拓展02 一元二次方程常考综合问题（重难点讲义）数学新教材北师大版九年级上册

该初中数学讲义通过核心模型框架图系统梳理了一元二次方程的知识体系，将解法选择、根与系数关系、实际应用等要点按“基础解法-代数综合-几何与实际问题”递进组织，用表格归纳不同解法适用特征及易错点，清晰呈现知识内在联系。 讲义亮点在于“问题驱动式”题型设计，如“同族方程”判定及“完美方程”证明，培养抽象能力与推理意识。每个题型配典例与变式，如营销问题中建立销量与价格的一次函数模型，强化模型观念，基础学生可掌握方法，优秀学生能拓展思维，助力教师实施分层教学。

拓展02 一元二次方程常考综合问题 1.熟练选择合适方法解一元二次方程，能结合判别式判断方程根的情况，掌握含参数方程的分析思路。 2. 灵活运用根与系数的关系，处理代数式求值、参数求解等综合题型，注意检验根的实际意义。 3. 能够建立一元二次方程模型解决实际问题，准确提取题干等量关系，对结果进行合理性取舍。 4. 掌握一元二次方程与几何相结合的综合题型，结合图形条件列方程求解，规范解题推理步骤。 1. 一元二次方程解法的应用： 核心模型：根据方程系数的特征，选择最优解法。 详细知识点与选择逻辑： 直接开平方法（模型： 或 ） 适用特征：方程缺一次项（），或者左边是完全平方式、右边是常数。 易错点：开方时务必带上“”，即 （注意 ）。 因式分解法（模型：） 适用特征：方程右边为0，左边易于十字相乘或提公因式。 核心原理：降次思想（将二次转化为两个一次）。 特别提醒：严禁约分！例如 ，不能两边同时约去 （会丢根 ），必须移项为 。 配方法（模型：） 适用特征：二次项系数为1，一次项系数为偶数（便于配方）。 核心操作：移项后，两边同时加上“一次项系数一半的平方”，即 。 公式法（万能法，模型：） 适用特征：系数复杂、含字母参数、或无法因式分解时。 核心前提：必须先算判别式 。若 ，方程无实数根，直接停止求解，无需代入求根公式。 2. 一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理模型）： 核心模型：若方程 的两根为 ，则： ，。 （使用时必须先验证 ） 详细衍生变形（高频考点）： 平方和： 倒数和： 差的绝对值（距离） ：（常用于求弦长或线段长度） 构造方程：已知两数和为 ，积为 ，则构造方程为 。 3. 增长率与几何问题（双基模型）： 增长率（降低率）模型： 核心模型：（ 为初始量， 为变化率， 为变化次数， 为终止量）。 拓展子模型——累计型：如“某厂一、二、三月份总产值为 500 万”，列式为 。 易错点：基期量判断。若说“2025年比2024年增长”，基期是2024年；若问“2025年是2024年的多少倍”，直接用除法。变化率不能为负，且增长问题中解出的负根要舍去。 几何面积与动点模型： 核心模型：利用勾股定理或面积公式构造二次方程。 边框/道路问题：常用“平移法”将小路平移到边缘，转化为整块矩形面积。如矩形长 、宽 ，修宽为 的横竖两条路，剩余面积 = 。 动点问题（重点） ： 模型：设运动时间为 ，用含 的式子表示出动点的线段长度（注意速度方向）。 核心关系：若动点构成直角三角形，用勾股定理列方程；若构成面积，用底乘高的一半列方程。 易错点：双解检验——求出 后，必须检查此时点是否仍在规定的线段上运动（即是否超过总路程）。 4.营销问题与一次函数（利润峰值模型）： 核心模型：总利润 。关键在于建立“销量”关于“价格变动”的一次函数。 详细建模步骤（必考题型）： 设元：设涨价（或降价）为 元（注意： 是变动量，不是最终售价）。 写单利：单件利润 = 原售价 涨价 进价（降价则减）。 写销量（一次函数）： 若“每涨价 1 元，少卖 10 件”，则销量 = 原销量 。 若“每降价 1 元，多卖 20 件”，则销量 = 原销量 。 列方程：(单利) (销量) = 总利润。 易错点：题目若限定“尽快清仓”或“扩大销售量”，则必须在解出的两个 中，选择降价更多（或涨价更少）的那一个，以满足题意。 5. 画图规范易错点： 核心模型：用代数式表示十进制的数位权重。 详细拆解： 基本表示法：一个两位数，十位数字为 ，个位数字为 ，则这个数 = （注意：不是 ）。 常见等量关系： 数字对调（如原数 ，对调后 ）。 数位新加（如在两位数中间插入一个数字 ，变成三位数 ）。 隐含条件（极易漏掉） ：数位上的数字只能是 0~9 的整数，且最高位不能为 0。求出 后，必须检验它是否为整数且在 0~9 范围内，否则舍去。 6. 工程问题（单位“1”模型）： 核心模型：工作总量 = 工作效率 工作时间。总量不具体给出时，默认整体为“1”。 详细分类与列法： 合作完成型：甲单独做 天完成，乙单独做 天完成。甲乙合作 天完成，列式： 。 分段完成型（高频）：甲先做 天，然后甲乙合作 天完成。列式： 。 易错点：工作效率是分数，不要写成整数。如果题目给的是“甲队独做所需时间是乙队的 倍”，要设乙的时间为 ，则甲的时间为 ，效率分别为 和 。 7. 行程问题（路程模型与相对运动）： 核心模型：路程 = 速度 时间。关键在于画线段图分析路程和或路程差。 详细分类： 相遇与追及： 相遇（相向而行） ：。 追及（同向而行） ：（如跑道环形追及，则差为跑道一圈长度）。 航行/风问题： 顺水速度 = 静水速度 + 水速； 逆水速度 = 静水速度 - 水速。 核心等量关系：常以“往返时间相同”或“路程相等”列方程，例如顺水航行 到 的时间 = 逆水航行 到 的时间 停留时间。 复杂接送/掉头问题： 此类题目需利用“时间相等”作为隐性等量关系，分别用含 的式子表示人与车的运动时间，构造方程。 易错点：单位统一（千米/小时 对应 小时，米/秒 对应 秒）；航行问题中若未说明，默认水速恒定。 题型01一元二次方程解法的应用 【典例】如果方程满足两个实数解都为整数解，我们就称所有这样的一元二次方程为同族方程，并规定，例如有整数解3和4，所以属于同族方程，所以． (1)以下一元二次方程中是同族方程的是________(填写序号) ①；②；③；④． (2)如果同族方程中有两个相等的解，我们称这个方程为同族方程中的完美方程，求证：对任意一个完美方程，总有； (3)关于x的一元二次方程属于同族方程，求正整数k的值． 【答案】(1)①④ (2)证明：∵ 完美方程是有两个相等解的同族方程，即有两个相等的实数解， ∴ ，即． ∵ 有意义， ∴ ． ∴ ． 故对任意一个完美方程，总有 (3)正整数的值为1或3 【分析】（1）分别解四个方程即可得解； （2）由题意可知根的判别式，从而求出； （3）求解这个一元二次方程，再根据同族方程定义即可得解． 【详解】（1）解方程得：，满足两个实数解都为整数解， 故①是同族方程； 解方程得：，不满足两个实数解都为整数解， 故②不是同族方程； 解方程得：，不满足两个实数解都为整数解， 故③不是同族方程； 解方程得：，满足两个实数解都为整数解， 故④是同族方程； 故是同族方程的是①④； （2）略 （3）由一元二次方程得：，， 解得：， ∵一元二次方程属于同族方程， ∴是整数， ∴正整数k的值为1或3． 【变式】【阅读理解】把代数式通过配凑等手段，得到完全平方式，再运用完全平方式的非负性增加问题的条件，这种解题方法叫作配方法．配方法不仅在代数式求值、解方程、求最值问题等有着广泛的应用，也在几何、经济等领域常用来分析最值，求解未知量． 应用一 应用二 用配方法分解因式：． 解： ． 用配方法求代数式的最小值． 解： 的最小值为 请根据上述阅读材料，解决下列问题： (1)因式分解：________； (2)若，运用配方法可求出的最小值为________； (3)如图，在中，，，，点为边上一点（不与点、点重合），连接，以为边在上方构造正方形，连接．则面积的最大值为________． 【答案】(1) (2) (3)8 【分析】（1）把原式变形为，再利用完全平方公式和平方差公式分解因式即可； （2）仿照例题利用配方法求解即可； （3）过点F作于点H，证明，得到；设，则，则，据此可得答案． 【详解】（1）解： ； （2）解： ， ∵， ∴， ∴， ∴的最小值为； （3）解：如图所示，过点F作于点H， ∴， ∴； ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 设，则， ∴ ∵， ∴， ∴， ∴的最大值为8． 题型02一元二次方程的根与系数的关系 【典例】若，是一元二次方程的两根，则有，，由上式可知，一元二次方程的两根和、两根积是由方程的系数确定的，我们把这个关系称为一元二次方程根与系数的关系． (1)已知关于的一元二次方程的两个不相等的实数根分别为，，且满足：，求的值； (2)若，是方程的两根，记，，…，， ①当为不小于的整数时，证明：； ②计算，的值． 【答案】(1) (2)①证明：，是方程的根， ∴，， ∴， 因为，， 所以原式 ②； 【分析】（1）先计算根的判别式，根据原方程有两个不相等的实数根，得出不等式，解不等式，得出，根据一元二次方程根与系数的关系，结合已知可得或，解一元二次方程，即可求解． （2）①由，是方程的根得到，，结合的定义进行证明； ②根据根与系数的关系写出、的值，运用完全平方公式变形求得的值，利用①中的结论求得的值． 【详解】（1）解：． 原方程有两个不相等的实数根， ，解得， 由根与系数的关系，，， ， ，化简得，或， 或， 又， ； （2）①略 ②，是方程的两根， ，， ； 由①知： ． 【变式】关于的一元二次方程①（为常数，且）的两个根分别为，，且，． (1)求证：无论取何值，是方程①的一个根． (2)当时，求的取值范围． (3)若关于的一元二次方程（为常数，且）的一个根比方程①的根大，求的最大值． 【答案】(1)证明：∵， ∴， ， ， ， 解得：，， ∴无论取何值，是方程①的一个根； (2) (3)的最大值为 【分析】（1）运用提公因式解一元二次方程，即可证明； （2）先根据一元二次方程根与系数的关系求出，，再根据，，推出，可得的取值范围，结合题意求出最后的取值范围，再化简代入，求解即可； （3）先根据题意求出，设的一个根为，再根据题意推出，将代入求出，最后根据配方法求解即可． 【详解】（1）略 （2）∵关于的一元二次方程①（为常数，且）的两个根分别为，， ∴根据根与系数的关系，，， ∴， ∵，， ∴，即， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴ （3）∵由（1）得无论取何值，是方程①的一个根， 又∵，， ∴， 设的一个根为， ∵的一个根比方程①的根大， ∴， 把代入中， ， 整理得：， ∵，则， ∴的最大值为． 题型03增长率与几何问题 【典例】项目背景：人工智能的发展为人们的生活与学习带来了诸多便利，初中生也能借助人工智能提升学习效率．为此，综合实践小组的同学们围绕“依托人工智能平台的自主高效学习”开展了项目学习活动，形成了如下活动报告． 项目主题 依托人工智能平台的自主高效学习 活动内容 选择人工智能平台，开展以问题驱动为核心的高效学习 活动过程 活动1：选择人工智能平台 小组成员搜集到如下资料：学习所使用的智能平台所属公司是一家专注人工智能领域的科技公司，该公司致力于开发先进的大语言模型和生成式技术，平台一经发布，便占据各大手机下载市场下载榜首位．据统计，该平台首日在某下载市场的下载量为万次，第二天、第三天的下载量连续增长，第三天的下载量为万次． 活动2：向人工智能平台提出问题 向平台提出的首个问题：如图，把一根长度为的铁丝剪成两段，并以每一段铁丝的长度为周长各做成一个正方形，则这两个正方形的面积之和能否等于？    平台回复的结果： 交流展示 请根据以上的活动报告，解答下列问题： (1)求所使用平台刚发布后的前三天下载量的日平均增长率； (2)请猜想人工智能平台回复的结果是“能”还是“不能”，并说明理由． 【答案】(1) (2)解：猜想人工智能平台回复的结果是“不能”，理由如下： 设其中一个正方形的周长为，则另一个正方形的周长为， 假设这两个正方形的面积之和能等于，则， 整理得， ∵， ∴原方程没有实数根， ∴假设不成立， ∴这两个正方形的面积之和不能等于， ∴人工智能平台回复的结果是“不能”． 【分析】（1）设所使用平台刚发布后的前三天下载量的日平均增长率为，根据首日的下载量和第三天的下载量建立方程求解即可； （2）设其中一个正方形的周长为，则另一个正方形的周长为，假设这两个正方形的面积之和能等于列方程，然后利用判别式判断该方程是否有正实数解即可得到结论． 【详解】（1）解：设所使用平台刚发布后的前三天下载量的日平均增长率为， 由题意得，， 解得或（舍去）， 答：所使用平台刚发布后的前三天下载量的日平均增长率为； （2）略 【变式】某市是全国旅游胜地，2020年受新冠疫情的影响，外来游客在逐年下降．某景区外来游客人数从2019年的2.25万下降到2021年的1.44万． (1)求2019年到2021年该景区外来游客人数平均每年降低的百分率； (2)在该景区需要建造篱笆花圃，如图，用长为34米的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为20米），围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃，为了方便出入，在建造篱笆花圃时，在上用其他材料做了宽为1米的两扇小门（如图）， ①设花圃垂直于墙的边长为x米，则________（用含x的代数式表示）； ②当为多少米时，所围成花圃面积为105平方米？ ③当________米时，花圃的面积达到最大，最大为________平方米． 【答案】(1) (2)①米；②米；③， 【分析】（1）设平均每年降低的百分率为，根据“游客人数从2019年的2.25万下降到2021年的1.44万”列方程求解即可； （2）①由题意可知垂直于墙的边总长为，上有两个宽1米的门，根据总篱笆长列方程求解即可； ②根据花圃面积列方程求出x的值，根据墙的最大可用长度取合适的值即可； ③先求出x的取值范围，根据花圃面积求出花圃面积，根据平方的非负性作答即可． 【详解】（1）解：设平均每年降低的百分率为， 根据题意可知， 整理得， 即， 解得：（负值舍去）； （2）解：①垂直于墙的边共3段，总长为米，上有两个宽1米的门，门不用篱笆， ∵总篱笆长为34米， ∴， 解得：米； ②由①知米，米， ∵所围成花圃面积为105平方米， ∴， 解得，． 根据墙的最大可用长度可知：， 解得， 即； ③由题意可知， 解得：， 花圃面积平方米， ∵， ∴， ∴当时，取得最大值108平方米． 题型04营销问题与一次函数 【典例】问题情境： 八年级（1）班的同学，对石家庄梨膏糖食品厂出产的“梨膏糖”每日生产和销售的情况进行了信息整理，结果如下： 信息1：这款“梨膏糖”日产量x（千克）的范围是． 信息2：这款“梨膏糖”每千克的生产成本（元）与日产量x（千克）之间关系如下表所示． 信息3：这款“梨膏糖”每千克的售价（元）与日产量x（千克）之间的关系式为：． 日产量x（千克） 30 60 90 120 每千克的生产成本（元） 55 50 45 40 问题解决： (1)根据表格信息，这款“梨膏糖”每千克生产成本是x的一次函数，求此函数关系式； (2)求这款“梨膏糖”每千克的售价的最大值是多少元； (3)若该厂每日生产的“梨膏糖”当天会全部售完． ①该厂计划将某日这款“梨膏糖”的销售利润定为1200元，如果你是生产部经理，当日该产品的日产量应该定为多少比较合理？为什么？ ②该厂计划将某日这款“梨膏糖”的销售利润定为1500元，能否实现？请通过计算说明理由． 【答案】(1) (2) 80元 (3) ①日产量定为60千克；②不能实现 【分析】（1）利用待定系数法，代入表格数据求解一次函数解析式； （2）根据一次函数的增减性，结合自变量取值范围求的最大值； （3）①先根据总利润每千克利润日产量，得到总利润关于的二次函数，再令求解即可； ②令，通过方程解的情况判断目标利润能否实现． 【详解】（1）解：设与的函数关系式为， 从表格中选取两组数据，即；， 代入得，解得， 则有， 经检验，其余点均满足该解析式，结合的取值范围，得函数关系式为； （2）解：已知 ， 随的增大而减小， 当时，取得最大值，最大值为， 即这款“梨膏糖”每千克的售价的最大值是80元； （3）解：由题意，每日生产的梨膏糖全部售完，设总利润为W， 则， ①当时，得方程， 整理得，解得，均满足， 在获得相同利润时，日产量为60千克比120千克投入的人力和原材料更少，成本更低， 因此选择60千克更合理， 答：当日该产品的日产量应该定为60千克． ②当时，得方程， 整理得，配方得， 任何实数的平方都大于等于0，因此方程没有实数解，即不存在满足条件的日产量，因此不能实现目标利润， 答：不能实现利润为1500元的计划． 【变式】综合与实践 【项目背景】： 学校项目式学习小组针对我市文旅产品“佛宝宝”的销售获利情况开展项目式学习活动，请你与他们共同完成该项目任务． 【驱动问题】： 数学来源于生活，也服务于生活，请你运用所学数学知识帮助销售店老板决策． 【分步探究】： 任务一：市场调查 某文创店以15元/个的成本购入“佛宝宝”钥匙扣．项目式小组同学帮老板调查了近5天该钥匙扣的售价与日销售量情况，记录如下： 时间 星期一 星期二 星期三 星期四 星期五 售价x/（元/个） 20 30 18 22 26 日销售量y（个） 50 30 54 46 38 (1)建立 建立平面直角坐标系，横轴表示售价x（单位：元/个），纵轴表示日销售量y（单位：个），将整理好的数据在平面直角坐标系中描出． (2)观察各点的分布规律，请你建立适当的函数模型刻画它们之间的函数关系式（不需要写出自变量的取值范围）． 任务三：问题解决 (3)若老板希望每天获得的利润为288元，且尽可能让利于顾客，求每个钥匙扣的售价应定为多少元？ 【答案】(1) (2) (3)21 【分析】（1）将售价x看作点的横坐标，日销售量y看作点的纵坐标，把所有的点的位置确定出来； （2）观察各点的分布规律，所有的点呈一条直线，确定售价x与日销售量y满足一次函数关系，利用待定系数法求出解析式； （3）根据利润公式确定一元二次方程，为尽可能让利于顾客，确定最终答案． 【详解】（1）略 （2）解：观察函数图象发现，售价x与日销售量y满足一次函数关系， ∴设， 将、代入得， 解得， ∴； （3）解：设每个钥匙扣的售价应定为x元， 根据题意可得， 整理得， ∴， 解得：，， ∵尽可能让利于顾客， ∴， 答：每个钥匙扣的售价应定为21元． 题型05数字问题探索 【典例】我国古代数学的许多发现都曾位居世界前列，“杨辉三角”便是其中一例．下面是某学习小组开展《探寻杨辉三角的奥秘》主题学习活动的过程，请仔细阅读并解决问题． 活动一：初识“杨辉三角”如图，图1是“杨辉三角”数阵，其规律是：从第三行起，每行两端的数都是“1”，其余各数都等于该数“两肩”上的数之和． (1)根据以上规律，如图1，第6行中________，_______； 活动二：初探“杨辉三角”从第二行起，每行第二个数恰好构成正整数数列；而从第三行起，每行第三个数构成如下数列，1，3，6，，…，其中第3行第三个数，第4行第三个数，第5行第三个数，… (2)第8行第三个数为________，第行第三个数为_________； (3)若第行第三个数为36，则的值为________； 活动三：再探“杨辉三角”若将“杨辉三角”数阵中所有的奇数记为“1”，所有的偶数记为“0”，则前4行如图2，前8行如图3． (4)前16行中奇数的个数为________． 【答案】(1)10，1 (2)21， (3)10 (4)81 【分析】（1）根据“杨辉三角”数阵的规律即可求解； （2）观察前5行的第三个数，结合题意得出一般性规律，即可求解； （3）根据（2）中的规律列出方程，求出的值即可； （4）观察数阵可知，前8行中奇数的个数是前4行中奇数的个数的3倍，同理可得：前16行中奇数的个数是前8行中奇数的个数的3倍，即可求解． 【详解】（1）解：由题意得，，； （2）解：第8行第三个数为， 第行第三个数为； （3）解：∵第行第三个数为36， ∴， 整理得：， 解得，（不符合题意，舍去）， ∴的值为10； （4）解：前4行中奇数的个数为9， 观察数阵可知，前8行中奇数的个数是前4行中奇数的个数的3倍，即； 同理可得：前16行中奇数的个数是前8行中奇数的个数的3倍，即， ∴前16行中奇数的个数为81． 【变式】如图，这是一张2026年1月的月历表．在此月历表上可以用一个正方形框任意圈出4个数（如2，3，9，10）． (1)若圈出的4个数中最小的数为，则最大的数为　　　　　　．（用含的代数式表示） (2)若圈出的4个数中最大的数与最小的数的乘积为105，求这4个数中最小的数． (3)方框中最大的数与最小的数的乘积与这四个数的和能为269吗？若能，请直接写出最小的数；若不能，请说明理由． 【答案】(1) (2)7 (3)方框中最大的数与最小的数的乘积与这四个数的和不能为269， 理由如下：设圈出的4个数中最小的数为m，则其他三个数分别为， ∵方框中最大的数与最小的数的乘积与这四个数的和为269， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴或，解得或（舍去）， 当，即圈出的最小的数为11时，结合月历可知，此时不能圈出对应的四个数， ∴方框中最大的数与最小的数的乘积与这四个数的和不能为269． 【分析】（1）根据月历的特点列式即可； （2）设圈出的4个数中最小的数为，则最大的数为，根据题意可得方程，解方程即可得到答案； （3）设圈出的4个数中最小的数为m，则其他三个数分别为，根据题意可得方程，解方程即可得到答案． 【详解】（1）解：由题意得，若圈出的4个数中最小的数为，则最大的数为； （2）解：设圈出的4个数中最小的数为，则最大的数为， ∴， ∴， ∴， ∴或， 解得或（舍去）， ∴这4个数中最小的数为7； （3）略 题型06工程问题 【典例】“万里无云镜九州，最团圆夜是中秋．”临近中秋节，某月饼厂接到一笔盒月饼的订单，现决定由甲、乙两组共同完成，已知两组同时开工，甲组加工天，乙组加工8天就能完成这笔订单，且甲组3天加工的月饼数量比乙组2天加工的月饼数量多盒． (1)求甲、乙两组平均每天各能加工多少盒月饼； (2)甲、乙两组同时开工2天后，这笔订单临时又增加了盒月饼，甲组从第3天起提高了工作效率，而乙组的工作效率不变，并提前完成了这笔订单．经调研发现，若甲组平均每天每多加工盒月饼，则甲、乙两组就各自都提前1天完成任务，已知甲、乙两组加工的天数均为整数，则甲组提高工作效率后，甲、乙两组都提前多少天完成了这笔订单？ 【答案】(1)甲组平均每天能加工盒月饼，乙组平均每天能加工盒月饼 (2)甲组提高工作效率后，甲、乙两组都提前2天完成了这笔订单 【分析】本题考查列方程（组）解应用题，找到等量关系列出方程（组）是解决问题的关键． （1）设甲组平均每天能加工x盒月饼，乙组平均每天能加工y盒月饼，根据题意找到两个等量关系列方程再求解即可； （2）设甲组提高工作效率后，甲、乙两组都提前a天完成了这笔订单，根据题意列出方程求解并保留符合题意的整数解即可． 【详解】（1）解：设甲组平均每天能加工x盒月饼，乙组平均每天能加工y盒月饼， 根据题意，得， 解得， 答：甲组平均每天能加工盒月饼，乙组平均每天能加工盒月饼； （2）解：设甲组提高工作效率后，甲、乙两组都提前a天完成了这笔订单，根据题意，得 ， 整理得， 解得，（不符合题意，舍去）， 答：甲组提高工作效率后，甲、乙两组都提前2天完成了这笔订单． 【变式】阅读下面材料： 一般地，如果一个数列从第项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，它通常用字母表示，我们可以用公式来计算等差数列的和．（公式中的n表示数的个数，a表示第一个数的值，） 例如：3＋5＋7＋9＋11＋13＋15＋17＋19＋21＝10×3＋×2＝120． 用上面的知识解决下列问题． （1）计算：2+8+14+20+26+32+38+44+50+56+62+68+74+80+86+92+98+104+110+116 （2）某县决定对坡荒地进行退耕还林．从2009年起在坡荒地上植树造林，以后每年植树后坡荒地的实际面积按一定规律减少，下表为2009、2010、2011、2012四年的坡荒地面积的统计数据．问到哪一年，可以将全县所有坡荒地全部种上树木． 2009年 2010年 2011年 2012年 植树后坡荒地的实际面积（公顷） 25 200 24 000 22 400 20400 【答案】（1）1180；（2）到2017年，可以将全县所有的坡荒地全部种上树木． 【分析】（1）根据题意，由公式来计算等差数列的和，即可得到答案； （2）根据题意，设再过x年可以将全县所有的坡荒地全部种上树木．列出方程，解方程即可得到答案． 【详解】解：（1）由题意，得 ，，， ∵， ∴ ； （2）解：设再过x年可以将全县所有的坡荒地全部种上树木．根据题意，得 1200x+×400＝25200， 整理得：（x﹣9）（x+14）＝0， ∴x＝9或x＝﹣14（负值舍去）． ∴2009+9-1=2017； 答：到2017年，可以将全县所有的坡荒地全部种上树木． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，解一元二次方程，以及计算等差数列的和公式，解题的关键是熟练掌握题意，正确找出等量关系，列出方程进行解题． 题型07行程问题 【典例】如图，某海军基地位于处，在其正南方向20海里处有一重要目标，在的正西方向20海里处有一重要目标，小岛位于的中点，岛上有一补给码头；一艘军舰从出发，经到匀速直线巡航． (1)为提前完成第一次巡航任务，军舰调整速度为原来的1.5倍，结果提前到达目标处，求军舰原来的速度是多少？ (2)在第二次军舰巡航时，一艘补给船同时从出发，沿南偏东方向匀速直线航行，欲将一批物品送达军舰．已知军舰航行的总路程是补给船的3倍，军舰在由到的途中与补给船相遇于处，那么相遇时补给船航行了多少海里？ 【答案】(1)军舰原来的速度是海里； (2)补给船航行了海里． 【分析】（1）设原来的速度为v海里，则调整后的速度为海里，先求出总路程，再根据题意列分式方程求解即可； （2）连接交中点于F，则是的中位线，可知海里，海里，，设相遇时补给船航行了海里，则海里，根据勾股定理列方程求解即可． 【详解】（1）解：设原来的速度为v海里，则调整后的速度为海里， 由题意可知海里，海里， 则总路程为（海里）， ∵军舰调整速度为原来的1.5倍，结果提前到达目标处， ∴， 解得：， 经检验，是原分式方程的解， ∴军舰原来的速度是海里； （2）解：取的中点，连接， 则是的中位线， ∴海里，海里，， 设相遇时补给船航行了海里，即海里， ∵军舰航行的总路程是补给船的3倍， ∴军舰路程为海里， 则海里， ∴海里， 在中，由勾股定理得：， 即， 解得：，， 当时，与重合，为正南方向，不符合“南偏东”的条件，舍去， ∴补给船航行了海里． 【变式】某市区东西走向的青年路与南北走向的江阴路相交于O处，．甲沿着青年路以4m/s的速度由西向东走，乙沿着江阴路以3m/s的速度由南向北走．当乙走到O点以北50m处时，甲恰好到点O处．若两人继续向前行走，求两个人相距85m时各自的位置． 【答案】当两人相距85米时，甲在O点以东36米处，乙在O点以北77米处 【分析】分别用未知数表示出两人的路程，再根据勾股定理列出方程求出未知数的值． 【详解】设经过x秒时两人相距85m， 根据题意得（4x）2+（50+3x）2=852， 去括号得25x2+300x=4725， 即25x2+300x-4725=0， 化简得x2+12x-189=0， ∴（x-9）（x+21）=0， 解得x1=9，x2=-21（不符合实际情况，舍去）， 当x=9时，4x=36，50+3x=77． ∴当两人相距85m时，甲在O点以东36m处，乙在O点以北77m处． 故当两人相距85米时，甲在O点以东36米处，乙在O点以北77米处． 【点睛】考查了方向角，一元二次方程的应用和勾股定理等知识点．要注意的是方向角问题中，南北和西东是垂直的． 【巩固训练】 1．已知关于x的方程有实数根，则k的取值范围是（     ） A． B． 且 C． 且 D． 【答案】A 【分析】当时，原方程是一元一次方程，方程有解，符合题意；当时，根据一元二次方程有实数根以及二次根式有意义的条件列出关于k的不等式组求解即可． 【详解】解：当，即时，原方程为， 解得，符合题意； 当，即时， ∵关于x的方程有实数根， ∴， 解得， ∴且， 综上，． 2．若直角三角形的两边长是方程的实根，则该直角三角形的面积是（     ） A．18 B．24或6 C．32 D．18或36 【答案】B 【分析】先求解一元二次方程，得到实根，确定直角三角形已知两边的长度，分情况进行讨论即可 【详解】解：∵， ∴ ∴或， ①若两边分别是方程的两根，且两边为直角边时，该直角三角形的面积是； ②若两边分别是方程的两根，且当长是8的边是斜边时，第三边是， ∴该直角三角形的面积是． 3．使得的值为整数的无理数的个数为（     ） A．0个 B．1个 C．2个 D．4个 【答案】C 【分析】设分式的值为整数k，整理得到关于x的方程，利用一元二次方程根的判别式确定k的所有可能整数值，再分别解方程，判断x是否为无理数，统计符合条件的个数即可． 【详解】解：∵， ∴分母恒不为0， 设，其中k为整数， 整理得 ， 当时，得 ， 解得，是有理数，不符合要求； 当时，方程为一元二次方程，若方程有实根，则判别式：， 即， 解得， ∵k为整数，且， ∴k的可取值为1，2，3， 当时，方程为， 解得，都是无理数，符合要求； 当时，方程为， 解得或，都是有理数，不符合要求； 当时，方程为， 解得或，都是有理数，不符合要求； 综上，符合条件的无理数共有2个． 4．若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，且关于y的分式方程的解为负整数，则所有满足条件的整数a的值之和是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据一元二次方程根的情况，利用判别式求出的取值范围，再解分式方程，根据解为负整数且分式有意义，确定符合条件的整数，最后计算所有符合条件的的和即可． 【详解】∵关于的一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴根的判别式， 解得； 解分式方程， 方程两边同乘（，否则分式无意义）得：， 整理得， 解得， ∵分式方程的解为负整数， ∴，且为整数，且， 即，是的倍数，， 结合且为整数，可得符合条件的整数只有， ∴所有满足条件的整数的值之和是． 5．已知关于的方程，，是此方程的两个实数根，给出四个结论：①；②；③；④若且，则，则正确结论的序号是（     ） A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④ 【答案】B 【分析】利用一元二次方程的判别式判断根的情况，结合根与系数的关系逐个验证结论即可，用到完全平方公式变形等初中知识点． 【详解】解：①∵关于的方程，，是此方程的两个实数根， ∴， ∴方程有两个不相等的实数根，即，①正确； ②∵关于的方程，，是此方程的两个实数根， ∴ ∵， ∴，②正确； ③∵，且 ，， ∴ ∵， ∴，③错误； ④原方程变形为， 由，可得， ∴，， ∴，④正确； 综上，正确结论是①②④． 6．定义新运算：☆，例如：☆，则关于的方程☆（k是任意实数）的根的情况是（     ） A．有两个相等的实数根 B．没有实数根 C．只有一个实数根 D．有两个不相等的实数根 【答案】D 【详解】解：由题意，可知☆， 整理得． ， 关于的方程☆（是任意实数）有两个不相等的实数根． 7．小若在学完2.3《一元二次方程根与系数的关系》后对一元二次方程进行了新的探究，如图所示．如果，，是一元三次方程的三个根，请你类比小若的方法探究一元三次方程根与系数的关系． 一元二次方程根与系数的探究 因为，是方程的根，根据方程根的定义 得到 展开右边得到 因为原式为恒等式，所以等式左右两边完全相同 对比后得 整理后得到+ ， 则用系数可以表示为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】类比一元二次方程根与系数的探究方法，将三次方程因式分解为含根的乘积形式，对比常数项系数求解． 【详解】解：∵，，是一元三次方程的三个根， ∴， 展开右边得． ∵等式为恒等式，两边常数项对应相等， ∴， 整理得． 8．已知，是方程的两个根，则的值为（     ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】利用一元二次方程根的定义对所求代数式降次，结合根与系数的关系代入求值． 【详解】解：∵，是方程的两个根， ∴，，， ∵， 同理可得， ∴． 9．关于的一元二次方程，有下列四个结论：①若是该方程的一个根，则一定有成立；②若，则方程有一根为；③若该方程的解为和，则方程的解是或；④当，，时，方程一定有实数根．其中，正确的有（     ） A．①②③④ B．②③④ C．②③ D．②④ 【答案】D 【分析】根据根的判别式、一元二次方程的解，逐个验证结论，结合条件推导判别式的符号，最终确定正确选项． 【详解】解：① 将代入方程，得， 提取公因式得， 当时等式恒成立，不一定满足，故①错误； ② 将代入方程，得，由条件，可得， 因此是方程的根，故②正确； ③原方程的解为和，则原方程可写为， 展开得，即，， 代入新方程得：，， 整理得， 解得或，故③错误； ④ 由条件，，， 可得， 若，则， 可推出，与矛盾， 因此， 方程判别式， 因为，，所以， ，方程一定有实数根，故④正确. 综上，正确结论为②④． 10．如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点，分别在，轴上，顶点的坐标为，点的坐标为，是边上的动点（不与点，重合），直线与边交于点，给出下面四个结论： ① 与的面积可能相等； ② 与的面积可能相等； ③ 当点的纵坐标为时，是直角三角形； ④ 当是等腰三角形时，一定是等腰直角三角形． 上述结论中，所有正确结论的序号是（     ） A．①③ B．①④ C．②③ D．②④ 【答案】A 【分析】设点的坐标为，利用待定系数法求出直线的解析式，表示出点的坐标，分别计算各三角形面积，通过解二元一次方程判断①②；利用勾股定理逆定理判断③；分类讨论是等腰三角形的情况，结合是等腰三角形则，判断④． 【详解】解：∵四边形是正方形，点的坐标为， ∴，，，， 设点的坐标为，， ∵点的坐标为， ∴设直线的解析式为， 将，代入， 解得，， ∴直线的解析式为， 令，，解得， ∴，即， ， ， 若，则， 整理得，， 解得，或（舍去，∵） ∴当时，，， 故①正确； ， ， 若， 则， ∴， 整理得， 解得或， ∵， ∴均不符合题意， 故②错误； 当点的纵坐标为时，， ，， ∴，， 过点作轴，点作轴，，交于点，则， ， ∴， ∴是直角三角形， 故③正确； 若是等腰三角形， 当时，， 解得，或（舍去，∵） 此时，， 则是等腰三角形， 当时，, ∴， 化简得， 若是等腰三角形，则， ∴， 解得， （舍去，∵） 当时，，矛盾， ∴当时，不是等腰三角形， 故④错误． 11．已知a，b是一元二次方程的两根，则的值是 _____． 【答案】17 【分析】先得出，再整体代入计算即可． 【详解】解：∵a，b是一元二次方程的两根， ∴， 则原式 ． 12．如图，将边长为6的正方形沿其对角线剪开，再把沿着方向平移，得到，当两个三角形重叠部分的图形面积为9时，它移动的距离等于_______． 【答案】3 【分析】设，证明是等腰直角三角形，得出，根据重叠部分面积列出方程，解方程即可． 【详解】解：设， ∵四边形是正方形， ∴，，， 由平移可知，， ∴， 设与交于点G ， 在中，，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵，， ∴重叠部分四边形是平行四边形， ∵， ∴平行四边形的高为， ∴， 解得：， ∴移动的距离等于3． 13．如图，在中，，，，点从点开始沿射线方向以的速度运动；同时点也从点开始沿射线方向以的速度运动．_______秒后以、、、为顶点的四边形的面积为． 【答案】或 【分析】先根据动点速度设运动时间为，得出、，依据点、所在线段位置划分为、、三种情况，每种情况结合图形形状选用对应割补法列出四边形面积方程求解，求出解后验证数值是否落在对应取值范围内，舍去取值范围内不符的解，即可得出所有符合条件的时间． 【详解】解：设运动时间为，由题意得，， 当点在线段上时，； 当点在线段上时，； 故分三种情况讨论： ①当时，如图， ， ∵， ∴， 解得 或（不合题意，舍去）； ②当时，如图， ， ∵， ∴， 解得； ③当时，如图， ， ∵， ∴， 解得（，不合题意，舍去）或（不合题意，舍去）； 综上所述， 或秒后以、、、为顶点的四边形的面积为． 14．在综合实践活动课上，小磊同学经过思考将宽为的矩形卡纸剪成如图1所示的四块图形，若用这四块图形恰好能够拼成如图2所示的正方形，且正方形的边长比矩形的宽多1，则该矩形卡纸的宽______cm． 【答案】 【分析】根据线段之间的关系，用含a的式子表示出正方形的边长和矩形的长，再根据矩形和正方形的面积相等，列方程，求解检验即可． 本题考查了一元二次方程的实际应用，正确地列出方程是解题的关键． 【详解】解：由图1可得，直角三角形①的较短直角边和梯形②的上底重合，直角三角形①的较长直角边和梯形②的高之和是矩形的长，梯形②的下底是矩形的宽，即在图2中，，， ∴矩形的长为， 根据矩形和正方形的面积相等，得， 整理得， 解得，（舍去）， ∴． 15．如图，点、分别在菱形的边、上，为等边三角形，是的中点，延长交于点，已知，四边形的面积是的面积的倍，则的长为_____． 【答案】 【分析】过点作的垂线，交的延长线于点，连接、，交于点，设，由等边三角形的性质与菱形的性质可得，．容易判断是含角的直角三角形，结合勾股定理可得，，，进而计算出．分别计算出和的面积，结合是的中点可表示出和的面积．容易证明，则，利用割补法将菱形拆分，利用面积相等构造方程，求解出，并计算出即可． 【详解】解：如图，过点作的垂线，交的延长线于点，连接、，交于点，设， ∵为等边三角形， ∴，， ∵四边形是菱形， ∴，，，， ∴，， 在中，， ∴， ∴， 由勾股定理可得，， 在中，， ∵，， ∴，， 在中，， ∴， ， ， ， ， ∵是的中点， ∴， ∴，， ∵四边形的面积是的面积的倍， ∴， ∵， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， 整理，得 解得或， ∵， ∴，即， ∴， ∴． 16．如图，正方形的边长为2，A为坐标原点，和分别在x轴、y轴上，点E是边的中点，过点A的直线交线段（不经过C，D两点）于点F，连接，若平分，则k的值为_______． 【答案】 3 【分析】设，得，，连接，过点作于点，在中，根据勾股定理得，根据角平分线性质得，根据列关于的方程，解得的值即可得，将其代入直线得k的值． 【详解】解：设， ， ， 是中点， ， ， 如图，连接，过点作于点， 在中，， 平分， ， ， ， 即， ， 两边平方得，， 整理得，， 因式分解得，， 解得，， ，， ， 将代入直线， 得，， 解得，． 17．数学活动课上，聪明的小颖和小亮在讨论张老师出示的一道代数式求值问题：已知实数a，b同时满足，，求代数式的值． 结合他们的对话，请解答下列问题： （1）当时，a的值是_____________． （2）当时，代数式的值是_____________． 【答案】 或1 6 【分析】（1）将替换为代入，得到关于的一元二次方程，求解即可； （2）首先把两个已知方程相减，因式分解后结合的条件，求出的值；再把两个已知方程相加，结合求出的的值，得到相关的表达式，进而求出的值；最后将变形为含有和的形式，代入计算即可． 【详解】【小题1】当时， ∴， 整理， ， 解得：或； 【小题2】联立方程组， 将得：， 整理得：， 将得：， 整理得：， ∴， 又∵， ∴，即④， 将④代入③，得，即， 又∵， ∴， ∴． 18．已知整式，其中…，…且，，，，…，均为整数，n为正整数．若，，则满足条件的整式A共有__________个；若，，且当x为任意实数时，整式A的值都是正数，则满足条件的整式A共有__________个． 【答案】 【分析】对两个问题分别按条件列举所有可能的系数组合，结合二次整式恒正的判别式条件逐一判断，统计满足条件的个数即可． 【详解】解：先计算第一个空： 当，时，，满足，，为整数． 满足条件的组合为： ，符合条件； ，符合条件； 时，，不满足，因此共个满足条件的整式； 再计算第二个空： 当，时，，满足，，为整数，且对任意实数，． ， 对任意成立等价于判别式． 按分类讨论： 1. 当时，，，，不满足条件，共0个； 2. 当时，，，得，故； 其中满足的共4个； 3. 当时，，，得，故； 所有组合都满足，共4个； 4. 当时，，，得，故； 所有组合都满足，共3个； 5. 当时，，，仅，满足，共1个； 6. 当时，最小系数和为，无满足条件的组合； 综上，满足条件的整式共个． 19．已知关于的一元二次方程有两个实数根，且均在区间内，的取值范围是_______； 【答案】 【分析】设方程的两个根，利用根与系数的关系将转化为关于两根的代数式，再根据两根的取值范围计算的取值范围即可． 【详解】解：设一元二次方程的两个根为，满足， ， ， ， ， ， ， ，即的取值范围是． 20．已知，且，，则__________． 【答案】 【详解】解：当时，方程左边， ． 将方程的两边同时，得． ，即， 为一元二次方程的两个不相等的解， ∴由韦达定理得． 21．阅读材料：如果，是一元二次方程的两个实数根，则有，．创新应用：如果，是两个不相等的实数，且满足，，那么代数式________． 【答案】2026 【分析】根据题意，，是两个不相等的实数，且满足，，则可将，看作是一元二次方程的两个实数根，利用根与系数的关系求得，，再由得，进而把代数式转化为，整理后代入、的值计算即可求解． 【详解】解：，是两个不相等的实数，且满足，， 可将，看作是一元二次方程即的两个实数根， ，， ， ， 原式 ． 22．新定义：关于的一元二次方程与称为“同族二次方程”．如与是“同族二次方程”．现有关于的一元二次方程与是“同族二次方程”，那么代数式的值是________________． 【答案】 【分析】根据“同族二次方程”的定义得到，进而可得方程组，解方程组即可得到答案． 【详解】解： 与是“同族二次方程”， ， ∴， ， 解得， ． 23．如图，直线与轴、轴分别交于点和点，点是线段上的一点，若将沿折叠，点恰好落在轴上的处，若是轴负半轴上一动点，且是以为腰的等腰三角形，则的坐标为________． 【答案】或 【分析】先求出直线与坐标轴交点、坐标，利用折叠性质得，设，由勾股定理求出点坐标；设，分两种等腰情况讨论：，分别列方程求解，得到坐标． 【详解】解：令，，得，； 令，，，得，． 由勾股定理： ， 由折叠得：，， ，故， 设，则，． 在中，由勾股定理：， ， 解得， ∴． ， 情况①：， ， 令： ， 两边平方： ， ， 在轴负半轴，， ； 情况②：， ，令： ， 在轴负半轴，， ， 综上，点的坐标为或． 24．如图，在平行四边形中，为上一点，于点，连接，将沿折叠得到，交于点，连接，若，，，，则点到直线的距离为_________． 【答案】 【分析】根据平行四边形的性质和勾股定理求出的长，进而得到的长；利用折叠的性质可知，；过点作于点，交于点，设，，在和中利用勾股定理建立方程组求出的值；最后利用等面积法求出点到直线的距离 ． 【详解】解：四边形是平行四边形， ，，， ， ， ，， 在中，， 由折叠的性质可知：，， 如图，过点作于点，交于点， 设，， ∵ ，， ∴， ， 四边形是矩形， ∴， ∴， 在中， ①， 在上，，在上，在上，， 点到直线的距离为， ， 在中，， ， 整理得：， 将①代入得：， ， 即， 代入①得：， ∴ ∴ ∴ 解得：或（舍去）， 点到的距离为， 设点到直线的距离为， ， ， ． 25．如图，在矩形中，，点是线段上一点，作点关于的对称点，连结，过点作交射线于点． (1)当点在点左侧时． ①求证：． ②若，求的周长． (2)取的中点，连结，当与的某一边平行时，求的长度． 【答案】(1)①证明：如图1，延长交于点． 四边形为矩形， ． 由轴对称可知， ， ，， ． ， ． ② (2)或 【分析】（1）①延长交于点，根据平行的性质即可证明； ②由①的结论先证明，设，根据表示出，在中，由勾股定理可解得，进而求解； （2）分和两种情况画出图形，分别计算即可． 【详解】（1）解：①略； ②如图1， 四边形为矩形， ，， 根据对称可知， ， 在和中， ， ，     设，则， ， ，， 四边形是平行四边形， ． 在中，由勾股定理可得， 即，解得 ， 的周长为． （2）解：分两种情况： ①如图2，当时， ，， 四边形是平行四边形， ， 为的中点， ， ， ， 为的中点． ， 设，则， ， ， ， 在中，由勾股定理可得， 即，解得， ， ． ②如图3，当时， ， ， ， ， ． ， ， ， ． ， ， ， ， ． ， ， ， 是中点， ． 设， ， ， ． 在中，由勾股定理可得， 即，解得（舍去） ， ． ． 26．如图：在直角坐标系中，长方形中，，，点从点出发，沿射线方向以每秒个单位长的速度移动，点从点出发，沿射线方向以每秒个单位长的速度运动，设点的运动时间为秒． (1)如图1，当为何值时，的面积为； (2)当是的角平分线时，求出此时点的坐标； (3)当为何值时，是等腰三角形？ 【答案】(1) (2)或 (3)或或或 【分析】（1）用含的式子表示三角形底与高，代入面积公式列方程，舍去负根即可求出的值； （2）利用长方形对边平行得到，结合角平分线条件推导出，得到，用表示，在中利用勾股定理列出关于的方程求解，即可得到点坐标； (3)先写出三点坐标，借助平面内两点距离公式写出、、三条边长代数式，分、、三类情况列方程求解，舍去不符合实际运动意义的根，即可得到所有符合条件的的值． 【详解】（1）解：如图，由题意得，， ， 当的面积为时， ，解得或（不合题意，舍去）， 即当时，的面积为； （2）解：如图， ∵四边形是长方形， ∴，，，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， 在中，， ∴， 解得或， 即或， ∴此时点的坐标为或； （3）解：由题意得，，， ∴，，， 是等腰三角形，可分三种情况讨论： ①，则 ， 解得或（不合题意，舍去）； ②，则 ， 解得或； ③，则 ， 解得或（不合题意，舍去）； 综上，或或或． 27．芯片是我国“十五五”核心攻关项目，场效应晶体管（管）是基本单元．管饱和区工作电流（单位：）由栅源电压（单位：）调节控制，满足公式：，其中和为常数，．已知某S型管满足，某R型管满足． (1)当时， A，当时， V． (2)只要控制管电流相同，不同型号的管就可以串联一起同时在饱和区工作，现将该和两型号管串联在饱和区工作，若两款管的安全电压都为， ①将型管调整为，通过计算判断该型管是否安全工作； ②在两款管都正常串联在饱和区工作的前提下，判断和的关系，并说明理由． 【答案】(1)1；5 (2)①R型管安全工作， 当S型时，， S和R两型号管电流相同， ． 由公式， 可得， 解得，（舍去）． ∵两款MOS管的安全电压都为， ∴R型MOS管在安全电压范围内，即安全工作． ②，理由如下： ∵S和R两型号管电流相同， ，即． ∵两款MOS管的安全电压都为， ，，即，． 化简可得， 可得． 【分析】（1）将已知数据代入题干公式即可解答； （2）①计算电流，根据和两型号管电流相同，代入相关公式，解方程即可解答； ②根据题意可得，化简可得答案． 【详解】（1）解：当时，A； 当时，可得， 解得（负数舍去）， 则当时，V； （2）①略 ②略 28．在平面直角坐标系中，过一点分别作两坐标轴的垂线，若与坐标轴围成的矩形的周长与面积相等，则这个矩形叫作等积等周矩形，这个点叫做等积等周点．例如，如图1，过点分别作x轴，y轴的垂线，垂足是A，B，矩形的周长与它的面积相等，则矩形是等积等周矩形，点P是等积等周点． (1)点是不是等积等周点，为什么？ (2)若是等积等周点，其中，过点作x轴的垂线l，点P到直线l的距离与它到x轴的距离和为y． ①求y关于t的解析式，并在图2中画出它的图象； ②和，是图象上的两个点，若在M、N两点之间函数的最大值与最小值的差为3，求a的值． 【答案】(1)不是，理由如下： 根据定义，矩形的两条边长为，， 矩形面积，周长， 因为， 所以该点不是等积等周点． (2)①， 图象如下图所示： ； ②， 【分析】（1）根据等积等周点的定义．利用矩形的面积和周长公式进行证明即可； （2）①先由等积等周点定义求出点P坐标，再结合点到直线、x轴的距离相加列出含绝对值的函数，分与去掉绝对值得到分段解析式，最后取辅助点画出V型折线图象． ② 对N点横坐标配方判断其所在分段，分别求出M、N对应的函数值，结合函数的最小值，利用最值之差为3建立方程，配方开方求出a的值． 【详解】（1）略 （2）①， ，． 由等积等周定义得等式： ， ， 解得，． 又， 舍去，得， 点坐标为． ∵直线过且垂直轴，则直线解析式为． ∴点到直线的距离为，点到轴的距离为纵坐标的绝对值． 由题意，两个距离之和为，可得： 分情况去掉绝对值，写成分段形式： 当时，，，则； 当时，，，则． ∴； ②解：N点横坐标： ， ， 即点横坐标在的右半段；横坐标，在左半段． 把代入，得 ； 把代入，得 ． 函数图象左减右增，在处取到整个区间的最小值，最小值；区间最大值只在、两个端点． ∵两点之间函数最大值与最小值的差为3， ∴最大值为， ，最大值只能是，列方程： 解得：，． 29．新定义：如果两个实数，使得关于的分式方程的解是，那么我们就把实数，组成的数对称为关于的分式方程的一个“友好数对”． 例如：，使得关于的分式方程的解是成立，所以数对就是关于的分式方程的一个“友好数对”． (1)判断下列数对是否为关于的分式方程的“友好数对”，若是，请在括号内打“√”．若不是，打“×”． ①（ ）；②（ ）；③（ ）； (2)若数对是关于的分式方程的“友好数对”，求的值； (3)若数对（且，）是关于的分式方程的“友好数对”，且关于的方程有整数解，求整数的值． 【答案】(1)①×；②√；③× (2) (3)或 【分析】（1）根据定义逐一验证数对； （2）根据定义列方程求解； （3）先根据定义得到与的关系，代入目标方程化简后，结合整数解的限制条件求出整数． 【详解】（1）解：①对于数对，，， ∴分式方程为， 解得， 根据定义得， ∵， ∴不是“友好数对”； ②对于数对，，， ∴分式方程为， 解得， 根据定义得， ∵， ∴是“友好数对”； ③对于数对，，， ∴分式方程为， 解得， 根据定义得， ∵， ∴不是“友好数对”； （2）∵数对是“友好数对”， ∴，， 根据定义得， 将代入分式方程，得 ， 整理得， 解得，即； （3）∵数对是“友好数对”， ∴，， 根据定义得， 将代入分式方程，得 ， 整理得， 即， 将代入方程，得， 两边同乘得， 整理得， ∵， ∴， ∴，即， ∵方程有整数解，为整数， ∴为整数，即是2的整数约数， ∴或， 解得，，，， ∵，且时，不符合的条件， ∴或． 【点睛】本题为新定义题型，解题核心是紧扣“友好数对”的定义，结合分式方程的求解、整式化简以及整数的性质进行计算． 【强化训练】 1．已知关于x的一元二次方程的两根之差为2，则代数式的最大值为（     ） A． B． C．4 D．10 【答案】C 【分析】结合两根差的条件与根与系数的关系，建立的等量关系，代入所求式后配方求最值即可． 【详解】解：设方程的两根分别为，． 由根与系数的关系得，． ∵ 两根之差为2， ∴ ． 又∵ ， ∴ ． 整理，得，即． 将代入，得 ， 配方得． ∵ ， ∴ ， ∴ ． ∴代数式的最大值为4． 2．设二次方程有实数根，其中、都是素数，那么它的根一定是（     ） A．奇数 B．偶数 C．分数 D．无理数 【答案】D 【分析】先利用一元二次方程根的判别式得到p和q的关系，结合p、q均为素数的性质，推导得到根的属性． 【详解】∵一元二次方程有实数根， ∴，即， ， ∵均为素数，素数中唯一的偶数是2，其余均为奇数， 当均为奇素数时， 为奇数，且不可能是完全平方数， 一定是无理数， 当，为奇素数时，即， ， 不存在这相的奇素数， 当，为奇素数时，即， ， 设（k为非负整数），即， 均为非负整数， 或， 解得或，均不符， 不可能是完全平方数， 一定是无理数， 当且仅当时，， 综上所述，原方程的根一定是无理数． 3．若实数a，b，c满足，且，则一元二次方程的两个实数根满足的数量关系是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先对已知等式因式分解得到a与c的关系，再代入一元二次方程，结合根与系数的关系判断两根的数量关系。 【详解】解：∵ ， 对左边变形得 ， 即 ， 又∵ ， ∴ ，即 ， ∴ ， 得 ， 将代入一元二次方程， 得 ， 整理得 ， 对于一元二次方程，常数项为 ， 由根与系数的关系得 ． 4．已知，则方程的解集是_______； 【答案】 【分析】利用换元法将原方程转化为整式方程，整理后换元求解，结合的范围舍去增根，检验后得到原方程的解集． 【详解】设，由得， 原方程可化为， 因为，方程两边均为正数，两边同时平方得：展开整理得：， 因为，方程两边同时除以得：整理得： ， 由，令，代入得：整理得一元二次方程， 解得或， 因为 ，所以，舍去，得即， 两边同乘得， 解得，由， 得检验：将代入原方程，左边，右边，左边等于右边， 是原方程的解． 5．已知关于的一元二次方程的两个不相等的实数根分别为；关于的一元二次方程的两个实数根分别为．则下列方程中，其两实数根分别为的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据已知条件，利用根与系数的关系列方程求出和的值，再计算所求方程两根的和与积，构造出一元二次方程即可得到答案． 【详解】解：∵关于的一元二次方程的两个根为， ∴由根与系数的关系得， ∵关于的一元二次方程的两个根为， ∴，， ∴，， 将代入得：， 整理得． 将代入得：， 化简得 把代入， 解得 ∵， ， ∴所求一元二次方程为． 6．已知整式，其中为整数，与均为正整数，且，记，请选出正确的选项（     ） A．若，则满足条件的多项式一共有8个 B．当，且取最小值时，将全部符合条件的多项式相加，结果是单项式 C．有两个实数根为，若，则的最小值为8 D．以上选项均不正确 【答案】B 【分析】先根据题干给出的系数绝对值递增条件，结合整数性质，对每个选项逐一分析，分别计算验证，判断选项正误. 【详解】选项A：当时，为正整数， 时，满足条件的多项式共个； 时，满足且和为的绝对值组合共组，每组对应个多项式，共个； 时，最小系数绝对值和为， 不存在.总共有个满足条件的多项式，A错误. 选项B：当，取最小值时， 系数绝对值为从小到大排列的个最小正整数， 即， 仅最高次系数符号固定为正，其余系数每个都可取正负， 所有符合条件的多项式相加时，任意次数低于的项，系数正负个数相等，相加和为， 仅剩余最高次项，结果为单项式，B正确. 选项C：对于， 由， 整理得， 由， 得， 故， ∵判别式， 由得， 故，不存在两个实根，C错误. 选项D：∵B正确，故D错误. 7．已知a、b为实数，关于x的方程有且仅有三个不同的实数根．实数a、b满足的关系式为________． 【答案】 【分析】将原方程分解为两个一元二次方程，原方程有三个不同实根，说明一个方程有重根、另一个方程有两个不等实根，计算判别式即可得到、的关系式． 【详解】解：利用平方差公式分解得， 因此原方程等价于两个一元二次方程，， 分别计算两个方程的判别式 ，， ∵原方程有且仅有三个不同实数根，说明两个方程中一个有两个不等实根，一个有两个相等实根， ， ∴若，则，此时只有2个实根，不符合要求， 只能，此时，符合要求， 整理得， 假设两个方程有公共根，两式相减得，矛盾，因此三个根互不相同，满足条件， 故所求关系式为． 8．设实数x不等于0和1和，则的取值范围是________． 【答案】或 【分析】将化简为，令，可得可取每一个非零实数，再将原式变形为，根据题意可得，即可求得的取值范围． 【详解】解：， 令，则， 其判别式，可知可取每一个非零实数， ，则， 判别式， 根据题意可得中，， 即， 可得或， 所以的取值范围是或． 9．已知，是方程的两个实数根，则的值为________． 【答案】 【分析】根据一元二次方程根的定义和根与系数的关系得到，，，代入所求代数式进行解答即可． 【详解】解：∵，是方程的两个实数根， ∴，，， ∴，， ∴ 10．“积幻方”由传统的和幻方衍生而来，在积幻方中，个小方格中的正整数互不相等，且每行、每列、每条对角线上的三个数的乘积相等．如图，已知一个“积幻方”只呈现了个小方格中的数，则其中的值是_________． 【答案】16 【分析】根据题意，得到，整理得，再根据解一元二次方程的方法解方程，即可求出的值． 【详解】解：根据题意，可得， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 因式分解，得， 解得，， ∵个小方格中的正整数互不相等， ∴，即的值是16． 11．定义：如果一类关于x的一元二次方程有两个实数根，，且满足恒成立，这类方程叫做t的偏向方程．已知关于x的一元二次方程有两个实数根，，且对于任意的实数m，都满足3的偏向方程，则n的取值范围是________． 【答案】 【分析】根据一元二次方程根与系数的关系得出，，再由题意确定，得出，代入得出，然后根据题意建立不等式求解即可． 【详解】解：， ，． 满足3的偏向方程的定义， ， ， ． ． 对于任意的实数m，都满足3的偏向方程的定义， ， ． 12．在平面直角坐标系中，已知矩形，其中点，，．给出如下定义：若点关于直线：的对称点在矩形的内部或边上，则称点为矩形关于直线的“关联点”． 例如，图中的点，点都是矩形关于直线：的“关联点”． (1)在点，，，中，是矩形关于直线：“关联点”的点是______； (2)如图，点是矩形关于直线：的“关联点”，且是等腰三角形，求的值． (3)若在直线上存在点，使得点是矩形关于直线：的“关联点”，请直接写出的取值范围． (4)若在直线上存在点，使得点是矩形关于直线：的“关联点”，请直接写出的取值范围． 【答案】(1)， (2)的值为或或 (3) (4) 【分析】（1）分别求出，，，关于直线的对称点，判定对称点是否在矩形内部或边上，即可求解； （2）由定义求出，再由，求出，根据题意可得，，，分三种情况讨论：当时，；当时，；当时，； （3）当点关于直线的对称点是点时，直线经过点时，可得：，当点关于直线的对称点是点时，直线经过点时，，即可求； （4）在直线上任取两个点，，再求出两点关于直线的对称点为，，由待定系数法求出直线关于直线对称的直线解析式为，当直线经过点时，，当直线经过点时，，即可求． 【详解】（1）解：点关于的对称点为，此点在线段上， 是矩形关于直线：“关联点”； 点关于的对称点为，此点在矩形内部， 是矩形关于直线：“关联点”； 点关于的对称点为，此点不在矩形内部或边上， 不是矩形关于直线：“关联点”； 点关于的对称点为，此点不在矩形内部或边上， 不是矩形关于直线：“关联点”； 综上所述：，是矩形关于直线：“关联点”； （2）解：点是矩形关于直线：的“关联点”， 点的坐标是， ， ， 点的坐标是， ，，， 当时，， 解得（舍）或； 当时，， 解得或舍； 当时，， 解得； 综上所述：的值为或或； （3）解：当点关于直线的对称点是点时， 点的坐标是， 点的坐标是， 把点代入直线， 可得：， 解得：， 当点关于直线的对称点是点时， 点的坐标是， 点的坐标是， 把点代入直线， 可得：， 解得：， ； （4）解：在直线上任取两个点，， 两点关于直线的对称点为，， 设直线关于直线对称的直线解析式为， 可得：， 解得：， ， 当直线经过点时，， 当直线经过点时，， ． 13．在矩形纸片中，，，点为边上一动点，将沿折叠，得到，点的对应点为． (1)如图1，若点恰好落在边上时，试判断四边形的形状，并说明理由； (2)如图2，若点恰好落在对角线上时，求的长； (3)如图3，当点落在矩形内部时，将展平后，过点作的平行线，分别交、于点、．作，为垂足．问的长度为何值时，矩形纸片或矩形纸片的长宽比为． 【答案】(1)四边形是矩形，理由如下： ∵四边形是矩形， ∴， 由折叠的性质可得，， ∴， ∴四边形是矩形． (2) (3)的长度为或或 【分析】（1）由矩形的性质与折叠的性质可得，，因此四边形是矩形； （2）设，则，由勾股定理可得，由折叠可得，，，从而得到．在中，利用勾股定理构造方程，求解出即可； （3）设，分为，，和四类讨论，由折叠的性质可得，，．在中，利用勾股定理构造方程计算出和．在中，再次利用勾股定理构造方程计算出即可． 【详解】（1）略 （2）解：设，则， 在中，， 由折叠的性质可得，，，， ∴，， 在中，， ∴， 解得， ∴； （3）解：设， ∵四边形是矩形， ∴，， ∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，，， 由折叠的性质可得，，，， ①当时， 在中，， ∴， 解得， ∴，， ∵， ∴， 在中，， ∴， 解得； ②当时， 在中，， ∴， 解得， ∴，， ∴，， 在中，， ∴， 解得； ③当时，设，则， ∴，， 在中，， ∴， 整理，得， 解得或（不符题意，舍去）， ∴，，， 在中，， ∴， 解得； ④当时，设，则， ∴，， 在中，， ∴， 整理，得， 解得或（不符题意，舍去）， ∵点在矩形的内部， ∴，即， ∴与题意不符，故舍去； 综上所述，当的长度为或或时，矩形纸片或矩形纸片的长宽比为． 14．已知关于x的一元二次方程有两个实数根，，若满足，则此类方程叫做“差根方程”．根据“差根方程”的定义，解决下列问题： (1)下列是“差根方程”的是________；（填写序号） ①；② (2)已知关于x的方程是“差根方程”，求a的值． (3)已知是直角三角形，斜边的长为，若的两边、的长是一个二次项系数为1的“差根方程”的两个实数根，求出这个“差根方程”． 【答案】(1)① (2) (3) 【分析】本题考查新定义“差根方程”，一元二次方程的求解、完全平方公式和勾股定理的应用，熟练掌握相关知识，正确理解新的定义是解题的关键． （1）先求解两个方程，再根据“差根方程”定义判断即可； （2）先求解方程得到两个根，根据“差根方程”定义列方程求解即可； （3）利用勾股定理和“差根方程”的定义，结合完全平方公式求出两根之和与两根之积，再写出二次项系数为1的方程即可． 【详解】（1）解：① 解得：或， ， 是“差根方程”； ② 解得：，， ， ②不是“差根方程”； （2）解：方程 因式分解得：， 解得：，， 方程是“差根方程”， ， ， 或， 解得：或； （3）解： 设、， 是直角三角形，斜边的长为， ， ， 、是“差根方程”的两个实数根， ， ， ， ， ， ， 、是三角形的边长，均为正数， ， 方程二次项系数为1， 所求差根方程为． 15．我们把根均为整数的一元二次方程称为“全整根方程”．对于“全整根方程”，设其两根为，定义有序数对为该方程的特征数对（其中）．若两个“全整根方程”的特征数对分别为，则称这两个方程互为“关联全整根方程”． 举例说明：方程①：，特征数对； 方程②：，特征数对； 验证：因为，因此这两个方程是互为“关联全整根方程”．解答下列问题： (1)已知关于的方程（为整数）是“全整根方程”．若其特征数对为，求的值； (2)某同学利用工具生成了“全整根方程”A：与“全整根方程”，且它们互为“关联全整根方程”，求一个满足条件的的值． 【答案】(1) (2) 满足条件的一个的值为（答案不唯一，也符合要求） 【分析】 （1）先对原方程因式分解得到两根，再根据特征数对的定义列出关于的方程组，求解得到符合条件的； （2）先求出方程的特征数对，再根据“关联全整根方程”的定义得到与的关系，结合方程是全整根方程的条件，找出满足所有要求的即可. 【详解】（1）解：， ， 解得方程的两个根为和， 特征数对为， ， 由得， 当时，，符合条件， 当时，，舍去， 故； （2）解：对方程：， ， 解得方程的两根为和， ∴方程的特征数对：，， 对于方程：， 由根与系数的关系得，， ，， ∴， ∵两个方程互为“关联全整根方程”， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 设方程两根为（为正整数），则，， 代入得， ∴， 将分解为两个大于1的正整数乘积，得： ， ∴或； ∴一个满足条件的为或12. 16．规定：两个含有二次根式的代数式，，满足，且a，b，c，d，m，n，p是有理数，则称与是关于p的“和谐二次根式”．如，则称与是关于5的“和谐二次根式”． (1)下面两个含有二次根式的代数式是关于9的“和谐二次根式”的是________________（填序号）； ①与；②与；③与． (2)若与是关于12的“和谐二次根式”，求t的值； (3)若两个含有二次根式的代数式与是关于7的“和谐二次根式”，试判断与能否是关于x的一元二次方程的两个根，并说明理由． 【答案】(1)①③ (2) (3)能，理由如下： 由“和谐二次根式”的定义得， 整理得， 由题意得， 解得， ∴， 对于方程， ∴，，即， 符合根的判别式的要求； 当时，方程为， ∴， ∴关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根， 也符合根的判别式的要求； ∴与是关于x的一元二次方程的两个根． 【分析】（1）根据定义，两个代数式乘积需等于9，据此分别计算即可判断； （2）根据定义，整理得到，则，求得； （3）根据定义，整理得到，求得，得到，再利用一元二次方程根与系数的关系和根的判别式判断即可． 【详解】（1）解：①，符合题意； ②，不符合题意； ③，符合题意； （2）解：由定义得：， 整理得：， 由题意得， 解得； （3）解：略 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 拓展02一元二次方程常考综合问题 攻 重难目标 1.熟练选择合适方法解一元二次方程，能结合判别式判断方程根的情况，掌握含参数方程的分析思路。 2.灵活运用根与系数的关系，处理代数式求值、参数求解等综合题型，注意检验根的实际意义。 3.能够建立一元二次方程模型解决实际问题，准确提取题干等量关系，对结果进行合理性取舍。 4.掌握一元二次方程与几何相结合的综合题型，结合图形条件列方程求解，规范解题推理步骤。 重难知识 1.一元二次方程解法的应用： 核心模型：根据方程系数的特征，选择最优解法。 详细知识点与选择逻辑： 直接开平方法（模型：x=p或(ax+bP=p 适用特征：方程缺一次项(b=0)，,或者左边是完全平方式、右边是常数。 易错点：开方时务必带上“士”，即X=±√p(注意p≥0)。 因式分解法（模型：A·B=0) 适用特征：方程右边为0，左边易于十字相乘或提公因式。 核心原理：降次思想（将二次转化为两个一次）。 特别提醒：严禁约分！例如x=3x,不能两边同时约去X(会丢根X=0),必须移项为x(X-3)=0。 配方法（模型：x2+px+q=0) 适用特征：二次项系数为1，一次项系数为偶数（便于配方)。 核心操作：移项后，两边同时加上“一次项系数一半的平方”，即X+px+(了=（号}-q。 公式法（万能法，模型：ax2+bx+c=0) 适用特征：系数复杂、含字母参数、或无法因式分解时。 核心前提：必须先算判别式△=b2-4ac。若△<0，方程无实数根，直接停止求解，无需代入求根公式 2.一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理模型）： 核心模型：若方程aX+bx+c=0(a≠0)的两根为x1,X则： 1/23 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 1+x2三名，x6= (使用时必须先验证△≥0) 详细衍生变形（高频考点)： 平方和：X+X=(x+x}-2x1x 倒数和：1+1=X+x2 X1 X2 X1X2 差的绝对值（距离）：x1-x2=(x1+x2P-4x1x2 ☑ (常用于求弦长或线段长度) a 构造方程：已知两数和为m,积为n,则构造方程为x2-mx+n=0。 3.增长率与几何问题（双基模型)： 增长率（降低率）模型： 核心模型：a1士x”=b（a为初始量，x为变化率，n为变化次数·b为终止量）。 拓展子模型一一累计型：如“某厂一、二、三月份总产值为500万”，列式为 a+a(1+x)+a1+x2=5009 易错点：基期量判断。若说“2025年比2024年增长”，基期是2024年；若问“2025年是2024年的多 少倍”，直接用除法。变化率不能为负，且增长问题中解出的负根要舍去。 几何面积与动点模型： 核心模型：利用勾股定理或面积公式构造二次方程。 边框/道路问题：常用“平移法”将小路平移到边缘，转化为整块矩形面积。如矩形长Q、宽b,修宽 为x的横竖两条路，剩余面积=(a-x)b-x)。 动点问题（重点）： 模型：设运动时间为t,用含t的式子表示出动点的线段长度（注意速度方向）。 核心关系：若动点构成直角三角形，用勾股定理列方程：若构成面积，用底乘高的一半列方程。 易错点：双解检验一一求出t后，必须检查此时点是否仍在规定的线段上运动（即是否超过总路程）。 4营销问题与一次函数（利润峰值模型）： 核心模型：总利润=（售价-进价）×销量。关键在于建立“销量”关于“价格变动”的一次函数。 详细建模步骤（必考题型）： 2/23 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 设元：设涨价（或降价）为X元（注意：X是变动量，不是最终售价）。 写单利：单件利润=原售价+涨价·进价（降价则减）。 写销量（一次函数）： 若“每涨价1元，少卖10件”，则销量=原销量-10x。 若“每降价1元，多卖20件”，则销量=原销量+20x。 列方程：（单利）×（销量）=总利润。 易错点：题目若限定“尽快清仓”或“扩大销售量”，则必须在解出的两个X中，选择降价更多（或 涨价更少)的那一个，以满足题意。 5.画图规范易错点： 核心模型：用代数式表示十进制的数位权重。 详细拆解： 基本表示法：一个两位数，十位数字为a,个位数字为b,则这个数=10a+b(注意：不是a×b)。 常见等量关系： 数字对调（如原数10a+b,对调后10b+a)。 数位新加（如在两位数中间插入一个数字c,变成三位数100a+10c+b)。 隐含条件（极易漏掉）：数位上的数字只能是09的整数，且最高位不能为0。求出X后，必须检 验它是否为整数且在09范围内，否则舍去。 6.工程问题（单位“1”模型）： 核心模型：工作总量=工作效率×工作时间。总量不具体给出时，默认整体为“1”。 详细分类与列法： 合作完成型：甲单独做m天完成，乙单独做n天完成。甲乙合作x天完成，列式： x1+1)=1 ^m n 分段完成型（高频）：甲先做Q天，然后甲乙合作b天完成。列式： +b(1+1)=1。 m m n 易错点：工作效率是分数，不要写成整数。如果题目给的是“甲队独做所需时间是乙队的k倍”，要 和 设乙的时间为七，则甲的时间为灶，效奉分别为证 1 7.行程问题（路程模型与相对运动）： 核心模型：路程=速度×时间。关键在于画线段图分析路程和或路程差。 3/23 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 详细分类： 相遇与追及： 相遇（相向而行）：S甲+Sz=S总。 追及（同向而行）：S快~S馒=S初始距离（如跑道环形追及，则差为跑道一圈长度)。 航行/风问题： 顺水速度=静水速度+水速； 逆水速度=静水速度-水速。 核心等量关系：常以“往返时间相同”或“路程相等”列方程，例如顺水航行A到B的时间=逆水 航行B到A的时间+停留时间。 复杂接送/掉头问题： 此类题目需利用“时间相等”作为隐性等量关系，分别用含x的式子表示人与车的运动时间，构造方 程。 易错点：单位统一（千米/小时对应小时，米/秒对应秒）：航行问题中若未说明，默认水速恒定。 斩 重难题型 题型01一元二次方程解法的应用 【典例】如果方程x+px+q=0满足两个实数解都为整数解，我们就称所有这样的一元二次方程为同族方 程，并规定G=卫， 例如x2-7x+12=0有整数解3和4，所以x2-7x+12=0属于同族方程，所以 G=749. 1212 (1)以下一元二次方程中是同族方程的是 (填写序号) ①x-5x+6=0:②x2-3x+1=0:③2x2-3x-2=0:④x2-4x+4=0. (2)如果同族方程x+px+q=0中有两个相等的解，我们称这个方程为同族方程中的完美方程，求证：对任 意一个完美方程，总有G=4; (3倒关于x的一元二次方程kX2-k-3X-3=0属于同族方程，求正整数k的值. 【变式】【阅读理解】把代数式通过配凑等手段，得到完全平方式，再运用完全平方式的非负性增加问题 4/23 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 的条件，这种解题方法叫作配方法.配方法不仅在代数式求值、解方程、求最值问题等有着广泛的应用， 也在几何、经济等领域常用来分析最值，求解未知量， 应用一 应用二 用配方法求代数式2x+12x+22的最小值. 解：2x2+12x+22 用配方法分解因式：a+6a+8. 解：a+6a+8 =2x2+6x+9+2 =a2+6a+9-1 =2(x+32+4 =(a+3}2-1 .(x+32≥0 =a+3-1川a+3+1 =a+2a+4. ∴.2(x+32+4≥4 .2x2+12x+22的最小值为4 请根据上述阅读材料，解决下列问题： (1)因式分解：a2-4a-12=_: (2)若M=2x2-8x,运用配方法可求出M的最小值为 (3)如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=8,AC=6,点D为AB边上一点（不与点A、点B重合）， 连接CD,以CD为边在CD上方构造正方形CDFE,连接BF.则△BDF面积的最大值为 E B 题型02一元二次方程的根与系数的关系 【典例】若X,X,是一元二次方程aX2+bx+c=0la≠0的两根，则有X,+X,=-2,XX,=9,由上式可 q 知，一元二次方程的两根和、两根积是由方程的系数确定的，我们把这个关系称为一元二次方程根与系数 的关系. (已知关于x的一元二次方程X-2k-1x+k2-1=0的两个不相等的实数根分别为x'X,'且满足： 5/23 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 x+x=XX,'求k的值： 2若a'B是方程X-x-1=0的两根，记S1=a+B:S,=a2+B2,…,S=+g ①当n为不小于3的整数时，证明：Sn-2+Sn-1=Sn: ②计算S2,S的值， 【变式】关于x的一元二次方程ax2+a-2x-2=0①（a为常数，且a≠0)的两个根分别为x'X:且 x1<0,x2>0. (1)求证：无论a取何值，-1是方程①的一个根. 回0>1时，求之+六的汉位包 (3)若关于x的一元二次方程aX2+1a-2x-2=a.4a+ca为常数，且a≠0)的一个根比方程①的根x,大 a,求c的最大值. 题型03增长率与几何问题 【典例】项目背景：人工智能的发展为人们的生活与学习带来了诸多便利，初中生也能借助人工智能提升 学习效率.为此，综合实践小组的同学们围绕“依托人工智能平台的自主高效学习”开展了项目学习活动， 形成了如下活动报告. 项目主题 依托人工智能平台的自主高效学习 活动内容 选择人工智能平台，开展以问题驱动为核心的高效学习 小组成员搜集到如下资料：学习所使用的智能平台所属公司 是一家专注人工智能领域的科技公司，该公司致力于开发先 活动1：选 进的大语言模型和生成式AI技术，平台一经发布，便占据各 择人工智能 大手机下载市场下载榜首位.据统计，该平台首日在某下载 平台 活动过程 市场的下载量为100万次，第二天、第三天的下载量连续增 长，第三天的下载量为144万次. 向平台提出的首个问题：如图，把一根长度为32Cm的铁丝剪 活动2：向 成两段，并以每一段铁丝的长度为周长各做成一个正方形， 人工智能平 则这两个正方形的面积之和能否等于30cm2? 6/23 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 台提出问题 平台回复的结果：…… 交流展示 请根据以上的活动报告，解答下列问题： (1)求所使用平台刚发布后的前三天下载量的日平均增长率： (2)请猜想人工智能平台回复的结果是“能”还是“不能”，并说明理由. 【变式】某市是全国旅游胜地，2020年受新冠疫情的影响，外来游客在逐年下降.某景区外来游客人数从 2019年的2.25万下降到2021年的1.44万. (1)求2019年到2021年该景区外来游客人数平均每年降低的百分率； (2)在该景区需要建造篱笆花圃，如图，用长为34米的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为20米）， 围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃，为了方便出入，在建造篱笆花圃时，在BC上用其他材料做了宽为1 米的两扇小门（如图）， ①设花圃垂直于墙的边AB长为x米，则BC= (用含x的代数式表示)； ②当AB为多少米时，所围成花圃面积为105平方米？ ③当AB= 米时，花圃的面积达到最大，最大为平方米 题型04营销问题与一次函数 【典例】问题情境： 八年级(1)班的同学，对石家庄梨膏糖食品厂出产的“梨膏糖”每日生产和销售的情况进行了信息整理， 结果如下： 信息1：这款“梨膏糖”日产量x(千克)的范围是30≤X≤120， 信息2：这款“梨膏糖”每千克的生产成本y1(元)与日产量x(千克)之间关系如下表所示. 7/23 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 1 信息3：这款“梨膏糖”每千克的售价y2（元)与日产量x(千克)之间的关系式为：y2=-x+90 3 日产量x(千克) 30 60 90 120 每千克的生产成本y1 55 50 45 40 (元) 问题解决： (1)根据表格信息，这款“梨膏糖”每千克生产成本y1是x的一次函数，求此函数关系式： (2)求这款“梨膏糖”每千克的售价y2的最大值是多少元： (3)若该厂每日生产的“梨膏糖”当天会全部售完. ①该厂计划将某日这款“梨膏糖”的销售利润定为1200元，如果你是生产部经理，当日该产品的日产量 应该定为多少比较合理？为什么？ ②该厂计划将某日这款“梨膏糖”的销售利润定为1500元，能否实现？请通过计算说明理由. 【变式】综合与实践 【项目背景】： 学校项目式学习小组针对我市文旅产品“佛宝宝”的销售获利情况开展项目式学习活动，请你与他们共同 完成该项目任务. 【驱动问题】： 数学来源于生活，也服务于生活，请你运用所学数学知识帮助销售店老板决策。 【分步探究】： 任务一：市场调查 某文创店以5元/个的成本购入“佛宝宝”钥匙扣.项目式小组同学帮老板调查了近5天该钥匙扣的售价 与日销售量情况，记录如下： 时间 星期一 星期二 星期三 星期四 星期五 售价 20 30 18 22 26 x/(元/个) 日销售量y 50 30 54 46 38 (个) (1)建立 建立平面直角坐标系，横轴表示售价x(单位：元/个)，纵轴表示日销售量y(单位：个)，将整理好的 8/23 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 数据在平面直角坐标系中描出， y(个)A 60 05 0 3 30 6 10 5 0510152025303540(元/个) (2)观察各点的分布规律，请你建立适当的函数模型刻画它们之间的函数关系式（不需要写出自变量的取值 范围)· 任务三：问题解决 (3)若老板希望每天获得的利润为288元，且尽可能让利于顾客，求每个钥匙扣的售价应定为多少元？ 题型05数字问题探索 【典例】我国古代数学的许多发现都曾位居世界前列，“杨辉三角”便是其中一例.下面是某学习小组开 展《探寻杨辉三角的奥秘》主题学习活动的过程，请仔细阅读并解决问题 活动一：初识“杨辉三角”如图，图1是“杨辉三角”数阵，其规律是：从第三行起，每行两端的数都是 “1”,其余各数都等于该数“两肩”上的数之和. 1 11 第1行 10☑1 第2行 1111 第3行 1000☑1 第4行 11 1100/1 第5行 1071 1☑1g10☑1 第6行1 111111 1111 图1 图2 图3 (1)根据以上规律，如图1，第6行中a= b= 活动二：初探“杨辉三角”从第二行起，每行第二个数恰好构成正整数数列：而从第三行起，每行第三个 效胸成如下数列，13.6,0.”，其中第行第三个数1=3-13-2.第4行筑三个数3=4-1川4-2 第5行第三个数6=5-15-2， 2 9/23 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (2)第8行第三个数为 第n行第三个数为 (3)若第n行第三个数为36，则n的值为 活动三：再探“杨辉三角”若将“杨辉三角”数阵中所有的奇数记为“1”，所有的偶数记为“0”，则前 4行如图2，前8行如图3. (4)前16行中奇数的个数为 【变式】如图，这是一张2026年1月的月历表.在此月历表上可以用一个正方形框任意圈出4个数（如 2,3,9,10). 2026年1月 一二三四五六日 1234 567891011 12131415161718 19202122232425 262728293031 (1)若圈出的4个数中最小的数为x,则最大的数为 (用含X的代数式表示) (2)若圈出的4个数中最大的数与最小的数的乘积为105，求这4个数中最小的数， (3)方框中最大的数与最小的数的乘积与这四个数的和能为269吗？若能，请直接写出最小的数；若不能， 请说明理由 题型06工程问题 【典例】“万里无云镜九州，最团圆夜是中秋.”临近中秋节，某月饼厂接到一笔3200盒月饼的订单，现 决定由甲、乙两组共同完成，已知两组同时开工，甲组加工10天，乙组加工8天就能完成这笔订单，且甲 组3天加工的月饼数量比乙组2天加工的月饼数量多300盒， (1)求甲、乙两组平均每天各能加工多少盒月饼： (2)甲、乙两组同时开工2天后，这笔订单临时又增加了500盒月饼，甲组从第3天起提高了工作效率，而 乙组的工作效率不变，并提前完成了这笔订单.经调研发现，若甲组平均每天每多加工100盒月饼，则甲、 乙两组就各自都提前1天完成任务，己知甲、乙两组加工的天数均为整数，则甲组提高工作效率后，甲、 乙两组都提前多少天完成了这笔订单？ 【变式】阅读下面材料： 一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫等差数 列，这个常数叫做等差数列的公差，它通常用字母表示，我们可以用公式S=na+n?-1×d来计算等 2 差数列的和，（公式中的n表示数的个数，a表示第一个数的值，） 10/23 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 10(10-1) 例如：3+5+7+9+11+13+15+17+19+21=10×3+ ×2=120. 用上面的知识解决下列问题. (1)计算：2+8+14+20+26+32+38+44+50+56+62+68+74+80+86+92+98+104+110+116 (2)某县决定对坡荒地进行退耕还林.从2009年起在坡荒地上植树造林，以后每年植树后坡荒地的实际 面积按一定规律减少，下表为2009、2010、2011、2012四年的坡荒地面积的统计数据.问到哪一年，可 以将全县所有坡荒地全部种上树木， 2009年 2010年 2011年 2012年 植树后坡荒地的实际面积（公顷） 25200 24000 22400 20400 题型07行程问题 【典例】如图，某海军基地位于A处，在其正南方向20海里处有一重要目标B,在B的正西方向20海里处 有一重要目标C,小岛D位于AC的中点，岛上有一补给码头；一艘军舰从A出发，经B到C匀速直线巡航. D (国为提前完成第一次巡航任务，军舰调整速度为原来的1,5倍，结果提前h到达目标C处，求军舰原来的 速度是多少？ (2)在第二次军舰巡航时，一艘补给船同时从D出发，沿南偏东方向匀速直线航行，欲将一批物品送达军舰。 已知军舰航行的总路程是补给船的3倍，军舰在由B到C的途中与补给船相遇于E处，那么相遇时补给船航 行了多少海里？ 【变式】某市区东西走向的青年路与南北走向的江阴路相交于0处，·甲沿着青年路以4/s的速度由西 向东走，乙沿着江阴路以3m/s的速度由南向北走.当乙走到0点以北50m处时，甲恰好到点0处.若两 人继续向前行走，求两个人相距85m时各自的位置. 11/23 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 练 分层训练 【巩固训练】 1.已知关于x的方程1-2k)X-2k+1X-1=0有实数根，则k的取值范围是（） A.-1≤k≤2 B.k2-1且k≠1 c-1sk2k号 D.k≥2 2.若直角三角形的两边长是方程x-14x+48=0的实根，则该直角三角形的面积是() A.18 B.24或6V7 C.32 D.18或36 3.使得X-3x+3 x+1 的值为整数的无理数x的个数为() A.0个 B.1个 C.2个 D.4个 若关于x的一元次方程X+4XQ=0有两个不相等的实数根，且夫于y的分式方程化品 2 的解为负整数，则所有满足条件的整数α的值之和是() A.-15 B.-13 c.-7 D.-5 5.已知关于x的方程x2-a+bx+ab-1=0'X'x,是此方程的两个实数根，给出四个结论：Dx≠x ②xX,<ab:®X+X<a2+b2:@若x,<x,且a<b则x1-ax,-b<0则正确结论的序号是（） A.①②③ B.①②④ C.②③④ D.①②③④ 6.定义新运算：a☆b=3a2-2ab-b2,例如：2☆6=3×2-2×2×6-6=-48，则关于x的方程2x☆ 3=3K2(k是任意实数)的根的情况是() A.有两个相等的实数根 B.没有实数根 C.只有一个实数根 D.有两个不相等的实数根 7.小若在学完2.3《一元二次方程根与系数的关系》后对一元二次方程进行了新的探究，如图所示.如果 X'X'x是一元三次方程aX2+bX+cx+d=0a0的三个根，请你类比小若的方法探究一元三次方程 根与系数的关系 12123 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 一元二次方程根与系数的探究 因为X1,X2是方程的根，根据方程根的定义 得到ax2+bx+c=a(x-x(x-x 展开右边得到aX2+bx+c=ax2-a(x1+为)x+axX 因为原式为恒等式，所以等式左右两边完全相同 对比后得bx=-a(X1+X2)X,c=aX1x2 整理后得到+比，=为，X,飞=S a 则x1x2X 用系数可以表示为() 4.6 8、b c.d D.、d a 8.已知a'B是方程X+2024x+1=0的两个根，则1+2026a+a211+2026B+g21的值为(） A.1 B.2 C.3 D.4 9.关于x的一元二次方程aX2+bx十c=01a≠0：有下列四个结论：①若x=c是该方程的一个根，则一定 有ac+b+1=0成立；②若a+c=b,则方程ax2+bx+c=0有一根为x=-1;③若该方程的解为x=2和 X-宁则方c2-bx+u=0的解是x=3减x分：国当a<0,b+c>0,b-e<0时，方起定有实爱根 其中，正确的有() A.①②③④ B.②③④ C.②③ D.②④ 10.如图，在平面直角坐标系xOy中，正方形OABC的顶点A,C分别在x,y轴上，顶点B的坐标为4,4， 点D的坐标为O,5,E是边AB上的动点（不与点A,B重合），直线DE与边BC交于点F,给出下面四个 结论： ①△COF与△AOE的面积可能相等； ②△EOF与△EBF的面积可能相等： ③当点E的纵坐标为3时，△OFE是直角三角形： ④当△EOF是等腰三角形时，△EBF一定是等腰直角三角形， 13123 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 y B E A 上述结论中，所有正确结论的序号是（) A.①③ B.①④ C.②③ D.②④ 1.已知a,6是一元二次方程X+2X-1=0的两根，则30-2b+2的值是 Q 12.如图，将边长为6的正方形ABCD沿其对角线AC剪开，再把△ABC沿着AD方向平移，得到 △ABC,当两个三角形重叠部分的图形面积为9时，它移动的距离AA等于一 D B' 13.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=6cm,AC=8Cm,点P从点C开始沿射线CA方向以 1cm/s的速度运动；同时点Q也从点C开始沿射线CB方向以3cms的速度运动. 秒后以A、B、P、 Q为顶点的四边形的面积为20cm. 14,在综合实践活动课上，小磊同学经过思考将宽为aCm的矩形卡纸剪成如图1所示的四块图形，若用这 四块图形恰好能够拼成如图2所示的正方形，且正方形的边长比矩形的宽多1，则该矩形卡纸的宽a= cm. 14123 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ① ① ② ② ② ① ① ② 图1 图2 15,如图，点E、F分别在菱形ABCD的边AD、CD上，△EFD为等边三角形，G是BE的中点，延长 AG交BC于点H,已知AB=6,四边形GHCF的面积是△ABG的面积的2倍，则ED的长为 G B 16.如图，正方形ABCD的边长为2，A为坐标原点，AB和AD分别在x轴、y轴上，点E是BC边的中点， 过点A的直线y=kx交线段CD(不经过C,D两点)于点F,连接EF,若AF平分∠DFE,则k的值为 17.数学活动课上，聪明的小颖和小亮在讨论张老师出示的一道代数式求值问题：己知实数，b同时满 足a+2a=b+2,b+2b=a+2,求代数式a+b2-ab的值. 哈哈！a=b,结果为2 (a,b不一定相等哦 小颖 小亮 结合他们的对话，请解答下列问题： (1)当a=b时，a的值是 15123 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (2)当a≠b时，代数式a2+b2-ab的值是 18.已知整式A=a,X+a,1X1++a,X2+a,X2+a,X+a,其中a,+a+a2++a,=m 0≤a<a1<a2<.<an-1<an且ao,a1,a2,a3,…,an均为整数，n为正整数.若n=1,m=3,则满足条 件的整式A共有 个：若n=2,m=16,且当x为任意实数时，整式A的值都是正数，则满足条 件的整式A共有 个 19.已知关于x的一元二次方程x2+ax+b=0有两个实数根，且均在区间0,2内，2a+b的取值范围是 20.已知y≠1，且3x2+2021x+6=0,6y2+2021y+3=0,则之= X 21.阅读材料：如果a,b是一元二次方程x2+x-1=0的两个实数根，则有a2+a-1=0,b2+b-1=0.创 新应用：如果m,n是两个不相等的实数，且满足m-m=3,n-n=3,那么代数式 2n2-mn+2m+2015= 22.新定义：关于x的一元二次方程a,x-hP+k=0与a,x-h2+k=0称为“同族二次方程”.如 2x-3}+2=0与3x-3}+2=0是“同族二次方程”.现有关于x的一元二次方程2x-1+1=0与 a+2X+b-4x+8=0是“同族二次方程”，那么代数式。-b的值是 23.如图，直线y=3x+8与x轴、y轴分别交于点B和点A,点C是线段OA上的一点，若将△ABC沿BC 折叠，点A恰好落在x轴上的A处，若P是y轴负半轴上一动点，且△BCP是以BC为腰的等腰三角形，则 P的坐标为 O A 24.如图，在平行四边形ABCD中，E为BC上一点，CF⊥AD于点F,连接EF,将△ECF沿EF折叠 得到△ECF,EC交AD于点M,连接AC,若CE=5,DF=2,AB=V13,BC=8,则点A到直线 16123 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 FC的距离为 B 25.如图，在矩形ABCD中，AB=4,BC=8,点E是线段BC上一点，作点B关于AE的对称点B,连结 AB,EB,过点D作DF‖EB交射线EC于点F. B 备用图 (1)当点F在点C左侧时. ①求证：∠DAB=∠FDC. ②若BE=2FC,求△DCF的周长. (2)取DF的中点H,连结BH,当BH与△ABE的某一边平行时，求CE的长度. 26.如图：在直角坐标系中，长方形OABC中，OA=10,OC=5,点D从点C出发，沿射线CO方向以每 秒2个单位长的速度移动，点E从点O出发，沿射线OA方向以每秒1个单位长的速度运动，设点E的运动时 间为t秒. 4 图1 备用图 (1)如图1，当t为何值时，△CDE的面积为1： (2)当CE是∠OEB的角平分线时，求出此时点E的坐标： (3)当t为何值时，△CDE是等腰三角形？ 27.芯片是我国“十五五”核心攻关项目，MOS场效应晶体管(MOS管)是基本单元.MOS管饱和区 工作电流1（单位：A)由栅源电压U（单位：V)调节控制，满足公式：I=kU-b,其中k和b为常数， 17/23 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 U≥0.已知某5型MOS管满足I1=U1-2,某R型MOS管满足I2=U2-1P. 4 (1)当U1=3V时，I1=A,当2=4A时，U2=V. (2)只要控制MOS管电流相同，不同型号的MOS管就可以串联一起同时在饱和区工作，现将该S和R两型 号MOS管串联在饱和区工作，若两款MOS管的安全电压都为2~20V, ①将S型MOS管U1调整为10V,通过计算判断该R型MOS管是否安全工作： ②在两款MOS管都正常串联在饱和区工作的前提下，判断U1和U2的关系，并说明理由. 28.在平面直角坐标系中，过一点分别作两坐标轴的垂线，若与坐标轴围成的矩形的周长与面积相等，则 这个矩形叫作等积等周矩形，这个点叫做等积等周点.例如，如图1，过点P-3,-6分别作x轴，y轴的 垂线，垂足是A,B,矩形OAPB的周长与它的面积相等，则矩形OAPB是等积等周矩形，点P是等积等周 点 6 7 6 5 3 2 1 -2-10 12345就 B -6 图1 图2 (1)点1,2是不是等积等周点，为什么？ (2)若Pm,m+3是等积等周点，其中m>0,过点Tt,0作x轴的垂线1，点P到直线1的距离与它到x轴 的距离和为y. ①求y关于t的解析式，并在图2中画出它的图象； ②M1,y,和Na+2a+4,y,是图象上的两个点，若在MN两点之间函数的最大值与最小值的差为 3,求a的值， 29.新定义：如果两个实数m,n使得关于x的分式方程”m+1=n的解是x=1 m+n 那么我们就把实数m, n组成的数对m,n称为关于x的分式方程m+1=n的一个“友好数对”. X 18123 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 例如：m=3,n=-5使得关于X的分式方程3+1=-5的解是x 11 3+-52成立，所以数对3，-5就是关 于x的分式方程m+1=n的一个“友好数对” X 1判断下列数对是否为关于x的分式方程m+1=n的“友好数对”，若是，请在括号内打“√”.若不是， 打“×” ①l-1,2():②2，-5()；③3,0()： (2)若数对k2-2,-k2是关于x的分式方程”+1=n的“友好数对”，求k的值： (3)若数对p-q,q(p≠-1且p≠0，q≠1)是关于x的分式方程m+1=n的“友好数对”，且关于x的方程 X 9x-p+1=22 x有整数解，求整数p的值。 p+1 【强化训练】 1.已知关于x的一元二次方程ax2+bx+1=0的两根之差为2，则代数式12a-b的最大值为() A.-8 B.-2 C.4 D.10 2.设二次方程X+2px+2q=0有实数根，其中p、q都是素数，那么它的根一定是() A.奇数 B.偶数 C.分数 D.无理数 3.若实数a,b,c满足。6-2abc+bc2=0且ab<0则-元二次方程aX+bx+c-a=0(a≠0]的两 个实数根X1,x2 满足的数量关系是() A.X1X2=0 B.X1=X2 C.X1=-X2 D.X1X2=-1 4.已知x≥0：则方程(2+x)1+(1+xP=22(1+x)的解集是 5.已知关于X的一元二次方程x+bx+c=0的两个不相等的实数根分别为Q,B:关于x的一元二次方程 X+cx+b=0的两个实数根分别为。a-1,B-1则下列方程中，其两实数根分别为a+1,B+1的是（） A.x2-5X-3=0 B.x2-5X+3=0 C.x2+5x-3=0 D.x+3X-5=0 19123 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 6.已知整式MX=a+a1x+…+aX+a,'其中。 k-1’…, ,为整数，k与a均为正整数，且 ara.<<a<ag'记w=a+la,++ak-+a小请选出正确的选项（） A.若W=g则满足条件的多项式M,X厂共有8个 B。当k=2026且w取最小值时，将全部符合条件的多项式Msx相.结果是单项式 C.M,x=0有两个实数根为x,X,:若X+X=1则w的最小值为8 D.以上选项均不正确 7.已知a、b为实数，关于x的方程x2+ax+b-16=0有且仅有三个不同的实数根.实数ab满足的关 系式为 8.设实数x不等于0和1和1”则y=-+1的取值范围是 X-x 9.已知m'n是方程x2-2026X+1=0的两个实数根，则nm2-2025m+2n2-2025n+2的值为 10.“积幻方”由传统的和幻方衍生而来，在3×3积幻方中，9个小方格中的正整数互不相等，且每行、 每列、每条对角线上的三个数的乘积相等.如图，已知一个“3×3积幻方”只呈现了4个小方格中的数， 则其中x的值是 x-14 x x+16 11.定义：如果一类关于x的一元二次方程aX+bx+c=0(a≠0)有两个实数根x'X'且满足x,-x上t 恒成立，这类方程叫做t的偏向方程.已知关于x的一元二次方程x+(m+n)x+mn+n-1=0有两个实数 根x'X,'且对于任意的实数m,都满足3的偏向方程，则的取值范围是 20123 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 12.在平面直角坐标系xOy中，已知矩形OABC,其中点A(5,0,B(5,4),C(0,4).给出如下定义：若 点P关于直线l:x=t的对称点P在矩形OABC的内部或边上，则称点P为矩形OABC关于直线l的“关联 点”. 5 4 C C B E 3 '2/ D A 2-10 1234567x 6543210123456 1 ·P4 x=3 2 x=-1 图1 图2 許 SA B B P● 3 2/ 2 1 A A 43-2-0123456 43-2-10123456 1 -2 2 x=-1 图3 备用图 例如，图1中的点D,点E都是矩形OABC关于直线l:x=3的“关联点”. (1)在点P(-2,1),P2-3,3,P3(2,2),P4-4,-2)中，是矩形0ABC关于直线l:x=-1“关联点”的点 是 (2)如图3，点P(-3,3)是矩形OABC关于直线l:x=t的“关联点”，且△OAP是等腰三角形，求t的值. (3)若在直线y= x+b上存在点Q,使得点Q是矩形0ABC关于直线：x=1的“关联点”，请直接写出b 1 的取值范围， (4)若在直线y=-2x+6上存在点M,使得点M是矩形OABC关于直线l:X=t的“关联点”，请直接写出t 的取值范围。 13.在矩形纸片ABCD中，AB=5,BC=12,点E为BC边上一动点，将△ABE沿AE折叠，得到 △AEF,点B的对应点为F 21123 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 E ED 图1 图2 图3 (1)如图1，若点F恰好落在边AD上时，试判断四边形CDFE的形状，并说明理由： (2)如图2，若点F恰好落在对角线AC上时，求BE的长： (3)如图3，当点F落在矩形ABCD内部时，将△AEF展平后，过点F作AB的平行线，分别交AD、BC于 点M、N.作FG⊥AB,G为垂足，.问BE的长度为何值时，矩形纸片AGFM或矩形纸片GBNF的长宽 比为2：1. 14.已知关于x的一元二次方程。X2+bx+C=0有两个实数根x'X,:若满足x,-X=1:则此类方程叫做 “差根方程”.根据“差根方程”的定义，解决下列问题： (1)下列是“差根方程”的是：（填写序号) ①x-X=0;②x2-4x-5=0 (2)已知关于x的方程x+2ax=0是“差根方程”，求a的值. (3)已知△ABC是直角三角形，斜边BC的长为7，若△ABC的两边AB、AC的长是一个二次项系数为1 的“差根方程”的两个实数根，求出这个“差根方程”， 15.我们把根均为整数的一元二次方程称为“全整根方程”.对于“全整根方程”aX+bx+C=0la≠0 设其两根为x1、x'定义有序数对M5,p为该方程的特征数对（其中g=x+X,P=Xx）.若两个 “全整根方程”的特征数对分别为M,5,P,M,5,P,5+5,=P1P,则称这两个方程互为“关联 全整根方程”. 举例说明：方程①：X2-9x+20=0(X=4,X,=5特征数对M19,20 方程②：X-6x+5=0X=1,X,=5特征数对M,6,5 验证：因为9+6=20-5，因此这两个方程是互为“关联全整根方程”，解答下列问题： 已知关于x的方程X-k+2X+2k=0(k为整数)是“全整根方程”.若其特征数对为M3,2求k的 22123 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 值： 2某同学利用A工具生成了“全整根方程”A:X+mx+n=0m>0,0<n<25卢“全整根方程” B:x+11x+30=0,且它们互为“关联全整根方程”，求一个满足条件的n的值。 16.规定：两个含有二次根式的代数式a+m/6c+na:满足a+mbc+nR@=p'且a,b,c, d,m,,p是有理数，则称a+mb与c+nd是关于p的“和谐二次根式”.如(3+V2)(3-2)=5, 则称3+V2与3-/2，是关于5的“和谐二次根式”. (1)下面两个含有二次根式的代数式是关于9的“和谐二次根式”的是 (填序号)； ①3V3与V3:②/3与3：③V13+2与V13-2. (2)若35+t与3-V5是关于12的“和谐二次根式”，求t的值： (3)若两个含有二次根式的代数式3+2与。-2b是关于7的“和谐二次根式”，试判断x,=3+2与 X,=Q-2b能否是关于x的一元二次方程X-kx+k+1=0的两个根，并说明理由. 23123