第五单元圆 （讲义）-2026-2027学年六年级上册数学苏教版

该小学数学“圆”单元复习讲义通过框架图系统梳理知识体系，涵盖圆的基础认知、画圆方法、周长面积计算、圆环扇形特征等九大知识点，以核心要素、公式推导、易错点对比呈现知识脉络，突出“一中同长”“割补转化”等重难点内在联系。 讲义亮点在于分层练习设计，如“套圈游戏站位方案”实例引导学生用数学思维分析圆形与正方形的空间特征，培养应用意识。易错点汇总针对性解决半圆周长与面积混淆等高频问题，基础题巩固公式应用，提升题发展推理能力，助力教师实施精准分层教学。

第五单元 圆（单元举一反三讲义） 知识点复习梳理 知识点一、圆的基础认知与核心特征 1. 圆的定义与图形属性 圆是平面内由一条光滑曲线围成的封闭曲线图形，区别于长方形、正方形等线段围成的直线图形，圆没有顶点、没有直边。圆具备“一中同长”的核心特征，是平面内最规整的曲线封闭图形，生活中应用广泛。 2. 圆的三大核心要素 圆心、半径、直径是圆的三大必备要素。圆心用字母O表示，是圆的中心点；半径用字母r表示，是连接圆心和圆上任意一点的线段；直径用字母d表示，是通过圆心且两端都在圆上的线段。 3. 要素核心作用 圆心唯一决定圆的位置，圆心位置改变，圆的整体位置随之改变，大小不变；半径唯一决定圆的大小，半径越长圆越大，半径越短圆越小，圆心位置不变仅改变半径，只改变圆的大小。 4. 同圆与等圆的特征规律 在同一个圆或完全相等的圆中，有无数条半径、无数条直径；所有半径长度全部相等，所有直径长度全部相等。直径与半径存在固定倍数关系，公式为d=2r、r=d÷2，该规律仅适用于同圆或等圆。 5. 圆的对称性 圆是典型的轴对称图形，有无数条对称轴，所有直径所在的直线都是圆的对称轴。将圆形纸片沿任意直径对折，两侧图形能够完全重合，是平面图形中对称轴最多的图形。 知识点二、圆规画圆的规范方法与原理 1. 画圆核心工具 数学中规范画圆统一使用圆规，圆规两脚张开的距离，即为所画圆的半径，两脚距离固定不变，保证画出的圆规整标准。 2. 标准画圆步骤 先确定圆心位置，固定圆规针尖；再调整圆规两脚间距，确定半径长度；握住圆规顶端，平稳旋转一周，即可画出完整标准的圆形，全程保证针尖不偏移、间距不改变。 3. 画圆核心规则 圆心位置随意可画无数个位置不同的圆；半径大小随意可画无数个大小不同的圆；固定圆心和半径，只能画出唯一的一个圆。 知识点三、圆的周长核心知识 1. 周长的定义 围成圆的曲线的总长叫做圆的周长，用字母C表示，是圆一周的长度，区别于圆的面积，仅描述曲线边长长度。 2. 圆周率π的核心概念 任意一个圆的周长与它直径的比值是一个固定不变的无限不循环小数，这个定值叫做圆周率，用希腊字母π表示。π的近似取值为3.14，日常计算统一取3.14，π的数值固定不变，与圆的大小无关。 3. 圆的周长完整公式 已知直径求周长：C=πd；已知半径求周长：C=2πr。可根据题目已知条件灵活选用公式，是圆周长计算的核心依据。 4. 周长逆向推导公式 已知周长求直径：d=C÷π；已知周长求半径：r=C÷π÷2，用于已知周长反向求解圆的基础参数。 5. 半圆的周长概念与公式 半圆的周长不等于圆周长的一半，圆周长的一半仅为曲线长度，半圆周长是曲线加直径的总长度。半圆周长公式：C半圆=πr+2r 或 C半圆=πd÷2+d。 知识点四、圆的面积核心知识与推导原理 1. 面积的定义 圆所占平面的大小叫做圆的面积，用字母S表示，描述圆整体平面区域大小，与周长的长度概念完全区分。 2. 面积转化推导思想 采用割补转化思想，将圆平均分成若干偶数份，剪开后可以拼成一个近似的长方形。平均分的份数越多，拼成的图形越接近标准长方形。 3. 转化图形对应关系 拼成的近似长方形的长等于圆周长的一半，即πr；长方形的宽等于圆的半径r。长方形面积与原圆面积完全相等，无增减变化。 4. 圆的面积计算公式 根据长方形面积=长×宽，推导得出圆的面积公式：S=πr²，r²表示两个半径相乘，不是半径乘2。 5. 半圆的面积公式 半圆面积是整圆面积的一半，无需额外加线段，公式为：S半圆=πr²÷2，仅为平面区域的一半面积。 知识点五、圆环的认识与面积计算 1. 圆环的定义 两个圆心相同、半径不同的同心圆，大圆减去小圆后剩余的环形区域，叫做圆环。圆环必须满足同心圆条件，圆心偏移无法形成标准圆环。 2. 圆环的参数名称 大圆半径用大写字母R表示，小圆半径用小写字母r表示，圆环宽度=R−r，环宽由大小圆半径差值决定。 3. 圆环面积公式 圆环面积=大圆面积−小圆面积，标准公式：S环=πR²−πr²，可化简为S环=π(R²−r²)，是圆环唯一通用计算公式。 知识点六、扇形的基础知识点 1. 扇形的定义 一条弧和经过这条弧两端的两条半径所围成的图形叫做扇形，扇形是圆的一部分，属于规则曲线图形。 2. 扇形各部分名称 圆上两点之间的曲线部分叫做弧；顶点在圆心、由两条半径组成的角叫做圆心角。扇形的大小由圆心角大小和圆的半径长短共同决定。 3. 扇形核心特征 同一个圆中，圆心角越大，扇形面积越大；圆心角越小，扇形面积越小。圆心角为360°是整圆，180°是半圆，90°是四分之一圆。 4. 扇形的对称性 扇形是轴对称图形，只有一条对称轴，为圆心角的角平分线所在直线。 知识点七、半径变化引发的周长、面积变化规律 1. 周长变化规律 圆的半径或直径扩大几倍，周长就扩大相同的倍数，周长与半径成正比例关系，仅随半径倍数同步变化。 2. 面积变化规律 圆的半径扩大n倍，直径、周长均扩大n倍，面积扩大n的平方倍。面积倍数是半径倍数的平方，是本单元核心重难点规律。 3. 圆环变化规律 圆环大小仅与大小圆半径差值相关，半径同步增减相同数值，环宽保持不变，圆环整体形态不变。 知识点八、圆与正方形、长方形的组合规律 1. 正方形内最大圆特征 正方形内部画最大的圆，圆的直径等于正方形的边长，圆心与正方形中心重合，圆贴合正方形四条边。 2. 长方形内最大圆特征 长方形内部画最大的圆，圆的直径等于长方形的宽，以长方形中心为圆心，宽为半径绘制，是长方形内可画的最大圆形。 知识点九、单元高频易错点汇总 1. 基础概念易错 混淆半径、直径定义，误将圆上任意线段当作直径；忽略“同圆或等圆”前提，随意使用d=2r公式；混淆圆心、半径的作用，记错定位置、定大小的核心要素。 2. 周长与面积概念易错 混淆周长与面积的单位、含义与公式；误将圆周长的一半等同于半圆周长，遗漏半圆直径长度，是最高频易错点。 3. 公式计算易错 混淆r²和2r的含义，计算面积时误算成半径×2；周长、面积公式混用；圆环面积忘记平方后再相减，直接半径相减再平方。 4. 倍数规律易错 记错半径变化的倍数规律，误认为面积和周长一样同步扩大相同倍数，忘记面积是平方倍变化。 5. 扇形认知易错 误认为只要是圆的一部分就是扇形，忽略“两条半径+一条弧”的完整定义；记错扇形对称轴数量，混淆扇形与圆的对称性。 6. 图形组合易错 记错长方形、正方形内最大圆的直径取值；组合图形中无法准确拆分圆、半圆、圆环结构，参数对应错误。 7. 取值规范易错 计算时随意更改π的取值，未统一使用3.14；逆向计算周长、半径、直径时公式颠倒，推导错误。 一、例题讲解 【典例】 1．一个圆的直径是6cm，它的周长是( )cm；一个圆的半径是4cm，它的周长是( )cm。 【典例】 2．等边三角形有( )条对称轴，长方形有( )条对称轴，等腰梯形有( )条对称轴，圆有( )条对称轴。 【典例】 3．如图是一把真丝扇面（涂色部分）的折扇，做这样的一把折扇，至少需要真丝布料多少平方分米？ 【典例】 4．某班同学儿童节玩套圈游戏，每次12人同时参与，规则是在规定距离外套中锥形桶获胜。讨论站位时，有人提议围成正方形，有人提议围成圆形。你认为哪种方案更合理？请说明理由。 提升练习 二、填空题 5．圆对折后是一个半圆，半圆有( )条对称轴。 6．明明用下面的方法测量5角硬币的直径，这枚5角硬币的直径是( )cm。 7．天天把圆规两脚打开，量得两脚之间的距离是3cm，这样他画出的圆的半径是( )cm，直径是( )cm。若将圆规两脚之间的距离改为4cm，则他所画圆的直径是( )cm。 8．计算车轮转动一周的距离，实际上是计算这个车轮的( )。如果车轮的直径是5dm，转动一周，车轮前进了( )dm。 9．一根绳子刚好可以围成一个边长为3.14dm的正方形，若用这根绳子围成一个圆，这个圆的半径是( )dm，面积是( )。 10．把圆沿任何一条直径对折，正好( )（填“能”或“不能”）完全重合，所以圆是( )图形。 11．一张正方形彩纸的周长是40cm，小文要从这张彩纸上剪下一个最大的圆做手工花，这个圆的直径是( )cm，周长是( )cm。 12．哈勃空间望远镜是设置在地球轨道上用于探测宇宙目标的反射式天文望远镜，主镜面周长为7.536m，直径为( )m。 三、选择题 13．一个圆的直径是4厘米，它的面积是（    ）平方厘米。 A．16 B．25.12 C．50.24 D．12.56 14．一个直径为2cm的圆与一个边长为2cm的正方形，它们的面积相比，（    ）。 A．圆的面积大 B．正方形的面积大 C．一样大 D．无法比较 15．如果一个圆的半径增加1cm，那么它的周长增加（    ）cm。 A．3.14 B．6.28 C．9.42 D．1 16．胡师傅将一块圆形钢板锯成两个半圆形备用，这时周长增加了24cm，原来圆形钢板的面积是（    ）。 A．113.04 B．226.08 C．452.16 D．56.52 17．《九章算术》对圆的面积计算有这样的记载：“半周半径相乘得积步”。意思是利用圆周长的一半乘圆的半径得到圆的面积。利用这个方法计算：一个周长是31.4厘米的圆的面积是（    ）平方厘米。 A．78.5 B．157 C．314 D．31400 四、判断题 18．一个圆的半径是2cm，这个圆的周长和面积一定相等。( ) 19．用4个圆心角是的扇形，一定可以拼成一个圆。( ) 20．两个圆的周长比是3∶4，它们的面积比是9∶16。( ) 21．聪聪用圆规画了一个直径为3cm的圆，红红用圆规画了一个半径为2cm的半圆，红红所画半圆的面积大。( ) 22．已知一个扇形的面积等于，现将它的圆心角缩小到原来的，将它的半径扩大为原来的2倍，这样所得扇形的面积不变。( ) 五、计算题 23．求涂色部分的面积。 （1）    （2） 六、解答题 24．阳光小学课间增加了跳跳球活动，玩跳跳球时需要一只脚在圈内，将跳跳球旋转起来，另一只脚跳起躲避球。如下图，如果站在圈内的脚在跳动时位置不变，那么每个人的活动面积至少是多少平方米？ 25．如下图，已知正方形的面积是10平方分米，那么圆的面积是多少平方分米？ 26．在一个长8米、宽6米的长方形草坪中，修建一个最大的圆形喷泉，圆形喷泉的面积是多少平方米？ 27．王大爷用6.28米长的篱笆靠墙角围一个最大的养鸡场（如下图所示），这个养鸡场的面积是多少平方米？ 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第五单元 圆（单元举一反三讲义） 知识点复习梳理 知识点一、圆的基础认知与核心特征 1. 圆的定义与图形属性 圆是平面内由一条光滑曲线围成的封闭曲线图形，区别于长方形、正方形等线段围成的直线图形，圆没有顶点、没有直边。圆具备“一中同长”的核心特征，是平面内最规整的曲线封闭图形，生活中应用广泛。 2. 圆的三大核心要素 圆心、半径、直径是圆的三大必备要素。圆心用字母O表示，是圆的中心点；半径用字母r表示，是连接圆心和圆上任意一点的线段；直径用字母d表示，是通过圆心且两端都在圆上的线段。 3. 要素核心作用 圆心唯一决定圆的位置，圆心位置改变，圆的整体位置随之改变，大小不变；半径唯一决定圆的大小，半径越长圆越大，半径越短圆越小，圆心位置不变仅改变半径，只改变圆的大小。 4. 同圆与等圆的特征规律 在同一个圆或完全相等的圆中，有无数条半径、无数条直径；所有半径长度全部相等，所有直径长度全部相等。直径与半径存在固定倍数关系，公式为d=2r、r=d÷2，该规律仅适用于同圆或等圆。 5. 圆的对称性 圆是典型的轴对称图形，有无数条对称轴，所有直径所在的直线都是圆的对称轴。将圆形纸片沿任意直径对折，两侧图形能够完全重合，是平面图形中对称轴最多的图形。 知识点二、圆规画圆的规范方法与原理 1. 画圆核心工具 数学中规范画圆统一使用圆规，圆规两脚张开的距离，即为所画圆的半径，两脚距离固定不变，保证画出的圆规整标准。 2. 标准画圆步骤 先确定圆心位置，固定圆规针尖；再调整圆规两脚间距，确定半径长度；握住圆规顶端，平稳旋转一周，即可画出完整标准的圆形，全程保证针尖不偏移、间距不改变。 3. 画圆核心规则 圆心位置随意可画无数个位置不同的圆；半径大小随意可画无数个大小不同的圆；固定圆心和半径，只能画出唯一的一个圆。 知识点三、圆的周长核心知识 1. 周长的定义 围成圆的曲线的总长叫做圆的周长，用字母C表示，是圆一周的长度，区别于圆的面积，仅描述曲线边长长度。 2. 圆周率π的核心概念 任意一个圆的周长与它直径的比值是一个固定不变的无限不循环小数，这个定值叫做圆周率，用希腊字母π表示。π的近似取值为3.14，日常计算统一取3.14，π的数值固定不变，与圆的大小无关。 3. 圆的周长完整公式 已知直径求周长：C=πd；已知半径求周长：C=2πr。可根据题目已知条件灵活选用公式，是圆周长计算的核心依据。 4. 周长逆向推导公式 已知周长求直径：d=C÷π；已知周长求半径：r=C÷π÷2，用于已知周长反向求解圆的基础参数。 5. 半圆的周长概念与公式 半圆的周长不等于圆周长的一半，圆周长的一半仅为曲线长度，半圆周长是曲线加直径的总长度。半圆周长公式：C半圆=πr+2r 或 C半圆=πd÷2+d。 知识点四、圆的面积核心知识与推导原理 1. 面积的定义 圆所占平面的大小叫做圆的面积，用字母S表示，描述圆整体平面区域大小，与周长的长度概念完全区分。 2. 面积转化推导思想 采用割补转化思想，将圆平均分成若干偶数份，剪开后可以拼成一个近似的长方形。平均分的份数越多，拼成的图形越接近标准长方形。 3. 转化图形对应关系 拼成的近似长方形的长等于圆周长的一半，即πr；长方形的宽等于圆的半径r。长方形面积与原圆面积完全相等，无增减变化。 4. 圆的面积计算公式 根据长方形面积=长×宽，推导得出圆的面积公式：S=πr²，r²表示两个半径相乘，不是半径乘2。 5. 半圆的面积公式 半圆面积是整圆面积的一半，无需额外加线段，公式为：S半圆=πr²÷2，仅为平面区域的一半面积。 知识点五、圆环的认识与面积计算 1. 圆环的定义 两个圆心相同、半径不同的同心圆，大圆减去小圆后剩余的环形区域，叫做圆环。圆环必须满足同心圆条件，圆心偏移无法形成标准圆环。 2. 圆环的参数名称 大圆半径用大写字母R表示，小圆半径用小写字母r表示，圆环宽度=R−r，环宽由大小圆半径差值决定。 3. 圆环面积公式 圆环面积=大圆面积−小圆面积，标准公式：S环=πR²−πr²，可化简为S环=π(R²−r²)，是圆环唯一通用计算公式。 知识点六、扇形的基础知识点 1. 扇形的定义 一条弧和经过这条弧两端的两条半径所围成的图形叫做扇形，扇形是圆的一部分，属于规则曲线图形。 2. 扇形各部分名称 圆上两点之间的曲线部分叫做弧；顶点在圆心、由两条半径组成的角叫做圆心角。扇形的大小由圆心角大小和圆的半径长短共同决定。 3. 扇形核心特征 同一个圆中，圆心角越大，扇形面积越大；圆心角越小，扇形面积越小。圆心角为360°是整圆，180°是半圆，90°是四分之一圆。 4. 扇形的对称性 扇形是轴对称图形，只有一条对称轴，为圆心角的角平分线所在直线。 知识点七、半径变化引发的周长、面积变化规律 1. 周长变化规律 圆的半径或直径扩大几倍，周长就扩大相同的倍数，周长与半径成正比例关系，仅随半径倍数同步变化。 2. 面积变化规律 圆的半径扩大n倍，直径、周长均扩大n倍，面积扩大n的平方倍。面积倍数是半径倍数的平方，是本单元核心重难点规律。 3. 圆环变化规律 圆环大小仅与大小圆半径差值相关，半径同步增减相同数值，环宽保持不变，圆环整体形态不变。 知识点八、圆与正方形、长方形的组合规律 1. 正方形内最大圆特征 正方形内部画最大的圆，圆的直径等于正方形的边长，圆心与正方形中心重合，圆贴合正方形四条边。 2. 长方形内最大圆特征 长方形内部画最大的圆，圆的直径等于长方形的宽，以长方形中心为圆心，宽为半径绘制，是长方形内可画的最大圆形。 知识点九、单元高频易错点汇总 1. 基础概念易错 混淆半径、直径定义，误将圆上任意线段当作直径；忽略“同圆或等圆”前提，随意使用d=2r公式；混淆圆心、半径的作用，记错定位置、定大小的核心要素。 2. 周长与面积概念易错 混淆周长与面积的单位、含义与公式；误将圆周长的一半等同于半圆周长，遗漏半圆直径长度，是最高频易错点。 3. 公式计算易错 混淆r²和2r的含义，计算面积时误算成半径×2；周长、面积公式混用；圆环面积忘记平方后再相减，直接半径相减再平方。 4. 倍数规律易错 记错半径变化的倍数规律，误认为面积和周长一样同步扩大相同倍数，忘记面积是平方倍变化。 5. 扇形认知易错 误认为只要是圆的一部分就是扇形，忽略“两条半径+一条弧”的完整定义；记错扇形对称轴数量，混淆扇形与圆的对称性。 6. 图形组合易错 记错长方形、正方形内最大圆的直径取值；组合图形中无法准确拆分圆、半圆、圆环结构，参数对应错误。 7. 取值规范易错 计算时随意更改π的取值，未统一使用3.14；逆向计算周长、半径、直径时公式颠倒，推导错误。 一、例题讲解 【典例】 1．一个圆的直径是6cm，它的周长是( )cm；一个圆的半径是4cm，它的周长是( )cm。 【答案】 18.84 25.12 【分析】已知直径求周长，用公式：周长＝π×直径，π取3.14。 已知半径求周长，用公式：周长＝2×π×半径，π取3.14。 【详解】直径6cm圆周长：3.14×6＝18.84（cm） 半径4cm圆周长：2×3.14×4＝25.12（cm） 【典例】 2．等边三角形有( )条对称轴，长方形有( )条对称轴，等腰梯形有( )条对称轴，圆有( )条对称轴。 【答案】 3 2 1 无数 【分析】沿着一条直线对折图形，如果直线两边的部分能完全重合，这条直线就是这个图形的对称轴 【详解】等边三角形沿3条高所在的直线对折，两边都能完全重合，所以有3条对称轴； 长方形沿上下、左右两组对边中点的连线对折都能重合，斜着对折没法重合，所以有2条对称轴； 等腰梯形只有沿上下底中点的连线对折才会重合，所以只有1条对称轴； 圆随便沿哪条过圆心的直线对折都能重合，过圆心的直线数不清，所以圆有无数条对称轴。 【典例】 3．如图是一把真丝扇面（涂色部分）的折扇，做这样的一把折扇，至少需要真丝布料多少平方分米？ 【答案】12.56平方分米 【分析】求半圆环的面积，涂色部分是半径为3分米的大半圆减去半径为（3－2＝1）分米的小半圆的部分，利用半圆面积公式，π取3.14，用大半圆面积减去小半圆面积，即可求出需要的真丝面料面积。 【详解】3－2＝1（分米） ×3.14×－×3.14× ＝×3.14×9－×3.14×1 ＝×3.14×（9－1） ＝×3.14×8 ＝×8×3.14 ＝4×3.14 ＝12.56（平方分米） 答：至少需要真丝布料12.56平方分米。 【典例】 4．某班同学儿童节玩套圈游戏，每次12人同时参与，规则是在规定距离外套中锥形桶获胜。讨论站位时，有人提议围成正方形，有人提议围成圆形。你认为哪种方案更合理？请说明理由。 【答案】围成圆形的方案更合理。理由：套圈游戏公平的前提是所有参与者到目标的距离相等。将锥形桶放在圆心，12人站在圆周上任意位置，到目标的距离完全相同，游戏公平。而正方形无法让站在边上的12人到中心目标的距离相等，必然有远近差异，游戏不公平。 【分析】判断方案是否合理的核心是套圈游戏的公平性，即每位参与者到锥形桶的距离是否相等，结合圆和正方形的特征对比两种站位的距离情况即可得出结论。 【详解】若围成圆形，把锥形桶放在圆心位置，所有同学站在圆周上。根据圆的特征，同一个圆的所有半径长度相等，因此每位同学到锥形桶的距离都等于圆的半径，距离全部相等，符合公平要求； 若围成正方形，把锥形桶放在正方形的中心，站在正方形顶点的同学到中心的距离大于站在正方形边上的同学到中心的距离，不同位置的同学到锥形桶的距离不相等，不符合公平要求； 综上，围成圆形的方案更合理。 提升练习 二、填空题 5．圆对折后是一个半圆，半圆有( )条对称轴。 【答案】1 【分析】如果一个图形沿某条直线对折后，直线两侧的部分能够完全重合，这条直线就是该图形的对称轴。 【详解】 如图，半圆有1条对称轴。 6．明明用下面的方法测量5角硬币的直径，这枚5角硬币的直径是( )cm。 【答案】2.05 【分析】硬币左侧对齐3cm的刻度线，右侧对齐5.05cm的刻度线，用末端刻度减去起始刻度就是该硬币的直径。 【详解】5.05－3＝2.05（cm） 7．天天把圆规两脚打开，量得两脚之间的距离是3cm，这样他画出的圆的半径是( )cm，直径是( )cm。若将圆规两脚之间的距离改为4cm，则他所画圆的直径是( )cm。 【答案】 3 6 8 【分析】画圆时，圆规两脚分开的距离就是所画圆的半径。在同一个圆里，直径的长度是半径的2倍，也就是直径＝半径×2。 【详解】圆规两脚距3cm，所以半径是3cm； 3×2＝6（cm） 直径是6cm。 两脚距改成4cm，新圆直径：4×2＝8（cm） 8．计算车轮转动一周的距离，实际上是计算这个车轮的( )。如果车轮的直径是5dm，转动一周，车轮前进了( )dm。 【答案】 周长 15.7 【分析】车轮是一个圆形，车轮转动一周，即是圆的周长；知道直径，用C＝πd计算周长。 【详解】3.145＝15.7（dm） 9．一根绳子刚好可以围成一个边长为3.14dm的正方形，若用这根绳子围成一个圆，这个圆的半径是( )dm，面积是( )。 【答案】 2 12.56 【分析】因为绳子长度不变，所以首先根据正方形边长，利用正方形周长公式计算出绳子的总长度，也就是后续围成的圆的周长。 得到圆的周长后，结合圆的周长C＝πd公式，反推计算出圆的半径。 求出半径后，代入圆的面积公式，计算出圆的面积。 【详解】3.14×4÷2÷3.14＝2（dm） 3.14×＝3.14×4＝12.56（） 10．把圆沿任何一条直径对折，正好( )（填“能”或“不能”）完全重合，所以圆是( )图形。 【答案】 能 轴对称 【分析】一个图形沿一条直线对折后，折痕两旁的部分能够完全重合，这样的图形就是轴对称图形，这条直线就是对称轴。 【详解】如图： 把圆沿任何一条直径对折，正好能完全重合，所以圆是轴对称图形。 11．一张正方形彩纸的周长是40cm，小文要从这张彩纸上剪下一个最大的圆做手工花，这个圆的直径是( )cm，周长是( )cm。 【答案】 10 31.4 【分析】先算正方形的边长，因为正方形周长＝边长×4，所以正方形边长＝周长÷4。 从正方形里剪最大的圆，这个圆的直径刚好和正方形的边长相等，根据圆的周长公式：直径×圆周率（取3.14），计算圆的周长。 据此解答。 【详解】正方形边长：40÷4＝10（cm） 圆的直径：10cm 圆的周长：3.14×10＝31.4（cm） 12．哈勃空间望远镜是设置在地球轨道上用于探测宇宙目标的反射式天文望远镜，主镜面周长为7.536m，直径为( )m。 【答案】2.4 【分析】圆的周长＝圆周率×直径，圆周率π的近似值是3.14。已知主镜面是圆形，周长是7.536m，求直径就用周长除以圆周率。 【详解】7.536÷3.14＝2.4（m） 三、选择题 13．一个圆的直径是4厘米，它的面积是（    ）平方厘米。 A．16 B．25.12 C．50.24 D．12.56 【答案】D 【分析】圆的面积，其中半径为2厘米。 【详解】（厘米） （平方厘米） 即，它的面积是12.56平方厘米。 14．一个直径为2cm的圆与一个边长为2cm的正方形，它们的面积相比，（    ）。 A．圆的面积大 B．正方形的面积大 C．一样大 D．无法比较 【答案】B 【分析】分别根据圆的面积公式：和正方形的面积公式：，计算面积再比较两者大小。 【详解】圆的半径：（cm） 圆的面积：（cm2） 正方形的面积：（cm2） ，所以正方形的面积大。 15．如果一个圆的半径增加1cm，那么它的周长增加（    ）cm。 A．3.14 B．6.28 C．9.42 D．1 【答案】B 【分析】假设圆原来的半径是1cm，根据圆的周长公式C＝2πr，π取3.14，分别求出半径增加前后的周长，求差即可得到周长增加的长度。 【详解】假设圆原来的半径是1cm。 原来的周长：2×3.14×1＝6.28（cm） 半径增加后的周长：2×3.14×（1＋1） ＝2×3.14×2 ＝12.56（cm） 增加的周长：12.56－6.28＝6.28（cm） 16．胡师傅将一块圆形钢板锯成两个半圆形备用，这时周长增加了24cm，原来圆形钢板的面积是（    ）。 A．113.04 B．226.08 C．452.16 D．56.52 【答案】A 【分析】把圆形锯成两个半圆形，增加的周长等于2条直径的长度，先求出直径，再计算半径，最后根据圆的面积公式计算面积即可。 【详解】求圆形的直径：（厘米） 求圆形的半径：（厘米） 求圆形的面积： （平方厘米） 17．《九章算术》对圆的面积计算有这样的记载：“半周半径相乘得积步”。意思是利用圆周长的一半乘圆的半径得到圆的面积。利用这个方法计算：一个周长是31.4厘米的圆的面积是（    ）平方厘米。 A．78.5 B．157 C．314 D．31400 【答案】A 【分析】先根据圆的周长公式C＝2πr，π取3.14，分别求出周长的一半和圆的半径，再按照题目给出的“半周乘半径得面积”方法计算即可。 【详解】周长的一半：31.4÷2＝15.7（厘米） 圆的半径：31.4÷（2×3.14） ＝31.4÷6.28 ＝5（厘米） 圆的面积：15.7×5＝78.5（平方厘米） 四、判断题 18．一个圆的半径是2cm，这个圆的周长和面积一定相等。( ) 【答案】× 【分析】圆的周长是围成圆的曲线的总长度，属于长度类的量，单位是长度单位，如厘米；圆的面积是圆所占平面的大小，属于面积类的量，单位是面积单位，如平方厘米，二者意义不同、计量单位不同，二者是完全不同类的量，不能比较大小。 圆周长，圆面积。 【详解】2×3.14×2＝12.56（厘米） 3.14×＝12.56（平方厘米） 不同类的量即使数字相等，代表的意义完全不同，无法比较大小，因此题目说法错误。 故答案为：× 19．用4个圆心角是的扇形，一定可以拼成一个圆。( ) 【答案】 × 【分析】扇形拼成圆需要同时满足圆心角总和为、所有扇形半径相等两个条件，题中仅说明圆心角为，未提及半径是否相等，因此不一定能拼成圆。 【详解】，圆心角总和符合拼成圆的要求，但扇形的大小由半径和圆心角共同决定，若个扇形的半径不相等，则无法拼成圆。 故答案为：× 20．两个圆的周长比是3∶4，它们的面积比是9∶16。( ) 【答案】 √ 【分析】设两个圆的半径分别为和。根据“（为半径）”可知两圆的周长分别为和，由两个圆的周长比是3∶4可得∶＝3∶4；然后根据“（为半径）”可知两圆的面积分别为和，由此可计算∶＝∶，据此代入∶＝3∶4计算即可。 【详解】设两个圆的半径分别为和。 两个圆的周长比是3∶4，即： ∶ ＝∶ ＝∶ ＝3∶4 那么两个圆的面积比是： ∶ ＝∶ ＝∶ ＝ ＝ ＝ ＝9∶16 两个圆的周长比是3∶4，它们的面积比是9∶16。原说法正确。 故答案为：√ 21．聪聪用圆规画了一个直径为3cm的圆，红红用圆规画了一个半径为2cm的半圆，红红所画半圆的面积大。( ) 【答案】 × 【分析】根据“半径＝直径÷2”用3除以2计算出聪聪画的圆的半径是1.5cm，再根据“圆的面积＝πr2（r为半径）”代入数值计算出半径1.5cm的圆的面积；红红画的半圆的面积是半径2cm的圆的面积的一半，先根据“圆的面积＝πr2（r为半径）”代入数值计算出半径2cm的圆的面积，再将半径2cm的圆的面积除以2即可计算出红红所画半圆的面积；最后将两个面积进行比较即可。 【详解】根据分析： 聪聪所画圆的面积：（3÷2）2π＝1.52π＝2.25π（cm2） 红红所画半圆的面积：22π÷2＝4π÷2＝2π（cm2） 2.25π＞2π，所以聪聪所画圆的面积大。 聪聪用圆规画了一个直径为3cm的圆，红红用圆规画了一个半径为2cm的半圆，聪聪所画圆的面积大。原说法错误。 故答案为：× 22．已知一个扇形的面积等于，现将它的圆心角缩小到原来的，将它的半径扩大为原来的2倍，这样所得扇形的面积不变。( ) 【答案】× 【分析】根据扇形的面积公式，扇形的面积与圆心角的大小成正比，与半径的平方成正比。圆心角缩小到原来的，面积缩小为原来的；半径扩大为原来的2倍，面积扩大为原来的倍，最后用现在的面积除以原来的面积即可。 【详解】 ＝40×4 ＝160（cm²） 160÷80＝2 即扇形的面积扩大为原来的2倍，原说法错误。 故答案为：× 五、计算题 23．求涂色部分的面积。 （1）    （2） 【答案】（1）12.5平方厘米 （2）34.74平方厘米 【分析】（1）先确定图形的构成，明确涂色部分可通过割补法转化为规则图形。因为下方两个扇形的半径和上方半圆的半径相同，且两个扇形可拼接为和上方半圆面积相等的图形，所以可将涂色部分转化为正方形面积的一半，利用正方形面积＝边长×边长计算。 （2），圆的面积。先判断涂色部分为直角梯形减去四分之一圆的面积。因为已知圆的半径等于梯形的高和上底，梯形下底已知，所以先分别计算直角梯形面积和四分之一圆的面积，再作差得到涂色部分面积。 【详解】（1）如图， 5×5÷2＝12.5（平方厘米） 阴影部分的面积是12.5平方厘米。 （2）（6＋15）×6÷2 ＝21×6÷2 ＝63（平方厘米） （平方厘米） 63－28.26＝34.74（平方厘米） 阴影部分的面积是34.74平方厘米。 六、解答题 24．阳光小学课间增加了跳跳球活动，玩跳跳球时需要一只脚在圈内，将跳跳球旋转起来，另一只脚跳起躲避球。如下图，如果站在圈内的脚在跳动时位置不变，那么每个人的活动面积至少是多少平方米？ 【答案】2.5434平方米 【分析】站在圈内的脚位置不变，跳跳球旋转形成一个圆，绳长90 厘米就是圆的半径，活动面积就是这个圆的面积，先把单位换算成米，再根据圆的面积公式S＝πr2，π取3.14，代入数值即可解答。 【详解】90厘米＝0.9米 3.14×0.92 ＝3.14×0.81 ＝2.5434（平方米） 答：每个人的活动面积至少是2.5434平方米。 25．如下图，已知正方形的面积是10平方分米，那么圆的面积是多少平方分米？ 【答案】31.4平方分米 【分析】观察可知，正方形的边长等于圆的半径r，根据正方形面积＝边长×边长可知：r2＝10，圆的面积＝πr2，用π×10，求出圆的面积。 【详解】3.14×10＝31.4（平方分米） 答：圆的面积是31.4平方分米。 26．在一个长8米、宽6米的长方形草坪中，修建一个最大的圆形喷泉，圆形喷泉的面积是多少平方米？ 【答案】28.26平方米 【分析】长方形内最大的圆的直径等于长方形较短的边的长度，先用直径除以2求出圆的半径，再根据圆的面积公式S＝πr2，π取3.14，计算面积。 【详解】要修建最大的圆形喷泉，圆的直径不能超过长方形的长和宽，因此最大直径等于长方形的宽，即6米。 圆的半径：6÷2＝3（米） 圆的面积：3.14×32 ＝3.14×9 ＝28.26（平方米） 答：圆形喷泉的面积是28.26平方米。 27．王大爷用6.28米长的篱笆靠墙角围一个最大的养鸡场（如下图所示），这个养鸡场的面积是多少平方米？ 【答案】 12.56平方米 【分析】首先判断图形：靠墙角围养鸡场，篱笆只围了四分之一圆的弧长，所以这个养鸡场是四分之一圆，篱笆长度就是这个四分之一圆的弧长。求半径：根据圆的周长公式，四分之一圆的弧长为，代入弧长6.28米、，计算得出半径米。求面积：四分之一圆的面积是整圆面积的，代入圆的面积公式，计算得到四分之一圆的面积，也就是养鸡场的面积。 【详解】半径： （米） 面积： （平方米） 答：这个养鸡场的面积是平方米。 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $