扇形面积公式中的“n”与弧长公式中的“n”的意义一样的，都是“1°”的圆心 角的倍数，参与计算时不带单位 知识点3圆锥 1.圆锥的构成：圆锥是由一个底面和一个侧面围成的几何体 2.圆锥的母线：把连接圆锥顶点和底面圆周上任意一点的线段叫做圆锥的母线。 3.圆锥的高：连接圆锥顶点与底面圆心的线段叫做圆锥的高： 【提示】 2 (1)圆锥的轴通过底面的圆心，并垂直于底面： (2)圆锥的母线长都相等： (3)圆锥可以看成是由一个直角三角形饶一条直角边所在的直线旋转而成的图形，故 圆锥的母线、圆锥的高h、圆锥底面圆的半径r恰好构成一个直角三角形（如图），满足r2+ 2=2,利用这一关系，已知任意两个量可以求出第三个量 4与圆锥有关的公式：(1)S圆锥的侧面积=πl:（2)S因锥的全面积=πr(+): (3)设圆锥的侧面展开扇形的圆心角为α°，则由该扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长 2/20 得出：m=2πm,即a=360· 180 【提示】 ①圆锥的侧面积就是弧长为圆锥的底面的周长，半径为圆锥的母线长的扇形的面积； ②圆锥的全面积就是它的侧面积和底面积的和. >题型专练 题型1.求弧长 【例1】已知圆弧所在圆的直径为12，该弧所对的圆心角为90°，则这条弧的长为() A.2π B.3π C.4π D.6元 【例2】如图，用一个半径为4cm的定滑轮带动重物上升，滑轮上一点P旋转了120°，假设 绳索（粗细不计）与滑轮之间没有滑动，则重物上升了 cm.（结果保留π) 重物 【例3】制造弯曲管道时，管道中心线的圆弧半径r=1800mm,圆心角n=100°，求这段 圆弧的长度（π取3.14，结果保留整数). 【变式1】若扇形的圆心角扩大为原来的4倍，半径缩小为原来的一半，则扇形的弧长为原 来的() A.2倍 B.4倍 C.一半 D.8倍 【变式2】如图所示，当半径为30cm的传动轮按顺时针方向转过120°角时，传送带上的物 体A平移的距离为() A 3/20 A.10πcm B.300πcm C.30πcm D.20πcm 【变式3】如图是一款带有提梁的茶壶，提梁与壶盖CD的平面图可近似看作半圆，为了防止 烫伤和保护提梁，常在提梁上缠绕一层隔热布，已知隔热布两端点A与点B关于直线L对称， 直线L1CD于点O,O为CD中点，测得直径CD为8cm,∠AOC=30°，则提梁AB的长为cm. 提梁 【变式4】已知一个扇形的面积为12πcm2,圆心角的度数为108°，则它的弧长为， 【变式5】如图，己知四边形ABCD内接于⊙O,∠DCB=90°.连接BD,若AD=2AB且⊙O 的半径为6，求AB的长， 题型2.求扇形半径 【例1】如果一条弧长为18.84cm,圆弧所对的圆心角是72°，那么这条弧所在圆的半径是 cm(π取3.14)， 【变式1】一个扇形的圆心角为60°，它所对的弧长为2πcm,则这个扇形的半径为() A.6cm B.12cm C.2cm D.8cm 【变式2】在⊙0中，如果120°的圆心角所对的弧长是4πcm,那么⊙0的半径是」 cm 【变式3】弧长为6π的弧所对的圆心角为60°，则该弧所在圆的半径是 题型3.求圆心角 【例1】已知扇形的弧长为4π，半径为6，则其圆心角的度数为() A.609 B.90 C.120° D.150° 【变式1】将一张半径为6的圆形纸片沿着两条半径剪开形成两个扇形.若其中一个扇形的 4/20 弧长是5π，则另一个扇形的圆心角度数是() A.30° B.609 C.150° D.210° 【变式2】己知弧的长为4πcm,该弧所在圆的半径为8cm,则该弧的度数为· 【变式3】一个扇形的弧长是3πcm,半径是9cm,则此扇形的圆心角是 【变式4】已知时钟的分针长10cm,初始时刻为14：00整，如图所示，若经过一段时间后， 分针的针尖走过的路程为号，则经过一段时间后的时刻为 0 3 8 4 6 题型4.求扇形面积 【例1】如图，⊙O是正五边形ABCDE的外接圆.若⊙O的半径为6，则半径0A,OB与AB 围成的扇形的面积是() 0 A.2π B.5π C.n D.10m 【例2】一个扇形的弧长是2π，圆心角是60°，则这个扇形的面积是 .（结果保留π) 【变式1】如图，点A,B,C是⊙0上的点，且∠ACB=40°，⊙0的半径为2，则此阴影部 分的面积为() A. c号 D.月 【变式2】如图，已知一钟表的分针0A段的长为10cm,若时间从10：00到10：20，则经过 扇形的面积为 cm2. 5/20 3 【变式3】如图，在⊙0中，∠C=30°，0A=2,则扇形A0B的面积为 】 【变式4】如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠B=20°，以点C为圆心，CA长为半径的圆交AB 于点D,连接CD,且AC=4. B (1)求AD的长； (2)求扇形ACD的面积. 【变式5】如图，在△ABC中，以边AB为直径作⊙O分别交BC,AC于点D,E.若点D是 中点，连接OE,OD. D (1)求证：△ABC是等腰三角形. (2)若AB=4,∠A=50°，求弧AE的长和扇形E0D的面积. 6/20 题型5.求某点的弧形运动路径长度 【例1】一个挂钟的分针长20cm,经过小时后，这根分针的尖端所走过的路程是()（π取 3.14). A.94.2cm B.942cm C.47.1cm D.471cm 【例2】如图，在平面直角坐标系xOy中，A(1,4),B(3,2),若△0AB绕点O逆时针旋转90° 后，得到△OA1B1(A对应点是A1,B对应点是B1). 3 2 -5-4-3-2-10 2 345x 3 (1)画出△OA1B1,并直接写出A1的坐标： (2)求旋转过程中A点的运动路径长（结果保留π）. 【变式1】如图，在△ABC中，BC=2V3,将△ABC绕点C逆时针旋转60°得到△AB'C,则 点B转过的路径长为() B A.V3π B.2π c号 D.23m 3 【变式2】如图，把一块LA=30°的直角三角板ABC绕点C旋转到AB'C的位置.使得三点B、 C、A在一直线上，若BC=15,则顶点A从开始到结束所经过的路径长为 7/20 【变式3】如图，在平面直角坐标系中，小正方形网格的边长都是1个单位长度，△ABC 的三个顶点坐标分别为A(-1,1),B(-2,3),C(-5,2). 5 B 543-2-11O12345x 2 3 (1)画出△ABC关于原点对称的图形△A1B1C1: (2)画出△ABC绕点0顺时针旋转90°后得到的△A2B2C2: (3)求点C旋转到点C1的过程中所经过的路径长（结果保留π）. 题型6。求图形旋转扫过的面积 【例1】如图，△ABC三个顶点的坐标分别为A(2,4),B(1,1),C(4,3). 3 1 B -5-4-3-2-10 2345 (1)画出△ABC关于原点O成中心对称的△A1B1C1,并写出A1的坐标； (2)画出将△ABC绕点B逆时针旋转90°后的△A2BC2: (3)在(2)的条件下求线段BC所扫过的图形面积. 8/20 【变式1】一根长10cm的木棒，如果绕着它的一端旋转180°，木棒扫过的面积是()cm2 A.100元 B.50m C.25 D.12.5π 【变式2】如图，在平面直角坐标系中，△ABC三个顶点的坐标分别为A(1,2),B(4,3),C(2,1) 6 5 4 2 A 5-43-2-1 2345x 2 (1)画出△ABC绕点A逆时针旋转90°后得到的△AB1C1:并直接写出B1的坐标； (2)在(1)的条件下，求线段AB在旋转过程中扫过的面积. 【变式3】如图，在平面直角坐标系中，A(2,0),B(3,3) 5 4 3 B -5-4-3-2-10 12345x -2 -3 4 5 (1)作出△AB0绕原点0逆时针旋转90°后的△A1B10,并写出B1的坐标： (2)在(1)条件下，求线段0B所扫过的面积. 9/20 【变式4】如图，正方形网格中，每个小正方形的边长都是一个单位长度，在平面直角坐标 系中，△ABC的三个顶点A(5,2),B(5,5)、C(1,1)均在格点上. (1)画出△ABC向左平移5个单位后的图形△A1B1C1: (2)画出△A1B1C1绕C1顺时针旋转90°后的图形△A2B2C1: (3)在(2)的条件下，求线段B1C1扫过的面积. 题型7。求弖形面积 【例1】如图，己知⊙0的半径为2，点A和点B在⊙0上，若LA0B=90°，则图中阴影部分 的面积为() A.π-2 B.π-3 C.π D.2 【变式1】如图，在等腰△ABC中，AB=AC=8,∠BAC=90°，以AB为直径的⊙O交BC 于点D,连接OD、AD,则图中阴影部分的面积为 【变式2】如图，水平放置的圆柱形排水管的截面半径为12cm,截面中有水部分弓形的高 为6cm,求截面中有水部分弓形的面积， 10/20 B 6 cm 【变式3】如图，AB为半圆O的直径，C为半圆上一点，E为弧AC的中点，OE交弦AC于点D, 若AB=4,AC=2V3,求： E (1)DE的长。 (2)阴影部分的面积. 题型8。求其他不规则图形的面积 【例1】如图，在扇形AOB中，∠AOB=60°，以A0为直径作半圆，若0C的长为2m,则阴 影部分的面积为(). B A.(2m-2③)m2B.(售-V3)m2c.gm2 D.(任-3)m2 【例2】图所示，两个半圆形中，0为大半圆形的圆心，长为18的弦AB与直径CD平行且与 小半圆形只有一个交点，那么图中阴影部分的面积等于多少？ 0 11/20 【变式1】苏州砖雕是以砖作为雕刻对象的制作技艺，其特点是细腻精致、典雅秀气.图 ①是一块扇面形的苏州砖雕作品《兰》，图②是它的设计图，其中扇形0BC和扇形0AD有 相同的圆心O,且圆心角∠0=108°，已知0A=100cm,0B=40cm,则该砖雕的面积为 ( ) B 图① 图② A.6400mcm2 B.900rtcm2 C.5500πcm2 D.2520mcm2 【变式2】如图，AB为半圆的直径，且AB=4,将半圆绕点A顺时针旋转45°，点B旋转 到点C的位置，则图中阴影部分的面积为() A.π B.2π C.4π D.6π 【变式3】如图，AB的长为10cm,且CD1AB于点0，则图中阴影部分的面积为 cm2. B 【变式4】如图，扇形A0B的圆心角是90度，半径是2，C是弧AB的中点，两个阴影部分的 面积差是 .（π取3.14) 【变式5】如图，四边形ABCD的面积为6V3,扇形ABD的半径为4，圆心角∠BAD为60°， 求图中阴影部分的面积.（结果保留根号和π） 12/20 题型9.求圆维侧面积 【例1】若圆锥的底面周长为12πcm,母线长为8cm,则圆锥的侧面积是（). A.30ncm2 B.48πcm2 C.60πcm2 D.96πcm2 【变式1】如图，是用绸布所制作的清代官员夏日官帽，要制作一个底面半径为16cm,高 为12cm的圆锥形官帽，则所需扇形绸布的面积为() A.240πcm2 B.280it cm2 C.320πcm2 D.640πcm2 【变式2】如图，在Rt△PQR中，∠PQR=90°，PQ=4,RQ=3,将Rt△PQR绕直线PQ 旋转一周得到的几何体的全面积为 (结果保留π). R 【变式3】“草帽当锅盖”是云南十八怪中之一，当地人制作的草帽锅盖呈圆锥形，一个草帽 锅盖的母线长为30cm,底面圆的半径为20cm,这个草帽锅盖的侧面积为cm2. 【变式4】如图，圆锥的底面半径0C=3,高A0=4,求该圆锥的侧面积. A B 13/20 题型10.求圆锥底面半径 【例1】一圆锥的母线长为6cm,它的侧面展开图的圆心角为120°，则这个圆锥的底面半 径为 cm. 【变式1】如图，用矩形ABCD纸片裁一扇形ABE,围成圆锥侧面.若AB=16,则此圆锥底 面半径为() D A.4 B.16 c.4V5 D.8 【变式2】已知圆锥的侧面积是8π，母线长是4，则这个圆锥的底面圆周长是() A.20m B.10m C.51 D.4π 【变式3】如图所示，矩形纸片ABCD中，AD=12cm,把它分割成正方形纸片ABFE和矩形 纸片EFCD后，分别裁出扇形ABF和半径最大的圆，恰好能作为一个圆锥的侧面和底面，则AB 的长为() A.4cm B.8cm C. 3.5cm D. 5cm 题型11.求圆锥的高 【例1】把半径为4的半圆做成圆锥的侧面，则圆锥的高是() A.23 B.2V2 C.3V2 D.2 【变式1】四位同学测量圆锥高的方法如下，你认为正确的是() 3 ocml 0cm 1 楠楠： 晶晶： 依依 笑笑 -CV Oo- 0。-- A.楠楠 B.晶晶 C.依依 D.笑笑 14/20 【变式2】用圆心角为120°，弧长为4π的扇形围成一个圆锥的侧面，则所围成的圆锥的高 为 【变式3】一个圆锥的底面半径为3cm,母线长为5cm,则圆锥的体积为cm3 【变式4】一个长方体的容器，从里面量长6.28分米，宽5分米，高3分米，水深1.5分米.