专题25 第28章旋转全章重点题型集中训练（重难点讲义）数学新教材人教版九年级上册

本初中数学讲义聚焦图形旋转与中心对称核心知识点，系统梳理旋转的特征（对应点旋转角相等、距离相等，图形大小形状不变）、中心对称的定义及性质（对称中心平分对应点连线），并构建与平移、轴对称的联系区别，通过求角度、线段、面积、坐标系变换及探究问题的题型设计搭建学习支架。 该资料以“题型+典例+变式”分层设计，涵盖8类重点题型，如利用旋转性质求角度（典例含三角形旋转求角度）、探究性问题（如等边三角形旋转中线段关系探究），培养几何直观与推理能力。课中辅助教师突破重难点，课后通过巩固强化训练帮助学生查漏补缺，提升运用数学语言解决实际问题的能力。

专题25 第28章旋转全章重点题型集中训练 素养目标 1.掌握图形旋转、中心对称的基本性质及应用和两个点关于原点对称时坐标之间的关系. 2.理解平移、轴对称、旋转的联系和区别、旋转和中心对称的联系和区别； 3.运用图形旋转、中心对称的基本性质解一些简单问题. 重点与难点 重点：图形旋转、中心对称的基本性质及两个点关于原点对称时它们坐标之间的关系. 难点：运用图形旋转、中心对称的基本性质解一些生活问题. 一、旋转的特征 1.旋转过程中，图形上每一点都绕旋转中心按同一旋转方向旋转同样大小的角度. 2.任意一对对应点与旋转中心的连线所成的角都是旋转角，对应点到旋转中心的距离都相等. 3.旋转前后对应线段、对应角分别相等，图形的大小、形状不变. 二、中心对称 1.中心对称 把一个图形绕着某一点旋转180°，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称，这个点叫做对称中心，(简称中心).这两个图形在旋转后能重合的对应点叫做关于对称中心的对称点. 2.中心对称的特征 在成中心对称的两个图形中，对应点所连线段都经过对称中心，并且被对称中心平分. 3.中心对称图形 把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心. 题型01利用旋转的性质求角的度数 【典例】如图，中，，，P为三角形内一点． ，则的度数是______． 【答案】或度 【分析】本题考查了旋转性质以及勾股定理，勾股逆定理等知识内容，先把三角形绕点顺时针旋转，点C的对应点为点E，连接，根据勾股定理得，根据勾股逆定理判断，是直角三角形，即可作答． 【详解】解：∵，， 故把三角形绕点顺时针旋转，点C的对应点为点E，连接，如图所示： 由旋转性质得 则， ∴， ∵， ∴， 故， 即， 故答案为：． 【变式】如图，两个全等的含角的直角三角板，将绕点逆时针旋转角（）得到，若交于点，连接，当________时，为等腰三角形． 【答案】或 【分析】本题考查了旋转的性质，三角形内角和，等边对等角，解题的关键是表示出各个内角，再分三种情况，根据等边对等角列方程求解． 【详解】解：由旋转可知：， ∴， ∴， 而， 当时， ，即，无解； 当时， ，即， 解得：； 当时， ，即， 解得：； 综上：当或时，为等腰三角形． 故答案为：或． 题型02利用旋转的性质求线段的长度 【典例】如图，在中，，，，将绕点逆时针旋转，得到，连接!则的长是________．    【答案】 【分析】连接，过作交的延长线点，则，利用勾股定理求出，即得到，解题即可． 【详解】∵绕点逆时针旋转得到， ∴， 连接,则为等边三角形，    ∴° ∵， ∴， ∴过作交的延长线点， ∴          ∴在中， ， ∴，     ∴, ∴在中， ， 故答案为:． 【点睛】本题考查勾股定理，旋转的性质，等边三角形的判定和性质，构造直角三角形利用勾股定理计算是解题的关键． 【变式】3．如图，已知在中，，，点、点在边上，且，若，则______．    【答案】8 【分析】首先根据题意可得，，，将绕点逆时针旋转至，点的对应点为点，连接，易知，再证明 ，由全等三角形的性质可得，设，则，在中，由勾股定理可得，代入数值并解得的值，然后计算的值即可． 【详解】解：∵，， ∴，， ∵， ∴， 如下图，将绕点逆时针旋转至，点的对应点为点，连接，    则， ∴，，，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 设，则， ∴在中，可有， 即，解得， ∴， ∴． 故答案为：8． 【点睛】本题主要考查了旋转的性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质、勾股定理等知识，正确作出辅助线，综合运用相关知识是解题关键． 题型03利用旋转的性质求面积 【典例】如图，在中，为的中点，将绕点顺时针旋转得到、分别在边和的延长线上，连接，若，则的面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了旋转的性质．含角的直角三角形的性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理，连接，根据等腰三角形的性质得到，，，根据旋转的性质得到，，求得是等边三角形，，得到，，根据勾股定理和三角形的面积公式即可得到结论． 【详解】解：连接， ∵为的中点， ∴， ∵将绕点O顺时针旋转得到， ∴， ∴是等边三角形，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴垂直平分， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴的面积， 故选：B． 【变式】如图，绕点顺时针旋转得到，若是等边三角形，，则图中阴影部分得面积等于______． 【答案】 【分析】先利用旋转的性质得到，再解直角三角形可计算出、、、，然后利用图中阴影部分的面积进行计算． 【详解】解：如图所示： 是等边三角形，， ，， 绕点顺时针旋转得到， ， 在中，，，则，即； 同理，可得； ，由勾股定理可得， ， ， 在中，，则，从而得到，由勾股定理可得， 图中阴影部分的面积 ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等，勾股定理，含的直角三角形性质，等边三角形性质等知识，熟练掌握旋转性质，数形结合是解决问题的关键． 题型04平面直角坐标系中的旋转变换 【典例】如图，在平面直角坐标系中，已知的三个顶点坐标分别为，，． (1)先向下平移2个单位，再向左平移5个单位得到（点、、分别与点A、B、C对应），请在图中画出； (2)将绕点B顺时针旋转得到（点、分别与点A、C对应），请在图中画出，并写出点的坐标． 【答案】(1) 就是所求的三角形，如图： (2)如图就是所求的三角形，． 【分析】（1）先找到点A、B、C平移后的对应点、、，依次连接即可； （2）线段绕点顺时针旋转得到，线段绕点顺时针旋转得到，依次连接，，即可． 本题考查了坐标与图形变换-平移和旋转，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】（1）解：点，，向下平移2个单位，再向左平移5个单位得，，，即，，，依次连接，，； （2）解：线段绕点顺时针旋转得到，线段绕点顺时针旋转得到，依次连接； 由图可知，点的坐标为：． 【变式】正方形网格中（网格中的每个小正方形边长是1），的顶点均在格点上，请在所给的直角坐标系中解答下列问题： (1)作出绕点A逆时针旋转的． (2)作出关于原点O成中心对称的． (3)在x轴上找一点P使得最小，则P点坐标 (4)请直接写出以为顶点的平行四边形的第四个顶点D的坐标 ． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) (4)或或 【分析】本题主要考查作图----旋转变换，一次函数的图象与性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识 （1）作出的对应点即可； （2）作出的对应点即可； （3）作点C关于x轴在对称点，连接交x轴于点P，求出直线的解析式，求出与的交点坐标即可； （4）画出点D的位置，写出坐标即可 【详解】（1）解：如图，即为所作 （2）解：即为所作 （3）解：作点C关于x轴在对称点，连接交x轴于点P，如图， 设直线的解析式为， 把代入得， ， 解得，， 所以，直线的解析式为， 令，得， ∴， 故答案为：； （4）解：如图， 由图得，第四个顶点D的坐标为或或， 故答案为：或或 题型05与旋转有关的探究性问题 【典例】综合与实践： 如图1，已知点D是等边三角形边上的一点（不与点B，C重合）． 动手操作： 第一步：连接，以A为旋转中心，将线段顺时针旋转，得到线段，连接； 第二步：以D为旋转中心，将线段逆时针旋转，得到线段，连接，交于点M． 特例探究： （1）如图2，当点D为中点时，点F恰好在上，请写出线段与的数量关系，并说明理由； 探索发现： （2）如图1，当点D不是中点时，请判断（1）中的结论是否成立？若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由； （3）当，时，请直接写出的长． 【答案】（1）解：，理由如下： ∵是等边三角形，点D是的中点， ∴，． ∴． 由操作可知：，，，， ∴是等边三角形． ∵． ∴． ∴． ∴； （2）仍然成立．理由如下： 连接，，如图所示， ∵和是等边三角形， ∴，，， ∴． ∴． ∴． ∴，． ∴． ∴． ∴． ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴； （3） 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质，勾股定理，旋转的性质，全等三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握相关性质定理，正确画出辅助线，构造全等三角形． （1）根据等边三角形的性质，结合旋转的性质证是等边三角形，再证即可； （2）连接，，根据证明，再证四边形是平行四边形即可得； （3）作于G，根据勾股定理计算和的长，再根据等边三角形的性质求解即可． 【详解】解：（1）略 （2）略 （3）． 作于G，如图所示， ∵是等边三角形，， ∴． ∴． ∴． ∴． 【变式】在“综合与实践”课上，同学们以“图形的旋转”为主题开展数学活动．    (1)探究发现 如图，在等边内部有一点，连接，将线段绕点逆时针旋转，得到线段，连接，若，则的度数是 ． (2)类比延伸 如图，在中，，．在内部有一点，连接，若，试判断之间的数量关系，并说明理由． (3)迁移应用 如图，在中，，．在直线的上方有一点，连接，若∠，则存在实数使得成立，请直接写出的值． 【答案】(1)； (2) 解：，理由如下： 如图中，将绕点逆时针旋转得到，连接，    由旋转性质可知：，，， ∴，， ∵， ∴， ， ∴， ∴； (3)． 【分析】（）由旋转的性质可得是等边三角形，由勾股定理的逆定理判定可得，再利用角的和差关系即可求解； （）将绕点顺时针旋转得到，连接，得等腰直角，进而得，再由勾股定理即可得出结论； （）将绕点顺时针旋转得到，连接，过点作，垂足为，得等腰，，进而可得，用勾股定理即可得出，再在等腰中求出即可得出结论． 【详解】（1）解：由旋转性质可知：，，， ∴是等边三角形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：； （2）略 （3）解：如图中，将绕点顺时针旋转得到，连接，过点作，垂足为，    由旋转性质可知：，，，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了旋转的性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理及其逆定理，等腰直角三角形的性质，直角三角形的性质，正确作出辅助线是解题的关键． 题型06识别中心对称图形 【典例】下列几种著名的数学曲线分别是“笛卡尔爱心曲线”“费马螺线”“卡西尼卵形线”“蝴蝶曲线”，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（    ） A．  B．   C．   D．   【答案】C 【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的定义进行逐一判断即可：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心，据此进行判断即可． 【详解】解：A、不是中心对称图形，故此选项不符合题意； B、不是轴对称图形，故此选项不符合题意； C、既是轴对称图形又是中心对称图形，故此选项符合题意； D、不是中心对称图形，故此选项不符合题意； 故选C． 【变式】等边三角形、矩形、菱形、正方形、等腰梯形这五个图形中，既是轴对称又是中心对称的图形有（    ）个. A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【详解】两者都是的是矩形，菱形，正方形； 其中等边三角形和等腰梯形都只是只是轴对称图形二不是中心对称图形； 故选B 题型07中心对称的性质的运用 【典例】如图，中，，，．作出关于点A成中心对称的，其中点B对应点为，点C对应点为，则四边形的面积是（    ） A．128 B． C．64 D． 【答案】D 【分析】根据含30度角的直角三角形的性质，勾股定理求得，根据中心对称的性质以及平行四边形的判定定理，得出四边形是平行四边形，继而即可求解． 【详解】解：如图所示， ∵中，，，． ∴,, ∴, ∵作出共于点A成中心对称的， ∴,， ∴四边形是平行四边形， ∴四边形的面积为， 故选：D． 【点睛】本题考查了中心对称的性质，平行四边形的性质，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理，得出四边形是平行四边形是解题的关键． 【变式】如图，中，，，，，将绕点C逆时针旋转至，使得点恰好落在AB上，与BC交于点D，则的面积为_____． 【答案】 【分析】先证明是等边三角形，再证明是直角三角形，求出、的长即可解决问题． 【详解】解：在中，，，， ， 由旋转可得：，， 是等边三角形， ， ， ， ∴， ∴是直角三角形， ∴， 由勾股定理，得，， ． 【点睛】本题考查旋转的性质、直角三角形30度角的性质、勾股定理、等边三角形的判定和性质、三角形的内角和定理、三角形的面积等知识，证明是直角三角形是解题的关键． 题型08与中心对称有关的探究问题 【典例】6．如图，是等边三角形，边在直线l上，动点O在直线l上（O不与点B重合）． 操作探究1：在图中作出关于点O的中心对称图形，连接，，则四边形的形状是__________． 操作探究2：如图，若把等边三角形改为等腰三角形，动点O在直线l上（O不与点B重合），与关于O成中心对称，当在C的右侧且时，判断四边形的形状，并说明理由． 操作探究3：若是任意三角形，且点A在直线l的上方，动点O在直线l上（O不与点B重合），在下图中已作出关于点O的中心对称图形．的一个参考图形，连接，当与满足什么关系时，四边形是正方形，直接写出答案． 【答案】操作探究1： 补全图形如下所示；平行四边形； 操作探究2： 解：四边形是矩形，理由如下： ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，即， ∵四边形是平行四边形， ∴四边形是矩形； 操作探究3：或或． 【分析】本题主要考查了中心对称图形的性质，平行四边形的判定，矩形的判定，正方形的性质等等： 操作探究1：先根据题意画图，再由中心对称图形的定义可得，据此可证明结论； 操作探究2：根据等边对等角和三角形内角和定理证明，即可证明结论； 操作探究3：分当点C在线段上时，当点B在线段上时，当点O在线段上时，三种情况根据正方形的性质讨论求解即可． 【详解】解：操作探究1： 由中心对称图形的性质可得， ∴四边形是平行四边形； 操作探究2：略 操作探究3：如图3-1所示，当点C在线段上时， ∵四边形是正方形， ∴； 如图3-2所示，当点B在线段上时， ∵四边形是正方形， ∴， ∴； 如图3-3所示，当点O在线段上时， ∵四边形是正方形， ∴， ∴； 综上所述，或或． 【变式】阅读下面材料，完成以下问题．如图1，如图2，将一张矩形纸片顺着中缝或对角线所在的直线翻折，其折痕将这个矩形一分为二，两部分的形状与大小完全一样．如图3，如图4，用两条直线将一个矩形分成面积相等的四部分. 我们知道，矩形是一种特殊的平行四边形，对于一般的平行四边形（如图4），是否和矩形一样，也存在这样的直线，将其面积二等分，或进一步将其面积四等分？它们之间又有什么规律呢？   问题1：平分平行四边形的面积，除以下两种方法以外（图5、图6），你还有其他什么方法，请在图7中画出来．   问题2：通过平分平行四边形的面积，你能平分下面图案（图8）的面积，请在图8中画出来 问题3：老师将两个正方形按照图9所示的方式摆放，请你试着将整个图形的面积平分． 问题4：如图10，平面直角坐标系中放着6个边长为1个单位的小正方形，经过原点的直线恰好将6个正方形分成面积相等的两部分，请你画出这条直线，并直接写出该直线的表达式． 【答案】 问题1：如图直线平分平行四边形的面积： 问题2：如图直线平分图8的面积； 问题3：如图直线平分整个图形的面积 问题4：见详解， 【分析】问题1：设平行四边形对角线交于，过作直线即可； 问题2：通过平分平行四边形的面积，可知过中心对称图形的对称中心的直线平分这个中心对称图形的面积，过圆心作直线即可平分图8的面积； 问题3：设两个正方形的对角线交点分别为，，作直线即可平分整个图形的面积； 问题4：如图作直线恰好将6个正方形分成面积相等的两部分；用待定系数法可得该直线的表达式为． 本题考查一次函数的应用，涉及平分图形的面积，解题的关键是掌握过中心对称图形的对称中心的直线平分这个中心对称图形的面积． 【详解】解：问题1：略 问题2：略 问题3：略 问题4：如图： ， 直线恰好将6个正方形分成面积相等的两部分； 设直线的表达式为， 将代入得：， 解得， 该直线的表达式为． 【巩固训练】 1．如图，在中，，将绕点按逆时针方向旋转得到．若点恰好落在边上，且，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查利用旋转的性质，出现等腰三角形，利用好三角形的外角和三角形内角和是解决问题的关键，直接设,利用方程思想可以直接算出的度数． 【详解】解：设； ∵； ∴； ∴； ∵； ∴； ∵； ∴； ∴； 即，； 由旋转的性质可知，； ∴； 故选：C． 2．如图，在菱形中，连接，交于点．若与关于点成中心对称，连接．若，则的长为（   ） A．15 B．14 C．13 D．12 【答案】A 【分析】本题考查了菱形的性质、中心对称的性质以及勾股定理等知识，根据菱形的性质、中心对称的性质，得到，根据题意得出，，利用勾股定理计算即可． 【详解】解：∵四边形是菱形，与关于点成中心对称，， ∴，，， ∴，， ∴， 故选：A． 3．如图，△COD是△AOB绕点O顺时针旋转40°后得到的图形，若点C恰好落在AB上，且∠AOD的度数为90°，则∠B的度数是（  ）    A．40° B．50° C．60° D．70° 【答案】C 【详解】试题解析：如图,由旋转变换的性质得： 故选C. 4．如图，Rt△OAB中，∠OAB＝90°，O是坐标原点，点A在x轴的正半轴上，点B在第一象限．已知OA＝2， ∠AOB＝30°．将△OAB绕点O按逆时针方向旋转150°，得到△OA′B′，则点A的对应点A′的坐标是____．    【答案】（，1） 【分析】作A′C⊥x轴于点C，易得∠B′OC的度数，求得OC和A′C的长度后根据点A′所在的象限可得点A′的坐标． 【详解】如图所示，作A′C⊥x轴于点C， 根据题意可得OA＝OA`=2， ∠AOB＝∠A`OC=30°． ∴OA`=A`C=1, ∴在Rt△A`CO中，OC= , 由图像可知A`再第二象限，x轴为负数，y轴为正数， ∴A`（，1） 故答案为：（，1）    【点睛】此题考查含30度角的直角三角形，勾股定理，解题关键在于掌握运算法则. 5．在平面直角坐标系中，的顶点为． (1)平移，若点的对应点的坐标为，画出平移后的； (2)将以点为旋转中心旋转，画出旋转后对应的； (3)已知将绕某一点旋转可以得到，则旋转中心的坐标为______． 【答案】(1) 如图所示： (2) 如图所示： (3)． 【分析】本题考查了坐标与图形，平移作图、旋转作图以及找出旋转中心，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）因为点的对应点的坐标为，所以找出点的坐标，最后依次连接，即可作答． （2）因为将以点为旋转中心旋转，所以找出点的坐标，最后依次连接，即可作答 （3）运用数形结合思想，直接得与的旋转中心的坐标，即可作答． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：由图得将绕某一点旋转可以得到，则旋转中心的坐标为． 6．如图，将正方形的边绕点C逆时针旋转一定角度得到，连接，再将绕点A顺时针旋转得到，连接，．若，求的度数． 【答案】 【分析】连接，根据旋转的性质，等边对等角可以证明 即可求解． 【详解】解：如图，连接． 将绕点A顺时针旋转得到， ． 又 ． 边绕点C逆时针旋转得到， ， ． 又， ， ． 【点睛】本题考查了正方形的性质，旋转的性质，等边对等角，三角形内角和定理，全等三角形的判定和性质，掌握正方形的性质，旋转的性质是解题的关键． 7．如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中建立平面直角坐标系，的顶点均为格点（网格线的交点），点，，的坐标分别为，，． (1)画出关于轴对称的； (2)将线段向右平移1个单位长度，再向上平移3个单位长度，得到线段，画出线段； (3)以点为旋转中心，将线段按顺时针方向旋转，得到线段，直接写出点的坐标． 【答案】(1)解：下图为所求： (2)解：下图线段为所求： (3) 下图线段为所求，点的坐标为 【分析】（1）根据轴对称的性质作图即可； （2）根据平移的性质作图即可； （3）根据旋转的性质作图即可，再结合图形写出点的坐标． 【详解】（1）略 （2）略 （3）略 8．如图，在正方形中，E、F是对角线上两点，且，将绕点A顺时针旋转后，得到，连接EQ． (1)求证：是的平分线； (2)已知：，，求的长． 【答案】(1) 证明：由旋转的性质可得，， ∵， ∴， ∴， 又∵，        ∴ ∴， ∴是平分线； (2) 【分析】本题主要考查了旋转的性质，正方形的性质，勾股定理，全等三角形的性质与判定，熟知旋转前后对应角相等，对应线段相等是解题的关键． （1）由旋转的性质得到，，则，由此证明得到，即可证明是平分线； （2）由旋转的性质可得，，再由正方形的性质推出，利用勾股定理求出，则由全等三角形的性质可得． 【详解】（1）略 （2）解：由旋转的性质可得，， ∵四边形是正方形， ∴， ∴，即， ∴， ∵， ∴． 9．小明在数学活动课上，将边长为和3的两个正方形放置在直线l上，如图a,他连接AD、CF，经测量发现AD=CF． （1）他将正方形ODEF绕O点逆时针针旋转一定的角度，如图b，试判断AD与CF还相等吗？说明理由． （2）他将正方形ODEF绕O点逆时针旋转，使点E旋转至直线l上，如图c，请求出CF的长． 【答案】（1）AD=CF．理由见解析；（2）CF= 【分析】（1）根据正方形的性质可得AO=CO，OD=OF，∠AOC=∠DOF=90°，然后求出∠AOD=∠COF，再利用“边角边”证明△AOD和△COF全等，根据全等三角形对应边相等即可得证． （2）与（1）同理求出CF=AD，连接DF交OE于G，根据正方形的对角线互相垂直平分可得DF⊥OE，DG=OGOE，再求出AG，然后利用勾股定理列式计算即可求出AD． 【详解】解：（1）AD=CF．理由如下： 在正方形ABCO和正方形ODEF中， ∵AO=CO，OD=OF，∠AOC=∠DOF=90°， ∴∠AOC+∠COD=∠DOF+∠COD，即∠AOD=∠COF． 在△AOD和△COF中， ∵AO=CO，∠AOD=∠COF，OD=OF， ∴△AOD≌△COF（SAS）． ∴AD=CF． （2）与（1）同理求出CF=AD， 如图，连接DF交OE于G，则DF⊥OE，DG=OG=OE， ∵正方形ODEF的边长为， ∴OE=×=2． ∴DG=OG=OE=×2=1． ∴AG=AO+OG=3+1=4， 在Rt△ADG中，， ∴CF=AD=． 【点睛】本题考查了正方形的性质，勾股定理，全等三角形的性质与判定，性质的性质，掌握以上知识是解题的关键． 10．在平面直角坐标系xOy中，如图，已知Rt△DOE，∠DOE=90°，OD=3，点D在y轴上，点E在x轴上，在△ABC中，点A，C在x轴上，AC=5．∠ACB+∠ODE=180°，∠ABC=∠OED，BC=DE．按下列要求画图（保留作图痕迹）： （1）将△ODE绕O点按逆时针方向旋转90°得到△OMN（其中点D的对应点为点M，点E的对应点为点N），画出△OMN； （2）将△ABC沿x轴向右平移得到△A′B′C′（其中点A，B，C的对应点分别为点A′，B′，C′），使得B′C′与（1）中的△OMN的边NM重合； （3）求OE的长． 【答案】（1）作图见解析；（2）作图见解析；（3）6. 【详解】试题分析：（1）以点O为圆心，以OE为半径画弧，与y轴正半轴相交于点M，以OD为半径画弧，与x轴负半轴相交于点N，连接MN即可. （2）以M为圆心，以AC长为半径画弧与x轴负半轴相交于点A′，B′与N重合，C′与M重合，然后顺次连接即可. （3）设OE=x，则ON=x，作MF⊥A′B′于点F，判断出B′C′平分∠A′B′O，再根据角平分线上的点到角的两边距离相等和角平分线的对称性可得B′F=B′O=OE=x，F C′="O" C′=OD=3，利用勾股定理列式求出A′F，然后表示出A′B′、A′O，在Rt△A′B′O中，利用勾股定理列出方程求解即可． 试题解析：解：（1）△OMN如图所示. （2）△A′B′C′如图所示． （3）设OE=x，则ON=x，如答图，过点M作MF⊥A′B′于点F， 由作图可知：B′C′平分∠A′B′O，且C′O⊥O B′， ∴B′F=B′O=OE=x，F C′="O" C′=OD=3， ∵A′C′=AC=5，∴.∴A′B′=x+4，A′O=5+3=8. 在Rt△A′B′O中，，解得x=6. ∴OE=6． 考点：1.作图（旋转和平移变换）；2.旋转和平移变换的性质；3.勾股定理；4.方程思想的应用. 【强化训练】 1．如图，将绕点顺时针旋转得到．若，，则图中阴影部分的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由旋转的性质可得，，，然后可证得，和为等腰直角三角形，进而可求得，，，的长，然后根据图中阴影部分的面积即可求得答案． 【详解】解： ，， ， ， 绕点顺时针旋转得到， ，，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 图中阴影部分的面积 ， 故选：． 【点睛】本题主要考查了等边对等角，三角形的内角和定理，勾股定理，旋转的性质，等角对等边，等式的性质，对顶角相等，垂线的定义，三线合一，三角形的面积公式，二次根式的混合运算，完全平方公式等知识点，熟练掌握上述知识点并能加以综合运用是解题的关键． 2．如图，在平面直角坐标系中，将绕原点顺时针旋转得到，若点位于内（不含边界），点为点P绕原点顺时针旋转的对应点，则点的纵坐标n的取值范围是________． 【答案】 【分析】先求出m的取值范围，然后根据旋转的性质和全等三角形的判定与性质求出点P的坐标，得出，即可求解．． 【详解】解：由图可知：，， 设直线解析式为， 则， ∴， ∴， 若在直线上，则， 解得， ∵点位于内， ∴， 如图，连接，，过作轴于，过作轴于，则， ∵旋转， ∴，， ∴， 又， ∴， ∴，， ∴， ∴， 又 ∴． 3．如图，正方形的边长为，将绕点旋转，得到，其中、的对应点分别是点、．如果点在正方形内，且到点、的距离相等，那么的长为________． 【答案】/ 【分析】作的垂直平分线，交于，交于，作，交于点，连接、、，由题意可知当在上时满足到点、的距离相等，得到，根据正方形性质可证明，从而推出，然后判定四边形是矩形，结合垂直平分，推出，即可根据勾股定理可算出，得到，最后再由勾股定理算出，即可得到答案． 【详解】作的垂直平分线，交于，交于，作，交于点，连接、、 由题意可知，当旋转到上时，到点、的距离相等，且 四边形是正方形 ，， ， 在和中 ，， 四边形是矩形 又 垂直平分， 故答案为：． 【点睛】本题考查了图形的旋转，垂直平分线的性质，正方形的性质，矩形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，根据题意找到位置并作出相应的辅助线是解题的关键． 4．如图，在平面直角坐标系中，的顶点、分别是直线与坐标轴的交点，点，点是边上的一点，，垂足为，点在边上，且、两点关于轴上某点成中心对称，连接、．线段长度的最小值为__________．    【答案】 【分析】过点F，D分别作垂直于y轴，垂足分别为G，H，证明，由全等三角形的性质得出，可求出，根据勾股定理得出，由二次函数的性质可得出答案； 【详解】过点F，D分别作垂直于y轴，垂足分别为G，H，    则， 记交y轴于点K， ∵D点与F点关于y轴上的K点成中心对称， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵直线的解析式为， ∴时，， ∴， 又∵， 设直线的解析式为 ∴， 解得=， ∴直线的解析式为， 过点F作轴于点R， ∵D点的横坐标为m, ∴， ∴， ∵， ∴， 令，得， ∴． ∴当时，l的最小值为8， ∴的最小值为． 【点睛】待定系数法，全等三角形的判定与性质，坐标与图形的性质，二次函数的性质，勾股定理，中心对称的性质，直角三角形的性质等知识． 5．解决下列问题： (1)如图1，P是等边三角形内一点，，，，求的度数． 解：将绕点B按逆时针方向旋转到的位置， 连接，则是________三角形． 所以． 因为，，所以， 所以为直角三角形，所以的度数为________； (2)如图2，在正方形内部有一点P，连接，，，若，，，求的长． 【答案】(1)等边； (2)6 【分析】（1）根据旋转的性质，得到是等边三角形，再由勾股定理逆定理，得到为直角三角形，即可； （2）将绕点B按顺时针方向旋转到的位置，连接，则，可得，从而得到是等腰直角三角形， 进而得到，，再由勾股定理解答即可． 【详解】（1）略 （2）解：如图，将绕点B按顺时针方向旋转到的位置，连接，则， ∴， ∴，， ∴是等腰直角三角形， ∴，， ∴，， ∵， ∴． 6．旋转是几何图形运动中的一种重要变换，通常与全等三角形等数学知识相结合来解决实际问题，某学校数学兴趣小组在研究三角形旋转的过程中，进行如下探究：如图，和均为等腰直角三角形，，为的中点，绕点旋转，连接，． (1)【观察猜想】在旋转过程中，与的数量关系为 ； (2)【实践发现】如图，当点，在内且，，三点共线时，求证：； (3)【解决问题】若中，，在旋转过程中，当且，，三点共线时，直接写出的长． 【答案】(1)； (2)证明：如图所示，连接， 由（）可知，， ∴，， ∴， ∴， ∵是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； (3)的长为或． 【分析】（）连接，根据等腰三角形的性质可证，由此即可求解； （）由（）中，再根据为等腰直角三角形，由此即可求解； （）点三点共线，分类讨论，推理即可求解； 本题主要考查了等腰直角三角形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】（1）解：，理由如下如图所示，连接， ∵为等腰直角三角形，， ∴， ∵点为的中点， ∴， ∴， ∴， ∵为等腰直角三角形，， ∴，， ∴， 在和中， ∴， ∴， 故答案为: ； （2）略 （3）解：∵，，三点共线， 由（）可知，， 由（）可知，， ∵，， ∴， ∴， 在中，，， ∴， ∴（不符合题意）； 如图所示，由（）可知，，，， ∴ ∴是直角三角形， ∴， ∴， 在中，， ∴； 如图所示，连接， 根据（）中的证明可知，，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴是直角三角形， 在中，，， ∴， ∵， ∴， 综上所述，的长为或． 7．如图，在平面直角坐标系中，点，点，点，以、为边作，点为中点，连接、．          (1)分别求出线段和线段所在直线解析式； (2)点为线段上的一个动点，作点关于点的中心对称点，设点横坐标为，用含的代数式表示点的坐标（不用写出的取值范围）； (3)在（2）的条件下， ①当点移动到的边上时，求点坐标； ②为中点，为中点，连接、．请利用备用图探究，直接写出在点的运动过程中，周长的最小值和此时点的坐标． 【答案】(1)所在直线的解析式为；所在直线解析式为 (2) (3)①或，②周长最小值为； 【分析】（1）根据平行四边形的性质得出点和点的坐标，再用待定系数法求出线段和线段所在直线解析式即可； （2）根据所在直线的解析式为，点横坐标为，得出点，再根据点和点关于点的中心对称点，即可得出点的坐标； （3） ①根据题意进行分类讨论：当点在上时，当点在上时，即可得出结论；②过点作于点，过点作于点，通过证明，得出，延长，过点作于点，证明，进而得出，过点作，则，即可推出点在直线上运动，作点关于直线的对称点，当点，，在同一条直线上时，周长取最小值，即可求出 周长取最小值；根据中点坐标公式得出，，再证明点是中点，则，求出，根据点为中点，得出，最后根据，列出方程求解即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵四边形为平行四边形，， ∴， ∵点为中点， ∴， 设所在直线的解析式为， 把，代入得： ，解得：， ∴所在直线的解析式为； 设所在直线解析式为， 把点，代入的： ，解得：， ∴所在直线解析式为． （2）解：∵所在直线的解析式为，点横坐标为， ∴点， 设点， ∵点和点关于点的中心对称点， ∴， 整理得：， ∴； （3）解：①当点在上时， ∵点在上， ∴，解得， ∴；      当点在上时， ∵，且在上， ∴，解得：， ∴；        综上：或； ②∵，， ∴， ∵为中点，为中点， ∴， 过点作轴于点， ∵，， ∴， ∴，则，      过点作于点，过点作于点， ∵点是点关于点的中心对称点，   ∴， 又∵， ∴， ∴， 延长，过点作于点， ∵点是中点， ∴， ∵， ∴， ∴，则，   ∵，， ∴， ∵，， ∴设， 在中，根据勾股定理可得：，即， 解得：，   ∴， 过点作， ∵，，， ∴， 则点在直线上运动， 作点关于直线的对称点，   根据轴对称的性质以及平行线间的距离处处相等可得， 当点，，在同一条直线上时，，此时周长取最小值， 在中，根据勾股定理可得：， ∴周长最小值为；      ∵，，，为中点，为中点， ∴，， ∵，， ∴是的中位线，则点是中点， ∴， 过点作于点， ∵，， ∴， ∴ ∵， ∴，即点为中点， ∴， ∵， ∴，解得：， ∴      【点睛】本题主要考查了一次函数的图象和性质，平行四边形的性质，中心对称，勾股定理，轴对称，解题的关键是熟练掌握用待定系数法求解函数解析式的方法，中点坐标公式，正确作出辅助线，确定周长最小时各点的位置． 8．已知矩形ABCD，，，将矩形ABCD绕点A顺时针旋转，得到矩形AEFG． 如图1，当点E在BD上时求证：； 当a为何值时，？画出图形，并说明理由； 【答案】（1）详见解析；（2）当点G在AD右侧时，旋转角；当点G在AD左侧时，（3） 【分析】先运用SAS判定≌，可得，再根据，即可得出； 当时，点G在BC的垂直平分线上，分两种情况讨论，依据，即可得到旋转角的度数． 【详解】由旋转可得，，，， ， 又， ， 又， ≌， ， 又， ； 如图，当时，点G在BC的垂直平分线上， 分两种情况讨论： 当点G在AD右侧时，取BC的中点H，连接GH交AD于M， ， ， 四边形ABHM是矩形， ， 垂直平分AD， ， 是等边三角形， ， 旋转角； 当点G在AD左侧时，同理可得是等边三角形， ， 旋转角． 【点睛】本题主要考查了四边形的综合问题，解题的关键是掌握旋转的性质，全等三角形的判定与性质的运用，解题时注意：对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角． 9．如图①，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点E在AC上（且不与点A，C重合），在△ABC的外部作△CED，使∠CED=90°，DE=CE，连接AD，分别以AB，AD为邻边作平行四边形ABFD，连接AF． （1）请直接写出线段AF，AE的数量关系 ； （2）将△CED绕点C逆时针旋转，当点E在线段BC上时，如图②，连接AE，请判断线段AF，AE的数量关系，并证明你的结论； （3）在图②的基础上，将△CED绕点C继续逆时针旋转，请判断（2）问中的结论是否发生变化？若不变，结合图③写出证明过程；若变化，请说明理由． 【答案】(1)AF=AE；（2）AF=AE，证明详见解析；（3）结论不变，AF=AE，理由详见解析 【分析】（1）如图①中，结论：，只要证明是等腰直角三角形即可． （2）如图②中，结论：，连接，交于，先证明再证明是等腰直角三角形即可． （3）如图③中，结论不变，，连接，延长交于，先证明，再证明是等腰直角三角形即可． 【详解】解：（1）如图①中，结论：． 理由：四边形是平行四边形， ， ， ， ， ， ， 是等腰直角三角形， ． 故答案为． （2）如图②中，结论：． 理由：连接，交于． 四边形是平行四边形， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ，， ， 是等腰直角三角形， ． （3）如图③中，结论不变，． 理由：连接，延长交于． ， ， ， ，， 在和中， ， ， ，， ， 是等腰直角三角形， ． 【点评】本题考查四边形综合题、全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的判定和性质、平行四边形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定和性质，寻找全等的条件是解题的难点，属于中考常考题型． 10．已知，H为射线OA上一定点，，P为射线OB上一点，M为线段OH上一动点，连接PM，满足为钝角，以点P为中心，将线段PM顺时针旋转，得到线段PN，连接ON． （1）依题意补全图1； （2）求证：； （3）点M关于点H的对称点为Q，连接QP．写出一个OP的值，使得对于任意的点M总有ON=QP，并证明． 【答案】（1）如图所示见解析；（2）见解析；（3）OP=2.证明见解析. 【分析】（1）根据题意画出图形即可． （2）由旋转可得∠MPN=150°，故∠OPN=150°-∠OPM；由∠AOB=30°和三角形内角和180°可得∠OMP=180°-30°-∠OPM=150°-∠OPM，得证． （3）根据题意画出图形，以ON=QP为已知条件反推OP的长度．由（2）的结论∠OMP=∠OPN联想到其补角相等，又因为旋转有PM=PN，已具备一边一角相等，过点N作NC⊥OB于点C，过点P作PD⊥OA于点D，即可构造出△PDM≌△NCP，进而得PD=NC，DM=CP．此时加上ON=QP，则易证得△OCN≌△QDP，所以OC=QD．再设DM=CP=x，所以OC=OP+PC=2+x，MH=MD+DH=x+1，由于点M、Q关于点H对称，得出DQ=DH+HQ=1+x+1=2+x，得出OC=DQ，再利用SAS得出△OCN≌△QDP即可 【详解】解：（1）如图1所示为所求． （2）设∠OPM=α， ∵线段PM绕点P顺时针旋转150°得到线段PN ∴∠MPN=150°，PM=PN ∴∠OPN=∠MPN-∠OPM=150°-α ∵∠AOB=30° ∴∠OMP=180°-∠AOB-∠OPM=180°-30°-α=150°-α ∴∠OMP=∠OPN （3）OP=2时，总有ON=QP，证明如下： 过点N作NC⊥OB于点C，过点P作PD⊥OA于点D，如图2 ∴∠NCP=∠PDM=∠PDQ=90° ∵∠AOB=30°，OP=2 ∴DH=OH-OD=1 ∵∠OMP=∠OPN ∴180°-∠OMP=180°-∠OPN 即∠PMD=∠NPC 在△PDM与△NCP中 ∴△PDM≌△NCP（AAS） ∴PD=NC，DM=CP 设DM=CP=x，则OC=OP+PC=2+x，MH=MD+DH=x+1 ∵点M关于点H的对称点为Q ∴HQ=MH=x+1 ∴DQ=DH+HQ=1+x+1=2+x ∴OC=DQ 在△OCN与△QDP中 ∴△OCN≌△QDP（SAS） ∴ON=QP 【点睛】本题考查了根据题意画图，旋转的性质，三角形内角和180°，勾股定理，全等三角形的判定和性质，中心对称的性质．第（3）题的解题思路是以ON=QP为条件反推OP的长度，并结合（2）的结论构造全等三角形；而证明过程则以OP=2为条件构造全等证明ON=QP． / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题25 第28章旋转全章重点题型集中训练 素养目标 1.掌握图形旋转、中心对称的基本性质及应用和两个点关于原点对称时坐标之间的关系. 2.理解平移、轴对称、旋转的联系和区别、旋转和中心对称的联系和区别； 3.运用图形旋转、中心对称的基本性质解一些简单问题. 重点与难点 重点：图形旋转、中心对称的基本性质及两个点关于原点对称时它们坐标之间的关系. 难点：运用图形旋转、中心对称的基本性质解一些生活问题. 一、旋转的特征 1.旋转过程中，图形上每一点都绕旋转中心按同一旋转方向旋转同样大小的角度. 2.任意一对对应点与旋转中心的连线所成的角都是旋转角，对应点到旋转中心的距离都相等. 3.旋转前后对应线段、对应角分别相等，图形的大小、形状不变. 二、中心对称 1.中心对称 把一个图形绕着某一点旋转180°，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称，这个点叫做对称中心，(简称中心).这两个图形在旋转后能重合的对应点叫做关于对称中心的对称点. 2.中心对称的特征 在成中心对称的两个图形中，对应点所连线段都经过对称中心，并且被对称中心平分. 3.中心对称图形 把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心. 题型01利用旋转的性质求角的度数 【典例】如图，中，，，P为三角形内一点． ，则的度数是______． 【变式】如图，两个全等的含角的直角三角板，将绕点逆时针旋转角（）得到，若交于点，连接，当________时，为等腰三角形． 题型02利用旋转的性质求线段的长度 【典例】如图，在中，，，，将绕点逆时针旋转，得到，连接!则的长是________．    【变式】3．如图，已知在中，，，点、点在边上，且，若，则______．    题型03利用旋转的性质求面积 【典例】如图，在中，为的中点，将绕点顺时针旋转得到、分别在边和的延长线上，连接，若，则的面积是（    ） A． B． C． D． 【变式】如图，绕点顺时针旋转得到，若是等边三角形，，则图中阴影部分得面积等于______． 题型04平面直角坐标系中的旋转变换 【典例】如图，在平面直角坐标系中，已知的三个顶点坐标分别为，，． (1)先向下平移2个单位，再向左平移5个单位得到（点、、分别与点A、B、C对应），请在图中画出； (2)将绕点B顺时针旋转得到（点、分别与点A、C对应），请在图中画出，并写出点的坐标． 【变式】正方形网格中（网格中的每个小正方形边长是1），的顶点均在格点上，请在所给的直角坐标系中解答下列问题： (1)作出绕点A逆时针旋转的． (2)作出关于原点O成中心对称的． (3)在x轴上找一点P使得最小，则P点坐标 (4)请直接写出以为顶点的平行四边形的第四个顶点D的坐标 ． 题型05与旋转有关的探究性问题 【典例】综合与实践： 如图1，已知点D是等边三角形边上的一点（不与点B，C重合）． 动手操作： 第一步：连接，以A为旋转中心，将线段顺时针旋转，得到线段，连接； 第二步：以D为旋转中心，将线段逆时针旋转，得到线段，连接，交于点M． 特例探究： （1）如图2，当点D为中点时，点F恰好在上，请写出线段与的数量关系，并说明理由； 探索发现： （2）如图1，当点D不是中点时，请判断（1）中的结论是否成立？若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由； （3）当，时，请直接写出的长． 【变式】在“综合与实践”课上，同学们以“图形的旋转”为主题开展数学活动． (1)探究发现 如图，在等边内部有一点，连接，将线段绕点逆时针旋转，得到线段，连接，若，则的度数是 ． (2)类比延伸 如图，在中，，．在内部有一点，连接，若，试判断之间的数量关系，并说明理由． (3)迁移应用 如图，在中，，．在直线的上方有一点，连接，若∠，则存在实数使得成立，请直接写出的值．    题型06识别中心对称图形 【典例】下列几种著名的数学曲线分别是“笛卡尔爱心曲线”“费马螺线”“卡西尼卵形线”“蝴蝶曲线”，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（    ） A．   B．   C．   D．   题型07中心对称的性质的运用 【典例】如图，中，，，．作出关于点A成中心对称的，其中点B对应点为，点C对应点为，则四边形的面积是（    ） A．128 B． C．64 D． 【变式】如图，中，，，，，将绕点C逆时针旋转至，使得点恰好落在AB上，与BC交于点D，则的面积为_____． 题型08与中心对称有关的探究问题 【典例】如图，是等边三角形，边在直线l上，动点O在直线l上（O不与点B重合）． 操作探究1：在图中作出关于点O的中心对称图形，连接，，则四边形的形状是__________． 操作探究2：如图，若把等边三角形改为等腰三角形，动点O在直线l上（O不与点B重合），与关于O成中心对称，当在C的右侧且时，判断四边形的形状，并说明理由． 操作探究3：若是任意三角形，且点A在直线l的上方，动点O在直线l上（O不与点B重合），在下图中已作出关于点O的中心对称图形．的一个参考图形，连接，当与满足什么关系时，四边形是正方形，直接写出答案． 【变式】阅读下面材料，完成以下问题．如图1，如图2，将一张矩形纸片顺着中缝或对角线所在的直线翻折，其折痕将这个矩形一分为二，两部分的形状与大小完全一样．如图3，如图4，用两条直线将一个矩形分成面积相等的四部分. 我们知道，矩形是一种特殊的平行四边形，对于一般的平行四边形（如图4），是否和矩形一样，也存在这样的直线，将其面积二等分，或进一步将其面积四等分？它们之间又有什么规律呢？   问题1：平分平行四边形的面积，除以下两种方法以外（图5、图6），你还有其他什么方法，请在图7中画出来．   问题2：通过平分平行四边形的面积，你能平分下面图案（图8）的面积，请在图8中画出来 问题3：老师将两个正方形按照图9所示的方式摆放，请你试着将整个图形的面积平分． 问题4：如图10，平面直角坐标系中放着6个边长为1个单位的小正方形，经过原点的直线恰好将6个正方形分成面积相等的两部分，请你画出这条直线，并直接写出该直线的表达式． 【巩固训练】 1．如图，在中，，将绕点按逆时针方向旋转得到．若点恰好落在边上，且，则的度数为（    ） A． B． C． D． 2．如图，在菱形中，连接，交于点．若与关于点成中心对称，连接．若，则的长为（   ） A．15 B．14 C．13 D．12 3．如图，△COD是△AOB绕点O顺时针旋转40°后得到的图形，若点C恰好落在AB上，且∠AOD的度数为90°，则∠B的度数是（  ）    A．40° B．50° C．60° D．70° 4．如图，Rt△OAB中，∠OAB＝90°，O是坐标原点，点A在x轴的正半轴上，点B在第一象限．已知OA＝2， ∠AOB＝30°．将△OAB绕点O按逆时针方向旋转150°，得到△OA′B′，则点A的对应点A′的坐标是____．    5．在平面直角坐标系中，的顶点为． (1)平移，若点的对应点的坐标为，画出平移后的； (2)将以点为旋转中心旋转，画出旋转后对应的； (3)已知将绕某一点旋转可以得到，则旋转中心的坐标为______． 6．如图，将正方形的边绕点C逆时针旋转一定角度得到，连接，再将绕点A顺时针旋转得到，连接，．若，求的度数． 7．如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中建立平面直角坐标系，的顶点均为格点（网格线的交点），点，，的坐标分别为，，． (1)画出关于轴对称的； (2)将线段向右平移1个单位长度，再向上平移3个单位长度，得到线段，画出线段； (3)以点为旋转中心，将线段按顺时针方向旋转，得到线段，直接写出点的坐标． 8．如图，在正方形中，E、F是对角线上两点，且，将绕点A顺时针旋转后，得到，连接EQ． (1)求证：是的平分线； (2)已知：，，求的长． 9．小明在数学活动课上，将边长为和3的两个正方形放置在直线l上，如图a,他连接AD、CF，经测量发现AD=CF． （1）他将正方形ODEF绕O点逆时针针旋转一定的角度，如图b，试判断AD与CF还相等吗？说明理由． （2）他将正方形ODEF绕O点逆时针旋转，使点E旋转至直线l上，如图c，请求出CF的长． 10．在平面直角坐标系xOy中，如图，已知Rt△DOE，∠DOE=90°，OD=3，点D在y轴上，点E在x轴上，在△ABC中，点A，C在x轴上，AC=5．∠ACB+∠ODE=180°，∠ABC=∠OED，BC=DE．按下列要求画图（保留作图痕迹）： （1）将△ODE绕O点按逆时针方向旋转90°得到△OMN（其中点D的对应点为点M，点E的对应点为点N），画出△OMN； （2）将△ABC沿x轴向右平移得到△A′B′C′（其中点A，B，C的对应点分别为点A′，B′，C′），使得B′C′与（1）中的△OMN的边NM重合； （3）求OE的长． 【强化训练】 1．如图，将绕点顺时针旋转得到．若，，则图中阴影部分的面积为（   ） A． B． C． D． 2．如图，在平面直角坐标系中，将绕原点顺时针旋转得到，若点位于内（不含边界），点为点P绕原点顺时针旋转的对应点，则点的纵坐标n的取值范围是________． 3．如图，正方形的边长为，将绕点旋转，得到，其中、的对应点分别是点、．如果点在正方形内，且到点、的距离相等，那么的长为________． 4．如图，在平面直角坐标系中，的顶点、分别是直线与坐标轴的交点，点，点是边上的一点，，垂足为，点在边上，且、两点关于轴上某点成中心对称，连接、．线段长度的最小值为__________．    5．解决下列问题： (1)如图1，P是等边三角形内一点，，，，求的度数． 解：将绕点B按逆时针方向旋转到的位置， 连接，则是________三角形． 所以． 因为，，所以， 所以为直角三角形，所以的度数为________； (2)如图2，在正方形内部有一点P，连接，，，若，，，求的长． 6．旋转是几何图形运动中的一种重要变换，通常与全等三角形等数学知识相结合来解决实际问题，某学校数学兴趣小组在研究三角形旋转的过程中，进行如下探究：如图，和均为等腰直角三角形，，为的中点，绕点旋转，连接，． (1)【观察猜想】在旋转过程中，与的数量关系为 ； (2)【实践发现】如图，当点，在内且，，三点共线时，求证：； (3)【解决问题】若中，，在旋转过程中，当且，，三点共线时，直接写出的长． 7．如图，在平面直角坐标系中，点，点，点，以、为边作，点为中点，连接、． (1)分别求出线段和线段所在直线解析式； (2)点为线段上的一个动点，作点关于点的中心对称点，设点横坐标为，用含的代数式表示点的坐标（不用写出的取值范围）； (3)在（2）的条件下， ①当点移动到的边上时，求点坐标； ②为中点，为中点，连接、．请利用备用图探究，直接写出在点的运动过程中，周长的最小值和此时点的坐标．          8．已知矩形ABCD，，，将矩形ABCD绕点A顺时针旋转，得到矩形AEFG． 如图1，当点E在BD上时求证：； 当a为何值时，？画出图形，并说明理由； 9．如图①，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点E在AC上（且不与点A，C重合），在△ABC的外部作△CED，使∠CED=90°，DE=CE，连接AD，分别以AB，AD为邻边作平行四边形ABFD，连接AF． （1）请直接写出线段AF，AE的数量关系 ； （2）将△CED绕点C逆时针旋转，当点E在线段BC上时，如图②，连接AE，请判断线段AF，AE的数量关系，并证明你的结论； （3）在图②的基础上，将△CED绕点C继续逆时针旋转，请判断（2）问中的结论是否发生变化？若不变，结合图③写出证明过程；若变化，请说明理由． 10．已知，H为射线OA上一定点，，P为射线OB上一点，M为线段OH上一动点，连接PM，满足为钝角，以点P为中心，将线段PM顺时针旋转，得到线段PN，连接ON． （1）依题意补全图1； （2）求证：； （3）点M关于点H的对称点为Q，连接QP．写出一个OP的值，使得对于任意的点M总有ON=QP，并证明． / 学科网（北京）股份有限公司 $