第四单元比和比例（讲义）-2026-2027学年六年级上册数学苏教版

该小学数学《比和比例》单元复习讲义通过知识框架图系统梳理单元核心内容，从比与比例的概念、性质到应用，构建“概念认知-性质理解-实践应用”的递进体系，用对比表格呈现比、分数、除法的关联与区别，思维导图梳理按比分配、解比例等应用流程，清晰呈现重难点分布与内在逻辑。 讲义亮点在于分层练习设计，典例涵盖生活情境问题如“按比分配购进香菇酱数量”，提升练习包含比例方程、浓度问题等综合题，培养模型意识与应用意识。易错点汇总帮助学生规避概念混淆、顺序颠倒等问题，教师可据此实施分层教学，助力不同层次学生提升运算能力与问题解决能力。

第四单元 比和比例（单元举一反三讲义） 知识点复习梳理 知识点一、单元整体基础认知 1. 单元核心定位 《比和比例》是苏教版六年级上册数学核心重点单元，承接整数、分数、除法知识，是小学阶段数与代数板块的重要升华。本单元完整区分比与比例的概念、性质与应用，建立倍比关系思维，是后续正比例、反比例、比例尺、百分数应用的基础，贯穿小学数学各类数量关系题型。 2. 核心知识体系 本单元包含两大核心模块：比的认识与应用、比例的认识与基本性质。涵盖概念定义、读写规范、内在关联、基本性质、化简求值、按比分配、比例判定、比例解方程八大核心内容，是小学数学综合性最强的代数单元之一。 3. 核心思维转变 从单一的加减倍数计算，升级为两个量的双向倍比关系分析，实现数量关系的标准化、结构化表达，适配生活、几何、统计等各类场景的比例应用。 知识点二、比的意义与基础概念 1. 比的定义 两个数相除又叫做两个数的比，比专门用来表示两个数量之间的倍比关系，不表示具体的数值大小，仅体现两个量的相对关系。 2. 比的各部分名称 比由前项、比号、后项三部分组成。比号前面的数叫做比的前项，比号后面的数叫做比的后项，比的后项不能为0，与除法中除数不能为0、分数分母不能为0规则一致。 3. 比的读写规范 比有两种书写形式，一是标准比式a∶b，二是分数形式a/b，两种形式读法统一为a比b，书写时格式规范、顺序固定，不可颠倒前后项。 4. 比值的定义与特征 比的前项除以后项所得的商叫做比值，比值是一个具体的数，可以是整数、小数、分数。比值表示倍比结果，不带单位名称，是纯数值结果。 5. 同类量与不同类量的比 同类量的比单位统一，仅表示倍数关系，无新单位；不同类量的比可产生新的物理量，例如路程与时间的比表示速度，总价与数量的比表示单价。 6. 比的顺序唯一性 比的前后项顺序不可随意调换，顺序改变，倍比关系完全改变，对应比值、比式全部改变，必须严格贴合题意数量顺序。 知识点三、比、分数、除法的内在关联与区别 1. 三者对应关系 比的前项对应被除数、分子；比号对应除号、分数线；比的后项对应除数、分母；比值对应商、分数值，三者可以互相转化、等价替换。 2. 三者本质区别 除法是一种运算，侧重计算过程；分数是一个具体的数，侧重数值结果；比是一种数量关系，侧重两个量的对比关联，三者本质属性不同，不可完全等同。 3. 通用限制条件 除数、分母、比的后项均不能为0，0不能作为三者的后置项，是统一的数学硬性规则。 知识点四、比的基本性质 1. 基本性质原文 比的前项和后项同时乘或除以相同的数（0除外），比值不变。这是比化简、比扩缩、比等价变换的唯一核心依据。 2. 性质核心解读 必须满足“同时、相同、0除外”三个条件，同时乘或同时除以必须统一，不能一项乘一项除，不能乘除不同数值，0会导致后项为0无意义，必须排除。 3. 性质拓展规律 比的前项乘a、后项除以a，比值会扩大a的平方倍；前项除以a、后项乘a，比值会缩小a的平方倍，非同步变化会改变比值大小。 知识点五、最简整数比与化简比规则 1. 最简整数比定义 比的前项和后项都是整数，且前后项公因数只有1、二者互质，这样的比叫做最简整数比，是比的标准书写形式。 2. 整数比化简规则 整数比化简，前后项同时除以它们的最大公因数，一次化简到位，直接得到最简整数比，保证前后项互质。 3. 小数比化简规则 小数比先同时扩大相同倍数，去掉小数点转化为整数比，再按照整数比的方法继续化简，最终化为最简整数比。 4. 分数比化简规则 分数比可以前后项同时乘分母的最小公倍数，消去分母化为整数比，再化简；也可以直接用前项除以后项求出比值，再转化为最简整数比。 5. 