把 一个半径2分米的圆锥体实心铁块浸没在水里时，水面离容器口还有1.3分米，求圆锥体实 心铁块的高是多少分米？（π取3.14） 题型12.求圆锥侧面展开图的圆心角 【例1】已知圆锥的底面半径为2，母线为5，则圆锥侧面展开图的圆心角度数为() A.90° B.120 C.144 D.180° 【变式1】如图，△ABC是圆锥的轴截面图形，A0是圆锥的高.若BC=6,A0=4,则该圆 锥的侧面展开图的圆心角为() A.108° B.168.75° C.216° D.337.5 【变式2】某班为筹备集体生日会准备手工制作圆锥形状的生日帽.他们制作的生日帽，母 线长为30cm,底面圆的半径为8cm,这种圆锥的侧面展开图的圆心角等于 【变式3】母线长为5的圆锥的侧面积恰好等于其底面积的2倍，该圆锥侧面展开图所对应 扇形圆心角的度数为· 题型13.圆锥中最短路径间题 【例1】如图，圆锥底面圆直径BC长是6cm,母线AC长是6cm,一只蚂蚁在圆锥表面从B 点爬到AC的中点D,最短路径长是 cm. 15/20 【变式1】已知圆锥的底面半径为2，母线长SA=8,现有一只小虫从圆锥底面圆上A点出 发，沿着圆锥侧面绕行到母线SA的中点B,则它所走的最短路程是， S 【变式2】如图是一个圆锥与其侧面展开图，已知圆锥的底面半径是2，母线长是6. A (1)求这个圆锥的侧面展开图中LABC的度数： (2)如果A是底面圆周上的一点，从点A拉一根绳子绕圆锥侧面一圈再回到点A,求这根绳 子的最短长度， >巩同练习 1.(2026云南.中考真题)某文创团队用环保材料制作圆锥形灯罩.若该圆锥的母线长30cm 侧面展开图是圆心角为180°的扇形，则这个圆锥的侧面积为() A.450πcm2 B.500πcm2 C.600ncm2 D.700πcm2 2.（2026江苏扬州.中考真题)“拧拉”是一种常用的乒乓球接发球技术.拧拉时，手肘保持 不动，手腕绕手肘旋转划出一段圆弧.小明手腕到手肘的距离为20cm,某次拧拉时手腕绕 手肘旋转的角度为90°，小明手腕的运动路线长为() 16/20 A.5Ttcm B.10πcm C.20πcm D.40πcm 3.(2026江苏镇江·二模)小红在一张边长为2dm的正方形纸板上，按如图方法裁出一个扇 形（阴影部分），并用它围成圆锥形礼帽（粘贴部分忽略不计），则该圆锥形礼帽的底面半径 为() A.V2 dm B.1 dm C.dm D.dm 4.(2026辽宁大连.二模)如图，正方形ABCD的边长为4，以A为圆心，AD的长为半径画 弧.则图中扇形的面积为() D A.π B.2π C.4n D.8π 5.(2026江苏南通.三模)一个圆锥，其母线长为12cm,底面圆半径为3cm,则侧面展开 图圆心角度数为() A.45° B.609 C.909 D.180° 6.(2026江苏常州一模)如图1是一段弯管，弯管的部分外轮廓线如图2所示是一条圆弧 AB,圆弧的半径0A=10cm,圆心角∠A0B=90°，则弧AB的长是() 6 图1 图2 A.2πcm B.5itcm C.10πcm D.20πcm 7.(2026广东清远·三模)如图，AB是⊙O的直径，BC是⊙0的切线，若∠BAC=45°，AB=4, 则阴影部分的面积是 17/20 8.(2026河南平顶山三模)如图，在扇形0AB中，OA=2,C是0B上的一点，连接AC并 将扇形OAB沿AC翻折，点B恰与点O重合，则图中阴影部分的面积为一· B A 9.(2026浙江温州三模)如图，某手工工作室需要制作一个扇形的装饰挂件，从一块直径 为6dm的圆形铁皮上剪出一个圆心角为90的扇形作为挂件，则此扇形挂件的面积是 dm2 10.(25-26九年级上.宁夏吴忠.期末)如图，已知圆锥的底面半径2cm,母线长6cm (1)圆锥的高OM=_cm.侧面展开扇形B0C的圆心角= (2)求圆锥的全面积. 11.(25-26九年级上·安徽安庆期末)如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网 格中建立平面直角坐标系xOy,△ABC的顶点均为格点（网格线的交点） 18/20 (1)△ABC先向左平移5个单位，再向上平移1个单位后为△A1B1C1(点A,B,C的对应点分 别为A1,B1,C1),请画出△A1B1C1,并写出点B1的坐标 (2)画出将△ABC绕点0顺时针旋转90°后的△A2B2C2(点A,B,C的对应点分别为A2,B2,C2), 并求出点A旋转到A,所经过的路径长. 12.(25-26九年级上江苏淮准安·期末)如图，⊙0是△ABC的外接圆，BC是⊙0的直径， ∠B=LCAD (1)求证：AD是⊙O的切线； (2)连接0A,若LB=30°，AC=3,求扇形0AC的面积. 13.(25-26九年级上广东东莞期末)如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都是1 个单位长度，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标分别为A(-1,1),B(-2,3),C(-5,2). -5-4-3-2-1Q 1 2.345x 2 2 (1)画出△ABC绕点A顺时针旋转90°后得到的△AB1C1: (2)求点C旋转到点C1的过程中线段AC扫过的面积（结果保留π）. 19/20 14.（2026辽宁铁岭模拟预测)如图，四边形ABCD是⊙0的内接四边形，AB是⊙O的直径， 点E在AB的延长线上，连接OC,CE,∠DCB=2LABC. 刀 D B B 图① 图② (1)如图①，求证：ADIIOC: (2)如图②，若BC=BE=4,AE=3BE,求BC的长. 20/20 第二十九章 圆 03讲 弧长和扇形面积 题型归纳 【知识点1 弧长公式 1】 【知识点2 扇形及其面积公式 2】 【知识点3 圆锥 2】 【题型1. 求弧长 3】 【题型2. 求扇形半径 4】 【题型3. 求圆心角 4】 【题型4. 求扇形面积 5】 【题型5. 求某点的弧形运动路径长度 7】 【题型6. 求图形旋转扫过的面积 8】 【题型7. 求弓形面积 10】 【题型8. 求其他不规则图形的面积 11】 【题型9. 求圆锥侧面积 13】 【题型10. 求圆锥底面半径 14】 【题型11. 求圆锥的高 14】 【题型12. 求圆锥侧面展开图的圆心角 15】 【题型13. 圆锥中最短路径问题 15】 【巩固练习 16】 知识清单 知识点1 弧长公式 1.公式：n°的圆心角所对的弧长为 . 2.公式变形： ； . 【提示】 ① 公式里的n，180在弧长计算公式中变式倍数关系，没有单位； ② 题目中若没有写精确度，可用“”变式弧长，如弧长2，35等； ③ 正确区分弧、弧的度数相等、弧长相等：度数相等的弧，弧长不一定相等，弧长相等的弧也不一定是等弧，要特别注意，只有在同圆或等圆中，才可能是等弧，才有这三者的统一. 知识点2 扇形及其面积公式 1.扇形的定义：由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧围成的图形叫做扇形. 2.扇形面积公式： 圆心角为n°的扇形面积为（为扇形的弧长，为半径）. 【提示】 ① 扇形面积公式中的“”与弧长公式中的“”的意义一样的，都是“1°”的圆心角的倍数，参与计算时不带单位. 知识点3 圆锥 高 1.圆锥的构成：圆锥是由一个底面和一个侧面围成的几何体. 2.圆锥的母线：把连接圆锥顶点和底面圆周上任意一点的线段叫做圆锥的母线. 3.圆锥的高：连接圆锥顶点与底面圆心的线段叫做圆锥的高. 【提示】 （1）圆锥的轴通过底面的圆心，并垂直于底面； （2）圆锥的母线长都相等； （3）圆锥可以看成是由一个直角三角形饶一条直角边所在的直线旋转而成的图形，故圆锥的母线、圆锥的高、圆锥底面圆的半径恰好构成一个直角三角形（如图），满足，利用这一关系，已知任意两个量可以求出第三个量. 4.与圆锥有关的公式：（1）；（2）； （3）设圆锥的侧面展开扇形的圆心角为 ，则由该扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长得出：，即 . 【提示】 ① 圆锥的侧面积就是弧长为圆锥的底面的周长，半径为圆锥的母线长的扇形的面积； ② 圆锥的全面积就是它的侧面积和底面积的和. 题型专练 题型1. 求弧长 【例1】已知圆弧所在圆的直径为12，该弧所对的圆心角为，则这条弧的长为（    ） A． B． C． D． 【例2】如图，用一个半径为的定滑轮带动重物上升，滑轮上一点旋转了，假设绳索（粗细不计）与滑轮之间没有滑动，则重物上升了______．（结果保留） 【例3】制造弯曲管道时，管道中心线的圆弧半径，圆心角，求这段圆弧的长度（取3.14，结果保留整数）． 【变式1】若扇形的圆心角扩大为原来的倍，半径缩小为原来的一半，则扇形的弧长为原来的（    ） A．倍 B．倍 C．一半 D．倍 【变式2】如图所示，当半径为的传动轮按顺时针方向转过角时，传送带上的物体A平移的距离为（   ）    A． B． C． D． 【变式3】如图是一款带有提梁的茶壶，提梁与壶盖的平面图可近似看作半圆，为了防止烫伤和保护提梁，常在提梁上缠绕一层隔热布，已知隔热布两端点与点关于直线对称，直线于点，为中点，测得直径为，，则提梁的长为_____． 【变式4】已知一个扇形的面积为，圆心角的度数为，则它的弧长为_____． 【变式5】如图，已知四边形内接于，．连接，若且的半径为6，求的长． 题型2. 求扇形半径 【例1】如果一条弧长为，圆弧所对的圆心角是，那么这条弧所在圆的半径是 _______ （π取）． 【变式1】一个扇形的圆心角为，它所对的弧长为，则这个扇形的半径为（  ） A． B． C． D． 【变式2】在中，如果的圆心角所对的弧长是，那么的半径是______． 【变式3】弧长为的弧所对的圆心角为，则该弧所在圆的半径是______． 题型3. 求圆心角 【例1】已知扇形的弧长为，半径为，则其圆心角的度数为（   ） A． B． C． D． 【变式1】将一张半径为6的圆形纸片沿着两条半径剪开形成两个扇形．若其中一个扇形的弧长是，则另一个扇形的圆心角度数是（   ） A． B． C． D． 【变式2】已知弧的长为，该弧所在圆的半径为，则该弧的度数为______． 【变式3】一个扇形的弧长是，半径是，则此扇形的圆心角是______． 【变式4】已知时钟的分针长10cm，初始时刻为14：00整，如图所示，若经过一段时间后，分针的针尖走过的路程为，则经过一段时间后的时刻为___________． 题型4. 求扇形面积 【例1】如图，是正五边形的外接圆．若的半径为6，则半径与围成的扇形的面积是（　　） A． B． C． D． 【例2】一个扇形的弧长是，圆心角是，则这个扇形的面积是______．（结果保留） 【变式1】如图，点，，是上的点，且，的半径为2，则此阴影部分的面积为（   ） A． B． C． D． 【变式2】如图，已知一钟表的分针段的长为，若时间从到，则经过扇形的面积为______． 【变式3】如图，在中，，，则扇形的面积为______． 【变式4】如图，在中，，以点为圆心，长为半径的圆交于点，连接，且． (1)求的长； (2)求扇形的面积． 【变式5】如图，在中，以边为直径作分别交，于点D，E．若点D是中点，连接． (1)求证：是等腰三角形． (2)若，求弧的长和扇形的面积． 题型5. 求某点的弧形运动路径长度 【例1】一个挂钟的分针长，经过小时后，这根分针的尖端所走过的路程是（    ）（取）． A． B． C． D． 【例2】如图，在平面直角坐标系中，，，若绕点O逆时针旋转后，得到（对应点是，B对应点是）． (1)画出，并直接写出的坐标； (2)求旋转过程中A点的运动路径长（结果保留）． 【变式1】如图，在中，，将绕点逆时针旋转得到，则点转过的路径长为（    ） A． B． C． D． 【变式2】如图，把一块的直角三角板绕点旋转到的位置．使得三点、在一直线上，若，则顶点从开始到结束所经过的路径长为______． 【变式3】如图，在平面直角坐标系中，小正方形网格的边长都是1个单位长度，的三个顶点坐标分别为． (1)画出关于原点对称的图形； (2)画出绕点顺时针旋转后得到的； (3)求点旋转到点的过程中所经过的路径长（结果保留）． 题型6. 求图形旋转扫过的面积 【例1】如图，三个顶点的坐标分别为，，． (1)画出关于原点O成中心对称的，并写出的坐标； (2)画出将绕点B逆时针旋转后的； (3)在（2）的条件下求线段所扫过的图形面积． 【变式1】一根长的木棒，如果绕着它的一端旋转，木棒扫过的面积是（   ） A． B． C． D． 【变式2】如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为，，． (1)画出绕点A逆时针旋转后得到的；并直接写出的坐标； (2)在（1）的条件下，求线段在旋转过程中扫过的面积． 【变式3】如图，在平面直角坐标系中，，． (1)作出绕原点逆时针旋转后的，并写出的坐标； (2)在（1）条件下，求线段所扫过的面积． 【变式4】如图，正方形网格中，每个小正方形的边长都是一个单位长度，在平面直角坐标系中，的三个顶点，、均在格点上． (1)画出向左平移个单位后的图形 ； (2)画出 绕顺时针旋转后的图形 ； (3)在（2）的条件下，求线段扫过的面积． 题型7. 求弓形面积 【例1】如图，已知的半径为，点和点在上，若，则图中阴影部分的面积为（   ） A． B． C． D． 【变式1】如图，在等腰中，，，以为直径的交于点D，连接、，则图中阴影部分的面积为_________． 【变式2】如图，水平放置的圆柱形排水管的截面半径为，截面中有水部分弓形的高为，求截面中有水部分弓形的面积． 【变式3】如图，为半圆的直径，为半圆上一点，为弧的中点，交弦于点，若，求：    (1)的长． (2)阴影部分的面积． 题型8. 求其他不规则图形的面积 【例1】如图，在扇形中，，以为直径作半圆，若的长为，则阴影部分的面积为（   ）． A． B． C． D． 【例2】图所示，两个半圆形中，为大半圆形的圆心，长为的弦与直径平行且与小半圆形只有一个交点，那么图中阴影部分的面积等于多少 【变式1】苏州砖雕是以砖作为雕刻对象的制作技艺，其特点是细腻精致、典雅秀气．图①是一块扇面形的苏州砖雕作品《兰》，图②是它的设计图，其中扇形和扇形有相同的圆心O，且圆心角，已知，则该砖雕的面积为（　　） A． B． C． D． 【变式2】如图，为半圆的直径，且，将半圆绕点A顺时针旋转，点B旋转到点C的位置，则图中阴影部分的面积为（　　） A． B． C． D． 【变式3】如图，的长为10cm，且于点，则图中阴影部分的面积为______． 【变式4】如图，扇形的圆心角是90度，半径是是弧的中点．两个阴影部分的面积差是________．（取3.14） 【变式5】如图，四边形的面积为，扇形的半径为4，圆心角为，求图中阴影部分的面积．（结果保留根号和） 题型9. 求圆锥侧面积 【例1】若圆锥的底面周长为，母线长为，则圆锥的侧面积是（    ）． A． B． C． D． 【变式1】如图，是用绸布所制作的清代官员夏日官帽，要制作一个底面半径为，高为的圆锥形官帽，则所需扇形绸布的面积为（   ） A． B． C． D． 【变式2】如图，在中，，将绕直线旋转一周得到的几何体的全面积为___________（结果保留）． 【变式3】“草帽当锅盖”是云南十八怪中之一，当地人制作的草帽锅盖呈圆锥形，一个草帽锅盖的母线长为，底面圆的半径为，这个草帽锅盖的侧面积为______． 【变式4】如图，圆锥的底面半径，高，求该圆锥的侧面积． 题型10. 求圆锥底面半径 【例1】一圆锥的母线长为，它的侧面展开图的圆心角为，则这个圆锥的底面半径r为_____． 【变式1】如图，用矩形纸片裁一扇形，围成圆锥侧面．若，则此圆锥底面半径为 (　　) A． B． C． D． 【变式2】已知圆锥的侧面积是，母线长是4，则这个圆锥的底面圆周长是（   ） A． B． C． D． 【变式3】如图所示，矩形纸片中，，把它分割成正方形纸片和矩形纸片后，分别裁出扇形和半径最大的圆，恰好能作为一个圆锥的侧面和底面，则的长为（    ） A． B． C． D． 题型11. 求圆锥的高 【例1】把半径为4的半圆做成圆锥的侧面，则圆锥的高是（    ） A． B． C． D．2 【变式1】四位同学测量圆锥高的方法如下，你认为正确的是（  ） A．楠楠 B．晶晶 C．依依 D．笑笑 【变式2】用圆心角为，弧长为的扇形围成一个圆锥的侧面，则所围成的圆锥的高为________． 【变式3】一个圆锥的底面半径为，母线长为，则圆锥的体积为______． 【变式4】一个长方体的容器，从里面量长分米，宽分米，高分米，水深分米．把一个半径分米的圆锥体实心铁块浸没在水里时，水面离容器口还有分米，求圆锥体实心铁块的高是多少分米？（π取） 题型12. 求圆锥侧面展开图的圆心角 【例1】已知圆锥的底面半径为2，母线为5，则圆锥侧面展开图的圆心角度数为（   ） A． B． C． D． 【变式1】如图，是圆锥的轴截面图形，是圆锥的高．若，则该圆锥的侧面展开图的圆心角为（    ） A． B． C． D． 【变式2】某班为筹备集体生日会准备手工制作圆锥形状的生日帽．他们制作的生日帽，母线长为，底面圆的半径为，这种圆锥的侧面展开图的圆心角等于________． 【变式3】母线长为5的圆锥的侧面积恰好等于其底面积的2倍，该圆锥侧面展开图所对应扇形圆心角的度数为____． 题型13. 圆锥中最短路径问题 【例1】如图，圆锥底面圆直径长是，母线长是，一只蚂蚁在圆锥表面从B点爬到的中点D，最短路径长是________． 【变式1】已知圆锥的底面半径为2，母线长，现有一只小虫从圆锥底面圆上A点出发，沿着圆锥侧面绕行到母线的中点B，则它所走的最短路程是__． 【变式2】如图是一个圆锥与其侧面展开图，已知圆锥的底面半径是2，母线长是6． (1)求这个圆锥的侧面展开图中的度数； (2)如果A是底面圆周上的一点，从点A拉一根绳子绕圆锥侧面一圈再回到点A，求这根绳子的最短长度． 巩固练习 1．（2026·云南·中考真题）某文创团队用环保材料制作圆锥形灯罩．若该圆锥的母线长，侧面展开图是圆心角为的扇形，则这个圆锥的侧面积为（     ） A． B． C． D． 2．（2026·江苏扬州·中考真题）“拧拉”是一种常用的乒乓球接发球技术．拧拉时，手肘保持不动，手腕绕手肘旋转划出一段圆弧．小明手腕到手肘的距离为，某次拧拉时手腕绕手肘旋转的角度为，小明手腕的运动路线长为（     ） A． B． C． D． 3．（2026·江苏镇江·二模）小红在一张边长为的正方形纸板上，按如图方法裁出一个扇形（阴影部分），并用它围成圆锥形礼帽（粘贴部分忽略不计），则该圆锥形礼帽的底面半径为（     ） A． B． C． D． 4．（2026·辽宁大连·二模）如图，正方形的边长为4，以A为圆心，的长为半径画弧．则图中扇形的面积为（     ） A． B． C． D． 5．（2026·江苏南通·三模）一个圆锥，其母线长为，底面圆半径为，则侧面展开图圆心角度数为（     ） A． B． C． D． 6．（2026·江苏常州·一模）如图1是一段弯管，弯管的部分外轮廓线如图2所示是一条圆弧，圆弧的半径，圆心角，则弧的长是（    ） A． B． C． D． 7．（2026·广东清远·三模）如图，是的直径，是的切线，若，，则阴影部分的面积是_________． 8．（2026·河南平顶山·三模）如图，在扇形中，，C是上的一点，连接并将扇形沿翻折，点B恰与点O重合，则图中阴影部分的面积为______． 9．（2026·浙江温州·三模）如图，某手工工作室需要制作一个扇形的装饰挂件，从一块直径为的圆形铁皮上剪出一个圆心角为的扇形作为挂件，则此扇形挂件的面积是______． 10．（25-26九年级上·宁夏吴忠·期末）如图，已知圆锥的底面半径，母线长 (1)圆锥的高 cm．侧面展开扇形的圆心角 ° (2)求圆锥的全面积． 11．（25-26九年级上·安徽安庆·期末）如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中建立平面直角坐标系，的顶点均为格点(网格线的交点) (1)先向左平移5个单位，再向上平移1个单位后为(点，，的对应点分别为)，请画出，并写出点的坐标__________； (2)画出将绕点顺时针旋转后的(点，，的对应点分别为)，并求出点旋转到所经过的路径长． 12．（25-26九年级上·江苏淮安·期末）如图，是的外接圆，是的直径，． (1)求证：是的切线； (2)连接，若，，求扇形的面积． 13．（25-26九年级上·广东东莞·期末）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都是1个单位长度，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为． (1)画出绕点顺时针旋转后得到的； (2)求点旋转到点的过程中线段扫过的面积（结果保留）． 14．（2026·辽宁铁岭·模拟预测）如图，四边形是的内接四边形，是的直径，点E在的延长线上，连接． (1)如图①，求证：； (2)如图②，若，求的长． 1 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $