专题24 中心对称及中心对称图形（重难点讲义）数学新教材人教版九年级上册

本讲义聚焦初中数学中心对称及中心对称图形核心知识点，系统梳理中心对称的概念（绕点旋转180°重合）、性质（对称点连线过对称中心且被平分），中心对称图形的定义及性质，以及直角坐标系中关于原点对称的点坐标规律（横纵坐标符号相反），构建从概念到性质再到应用的学习支架。 该资料亮点在于题型多样，包含辨别中心对称图形、利用性质求面积与线段长、坐标计算等典例及变式，辅以巩固和强化训练。通过实例培养学生几何直观与空间观念，推理性质应用提升推理意识，课中助力分层教学，课后帮助学生回顾强化，有效查漏补缺。

专题24 中心对称及中心对称图形 1. 理解中心对称、对称中心的概念，掌握关于中心对称的性质特点； 2.能根据中心对称的性质作出一个图形关于某点成中心对称的对称图形. 3.掌握在直角坐标系中关于原点对称的点的坐标的关系. 4.学生抽象概括的能力.培养观察、分析、探究及合作交流的学习习惯，体验事物的变化之间是有联系的. 重点与难点 重点：中心对称的概念和性质；中心对称图形的有关概念及其运用；关于原点对称的点的坐标的规律. 难点：中心对称性质的推导及理解. 一、中心对称的概念及性质 把一个图形绕着某一点旋转180°，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称，这个点叫做对称中心，(简称中心).这两个图形在旋转后能重合的对应点叫做关于对称中心的对称点. 二、中心对称的性质 中心对称的两个图形，对称点所连线段都经过对称中心，而且被对称中心所平分. 中心对称的两个图形是全等图形. 三、中心对称图形的概念 把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心. 四、中心对称的图形的性质 中心对称图形的性质 中心对称图形上对应点的连线都经过对称中心，且被对称中心平分. 五、关于原点对称的点的坐标 两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，即点P(x，y)关于原点的对称点为P′(-x，-y). 题型01辨别中心对称图形 【典例】社会规则营造良好的社会秩序，我们要了解并遵守社会规则．下列标志是中心对称图形的是（   ） A．   B．   C．   D．   【变式】下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（     ） A． B． C． D． 题型02利用中心对称的性质求面积 【典例】如图，某公园的观赏鱼池是中心对称图形，图中的弧形均为半圆，虚线围成的图形是正方形，已知米，则阴影部分图形的面积和为__________平方米． 【变式】综合探究 (1)如图1，在中，、交于点O，过点O的线段交于E，交于F， ①判断和的数量关系：____________________，并证明． ②______（填“＞”或“＝”或“＜”）． (2)如图2是一块“L”形的材料，请你作一条直线m，使得直线m两边的材料的面积相等（保留作图痕迹，不用证明）． 题型03利用中心对称的性质求线段的长 【典例】如图，和关于点C成中心对称，若，则的长是____________． 【变式】如图，在菱形中，，．菱形的顶点是的中点，顶点在的延长线上．，分别为菱形和菱形的对称中心，过，的直线分别交，于点，，则线段的长为______． 题型04利用中心对称的性质求坐标 【典例】如图，在平面直角坐标系中，点 M是矩形边上的点．若反比例函数的图象经过顶点，其上另一点D 与点A 关于点M成中心对称，则点 D 的坐标为（     ） A． B． C． D． 9．已知三个顶点的坐标分别为，，．将平移，使点的对应点恰好与点关于原点成中心对称，则平移后点的对应点的坐标是（     ） A． B． C． D． 题型05关于原点对称的点的坐标 【典例】如图，在平面直角坐标系中，点，，都在格点上，将关于轴的对称图形绕原点旋转，得到，则点的对应点的坐标是（     ） A． B． C． D． 【变式】已知点与点关于原点对称，则的值为（     ） A． B．1 C． D．9 题型05补全图形使之成为中心对称图形 【典例】31．围棋起源于中国，古代称为“弈”．如图是两位同学的部分对弈图，轮到白方落子．若白方落子后的对奔图是中心对称图形，则白方落子的位置只可能是下列位置中的（    ） A．① B．② C．③ D．④ 【变式】如图，在正方形网格中，阴影部分是5个涂黑的小正方形，若再选取一个白色的小正方形涂黑，使阴影部分变成一个中心对称图形，这样的涂法有（     ） A．1种 B．2种 C．3种 D．4种 题型06 由中心对称的性质判断正误 【典例】两个图形关于某一点成中心对称，有下列说法：①这两个图形一定是可以重合的；②对称点的连线一定经过对称中心；③将一个图形绕对称中心旋转任意角度必定与另一个图形重合；④一定存在某直线，使得两个图形沿该直线折叠后重合．其中，正确的是________（填序号）． 【变式】若两个图形关于某一点成中心对称，那么下列说法．正确的是（    ） ①对称点的连线必过对称中心；②这两个图形一定全等； ③对应线段一定平行（或在一条直线上）且相等； ④将一个图形绕对称中心旋转必定与另一个图形重合． A．①② B．①③ C．①②③ D．①②③④ 题型07 中心对称及中心对称图形的规律性问题 【典例】已知点，，点是线段的中点，则，．在平面直角坐标系中有三个点，，，点关于的对称点为（即，，三点共线，且），关于的对称点为，关于的对称点为，按此规律继续以，，为对称点重复前面的操作，依次得到，，，…，则点的坐标是（   ） A． B． C． D． 【变式】在如图所示的平面直角坐标系中，是边长为的等边三角形，作与关于点成中心对称，再作与关于点成中心对称，…，如此作下去，则的顶点的坐标是 ___________． 题型08 画经过平移、轴对称、中心对称所形成分图形 【典例】如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，（每个方格的边长均为个单位长度）． (1)将平移，使点移动到点，请画出； (2)作出关于点成中心对称的． 【变式】如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点分别为（每个方格的边长均为1个单位长度）． (1)若和关于原点O成中心对称，请画出； (2)将绕点O逆时针旋转得到，请画出； (3)将进行平移得到，若点的坐标为，则点的坐标为________； (4)若以为顶点的四边形是平行四边形，请写出满足条件的所有点D的坐标________． 【巩固训练】 1．下列图形是中心对称图形的是（     ） A． B． C． D． 2．已知点关于原点对称的点在第四象限，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 3．如图所示，与关于点成中心对称，则下列结论成立的是（     ） ①点与点关于点对称；②；③；④ A．②③ B．①②③ C．①③④ D．①②④ 4．如图，与关于点A成中心对称，若，，，则的长为（    ）    A．6 B．4 C．3 D．2 5．如图，在正方形网格中，两个阴影部分的三角形关于点O成中心对称的是（   ） A． B． C． D． 6．若二次函数与的图象关于坐标原点中心对称，则的值为________． 7．如图均为的正方形网格，点A , B , C在格点（小正方形的顶点）上. (1)在图①中确定格点D, 并画出一个以A、B、C、D为顶点的四边形，使其为轴对称图形，但不是中心对称图形； (2)在图②中确定格点E , 并画出一个以A、B、C、E为顶点的四边形，使其为中心对称图形，但不是轴对称图形； (3)在图③中确定格点F,并画出一个以A、B、C、F为顶点的四边形，使其既为轴对称图形，又是中心对称图形； 8．如图．矩形ABCD的顶点B，C在坐标轴上，顶点D的坐标是（3，3），若直线y=mx恰好将矩形分成面积相等的两部分，求m的值． 9．如图，平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为，，． (1)平移到，其中点A的对应点的坐标为，请在图中画出；点的坐标为 ； (2)请画出绕原点旋转180°得到的；点的坐标为___________； (3)若绕某点旋转可以得到，则旋转中心的坐标为___________． 10．阅读理解： 我们知道，任意两点关于它们所连线段的中点成中心对称，在平面直角坐标系中，任意两点，的对称中心的坐标为． 观察应用： (1)如图，在平面直角坐标系中，若点，的对称中心是点，则点的坐标为________； (2)另取两点，．有一电子青蛙从点处开始依次关于点，，作循环对称跳动，即第一次跳到点关于点的对称点处，接着跳到点关于点的对称点处，第三次再跳到点关于点的对称点处，第四次再跳到点关于点的对称点处……求，的坐标； (3)求点的坐标． 【强化训练】 1．如图，正方形ABCD的边长为1，点A与原点重合，点B在y轴的正半轴上，点D在x轴的负半轴上，将正方形ABCD绕点A逆时针旋转30°至正方形AB′C′D′的位置，B′C′与CD相交于点M，则M的坐标为（　　）    A．（1，） B．（﹣1，） C．（1，） D．（﹣1，） 2．在如图所示的平面直角坐标系中，是边长为4的等边三角形，作与关于点成中心对称，再作与关于点成中心对称，如此作下去，则．（是正整数）的顶点的坐标是（    ） A． B． C． D． 3．如图，点是平行四边形的对称中心，是边上的点，，是边上的点，且．若分别表示和的面积，则______． 4．如图，菱形的对角线交于点，将绕着点旋转得到，若，则菱形的边长是_______． 5．如图，四边形是矩形，点的坐标为．若直线把矩形的面积分成相等的两部分，则直线的函数解析式是__________． 6．如图，已知的面积是12，，点D是上的动点，点E是的中点，点F和点D关于点E成中心对称，则的最小值为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 7．如图，在平面直角坐标系中，四边形是边长为2的正方形分别在y轴正半轴与x轴正半轴上，P点坐标为，将P点关于A对称得到，将关于O点对称得到，将关于C点对称得到，将关于B点对称得到，将关于A点对称得到，按照顺序以此类推，则的坐标为________． 8．如图，在ΔABC中，AB=AC,若将ΔABC绕点C顺时针180º得到ΔFEC． （1）试猜想AE与BF有何关系，并说明理由； （2）若ΔABC的面积为3cm2,求四边形ABFE的面积; (3)当∠ACB为多少度时，四边形ABFE为矩形？说明理由．    9．图①、图②均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点．点、均在格点上，只用无刻度的直尺，分别在给定的网格中按下列要求作四边形，使四边形的顶点均在格点上． (1)在图①中作四边形，使它是中心对称图形，但不是轴对称图形且； (2)在图②中作四边形，使它既是中心对称图形，又是轴对称图形且． 10．在平面直角坐标系中，为原点，点，点，把绕点逆时针旋转，得，点，旋转后的对应点为，，记旋转角为． （1）如图①，当点落在边上时，求点的坐标； （2）如图②，当时，求的长及点的坐标． / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题24 中心对称及中心对称图形 1. 理解中心对称、对称中心的概念，掌握关于中心对称的性质特点； 2.能根据中心对称的性质作出一个图形关于某点成中心对称的对称图形. 3.掌握在直角坐标系中关于原点对称的点的坐标的关系. 4.通过学习中心对称图形与中心对称的区别联系，中心对称图形与轴对称图形的区别，进一步发展学生抽象概括的能力.培养观察、分析、探究及合作交流的学习习惯，体验事物的变化之间是有联系的. 重点与难点 重点：中心对称的概念和性质；中心对称图形的有关概念及其运用；关于原点对称的点的坐标的规律. 难点：中心对称性质的推导及理解. 一、中心对称的概念及性质 把一个图形绕着某一点旋转180°，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称，这个点叫做对称中心，(简称中心).这两个图形在旋转后能重合的对应点叫做关于对称中心的对称点. 二、中心对称的性质 中心对称的两个图形，对称点所连线段都经过对称中心，而且被对称中心所平分. 中心对称的两个图形是全等图形. 三、中心对称图形的概念 把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心. 四、中心对称的图形的性质 中心对称图形的性质 中心对称图形上对应点的连线都经过对称中心，且被对称中心平分. 五、关于原点对称的点的坐标 两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反， 即点P(x，y)关于原点的对称点为P′(-x，-y). 题型01辨别中心对称图形 【典例】社会规则营造良好的社会秩序，我们要了解并遵守社会规则．下列标志是中心对称图形的是（   ） A．   B．   C．   D．   【答案】D 【分析】本题考查了中心对称图形的概念，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合． 根据中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解． 【详解】解：A、不是中心对称图形，故本选项错误； B、不是中心对称图形，故本选项错误； C、不是中心对称图形，故本选项错误； D、是中心对称图形，故本选项正确． 故选D． 【变式】下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的性质逐一判断即可． 【详解】A：是轴对称图形，不是中心对称图形，故A不符合； B：既是轴对称图形又是中心对称图形，故B符合； C：不是轴对称图形，是中心对称图形，故C不符合； D：是轴对称图形，不是中心对称图形，故D不符合； 题型02利用中心对称的性质求面积 【典例】如图，某公园的观赏鱼池是中心对称图形，图中的弧形均为半圆，虚线围成的图形是正方形，已知米，则阴影部分图形的面积和为__________平方米． 【答案】 【分析】根据中心对称图形的性质可知阴影部分相当于2个以点O为圆心，长为半径的圆，再列式计算即可． 【详解】解：∵观赏鱼池是中心对称图形，且米， ∴阴影部分相当于2个以点O为圆心，长为半径的圆， ∴阴影部分的面积为（平方米）， ∴阴影部分的面积为平方米． 【变式】综合探究 (1)如图1，在中，、交于点O，过点O的线段交于E，交于F， ①判断和的数量关系：____________________，并证明． ②______（填“＞”或“＝”或“＜”）． (2)如图2是一块“L”形的材料，请你作一条直线m，使得直线m两边的材料的面积相等（保留作图痕迹，不用证明）． 【答案】(1)①，证明如下： ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； ② (2)如图所示： 先找到两个矩形的中心，然后连接中心直线m即为所求 【分析】（1）①通过证明即可判断，的数量关系； ②利用平行四边形和全等三角形的性质得到，，然后利用等式的性质求解； （2）直接利用矩形的性质结合中心对称图形的性质得出答案． 【详解】（1）解：① ②∵在中， 又由①可知 ∴ ∴ 即； （2）略 题型03利用中心对称的性质求线段的长 【典例】如图，和关于点C成中心对称，若，则的长是____________． 【答案】 【分析】根据中心对称的性质可得，进而得到，，，求出的长，在中利用勾股定理即可求解． 【详解】解：和关于点成中心对称， ， ，，， ， 在中，由勾股定理得：． 【变式】如图，在菱形中，，．菱形的顶点是的中点，顶点在的延长线上．，分别为菱形和菱形的对称中心，过，的直线分别交，于点，，则线段的长为______． 【答案】 【分析】连接，设直线交于点，先推导出，平分，，得到是等边三角形，进而推导出，得到，同理可得，求出，得到，根据勾股定理，求出，在中，根据勾股定理，求出，即可求出． 【详解】解：连接，设直线交于点，如图， ∵，分别为菱形和菱形的对称中心， ∴过点，，过点， 四边形，四边形是菱形，是的中点，， ，平分， 点在的延长线上，， ， ． 四边形是菱形， ，， ∴， 是等边三角形 是菱形的对称中心， ， ∴， ∴， ∴， 同理可得， 四边形是菱形，， 平分，， ， ∴， ∴， ， 在中，， ． 题型04利用中心对称的性质求坐标 【典例】如图，在平面直角坐标系中，点 M是矩形边上的点．若反比例函数的图象经过顶点，其上另一点D 与点A 关于点M成中心对称，则点 D 的坐标为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据点坐标求出反比例函数解析式，再根据矩形性质确定点坐标及点的纵坐标，利用中心对称性质求出点的纵坐标，最后代入函数解析式求出横坐标． 【详解】解：反比例函数的图象经过点， ，即， 四边形是矩形，， ，且平行于轴， 故上点的纵坐标均为， 点在边上， 点的纵坐标为， 点与点关于点成中心对称， 点是线段的中点， 设，则， 解得， 点在反比例函数图象上， ， 解得， 点的坐标为． 9．已知三个顶点的坐标分别为，，．将平移，使点的对应点恰好与点关于原点成中心对称，则平移后点的对应点的坐标是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据中心对称性质求出坐标，再确定平移方式，然后利用平移方式求解即可． 【详解】解：∵点的对应点恰好与点关于原点成中心对称， ∴点 的坐标为， ∵ 点 平移后的对应点为 ， ∴ 平移方式为向右平移5个单位长度，向下平移2个单位长度， ∵ 点 B的坐标为 ， ∴点 的坐标为 ，即 ． 题型05关于原点对称的点的坐标 【典例】如图，在平面直角坐标系中，点，，都在格点上，将关于轴的对称图形绕原点旋转，得到，则点的对应点的坐标是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据图中的位置求出点A的坐标，再求出点A关于x轴的对称点的坐标，然后根据绕原点O旋转即可求解点的坐标． 【详解】解：在平面直角坐标系中，点， ∴点A关于x轴的对称的点， 将点绕原点O旋转， ∴点． 【变式】已知点与点关于原点对称，则的值为（     ） A． B．1 C． D．9 【答案】D 【分析】利用关于原点对称的点的坐标性质，先求出和的值，再计算即可得到结果． 【详解】解：∵点与点关于原点对称， ∴，， ∴． 题型05补全图形使之成为中心对称图形 【典例】31．围棋起源于中国，古代称为“弈”．如图是两位同学的部分对弈图，轮到白方落子．若白方落子后的对奔图是中心对称图形，则白方落子的位置只可能是下列位置中的（    ） A．① B．② C．③ D．④ 【答案】A 【分析】本题主要考查了中心对称图形的定义．根据把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心，进而得出答案． 【详解】解：由图可知，当放入白子的位置在点①处时，是中心对称图形． 故选：A． 【变式】如图，在正方形网格中，阴影部分是5个涂黑的小正方形，若再选取一个白色的小正方形涂黑，使阴影部分变成一个中心对称图形，这样的涂法有（     ） A．1种 B．2种 C．3种 D．4种 【答案】B 【分析】先找到网格的对称中心，也就是第2行第2列、第2行第3列、第3行第2列、第3行第3列这四个小正方形的公共顶点；再找原阴影中列的中点作为旋转中心．依次将每个白色小正方形作为涂黑候选，将涂黑后的整体图形绕对称中心旋转，判断旋转后的图形是否和原图形完全重合，统计符合条件的候选数量． 【详解】解：如图，再选取一个白色的小正方形涂黑，使阴影部分变成一个中心对称图形，可选取小正方形①或选取小正方形②，这样的涂法共2种． 题型06 由中心对称的性质判断正误 【典例】两个图形关于某一点成中心对称，有下列说法：①这两个图形一定是可以重合的；②对称点的连线一定经过对称中心；③将一个图形绕对称中心旋转任意角度必定与另一个图形重合；④一定存在某直线，使得两个图形沿该直线折叠后重合．其中，正确的是________（填序号）． 【答案】①② 【分析】本题考查了中心对称和轴对称的有关应用，注意：（1）如果把一个图形绕着某一点旋转180度后能与另一个图形重合，那么我们就说，这两个图形成中心对称．（2）中心对称的性质：①关于中心对称的两个图形是全等形，②关于中心对称的两个图形，对称点连线都经过对称中心，并且被对称中心平分，③关于中心对称的两个图形，对应线段平行（或者在同一直线上）且相等．根据中心对称的定义和性质判断即可． 【详解】解：若两个图形关于某点成中心对称， 则①这两个图形一定是可以重合的，此结论正确； ②对称点的连线一定经过对称中心，此结论正确； ③将一个图形绕对称中心旋转必定与另一个图形重合；此结论错误； ④可能存在某条直线，沿该直线折叠后的两个图形能互相重合，此结论错误； 故答案为：①②． 【变式】若两个图形关于某一点成中心对称，那么下列说法．正确的是（    ） ①对称点的连线必过对称中心； ②这两个图形一定全等； ③对应线段一定平行（或在一条直线上）且相等； ④将一个图形绕对称中心旋转必定与另一个图形重合． A．①② B．①③ C．①②③ D．①②③④ 【答案】D 【分析】根据（1）中心对称的定义：把一个图形绕着某个点旋转180°，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称，这个点叫做对称中心，这两个图形中的对应点叫做关于中心的对称点．（2）中心对称的性质①关于中心对称的两个图形能够完全重合；②关于中心对称的两个图形，对应点的连线都经过对称中心，并且被对称中心平分，判断各选项即可得出答案． 【详解】解：根据题意得：①对称点的连线必过对称中心，正确； ②中心对称的两个图形一定全等，正确； ③对应线段一定平行（或在一条直线上）且相等，正确； ④将一个图形绕对称中心旋转必定与另一个图形重合，正确； ①②③④均符合题意． 故选：D． 【点睛】本题考查中心对称的定义及性质，属于基础题，要在熟练掌握的基础上理解定义的内容及性质． 题型07 中心对称及中心对称图形的规律性问题 【典例】已知点，，点是线段的中点，则，．在平面直角坐标系中有三个点，，，点关于的对称点为（即，，三点共线，且），关于的对称点为，关于的对称点为，按此规律继续以，，为对称点重复前面的操作，依次得到，，，…，则点的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先求出前若干个对称点的坐标，总结循环周期，再根据计算结果确定的对应坐标． 【详解】解：设 ∵点关于点的对称点为，是的中点 ∴ ， ． 解得，， 即． 同理可得 ，，，，， ∴点的坐标每次循环一次． ∵ ，余数为， ∴ 的坐标与坐标相同，为． 故选：B． 【变式】在如图所示的平面直角坐标系中，是边长为的等边三角形，作与关于点成中心对称，再作与关于点成中心对称，…，如此作下去，则的顶点的坐标是 ___________． 【答案】 【分析】此题主要考查了坐标与图形变化--旋转问题，解题的关键是推出点的横坐标、纵坐标规律．首先根据是边长为的等边三角形，可得的坐标为，的坐标为；然后根据中心对称的性质，分别求出点、、的坐标各是多少；最后总结出的坐标的规律，即可求出的坐标． 【详解】解： 是边长为的等边三角形， 的坐标为，的坐标为， 与关于点成中心对称， 点与点关于点成中心对称， ，， 点的坐标是， 与关于点成中心对称， 点与点关于点成中心对称， ，， 点的坐标是， 与关于点成中心对称， 点与点关于点成中心对称， ，， 点的坐标是， …， ，，，，…， 的横坐标是，当为奇数时，的纵坐标是，当为偶数时，的纵坐标是， 的顶点的坐标是， 故答案为 题型08 画经过平移、轴对称、中心对称所形成分图形 【典例】如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，（每个方格的边长均为个单位长度）． (1)将平移，使点移动到点，请画出； (2)作出关于点成中心对称的． 【答案】(1)如图，即为所求； (2)如图，即为所求． 【分析】（1）由点移动到点找出平移坐标变化规律，按此规律得出、坐标，在平面直角坐标系中描点顺次连线即可得到； （2）根据关于原点对称的点的坐标变化规律求出点、、坐标，在平面直角坐标系中描点顺次连线即可得到． 【详解】（1）解：∵点移动到点，横坐标，纵坐标， ∴点的对应点， 点的对应点， 在平面直角坐标系中描点顺次连线，即为所求,如图略； （2）解：∵点关于原点对称的点为， ∴点关于原点对称的点为； 点关于原点对称的点为； 点关于原点对称的点为； 在平面直角坐标系中描点顺次连线，即为所求，如图略． 【变式】如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点分别为（每个方格的边长均为1个单位长度）． (1)若和关于原点O成中心对称，请画出； (2)将绕点O逆时针旋转得到，请画出； (3)将进行平移得到，若点的坐标为，则点的坐标为________； (4)若以为顶点的四边形是平行四边形，请写出满足条件的所有点D的坐标________． 【答案】(1)如图，即为所求 (2)如图，即为所求 (3) (4)或或 【分析】（1）关于原点对称的点的横纵坐标都互为相反数，则可得点的坐标，据此作图即可； （2）根据旋转的特点作图即可； （3）根据点A和点的坐标可得平移方式，再根据平移方式可得点的坐标； （4）设出点D的坐标，分三种情况：为对角线、为对角线和为对角线，根据平行四边形的两条对角线的中点坐标相同讨论求解即可． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：∵将进行平移得到，，点的坐标为， ∴平移方式为向右平移个单位长度，向下平移个单位长度， ∵， ∴点的坐标为，即； （4）解：设点D的坐标为， 当为对角线时，∵平行四边形的两条对角线的中点坐标相同， ∴， ∴， ∴点D的坐标为； 当为对角线时，∵平行四边形的两条对角线的中点坐标相同， ∴， ∴， ∴点D的坐标为； 当为对角线时，∵平行四边形的两条对角线的中点坐标相同， ∴， ∴， ∴点D的坐标为； 综上所述，点D的坐标为或或． 【巩固训练】 1．下列图形是中心对称图形的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】在同一平面内，如果把一个图形绕某一点旋转180度，旋转后的图形能和原图形完全重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．这个旋转点，就叫做对称中心． 【详解】解：选项A、B、C均不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180度后和原图形完全重合，所以不是中心对称图形， 选项D能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180度后和原图形完全重合，所以是中心对称图形， 故选：D． 2．已知点关于原点对称的点在第四象限，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据原点对称点的坐标特征，结合第四象限点的坐标特征列不等式求解，即可得到a的取值范围． 【详解】解：∵点关于原点对称的点在第四象限， ∴点在第二象限，第二象限内的点满足横坐标小于，纵坐标大于， ∵点的纵坐标为，已经满足要求， ∴只需满足横坐标小于，即 ， 解得． 3．如图所示，与关于点成中心对称，则下列结论成立的是（     ） ①点与点关于点对称；②；③；④ A．②③ B．①②③ C．①③④ D．①②④ 【答案】B 【分析】根据中心对称的性质求解即可． 【详解】解：∵与关于点成中心对称， ∴点与点关于点对称，，，，， ∴，， ∴， ∴， ∴符合题意的有①②③． 4．如图，与关于点A成中心对称，若，，，则的长为（    ）    A．6 B．4 C．3 D．2 【答案】C 【分析】本题主要考查了中心对称的性质、全等三角形的性质、勾股定理等知识点，掌握中心对称的两个三角形是全等三角形成为解题的关键． 由中心对称的性质可得得到，即，然后运用勾股定理求得的长即可． 【详解】解：∵与关于点A成中心对称， ∴， ∴，即， ∵， ∴． 故选C． 5．如图，在正方形网格中，两个阴影部分的三角形关于点O成中心对称的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了中心对称，根据中心对称的定义逐项分析即可得解，熟练掌握中心对称的定义是解此题的关键． 【详解】解：A、绕点旋转后，能够与原图形重合，故成中心对称，符合题意； B、绕点旋转后，不能够与原图形重合，故不成中心对称，不符合题意； C、绕点旋转后，不能够与原图形重合，故不成中心对称，不符合题意； D、绕点旋转后，不能够与原图形重合，故不成中心对称，不符合题意； 故选：A． 6．若二次函数与的图象关于坐标原点中心对称，则的值为________． 【答案】 【分析】根据中心对称的性质，关于原点中心对称的两个点，横纵坐标都互为相反数，先求出原二次函数的顶点坐标，得到对称后二次函数的顶点坐标，结合的顶点式即可求出的值，进而计算． 【详解】解：先对配方得， 因此的顶点坐标为. 因为两个函数图象关于原点中心对称， 所以的顶点坐标为， 又因为的顶点坐标为， 因此可得，， 所以． 7．如图均为的正方形网格，点A , B , C在格点（小正方形的顶点）上. (1)在图①中确定格点D, 并画出一个以A、B、C、D为顶点的四边形，使其为轴对称图形，但不是中心对称图形； (2)在图②中确定格点E , 并画出一个以A、B、C、E为顶点的四边形，使其为中心对称图形，但不是轴对称图形； (3)在图③中确定格点F,并画出一个以A、B、C、F为顶点的四边形，使其既为轴对称图形，又是中心对称图形； 【答案】(1) 解：如图所示即为所求： (2) 解：如图所示即为所求： (3) 解：如图所示即为所求： 【分析】此题主要考查了利用旋转设计图案以及利用轴对称设计图案，正确把握中心对称和轴对称图形的定义是解题关键．如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形．把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心． （1）根据轴对称图形的定义画出一个等腰梯形即可； （2）根据中心对称图形的定义画出一个平行四边形即可； （3）根据轴对称及中心对称图形的定义画出一个长方形即可． 【详解】（1）略 （2）略 （3）略 8．如图．矩形ABCD的顶点B，C在坐标轴上，顶点D的坐标是（3，3），若直线y=mx恰好将矩形分成面积相等的两部分，求m的值． 【答案】 【详解】分析：经过矩形对角线交点的直线把矩形分成面积相等的两个部分．所以先求对角线交点坐标，然后求解． 本题解析：∵直线y=mx恰好将矩形分成面积相等的两部分， ∴直线y=mx经过矩形的对角线交点（1，）， 把点（1，）代入可得m=．                     9．如图，平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为，，． (1)平移到，其中点A的对应点的坐标为，请在图中画出；点的坐标为___________； (2)请画出绕原点旋转180°得到的；点的坐标为___________； (3)若绕某点旋转可以得到，则旋转中心的坐标为___________． 【答案】(1) 如图，即为所求， (2) 如图，即为所求． (3)如图， (2，0) 【详解】（1）解：由图可得，点的坐标为． 故答案为：； （2）解：由图可得，点的坐标为． 故答案为：； （3）解：连接相交于点，则绕点旋转可以得到， ∴旋转中心的坐标为． 故答案为：． 10．阅读理解： 我们知道，任意两点关于它们所连线段的中点成中心对称，在平面直角坐标系中，任意两点，的对称中心的坐标为． 观察应用： (1)如图，在平面直角坐标系中，若点，的对称中心是点，则点的坐标为________； (2)另取两点，．有一电子青蛙从点处开始依次关于点，，作循环对称跳动，即第一次跳到点关于点的对称点处，接着跳到点关于点的对称点处，第三次再跳到点关于点的对称点处，第四次再跳到点关于点的对称点处……求，的坐标； (3)求点的坐标． 【答案】(1) (2)， (3) 【分析】本题考查点的坐标规律的探索，找到规律是解题的关键． （1 ）根据对称中心的坐标公式代入计算即可； （2 ）利用中心对称的性质依次计算出，然后找到规律，利用规律即可解题； （3）利用（2）中规律即可解答． 【详解】（1）解：∵点，， ∴的坐标为，即； （2）解：由题意可知：，， ∵点，关于点对称， ∴， ∵点，关于点对称， ∴， ∵点，关于点对称， ∴， ∵点，关于点对称， ∴， ∵点，关于点对称， ∴， ……； ∴六次一个循环， ∵， ∴； （3）解：由（2）知六次一个循环， ∵， ∴． 【强化训练】 1．如图，正方形ABCD的边长为1，点A与原点重合，点B在y轴的正半轴上，点D在x轴的负半轴上，将正方形ABCD绕点A逆时针旋转30°至正方形AB′C′D′的位置，B′C′与CD相交于点M，则M的坐标为（　　）    A．（1，） B．（﹣1，） C．（1，） D．（﹣1，） 【答案】B 【分析】连接AM，易得∠B′AD＝60°，利用HL判定Rt△ADM≌Rt△AB′M，进而得到∠DAM＝30°，再根据DM＝AD·tan∠DAM求出DM，即可得到M的坐标. 【详解】解：如图，连接AM，    ∵将边长为1的正方形ABCD绕点A逆时针旋转30°得到正方形AB'C′D′， ∴AD＝AB′＝1，∠BAB′＝30°， ∴∠B′AD＝60°， 在Rt△ADM和Rt△AB′M中， ∴Rt△ADM≌Rt△AB′M（HL）， ∴∠DAM＝∠B′AM＝∠B′AD＝30°， ∴DM＝AD·tan∠DAM＝1×＝， ∴点M的坐标为（﹣1，）， 故选：B． 【点睛】本题主要考查旋转的性质、正方形的性质，全等三角形的判定与性质以及三角函数的应用，解题的关键是利用旋转角度和全等三角形求出∠DAM=30°. 2．在如图所示的平面直角坐标系中，是边长为4的等边三角形，作与关于点成中心对称，再作与关于点成中心对称，如此作下去，则．（是正整数）的顶点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用中心对称的性质得到A1、A3、A5、 、 在第一象限，它们的纵坐标为边长为4的等边三角形的高，由于点A1的横坐标为2，点A2的横坐标为4+2，点A3的横坐标为4×2+2，，利用此规律得到点的横坐标，即可求解． 【详解】解：根据题意，A1、A3、A5、 、 在第一象限，它们的纵坐标为边长为4的等边三角形的高，即它们的纵坐标为． ∵点A1的横坐标为2， 点A2的横坐标为4+2， 点A3的横坐标为4×2+2， 点A4的横坐标为4×3+2， ∴的横坐标为， 即， 即点的坐标是． 故选：A． 【点睛】本题考查了中心对称：把一个图形绕着某个点旋转180°，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称，这个点叫做对称中心，这两个图形中的对应点叫做关于中心的对称点．也考查了等边三角形的性质． 3．如图，点是平行四边形的对称中心，是边上的点，，是边上的点，且．若分别表示和的面积，则______． 【答案】/ 【分析】本题考查了平行四边形的性质，连接，根据点是平行四边形的对称中心得到点是线段的中点，且，再由，进而可求解，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键． 【详解】解：如图，连接， 点是平行四边形的对称中心， 点是线段的中点，且， 令 ， ，， ， 故答案为：． 4．如图，菱形的对角线交于点，将绕着点旋转得到，若，则菱形的边长是_______． 【答案】 【分析】根据菱形的性质,旋转的性质,得到AO=OC=C=2, BO⊥OC, ⊥C,根据,利用勾股定理计算,再次利用勾股定理计算即可． 【详解】∵四边形ABCD是菱形，且绕着点旋转得到，AC=4, ∴AO=OC=C=2, BO⊥OC, ∴⊥C, ∵, ∴=8， ∴ =． 故答案为：． 【点睛】本题考查了菱形的性质，旋转的性质，勾股定理，熟练掌握菱形的基本性质，灵活运用勾股定理是解题的关键． 5．如图，四边形是矩形，点的坐标为．若直线把矩形的面积分成相等的两部分，则直线的函数解析式是__________． 【答案】 【分析】矩形是中心对称图形，因为过中心对称图形对称中心的直线会将图形分成面积相等的两部分，所以该直线必过矩形的对称中心．利用矩形对角线互相平分且相等的性质，根据B点坐标计算矩形对角线交点即对称中心的坐标．将对称中心的坐标代入直线解析式，求解得到参数的值，即可得到直线的函数解析式． 【详解】解：∵原点，顶点， ∴的中点坐标为． ∵矩形是中心对称图形，过矩形对称中心（对角线交点）的直线可以把矩形面积分成相等的两部分， ∴ 直线过对称中心． 将坐标代入解析式： ， 解得． ∴直线的函数解析式为． 6．如图，已知的面积是12，，点D是上的动点，点E是的中点，点F和点D关于点E成中心对称，则的最小值为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】连接、、，由中心对称的定义得出，且点、、在同一直线上，从而可得四边形为平行四边形，由平行四边形的性质可得，最后由垂线段最短并结合三角形的面积公式计算即可得出结果． 【详解】解：如图，连接、、， ∵点E是的中点， ∴， ∵点F和点D关于点E成中心对称， ∴，且点、、在同一直线上， ∴四边形为平行四边形， ∴， ∵的面积是12，，点D是上的动点， ∴由垂线段最短可得，当时，的长度最小，且此时， ∴， ∴的最小值为 【点睛】中心对称是指把一个图形绕着某一点旋转，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称． 7．如图，在平面直角坐标系中，四边形是边长为2的正方形分别在y轴正半轴与x轴正半轴上，P点坐标为，将P点关于A对称得到，将关于O点对称得到，将关于C点对称得到，将关于B点对称得到，将关于A点对称得到，按照顺序以此类推，则的坐标为________． 【答案】 【分析】本题考查了点的坐标变化规律，中心对称．根据题意，探究规律，得出四次一个循环，利用规律求解即可． 【详解】解：如图，由题意， ∴与P重合，四次一个循环， ∵， ∴与重合， ∴． 故答案为：． 8．如图，在ΔABC中，AB=AC,若将ΔABC绕点C顺时针180º得到ΔFEC．    （1）试猜想AE与BF有何关系，并说明理由； （2）若ΔABC的面积为3cm2,求四边形ABFE的面积; (3)当∠ACB为多少度时，四边形ABFE为矩形？说明理由． 【答案】（1）AE=BF且AE∥BF  （2）12CM² （3）∠ACB=60o 【分析】（1）根据AB=AC，△FEC是由△ABC绕点C顺时针旋转180°产生的，可得到四边形ABFE是平行四边形，既而可得AE∥BF且AE=BF； （2）由于等底同高的两个三角形面积相等，可得图中四个三角形的面积相等，所以S四边形ABFE=4×S△ABC，可得答案； （3）当∠ACB=60°时，AB=AC=BC，可得AF=BE，即四边形ABFE是矩形． 【详解】解：（1）AE∥BF，AE=BF． 理由如下：∵△ABC绕点C顺时针旋转180°得到△FEC， ∴△ABC≌△FEC， ∴AB=FE，∠ABC=∠FEC， ∴AB∥FE， ∴四边形ABFE为平行四边形， ∴AE∥BF，AE=BF；             （2）∵BC=CE， ∴ S△ABC=S△ACE； ∵AC=CF， ∴S△ABC=S△FBC，S△ACE=S△FCE； ∴ S四边形ABFE=4×S△ABC=12cm2；    （3）当∠ACB=60°时，四边形ABFE是矩形．理由如下： ∵∠ACB=60°时，AB=AC， ∴AB=AC=BC， 又∵AC=CF，BC=CE， ∴AF=BE， ∴平行四边形ABFE是矩形． 【点睛】本题主要考查了矩形的判定，全等三角形的性质和中心对称图形的性质．解题的关键是利用中心对称图形的性质得到相等的线段和全等的图形． 9．图①、图②均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点．点、均在格点上，只用无刻度的直尺，分别在给定的网格中按下列要求作四边形，使四边形的顶点均在格点上． (1)在图①中作四边形，使它是中心对称图形，但不是轴对称图形且； (2)在图②中作四边形，使它既是中心对称图形，又是轴对称图形且． 【答案】(1) 四边形即为所求； (2) 四边形即为所求． 【分析】（1）根据题意，画底为2，高为3的平行四边形即可； （2）根据题意，画边长为的正方形即可． 【详解】（1）略． （2）略． 10．在平面直角坐标系中，为原点，点，点，把绕点逆时针旋转，得，点，旋转后的对应点为，，记旋转角为． （1）如图①，当点落在边上时，求点的坐标； （2）如图②，当时，求的长及点的坐标． 【答案】（1），（2）的长为， 【详解】（1）点， 是等腰直角三角形 当点落在边上时， 过点作于点 （2）如图，连接，过作轴于点，轴于点， ， 是等边三角形， ， ，， ， ， 四边形是矩形， ， 四边形是正方形， 设，则 在中 即 解得（舍） 的长为， 【点睛】本题考查了旋转变换，坐标与图形，勾股定理，解一元二次方程，三角形全等的性质与判定，正方形的性质与判定，等边三角形的性质与判定，掌握以上知识是解题的关键． / 学科网（北京）股份有限公司 $