专题29 圆周角定理（重难点讲义）数学新教材人教版九年级上册

本讲义聚焦圆周角定理这一核心知识点，从圆周角的定义（顶点在圆上且两边与圆相交）出发，系统梳理圆周角定理（同弧所对圆周角等于圆心角一半）及其推论（同弧等弧圆周角相等、直径所对圆周角为直角），延伸至圆内接四边形概念及对角互补性质，构建从概念到应用的完整学习支架。 资料亮点在于题型设计丰富，涵盖定义辨析、角度计算、证明等10类题型，每类配备典例与变式，结合巩固和强化训练实现分层教学。通过“利用直径构造直角辅助线”等实例，培养学生几何直观（数学眼光）和逻辑推理能力（数学思维），规范书写步骤提升数学语言表达，课中助力教师系统授课，课后帮助学生查漏补缺。

专题29 圆周角定理 一、素养目标 1.认识圆周角，掌握圆周角定理及其推论，能进行角度计算与简单证明； 2.会利用直径所对圆周角为直角构造辅助线，规范书写解题步骤； 3.理解圆内接四边形概念，掌握对角互补性质，能运用性质完成角度计算与简单证明； 4.借助圆周角定理推导性质，体会转化思想，提升几何识图与逻辑推理能力；解决圆相关综合题型. 二、重点与难点 重点：理解圆周角与圆心角的关系及圆内接四边形的性质，并能运用圆周角定理解决简单的几何问题. 难点：理解掌握圆周角定理的推论及其证明过程和运用. 一、圆周角的概念 顶点在圆上并且两边都与圆相交的角叫作圆周角. (圆周角：①顶点在圆上；②两边都与圆相交.) 二、圆周角定理 一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半. 几何符号语言：∵ ＝ ∴ ∠BAC＝∠BOC 三、圆周角定理的推论 推论1 同弧或等弧所对的圆周角相等. 几何符号语言：∵ ＝ ∴ ∠BAC＝∠BOC 注意：在同圆或等圆中，同弦或等弦所对的圆周角可能相等，也可能互补. 推论2 半圆(或直径)所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径. 几何符号语言： ∵ AB是⊙O的直径 ∴ ∠ACB＝90° ∵ ∠ACB＝90° ∴ AB是⊙O的直径 四、圆内接四边形的概念 如果一个多边形的所有顶点都在同一个圆上，这个多边形叫作圆的内接多边形，这个圆叫作这个多边形的外接圆.如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，⊙O是四边形ABCD的外接圆. 五、圆内接四边形的性质 圆内接四边形的对角互补. 题型01圆周角的定义 【典例】下列图中是圆周角的是（    ） A． B． C． D． 【变式】如图，其中圆周角有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 题型02圆周角定理求角度 【典例】如图，在中，，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【变式】如图，将直角三角板角的顶点放在圆心上，斜边和一直角边分别与相交于、两点，是优弧上任意一点与、不重合，则______． 题型03同弧或等弧所对的圆周角关系 【典例】如图，为的内接三角形，是直径，是的中点，连结，过点作的垂线交的延长线于点． 证明：． 【变式】如图，，，，是上的四个点，为的直径，且，连接，，，，过点作，垂足为． (1)求的度数； (2)若，求的长． 题型04直径所对的圆周角90°的应用 【典例】如图，是的直径，，是上的两点，连接，，，若，则的度数是（     ） A． B． C． D． 【变式】如图，四边形是的内接四边形，是的直径，连接，若，________． 题型05利用圆内接四边形的性质求角 【典例】如图，四边形内接于，已知，，且，若点为弧的中点，连接，则的大小是（    ） A． B． C． D． 【变式】如图，四边形内接于，F是上一点，且，连接并延长交的延长线于点E，连接．若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 题型06利用圆内接四边形的性质求线段长度 【典例】如图，四边形是内接四边形，，，连接，于点，连接，若，，则的长为______．    【变式】如图，在圆内接四边形中，，，以为轴，为轴，建立如图所示的平面直角坐标系，若点的坐标为，则圆的直径长度是_____． 题型07利用圆内接四边形的性质进行证明 【典例】如图，四边形内接于，、分别在、的延长线上，且，求证：． 【变式】如图，中，，以为直径的半圆与交于点D，与交于点E． (1)求证：点D为的中点；(2)求证：． 题型08确定圆的条件 【典例】已知：A，B，C，D，E五个点中无任何三点共线，无任何四点共圆，那么过其中的三点作圆，最多能作出(    )． A．5个圆 B．8个圆 C．10个圆 D．12个圆 【变式】如图，小明不慎把家里的圆形镜子打碎了，其中四块碎片如图所示，为了配到与原来大小一样的圆形镜子，小明带到商店去的一块碎片应该是第________块． 题型09尺规作外接圆 【典例】如图，已知，求作：以为一边作，且满足与互补． 作法：①作边的垂直平分线；②作边的垂直平分线，直线，交于点； ③以为圆心，长为半径作；④连接并延长，交于点，连接． (1)请使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）． (2)求证：即为所求作的三角形．    【变式】已知如图． （1）用直尺和圆规求作圆心O，并补全这个圆； （2）用直尺和圆规求作这条弧的四等分点． 题型10 求外接圆的半径 【典例】如图，在等腰△ABC中，AB＝AC＝2，BC＝8，按下列步骤作图： ①以点A为圆心，适当的长度为半径作弧，分别交AB，AC于点E，F，再分别以点E，F为圆心，大于EF的长为半径作弧相交于点H，作射线AH； ②分别以点A，B为圆心，大于AB的长为半径作弧相交于点M，N，作直线MN，交射线AH于点O； ③以点O为圆心，线段OA长为半径作圆． 则⊙O的半径为（　　） A．2 B．10 C．4 D．5 【变式】如图是由3个边长为2的正方形组成的物件，将它镶嵌在一个圆形的金属框上，使A，B，C三点恰好在金属框上，则该金属框的半径是（    ） A． B． C． D．4 【巩固训练】 1．如图，点都在上，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 2．已知圆内接四边形中，：：：：则的大小是（ ） A． B． C． D． 3．如图，四边形内接于，过点作，交于点．若，则的度数是（    ） A． B． C．120° D． 4．如图，点，，，在上，四边形是菱形，则的度数是（     ） A． B． C． D． 5．如图，点B，C，D在⊙O上，若∠BCD＝130°，则∠BOD的度数是（　　） A．50° B．60° C．80° D．100° 6．如图所示，四边形是菱形，经过点A，C，D，与相交于点E，连接，．若，则的度数为_____． 7．如图，为的直径，为直径两侧上两点，连接，，过点作于点，若，则的度数为________． 8．如图，的直径为，弦为，的平分线交于点D， (1)求的度数；(2)求的长；(3)求，的长． 9．如图，中，．以为直径作，交边于点D，交的延长线于点E，连接，． (1)求证：； (2)若，，求的长． 10．如图，AB是⊙O的直径，AC、BC是⊙O的弦，∠ACB的平分线交⊙O于D，连接AD、BD，已知AB＝6，BC＝2． （1）求AC、AD、BD的长； （2）求四边形ACBD的面积． 【强化训练】 1．如图，是的直径，点C为的中点，点D为上的一个动点，连接CD，作，交于点E，连接．若半径为5，且，则的面积为（    ） A．6 B．7．5 C． D．10 2．如图，是直径，点C、D将分成相等的三段弧，点P在上．已知点Q在上且，则点Q所在的弧是（    ） A． B． C． D． 3．如图，是的内接三角形，点是弧的中点，已知，，则 ______度． 4．如图，中，，，为斜边上一点，作的外接圆，交边于点，若，则的度数为_____． 5．如图，C是以为直径的半圆O上的一点，且，将沿弦折叠交于点D，E是的中点，连接恰好经过圆心O，若，则的长为______． 6．如图已知是的直径，是所对的圆周角，． (1)求的度数； (2)过点D作，垂足位E，的延长线交于点F，若，求，的长． 7．如图，都是的半径，． (1)求证：； (2)若，求的半径．      8．如图，在⊙中，是⊙上的一点，，弦，弦平分交于点，连接． （1）求⊙半径的长； （2）求证：． 9．如图，圆内接四边形的对角线，交于点E，平分，． (1)求的大小； (2)过点C作交的延长线于点F．若，，求圆的半径． 10．在的外接圆中，的外角平分线交于点D，F为上一点，且 连接，并延长交的延长线于点E． (1)判断与的数量关系，并说明理由； (2)求证：；    / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题29 圆周角定理 一、素养目标 1.认识圆周角，掌握圆周角定理及其推论，能进行角度计算与简单证明； 2.会利用直径所对圆周角为直角构造辅助线，规范书写解题步骤； 3.理解圆内接四边形概念，掌握对角互补性质，能运用性质完成角度计算与简单证明； 4.借助圆周角定理推导性质，体会转化思想，提升几何识图与逻辑推理能力；解决圆相关综合题型. 二、重点与难点 重点：理解圆周角与圆心角的关系及圆内接四边形的性质，并能运用圆周角定理解决简单的几何问题. 难点：理解掌握圆周角定理的推论及其证明过程和运用. 一、圆周角的概念 顶点在圆上并且两边都与圆相交的角叫作圆周角. (圆周角：①顶点在圆上；②两边都与圆相交.) 二、圆周角定理 一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半. 几何符号语言：∵ ＝ ∴ ∠BAC＝∠BOC 三、圆周角定理的推论 推论1 同弧或等弧所对的圆周角相等. 几何符号语言：∵ ＝ ∴ ∠BAC＝∠BOC 注意：在同圆或等圆中，同弦或等弦所对的圆周角可能相等，也可能互补. 推论2 半圆(或直径)所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径. 几何符号语言： ∵ AB是⊙O的直径 ∴ ∠ACB＝90° ∵ ∠ACB＝90° ∴ AB是⊙O的直径 四、圆内接四边形的概念 如果一个多边形的所有顶点都在同一个圆上，这个多边形叫作圆的内接多边形，这个圆叫作这个多边形的外接圆.如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，⊙O是四边形ABCD的外接圆. 五、圆内接四边形的性质 圆内接四边形的对角互补. 题型01圆周角的定义 【典例】下列图中是圆周角的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查圆周角的定义． 根据圆周角的定义（角的顶点在圆上，并且角的两边与圆相交的角叫做圆周角）判断即可． 【详解】解：A、图中的角的顶点不在圆上，所以图中的角不是圆周角，故本选项不符合题意； B、图中的角的顶点在圆上，两边与圆相交，所以图中的角是圆周角，故本选项符合题意； C、图中的角的顶点不在圆上，所以图中的角不是圆周角，故本选项不符合题意； D、图中的角的顶点不在圆上，所以图中的角不是圆周角，故本选项不符合题意； 故选：B． 【变式】如图，其中圆周角有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】根据圆周角的定义进行判断，即可得到答案． 【详解】解：根据题意，，是圆周角，共2个． 故选：B． 【点睛】本题考查了圆周角的定义，解题的关键是掌握圆周角的定义进行判断． 题型02圆周角定理求角度 【典例】如图，在中，，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了圆心角、弧、弦之间的关系和圆周角定理，连接，根据圆周角定理求出，，求出和，再求出答案即可． 【详解】解：连接， ∵，， ∴，， ∴，， ∴． 故选：C． 【变式】如图，将直角三角板角的顶点放在圆心上，斜边和一直角边分别与相交于、两点，是优弧上任意一点与、不重合，则______． 【答案】/30度 【详解】解：由题意得，， ． 题型03同弧或等弧所对的圆周角关系 【典例】如图，为的内接三角形，是直径，是的中点，连结，过点作的垂线交的延长线于点． 证明：． 【答案】(1)证明：点是的中点， ． 为直径，， ． ∵ ， 在和中， ， ． 【分析】根据同弧所对的圆周角相等即可得，进而证明即可求解； 【详解】略 【变式】如图，，，，是上的四个点，为的直径，且，连接，，，，过点作，垂足为． (1)求的度数； (2)若，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据直径所对的圆周角是直角得，根据等角对等边及三角形内角和得，再根据同弧或等弧所对的圆周角相等可得答案； （2）如图，过点作于点，根据等角对等边推出，证明得，然后根据勾股定理可得答案． 【详解】（1）解：∵为的直径， ∴， ∵， ∴， ∵在中，所对的圆周角为、， ∴； （2）解：如图，过点作于点， ∵， ∴， 由（1）知：，， ∴， ， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 在中，， 即的长为． 题型04直径所对的圆周角90°的应用 【典例】如图，是的直径，，是上的两点，连接，，，若，则的度数是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】连接，利用圆周角定理得出，根据直径所对圆周角为直角得出，利用直角三角形两锐角互余即可求解． 【详解】解：如图，连接， ∵与都是所对的圆周角， ∴， ∵是的直径， ∴， ∴． 【变式】如图，四边形是的内接四边形，是的直径，连接，若，________． 【答案】 14 【分析】根据圆内接四边形的性质求出，根据直径所对的圆周角是直角得出，然后根据计算即可. 【详解】解：∵四边形是的内接四边形， ∴， 又， ∴， ∵是的直径， ∴， ∴. 题型05利用圆内接四边形的性质求角 【典例】如图，四边形内接于，已知，，且，若点为弧的中点，连接，则的大小是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】连接，通过弧相等，得出对应圆周角相等，即可推断出的大小． 【详解】解：连接，如下图所示： ∵， ∴为的直径， ∵， ∴， ∴， ∵优弧所对圆周角为， ∴， 又∵点为弧的中点， ∴， ∴． 【变式】如图，四边形内接于，F是上一点，且，连接并延长交的延长线于点E，连接．若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据圆的内接四边形对角互补，同弧所对的圆周角相等，三角形的外角性质，求解即可； 【详解】解：∵四边形内接于，， ∴． ∵，， ∴， ∴． 题型06利用圆内接四边形的性质求线段长度 【典例】如图，四边形是内接四边形，，，连接，于点，连接，若，，则的长为______．    【答案】 【分析】连接，由，得到，求得是等边三角形，根据等边三角形的性质得到，，求得，推出，根据全等三角形的性质得到，求得，得到，根据勾股定理即可得到结论． 【详解】解：连接，    ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴是等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了圆内接四边形的性质，圆周角定理，等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【变式】如图，在圆内接四边形中，，，以为轴，为轴，建立如图所示的平面直角坐标系，若点的坐标为，则圆的直径长度是_____． 【答案】 【分析】本题考查圆内接四边形的性质，等腰直角三角形的性质以及圆周角定理，得到线段为圆的直径是解答的关键．圆内接四边形中，相对的角互补，结合已知条件可求出的度数，从而判定为等腰直角三角形；根据勾股定理可得的值，进而得到圆的直径． 【详解】解：四边形是圆内接四边形， ， ， ， 又， ， ， 点的坐标为， ， ． ， 线段为圆的直径， 圆的直径为． 故答案为：． 题型07利用圆内接四边形的性质进行证明 【典例】如图，四边形内接于，、分别在、的延长线上，且，求证：． 【答案】 证明：∵四边形内接于， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 【分析】本题考查了圆内接四边形对角互补，平行线的判定定理；根据四边形内接于，可得，根据已知条件得出，即可得证． 【详解】略 【变式】如图，中，，以为直径的半圆与交于点D，与交于点E． (1)求证：点D为的中点； (2)求证：． 【答案】(1) 证明：连结，如图： 为半圆的直径， ∴， ∴， ∵， ∴点D为AB的中点． (2) 方法一：证明：∵， ∴， ∵四边形为圆内接四边形， ∴， ∴， ∴． 方法二：证明：连结，， ∵，， ∴， ∵，， ∴． ∴， ∴． ∵， ∴． 【分析】本题考查了等腰三角形的判定及性质、圆周角定理、圆内接四边形的性质： （1）连接，利用等腰三角形的“三线合一”性质即可求证结论； （2）方法一：根据圆内接四边形的性质及等腰三角形的判定即可求证结论； 方法二：利用等腰三角形的性质及圆周角定理即可求证结论； 熟练掌握相关知识是解题的关键． 【详解】（1）略 （2）略 题型08确定圆的条件 【典例】已知：A，B，C，D，E五个点中无任何三点共线，无任何四点共圆，那么过其中的三点作圆，最多能作出(    )． A．5个圆 B．8个圆 C．10个圆 D．12个圆 【答案】C 【分析】根据过不共线三点可作一个圆，找出不共线三点的组数即可． 【详解】解：过其中的三点作圆，最多能作出10个，即分别过点ABC、ABD、ABE、ACD、ACE、ADE、BCD、BCE、BDE、CDE的圆． 故选C． 【点睛】本题考查三点共圆问题，掌握查确定圆的个数方法是解题关键． 【变式】如图，小明不慎把家里的圆形镜子打碎了，其中四块碎片如图所示，为了配到与原来大小一样的圆形镜子，小明带到商店去的一块碎片应该是第________块． 【答案】① 【分析】根据不在一条直线上三点确定一个圆即可解得． 【详解】解：根据垂径定理的推论：弦的垂直平分线必过圆心．只要有一段弧，即可确定圆心和半径． 所以小明带到商店去的一块玻璃碎片应该是①． 故答案为：①． 【点睛】本题考查的是垂径定理的推论的应用，确定圆的条件，掌握确定圆的条件是解题的关键． 题型09尺规作外接圆 【典例】如图，已知，求作：以为一边作，且满足与互补． 作法：①作边的垂直平分线； ②作边的垂直平分线，直线，交于点； ③以为圆心，长为半径作； ④连接并延长，交于点，连接．    (1)请使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）． (2)求证：即为所求作的三角形． 【答案】(1) 解：如图所示，即为所求；    (2) 证明：∵是的直径， ∴是直角， ∴是直角三角形， ∵是的内接四边形， ∴， ∴即为所求作三角形． 【分析】（1）根据题意画出的垂直平分线，交于点，以为圆心，长为半径作，连接并延长，交于点，连接即可求解； （2）根据直径所对的圆周角是直角，圆内接四边形对角互补，即可得证． 【详解】（1）略 （2）略 【变式】已知如图． （1）用直尺和圆规求作圆心O，并补全这个圆； （2）用直尺和圆规求作这条弧的四等分点． 【答案】 （1）如图所示：点O和圆O即为所作； （2）如图所示：D、C、E即为四等分点． 【分析】（1）在上任意取一点E（A、B除外），连接AE，BE，作线段AE，BE的垂直平分线交于点O，以O为圆心，OA为半径作⊙O即可； （2）连接AB，作AB的垂直平分线交于点C，连接AC、BC，分别作AC和BC的垂直平分线，交于点D、E即可． 【详解】解：（1）略 （2）略 【点睛】本题考查作图—复杂作图，解题的关键是理解圆的相关性质，掌握垂直平分线的作法． 题型10 求外接圆的半径 【典例】如图，在等腰△ABC中，AB＝AC＝2，BC＝8，按下列步骤作图： ①以点A为圆心，适当的长度为半径作弧，分别交AB，AC于点E，F，再分别以点E，F为圆心，大于EF的长为半径作弧相交于点H，作射线AH； ②分别以点A，B为圆心，大于AB的长为半径作弧相交于点M，N，作直线MN，交射线AH于点O； ③以点O为圆心，线段OA长为半径作圆． 则⊙O的半径为（　　） A．2 B．10 C．4 D．5 【答案】D 【分析】如图，设OA交BC于T．解直角三角形求出AT，再在Rt△OCT中，利用勾股定理构建方程即可解决问题． 【详解】解：如图，设OA交BC于T． ∵AB＝AC＝2，AO平分∠BAC， ∴AO⊥BC，BT＝TC＝4， ∴AE＝， 在Rt△OCT中，则有r2＝（r﹣2）2+42， 解得r＝5， 故选：D． 【点睛】本题考查作图——复杂作图，等腰三角形的性质，垂径定理等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 【变式】如图是由3个边长为2的正方形组成的物件，将它镶嵌在一个圆形的金属框上，使A，B，C三点恰好在金属框上，则该金属框的半径是（    ） A． B． C． D．4 【答案】A 【分析】作的垂直平分线交于点，连接，设的垂直平分线交网格线于点，连接，    根据作图可得是过三点的圆的圆心，网格可得则，得出是等腰直角三角形，进而勾股定理求得，即可求解． 【详解】解：如图所示，作的垂直平分线交于点，连接，设的垂直平分线交网格线于点，连接， 根据作图可得是过三点的圆的圆心， 根据网格可得 ∴ 又∵ ∴是等腰直角三角形， ∵ 小正方形的边长为2， ∴， ∴ 故选：A． 【点睛】本题考查了确定圆的条件，圆周角定理，熟练掌握圆周角定理是解题的关键． 【巩固训练】 1．如图，点都在上，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了三角形内角和定理、圆周角定理、等腰三角形的性质，首先根据圆周角定理可得，根据等腰三角形两底角相等可知． 【详解】解：， ， ， ． 故选： C． 2．已知圆内接四边形中，：：：：则的大小是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了圆内接四边形对角互补的性质，结合已知角度比例求解． 【详解】解：圆内接四边形对角互补， ，． ：：：：，设，，． ， 解得． ． 故选：B． 3．如图，四边形内接于，过点作，交于点．若，则的度数是（    ） A． B． C．120° D． 【答案】D 【分析】本题主要考查圆内接四边形的性质，平行线的性质，熟练掌握圆内接四边形的性质是解题的关键． 根据，得出，再根据圆内接四边形的性质即可得出答案． 【详解】解：， ， 四边形内接于， ． 故选：D． 4．如图，点，，，在上，四边形是菱形，则的度数是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】连接，利用菱形性质得到，结合半径相等推导出、为等边三角形，求出圆心角，再依据圆周角定理求出． 【详解】解：连接， ∵四边形是菱形， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， 同理可得， ∴， ∴． 5．如图，点B，C，D在⊙O上，若∠BCD＝130°，则∠BOD的度数是（　　） A．50° B．60° C．80° D．100° 【答案】D 【分析】首先圆上取一点A，连接AB，AD，根据圆的内接四边形的性质，即可得∠BAD+∠BCD=180°，即可求得∠BAD的度数，再根据圆周角的性质，即可求得答案． 【详解】圆上取一点A，连接AB，AD， ∵点A、B，C，D在⊙O上，∠BCD=130°， ∴∠BAD=50°， ∴∠BOD=100°. 故选D． 【点睛】此题考查了圆周角的性质与圆的内接四边形的性质．此题比较简单，解题的关键是注意数形结合思想的应用，注意辅助线的作法． 6．如图所示，四边形是菱形，经过点A，C，D，与相交于点E，连接，．若，则的度数为_____． 【答案】/12度 【分析】首先根据菱形的性质得到，，然后求出，然后利用圆内接四边形的性质求出，然后结合三角形外角的性质求解即可． 【详解】解：∵四边形是菱形 ∴， ∴ ∵四边形内接于 ∴ ∴ ∴． 7．如图，为的直径，为直径两侧上两点，连接，，过点作于点，若，则的度数为________． 【答案】 【分析】根据直径得出的度数为，根据圆周角定理求出的度数为，的度数为，最后根据圆周角定理进行求解即可． 【详解】解：∵为的直径， ∴的度数为， ∵， ∴， ∵， ∴的度数为， ∴的度数为， ∴． 8．如图，的直径为，弦为，的平分线交于点D， (1)求的度数； (2)求的长； (3)求，的长． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了圆的相关概念，勾股定理，角平分线的性质，熟记“直角所对的圆周角为”是解题关键． （1）直接根据圆周角定理即可求解； （2）根据勾股定理求解即可； （3）根据角平分线得出，再由同一圆内，圆周角和弦的关系确定，利用勾股定理即可求解 【详解】（1）解： 是的直径， ，； （2）， ； （3） 是的平分线， ， ， 在中，，， ， ， ． 9．如图，中，．以为直径作，交边于点D，交的延长线于点E，连接，． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1) 证明：∵为直径， ∴，即， ∵， ∴． (2) 【分析】本题考查了圆周角定理，等腰三角形的判定和性质，勾股定理． （1）根据直径所对的圆周角为直角，得出，结合等腰三角形三线合一，即可求证； （2）根据圆周角定理和等边对等角推出，则，由（1）可得，，最后根据勾股定理，即可解答． 【详解】（1）略 （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 由（1）可得：，， ∵， ∴． 10．如图，AB是⊙O的直径，AC、BC是⊙O的弦，∠ACB的平分线交⊙O于D，连接AD、BD，已知AB＝6，BC＝2． （1）求AC、AD、BD的长； （2）求四边形ACBD的面积． 【答案】（1）3；（2）9+4． 【分析】根据圆周角定理得到∠ACB＝∠ACD＝90°，根据勾股定理求出AC，根据三角形的面积公式计算即可． 【详解】解：（1）∵AB是⊙O的直径， ∴∠ACB＝∠ACD＝90°， 由勾股定理得，AC＝， ∵∠ACB的平分线交⊙O于D， ∴， ∴AD＝BD＝×AB＝3； （2）四边形ACBD的面积＝×AD×BD+×BC×AC＝9+4． 【点睛】本题考查了圆周角定理以及勾股定理. 此题难度适中，注意掌握数形结合的思想的应用. 【强化训练】 1．如图，是的直径，点C为的中点，点D为上的一个动点，连接CD，作，交于点E，连接．若半径为5，且，则的面积为（    ） A．6 B．7．5 C． D．10 【答案】B 【分析】延长交于点F，连接，设，则，，在中，，利用勾股定理计算即可求解． 【详解】解：延长交于点F，连接， ∵，则， ∴是的直径， ∵点C为的中点， ∴， ∴， ∵，设，则，， ∴， 在中，， ，即， ∴， ∴，， ∴ 故选：B． 【点睛】本题考查了圆周角定理，勾股定理，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题． 2．如图，是直径，点C、D将分成相等的三段弧，点P在上．已知点Q在上且，则点Q所在的弧是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据圆周角定理和弧角关系求解． 【详解】解：如图， ∵AB为⊙O的直径，P在上， ∴∠APB=90°， ∵∠APQ=115°，∠APQ=∠APB+∠BPQ， ∴∠BPQ=25°， ∴∠BOQ=2∠BPQ=50°， ∵点C、D将分成相等的三段弧， ∴， ∴∠BOD=， ∵∠BOQ<∠BOD， ∴Q在上， 故选D． 【点睛】本题考查圆的综合应用，熟练掌握圆周角定理、弧角关系及直径所对圆周角大小是解题关键． 3．如图，是的内接三角形，点是弧的中点，已知，，则 ______度． 【答案】100 【分析】本题考查圆周角定理，圆内接四边形，弧，弦，角之间的关系，根据圆周角定理，求出的度数，三角形的内角和定理求出的度数，圆内接四边形的对角互补，求出的度数，等弧对等弦，得到，等边对等角求出的度数，再根据角的和差关系求出的度数即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵是的内接三角形，点是弧的中点， ∴，，， ∴， ∴， ∴； 故答案为：100． 4．如图，中，，，为斜边上一点，作的外接圆，交边于点，若，则的度数为_____． 【答案】 【分析】本题考查了圆周角定理，连接，则，再由圆周角定理即可求得解． 【详解】 如图，， 连接，在中，，则， ∵， ∴， 由圆周角定理得到：． 故答案为：． 5．如图，C是以为直径的半圆O上的一点，且，将沿弦折叠交于点D，E是的中点，连接恰好经过圆心O，若，则的长为______． 【答案】/ 【分析】本题考查了圆周角定理，等腰三角形的判定和性质，勾股定理．连接，，作于点，由折叠的性质得，利用圆周角定理和三角形的外角性质求得得到，再证明是等腰直角三角形，利用勾股定理求解即可． 【详解】解：连接，，作于点， 由折叠的性质得， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∵E是的中点， ∴， ∵为半圆O的直径， ∴， ∴， ∵恰好经过圆心O， ∴，是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 6．如图已知是的直径，是所对的圆周角，． (1)求的度数； (2)过点D作，垂足位E，的延长线交于点F，若，求，的长． 【答案】(1) (2)2， 【分析】（1）连接，利用圆周角定理，三角形内角和定理解答即可； （2）利用垂径定理，三角函数计算即可． 【详解】（1）解：连接， ∵是的直径，是所对的圆周角，． ∴，， ∴． （2）连接， ∵是的直径，是所对的圆周角，． ∴，， ∵， ∴，， ∴， ∵， ∴． 【点睛】本题考查了圆周角定理，垂径定理，三角函数，三角形内角和定理，熟练掌握相关知识是解题的关键． 7．如图，都是的半径，．      (1)求证：； (2)若，求的半径． 【答案】(1) 证明：∵， ∴， ∵， ∴， ， ． (2) 【分析】（1）由圆周角定理得出，，再根据，即可得出结论； （2）过点作半径于点，根据垂径定理得出，证明，得出，在中根据勾股定理得出，在中，根据勾股定理得出，求出即可． 【详解】（1）略 （2）解：过点作半径于点，则， ， ∴， ， ， ， 在中， ， 在中，， ， ，即的半径是．      【点睛】本题主要考查了勾股定理，垂径定理，圆周角定理，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握圆周角定理． 8．如图，在⊙中，是⊙上的一点，，弦，弦平分交于点，连接． （1）求⊙半径的长； （2）求证：． 【答案】（1）⊙的半径为．（2）见解析. 【分析】（1）连接OA、OC，过O作OH⊥AC于点H，由圆内接四边形的性质求得∠AMC，再求得∠AOC，最后解直角三角形得OA便可； （2）在BM上截取BE=BC，连接CE，证明BC=BE，再证明△ACB≌△MCE，得AB=ME，进而得结论． 【详解】解：（1）连接，过作于点，如图1， ， ， ， ， ， ， 故⊙的半径为． （2）证明：在上截取，连接，如图2， ，平分 ， ， 是等边三角形， ， ， ， ， ， 是等边三角形， ， ， ， ， ． 【点睛】本题是圆的一个综合题，主要考查圆的圆内接四边形定理，圆周角定理，垂径定理，角平分线定义，三角形全等的性质与判定，等边三角形的性质与判定，解直角三角形，内容较多，有一定难度，第一题关键在于求∠AOC的度数，第二题的关键在于构造全等三角形． 9．如图，圆内接四边形的对角线，交于点E，平分，． (1)求的大小； (2)过点C作交的延长线于点F．若，，求圆的半径． 【答案】(1) (2)圆的半径为6 【分析】（1）根据同弧所对的圆周角相等得出，结合已知得出，根据角平分线的定义得出，再根据圆内接四边形对角互补得出，于是得到，从而求得的大小； （2）先证得垂直平分，再证为等边三角形，再证，，于是可求出的长，再在中求出的长，问题可解． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∵四边形为圆内接四边形， ∴， ∴°， ∴， ∴， ∴； （2）解：由（1）知， ∴，为直径， ∵， ∴， ∴， ∵为直径， ∴垂直平分， ∴， ∵， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∴， ∵四边形为圆内接四边形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵为直径， ∴， ∵， ∴， 即圆的直径为， 所以圆的半径为6． 【点睛】本题考查了圆内接四边形的性质，圆周角定理，等边三角形的判定与性质，含30°角的直角三角形，平行线的性质，涉及的知识点较多，需熟练掌握． 10．在的外接圆中，的外角平分线交于点D，F为上一点，且 连接，并延长交的延长线于点E．    (1)判断与的数量关系，并说明理由； (2)求证：； 【答案】(1)，理由见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）根据角平分线的定义可得，根据圆内接四边形的性质可得，进而可得，由同圆中圆周角和圆弧的关系可得，进而可得； （2）根据等弧所对的圆周角相等，得到，等弧对等弦，得到，结合，即可得证； （3）连接并延长，交于点N，连接，易证为等边三角形，进而得到，利用含30度角的直角三角形的性质，求出，进而求出，证明，得到，代值求解即可． 【详解】（1）解：，理由如下： 平分， ， ， ， ， ， ； （2） ， ， ， ， 即， ， ， ； 【点睛】本题考查圆周角定理，垂径定理，弧弦之间的关系，解直角三角形，全等三角形的判定，熟练掌握相关知识点，并灵活运用，是解题的关键． / 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