拓展06 二次函数中四边形存在性问题（重难点讲义）数学新教材北师大版九年级上册

本初中数学讲义聚焦二次函数中四边形存在性问题，系统梳理角度（45°、定角、等角）、三角形（全等、等腰、直角）及特殊四边形存在性的核心知识，构建从基础模型到综合应用的学习支架，涵盖定义、方法、步骤与典型应用。 资料以分类讨论和数形结合为特色，通过“两圆一线”“隐圆法”等模型将抽象角度与几何关系转化为代数方程，培养学生推理能力与运算能力。典例变式结合，助力教师授课，课后训练帮助学生查漏补缺，提升数学表达与问题解决能力。

拓展06 二次函数中四边形存在性问题 1. 掌握二次函数背景下等腰三角形存在性问题，会分类讨论腰与底边，结合坐标列方程求解动点。 2.理解直角三角形存在性的分类方法，能够分三个顶点为直角顶点，借助勾股或垂直斜率关系计算参数。 3.学会结合函数图像判断解的合理性，舍去不符合题意的点，避免多解、漏解情况。 4.运用数形结合思想，综合分析图像与条件，规范完成存在性题型的推理与步骤书写。 1. 角度的存在性问题： 模型定义 在平面直角坐标系的二次函数背景下，已知定点与抛物线上的动点，探究满足角度为定值（如45°、特殊角）、两角相等、角度倍分关系的动点是否存在，并求解对应坐标。核心是将抽象的角度条件转化为可计算的线段比例或代数方程，是二次函数综合的难点题型。 核心结论与方法 45°角存在性（最常考） 核心方法：构造一线三等角（K型），过角的一边上的点向另一边作垂线，构造等腰直角三角形，转化为全等三角形求解； 辅助技巧：利用45°角的正切值为1，通过直线斜率或竖直/水平线段比为1列方程。 定角通用解法：隐圆法（定弦定角） 若线段AB长度固定，∠APB=α为定值，则动点P在以AB为弦的两段圆弧上； 求出圆弧所在圆的圆心与半径，联立圆的方程与抛物线解析式，交点即为所求点； 特例：α=90°时，点P在以AB为直径的圆上，可直接用直角三角形存在性方法求解。 等角存在性 转化思路：两角相等可转化为等腰三角形（等角对等边）、角平分线性质，或利用平行线的内错角/同位角转移角度； 计算技巧：角度相等则对应三角函数值（正切）相等，通过坐标计算对边与邻边的比值，列比例方程。 角度和差问题 利用外角定理将角度和差转化为单个定角，再结合上述方法求解。 解题步骤 确定定点坐标与动点轨迹，明确角度的顶点与两条边； 根据角度特征选择对应方法（45°用K型，定角用隐圆，等角用三角函数/等腰转化）； 设动点横坐标为x，代入抛物线表示纵坐标，将角度条件转化为坐标方程； 解方程并检验，舍去不符合角度方向、动点范围的无效解。 典型应用 抛物线上动点与两定点形成45°角；动点使得两个角相等；动点与定点形成特定角度的存在性判断；角度和差的综合探究。 2.全等三角形的存在性问题： 模型定义 在二次函数与坐标系背景中，存在一个形状、位置固定的三角形，与另一个含抛物线上动点的三角形满足全等关系，探究符合条件的动点坐标。核心是分类讨论对应顶点的不同组合，结合全等判定条件列方程求解，重点考察分类讨论思想。 核心结论与方法 分类原则：不重不漏 若固定△ABC，动点三角形为△DEF（含动点），需按对应顶点的不同组合分类；若有公共边、公共顶点，优先以公共元素为对应边/对应角，大幅减少分类情况。 三类常用判定与坐标转化 SSS（边边边）：分别计算两个三角形的三边长，按对应边相等列方程组，求解动点坐标； SAS（边角边）：已知一组等角（如公共角、直角），结合两组对应边成比例且相等列方程； 坐标变换法：平移、对称、旋转后的三角形全等，可通过坐标的平移、翻折、旋转规律直接推导动点坐标。 易错提醒 分类不全、对应关系混淆是高频失分点； 解出坐标后必须验证：三点不共线、动点在抛物线/指定轨迹上、符合题目位置要求。 解题步骤 确定固定三角形的顶点坐标与各边长度，明确含动点三角形的已知元素； 按对应顶点的不同组合分类，列出所有可能的全等对应关系； 对每一类，根据全等判定条件，结合坐标关系列方程（组）； 求解并逐一验证，舍去不符合轨迹、三点共线的无效解。 典型应用 抛物线上动点与坐标轴定点构成的三角形和已知三角形全等；图形平移/折叠后形成的全等三角形存在性；多动点的全等构造问题。 3. 等腰三角形的存在性问题： 模型定义 已知两个定点，第三个动点在抛物线（或定直线、对称轴）上运动，探究三点构成等腰三角形的动点位置。是存在性问题的基础题型，核心方法为**“两圆一线”分类法**，考察分类讨论与方程思想。 核心结论与方法 核心分类：两圆一线法 设定点为A、B，动点为P，按顶角顶点的不同分三类： **情况1：PA=PB（P为顶角顶点）**：点P在线段AB的垂直平分线上，求垂直平分线与动点轨迹的交点；- **情况2：AP=AB（A为顶角顶点）**：点P在以A为圆心、AB长为半径的圆上，求圆与动点轨迹的交点；- **情况3：BP=BA（B为顶角顶点）**：点P在以B为圆心、AB长为半径的圆上，求圆与动点轨迹的交点。 2. 坐标计算方法 设动点，y满足抛物线解析式，根据边长相等列方程： PA=PB：$(x-x_A)^2+(y-y_A)^2=(x-x_B)^2+(y-y_B)^2$，化简后为一次方程（垂直平分线），计算最简便；- AP=AB / BP=BA：代入两点间距离公式，结合抛物线解析式化为一元二次方程求解。 3. 注意事项 需舍去三点共线的无效解；- 若动点有取值范围限制，需筛选符合范围的解。 解题步骤 确定两个定点的坐标，计算AB的长度； 按“两圆一线”的三类情况逐一讨论； 每类分别列方程，结合抛物线解析式求解动点坐标； 检验解的有效性，排除共线、超出轨迹的情况。 典型应用 抛物线对称轴上的点与两定点构成等腰三角形；抛物线上动点与两定点构成等腰三角形；结合特殊平行四边形的等腰存在性问题。 4.直角三角形的存在性问题： 模型定义 已知两个定点，第三个动点在抛物线（或定直线、坐标轴）上运动，探究三点构成直角三角形的动点位置。按直角顶点的不同分类讨论，结合勾股定理、几何性质求解，是二次函数综合题的高频核心题型。 核心结论与方法 核心分类：两线一圆法 设定点为A、B，动点为P，按直角顶点的位置分三类： **情况1：∠A为直角**：过点A作AB的垂线，垂线与动点轨迹的交点即为P；- **情况2：∠B为直角**：过点B作AB的垂线，垂线与动点轨迹的交点即为P；- **情况3：∠P为直角**：点P在以AB为直径的圆上（直径所对的圆周角为直角），求圆与动点轨迹的交点。 2. 三类常用计算方法 **勾股逆定理（通用）**：设$\(P(x,y)\)$，分别列$PA^2+PB^2=AB^2$、$PA^2+AB^2=PB^2$、$PB^2+AB^2=PA^2$，代入抛物线解析式求解；- **斜率法**：直角两边所在直线斜率乘积为-1（斜率存在时），列方程求解；- **K型相似（简便）**：过直角顶点作坐标轴的平行线，构造一线三垂直相似三角形，利用线段比例列方程。 3. 易错提醒 忽略斜率不存在的竖直/水平直线情况；- 舍去三点重合、共线的无效解。 解题步骤 确定两个定点坐标，写出各边长度的平方表达式； 按直角顶点的三种位置分类讨论； 每类分别利用勾股定理/斜率/K型相似列方程，结合抛物线解析式求解； 检验解的合理性，排除重合、共线的无效点。 典型应用 抛物线上动点与两定点构成直角三角形；坐标轴上动点与抛物线顶点构成直角三角形；结合相似、面积的直角存在性综合题。 题型01平行四边形的存在性问题 【典例】已知，如图抛物线与y轴交于C点，与x轴交于A、B两点，A点在B点左侧，点B的坐标为，． (1)求抛物线的解析式； (2)若点D是线段下方抛物线上的动点，求四边形面积的最大值； (3)若点E在x轴上，点P在抛物线上，是否存在以A、C、E、P为顶点且以AC为一边的平行四边形？若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【变式】如图，直线与轴交于点，与轴交于点，抛物线经过，两点，且与轴交于另一点． (1)求抛物线的解析式及点的坐标 (2)若点是线段上一动点，过点的直线平行于轴，交轴于点，交抛物线于点，求的最大值，并求此时四边形的面积； (3)若点是抛物线上一动点，是轴上一点，是否存在点使以、、、四点为顶点的四边形是平行四边形，若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 题型02矩形的存在性问题 【典例】综合与实践 如图，在平面直角坐标系中，对称轴的抛物线与x轴交于点A、B，与y轴负半轴交于点C，，，点D为此抛物线的顶点，连接． (1)求此抛物线的解析式； (2)求证：； (3)点在第三象限的抛物线上，点E到x轴的距离不小于8，则m的取值范围为__________，当______时，有最小值____________； (4)点F在抛物线的对称轴上，平面内存在点G使以点A、C、F、G为顶点的四边形为矩形，请直接写出点G的坐标． 【变式】综合与探究 如图，抛物线的顶点为，与轴交于和两点，交轴于点． (1)求抛物线的函数表达式及点，，的坐标； (2)如图1，点是直线上方的抛物线上的动点，当面积最大时，求点的横坐标； (3)如图2，若点是坐标轴上一点，点为平面内一点，是否存在这样的点，使以、、、为顶点的四边形是以为对角线的矩形？若存在，请直接写出点的坐标，若不存在，请说明理由． 题型03菱形的存在性问题 【典例】如图，二次函数的图象交x轴于点，，交y轴于点C，点是x轴上的一动点，轴，交直线于点M，交抛物线于点N． (1)求这个二次函数的表达式； (2)若点P仅在线段上运动，如图，求四边形面积的最大值； (3)若点P在x轴上运动，则在y轴上是否存在点Q，使以M，N，C，Q为顶点的四边形为菱形．若存在，请直接写出所有满足条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 【变式】如图，抛物线经过点．为轴上一动点，过点且垂直于轴的直线与直线及抛物线分别交于点． (1)求抛物线的函数表达式． (2)若点在线段上且位于抛物线对称轴左侧，当为何值时，的面积为4？ (3)在（2）的条件下，若点为直线上一点，点为平面直角坐标系内一点，是否存在这样的点和点，使得以点为顶点的四边形是菱形？若存在，写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 题型04正方形的存在性问题 【典例】在平面直角坐标系中，抛物线 与x轴交于两点，与y轴交于点C，作直线． (1)求抛物线的解析式． (2)如图，点P是线段上方的抛物线上一动点，过点P作 ，交于Q，请问线段是否存在最大值?若存在，请求出最大值及此时点P的坐标；若不存在请说明理由． (3)设点，点，将线段绕点D顺时针旋转 后得到线段，以为边构造正方形，当正方形的边与二次函数在 范围上的图象有且仅有一个公共点时，请求出n的值或取值范围． 设 ，则， ， ， ∵四边形是正方形， ， ∵， ∴， 【变式】综合与探究 如图（a），抛物线与轴交于点，直线经过点，与轴交于点，与抛物线交于点． (1)求抛物线的函数表达式． (2)如图（b），过点作轴，垂足为，是线段上方抛物线上的一个动点，连接，交于点，过点作轴，垂足为交线段于点，连接． ①设点的横坐标为，当为何值时，的面积取得最大值？并求出这个最大值． ②已知为轴上的一点，为平面直角坐标系内的一点，当以点，，，为顶点的四边形为正方形时，求点的坐标． 【巩固训练】 1．如图，抛物线与轴交于点，与轴交于，两点，点在点的左侧．若点在轴上，点在抛物线上，且以，，，为顶点的四边形是平行四边形，则符合条件的点有（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．如图，菱形的顶点在轴的正半轴上，抛物线经过顶点．若，则菱形的面积为（   ） A． B．2 C．4 D． 3．已知点D与点，，是一平行四边形的四个顶点，则长的最小值为（   ） A． B． C．13 D．12 E． 4．如图，抛物线：与轴交于点，（点在点的左侧），与轴交于点．将抛物线绕点旋转，得到新的抛物线，它的顶点为，与轴的另一个交点为．若以，，，为顶点的四边形是矩形．则的值为（   ） A．2 B． C． D． 5．如图，已知抛物线与抛物线的对称轴相同，顶点分别为C，D，两图象交于点，，则下列结论正确的个数是（   ） ①的值为2；②当时，两抛物线组成的图象为轴对称图形，共有两条对称轴；③四边形为菱形；④满足四边形为正方形的的值有2个 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 6．如图，在平面直角坐标系中，点、在抛物线上，过点、分别作轴的垂线，交抛物线于点、，分别过点、作线段的垂线，垂足为点、．若点坐标为，四边形的邻边之比为：时，则线段的长为（    ） A．4或 B．或 C．或 D． 7．如图，抛物线与交于点，且分别与y轴交于点D、E．过点B作x轴的平行线，交抛物线于点A、C，则以下结论： ①无论x取何值，总是非负数； ②可由向右平移个单位，再向下平移个单位得到； ③当时，随着的增大，的值先减小后增大； ④四边形一定为正方形． 其中正确的是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 8．已知二次函数与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C．下列说法正确的个数为（    ） ①线段的长度为；②抛物线的对称轴为直线；③P是此抛物线的对称轴上的一个动点，当P点坐标为时，的值最大；④若M是x轴上的一个动点，N是此抛物线上的一个动点，如果以A，C，M，N为顶点的四边形是平行四边形，满足条件的M点有3个． A．4 B．3 C．2 D．1 9．如图，直线与，轴分别交于点，，与直线交于点.，在线段上，动点以每秒1个单位长度的速度从点出发向点做匀速运动，过点作轴交直线于点，过点作轴交直线于点，轴于点，设运动时间为秒，四边形的面积为（点，重合除外），在运动过程中，当时，的值为（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 10．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴正半轴交于点，四边形为正方形，当抛物线的顶点在边上时，的值为_______． 11．如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过x轴上的点A，直线AB与抛物线在第一象限交于点，若以A，O，B，N为顶点的四边形是平行四边形，则点N的坐标是______． 12．如图，已知二次函数图象与x轴交于点A，与y轴交于点B，在对称轴上存在一点P，使以P，A，O，B为顶点的四边形为平行四边形，写出此时点P的坐标______． 13．已知抛物线的图象与x轴相交于点A和点，与y轴交于点C，连接，有一动点D在线段上运动，过点D作x轴的垂线，交抛物线于点E，交x轴于点，设点D的横坐标为m． （1）连接则的最大面积为________； （2）当时，在平面内存在点M，使以为顶点的四边形为平行四边形，请写出点M的坐标________． 14．如图，抛物线是由抛物线向上平移个单位得到的，与轴于点A、B（点在点B的左侧），与y轴交于点C．    （1）则_________； （2）若将抛物线绕点旋转，得到新的抛物线，它的顶点为，与轴的另一个交点为．若四边形为矩形，则_________． 15．如图，抛物线交轴正半轴于点，过点作轴交抛物线于另一点，点在轴上，点在抛物线上．当四边形是菱形时，则的值为______． 16．如图，抛物线交x轴于A，B两点，A点在B点右侧，交y轴于点C，若点P是抛物线上一动点，过点P作轴交直线于Q点，y轴上是否存在点E，使以为顶点的四边形是菱形，则点E的坐标为___________．    17．如图，抛物线：交轴于点和点B，交y轴于点，顶点记为． (1)求抛物线的函数表达式及顶点的坐标． (2)连接，若线段上有一点，过点作轴的平行线交抛物线于点，求线段长的最大值． (3)在（2）中，当的长最大时，将该抛物线平移，设平移后的抛物线为，抛物线的顶点记为，它的对称轴与x轴交于点．怎样平移才能使得以、、、为顶点的四边形是菱形？ 18．已知：二次函数G：（m为常数）． (1)当时，二次函数G的顶点坐标为 ． (2)二次函数G的图象经过点，求的值． (3)该抛物线在 上最高点的纵坐标为y0，直接写出y0与m的函数关系式． (4)点P在二次函数G上，点P与点Q关于点对称，把线段PQ绕点P逆时针旋转得到线段，以、为边作正方形，设点P的横坐标为，直接写出点M或N在二次函数G上时m的值． 19．如图，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，连接、． (1)求抛物线的函数表达式； (2)点是直线下方抛物线上的一个动点． ①连接、．求四边形的面积的最大值； ②过点作的平行线，交线段于点．试探究在直线上是否存在点，使得以点，，．为顶点的四边形为菱形，若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 20．如图，抛物线的对称轴为：直线，图像与轴、轴分别交于点、、，已知点、，点在直线下方的抛物线上． (1)求该抛物线的解析式； (2)过点作轴交直线于点，作交于点，求的最大值； (3)设点为直线上的点，以、、、为顶点的四边形能否构成平行四边形？若能，求出点的坐标；若不能，请说明理由． 21．如图，在平面直角坐标系中，抛物线顶点为，与轴交于点和点，连接， (1)求该抛物线的函数表达式． (2)平移线段，使点的对应点在轴上，点的对应点为点．当四边形为矩形时，请探索点是否在该抛物线上，并说明理由． 22．如图，矩形在平面直角坐标系中，，抛物线经过点A和点B． (1)求抛物线的解析式； (2)点在轴上方的抛物线上，当时，求点E的坐标； (3)点P在抛物线的对称轴上，点Q在坐标平面内，以为顶点的四边形为矩形，请直接写出点P的坐标． 【强化训练】 1．如图，抛物线上的两点，且轴，直线与轴交于轴上的有两点，且四边形是平行四边形，则常数的值为（    ）． A．1 B． C．2 D．3 2． 已知点D与点A（8，0），B（0，6），C（a，-a）是一平行四边形的四个顶点，则CD长的最小值为（　　） A．8 B．7 C．6 D． 4 3．如图，已知点A1，A2，…，A2011在函数位于第二象限的图象上，点B1，B2，…，B2011在函数位于第一象限的图象上，点C1，C2，…，C2011在y轴的正半轴上，若四边形 、，…， 都是正方形，则正方形的边长为（ ） A．2010 B．2011 C．2010 D．2011 4．如图，在正方形中，，动点E在边上，动点F在边上，连接，相交于点G，且，H为的中点，连接，．有下列结论： ①面积的最大值为2； ②线段长的最小值为； ③线段长的最小值为． 其中，正确结论的个数为（     ） A．0 B．1 C．2 D．3 5．如图，在正方形中，，点E为边上的动点，F在边上，，将线段绕点F逆时针旋转得到线段，连接，则下列结论错误的是（    ） A．的最小值是5 B． C． D．四边形面积的最大值为 6．如图，已知抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C，抛物线的对称轴与x轴交于点D，与经过点B的直线交于点E，点P在抛物线上，点Q在x轴上，若以P、Q、B、E为顶点的四边形是平行四边形，则点P的坐标为________． 7．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点A和点B，与y轴交于点C，则点C的坐标为________；若抛物线上存在一点P，对称轴上存在一点Q，使得以C，B，P，Q为顶点的四边形是平行四边形，则点P的坐标为________． 8．如图，平面直角坐标系中，为坐标原点，已知二次函数，四边形为矩形，，在抛物线上，当，运动时，点也在另一个二次函数图像上运动．设，则关于x的函数表达式为________ 9．如图，抛物线与轴分别交于，两点，与轴交于点，为抛物线对称轴上的线段，且，连接、、，则四边形周长的最小值为________． 10．如图，一条抛物线经过的三个顶点，其中O为坐标原点，点，点B在第一象限内，对称轴是直线，且的面积为18，C为线段的中点，P为直线上的一个动点，连接、，将沿翻折，点A的对应点为．若以、P、C、B为顶点的四边形是平行四边形，则点P的横坐标为____________． 11．如图，E为正方形ABCD的边AB上一动点，过E作EF∥BC交AC于点F，G为DE的中点，连接FG，AB＝4，则FG的最小值是________． 12．如图，点和，抛物线经过点． (1)请计算：=______． (2)抛物线上是否存在点，使四点构成的四边形是平行四边形，若存在，请求出点的坐标，若不存在，请说明理由． (3)抛物线在第一象限内的部分是否存在一点，使得平分？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由． 13．如图，抛物线经过，，三点 (1)求抛物线的解析式； (2)在抛物线的对称轴上有一点P，使的值最小，请求出最小值及此时P的坐标； (3)点M为x轴上一动点，在抛物线上是否存在一点N，使以A，C，M，N四点构成的四边形为平行四边形？若存在，直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由． 14．如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点、点，直线与y轴交于点．P是抛物线上A、B两点之间的一点（P不与点A、B重合），过点P作轴，交直线于点D，过点P作于点E． (1)求抛物线所对应的函数表达式． (2)若四边形为平行四边形，求点P的坐标． (3)求点E横坐标的最大值． 15．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点A、B，与y轴交于点C，连接，，对称轴为直线，点D为此抛物线的顶点． (1)求抛物线的解析式； (2)抛物线上C、D两点之间的距离是 ； (3)点E是第一象限内抛物线上的动点，连接和，求面积的最大值； (4)点P在抛物线对称轴上，平面内存在点Q，使以点B、C、P、Q为顶点的四边形为矩形，请直接写出点Q的坐标． 16．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与x轴交于，两点，与轴交于点，连接． (1)求该抛物线的解析式，并写出它的对称轴； (2)点为抛物线对称轴上一点，连接、，若，求点的坐标； (3)若点为抛物线对称轴上一点，抛物线上是否存在点，使得以，，，为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出所有满足条件的点的坐标；若不存在，请说明理由． (4)若点为坐标系中的一点，，则的最小值为 ． 17．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴相交于，，与y轴相交于点C，连接． (1)求抛物线的解析式； (2)点D为第一象限内抛物线上一个动点，过点D作轴交于点E．请求出的最大值以及此时点D的坐标； (3)在（2）问取最大值的条件下，将抛物线沿射线方向平移个单位长度得到新抛物线，记y与的交点为M，点N为新抛物线对称轴上一点，点P为平面内一点，若以D、M、N、P为顶点的四边形是以为边的菱形，直接写出所有符合条件的点P的坐标，并选择其中一个写出求解过程． 18．抛物线与轴交于，两点，与轴交于点．动点在线段上（点与点不重合）． (1)求抛物线的表达式； (2)连接，在的左上方以为边作正方形． ①如图1，当时，求正方形的面积； ②如图2，当点落在抛物线上时，求点的坐标； (3)如图3，在动点的正上方有另一动点，且，当点从点开始运动时，点以相同的速度同时出发，两点都沿轴的正方向匀速运动，点停止运动时点同时停止运动．连接，，求的最小值和此时的值． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 拓展06 二次函数中四边形存在性问题 1. 掌握二次函数背景下等腰三角形存在性问题，会分类讨论腰与底边，结合坐标列方程求解动点。 2.理解直角三角形存在性的分类方法，能够分三个顶点为直角顶点，借助勾股或垂直斜率关系计算参数。 3.学会结合函数图像判断解的合理性，舍去不符合题意的点，避免多解、漏解情况。 4.运用数形结合思想，综合分析图像与条件，规范完成存在性题型的推理与步骤书写。 1. 角度的存在性问题： 模型定义 在平面直角坐标系的二次函数背景下，已知定点与抛物线上的动点，探究满足角度为定值（如45°、特殊角）、两角相等、角度倍分关系的动点是否存在，并求解对应坐标。核心是将抽象的角度条件转化为可计算的线段比例或代数方程，是二次函数综合的难点题型。 核心结论与方法 45°角存在性（最常考） 核心方法：构造一线三等角（K型），过角的一边上的点向另一边作垂线，构造等腰直角三角形，转化为全等三角形求解； 辅助技巧：利用45°角的正切值为1，通过直线斜率或竖直/水平线段比为1列方程。 定角通用解法：隐圆法（定弦定角） 若线段AB长度固定，∠APB=α为定值，则动点P在以AB为弦的两段圆弧上； 求出圆弧所在圆的圆心与半径，联立圆的方程与抛物线解析式，交点即为所求点； 特例：α=90°时，点P在以AB为直径的圆上，可直接用直角三角形存在性方法求解。 等角存在性 转化思路：两角相等可转化为等腰三角形（等角对等边）、角平分线性质，或利用平行线的内错角/同位角转移角度； 计算技巧：角度相等则对应三角函数值（正切）相等，通过坐标计算对边与邻边的比值，列比例方程。 角度和差问题 利用外角定理将角度和差转化为单个定角，再结合上述方法求解。 解题步骤 确定定点坐标与动点轨迹，明确角度的顶点与两条边； 根据角度特征选择对应方法（45°用K型，定角用隐圆，等角用三角函数/等腰转化）； 设动点横坐标为x，代入抛物线表示纵坐标，将角度条件转化为坐标方程； 解方程并检验，舍去不符合角度方向、动点范围的无效解。 典型应用 抛物线上动点与两定点形成45°角；动点使得两个角相等；动点与定点形成特定角度的存在性判断；角度和差的综合探究。 2.全等三角形的存在性问题： 模型定义 在二次函数与坐标系背景中，存在一个形状、位置固定的三角形，与另一个含抛物线上动点的三角形满足全等关系，探究符合条件的动点坐标。核心是分类讨论对应顶点的不同组合，结合全等判定条件列方程求解，重点考察分类讨论思想。 核心结论与方法 分类原则：不重不漏 若固定△ABC，动点三角形为△DEF（含动点），需按对应顶点的不同组合分类；若有公共边、公共顶点，优先以公共元素为对应边/对应角，大幅减少分类情况。 三类常用判定与坐标转化 SSS（边边边）：分别计算两个三角形的三边长，按对应边相等列方程组，求解动点坐标； SAS（边角边）：已知一组等角（如公共角、直角），结合两组对应边成比例且相等列方程； 坐标变换法：平移、对称、旋转后的三角形全等，可通过坐标的平移、翻折、旋转规律直接推导动点坐标。 易错提醒 分类不全、对应关系混淆是高频失分点； 解出坐标后必须验证：三点不共线、动点在抛物线/指定轨迹上、符合题目位置要求。 解题步骤 确定固定三角形的顶点坐标与各边长度，明确含动点三角形的已知元素； 按对应顶点的不同组合分类，列出所有可能的全等对应关系； 对每一类，根据全等判定条件，结合坐标关系列方程（组）； 求解并逐一验证，舍去不符合轨迹、三点共线的无效解。 典型应用 抛物线上动点与坐标轴定点构成的三角形和已知三角形全等；图形平移/折叠后形成的全等三角形存在性；多动点的全等构造问题。 3. 等腰三角形的存在性问题： 模型定义 已知两个定点，第三个动点在抛物线（或定直线、对称轴）上运动，探究三点构成等腰三角形的动点位置。是存在性问题的基础题型，核心方法为**“两圆一线”分类法**，考察分类讨论与方程思想。 核心结论与方法 核心分类：两圆一线法 设定点为A、B，动点为P，按顶角顶点的不同分三类： **情况1：PA=PB（P为顶角顶点）**：点P在线段AB的垂直平分线上，求垂直平分线与动点轨迹的交点；- **情况2：AP=AB（A为顶角顶点）**：点P在以A为圆心、AB长为半径的圆上，求圆与动点轨迹的交点；- **情况3：BP=BA（B为顶角顶点）**：点P在以B为圆心、AB长为半径的圆上，求圆与动点轨迹的交点。 2. 坐标计算方法 设动点，y满足抛物线解析式，根据边长相等列方程： PA=PB：$(x-x_A)^2+(y-y_A)^2=(x-x_B)^2+(y-y_B)^2$，化简后为一次方程（垂直平分线），计算最简便；- AP=AB / BP=BA：代入两点间距离公式，结合抛物线解析式化为一元二次方程求解。 3. 注意事项 需舍去三点共线的无效解；- 若动点有取值范围限制，需筛选符合范围的解。 解题步骤 确定两个定点的坐标，计算AB的长度； 按“两圆一线”的三类情况逐一讨论； 每类分别列方程，结合抛物线解析式求解动点坐标； 检验解的有效性，排除共线、超出轨迹的情况。 典型应用 抛物线对称轴上的点与两定点构成等腰三角形；抛物线上动点与两定点构成等腰三角形；结合特殊平行四边形的等腰存在性问题。 4.直角三角形的存在性问题： 模型定义 已知两个定点，第三个动点在抛物线（或定直线、坐标轴）上运动，探究三点构成直角三角形的动点位置。按直角顶点的不同分类讨论，结合勾股定理、几何性质求解，是二次函数综合题的高频核心题型。 核心结论与方法 核心分类：两线一圆法 设定点为A、B，动点为P，按直角顶点的位置分三类： **情况1：∠A为直角**：过点A作AB的垂线，垂线与动点轨迹的交点即为P；- **情况2：∠B为直角**：过点B作AB的垂线，垂线与动点轨迹的交点即为P；- **情况3：∠P为直角**：点P在以AB为直径的圆上（直径所对的圆周角为直角），求圆与动点轨迹的交点。 2. 三类常用计算方法 **勾股逆定理（通用）**：设$\(P(x,y)\)$，分别列$PA^2+PB^2=AB^2$、$PA^2+AB^2=PB^2$、$PB^2+AB^2=PA^2$，代入抛物线解析式求解；- **斜率法**：直角两边所在直线斜率乘积为-1（斜率存在时），列方程求解；- **K型相似（简便）**：过直角顶点作坐标轴的平行线，构造一线三垂直相似三角形，利用线段比例列方程。 3. 易错提醒 忽略斜率不存在的竖直/水平直线情况；- 舍去三点重合、共线的无效解。 解题步骤 确定两个定点坐标，写出各边长度的平方表达式； 按直角顶点的三种位置分类讨论； 每类分别利用勾股定理/斜率/K型相似列方程，结合抛物线解析式求解； 检验解的合理性，排除重合、共线的无效点。 典型应用 抛物线上动点与两定点构成直角三角形；坐标轴上动点与抛物线顶点构成直角三角形；结合相似、面积的直角存在性综合题。 题型01平行四边形的存在性问题 【典例】已知，如图抛物线与y轴交于C点，与x轴交于A、B两点，A点在B点左侧，点B的坐标为，． (1)求抛物线的解析式； (2)若点D是线段下方抛物线上的动点，求四边形面积的最大值； (3)若点E在x轴上，点P在抛物线上，是否存在以A、C、E、P为顶点且以AC为一边的平行四边形？若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)或或 【分析】（1）利用待定系数法计算即可； （2）过点D作轴交直线于点Q，设，则， ，根据题意，得，得到 ，解答即可． （3）根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，对角线互相平分的四边形是平行四边形，结合解方程求解即可； 【详解】（1）解：∵抛物线与y轴交于C点，与x轴交于A、B两点，A点在B点左侧，点B的坐标为，， ∴， ∴， ∴抛物线的图象经过点， ∴, 解得， ∴抛物线的解析式为． （2）解：令，整理，得， 解得， ， ， 设直线的解析式为， 将，代入直线的解析式得： ， 解得， ∴直线的解析式为：． 过点D作轴交直线于点Q， 设，则， 则， ，，， ， 根据题意，得 ∴， ∵， ∴抛物线开口向下，函数有最大值， ∴当时，四边形的面积最大，且最大值为． （3）解：过点C作，交抛物线于点， 在点A的左边截取，连接，则四边形是以AC为一边的平行四边形， ， ， ， ， 解得， 当时，此时为点，不符合要求； 当时，此时为点，符合要求； 作点C关于x轴的对称点Q，则，， 过点Q作，交抛物线于点，，如图所示，连接交x轴于点H， ∴， ∴， ∴， 在点A的右边截取，连接，则四边形是以AC为一边的平行四边形； ， ， ， ， 解得， 解得，； 当时，不符合要求，舍去； 当时，此时为点，符合要求； 如图所示，过点作轴于点G，在上截取， 根据题意，得， 在和中 ∵， ∴， ∴， ， ， ， 则四边形是以AC为一边的平行四边形； ， ， ， ， 解得， 解得，； 当时，不符合要求，舍去； 当时，此时为点，符合要求； 综上所述，符合要求的点为或或； 【变式】如图，直线与轴交于点，与轴交于点，抛物线经过，两点，且与轴交于另一点． (1)求抛物线的解析式及点的坐标 (2)若点是线段上一动点，过点的直线平行于轴，交轴于点，交抛物线于点，求的最大值，并求此时四边形的面积； (3)若点是抛物线上一动点，是轴上一点，是否存在点使以、、、四点为顶点的四边形是平行四边形，若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)抛物线表达式为，点的坐标为 (2)的最大值为，四边形的面积 (3)点的坐标为、、 【分析】（1）根据直线与轴交于点，与轴交于点，求出坐标再利用待定系数法求抛物线表达式． （2）根据点，点的坐标求出直线表达式，设点和点坐标，表示出进行求最大值即可，根据观察图像发现四边形是直角梯形，表示出四边形各边的长度，利用梯形的面积公式求解即可． （3）分类讨论点的位置，分别计算即可． 【详解】（1）解：根据题意可知，直线与轴交于点，与轴交于点 令即解得 ∴点的坐标为 令即 ∴点的坐标为 抛物线经过，两点，将坐标代入得 解得 ∴抛物线表达式为． 抛物线与轴交于，两点，令得 解得， ∵点的坐标为 ∴点的坐标为． （2）解：由（1）知点的坐标为，点的坐标为 设直线的函数表达式为，代入坐标得 解得 ∴直线的函数表达式为 ∵点在线段上，设点坐标为，其中 过点的直线平行于轴，交抛物线于点 ∴点坐标为 当时，线段在抛物线上方 ∴ 整理得 ∴当时，取得最大值，的最大值为． ∴点坐标为，点坐标为 ∴四边形的顶点坐标为，，， ∵在轴上，在轴上， ∴四边形是直角梯形 根据直角梯形的顶点坐标可知，， ∴ ∴． （3）解：存在点使以、、、四点为顶点的四边形是平行四边形 根据题意可知点的坐标为，点的坐标为， ∵点在轴上， ∴设点的坐标为，点在抛物线上，设点的坐标为， 当平行四边形以为边时，且， ∴点和点的纵坐标相等，即， ∴ 解得， ∴点的坐标为或 ∵点的坐标为 ∴点的坐标为（不符合题意舍去） ∴点的坐标为 ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ 当时，，点的坐标为（不符合题意舍去） 当时，，点的坐标为满足点在抛物线上 ∴点的坐标为 当平行四边形以为边，为对边时 且 ∵点和点的纵坐标差为 ∴点和点的纵坐标差为 即 当 解得，与相同舍去 当 解得， ∴点的坐标为或 以为平行四边形对角线时，的中点坐标为，则的中点坐标也为即 解得，与相同舍去 综上所述，点的坐标为、、． 题型02矩形的存在性问题 【典例】综合与实践 如图，在平面直角坐标系中，对称轴的抛物线与x轴交于点A、B，与y轴负半轴交于点C，，，点D为此抛物线的顶点，连接． (1)求此抛物线的解析式； (2)求证：； (3)点在第三象限的抛物线上，点E到x轴的距离不小于8，则m的取值范围为__________，当______时，有最小值____________； (4)点F在抛物线的对称轴上，平面内存在点G使以点A、C、F、G为顶点的四边形为矩形，请直接写出点G的坐标． 【答案】(1) (2)证明：∵抛物线的对称轴为， ∴点D的纵坐标为，即点． 如图所示，对称轴交x轴于点P， ∴， ∴， ∴， ∴，即； (3)，，3 (4)或或或 【分析】（1）根据特殊角的三角函数值可得，即，进而得出，即可得出点，然后将两个点的坐标代入求出函数关系式，求出解即可； （2）先求出顶点，再求出，可得，然后说明，则此题可解； （3）根据题意当时，可得，求出或（舍去），再根据函数图象的性质可得答案；先表示出，再根据函数图象的性质解答； （4）分两种情况：以为边，当点F在x轴上方时，则F与D重合，可得均是等腰直角三角形，再证明，可得，即可得出答案；当以为矩形的对角线时，同理可证，进而得出，然后设点，点，接下来根据勾股定理求出m的值，进而得出答案． 【详解】（1）解：∵， ∴，即， ∴， ∴， 则， 解得， ∴二次函数关系式为; （2）略 （3）解：∵点E到x轴的距离不小于8，即点E的纵坐标． 当时，， 解得或（舍去）， ∴当时，，即点E到x轴的距离不小于8； ∵， ∴， ∵，随着m的增大而减小， ∴当时，有最小值； （4）解：以为矩形的边时，由（2）得，则F与D重合， 如图，是矩形，， ∴均是等腰直角三角形， ∵， ∴， ∴， ∴点； 当以为矩形的对角线时， 同理可证， ∴． 设点，点， ∴， 根据勾股定理，得， 即， 解得， ∴点， 综上所述，点或或或． 【变式】综合与探究 如图，抛物线的顶点为，与轴交于和两点，交轴于点． (1)求抛物线的函数表达式及点，，的坐标； (2)如图1，点是直线上方的抛物线上的动点，当面积最大时，求点的横坐标； (3)如图2，若点是坐标轴上一点，点为平面内一点，是否存在这样的点，使以、、、为顶点的四边形是以为对角线的矩形？若存在，请直接写出点的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)；，， (2) (3)存在，点的坐标为或或 【分析】（1）利用顶点坐标设顶点式即可得到函数解析式，分别令、求解，即可得到点，，的坐标； （2）先求出直线的解析式，设点的横坐标为，通过作铅垂线得到点与直线上对应点的纵坐标差即铅垂高，代入面积公式得到面积关于横坐标的二次函数，根据二次函数的性质即可求出面积最大时点的横坐标； （3）先计算的长度与中点坐标，依据矩形对角线相等且互相平分的性质，分在轴、轴两类设点坐标，由中点公式表示出点坐标，结合对角线长度列方程求解，舍去不合理解后即可得到所有符合条件的点坐标． 【详解】（1）解：设抛物线表达式为， ∵抛物线的顶点为， ∴，，， ∴抛物线的函数表达式为， 令，则， ∴， 令，则， 解得或， ∴，； （2）解：设直线表达式为，代入，得 ， 解得， ∴直线表达式为， 设点横坐标为，则， 如图，过点作轴的垂线，交于点，则， ∴， ∴， 这是开口向下的二次函数，当时，面积取得最大值， 即当面积最大时，点的横坐标为； （3）解：∵，， ∴，中点为即， ∵以、、、为顶点的四边形是以为对角线的矩形， ∴，中点为， 点是坐标轴上一点，故分两种情况讨论： ①当点在轴上时，如图， 设，则， ， ∴， 解得或（此时点与点重合，舍去）， ∴， ∴； ②当点在轴上时，如图， 设，则， ， ∴， 解得或， 当时，， 当时，， ∴或； 综上，点的坐标为或或． 题型03菱形的存在性问题 【典例】如图，二次函数的图象交x轴于点，，交y轴于点C，点是x轴上的一动点，轴，交直线于点M，交抛物线于点N． (1)求这个二次函数的表达式； (2)若点P仅在线段上运动，如图，求四边形面积的最大值； (3)若点P在x轴上运动，则在y轴上是否存在点Q，使以M，N，C，Q为顶点的四边形为菱形．若存在，请直接写出所有满足条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)四边形面积的最大值为 (3)点Q的坐标为或或 【分析】（1）利用待定系数法求解； （2）先利用待定系数法求出直线的解析式，分别用含的代数式表示出、的坐标，进而可得，再根据，构建二次函数，然后利用二次函数的性质求最大值； （3）分四种情形：当点M在线段上，，四边形是菱形时；当是菱形的对角线时，四边形是正方形；当点M在延长线上时，，四边形是菱形时；当点M在延长线上时，，四边形是菱形．分别求解即可． 【详解】（1）解：把，代入中，得， 解得，， ∴这个二次函数的表达式为y； （2）解：对于二次函数的表达式，令，则， ∴， 设直线的表达式为， 把，代入，得 ，解得， ∴直线的表达式为， 设， ∵轴． ，， ∴ ∴ ， ∴当时，有最大值； （3）解：∵，，，， ∴，，，， 分以下三种情况： ①如图中，当点M在线段上，，四边形是菱形时． ，， ， 解得或（舍去） ． ， ， ． ②如图，当是菱形的对角线时， 根据菱形的性质可得， ∴， ∴四边形是正方形， ∴，， ， 解得或0（舍去）， ∴． ③如图，当点M在延长线上时，，四边形是菱形时， 则有， 解得或0（舍去）， ， ， ． ④如图，当点M在延长线上时，，四边形是菱形，此时，，， 则有， 解得或， 都不满足， 综上所述，满足条件的点Q的坐标为或或． 【变式】如图，抛物线经过点．为轴上一动点，过点且垂直于轴的直线与直线及抛物线分别交于点． (1)求抛物线的函数表达式． (2)若点在线段上且位于抛物线对称轴左侧，当为何值时，的面积为4？ (3)在（2）的条件下，若点为直线上一点，点为平面直角坐标系内一点，是否存在这样的点和点，使得以点为顶点的四边形是菱形？若存在，写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在，点D的坐标为或或或 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）表示，再表示三角形的面积求解即可； （3）设，利用勾股定理，中点坐标公式，分类求解即可； 【详解】（1）解：∵抛物线经过点， ∴， 解得， ∴抛物线解析式为； （2）解：抛物线对称轴， 设， ∴当时，， ∴， 当时，得，整理，得， 解得（舍去）． ∴点的坐标为； （3）解：根据题意，得点的坐标为，， ， 设， 当为对角线时，如图，点C的横坐标为，此时纵坐标为， 故为，根据菱形的对称性质，得到点为 当为边时，也为边时，根据题意，得， 过作轴的垂线，垂足为，在中由勾股定理得， ， 解得， 故或， 设，，根据中点坐标公式，得 ， 解得， 故； 设，，根据中点坐标公式，得 ， 解得， 故； 当为边时，为对角线时， 过作轴的垂线，垂足为，在中由勾股定理得， ，解得（舍去），， 故 设，，根据中点坐标公式，得 ， 解得， 故； 综上可知点D的坐标为或或或 ． 题型04正方形的存在性问题 【典例】在平面直角坐标系中，抛物线 与x轴交于两点，与y轴交于点C，作直线． (1)求抛物线的解析式． (2)如图，点P是线段上方的抛物线上一动点，过点P作 ，交于Q，请问线段是否存在最大值?若存在，请求出最大值及此时点P的坐标；若不存在请说明理由． (3)设点，点，将线段绕点D顺时针旋转 后得到线段，以为边构造正方形，当正方形的边与二次函数在 范围上的图象有且仅有一个公共点时，请求出n的值或取值范围． 【答案】(1)为； (2)存在，有最大值，此时； (3)或或 【分析】（1）待定系数法求出抛物线的解析式即可； （2）先求出，得出，求出直线的解析式为，过点作轴，交于点．设，则，得出，证明为等腰直角三角形，得出，求出最大值即可； （3）分两种情况：当时，点在点上方，当时，点在点下方，分别画出图形，求出点G的坐标；然后根据正方形的边与二次函数在范围上的图象有且仅有一个公共点，得出边与抛物线相交或顶点在抛物线上时符合题意；从而可知当与抛物线相交时有，再根据点或点在抛物线上，求出n的值，即可得出答案． 【详解】（1）解：∵抛物线与轴交于两点，将点，点的坐标分别代入得：， 解得：， ∴抛物线的解析式为； （2）解：线段存在最大值；理由如下： ∵抛物线与轴交于点， 当时，得， ， ， ， ， ， ， 设直线的解析式为，将点的坐标代入得：， 解得：， ∴直线的解析式为：， 如图1，过点作轴，交于点，则， 设 ，则， ， ， ，， ∴为等腰直角三角形， ， ∴当时，有最大值，此时， 即此时； （3）解：∵， ∴二次函数的对称轴为直线， ∴点D、E在抛物线的对称轴上； ∵，当时，， ∴当时，点在点上方， ， 由旋转得：， ，； 当时，点在点下方， 同理可得：， ， ∴不论为何值，点的坐标为，点坐标为； ∵正方形的边与二次函数在范围上的图象有且仅有一个公共点， ∴边与抛物线相交或顶点在抛物线上时，符合题意， ①当时，点在点上方， 如图3，边在点右侧，与抛物线相交时， 则，解得； 如图4，点在抛物线上时， ∵四边形是正方形， ， ∵， ∴， 解得（大于的值舍去）； ②当时，点在点下方，如图5，此时点在抛物线上时符合要求， ， 解得（小于的值舍去）； 综上所述，的取值范围为或或． 【变式】综合与探究 如图（a），抛物线与轴交于点，直线经过点，与轴交于点，与抛物线交于点． (1)求抛物线的函数表达式． (2)如图（b），过点作轴，垂足为，是线段上方抛物线上的一个动点，连接，交于点，过点作轴，垂足为交线段于点，连接． ①设点的横坐标为，当为何值时，的面积取得最大值？并求出这个最大值． ②已知为轴上的一点，为平面直角坐标系内的一点，当以点，，，为顶点的四边形为正方形时，求点的坐标． 【答案】(1) (2)①当时，面积的最大值为；②点N的坐标为或或 【分析】（1）利用待定系数法求解析式； （2）①证明，得，将，，代入，求出，由此求出，根据二次函数的性质求出面积的最大值为． ②求出直线的表达式为，得到，由①知，得到轴，且．分三种情况分别求出点N的坐标． 【详解】（1）解：将点和代入，得 ， 解得， ∴抛物线的函数表达式为． （2）①∵轴，轴， ∴． ∵， ∴． ∴． 设点P的坐标为，则， ． ∵轴， ∴，． ∴． ∴． ∴ ． ∴当时，面积的最大值为． ②易求直线的表达式为． ∴点F的坐标为． ∴．由①知． ∴轴，且． Ⅰ． 如图（a），当四边形为正方形时，此时点M与点G重合，点N与点D重合， ∴点N的坐标为． Ⅱ． 如图（b），当四边形为正方形时，此时点N与点G重合，点M与点D重合， ∴．则．解得． ∴点N的坐标为． Ⅲ． 如图（c），当为对角线时，此时，由正方形的性质得． ∴． 解得． ∴点G的坐标为． ∴点M的坐标为，． ∴点N的坐标为． 综上，点N的坐标为或或． 【巩固训练】 1．如图，抛物线与轴交于点，与轴交于，两点，点在点的左侧．若点在轴上，点在抛物线上，且以，，，为顶点的四边形是平行四边形，则符合条件的点有（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】根据题意分三种情况讨论，然后根据平行四边形的性质求解即可． 【详解】解：∵抛物线与轴交于点， ∴当时， ∴ ∵以，，，为顶点的四边形是平行四边形，点在轴上，点在抛物线上， ∴当是对角线时，和互相平分， ∴， ∴ ∴ 将代入得， 解得或 ∴； 当是对角线时，和互相平分， ∴， ∴ ∴ 同理可得； 当是对角线时，和互相平分， ∴， ∴ ∴； 由图像可得，直线与抛物线有两个不同的交点， ∴此时有两个符合条件的点P， 综上所述，符合条件的点有3个． 2．如图，菱形的顶点在轴的正半轴上，抛物线经过顶点．若，则菱形的面积为（   ） A． B．2 C．4 D． 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征和菱形的性质，过点作轴交轴于点，连接，设，根据，求得点的坐标，进而求得菱形的边长，根据菱形的性质，即可求解． 【详解】过点作轴交轴于点，连接， ∵ ∴ ∴，， ∵抛物线经过顶点 ∴设， ∴ ∴ 解得：或（舍去） ∴， ∴, ∵菱形， ∴， 设，则，， 在中， ∴ 解得： ∴ ∴菱形的面积为 故选：A． 3．已知点D与点，，是一平行四边形的四个顶点，则长的最小值为（   ） A． B． C．13 D．12 E． 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数的最值的应用，平行四边形性质，解题的关键是利用分类讨论思想解答． 分两种情况：若为一边，若为对角线，结合平行四边形的性质以及二次函数的性质解答即可． 【详解】解：∵，，， ∴，，， 若为一边，此时； 若为对角线，此时和互相平分， 设点D的坐标为， ∵，，， ∴， 解得：， ∴D的坐标为， ∴， ∵， ∴该二次函数开口向上，当时，取得最小值，为， 即此时的最小值为； ∵， ∴， ∴长的最小值为． 故选：A 4．如图，抛物线：与轴交于点，（点在点的左侧），与轴交于点．将抛物线绕点旋转，得到新的抛物线，它的顶点为，与轴的另一个交点为．若以，，，为顶点的四边形是矩形．则的值为（   ） A．2 B． C． D． 【答案】C 【分析】根据，，，为顶点的四边形是矩形，得到；根据抛物线的对称性，得，于是等边三角形，根据，得到，计算解答即可． 【详解】解：连接， 根据，，，为顶点的四边形是矩形，得到； 根据抛物线的对称性，得， 故等边三角形， 故，， 又， 故， 又, 故， 故， ， 解得， 故选：C． 【点睛】本题考查了矩形的性质，等边三角形的判定和性质，抛物线的对称性，勾股定理，熟练掌握性质和定理是解题的关键． 5．如图，已知抛物线与抛物线的对称轴相同，顶点分别为C，D，两图象交于点，，则下列结论正确的个数是（   ） ①的值为2；②当时，两抛物线组成的图象为轴对称图形，共有两条对称轴；③四边形为菱形；④满足四边形为正方形的的值有2个 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题主要考查了二次函数的图象和性质．求出抛物线的对称轴，即可求出b的值，可判断①；分别求出两抛物线的顶点坐标以及它们的交点，可判断②；由抛物线的对称性得：，根据题意得∶轴，所在的直线为两抛物线的对称轴，根据两抛物线的顶点到直线的距离相等，可得垂直平分，从而得到，可判断③；根据，可求出c的值，可判断④． 【详解】解：， ∴抛物线的对称轴为直线， ∵两抛物线的对称轴相同， ∴抛物线的对称轴为直线， ∴， ∴，故①正确； ∴抛物线的解析式为， ∴抛物线的顶点为， ∵， ∴抛物线的顶点为， 联立得：， 解得：或， ∴两抛物线的的交点分别为或， 即它们交点所在的直线为， ∴抛物线的顶点到直线的距离为，抛物线的顶点到直线的距离为， 即两抛物线的顶点到直线的距离相等， ∵两抛物线的对称轴相同，且二次项的系数互为相反数， ∴两抛物线的开口大小一样， ∴两抛物线组成的图象为轴对称图形，对称轴分别为两抛物线的对称轴以及它们交点所在的直线，共有两条对称轴，故②正确； 如图，连接， 由抛物线的对称性得：， 根据题意得∶轴，所在的直线为两抛物线的对称轴， ∴， ∵两抛物线的顶点到直线的距离相等， ∴垂直平分， ∴， ∴， ∴四边形为菱形，故③正确； ∵四边形为正方形， ∴， ∴， 解得：或， ∵， ∴不符合题意， ∴满足四边形为正方形的的值有1个，故④错误； 故选：C 6．如图，在平面直角坐标系中，点、在抛物线上，过点、分别作轴的垂线，交抛物线于点、，分别过点、作线段的垂线，垂足为点、．若点坐标为，四边形的邻边之比为：时，则线段的长为（    ） A．4或 B．或 C．或 D． 【答案】B 【分析】通过待定系数法求出函数解析式，得出 ，进而根据四边形的邻边之比为：，分类讨论，设点A横坐标为m表示出的坐标，进而即可求解． 【详解】解：依题意是矩形； 把点代入中得， 解得， ∴， ∵点， ∴， ∴ ， ∵四边形的邻边之比为：时， 当时，则 设点A横坐标为m，则， 代入得， 解得或（舍去）． ∴． 当时，则 设点A横坐标为m，则， 代入得， 解得或（舍去）． ∴． 综上所述线段的长为或 故选：B． 7．如图，抛物线与交于点，且分别与y轴交于点D、E．过点B作x轴的平行线，交抛物线于点A、C，则以下结论： ①无论x取何值，总是非负数； ②可由向右平移个单位，再向下平移个单位得到； ③当时，随着的增大，的值先减小后增大； ④四边形一定为正方形． 其中正确的是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】①由非负数的性质，即可证得，可得无论x取何值，总是负数； ②由抛物线与交于点，可求得a的值，然后由抛物线的平移的性质，即可由向右平移3个单位，再向下平移3个单位得到；； ③由，可得随着x的增大，的值减小； ④首先求得点A，C，D，E的坐标，即可证得，又由，即可证得四边形为正方形． 【详解】解：①∵， ∴， ∴， ∴无论x取何值，总是负数；故①错误； ②∵抛物线与交于点， ∴当时，， 即， 解得：； ∴， ∴可由向右平移3个单位，再向下平移3个单位得到；故②正确； ③∵， ∴随着x的增大，的值减小；故③错误； ④设与交于点， ∵当时，， 解得：或， ∴点， 当时，， 解得：或， ∴点， ∴，， 当时，， ， ∴，， ∴四边形为平行四边形， ∵， ∴四边形为矩形， ∵， ∴四边形为正方形．故④正确． 综上所述：正确的是②④．共2个； 故选：B． 【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式、非负数的性质、二次函数的平移以及正方形的判定，熟练掌握并灵活运用是解题的关键． 8．已知二次函数与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C．下列说法正确的个数为（    ） ①线段的长度为；②抛物线的对称轴为直线；③P是此抛物线的对称轴上的一个动点，当P点坐标为时，的值最大；④若M是x轴上的一个动点，N是此抛物线上的一个动点，如果以A，C，M，N为顶点的四边形是平行四边形，满足条件的M点有3个． A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的性质．求出，坐标代入距离公式可判断①；根据对称轴可判断②；求出解析式得到的值最大时点的坐标为可判断③；将边看成平行四边形的一边有3种情况，将边看成对角线有1种情况，共4种可判断④． 【详解】解：①在二次函数中，令，得，令，则，解得，或， ，， ，故①正确； ②在二次函数中，对称轴为，故②正确； ③连接交对称轴为点，此时的值最大， 设直线的解析式为：， ，， ，解得， 直线的解析式为：， 令，， 当点的坐标为时，的值最大．故③错误； ④若以、、、为顶点的四边形是平行四边形，当为边时，共有三个平行四边形； 当为对角线时，共有1个平行四边形． 符合条件的点有4个，故④错误． 故选：C． 9．如图，直线与，轴分别交于点，，与直线交于点.，在线段上，动点以每秒1个单位长度的速度从点出发向点做匀速运动，过点作轴交直线于点，过点作轴交直线于点，轴于点，设运动时间为秒，四边形的面积为（点，重合除外），在运动过程中，当时，的值为（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】C 【分析】依题意，当点在点的左边时，设，，表示矩形的面积，令其为求解即可；同理可求，当点在点的右边时； 【详解】如图，当点在点的左边时，可知为矩形； ∵，∴，即F的纵坐标为：t；又点F在一次函数上， ∴，∴， ∴. 当时，； 如图，当点在点的右边时， ∵，，即F的纵坐标为：t；又点F在一次函数上， ∴，∴； .∴ 解，得或（舍）； 故选：C 【点睛】本题考查一次函数、二次函数的性质，动点及矩形面积，难点在于分点P、Q的位置讨论和二次函数中已知函数值求解未知数x； 10．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴正半轴交于点，四边形为正方形，当抛物线的顶点在边上时，的值为_______． 【答案】 【分析】首先根据抛物线解析式求出点的坐标，利用抛物线的对称性求出的长，进而根据正方形的性质求出点的坐标及边所在直线的解析式，再求出抛物线的顶点坐标，根据顶点在边上建立关于的方程求解即可． 【详解】解：令，则， ∴， ∵抛物线与轴正半轴交于点， ∴， ∵抛物线的对称轴为直线， ∴点与点关于直线对称， ∴， ∵四边形为正方形， ∴， ∴点的纵坐标为，即边在直线上， ∵， ∴抛物线的顶点坐标为， ∵抛物线的顶点在边上， ∴， 解得，（舍去）， ∴的值为． 11．如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过x轴上的点A，直线AB与抛物线在第一象限交于点，若以A，O，B，N为顶点的四边形是平行四边形，则点N的坐标是______． 【答案】或或 【分析】令，得，可得，设，利用平行四边形对角线互相平分，即对角线的中点重合，分三种情况分别列方程组求解即可． 本题考查了二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，抛物线与坐标轴的交点，平行四边形性质等，解题的关键是运用方程思想、数形结合思想和分类讨论思想解题． 【详解】解：在中， 令，得， 解得：，， ， 设， 分三种情况： ①以为对角线，此时中点与中点重合，如图， 、，， 的中点为，中点为， ， 解得， ， ②以为对角线，此时中点与中点重合，如图， 同理可得， 解得， ， ③以为对角线，此时中点与中点重合，如图， 同理可得， 解得， ， 综上所述，点N的坐标为或或 故答案为：或或 12．如图，已知二次函数图象与x轴交于点A，与y轴交于点B，在对称轴上存在一点P，使以P，A，O，B为顶点的四边形为平行四边形，写出此时点P的坐标______． 【答案】或 【分析】本题考查了二次函数的性质，平行四边形的性质． 根据二次函数的性质求出，，设，根据平行四边形的性可知，即，即可求出点P的坐标． 【详解】解：当时，，则， 当时，， 解得：， ∴， 设， ∵以P，A，O，B为顶点的四边形为平行四边形， ∴， ∴， ∴， 即或． 故答案为：或． 13．已知抛物线的图象与x轴相交于点A和点，与y轴交于点C，连接，有一动点D在线段上运动，过点D作x轴的垂线，交抛物线于点E，交x轴于点，设点D的横坐标为m． （1）连接则的最大面积为________； （2）当时，在平面内存在点M，使以为顶点的四边形为平行四边形，请写出点M的坐标________． 【答案】 或或 【分析】（1）先利用待定系数法求出抛物线和直线解析式，设，，则，故，进而求解即可； （2）分别以、、为平行四边形对角线进行求解即可． 【详解】解： ，， ， 将，代入得， ， 解得， ， 当时，，即； 设直线解析式为， ，解得， ， 设，， ， ， ，开口向下， 当时，的最大值为， 故答案为：； （2） ， ， 设， 当为平行四边形的对角线时， ，解得， ； 当为平行四边形的对角线时， ，解得， ， 当为平行四边形的对角线时， ，解得， ， 故答案为：或或． 【点睛】本题是二次函数的综合题，熟练掌握二次函数的图象与性质，灵活运用平行四边形的性质是解题的关键． 14．如图，抛物线是由抛物线向上平移个单位得到的，与轴于点A、B（点在点B的左侧），与y轴交于点C．    （1）则_________； （2）若将抛物线绕点旋转，得到新的抛物线，它的顶点为，与轴的另一个交点为．若四边形为矩形，则_________． 【答案】 【分析】本题考查二次函数、平行四边形的性质，灵活利用平行四边形的性质是解题的关键． （1）根据二次函数平移的性质求解即可； （2）利用矩形性质得出要使四边形是矩形，必须满足，继而可求出b的值． 【详解】解：（1）∵抛物线是由抛物线向上平移个单位得到的， ∴， 故答案为：； （2）解：令，得：． ∴， ∵， ∴， 令，得：， ∴， ∴，， ∴ ∴， 要使四边形是矩形，必须满足， ∴ ∴， 解得，（舍去） ∴， 故答案为：． 15．如图，抛物线交轴正半轴于点，过点作轴交抛物线于另一点，点在轴上，点在抛物线上．当四边形是菱形时，则的值为______． 【答案】 【分析】本题考查了菱形的性质，二次函数的性质，由菱形的性质得，，由二次函数的性质得直线是抛物线的对称轴，由得，即可求解；掌握菱形的性质和二次函数的性质，由性质得到直线是抛物线的对称轴是解题的关键． 【详解】解：如图，连接交于， 当时，， ， 四边形是菱形， ， ， 轴， 轴， ， ， 直线是抛物线的对称轴， 抛物线 ， ， ， ， 解得：； 故答案：． 16．如图，抛物线交x轴于A，B两点，A点在B点右侧，交y轴于点C，若点P是抛物线上一动点，过点P作轴交直线于Q点，y轴上是否存在点E，使以为顶点的四边形是菱形，则点E的坐标为___________．    【答案】或或 【分析】本题考查了二次函数与四边形的综合问题，分类讨论①当为菱形的对角线时、②当为菱形的边时两种情况即可求解． 【详解】解：令，解得：； 令，则； ∴ ∴ ①当为菱形的对角线时，垂直平分，如图，    ∴ ∴ 设解析式为： 则 ∴ ∴解析式是， 因为 ∴， ∴ 此时菱形是正方形． ∴． 设，则， ， ∴，解得（不合题意舍去）或， 此时， ∴E． ②当为菱形的边时， 或． 解得：，舍去 ∴或 ∴或 ∴E或E 综上所述，符合条件的点E有三个，坐标为： 或或 故答案为：或或 17．如图，抛物线：交轴于点和点B，交y轴于点，顶点记为． (1)求抛物线的函数表达式及顶点的坐标． (2)连接，若线段上有一点，过点作轴的平行线交抛物线于点，求线段长的最大值． (3)在（2）中，当的长最大时，将该抛物线平移，设平移后的抛物线为，抛物线的顶点记为，它的对称轴与x轴交于点．怎样平移才能使得以、、、为顶点的四边形是菱形？ 【答案】(1)； (2) (3)向右平移个单位长度，向下平移个单位长度或向左平移个单位长度，向下平移个单位长度 【分析】（1）把、两点坐标代入抛物线一般式，解二元一次方程组求得、，即可得到抛物线函数表达式；将表达式配方为顶点式，直接写出顶点的坐标即可； （2）先用待定系数法求直线的解析式，设点横坐标为，用表示、的坐标，通过两点纵坐标差写出关于的二次函数，利用二次函数性质求出的最大值即可； （3）先确定最大时点、的坐标，设平移后顶点，则，根据的位置，分在轴上方、下方两种情况，依据菱形邻边相等列方程求、，舍去无解情况，根据顶点坐标的变化量即可确定抛物线的平移方式． 【详解】（1）解：把、代入，得 ， 解得， ∴抛物线的函数表达式为， 化为顶点式，得， ∴点的坐标为； （2）解：设直线的表达式为，代入、得 ， 解得， ∴直线的表达式为， 设点的横坐标为，则，， ， ∵， ∴抛物线开口向下，函数有最大值， ∵，在取值内， ∴当时，； （3）解：由（2）当的长最大时，，点，点， 设平移后抛物线顶点，抛物线对称轴为直线，对称轴交轴于点， 根据的位置，可分两种情况讨论： ①如图，当点在轴上方时，四边形是菱形，则， ∴， 解得或， ，即， 解得或（不合题意，舍去）； ∴的坐标为或， ∵抛物线的顶点为， ∴当的坐标为时，，，抛物线向右平移个单位长度，向下平移个单位长度； 当的坐标为时，，，抛物线向左平移个单位长度，向下平移个单位长度； ②当点在轴下方时，四边形是菱形，则， ∴， 两边平方，得， 移项并整理，得， ∴此方程无实数根， 故此情况不成立； 综上，抛物线向右平移个单位长度，向下平移个单位长度或向左平移个单位长度，向下平移个单位长度，能使得以、、、为顶点的四边形是菱形． 18．已知：二次函数G：（m为常数）． (1)当时，二次函数G的顶点坐标为 ． (2)二次函数G的图象经过点，求的值． (3)该抛物线在 上最高点的纵坐标为y0，直接写出y0与m的函数关系式． (4)点P在二次函数G上，点P与点Q关于点对称，把线段PQ绕点P逆时针旋转得到线段，以、为边作正方形，设点P的横坐标为，直接写出点M或N在二次函数G上时m的值． 【答案】(1)； (2)或； (3)； (4)m的值为或． 【分析】（1）把代入函数关系式，化为顶点式即可； （2）把代入函数关系式，解一元二次方程即可求解； （3）将函数解析式化为顶点式，确定对称轴，再按对称轴在范围内和不在范围内分情况讨论，根据函数增减性确定关系式即可； （4）先由点P的横坐标得到点P的坐标，然后由中点公式求得点Q的坐标，然后由正方形的性质求得m的值即可． 【详解】（1）解：当时，， 二次函数G的顶点坐标为． （2）解：将点代入， 得， 解得，， 故的值为或． （3）解：， 二次函数G的对称轴为直线 ， 当，即时， 抛物线在上的函数值随x的增大而增大， 当时，函数值最大， ， 当 ，即时， 抛物线在上的函数值随x的增大先增大后减小， 当时，函数值最大， ， 综上所述，． （4）解：如图，过点P作轴，过点Q作于H，过点M作于K， 则 ， ， 四边形为正方形， ，， ， ， 在和中， ， ， ， ， 点P的横坐标为， 的坐标为 ， 点P与点Q关于点对称， ， ， ， ， ， ， 四边形为正方形， ， 当点M在抛物线上时，， 解得：； 当点N在抛物线上时，， 解得：； 综上所述，m的值为或． 19．如图，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，连接、． (1)求抛物线的函数表达式； (2)点是直线下方抛物线上的一个动点． ①连接、．求四边形的面积的最大值； ②过点作的平行线，交线段于点．试探究在直线上是否存在点，使得以点，，．为顶点的四边形为菱形，若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)； (2)①最大值；②存在点，使得以，，，为顶点的四边形为菱形，点的坐标为或 【分析】（1）设出交点式，再代入点即可求解； （2）①设点，连接，根据建立面积关于的二次函数关系式，再由二次函数的性质求解即可； ②由菱形的性质可得为等腰三角形，由于，然后分和两种情况讨论即可． 【详解】（1）解：据题设抛物线的函数表达式为， 把代入：， 解得：． 抛物线的函数表达式为：； （2）解：①设点，连接， 则 ． ， 当时，取最大值； ②存在． 设直线 把点，点代入得， 解得 ∴直线的函数表达式为， ∵点， 同理可求直线的函数表达式为， 此时． ∵以点，，．为顶点的四边形为菱形， ∴为等腰三角形， 设点的坐标为，其中， ∵，分两种情况讨论 ①当时， 过作轴于， ∵， ∴ ∵以点，，．为顶点的四边形为菱形 ∴， 设直线的解析式为，， ∴为等腰直角三角形，， ∴， 将点代入可得，， 解得， 又由菱形可得， ，即． ②当时，设， 由菱形可得，， ∴， ∴， ∴， 解得：（舍）或 综上所述，存在点，使得以，，，为顶点的四边形为菱形， 点的坐标为或． 20．如图，抛物线的对称轴为：直线，图像与轴、轴分别交于点、、，已知点、，点在直线下方的抛物线上． (1)求该抛物线的解析式； (2)过点作轴交直线于点，作交于点，求的最大值； (3)设点为直线上的点，以、、、为顶点的四边形能否构成平行四边形？若能，求出点的坐标；若不能，请说明理由． 【答案】(1) (2)3 (3)能，点Q的坐标为或 【分析】（1）因为已知抛物线对称轴、点A的坐标，所以根据对称性求出点B的坐标，设抛物线解析式为交点式，将点C的坐标代入求解系数a，即得解析式． （2）首先求直线的解析式，设点P的横坐标为参数，用参数表示点P的坐标；因为平行于x轴，垂直于，所以分别用参数表示D、E的坐标，进而得到和的长度表达式，将整理为关于参数的二次函数，利用二次函数性质求最大值． （3）判断平行四边形存在性：分为边、为对角线两类讨论．如果为边，那么平行且等于，据此建立点P和点Q坐标的关系，结合点Q在直线上、点P在抛物线上的条件列方程求解；如果为对角线，那么和互相平分，利用中点坐标公式建立坐标关系，联立方程求解． 【详解】（1）解：∵抛物线的对称轴为直线，与轴交于， ∴， ∴点， ∴设抛物线的解析式为， 把点代入，得， 解得， ∴抛物线的解析式为， 即． （2）解：如图所示，设，直线的解析式为， 把代入得，， 解得， ∴直线的解析式为， ∵轴，，点D，E都在直线上， ∴点的横坐标为，点的纵坐标为， 分别将点的坐标代入直线， 得，， ∴ ， ， ∴当时，取得最大值，最大值是3． （3）解：能，理由如下： ∵， ∴， 若以A、B、P、Q为顶点的四边形能构成平行四边形， ①当以为边时，则且， ∵点在直线下方，如图所示， 设，则， ∴， 解得， ∴， ∴， ∴， 解得：，（与A重合，舍去）， ∴，， ∴； ②当以为对角线时，连接交于点G，则， 设， ∵， ∴， ∴， ∴， 作于点M，于点N，则， 设， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 整理得：， 解得：，（与A重合，舍去）， ∴． 综上所述，以A、B、P、Q为顶点的四边形能构成平行四边形．此时点Q的坐标为或． 21．如图，在平面直角坐标系中，抛物线顶点为，与轴交于点和点，连接， (1)求该抛物线的函数表达式． (2)平移线段，使点的对应点在轴上，点的对应点为点．当四边形为矩形时，请探索点是否在该抛物线上，并说明理由． 【答案】(1) (2) 解：点不在该抛物线上，理由如下： 如图，连接， 设点的坐标为， 由平移的性质得：点的坐标为， ∵四边形为矩形， ∴， ∴， 解得：， 此时点的坐标为， 当时，， ∴点不在该抛物线上． 【分析】（1）设该抛物线的函数表达式为，再把点代入，即可求解； （2）连接，设点的坐标为，由平移的性质得：点的坐标为，再由矩形的性质可得，可求出点的坐标，即可求解． 【详解】（1）解：∵抛物线顶点为， ∴可设该抛物线的函数表达式为， 把点代入得：， 解得：， ∴该抛物线的函数表达式为； （2）略 22．如图，矩形在平面直角坐标系中，，抛物线经过点A和点B． (1)求抛物线的解析式； (2)点在轴上方的抛物线上，当时，求点E的坐标； (3)点P在抛物线的对称轴上，点Q在坐标平面内，以为顶点的四边形为矩形，请直接写出点P的坐标． 【答案】(1) (2) (3)或或或 【分析】本题主要考查了求二次函数关系式，二次函数与几何图形，矩形的性质，勾股定理， 对于（1），直接将点代入关系式，求出方程组的解即可； 对于（2），先根据面积之间的关系求出点E的横坐标为1，再代入关系式即可； 对于（3），先求出对称轴为，再设点，然后分三种情况：以为矩形的对角线时，以为矩形的边时，若以为矩形的对角线时，根据勾股定理可得答案． 【详解】（1）解：将点代入关系式， ∴， 解得， ∴抛物线的关系式为； （2）解：如图， ∵，且， ∴， ∴． ∵点A，B关于对称轴对称， ∴点E的横坐标为1，此时， 即点； （3）解：∵抛物线， ∴对称轴为， 设点， 如图，以为矩形的对角线， 由中点的坐标可知， 解得． ∵， ∴， ∴， 解得或4， ∴点或； 如图，以为矩形的边时， 由中点的坐标公式，得， 解得， ∵， ∴， ∴， 解得， ∴点； 若以为矩形的对角线时， 由中点的坐标公式，得， 解得， ∵， ∴， ∴， 解得， ∴点， 综上所述，点P的坐标为或或或． 【强化训练】 1．如图，抛物线上的两点，且轴，直线与轴交于轴上的有两点，且四边形是平行四边形，则常数的值为（    ）． A．1 B． C．2 D．3 【答案】C 【分析】本题主要考查了求二次函数解析式、二次函数图像的性质、二次函数与几何的综合、平行四边形的性质等知识点，求得点A、B的坐标成为解题的关键． 先求得抛物线的对称轴为，再根据坐标与图形以及平行四边形的性质可得，根据二次函数图像的对称性可得点的横坐标分别为：2，6；然后确定点的纵坐标，最后将点A的坐标代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴抛物线的对称轴为， ∵x轴上的有两点， ∴, ∵四边形是平行四边形， ∴, 由二次函数的对称性可得：点的横坐标分别为：2，6， ∵直线与轴交于，轴， ∴点的纵坐标8， ∴点的坐标分别为、， 将点代入可得：，解得：． 故选：C． 2． 已知点D与点A（8，0），B（0，6），C（a，-a）是一平行四边形的四个顶点，则CD长的最小值为（　　） A．8 B．7 C．6 D． 4 【答案】B 【分析】当是平行四边形的一条边时，；当是平行四边形的一条对角线时，过作于，过作于，交于，过作于，证，推出，，得出，由两点间距离公式得：即可． 【详解】当是平行四边形的一条边时 当是平行四边形的一条对角线时，过作于，过作于，交于，过作于 由图可知： ∵四边形是平行四边形 ∴，， ∴ ∴ ∵在和中 ， ∴ ， ∴， ∴ ∵ ∴ ∴当时，有最小值= ∵ ∴的最小值是 故选：B． 【点睛】本题考查了平行四边形性质，全等三角形的性质和判定及二次函数的最值的应用，根据两点距离公式用含的式子表示出并化为二次函数顶点式是解题关键． 3．如图，已知点A1，A2，…，A2011在函数位于第二象限的图象上，点B1，B2，…，B2011在函数位于第一象限的图象上，点C1，C2，…，C2011在y轴的正半轴上，若四边形 、，…， 都是正方形，则正方形的边长为（ ） A．2010 B．2011 C．2010 D．2011 【答案】D 【详解】解：∵OA1C1B1是正方形， ∴OB1与y轴的夹角为45°， ∴OB1的解析式为y=x 联立，解得或， ∴点B1（1，1）， OB1=， ∵OA1C1B1是正方形， ∴OC1=OB1=×=2， ∵C1A2C2B2是正方形， ∴C1B2的解析式为y=x+2， 联立，解得或， ∴点B2（2，4）， C1B2=， ∵C1A2C2B2是正方形， ∴C1C2=C1B2=×2=4， ∴C2B3的解析式为y=x+（4+2）=x+6， 联立，解得，或， ∴点B3（3，9）， C2B3=， …， 依此类推，正方形C2010A2011C2011B2011的边长C2010B2011=． 故选：D 4．如图，在正方形中，，动点E在边上，动点F在边上，连接，相交于点G，且，H为的中点，连接，．有下列结论： ①面积的最大值为2； ②线段长的最小值为； ③线段长的最小值为． 其中，正确结论的个数为（     ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】这是正方形“十字模型”，证，设，建立函数求最大值，取中点，连接，利用三角形三边的关系可得当在同一条直线上时，最小，利用直角三角形斜边性质，结合勾股定理求解即可． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴，． ∵， ∴， ∴， 设，则， ， ∵， ∴时，面积的最大，最大值为，①正确； 在中，， 当时，取得最小值， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵H为的中点， ∴， ∵的最小值是， ∴的最小值是，②错误； 取中点，连接，如图所示， 在中，， 在中，，， ∵， ∴， ∴当在同一条直线上时，最小，最小值为，③错误， 综上分析可得，正确的是①，只有个． 5．如图，在正方形中，，点E为边上的动点，F在边上，，将线段绕点F逆时针旋转得到线段，连接，则下列结论错误的是（    ） A．的最小值是5 B． C． D．四边形面积的最大值为 【答案】D 【分析】作点F关于的对称点G，连接，则，可得的最小值是的长，可判断A选项；连接，根据题意可得，可判断B选项；过点P作于点H，连接，则，可得，证明，可得，设，则，其中，可得，根据二次函数的性质，可判断C选项；根据以及一次函数的性质，可判断D选项． 【详解】解：在正方形中，∵， ∴， 如图，作点F关于的对称点G，连接，则， ∴，， 即的最小值是的长， ∵， ∴的最小值是5，故A选项正确，不符合题意； 如图，连接， 在中，， ∴， ∵， ∴，故B选项正确，不符合题意； 如图，过点P作于点H，连接，则， ∴，， ∴， 由旋转的性质得：， ∴， ∴， ∴， ∴， 设，则，其中， ∴， ∴， ∵， ∴当时，取得最大值，最大值为2， ∵， ∴当时，取得最小值，最小值为0， ∴，故C选项正确，不符合题意； 根据题意得：， ， ， ， ∴ ， ∵， ∴随x的增大而增大， ∴当时，取得最大值，最大值为，故D选项错误，不符合题意． 6．如图，已知抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C，抛物线的对称轴与x轴交于点D，与经过点B的直线交于点E，点P在抛物线上，点Q在x轴上，若以P、Q、B、E为顶点的四边形是平行四边形，则点P的坐标为________． 【答案】或或 【分析】本题考查了二次函数与四边形综合，二次函数的性质，平行四边形的性质，先求得点和点的坐标，再分类讨论，为平行四边形的对角线时，为平行四边形的对角线时，为平行四边形的对角线时，这三种情况，分别解答即可． 【详解】解：令， 解得， 点A在点B左侧， ， ， 抛物线的对称轴为直线， 当时，， ， 设，， 若为平行四边形的对角线时，， 解得， 或； 若为平行四边形的对角线时，， 解得， 或； 若为平行四边形的对角线时，， 解得， ， 综上，点P的坐标为或或， 故答案为：或或． 7．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点A和点B，与y轴交于点C，则点C的坐标为________；若抛物线上存在一点P，对称轴上存在一点Q，使得以C，B，P，Q为顶点的四边形是平行四边形，则点P的坐标为________． 【答案】 或或 【分析】（1）令，代入抛物线求解可得点C的坐标； （2）分情况讨论，当、、分别为平行四边形的对角线时，根据平行四边形对角线互相平分列方程求解即可． 本题是二次函数的综合题，主要考查了二次函数中平行四边形存在问题，熟练掌握二次函数的图象与性质，利用平行四边形对角线互相平分列方程是解题的关键． 【详解】解：（1）令，解得， 故点C的坐标为； （2）令，解得或， 故点B的坐标为； ∵， ∴设点，； 当为平行四边形的对角线时， ， 解得， 此时点； 当为平行四边形的对角线时， ， 解得， 此时点； 当为平行四边形的对角线时， ， 解得， 此时点； 综上，点P的坐标为或或． 8．如图，平面直角坐标系中，为坐标原点，已知二次函数，四边形为矩形，，在抛物线上，当，运动时，点也在另一个二次函数图像上运动．设，则关于x的函数表达式为________ 【答案】 【分析】本题考查二次函数图象上点坐标的特征，矩形的性质，中点公式，勾股定理，解题的关键是根据四边形是矩形列出关于m，n，x，y的方程组． 过A作轴于D，过B作轴于E，连接、，设，，又，根据四边形是矩形，可得，即可解得． 【详解】解：如图，过A作轴于D，过B作轴于E，连接、， ∵，在抛物线上， 设，， ∵四边形是矩形， ∴与中点重合，， 而， ∴， 整理得 ∴ 整理得：， 解得：或， 又∵， ∴， ∴ ∴， 当时，则（舍去） 当时，则， 故答案为：． 9．如图，抛物线与轴分别交于，两点，与轴交于点，为抛物线对称轴上的线段，且，连接、、，则四边形周长的最小值为________． 【答案】/ 【分析】本题考查了利用二次函数对称性求最短路径，二次函数与特殊四边形，二次函数的性质，先求出点，点，则抛物线的对称轴为，作点关于抛物线对称轴的对称点，将点向下平移个单位得到点，连接交抛物线对称轴于点，将点向上平移两个单位得到点，由且，则四边形为平行四边形，所以，由抛物线的对称性知，，故有四边形周长，则当三点共线时四边形周长最小为，然后通过两点间的距离公式即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：由得，当时，， ∴点， 令，则或， ∴点，点， ∴抛物线的对称轴为直线， 如图，作点关于抛物线对称轴的对称点，将点向下平移个单位得到点，连接交抛物线对称轴于点，将点向上平移两个单位得到点， ∵且， ∴四边形为平行四边形， ∴， 由抛物线的对称性知，， ∴， ∴四边形周长， ∵、为定值，， ∴当三点共线时，取得最小值，最小值为， 即四边形周长的最小值， ∵，，，， ∴，， ∴， 故答案为：． 10．如图，一条抛物线经过的三个顶点，其中O为坐标原点，点，点B在第一象限内，对称轴是直线，且的面积为18，C为线段的中点，P为直线上的一个动点，连接、，将沿翻折，点A的对应点为．若以、P、C、B为顶点的四边形是平行四边形，则点P的横坐标为____________． 【答案】或， 【分析】利用待定系数法求出抛物线解析式为，过点作轴于点，过点作延长线于点，设点，利用，求得的值，得到，进而得到，利用待定系数法求出直线的解析式为，从而设，然后分两种情况讨论：①当是平行四边形对角线时；②当是平行四边形对角线时，利用平行四边形的性质，折叠的性质，以及坐标两点的距离公式，分别求出的值，即可得到答案． 【详解】解：抛物线的对称轴是直线， ， ， 将代入，得：， 联立①②，解得：， 抛物线解析式为， 如图，过点作轴于点，过点作延长线于点， 设点， ，，，， 的面积为18， ， 解得：，， 点B在第一象限内， ，则， ， C为线段的中点， ， 设直线的解析式为， 则，解得：， 直线的解析式为， P为直线上的一个动点， 设， ①如图，当是平行四边形对角线时， 四边形是平行四边形， ，， ， ， 由折叠的性质可知，， ， ， 整理得：， ， 点P的横坐标为； ②如图，当是平行四边形对角线时， 四边形是平行四边形， ，， 由折叠的性质可知，， ， ， 整理得：， ， 点P的横坐标为， 综上可知，点P的横坐标为或， 故答案为：或． 【点睛】本题考查了待定系数法求函数解析式，二次函数的图象和性质，平行四边形的面积，坐标两点的距离公式等知识，利用数形结合和分类讨论的思想解决问题是解题关键． 11．如图，E为正方形ABCD的边AB上一动点，过E作EF∥BC交AC于点F，G为DE的中点，连接FG，AB＝4，则FG的最小值是________． 【答案】 【分析】以A为原点，AB所在直线为x轴建立直角坐标系，由正方形ABCD的边长为4，得D（0，-4），C（4，-4），直线AC解析式为y=-x，设E（x，0），可得G（x，-2），F（x，-x），即得，根据二次函数性质可得答案． 【详解】解：以A为原点，AB所在直线为x轴建立直角坐标系，如图： ∵正方形ABCD的边长为4， ∴D（0，﹣4），C（4，﹣4）， 由A（0，0），C（4，﹣4）可得直线AC解析式为y＝﹣x， 设E（x，0）， ∵G为DE的中点， ∴G（x，﹣2）， ∵EF∥BC， ∴F（x，﹣x）， ∴FG2＝（xx）2+（﹣x+2）2x2﹣4x+4（x）2， ∴当x时，FG2最小为， ∴FG最小值为， 故答案为：． 【点睛】本题考查正方形中的动点问题，解题的关键是以A为原点，AB所在直线为x轴建立直角坐标系，用二次函数性质解决问题． 12．如图，点和，抛物线经过点． (1)请计算：=______． (2)抛物线上是否存在点，使四点构成的四边形是平行四边形，若存在，请求出点的坐标，若不存在，请说明理由． (3)抛物线在第一象限内的部分是否存在一点，使得平分？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由． 【答案】(1) (2)或 (3) 【分析】（1）把代入函数解析式即可求出； （2）设，又，分三种情况：①以为对角线，则的中点重合，可得；②以为对角线，则的中点重合，由无解，知这种情况不存在；③以为对角线，则的中点重合，解得； （3）作点关于直线的对称点，作直线交第一象限的抛物线于，由得，可得，即，设直线解析式为，可得直线解析式，由，得坐标． 【详解】（1）解：经过， ， （2）抛物线上存在点，使四点构成的四边形是平行四边形，理由如下： 由（1）知， 抛物线解析式为， 设，又， 以为对角线，则的中点重合， ， 解得， 以为对角线，则的中点重合， ， 同时满足两个方程的不存在， 这种情况不存在； 以为对角线，则的中点重合， ， 解得，， ， 综上所述，坐标为或； （3）抛物线在第一象限内的部分存在一点，使得平分，理由如下： 作点关于直线的对称点，作直线交第一象限的抛物线于，如图： ， ， ， 关于直线对称， ，， ， ， 设直线解析式为，将代入得： ， 解得， 直线解析式为， 由，得或（不在第一象限，舍去） 13．如图，抛物线经过，，三点 (1)求抛物线的解析式； (2)在抛物线的对称轴上有一点P，使的值最小，请求出最小值及此时P的坐标； (3)点M为x轴上一动点，在抛物线上是否存在一点N，使以A，C，M，N四点构成的四边形为平行四边形？若存在，直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)； (3)存在；或或 【分析】（1）根据待定系数法，可得函数解析式； （2）连接，交抛物线的对称轴于点P，连接，根据轴对称的性质得出，根据两点之间线段最短，得出此时最小，即最小，求出此时点P的坐标即可； （3）分三种情况：当为对角线时，当为对角线时，当为对角线时，分别根据中点坐标公式，列出方程组，解方程组即可． 【详解】（1）解：设抛物线的解析式为， ∵，，三点在抛物线上， ， 解得：， 抛物线的解析式为：． （2）解：连接，交抛物线的对称轴于点P，连接，如图所示： 根据轴对称可知：， ∴， ∵两点之间线段最短， ∴此时最小，即最小，且最小值为： 抛物线的解析式为， 其对称轴为直线：， 设直线的解析式为， ，， ， 解得， 直线的解析式为． 当时，． ； （3）解：存在． 设点M的坐标为，点N的坐标为， ①当为对角线时，根据中点坐标公式可得： ， 解得：（舍去）或， 此时点N的坐标为； ②当为对角线时，根据中点坐标公式可得： 解得：或， ∴此时点N的坐标为或； ③当为对角线时，根据中点坐标公式可得： 解得：（舍去）或， 此时点N的坐标为； 综上所述，点的坐标为或或． 14．如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点、点，直线与y轴交于点．P是抛物线上A、B两点之间的一点（P不与点A、B重合），过点P作轴，交直线于点D，过点P作于点E． (1)求抛物线所对应的函数表达式． (2)若四边形为平行四边形，求点P的坐标． (3)求点E横坐标的最大值． 【答案】(1)； (2)点P的坐标为； (3) 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）先求得直线所对应的函数表达式，设点，利用平行四边形的性质列式计算即可求解； （3）设点E的横坐标为n，过点E作于点F，用表示出n的二次函数，利用二次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：抛物线经过点、点， ∴， 解得：， ∴这条抛物线所对应的函数表达式为； （2）解：设直线的解析式为：，点，点在直线上， ∴， 解得：， ∴直线所对应的函数表达式为：； ∵点P在抛物线上， ∴设点， ∵轴， ∴点， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴，即， 解得：，， ∵点P不与点B重合， ∴， ∴点P的坐标为； （3）解：∵点，点， ∴， ∵， ∴， ∵轴， ∴， ∵于点E， ∴， ∴， 设点E的横坐标为n，如图，过点E作于点F， ∵是等腰直角三角形， ∴，即， ∴， ∵， ∴当时，n最大，且n的最大值为． 15．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点A、B，与y轴交于点C，连接，，对称轴为直线，点D为此抛物线的顶点． (1)求抛物线的解析式； (2)抛物线上C、D两点之间的距离是 ； (3)点E是第一象限内抛物线上的动点，连接和，求面积的最大值； (4)点P在抛物线对称轴上，平面内存在点Q，使以点B、C、P、Q为顶点的四边形为矩形，请直接写出点Q的坐标． 【答案】(1) (2) (3) (4)或，或或 【分析】（1）先由题意得出A，B的坐标，再用待定系数法求出解析式即可； （2）根据两点的距离公式即可求出的长度； （3）先设出E的坐标，然后将的面积表示出来，求出最大值即可； （4）根据对角线的情况分三种讨论，再由矩形的性质求出点Q的坐标． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵抛物线的对称轴为， ∴， 将，代入解析式，得， 解得， ∴抛物线的解析式为． （2）解：抛物线的解析式为， 当时，，当时，， ∴，， ∴． （3）解：如图，过点作轴于点，交于点，过点作于点， 设直线BC的解析式为， 把代入，得， 解得， ∴直线BC的解析式为， 设，且，则， ∴， ∴ ， ∵， 当时，S△BCE有最大值为． （4）解：设，， 由（1）知，由（2）可知， 如图，当为矩形的对角线时， ∵四边形是矩形， ∴与互相平分，， ∴由中点坐标公式，得， 解得， ∵，， ∵，即， ∴， 解得或， ∴或， 如图，当为矩形的对角线时， 同理，由中点坐标公式得， 解得， ∴，， 同理， ∴， 解得， ∴， 如图，当为矩形的对角线时， 同理，由中点坐标公式得， 解得：， ∴，， 同理，， ∴， 解得， ∴， 综上，点Q的坐标为或，或或． 16．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与x轴交于，两点，与轴交于点，连接． (1)求该抛物线的解析式，并写出它的对称轴； (2)点为抛物线对称轴上一点，连接、，若，求点的坐标； (3)若点为抛物线对称轴上一点，抛物线上是否存在点，使得以，，，为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出所有满足条件的点的坐标；若不存在，请说明理由． (4)若点为坐标系中的一点，，则的最小值为 ． 【答案】(1)； (2) (3)解：存在点，使得以，，，为顶点的四边形是平行四边形， 理由如下： 当时， 可得：， 点的坐标是， 设， 当为平行四边形的对角线时，， ， ， ； 当为平行四边形的对角线时，， 解得：， ， ； 当为平行四边形的对角线时，， 解得：， ； 综上所述：点的坐标为或或； (4) 【分析】（1）用待定系数法求出二次函数的解析式，根据解析式求出抛物线的对称轴； （2）根据等角对等边可知，求出点的坐标，设点的坐标为，根据平面直角坐标系中两点之间的距离公式可得方程，解方程求出的值，即可得到点的坐标； （3）设点的坐标是，根据以，，，为顶点的四边形是平行四边形，分为平行四边形的对角线、为平行四边形的对角线、为平行四边形的对角线三种情况求解； （4）在轴上取点，连接、，可证，根据相似三角形的性质可知，根据三角形三边之间的关系可知，所以的最小值为． 【详解】（1）解：将，代入， 可得：， 解得：， 抛物线的解析式为， ， 抛物线的对称轴为直线； （2）解：， ，则， 令，则， ， 设， ∴，， ， 解得：， ； （3）略 （4）解：在轴上取点，连接、， ，，， ， 又， ， ， ， ， 点的坐标是， ， 当、、三点共线时，的值最小， ， 的最小值为， 17．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴相交于，，与y轴相交于点C，连接． (1)求抛物线的解析式； (2)点D为第一象限内抛物线上一个动点，过点D作轴交于点E．请求出的最大值以及此时点D的坐标； (3)在（2）问取最大值的条件下，将抛物线沿射线方向平移个单位长度得到新抛物线，记y与的交点为M，点N为新抛物线对称轴上一点，点P为平面内一点，若以D、M、N、P为顶点的四边形是以为边的菱形，直接写出所有符合条件的点P的坐标，并选择其中一个写出求解过程． 【答案】(1)； (2)的值最大为，； (3)解：或或，过程如下： 由（2）可知：， 将抛物线沿射线方向平移个单位长度相当于将抛物线先向右移动4个单位长度，再向下移动4个单位长度， 故平移后的抛物线的解析式为， ∴平移后的抛物线的对称轴为直线，联立，解得， ∴， ∵点N为新抛物线对称轴上一点， ∴设， 由（2）知：， ∴ 当以D、M、N、P为顶点的四边形是以为边的菱形，分两种情况： ①，此时为菱形的对角线， 则，解得或， 设，则， ∴， ∴或，即或； ②当，此时为菱形的对角线， 则，解得； 设，则， ∴， ∴，即； 综上：或或. 【分析】（1）待定系数法求出函数解析式即可； （2）求出点坐标，进而得到，延长交轴于点，易得为等腰直角三角形，进而得到，得到，转化为二次函数求最值即可； （3）先求出平移后的抛物线的解析式，联立两个解析式，求出点坐标，设，分，两种情况，结合菱形的对角线互相平分，进行讨论求解即可. 【详解】（1）解：∵抛物线与x轴相交于，， ∴，解得， ∴； （2）解：∵， ∴当时，， ∴， ∵， ∴， ∴， 设直线的解析式为，把代入，得， ∴， 延长交轴于点，设， ∵轴， ∴，，轴， ∴为等腰直角三角形，， ∴， ∴ ∴当时，的值最大为，此时； （3）略 18．抛物线与轴交于，两点，与轴交于点．动点在线段上（点与点不重合）． (1)求抛物线的表达式； (2)连接，在的左上方以为边作正方形． ①如图1，当时，求正方形的面积； ②如图2，当点落在抛物线上时，求点的坐标； (3)如图3，在动点的正上方有另一动点，且，当点从点开始运动时，点以相同的速度同时出发，两点都沿轴的正方向匀速运动，点停止运动时点同时停止运动．连接，，求的最小值和此时的值． 【答案】(1) (2)①；② (3)的最小值为，此时 【分析】（1）把、代入，解方程组求出，即可得出答案； （2）①根据、得出，根据点，利用勾股定理求出，即可求出正方形的面积； ②过点作轴于，轴于，得出四边形是矩形，得出，，根据正方形的性质及角的和差关系得出，，可证明，得出，，设 ，则，，根据得出，解方程求出的值，即可得出答案； （3）过点作轴，使，连接，得出四边形是平行四边形，可得，得出当点、、三点在同一条直线上时，取最小值，最小值为的长，根据抛物线解析式求出，利用勾股定理求出，利用待定系数法求出直线的解析式为，进而求出，根据，即可求出． 【详解】（1）解：∵抛物线与轴交于，两点，与轴交于点， ∴， 解得：， ∴抛物线的表达式为． （2）解：①∵，点在线段上，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴正方形的面积为； ②如图，过点作轴于，轴于， ∵， ∴四边形是矩形， ∴，， ∵在的左上方以为边作正方形， ∴，， ∵，， ∴， 在和中，， ∴， ∴，， 设 ，则，， ∵， ∴， 解得：，（舍去）， ∴， ∴点的坐标． （3）解：如图，过点作轴，使，连接， ∵点、的速度相同， ∴是定值， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴当点、、三点在同一条直线上时，取最小值，最小值为的长， ∵， ∴当时，， 解得：，， ∴，，， ∴，即的最小值为， ∵，， ∴， 设直线的解析式为， ∴， 解得：， ∴直线的解析式为， 当时，， ∴， ∵，，点在点上方， ∴． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $