第四单元 第 9 课时 用比例解决实际问题（讲义）2026-2027学年六年级上册数学（苏教版）

本讲义聚焦“用比例解决实际问题”核心知识点，承接比例意义与基本性质，构建“解比例基础-方法建模-场景应用-变式拓展”完整学习路径，涵盖解比例方法、正反比例判断与应用及多场景综合应用，为后续函数学习筑牢根基。 该资料以分层练习（基础、提升、培优）和易错预警为特色，融入模型、对应等数学思想，通过购物、行程等生活场景培养模型意识与应用意识，课中辅助教师高效授课，课后助力学生查漏补缺，提升解决实际问题能力。

第 9 课时 用比例解决实际问题 第一部分 课时核心素养与新知建构 1 一、新知脉络全景梳理 1 二、核心解题方法图谱记忆 2 三、课时数学思想与素养提升 2 第二部分 核心考点深度解构与解题策略精讲 3 考点一：解比例的基础方法（核心必考） 3 考点二：正比例的判断与应用（核心必考） 5 考点三：反比例的判断与应用（核心必考） 6 考点四：正反比例的综合判断（提升层级） 8 考点五：用比例解决实际问题的综合应用（拓展应用） 9 第三部分 高频易错预警与避坑指南 11 易错点 1：解比例时，内外项混淆，列等式错误 11 易错点 2：正反比例判断错误，正比例与反比例混淆 11 易错点 3：用比例解决问题时，比例式列反，量的对应关系错误 11 易错点 4：实际应用中，单位不统一，直接计算 12 易错点 5：反比例问题列成比例式，混淆正反比例的解法 12 第四部分 分层能力进阶与课时达标精练 13 一、基础夯实达标练（6 题） 13 二、能力拓展提升练（4 题） 14 三、思维拓展培优练（2 题） 16 四、 数学活动拓展 16 第五部分 习题精准解析与知识点睛 17 学科网（北京）股份有限公司 第一部分 课时核心素养与新知建构 一、新知脉络全景梳理 本课时是苏教版 2024 版六年级上册第四单元《比和比例》的综合应用核心课，承接前 8 课时比例的意义、比例的基本性质的知识基础，严格对标《义务教育数学课程标准（2022 年版）》“数与代数” 领域数量关系主题要求，是学生从 “比例的概念与性质” 进阶到 “比例的实际应用” 的核心落地课。本课时核心掌握解比例的意义与通用方法、用比例的基本性质解比例、正比例 / 反比例的判断与应用、用比例解决实际问题的通用步骤、常见场景的比例应用模型五大核心内容。全课时建立 “解比例基础 — 方法建模 — 场景应用 — 变式拓展 — 综合提升” 的完整学习路径，围绕运算能力、模型意识、应用意识、推理意识四条核心素养主线，让学生熟练运用比例的基本性质解比例，能准确判断两种量的比例关系，用比例解决生活中的实际问题，为后续正比例、反比例的系统学习及初中函数知识筑牢应用根基。 知识模块 核心内容 关键方法 易错预警 解比例的基础 解比例的意义，比例的基本性质在解比例中的应用 概念辨析法、性质应用法 混淆内外项，列等式错误，解方程失误 解比例的通用方法 利用比例的基本性质，外项积 = 内项积，结合方程求解未知项 性质逆用法、方程法 分数形式的比例内外项识别错误，计算过程失误 正比例 / 反比例判断 两种相关联的量，比值一定成正比例，乘积一定成反比例 定义判断法、数量关系分析法 比例关系判断错误，正比例与反比例混淆 用比例解决实际问题 正比例问题：比值相等列比例式；反比例问题：乘积相等列方程 模型建模法、量率对应法 比例式列反，单位不统一，忽略隐藏条件 多场景综合应用 购物、行程、工程、图形、浓度配比等场景的比例应用 场景建模法、综合分析法 场景理解偏差，数量关系对应错误，强行套用模型 二、核心解题方法图谱记忆 方法名称 适用题型 操作路径 技巧口诀 解比例通用法 所有解比例题型 ① 确定比例的外项和内项；② 根据比例的基本性质，列乘法等式（外项积 = 内项积）；③ 解方程，求出未知项；④ 检验结果 解比例，很简单，基本性质是关键，外项积等于内项积，解方程求未知 正比例应用法 正比例实际问题题型 ① 判断两种量成正比例关系（比值一定）；② 设未知量为；③ 根据比值相等列比例式；④ 解比例，检验作答 正比例，比值定，前后项对应列比例，解出未知要检验 反比例应用法 反比例实际问题题型 ① 判断两种量成反比例关系（乘积一定）；② 设未知量为；③ 根据乘积相等列方程；④ 解方程，检验作答 反比例，乘积定，等量关系列方程，解出未知要检验 比例关系判断法 正反比例判断题型 ① 找两种相关联的量；② 写出数量关系式；③ 看比值一定还是乘积一定；④ 比值一定成正比例，乘积一定成反比例 正反比例判断，先找关联量，再看积与比，比值正比积反比 单位统一法 带单位的实际问题题型 ① 观察题目中的单位；② 统一前后项的单位；③ 再列比例式或方程求解 实际应用先看单位，统一之后再动笔，单位不统一，计算必出错 三、课时数学思想与素养提升 1. 模型思想：用比例解决问题的通用模型 核心要义：提炼出用比例解决实际问题的通用解题模型，无论是正比例还是反比例问题，都可以通过 “判断比例关系→设未知量→列比例式 / 方程→求解→检验” 的通用步骤解决，实现 “学一类、通一片” 的迁移效果，培养模型建构与应用能力。 典型范式：购物问题中，单价一定，总价和数量成正比例，列比例式；总价一定，单价和数量成反比例，列方程，都可以套用通用解题模型解决。 2. 对应思想：量与量的一一对应 核心要义：比例式中，前项和后项的量必须一一对应，正比例问题中，两种量的对应关系必须严格匹配，反比例问题中，乘积的两个量必须对应，在解题中始终保持量与量的对应关系，培养严谨的对应思想。 典型范式：行程问题中，速度一定，路程和时间成正比例，必须是 “路程 1: 时间 1 = 路程 2: 时间 2”，不能颠倒对应关系，否则比例式错误。 3. 转化思想：实际问题向数学模型的转化 核心要义：将生活中的实际问题，转化为正比例、反比例的数学模型，用已学的比例知识解决陌生的实际问题，实现知识的正向迁移，培养转化思想。 典型范式：把 “汽车行驶的路程和时间” 的实际问题，转化为 “速度一定，路程和时间成正比例” 的数学模型，用比例的方法解决。 4. 应用思想：比例知识的生活落地 核心要义：比例知识广泛应用于购物、行程、工程、图形缩放、浓度配比等生活场景，体会比例在解决实际问题中的核心价值，培养用数学方法解决实际问题的应用意识。 典型范式：地图的比例尺、图形的缩放、商品的比价、工程的效率问题，都是比例知识在生活中的直接应用。 第二部分 核心考点深度解构与解题策略精讲 考点一：解比例的基础方法（核心必考） 典型例题 1（核心层级）—— 解比例 题目：解下列比例。 （1） （2） （3） 思路点拨： ① 第一步：明确解比例的核心依据：比例的基本性质，即在比例里，两个外项的积等于两个内项的积。 ② 第二步：逐个解比例： · （1） · 第一步：识别内外项，外项是 3 和 24，内项是 8 和； · 第二步：根据比例的基本性质，列等式：； · 第三步：解方程：，； · 第四步：检验：把代入原比例，得到，比值都是，比例成立，结果正确。 · （2） · 第一步：识别内外项，分数形式的比例，外项是和 10，内项是 5 和 6； · 第二步：根据比例的基本性质，列等式：； · 第三步：解方程：，； · 第四步：检验：把代入原比例，得到，比值都是，比例成立，结果正确。 · （3） · 第一步：识别内外项，外项是 1.5 和 4，内项是和 3； · 第二步：根据比例的基本性质，列等式：； · 第三步：解方程：，； · 第四步：检验：把代入原比例，得到，比值都是 0.75，比例成立，结果正确。 【答案】（1）；（2）；（3） 【知识点睛】解比例核心要点： 1. 核心定义：求比例中的未知项，叫作解比例，解比例的核心依据是比例的基本性质。 2. 通用解题步骤： ① 识别内外项：确定比例的外项和内项，分数形式的比例交叉识别内外项； ② 列等式：根据 “外项积 = 内项积”，列出乘法等式； ③ 解方程：根据等式的性质，求解未知数； ④ 检验：把结果代入原比例，验证比值是否相等，确保结果正确。 3. 分数形式的解比例技巧：分数形式的比例，直接交叉相乘，得到，再解方程，无需转化为比号形式，更简便。 4. 易错提醒：列等式时，必须严格遵循 “外项积 = 内项积”，不能颠倒内外项；解方程时，要注意运算符号，确保计算准确；必须检验，避免计算错误。 考点二：正比例的判断与应用（核心必考） 典型例题 2（核心层级）—— 正比例应用 题目：一辆汽车 2 小时行驶 120 千米，照这样的速度，5 小时能行驶多少千米？（用比例的方法解答） 思路点拨： ① 第一步：判断比例关系。汽车的速度一定，行驶的路程和时间成正比例关系，因为路程 ÷ 时间 = 速度（一定），比值一定，成正比例。 ② 第二步：设未知量。设 5 小时能行驶千米。 ③ 第三步：列比例式。根据正比例关系，路程和时间的比值相等，列出比例式： ④ 第四步：解比例。根据比例的基本性质，外项积 = 内项积，得到： ⑤ 第五步：检验作答。把代入原比例，，，比值相等，比例成立。 答：5 小时能行驶 300 千米。 【答案】5 小时能行驶千米。 【知识点睛】正比例应用核心要点： 1. 正比例的核心定义：两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的比值（商）一定，这两种量就成正比例关系。 2. 正比例的判断方法： ① 找两种相关联的量； ② 写出数量关系式：（一定）； ③ 比值一定，成正比例关系。 3. 用正比例解决问题的通用步骤： ① 判断两种量成正比例关系； ② 设未知量为； ③ 根据比值相等，列出比例式； ④ 解比例，求出； ⑤ 检验，写出答语。 4. 常见的正比例场景： · 速度一定，路程和时间成正比例； · 单价一定，总价和数量成正比例； · 工作效率一定，工作总量和工作时间成正比例； · 每本书的厚度一定，书的本数和总厚度成正比例。 5. 易错提醒：列比例式时，要注意量的对应关系，前项和后项的量必须一致，比如路程：时间 = 路程：时间，不能颠倒；单位不统一的，要先统一单位，再列比例式。 考点三：反比例的判断与应用（核心必考） 典型例题 3（核心层级）—— 反比例应用 题目：学校食堂运来一批煤，原计划每天烧 30 千克，可以烧 12 天；实际每天烧 20 千克，实际可以烧多少天？（用比例的方法解答） 思路点拨： ① 第一步：判断比例关系。煤的总质量一定，每天烧的质量和烧的天数成反比例关系，因为每天烧的质量 × 烧的天数 = 总质量（一定），乘积一定，成反比例。 ② 第二步：设未知量。设实际可以烧天。 ③ 第三步：列方程。根据反比例关系，每天烧的质量和烧的天数的乘积相等，列出方程： ④ 第四步：解方程： ⑤ 第五步：检验作答。把代入方程，左边，右边，左边 = 右边，方程成立。 答：实际可以烧 18 天。 【答案】实际可以烧天。 【知识点睛】反比例应用核心要点： 1. 反比例的核心定义：两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的乘积一定，这两种量就成反比例关系。 2. 反比例的判断方法： ① 找两种相关联的量； ② 写出数量关系式：（一定）； ③ 乘积一定，成反比例关系。 3. 用反比例解决问题的通用步骤： ① 判断两种量成反比例关系； ② 设未知量为； ③ 根据乘积相等，列出方程； ④ 解方程，求出； ⑤ 检验，写出答语。 4. 常见的反比例场景： · 总路程一定，速度和时间成反比例； · 总价一定，单价和数量成反比例； · 工作总量一定，工作效率和工作时间成反比例； · 长方形面积一定，长和宽成反比例。 5. 易错提醒：反比例问题列的是方程，不是比例式，因为是乘积相等，不是比值相等；要注意两种量的乘积对应的是固定的总量，不能找错乘积关系。 考点四：正反比例的综合判断（提升层级） 典型例题 4（提升层级）—— 比例关系判断 题目：判断下面各题中两种量成什么比例关系，并说明理由。 （1）圆的周长和它的直径。 （2）一个人的年龄和他的身高。 （3）长方形的面积一定，它的长和宽。 （4）正方形的边长和它的面积。 思路点拨： ① 第一步：明确正反比例的判断标准：比值一定成正比例，乘积一定成反比例，都不一定则不成比例。 ② 第二步：逐个判断： · （1）圆的周长和它的直径： · 圆的周长公式：，（一定），比值一定，因此圆的周长和直径成正比例关系。 · （2）一个人的年龄和他的身高： · 年龄和身高不是相关联的量，身高不会随年龄的变化而有固定的比值或乘积关系，因此不成比例关系。 · （3）长方形的面积一定，它的长和宽： · 长方形面积公式：，（一定），乘积一定，因此长和宽成反比例关系。 · （4）正方形的边长和它的面积： · 正方形面积公式：，，是变化的，比值不一定；，乘积也不一定，因此不成比例关系。 【答案】 （1）成正比例关系，理由：（一定），比值一定； （2）不成比例关系，理由：年龄和身高不是相关联的量，没有固定的比值或乘积关系； （3）成反比例关系，理由：长 × 宽 = 长方形面积（一定），乘积一定； （4）不成比例关系，理由：面积和边长的比值、乘积都不是固定的，不成比例。 【知识点睛】正反比例判断核心要点： 1. 判断三步法： ① 找两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化； ② 写数量关系式，看是比值一定还是乘积一定； ③ 比值一定成正比例，乘积一定成反比例，都不一定则不成比例。 2. 易错提醒： · 不是所有相关联的量都成比例，必须有固定的比值或乘积关系； · 正方形的边长和面积、圆的面积和半径的平方，都不成比例，因为比值和乘积都不固定； · 身高和年龄、正方形的边长和周长（成正比例），要注意区分。 考点五：用比例解决实际问题的综合应用（拓展应用） 典型例题 5（拓展层级）—— 多场景综合应用 题目：在比例尺是的地图上，量得甲、乙两地的距离是 6 厘米。一辆汽车从甲地开往乙地，每小时行驶 60 千米，需要多少小时才能到达？ 思路点拨： ① 第一步：根据比例尺的意义，求出甲、乙两地的实际距离。 比例尺 = 图上距离：实际距离，因此图上距离和实际距离成正比例关系。 设甲、乙两地的实际距离是厘米，列出比例式： 解得：厘米 换算单位：30000000 厘米 = 300 千米 ② 第二步：根据行程问题的数量关系，求出行驶时间。 时间 = 路程 ÷ 速度，已知路程 300 千米，速度 60 千米 / 时， 时间 =小时。 ③ 第三步：检验作答。比例尺，6 厘米对应实际距离 300 千米，正确；300÷60=5 小时，正确。 答：需要 5 小时才能到达。 【答案】需要小时才能到达。 【知识点睛】综合应用核心要点： 1. 核心逻辑：复杂的比例应用问题，需要先通过比例尺、归一问题等求出中间量，再结合行程、工程等问题的数量关系求解，分步解决。 2. 常见的综合场景： · 比例尺 + 行程问题：先根据比例尺求实际距离，再求行驶时间； · 归一问题 + 比例应用：先求出单一量，再用比例求总量； · 图形缩放 + 面积计算：先根据比例求缩放后的边长，再计算面积。 3. 解题步骤： ① 分析题目中的数量关系，拆分问题为多个步骤； ② 先解决基础的比例问题，求出中间量； ③ 再结合其他数量关系，求解最终问题； ④ 检验每一步的结果，确保计算正确。 4. 易错提醒：单位换算容易出错，比例尺的单位是厘米，要换算成千米或米，再进行后续计算；多步骤问题要注意逻辑顺序，不能颠倒步骤。 第三部分 高频易错预警与避坑指南 易错点 1：解比例时，内外项混淆，列等式错误 错误范式：解比例，错误列成，把内项和外项搞混，等式错误。 成因剖析：对比例的外项和内项的定义理解不清，无法正确识别内外项，导致列等式时对应错误。 避坑方案：牢记内外项的定义：比例两端的两项是外项，中间的两项是内项。列等式前，先圈出比例的外项和内项，再根据 “外项积 = 内项积” 列等式，避免混淆。口诀：解比例，先圈项，两端外，中间内，外项积等于内项积，列对等式不犯错。 易错点 2：正反比例判断错误，正比例与反比例混淆 错误范式：判断 “长方形的周长一定，长和宽成反比例”，错误认为周长一定，长和宽的乘积一定，成反比例。 成因剖析：对正反比例的定义理解不清，没有正确写出数量关系式，混淆了 “和一定” 和 “乘积一定”。 避坑方案：牢记正反比例的判断标准：比值一定成正比例，乘积一定成反比例，和一定、差一定都不成比例。判断时先写出数量关系式，再看是比值一定还是乘积一定，不能凭感觉判断。 易错点 3：用比例解决问题时，比例式列反，量的对应关系错误 错误范式：汽车 2 小时行驶 120 千米，5 小时行驶千米，错误列出比例式，虽然结果正确，但量的对应关系错误，逻辑混乱。 成因剖析：对正比例的数量关系理解不清，没有明确 “路程和时间的比值一定”，而是颠倒了前后项的对应关系。 避坑方案：列比例式时，先确定两个比的前项和后项，必须是同类量对应，比如路程：时间 = 路程：时间，前项都是路程，后项都是时间，不能颠倒。口诀：列比例，先对应，同类量，前后项，比值相等列对式。 易错点 4：实际应用中，单位不统一，直接计算 错误范式：在比例尺的地图上，量得距离 6 厘米，直接用千米，单位换算错误。 成因剖析：只关注数字计算，忽略单位的差异，比例尺的单位是厘米，没有换算成实际的千米单位。 避坑方案：实际应用中，计算前先统一单位，计算后再换算单位。比例尺的计算结果单位是厘米，要根据题目要求换算成米或千米，1 千米 = 100000 厘米，换算时要仔细。 易错点 5：反比例问题列成比例式，混淆正反比例的解法 错误范式：煤的总质量一定，每天烧 30 千克，烧 12 天，每天烧 20 千克，烧天，错误列出比例式，用正比例的方法解反比例问题。 成因剖析：对正反比例的核心区别理解不清，不知道反比例是乘积一定，列方程，不是比值相等的比例式。 避坑方案：牢记：正比例问题列比例式（比值相等），反比例问题列方程（乘积相等）。解题前先判断比例关系，再选择对应的解法，不能混淆。 第四部分 分层能力进阶与课时达标精练 一、基础夯实达标练（6 题） 1. 填空： （1）求比例中的未知项，叫作（ ），解比例的核心依据是（ ）。 （2）在比例里，两个（ ）的积等于两个（ ）的积，这叫作比例的基本性质。 （3）两种相关联的量，比值一定，成（ ）比例关系；乘积一定，成（ ）比例关系。 （4）速度一定，路程和时间成（ ）比例；总价一定，单价和数量成（ ）比例。 （5）解比例，外项是（ ）和（ ），内项是（ ）和（ ），根据比例的基本性质，列等式是（ ），解得。 2. 判断： （1）解比例的依据是比例的基本性质。（ ） （2）圆的周长和直径成正比例关系。（ ） （3）长方形的面积一定，长和宽成反比例关系。（ ） （4）正方形的边长和面积成正比例关系。（ ） （5）解比例，解得。（ ） 3. 选择： （1）下面的式子中，属于解比例的是（ ）。 A. B. C. （2）下面两种量中，成正比例关系的是（ ）。 A. 长方形的长一定，宽和面积 B. 总价一定，单价和数量 C. 圆的半径和面积 （3）下面两种量中，成反比例关系的是（ ）。 A. 速度一定，路程和时间 B. 工作总量一定，工作效率和工作时间 C. 正方形的边长和周长 （4）解比例，的值是（ ）。 A. 2 B. 3 C. 4 4. 解下列比例： （1） （2） （3） （4） 5. 用比例的方法解决问题： （1）一辆汽车 3 小时行驶 180 千米，照这样的速度，4 小时能行驶多少千米？ （2）学校买来一批练习本，每班分 40 本，可以分给 12 个班；如果每班分 30 本，可以分给多少个班？ 6. 说理题： 请你说一说正比例和反比例的核心区别，并举例子说明。 二、能力拓展提升练（4 题） 7. 选择： （1）一个三角形的底一定，它的面积和高成（ ）关系。 A. 正比例 B. 反比例 C. 不成比例 （2）下面的说法中，正确的是（ ）。 A. 互为倒数的两个数成反比例关系 B. 正方形的边长和面积成正比例关系 C. 圆的周长和半径成反比例关系 （3）在比例尺是的地图上，量得甲、乙两地的距离是 5 厘米，甲、乙两地的实际距离是（ ）千米。 A. 50 B. 500 C. 5000 8. 填空： （1）如果（均不为 0），那么，和成（ ）比例关系。 （2）如果和成反比例关系，当时，；当时，。 （3）在比例中，外项积是（ ），内项积是（ ）。 9. 解决问题： （1）在比例尺是的地图上，量得甲、乙两地的距离是 8 厘米。一辆汽车从甲地开往乙地，每小时行驶 80 千米，需要多少小时才能到达？ （2）用方砖铺地，用边长 30 厘米的方砖，需要 2000 块；如果改用边长 50 厘米的方砖，需要多少块？ 10. 探究题： 已知和成正比例关系，当时，；当时，是多少？如果和成反比例关系，当时，是多少？ 三、思维拓展培优练（2 题） 11. 甲、乙两个车间的人数比是，如果从甲车间调 12 人到乙车间，两个车间的人数比就变成，原来甲、乙两个车间各有多少人？（用比例的方法解答） 12. 一艘轮船往返于甲、乙两个码头之间，顺水行驶时每小时行 20 千米，逆水行驶时每小时行 15 千米，往返一次共用 35 小时。甲、乙两个码头之间的距离是多少千米？（用比例的方法解答） 四、数学活动拓展 实践活动：生活中的比例应用大调查 活动任务： 1. 收集生活中 3 个用比例解决问题的场景（如购物比价、行程规划、地图比例尺、工程问题等）； 2. 记录场景中的数据，判断比例关系，用比例的方法解决问题； 3. 和同学分享你的调查结果，讨论比例在生活中的应用价值； 4. 自己编一道用比例解决的实际应用题，和同学交换解答。 要求：通过真实生活调查，深化对比例应用的理解，体会数学的实用价值，提升应用意识与实践探究能力。 第五部分 习题精准解析与知识点睛 一、基础夯实达标练解析 1. 【答案】 （1）解比例；比例的基本性质 （2）外项；内项 （3）正；反 （4）正；反 （5）；8；4；6；；3 思路点拨： ① 解比例的定义和依据； ② 比例的基本性质：外项积 = 内项积； ③ 正反比例的定义：比值一定成正比例，乘积一定成反比例； ④ 速度一定，路程和时间比值一定，成正比例；总价一定，单价和数量乘积一定，成反比例； ⑤ 比例，外项是和 8，内项是 4 和 6，列等式，解得。 【知识点睛】基础概念识记题型，覆盖解比例、正反比例判断、比例的基本性质，夯实概念基础。 2. 【答案】（1）√ （2）√ （3）√ （4）× （5）√ 思路点拨： ① 解比例的依据是比例的基本性质，正确； ② 圆的周长 ÷ 直径 =π（一定），成正比例，正确； ③ 长 × 宽 = 面积（一定），成反比例，正确； ④ 面积 ÷ 边长 = 边长（变化），不成正比例，错误； ⑤ ，，，正确。 【知识点睛】概念辨析题型，针对性规避正反比例判断、解比例计算等高频易错点，深化概念理解。 3. 【答案】（1）C （2）A （3）B （4）A 思路点拨： A 是加法，B 是简易方程，C 是比例，解比例是求比例中的未知项，选 C； A 选项面积 ÷ 宽 = 长（一定），成正比例；B 选项单价 × 数量 = 总价（一定），成反比例；C 选项面积 ÷ 半径 =πr（变化），不成比例，选 A； A 选项路程 ÷ 时间 = 速度（一定），成正比例；B 选项效率 × 时间 = 总量（一定），成反比例；C 选项周长 ÷ 边长 = 4（一定），成正比例，选 B； ，，，，选 A。 【知识点睛】基础选择题型，考查解比例定义、正反比例判断、解比例计算，训练基础应用能力。 4. 【答案】 （1） （2） （3） （4） 思路点拨： 根据比例的基本性质，外项积 = 内项积，列方程求解，注意内外项的对应关系，计算准确。 【知识点睛】基础解比例题型，巩固解比例的通用方法，训练规范的解题步骤。 5. 【答案】 （1）速度一定，路程和时间成正比例关系。 设 4 小时能行驶千米，列比例式： 答：4 小时能行驶 240 千米。 （2）总本数一定，每班分的本数和班数成反比例关系。 设可以分给个班，列方程： 答：可以分给 16 个班。 思路点拨： 先判断比例关系，正比例列比例式，反比例列方程，求解后检验，写出答语。 【知识点睛】基础应用题，结合行程、分配场景考查正反比例的应用，巩固解题方法。 6. 【答案】 核心区别：① 定义不同：正比例是两种量的比值一定，反比例是两种量的乘积一定；② 数量关系不同：正比例的关系式是（一定），反比例的关系式是（一定）；③ 变化规律不同：正比例是一种量扩大，另一种量也随着扩大，比值不变；反比例是一种量扩大，另一种量反而缩小，乘积不变。 举例：速度一定，路程和时间成正比例，时间扩大 2 倍，路程也扩大 2 倍；总价一定，单价和数量成反比例，单价扩大 2 倍，数量反而缩小 2 倍。 思路点拨： 从定义、数量关系、变化规律三个维度区分正反比例，结合具体例子说明，清晰呈现二者的概念边界。 【知识点睛】概念归纳题型，培养对比辨析与归纳表达能力，深化对正反比例概念的本质理解。 二、能力拓展提升练解析 7. 【答案】（1）A （2）A （3）A 思路点拨： 三角形面积 = 底 × 高 ÷2，底一定，面积 ÷ 高 = 底 ÷2（一定），成正比例，选 A； 互为倒数的两个数乘积 = 1（一定），成反比例，A 正确；正方形边长和面积不成比例，B 错误；圆的周长 ÷ 半径 = 2π（一定），成正比例，C 错误，选 A； 实际距离 = 图上距离 ÷ 比例尺 = 5÷=5000000 厘米 = 50 千米，选 A。 【知识点睛】综合应用题型，考查正反比例判断、比例尺计算，提升综合应用能力。 8. 【答案】 （1）4；3；正 （2）8 （3）24；24 思路点拨： ，，比值一定，成正比例； 和成反比例，乘积一定，，； 外项积，内项积。 【知识点睛】进阶填空题，考查比例的基本性质、正反比例的灵活应用，强化知识的综合运用。 9. 【答案】 （1）实际距离 = 8×6000000=48000000 厘米 = 480 千米 时间 = 480÷80=6 小时 答：需要 6 小时才能到达。 （2）房间面积一定，方砖面积和块数成反比例关系。 设需要块，列方程： 答：需要 360 块。 思路点拨： 先根据比例尺求出实际距离，再计算时间；方砖铺地问题，面积一定，方砖面积和块数成反比例，列方程求解。 【知识点睛】综合应用题，结合比例尺、铺地问题考查比例的综合应用，提升分析与解决问题的能力。 10. 【答案】 正比例情况： 和成正比例，比值一定，，当时，； 反比例情况： 和成反比例，乘积一定，，当时，。 答：正比例时，反比例时。 思路点拨： 根据正反比例的定义，分别求出比值和乘积，再计算对应的值。 【知识点睛】探究拓展题型，通过正反比例的对比，深化对两种比例关系的理解，培养归纳推理能力。 三、思维拓展培优练解析 11. 【答案】 设原来甲车间有人，乙车间有人，根据题意列比例式： 原来甲车间：人，乙车间：人。 答：原来甲车间有 60 人，乙车间有 36 人。 思路点拨： 根据人数比设未知数，再根据调动后的人数比列比例式，解方程求解。 【知识点睛】比例与方程结合的拓展题，培养逆向推理与综合应用能力，深化对比例应用的理解。 12. 【答案】 往返路程一定，行驶速度与所用时间成反比例关系，因此顺水速度与逆水速度的比等于逆水时间与顺水时间的反比。 顺水速度逆水速度 ，因此顺水时间逆水时间 。 总时间对应总份数 份，对应 35 小时， 每份时间： 小时 顺水时间： 小时 甲乙码头距离： 千米 答：甲、乙两个码头之间的距离是 300 千米。 思路点拨： 路程一定时，速度与时间成反比例，速度比等于时间的反比；先根据速度比求出时间比，再结合总时间求出顺水行驶时间，最终计算两地距离。 【知识点睛】反比例与行程问题结合的拓展题，培养路程一定时速度与时间反比关系的应用能力，深化反比例的本质理解。 四、数学活动拓展解析 活动参考过程： 1． 场景调查：收集购物比价、行程规划、地图比例尺、工程施工、溶液配制等生活中的比例应用场景，记录相关数据； 2． 解题实践：对每个场景先判断比例关系，再选择对应方法列式求解，验证结果的合理性； 3． 分享交流：和同学分享调查结果，讨论正比例与反比例在生活中的不同应用场景，总结解题注意事项； 4． 编题互动：自主编一道正比例或反比例的实际应用题，和同学交换解答，互相批改，巩固解题方法。 【知识点睛】通过真实生活实践，整合正比例、反比例的判断与应用方法，提升应用意识、实践探究能力与合作交流能力，让学生在真实场景中感受比例的实用价值，落实模型意识与应用意识核心素养的培养目标。 1 学科网（北京）股份有限公司 $