化简比与求比值的核心区别 化简比最终结果是一个最简整数比，保留比的形式，有前后项和比号；求比值最终结果是一个单独的数，无比的形式，二者结果形式、意义完全不同。 知识点六、按比例分配核心知识 1. 按比分配定义 把一个总数量，按照一定的比分成若干份，求出每一份对应数量的分配方式，是比在生活中最核心的应用场景。 2. 按比分配核心原理 先把比转化为总份数，求出每份对应的数量，再根据各部分对应的份数求出对应具体数量；也可将份数转化为分数，用总数量乘对应分率求解。 3. 分配核心特征 所有部分份数之和等于总份数，各部分数量比与原始分配比完全一致，分配后总量保持不变，符合整体与部分的数量关系。 知识点七、比例的意义与基本概念 1. 比例的定义 表示两个比相等的式子叫做比例。比例由两个比值相等的比组成，是等式形式，专门用来表示两组数量的倍比关系相等。 2. 比例的各部分名称 比例由四项组成，两端的两项叫做比例的外项，中间的两项叫做比例的内项，四个项位置固定，不可随意调换。 3. 比例成立的唯一条件 两个比的比值完全相等，即可组成比例；比值不相等，无法构成比例，是判断比例成立的核心依据。 4. 比与比例的本质区别 比是两个数的关系，只有两项，无等式结构；比例是四个数组成的等式，是两个相等比的组合，用于表示两组比相等，概念层级完全不同。 知识点八、比例的基本性质 1. 比例基本性质原文 在比例里，两个外项的积等于两个内项的积，这叫做比例的基本性质，是比例最核心、最常用的性质。 2. 性质公式表达 若a∶b＝c∶d，则ad＝bc，交叉相乘乘积相等，适用于所有规范比例式，是解比例、判比例的核心工具。 3. 比例性质反向应用 四个数中，若两两交叉乘积相等，可判定这四个数能组成比例；可根据乘积等式，反向改写为不同形式的比例式。 知识点九、解比例的核心规则 1. 解比例的定义 求比例中的未知项，叫做解比例，本质是利用比例的基本性质，将比例方程转化为普通乘除方程求解。 2. 解比例核心步骤 先根据比例基本性质交叉相乘，转化为内项积等于外项积的整式方程，再按照解方程的方法求出未知项的值，最后检验比值是否相等。 3. 解比例核心要求 所有解比例过程必须保证等式成立，未知项求解后，两组比的比值必须完全相等，符合比例成立条件。 知识点十、比和比例的变化规律 1. 比的变化规律 前项不变，后项扩大几倍，比值缩小几倍；后项不变，前项扩大几倍，比值扩大几倍；前后项同步同倍变化，比值保持不变。 2. 比例的恒等规律 比例中，一个外项、一个内项同步变化，可保持乘积相等，比例依然成立；两组比始终维持等值关系，整体比例恒定。 知识点十一、单元高频易错点汇总 1. 概念混淆易错 混淆比和比例的定义，误认为比就是比例；分不清化简比和求比值的结果形式，将比的形式与数值结果混用。 2. 前后项顺序易错 随意调换比的前后项顺序，导致倍比关系颠倒；写比例时内外项位置混乱，交叉相乘对应错误。 3. 基本性质易错 比的基本性质遗漏0除外条件；前后项不同步乘除、乘除数值不同，错误认为比值不变。 4. 化简比易错 小数比、分数比化简不彻底，未化为整数比、最简比；化简后前后项不互质，不符合最简整数比标准。 5. 比值单位易错 给比值添加单位；混淆同类量、不同类量的比，错误判定比值含义，不理解比值无单位的核心规则。 6. 按比分配易错 总份数计算错误；混淆部分量与总量，用部分量直接分配；分率对应份数错误，导致分配结果偏差。 7. 解比例易错 交叉相乘对应项出错，内外项乘积混淆；解方程计算失误，求解后不检验比例是否成立。 8. 规律判断易错 记错比的增减变化规律，无法判断前后项变化后比值的变动情况；误认为比例四项任意变化仍能保持成立。 一、例题讲解 【典例】 1．仲景香菇酱酱香浓厚，菇香宜人，是南阳西峡的特产。惠佳超市购进原味和香辣味两种口味的仲景香菇酱，原味和香辣味数量的比是4∶3，其中香辣味6箱（每箱6瓶），那么购进原味( )瓶。 【典例】 2．在比例3∶8＝12∶32中，如果内项8增加4，要使比例保持成立，外项3应改成( )。 【典例】 3．孝感首衡城•华中国际食品产业新城位于孝南区孝武大道，是华中地区规模最大、品类最全、设施最先进、功能最完善的全业态全产业链商贸物流产业集群。某物流公司有甲、乙两个配送车间，甲车间人数占两个车间人数的，如果从甲车间调出90人后，甲、乙两个车间人数的比是2∶3，原来两个车间一共有多少人？（提示：可以用比例解答） 【典例】 4．在新农村建设中，为建设美丽乡村，要实现村村通公路。幸福村规划修建一条公路，甲队单独修需要12天，乙队单独修需要的天数与甲队单独修所需天数的比是3∶2。现在两队合作施工，多少天正好完成这条路的？ 提升练习 二、填空题 5．5∶11的前项变成10，要使比值不变，后项应加上( )；如果前项加上20，要使比值不变，后项应乘( )。 6．5∶2＝5÷2＝2.5，5是这个比的( )，2是这个比的( )，2.5是这个比的( )。 7．已知两个数的比值是，如果这两个数同时扩大到原来的2倍，那么它们的比值是( )。 8．国旗是国家的象征和标志，我国各种型号国旗的长宽比都是一样的。一号国旗长288cm，宽192cm，它的长宽比是( )；做一面长2.4m的国旗，它的面积是( )。 9．如下图，圆中涂色部分的面积占圆的面积的，占长方形面积的，三角形中涂色部分的面积占三角形面积的，占长方形面积的。圆、长方形和三角形的面积比为______。 10．在一个比例里，两个内项的积是6，一个外项是2，另一个外项是( )。 11．把18克糖完全溶解在81克水中，糖的质量与糖水总质量的最简单的整数比是______；如果往这杯糖水中再加入54克水，要使糖水的浓度保持不变，还需要加入______克糖。 12．从30的全部因数中选出四个数，组成两个比值是的比，并组成比例是( )。 三、选择题 13．如果5A＝6B，那么A∶B＝（    ）。 A．2∶3 B．3∶2 C．5∶6 D．6∶5 14．一个比例里，两个内项的积是2，其中一个外项是0.4，另一个外项是（    ）。 A．0.5 B．5 C．8 D．10. 15．某班学生不超过50人，其中有女生a人，男生b人，且满足，则这个班最多有学生（    ）人。 A．44 B．45 C．46 D．47 16．用6、8、4三个数和下面哪个质数可以组成比例。（    ） A．12 B．3 C．6 D．5 17．小明和小亮一起跑步比赛，跑完全程小明用了6分，小亮用了8分，小明和小亮速度的最简比是（    ）。 A．3∶4 B．6∶8 C．4∶3 D．∶ 四、判断题 18．把2∶3的前项增加6，后项乘以4，比值不变。( ) 19．如果甲数的等于乙数的（甲数、乙数均不为0），那么乙数∶甲数＝6∶5。( ) 20．一个比化简成最简整数比的结果可以是分数、整数、小数形式。( ) 21．将药液与水按1∶200的比例配制200千克的农药，需要用1千克的药液。( ) 22．在600克盐水中盐和水的比是1∶4，盐水中含盐240克。( ) 五、计算题 23．将下面各比化为最简整数比。 144∶72    0.65∶0.5        0.05km∶200m 六、解答题 24．李强调制咖啡，用了咖啡粉30克，水400克，蜂蜜5克，冰糖20克。 (1)写出咖啡粉和水的质量比。 (2)写出咖啡粉和咖啡的质量比。 25．某工厂男女工人数的比是5∶3，后来从其他工厂调来了21名女工，这时女工人数正好占全厂的，现在这个工厂一共有几个工人？ 26．育苗小学要举办第三届文化节，六（1）班需要做一面彩旗。彩旗的长与宽之比是3∶2，长是1.2米，这个彩旗的宽是多少米？面积是多少平方米？ 27．2025年4月23日是第30个世界读书日，今年联合国教科文组织确定的主题为：“阅读，通往未来的桥梁”。读书日前夕，学校图书室补充科普类、文学类和艺术类三类读物共2500本，已知这三类读物本数的比是3∶5∶2，科普类、文学类和艺术类读物各补充了多少本？ 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第四单元 比和比例（单元举一反三讲义） 知识点复习梳理 知识点一、单元整体基础认知 1. 单元核心定位 《比和比例》是苏教版六年级上册数学核心重点单元，承接整数、分数、除法知识，是小学阶段数与代数板块的重要升华。本单元完整区分比与比例的概念、性质与应用，建立倍比关系思维，是后续正比例、反比例、比例尺、百分数应用的基础，贯穿小学数学各类数量关系题型。 2. 核心知识体系 本单元包含两大核心模块：比的认识与应用、比例的认识与基本性质。涵盖概念定义、读写规范、内在关联、基本性质、化简求值、按比分配、比例判定、比例解方程八大核心内容，是小学数学综合性最强的代数单元之一。 3. 核心思维转变 从单一的加减倍数计算，升级为两个量的双向倍比关系分析，实现数量关系的标准化、结构化表达，适配生活、几何、统计等各类场景的比例应用。 知识点二、比的意义与基础概念 1. 比的定义 两个数相除又叫做两个数的比，比专门用来表示两个数量之间的倍比关系，不表示具体的数值大小，仅体现两个量的相对关系。 2. 比的各部分名称 比由前项、比号、后项三部分组成。比号前面的数叫做比的前项，比号后面的数叫做比的后项，比的后项不能为0，与除法中除数不能为0、分数分母不能为0规则一致。 3. 比的读写规范 比有两种书写形式，一是标准比式a∶b，二是分数形式a/b，两种形式读法统一为a比b，书写时格式规范、顺序固定，不可颠倒前后项。 4. 比值的定义与特征 比的前项除以后项所得的商叫做比值，比值是一个具体的数，可以是整数、小数、分数。比值表示倍比结果，不带单位名称，是纯数值结果。 5. 同类量与不同类量的比 同类量的比单位统一，仅表示倍数关系，无新单位；不同类量的比可产生新的物理量，例如路程与时间的比表示速度，总价与数量的比表示单价。 6. 比的顺序唯一性 比的前后项顺序不可随意调换，顺序改变，倍比关系完全改变，对应比值、比式全部改变，必须严格贴合题意数量顺序。 知识点三、比、分数、除法的内在关联与区别 1. 三者对应关系 比的前项对应被除数、分子；比号对应除号、分数线；比的后项对应除数、分母；比值对应商、分数值，三者可以互相转化、等价替换。 2. 三者本质区别 除法是一种运算，侧重计算过程；分数是一个具体的数，侧重数值结果；比是一种数量关系，侧重两个量的对比关联，三者本质属性不同，不可完全等同。 3. 通用限制条件 除数、分母、比的后项均不能为0，0不能作为三者的后置项，是统一的数学硬性规则。 知识点四、比的基本性质 1. 基本性质原文 比的前项和后项同时乘或除以相同的数（0除外），比值不变。这是比化简、比扩缩、比等价变换的唯一核心依据。 2. 性质核心解读 必须满足“同时、相同、0除外”三个条件，同时乘或同时除以必须统一，不能一项乘一项除，不能乘除不同数值，0会导致后项为0无意义，必须排除。 3. 性质拓展规律 比的前项乘a、后项除以a，比值会扩大a的平方倍；前项除以a、后项乘a，比值会缩小a的平方倍，非同步变化会改变比值大小。 知识点五、最简整数比与化简比规则 1. 最简整数比定义 比的前项和后项都是整数，且前后项公因数只有1、二者互质，这样的比叫做最简整数比，是比的标准书写形式。 2. 整数比化简规则 整数比化简，前后项同时除以它们的最大公因数，一次化简到位，直接得到最简整数比，保证前后项互质。 3. 小数比化简规则 小数比先同时扩大相同倍数，去掉小数点转化为整数比，再按照整数比的方法继续化简，最终化为最简整数比。 4. 分数比化简规则 分数比可以前后项同时乘分母的最小公倍数，消去分母化为整数比，再化简；也可以直接用前项除以后项求出比值，再转化为最简整数比。 5. 化简比与求比值的核心区别 化简比最终结果是一个最简整数比，保留比的形式，有前后项和比号；求比值最终结果是一个单独的数，无比的形式，二者结果形式、意义完全不同。 知识点六、按比例分配核心知识 1. 按比分配定义 把一个总数量，按照一定的比分成若干份，求出每一份对应数量的分配方式，是比在生活中最核心的应用场景。 2. 按比分配核心原理 先把比转化为总份数，求出每份对应的数量，再根据各部分对应的份数求出对应具体数量；也可将份数转化为分数，用总数量乘对应分率求解。 3. 分配核心特征 所有部分份数之和等于总份数，各部分数量比与原始分配比完全一致，分配后总量保持不变，符合整体与部分的数量关系。 知识点七、比例的意义与基本概念 1. 比例的定义 表示两个比相等的式子叫做比例。比例由两个比值相等的比组成，是等式形式，专门用来表示两组数量的倍比关系相等。 2. 比例的各部分名称 比例由四项组成，两端的两项叫做比例的外项，中间的两项叫做比例的内项，四个项位置固定，不可随意调换。 3. 比例成立的唯一条件 两个比的比值完全相等，即可组成比例；比值不相等，无法构成比例，是判断比例成立的核心依据。 4. 比与比例的本质区别 比是两个数的关系，只有两项，无等式结构；比例是四个数组成的等式，是两个相等比的组合，用于表示两组比相等，概念层级完全不同。 知识点八、比例的基本性质 1. 比例基本性质原文 在比例里，两个外项的积等于两个内项的积，这叫做比例的基本性质，是比例最核心、最常用的性质。 2. 性质公式表达 若a∶b＝c∶d，则ad＝bc，交叉相乘乘积相等，适用于所有规范比例式，是解比例、判比例的核心工具。 3. 比例性质反向应用 四个数中，若两两交叉乘积相等，可判定这四个数能组成比例；可根据乘积等式，反向改写为不同形式的比例式。 知识点九、解比例的核心规则 1. 解比例的定义 求比例中的未知项，叫做解比例，本质是利用比例的基本性质，将比例方程转化为普通乘除方程求解。 2. 解比例核心步骤 先根据比例基本性质交叉相乘，转化为内项积等于外项积的整式方程，再按照解方程的方法求出未知项的值，最后检验比值是否相等。 3. 解比例核心要求 所有解比例过程必须保证等式成立，未知项求解后，两组比的比值必须完全相等，符合比例成立条件。 知识点十、比和比例的变化规律 1. 比的变化规律 前项不变，后项扩大几倍，比值缩小几倍；后项不变，前项扩大几倍，比值扩大几倍；前后项同步同倍变化，比值保持不变。 2. 比例的恒等规律 比例中，一个外项、一个内项同步变化，可保持乘积相等，比例依然成立；两组比始终维持等值关系，整体比例恒定。 知识点十一、单元高频易错点汇总 1. 概念混淆易错 混淆比和比例的定义，误认为比就是比例；分不清化简比和求比值的结果形式，将比的形式与数值结果混用。 2. 前后项顺序易错 随意调换比的前后项顺序，导致倍比关系颠倒；写比例时内外项位置混乱，交叉相乘对应错误。 3. 基本性质易错 比的基本性质遗漏0除外条件；前后项不同步乘除、乘除数值不同，错误认为比值不变。 4. 化简比易错 小数比、分数比化简不彻底，未化为整数比、最简比；化简后前后项不互质，不符合最简整数比标准。 5. 比值单位易错 给比值添加单位；混淆同类量、不同类量的比，错误判定比值含义，不理解比值无单位的核心规则。 6. 按比分配易错 总份数计算错误；混淆部分量与总量，用部分量直接分配；分率对应份数错误，导致分配结果偏差。 7. 解比例易错 交叉相乘对应项出错，内外项乘积混淆；解方程计算失误，求解后不检验比例是否成立。 8. 规律判断易错 记错比的增减变化规律，无法判断前后项变化后比值的变动情况；误认为比例四项任意变化仍能保持成立。 一、例题讲解 【典例】 1．仲景香菇酱酱香浓厚，菇香宜人，是南阳西峡的特产。惠佳超市购进原味和香辣味两种口味的仲景香菇酱，原味和香辣味数量的比是4∶3，其中香辣味6箱（每箱6瓶），那么购进原味( )瓶。 【答案】48 【分析】先用箱数乘每箱的瓶数，求出香辣味香菇酱的总瓶数。根据原味与香辣味数量的比，找到香辣味对应的份数，用香辣味的瓶数除以它对应的份数，求出一份的数量，最后用一份的数量乘原味对应的份数，求出原味的瓶数。 【详解】香辣味总瓶数：6×6＝36（瓶） 1份的数量：36÷3＝12（瓶） 原味瓶数：12×4＝48（瓶） 【典例】 2．在比例3∶8＝12∶32中，如果内项8增加4，要使比例保持成立，外项3应改成( )。 【答案】/ 【分析】首先明确比例的基本性质，因为在比例中两个内项的积等于两个外项的积，所以先确定原比例的内项和外项，找到变化后的内项数值。 计算内项8增加4后的新内项值，因为另一个内项12不变，所以可以求出变化后两个内项的乘积。 由于比例要保持成立，所以变化后的外项乘积等于内项乘积，已知另一个外项32不变，用内项乘积除以32即可得到外项3改变后的数值。 【详解】先算出变化后的内项：内项8增加4，变成8＋4＝12； 现在两个内项的积就是12×12＝144，已知另一个外项是32，要让比例成立，变化后的外项3就等于内项积除以32，也就是144÷32＝4.5或。 【典例】 3．孝感首衡城•华中国际食品产业新城位于孝南区孝武大道，是华中地区规模最大、品类最全、设施最先进、功能最完善的全业态全产业链商贸物流产业集群。某物流公司有甲、乙两个配送车间，甲车间人数占两个车间人数的，如果从甲车间调出90人后，甲、乙两个车间人数的比是2∶3，原来两个车间一共有多少人？（提示：可以用比例解答） 【答案】240人 【分析】根据甲车间人数占两个车间人数的，把两个车间人数看成8份，甲车间人数占5份，则乙车间人数占8－5＝3份。设原来甲车间有5x人，则乙车间有3x人，根据数量关系式：（甲车间原来人数－90）∶乙车间原来人数＝2∶3，列出方程。 【详解】8－5＝3（份） 解：设原来甲车间有5x人，则乙车间有3x人。 （5x－90）∶3x＝2∶3 6x＝3×（5x－90） 6x＝15x－270 15x－6x＝270 9x＝270 x＝270÷9 x＝30 5×30＝150（人） 3×30＝90（人） 150＋90＝240（人） 答：原来两个车间一共有240人。 【典例】 4．在新农村建设中，为建设美丽乡村，要实现村村通公路。幸福村规划修建一条公路，甲队单独修需要12天，乙队单独修需要的天数与甲队单独修所需天数的比是3∶2。现在两队合作施工，多少天正好完成这条路的？ 【答案】6天 【分析】把甲队单独修需要12天看作2份，用12÷2求出一份需要多少天，再乘3求出乙队单独修需要的天数。把修完这条路的工作量看作“1”，根据“工作效率＝工作总量÷工作时间”分别求出甲、乙队的工作效率，再根据“工作时间＝工作量÷工作效率”，用工作量除以甲、乙两队的工作效率之和就是合作修完这条路的所需要的时间。 【详解】12÷2×3＝18（天） 1÷12＝ 1÷18＝ ÷（） ＝÷ ＝× ＝6（天） 答：6天正好完成这条路的。 提升练习 二、填空题 5．5∶11的前项变成10，要使比值不变，后项应加上( )；如果前项加上20，要使比值不变，后项应乘( )。 【答案】 11 5 【分析】根据比的基本性质，比的前项和后项同时乘或除以同一个不为0的数，比值不变，先求出前项扩大的倍数，再推出后项的变化。 【详解】前项5变成10，10÷5＝2，前项乘2，后项应为11×2＝22，22－11＝11； 前项加上20，5＋20＝25，25÷5＝5，前项乘5，后项也要乘5 6．5∶2＝5÷2＝2.5，5是这个比的( )，2是这个比的( )，2.5是这个比的( )。 【答案】 前项 后项 比值 【分析】在一个比中，比号前面的数是前项，比号后面的数是后项，用前项除以后项得到的商就是比值。 【详解】5∶2＝5÷2＝2.5，5是这个比的前项，2是这个比的后项，2.5是这个比的比值。 7．已知两个数的比值是，如果这两个数同时扩大到原来的2倍，那么它们的比值是( )。 【答案】/0.875 【分析】根据比的基本性质，比的前项和后项同时乘以或除以同一个不为0的数，比值不变，所以当两个数同时扩大到原来的2倍时，对应比的前项和后项同时乘2，可直接依据该性质判断比值。 【详解】根据比的基本性质可知，两个数的比值不变，还是。 8．国旗是国家的象征和标志，我国各种型号国旗的长宽比都是一样的。一号国旗长288cm，宽192cm，它的长宽比是( )；做一面长2.4m的国旗，它的面积是( )。 【答案】 3∶2/ 3.84 【分析】已知一号国旗长288cm，宽192cm，根据比的意义写出它的长宽比，再利用比的基本性质化简比； 已知一面国旗的长是2.4m，由上一题可知国旗的长宽比是3∶2，即长占3份，宽占2份；用国旗的长除以3，求出一份数，再用一份数乘2，求出宽；最后根据长方形的面积＝长×宽，求出这面国旗的面积。 【详解】288∶192 ＝（288÷96）∶（192÷96） ＝3∶2 宽：2.4÷3×2 ＝0.8×2 ＝1.6（m） 面积：2.4×1.6＝3.84（m2） 9．如下图，圆中涂色部分的面积占圆的面积的，占长方形面积的，三角形中涂色部分的面积占三角形面积的，占长方形面积的。圆、长方形和三角形的面积比为______。 【答案】 【分析】圆中涂色部分的面积占圆的面积的，占长方形面积的， 由此可得圆的面积×＝长方形的面积×， 假设等式为1，据此可知圆和长方形的面积比； 三角形中涂色部分的面积占三角形面积的，占长方形面积的， 由此可得三角形的面积×＝长方形的面积×， 假设等式为1，据此可知三角形和长方形的面积比； 最后再利用比的基本性质将两个比中长方形的份数改写成相同的数，再把单比化成连比，据此解答。 【详解】圆的面积×＝长方形的面积× 假设等式为1， 圆的面积份数： 长方形的面积份数： 圆的面积：长方形的面积 三角形的面积×＝长方形的面积× 假设等式为1， 三角形的面积份数： 长方形的面积份数： 三角形的面积：长方形的面积 圆的面积∶长方形的面积 三角形的面积∶长方形的面积 所以，圆的面积∶长方形的面积：三角形的面积 10．在一个比例里，两个内项的积是6，一个外项是2，另一个外项是( )。 【答案】3 【分析】比例的性质：在比例中，两个外项的积等于两个内项的积，据此解答即可。 【详解】6÷2＝3 在一个比例里，两个内项的积是6，一个外项是2，另一个外项是3。 11．把18克糖完全溶解在81克水中，糖的质量与糖水总质量的最简单的整数比是______；如果往这杯糖水中再加入54克水，要使糖水的浓度保持不变，还需要加入______克糖。 【答案】 【分析】先用糖加水求出糖水的总质量，求糖与糖水的比，用糖的质量∶糖水的总质量，根据比的基本性质化简比即可；先求出糖与水的比，用加入水的质量÷水所占的份数，求出一份的质量，再乘糖所占份数即可求出还需要加入糖的质量。 【详解】18＋81＝99（克） 18∶99＝（18÷9）∶（99÷9）＝2∶11 18∶81＝（18÷9）∶（81÷9）＝2∶9 54÷9×2 ＝6×2 ＝12（克） 12．从30的全部因数中选出四个数，组成两个比值是的比，并组成比例是( )。 【答案】1∶5＝6∶30 【分析】先找出30的所有因数，将30写成两个自然数的乘积。比值是，就是前项除以后项等于。在这些数中，找出所有符合比值是的比，从这些比里选出两组，用等号连起来。 【详解】根据分析，解答如下： 30＝1×30＝＝＝5×6，我们可以选取1，5，6，30组成比例，1∶5＝6∶30。 即从30的全部因数中选出四个数，组成两个比值是的比，并组成比例是1∶5＝6∶30。 （答案不唯一） 三、选择题 13．如果5A＝6B，那么A∶B＝（    ）。 A．2∶3 B．3∶2 C．5∶6 D．6∶5 【答案】D 【分析】根据比例的基本性质：比例中两个外项的积等于两个内项的积，将等式转化为比例形式即可求解。 【详解】已知，把A和5看作比例的外项，B和6看作比例的内项，可得。 14．一个比例里，两个内项的积是2，其中一个外项是0.4，另一个外项是（    ）。 A．0.5 B．5 C．8 D．10. 【答案】B 【分析】比例中两个外项的积等于两个内项的积，用两个内项的积除以已知的外项，就能得到另一个外项。 【详解】 另一个外项是5。 15．某班学生不超过50人，其中有女生a人，男生b人，且满足，则这个班最多有学生（    ）人。 A．44 B．45 C．46 D．47 【答案】B 【分析】根据比例的基本性质，结合给出的男女生人数的等式求出二者的人数比，全班总人数是比的前后项之和的倍数，找出50以内符合要求的最大数即可。 【详解】由可得： 全班总份数： 50以内15的倍数有：15、30、45，最大倍数是45，所以这个班最多有学生45人。 16．用6、8、4三个数和下面哪个质数可以组成比例。（    ） A．12 B．3 C．6 D．5 【答案】B 【分析】先根据质数的定义排除非质数选项，再利用比例的基本性质（两个外项的积等于两个内项的积）验证剩余选项是否符合要求。 质数：一个数，如果只有1和它本身两个因数，这样的数叫作质数。 合数：一个数，如果除了1和它本身，还有别的因数，这样的数叫作合数。 【详解】排除非质数选项：12和6除1和自身外还有其他因数，是合数，排除A、C。 验证剩余选项： B．3×8＝24，4×6＝24，乘积相等，可组成比例，如3∶4＝6∶8，正确。 D．任意两个数的乘积都不等于另外两个数的乘积，无法组成比例，排除。 17．小明和小亮一起跑步比赛，跑完全程小明用了6分，小亮用了8分，小明和小亮速度的最简比是（    ）。 A．3∶4 B．6∶8 C．4∶3 D．∶ 【答案】C 【分析】把全程看作单位“1”，根据速度＝路程÷时间，分别求出小明和小亮的速度，再写出速度比并化简。 【详解】小明的速度：1÷6＝ 小亮的速度：1÷8＝ ∶ ＝（×24）∶（×24） ＝4∶3 四、判断题 18．把2∶3的前项增加6，后项乘以4，比值不变。( ) 【答案】√ 【分析】比的前项与后项同时乘或除以同一个数（0除外）比值大小不变，先计算前项变化后是原来的几倍，再根据比的基本性质判断后项的变化是否符合要求即可。 【详解】变化后的前项： 前项扩大到原来的倍数： 根据比的基本性质，比的前项和后项同时乘相同的数（0除外），比值不变，因此后项需要乘4，和题干描述一致。 故答案为：√。 19．如果甲数的等于乙数的（甲数、乙数均不为0），那么乙数∶甲数＝6∶5。( ) 【答案】× 【分析】根据分数乘法的意义可得出：甲数×＝乙数×，再根据比例的基本性质将其改写成比例式，一个外项是乙数，内项是甲数的比例，则和乙数相乘的数就作为比例的另一个外项，和甲数相乘的数就作为比例的另一个内项，据此写出比例，再化简即可。 【详解】由甲数×＝乙数×，可得： 乙数∶甲数＝∶ ＝（×10）∶（×10） ＝5∶6 原题说法错误。 故答案为：× 20．一个比化简成最简整数比的结果可以是分数、整数、小数形式。( ) 【答案】× 【分析】最简整数比是由两个互质的整数组成的比，书写为比的形式，据此判断。 【详解】最简整数比要求前项和后项均为整数，且二者只有公因数1，书写形式为（、为互质整数，），原题表述错误。 故答案为：× 21．将药液与水按1∶200的比例配制200千克的农药，需要用1千克的药液。( ) 【答案】× 【分析】农药是药液与水的质量和，根据药液与水的比求出总份数，用200千克除以总份数再乘药液的份数可算得药液的质量，再与题中1千克进行比较。 【详解】总份数： 需要药液的质量： （千克） 故答案为：×。 22．在600克盐水中盐和水的比是1∶4，盐水中含盐240克。( ) 【答案】× 【分析】用盐的份数除以盐水的份数求出盐占盐水的分率，用盐水的质量乘盐的对应分率可算得盐的质量，再与题中240克进行比较。 【详解】盐占盐水的分率： 盐的质量：（克） ，题干说法错误。 故答案为：×。 五、计算题 23．将下面各比化为最简整数比。 144∶72    0.65∶0.5        0.05km∶200m 【答案】2∶1；13∶10；6∶7；1∶4 【分析】对于整数比，因为要消去两项的最大公因数，所以先求前项和后项的最大公约数，再同时除以该数得到最简整数比。 对于小数比，如果要将小数转化为整数，那么先把两项同时扩大到原来的100倍，消去小数点得到整数比，再按整数比化简方法处理。 对于分数比，因为要消去分母，所以先找两个分母的最小公倍数，两项同时乘以最小公倍数得到整数比，再按整数比化简方法处理。 对于带不同单位的比，因为单位不统一无法直接化简，所以先将两项换算为相同单位，再按对应类型的比化简方法处理。 【详解】144∶72＝ 0.65∶0.5＝ 0.05km∶200m 六、解答题 24．李强调制咖啡，用了咖啡粉30克，水400克，蜂蜜5克，冰糖20克。 (1)写出咖啡粉和水的质量比。 (2)写出咖啡粉和咖啡的质量比。 【答案】(1) (2) 【分析】第一问，求两个量的质量比就是将两个量按顺序写成比的形式，所以直接对应数值写出比后化简即可。 第二问，咖啡是所有配料的质量和，所以将咖啡粉、水、蜂蜜、冰糖的质量相加得到总质量，再将咖啡粉质量与咖啡总质量按顺序写成比的形式，化简得到最终结果。 【详解】（1）咖啡粉质量是30克，水的质量是400克，两者的比为。 答：咖啡粉和水的质量比为。 （2）咖啡的总质量是所有调配材料的质量和： （克） 咖啡粉和咖啡总质量的比是。 答：咖啡粉和咖啡的质量比为。 25．某工厂男女工人数的比是5∶3，后来从其他工厂调来了21名女工，这时女工人数正好占全厂的，现在这个工厂一共有几个工人？ 【答案】245个 【分析】抓住男工人数不变这一等量关系，设现在工厂一共有x个工人，先分别表示出原来男工人数和现在男工人数，列方程求解。 【详解】解：设现在这个工厂一共有x个工人。 答：现在这个工厂一共有245个工人。 26．育苗小学要举办第三届文化节，六（1）班需要做一面彩旗。彩旗的长与宽之比是3∶2，长是1.2米，这个彩旗的宽是多少米？面积是多少平方米？ 【答案】0.8米；0.96平方米 【分析】用彩旗长除以它占的份数，求出一份的长度，再乘宽占的份数，即可求出宽的长度，长方形的面积＝长×宽，据此列式计算即可。 【详解】1.2÷3×2 ＝0.4×2 ＝0.8（米） 1.2×0.8＝0.96（平方米） 答：这个彩旗的宽是0.8米，面积是0.96平方米。 27．2025年4月23日是第30个世界读书日，今年联合国教科文组织确定的主题为：“阅读，通往未来的桥梁”。读书日前夕，学校图书室补充科普类、文学类和艺术类三类读物共2500本，已知这三类读物本数的比是3∶5∶2，科普类、文学类和艺术类读物各补充了多少本？ 【答案】科普类750本，文学类1250本，艺术类500本。 【分析】将各部分的比例数相加，得到总份数；用总数除以总份数，得到每份代表的具体数量，用每份的数量分别乘各部分的份数，得到各部分的具体数值。 【详解】（份） （本） （本） （本） （本） 答：科普类读物补充了750本，文学类读物补充了1250本，艺术类读物补充了500本。 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $