专题18 二次函数与一元二次方程（重难点讲义）数学新教材北师大版九年级上册

本讲义聚焦二次函数与一元二次方程的核心关系，系统梳理二次函数图象与x轴交点的横坐标即方程根的本质联系，通过判别式对应交点个数，构建从基础关系到图象法求近似根的递进学习支架。 资料以数形结合思想为核心，通过表格对比、典型例题及分层题型设计，培养学生几何直观与推理意识，如列表逼近求近似根提升数学思维，综合题型发展应用意识。课中辅助教师高效授课，课后帮助学生查漏补缺，巩固知识。

函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题18 二次函数与一元二次方程 攻 重难目标 1.理解二次函数的图象与×轴交点的个数和一元二次方程根的个数之间的关系： 2.掌握利用二次函数的图像求一元二次方程近似根的方法， 3.体会方程与函数之间的联系，感悟数形结合的思想。 重难知识 1.二次函数与一元二次方程的核心关系☆核心考点： 关系的本质：二次函数y=ax+bx+c的图象与x轴交点的横坐标，就是一元二次方程 ax2+bx+c=0的根。 了理解关键：令二次函数y=ax2+bx+c中的y=0,就得到一元二次方程ax2+bx+c=0。因此， 求二次函数图象与x轴的交点，本质上就是解对应的一元二次方程。 判别式与交点个数的对应关系☆高频考点： 二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴 元二次方程ax2+bx+c=0的根 判别式△=b2-4ac 有两个交点 两个不相等的实数根 △>0 有一个交点（顶点在x轴上） 两个相等的实数根（重根） △=0 没有交点 没有实数根 △<0 △特别注意：当抛物线与x轴有一个交点时，对应的一元二次方程有两个相等的实数根（而不是“一 个根”)。 与y轴的交点：二次函数y=ax2+bx+c的图象与y轴的交点为(0，c)。 了对比记忆：与x轴的交点个数由△决定；与y轴的交点只有一个，由常数项c决定。 2.利用二次函数的图象求一元二次方程的近似根☆重难点： 基本方法一一图象法： 步骤 操作 ①画图象 画出二次函数y=ax2+bx+c的图象 ②找交点 观察图象与x轴的交点，确定根所在的大致范围 ③列表逼近 在交点附近取x的值，计算对应的y值，逐步缩小范围 ④确定近似根 当某个x值对应的y值最接近O时，该x值即为方程的近似根 典型例题（以x2+2x-10=0为例）： 1/22 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 步骤一：画出y=x2+2x-10的图象，观察图象可知方程有两个根，一个在*-5和-4之间*，另一个 在2和3之间。 步骤二：利用计算器列表逼近： x-4.1 -4.2 -4.3 -44 y-1.39 -0.76-0.110.56 当x=-4.3时，y=-0.11,最接近0，所以x≈-4.3是方程的一个近似根。 同理可得另一个根X≈2.3。 了关键技巧：选取近似根时，选择函数值最接近0的那个x值，而不是看符号变化。 其他转化方式： 求一元二次方程ax2+bx+c=m的近似根，可以： 转化为求抛物线y=ax+bx+c与直线y=m的交点的横坐标： 或转化为求抛物线y=ax+bx+c-m与x轴的交点的横坐标。 3.易错点总结： 易错点 说明与预防 ①混淆交点个数与根的个数 抛物线与x轴一个交点时，方程有两个相等的实数根，不是“一 个根” ②忽略a≠0 含参问题中，必须保证二次项系数不为0，否则不是二次函数 ③近似根选取不当 应选函数值最接近0的x值，而不是只看符号变化 ④忽视判别式的作用 不解方程，利用△可直接判断根的情况，是重要解题工具 ⑤混淆“与x轴交点”和“与y轴交 与x轴交点令y=0:与y轴交点令x=0,为(0，c)】 点” 斩 重难题型 题型01求抛物线与×轴的交点坐标 【典例】已知二次函数y=x2+bx+c的图象经过点A2,4,B0,-2. (1)求这个二次函数的表达式： (2)求这个函数图象与x轴的交点坐标. 【变式】如图，点A(-1,0为二次函数y=+b2的图象与辅的一个交点 2/22 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (1)求该二次函数的表达式： (2)将该二次函数图象沿x轴向右平移1个单位，请直接写出平移后的图象与x轴的交点坐标. 题型02求抛物线与y轴的交点坐标 【典例】如图，某建筑物的截面可以视作由两条线段AB,BC和一条曲线围成的封闭的平面图形.已知 AB⊥BC,曲线是以点D为顶点的抛物线的一部分，BC=6m,点D到BC、AB的距离分别为4m和2 m,则AB的长为 m. D BI C 【变式】如图，抛物线y=-x2+bx+c经过点A-1,0,B3,0,与y轴交于点C. B末 (1)求抛物线的表达式： (2)点D2,m是抛物线上一点，求△BCD的面积. 题型03已知二次函数的函数值求自变量的值 【典例】已知二次函数y=QX2+bx+c(a≠0图象上部分点的坐标(x,y)的对应值如表所示，则方程 ax2+bx+2=0的根是() 3/22 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 0 3 6 … 3 1 3 A.0或6 B.3或3+V3 C.2或4 D.3或6-V3 【变式】如图，二次函数y=-x+bx+c的图象与X轴交于点A、点B,与y轴交于点C,其中 A3,0,C0,3. (1)求二次函数的解析式： (2)若点P在二次函数图象上，且SAAOP=6,求点P的坐标； (3)若M是抛物线对称轴上一点，△ACM是等腰三角形，直接写出点M的坐标. 题型04抛物线与×轴的交点问题 【典例】二次函数y=-(X-h+k的图象与x轴交于点A-3,0:Bm,0且m>-3'h-k=-5 (1)求h,k的值. (2)当a-1≤x≤a+1时，函数值y都小于3，求a的取值范围. 【变式】二次函数y=QX+bx+ca≠0的图象如图所示，根据图象回答下列问题： (1)写出方程ax2+bx+c=0的根： (2)写出不等式ax+bx+c>0的解集； (3)若方程ax+bx+c=k有且只有一个实数根，写出k的值. 题型05图象法确定一元二次方程的近似根 4/22 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【典例】如表是二次函数y=ax2+bx-5的自变量x与函数值y的部分对应值，那么方程ax2+bx-5=0的 一个根的取值范围是( 1.1 1.2 1.3 1.4 0.49 0.04 0.59 1.16 A.1.1~1.2 B.1≈1.1 c.1.2~1.3 D.1.3~1.4 【变式】根据表中二次函数y=ax+bx+c的自变量x与函数值y的对应值，判断一元二次方程 aX2+bx+c=0的一个根x的取值范围是() 6.17 6.18 6.19 6.20 y -0.03 -0.01 0.02 0.04 A.6<x<6.17 B.6.17<x<6.18 c.6.18<x<6.19 D.6.19<x<7 题型06根据二次函数图象确定相应方程根的情况 【典例】已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，顶点坐标为-2,5，与x轴交于Am,0,B两点， 其中2<m<3.则下列结论： (-2,5)月 6 7-6-5-4-3-2 面b<02b+4a=0®a-b+3c>0@号<a<句方程aX+b+x+c+K0(k为常数)有实数根 ac 其中正确的个数有() A.4个 B.3个 C.2个 D.1个 【变式】抛物线 y=aX2+bx+ca≠0经过点A-2,0'B2,8'C4,0?直线y=mx+nm≠0经过点 5/22 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B,C,则： (1)该抛物线的对称轴为直线 (2)关于x的方程ax2+bx+c=8的解为： (3)关于x的不等式ax2+bx+c>mx+n的解为 (4)若关于x的方程ax2+bx+c+k=0在-1≤x≤5的范围内有两个不相等实数根，则k的取值范围是 题型07利用不等式求自变量或函数值的范围 【典例】在平面直角坐标系中，己知抛物线： y=x2-mx+m若Am-2,y,Bm,y2,Cm+4,y为 抛物线上三点，且y3>y1>y2.则m的取值范围是 【变式】已知，二次函数y=ax+bx+c(a,b,c是常数，a≠0)的y与x的部分对应值如表： … -1 3 0 3 (1)求二次函数的解析式. (2)当-1<x<2时，y的取值范围是_；当y≥0时，x的取值范围是. 题型08根据交点确定不等式的解集 【典例】如图，二次函数y=aX2+bx+cla≠0的图象与直线y=mx+nln≠0有两个交点，交点横坐标分 别为1、3，则关于x的不等式aX+b-mx+c-n≥0的解集为 【变式】二次函数y=QX+bx+ca≠0的图象如图所示，根据图象填空： 6/22 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 y (1)方程ax2+bx+c=0的两个根为 (2)不等式ax2+bx+c>0的解集为 (3y随x的增大而减小的自变量的取值范围为 (4)若方程ax+bx+c=k有实数根，则k的取值范围为 题型09线段周长问题（二次函数综合） 【典例】如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=-x2+bx+c经过点A4,0,B-1,0,交y轴于点C. VA (1)求抛物线的解析式： ②名将该地物战向右平形号个单位长度，再向下平移个单位长度，求平移后的解析式 3)若点D是线段AC上一动点，过点D作DE⊥x轴于点E,交抛物线于点F,求线段DF长度的最大值. 【变式】在平面直角坐标系x0y中，抛物线y=aX4ax+3ala>0与x轴交于A,B两点（点A在点B左 侧)，与v轴交于C.若点PX,y。为直线BC上的动点，过点P作PQ⊥X轴交抛物线于点O, (1)若a=1. ①求直线BC的表达式： ②若O<x,<3,直接写出线段PQ长度的最大值及此时的点P的坐标： (2)若m<X,<m+1,且线段PQ的长随着o的增大而增大，求m的取值范围. 题型10面积问题（二次函数综合） 7/22 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【典例】如图，抛物 y=aX2+bx+cla≠0与x轴相交于A-1,0l,B3,0?与y轴交于点C10,3 (1)求抛物线的解析式： (2)连接BC,点P为抛物线上第一象限内一动点，当△BCP面积最大时，求点P的坐标. 【变式】如图，二次函数y=ax2-4x+c的图象经过坐标原点，与x轴交于点A-4,0. (1)求二次函数的解析式： (2)求抛物线的顶点坐标； (3)在抛物线上存在点P,满足SAAOP=8,请直接写出点P的坐标. 题型11角度问题（二次函数综合） 【典例】如图，抛物线y=ax2+bx+6与x轴交于A-1,0,B3,0两点，与y轴交于点C B (1)求抛物线及直线BC的解析式： 8/22 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (2)直接写出抛物线的顶点坐标和对称轴 (3)若P为抛物线上一点，当∠CAB=∠ACP时，求点P的横坐标， 1 【变式】如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=- 2 x2+bx+c交x轴于A-2,0,B两点，交y轴于点 C0,41. A B x 备用图 (1)求该抛物线的表达式： (2)点P是直线BC上方该抛物线上的一动点，过点P作PD⊥BC于点D,过点P作PFy轴交BC于点E, 交x轴于点F.点G、H是y轴上两动点，点H在点G上方，且GH=1,连接BG,PH.当△PDE的周长 取得最大值时，求点P的坐标及BG-GH+PH的最小值： (3)在(2)的条件下，将该抛物线y沿射线DP方向平移5V2个单位长度得到新的抛物线y,M是新抛物线 对称轴上纵坐标为2的点，N是新抛物线y上一动点.若∠MEN=∠CMF 请直接写出所有符合条件 的点N的坐标，并写出求解点N的坐标的其中一种情况的过程. 题型12特殊三角形问题（二次函数综合） 【典例】二次函数y=ax+bx+c的图象的一部分如图所示.己知它的顶点M在第二象限，且经过点 A1,0和点B0,1. B (1)试求a,b所满足的关系式： 9/22 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 包设此二次函数的图象与x轴的另一个交点为C,当△AMC的面积为△ABC面积的？倍时，求a的值； (3)是否存在实数α，使得△ABC为直角三角形？若存在，请求出α的值：若不存在，请说明理由 【变式】如图，已知抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于点A1,0,B-3,0,与y轴交于点C0,-2,且直 线：x=-4. (1)求该抛物线的表达式： (2)若点Q在直线1上移动，在x轴下方的抛物线上，是否存在点P,使得△PAQ是以点P为直角顶点的等 腰直角三角形？若存在，求出点P的坐标：若不存在，请说明理由. 题型13特殊四边形（二次函数综合） 【典例】如图，抛物线、， y=ax2+2x+ca>0与y轴交于点C与x轴交于A'B两点，A点在B点的左侧. 若点E在X轴上，点P在抛物线上，且以A,C,E,P为顶点的四边形是平行四边形，则符合条件的点P 有() A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 【变式】如图，抛物线y=ax+bx+c的对称轴为：直线×= 4:图像与x轴、y轴分别交于点A、B、C, C0,1点p在直线BC下方的抛物线上. 10122 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 0 备用图 (1)求该抛物线的解析式： (2)过点P作PD‖x轴交直线BC于点D,作PE⊥PD交BC于点E,求PD+PE的最大值： (3)设点Q为直线BC上的点，以A、B、P、Q为顶点的四边形能否构成平行四边形？若能，求出点Q的坐 标；若不能，请说明理由 题型14相似三角形问题（二次函数综合） 1 【典例】如图，已知抛物线y=号x2+bx+c与x轴相交于A-6,0,B1,0,与y轴相交于点C,直线 2 1⊥AC,垂足为C. V (1)求该抛物线的表达式： (2)若直线1与该抛物线的另一个交点为D,求点D的坐标： (3)设动点Pm,n在该抛物线上，当∠PAC=45°时，求m的值. 【变式】如图①，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于A-1,0、B4,0两点，与y轴 交于点C(O,~2),点P在直线BC下方的抛物线上，过点P作PD⊥x轴于点D,交直线BC于点E,连接 AC、CP. 11/22 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (1)求抛物线的解析式： (2)连接BP,设四边形ABPC的面积为S,当S最大时，求点P的坐标及最大值： (3)如图②，过点P作PF⊥BC于点F,当以C、P、F为顶点的三角形与△AOC相似时，求点P的坐标. 练 分层训练 【巩固训练】 1.己知二次函 y=X2-2m+1x+m2(m是常数)，若自变量x取任意实数，函数值y始终为正数，则 m的取值范围是() A.m<- B.m>- C.m<-1 D.m>1 4 4 2.抛物 y=aX2+bx+cla>0:顶点纵坐标为.5若laX+bx+c=m有且只有两个不相等的实数根， 则m的取值范围是() A.0<m<5 B.m>5或m<0 c.m>5或m=0 D.m≥5或m=0 3.己知二次函 y=aX+bx-1的图象与x抽没有交点，且过点A-2,yB-3,y,C1,y, D3,yg则y1,y,y的大小关系是（) A.y2>y1>y3B.y3>y2>y1 C.y1>y3>y2 D.y1>y2>y3 4.在平面直角坐标系中，函数 y=X2+2xx≤0的图象为C,'C关于y轴对称的图象为C,:则直线 y=a (a为常数)与C1,C2的交点共有() A.2个 B.1个或2个 12122 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 C.0个或2个或3个或4个 D.无数个 5.已知抛物线y=ax-2x+1与x轴没有交点，将该抛物线向左平移3个单位长度，再向下平移5个单位 长度后，得到的抛物线的顶点一定在() A.第一象限B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 6.下面表格中的数据是二次函数y=ax+bx+c的几组对应值，根据表中的数据我们可以判断：当 aX2+bx+c>0时，自变量x的取值范围是() 0 1 2 3 0 -3 -4 -3 0 A.X>1 B.x<-1或x>3 C.x>5 D.-1<X<3 7.如图，若二次函 数y=aX2+bx+cla≠0的图象的对称轴为直线x=1?与y轴交于点C,与x轴交于点 A、点B-1,0,则：①二次函数的最大值为a+b+c;②a-b+c<0;③b2-4ac>0;④当y>0时， -1<x<3;其中正确的个数是() A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 8.已知抛物线y=0X+bx+ca≠0的对称轴是直线x=子与轴交于A-1,0。B两点，与y箱的交点 C在x轴下方，若OC>2OA,则该抛物线的表达式可以是 (写出一个即可) 9.如图，抛物线y=ax与直线y=bx+c的两个交点坐标分别为A-2,4,B1,1,则不等式ax≤bx+c 的解集是 13/22 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 10.如图，在平面直角坐标系中，抛物 y=x-h与x轴只有一个交点M,与平行于x轴的直线I交于 A、B两点.若AB=4,则点M到直线l的距离为 1.如图，已知二次函数y,= x2+2x的图象与正比例函数y,=x交于点A3,1,与x轴交于点B,当 2 y2>y1>O时，自变量x的取值范围是 12.已知二次函 y=aX+bx+ca≠0图象上的部分点的坐标X,y对应值列表如下： 1 则关于x的方程ax+bx+c=4的解为： 13.如图，二次函 y=x+22+m 的图像与y轴交于点C,点B在抛物线上，且与点C关于抛物线的对称 轴对称，一次函 y=+b的图像经过该二次函数图像上的点A-L,0及点B,则满足x+2P+m≥+b 的x的取值范围是 14.如图是二次函数y=ax2+bx+c的图象，若关于X的方程ax+bx+c=m总有一正一负两个实数根， 则m的取值范围是 14122 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 15.如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=-x+2x的顶点为A,在x轴下方作垂直于y轴的直线BC交 抛物线于点B、C,连接AB、AC,若点B到x轴的距离是点A到x轴距离的3倍，则△ABC的面积为 16.在平面直角坐标系中，抛物线y=ax+bx+c的开口向上，且经过点A0,2 y )c= (2)若此抛物线经过点B1,0,抛物线与x轴的另一个交点为C,当点C落在线段OB上，且最小值为-0.5时， 求函数解析式. (3)若a=1,当-1≤x≤1时，抛物线上的点到x轴距离的最大值为4，求b的值. 17.在平面直角坐标系中，设二次函数y,=x+ax-a+2其中a≠0 (1)若函数y1的图象经过点3,7，求函数y1的表达式； (2)若一次函数y2=ax+b的图象与y1的图象经过x轴上同一点，探究实数a,b满足的关系式： (3)已知点pX,m和Q12,n在函数y的图象上，若m>n求x,的取值范国。 15122 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 18.如图是一座古拱桥的截面图，拱桥桥洞的上沿是抛物线形状，水面的宽度为10m,桥洞与水面的最大 距离是5m,经过讨论，同学们得出三种建立平面直角坐标系的方案（如图）， m 10m 方案一 方案二 方案三 (1)你选择的方案是 (填“方案一”“方案二”或“方案三”)，则B点坐标是一 (2)求出你所选方案中的抛物线的解析式： (3)因降暴雨水位上升1m,此时水面宽为多少？ 19.如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=x2+bx+c的图象交x轴于A(-1,0,B(4,0)两点，与y轴 的交点为点C,点P是抛物线在第四象限内一点. B (1)求这个二次函数的表达式： (2)当∠P0C=45°时，求出点P的坐标； (3)设△PBC的面积为S,试求S的最大值以及此时点P的坐标. 20.如图，二次函数y=-x+bx+c的图像与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，点B的坐标为3,0， 点C的坐标为0,3，直线1经过B、C两点. (1)求该二次函数的表达式及其图像的顶点坐标： (2)点P在线段BC上运动（不与B、C重合），过点P作x轴的垂线与该二次函数的图像相交于点M,再过 16122 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 点M作y轴的垂线与该二次函数的图像相交于另一点N,当PM=二MN时，求点P的坐标： 21.如图，对称轴为直线X=-1的抛物线y=x+bx+c与X轴相交于A、B两点，其中点A的坐标为-3,0. (1)求抛物线的解析式： (2)C为抛物线与y轴的交点，若点P在抛物线上，且S△oc=4S△BOc,求点P的坐标. 22.【问题背景】重庆市将投掷实心球作为中考体育的必考项目，在离手高度和离手速度一定的情况下， 运动员可以通过调整实心球的离手角度，将实心球投掷得尽可能远 【收集素材】投掷实心球属于物理中的斜抛运动，它可以看作竖直方向的运动与水平方向的运动的合成， 忽略空气阻力，将实心球的离手速度分解到水平方向与竖直方向（如图1)，抛实心球向前运动的水平距 离x(单位：x米)、离开地面的高度y(单位：米)与时间t(单位：秒)满足关系式，其中g表示重力 加速度(g=10ms2,为常量).ho表示实心球离手时距离地面的高度！ 【建立模型】建立如图2所示的平面直角坐标系，实心球离手后的运动轨迹则可用函数图象来刻画。 离手角度 图1 图2 【问题解决】某学习小组安排了一名男同学，分别以30°、45°、60°为离手角度进行实心球投掷.考虑 到投掷者不变，故实心球离手时的离地高度、离手速度均视为不变量.通过查阅资料和初步计算，实心球 离手后，水平方向与竖直方向的运动可表示如下： 离手角度为30°时：： 离手角度为45°时：： 离手角度为60°时：. 17122 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 通过消元，离手角度为30时，y=5×_X-5× x3+2.1xX+5x+2即y可表示为关于x X+ 5V3 5V31015 3 10 的二次函数，将其命名为函数y1= x2+3x+17 1 -X+ 15 3 10 (1)任务一：请表示：离手角度为45时，y2关于x的函数表达式：；离手角度为60时，y3关于x的函数 表达式：一： (2)任务二：图3中是同一平面直角坐标系里，y1、y2、y3的图象，根据图象可以判断，在这三次投掷中， 离手角度为_时，扔出的实心球落地点距离最远，为最佳离手角度： 图3 (3)任务三：中考实心球项目中，男生投掷97米及以上的距离则能够获得满分.请通过计算说明，该学习 小组安排的这位男同学，以最佳离手角度投掷实心球时，能否获得满分？ 【强化训练】 1.已知抛物线y=ax+bx+c(a、b、C为常数，且a≠0)与X轴交于A-2,0,B两点，且点B在直线 y=-X+2的下方，则下列说法正确的是() A.抛物线的顶点不可能在第四象限 B.抛物线的开口一定向上 C.抛物线与直线y=-X+2一定有两个交点D.抛物线的对称轴可能在y轴右侧 2.说明：二次函数y=aX+bx+c,a≠0也可以由fx=ax2+bx+c,a≠0表示，例如：当x=2时 f2)=a×2+bx2+c已知二次函数fx=aX2+bx+c,a≠0与x轴有交点，且fx+f2x+1=0的根 与fx=0的根完全一致，则fx=0的根为() A.-1 B.2 C.-1或2 D.以上都不对 y=aX2+bx+ca≠0的图象与x轴交于点2,0顶点坐标为-1，nr其中 3.函 n<0· 以下结论正确的 个数是() 18122 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 ①abc>0:②点x,y"(x,y,在函数图象上，当x<0<x时，y,<y,:③-元二次方程 ax+bx+c=0必有一个解是-4；④3a+c<0. A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 4.如图是抛物线y=aX+bx+ca≠0~其顶点为1，m”且与x轴的一个交点在点3,0和4,0之间，则下 列结论正确的有() ①若抛物线与x轴的另一个交点为k,0,则-2<k<-1;②c-a=n;③若x<m时，y随x的增大而增大， 则m=1④若x<0时，ax2+b+2x<0: 1,n -2-1012345x x=1 A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 5.对称轴为直线x=1的抛物线y=ax+bx+c(a、b、c为常数，且a≠0)如图所示，小明同学得出了以 下结论：①abc<0,②b2>4ac,③4a+2b+c>0,④3a+c>0,⑤a+b≤mam+b(m为任意实数)， ⑥当x<2时，y随x的增大而增大是随机事件.其中结论正确的个数为() X=】 A.3 B.4 C.5 D.6 6.已知抛物线y=-2x-4x+6与x轴交于点A和点B,点C为抛物线上的一动点，当△ABC为直角三角 形时，则点C的坐标为一 7.如图，抛物线y=-x+2x+3与x轴交于A,B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C.将抛物 线沿y轴向下平移t个单位，当平移后的抛物线与线段OB有且只有一个交点时，则t的取值范围是 19122 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B龙 8.若不等式X-8x+20一<0的解集是R'则实数m的取值范围是 mx-2mx+2m-4 9.已知抛物线y=x2+bx+c经过点1,2.若抛物线顶点为A,它与x轴交于两点B,C,且△ABC为等边 三角形.请回答下列问题： (1)b的值为 (2)若抛物线顶点在第三象限，则顶点A坐标为 10.如图，抛物线L1,L2与直线y=7分别交于A,C和B,D四点，且AB=12,BC=4,CD=6.若点 P,Q分别是两抛物线的项点，且P,Q都在x轴上，则PQ的长是一。 L A B C/ 11.二次函数y=ax+bx+c的图象如图所示，下列结论： VA ①abc<0: ②3a+c=0: ③4ac-b2<0: ④当x>1时，y随x的增大而增大； ⑤a-b+c=0. 其中正确的有· (填序号) 20122 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 12.如图，己知抛物 y=aX2+bx+cla≠0与x轴交于点A1,0B14,0?与y轴交于点C0,4 D B 图1 图2 (1)求抛物线的解析式： (2)如图1，若点P是线段BC上的一个动点（不与点B、C重合），过点P作y轴的平行线交抛物线于点 Q,连接OQ,当线段PQ长度最大时，判断四边形OCPQ的形状并说明理由： (3)如图2，在(2)的条件下，D是OC的中点，过点Q的直线与抛物线交于点E,与x轴交于点G,且 ∠DQE=2∠ODQ.在y轴上是否存在点F,使得△BEF为等腰三角形？若存在，求点F的坐标；若不 存在，请说明理由。 13.如图，在平面直角坐标系xOy中，已知直线y=-x-3与x轴交于点A,与y轴交于点C,过A,C两点 的抛物线y=ax+bx+c与x轴交于另一点B1,0,抛物线对称轴为直线1. (1)求抛物线的解析式： (2)点M为直线AC下方抛物线上一点，当△MAC的面积最大时，求点M的坐标： (B在〈2)的条件下，点W为y转上一点，求MN+ON的最小值， 已知二次函数y三-X+bx+C的图象与x轴相交于不同的两点Ax1,0,Bx2,0, 该抛物线与y轴相交于点C,顶点为P. 21122 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 (1)若抛物线的对称轴为X=2,求b的值； (2)若c=- b+b-1,求b的取值范围： (3)该抛物线的对称轴与x轴相交于点E,M在其对称轴上，且满足MA⊥AP,MA=MC,点F在y轴上， 方r0,}且aBc求该=次面数的表达式 15.如图，抛物线 y=mX-8mx+12mlm>0与x轴交于A,B两点(（点B在点A左侧)，与y轴交于点C, 点D是抛物线上的一个动点，且位于第四象限，连接OD、BD、AC、AD,延长AD交y轴于点E. B E (1)若m=2,求点C的坐标和线段AB的长度； (2)若对任意m>0,C、E两点总关于x轴对称，求点D的坐标（用含m的式子表示）： (3)当点D运动到某一位置时，恰好使得点D是线段AE的中点， ①求证：OC=2OE; ②该抛物线上存在一点PX,yo,若此时恰好满足。 A,0B后且对于动点PX,%总有实数m满足 0D2_5 n2+3n≤y+9my。-16m2恒成立，求实数n的取值范围。 22122 专题18 二次函数与一元二次方程 1. 理解二次函数的图象与x轴交点的个数和一元二次方程根的个数之间的关系； 2. 掌握利用二次函数的图象求一元二次方程近似根的方法； 3. 体会方程与函数之间的联系，感悟数形结合的思想。 1. 二次函数与一元二次方程的核心关系 ⭐ 核心考点： 关系的本质：二次函数 的图象与x轴交点的横坐标，就是一元二次方程 的根。 💡 理解关键：令二次函数 中的 ，就得到一元二次方程 。因此，求二次函数图象与x轴的交点，本质上就是解对应的一元二次方程。 判别式与交点个数的对应关系 ⭐ 高频考点： 二次函数 的图象与x轴 一元二次方程 的根 判别式 有两个交点 两个不相等的实数根 有一个交点（顶点在x轴上） 两个相等的实数根（重根） 没有交点 没有实数根 ⚠️ 特别注意：当抛物线与x轴有一个交点时，对应的一元二次方程有两个相等的实数根（而不是“一个根”）。 与y轴的交点：二次函数 的图象与y轴的交点为 。 💡 对比记忆：与x轴的交点个数由 Δ 决定；与y轴的交点只有一个，由常数项 c 决定。 2. 利用二次函数的图象求一元二次方程的近似根 ⭐ 重难点： 基本方法——图象法： 步骤 操作 ①画图象 画出二次函数 的图象 ②找交点 观察图象与x轴的交点，确定根所在的大致范围 ③列表逼近 在交点附近取x的值，计算对应的y值，逐步缩小范围 ④确定近似根 当某个x值对应的y值最接近0时，该x值即为方程的近似根 典型例题（以 为例）： 步骤一：画出 的图象，观察图象可知方程有两个根，一个在**-5和-4之间**，另一个在2和3之间。 步骤二：利用计算器列表逼近： x -4.1 -4.2 -4.3 -4.4 y -1.39 -0.76 -0.11 0.56 当 时，，最接近0，所以 是方程的一个近似根。 同理可得另一个根 。 💡 关键技巧：选取近似根时，选择函数值最接近0的那个x值，而不是看符号变化。 其他转化方式： 求一元二次方程 的近似根，可以： 转化为求抛物线 与直线 的交点的横坐标； 或转化为求抛物线 与x轴的交点的横坐标。 3. 易错点总结： 易错点 说明与预防 ① 混淆交点个数与根的个数 抛物线与x轴一个交点时，方程有两个相等的实数根，不是“一个根” ② 忽略 含参问题中，必须保证二次项系数不为0，否则不是二次函数 ③ 近似根选取不当 应选函数值最接近0的x值，而不是只看符号变化 ④ 忽视判别式的作用 不解方程，利用 可直接判断根的情况，是重要解题工具 ⑤ 混淆“与x轴交点”和“与y轴交点” 与x轴交点令 ；与y轴交点令 ，为 题型01求抛物线与x轴的交点坐标 【典例】已知二次函数的图象经过点，． (1)求这个二次函数的表达式； (2)求这个函数图象与轴的交点坐标． 【答案】(1)； (2)这个函数图象与轴的交点坐标为，． 【分析】（1）用待定系数法求解即可； （2）令求解即可． 【详解】（1）解：把，代入得： ， 解得， 这个二次函数的表达式为； （2）解：令，则， 解得，， 这个函数图象与轴的交点坐标为，． 【变式】如图，点为二次函数的图象与x轴的一个交点． (1)求该二次函数的表达式； (2)将该二次函数图象沿x轴向右平移1个单位，请直接写出平移后的图象与x轴的交点坐标． 【答案】(1) (2)平移后的图象与x轴的交点坐标分别为，． 【分析】本题考查求二次函数解析式，函数图象与x轴交点坐标的求法，函数图象的平移，关键是用待定系数法求函数表达式，再求与x轴的交点坐标，根据平移特点表示出平移后的坐标． （1）将点代入二次函数，求出b的值，进而表示出该二次函数的表达式； （2）令求出二次函数与x轴的交点坐标，根据平移特点写出平移后与x轴的交点坐标． 【详解】（1）解：点在抛物线上， ， 解得， 抛物线的解析式为； （2）令，则， 整理得， 解得，， 原抛物线与x轴的交点坐标分别为，， 二次函数图象沿x轴向右平移1个单位， 平移后的图象与x轴的交点坐标分别为，． 题型02求抛物线与y轴的交点坐标 【典例】如图，某建筑物的截面可以视作由两条线段，和一条曲线围成的封闭的平面图形．已知 ，曲线是以点为顶点的抛物线的一部分， ，点到、的距离分别为 和 ，则的长为________________． 【答案】 【分析】利用顶点式求出二次函数解析式，进而得出答案，利用时，求出y的值即可得出的长． 【详解】解：由题意知， ∵点是抛物线的顶点，可设抛物线的解析式为：， 点在抛物线上，可得，， 解得：， 因此， ； 当时，， 所以，． 【变式】如图，抛物线经过点，，与轴交于点． (1)求抛物线的表达式； (2)点是抛物线上一点，求的面积． 【答案】(1) (2)3 【分析】本题考查了二次函数与面积综合问题，涉及待定系数法求函数解析式： （1）运用待定系数法求解； （2）先求出点，，那么轴，再运用三角形面积公式求解． 【详解】（1）解：∵抛物线经过点，， ∴， 解得：， ∴抛物线的表达式为； （2）解：∵点是抛物线上一点， ∴将点代入得：， ∴， 对于，当， ∴， ∴轴， ∴， ∴的面积为． 题型03已知二次函数的函数值求自变量的值 【典例】已知二次函数图象上部分点的坐标的对应值如表所示，则方程的根是（  ） … … … … A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】D 【分析】根据抛物线的性质和表格提供的信息得到抛物线解析式为，对称轴为，根据抛物线经过点，得到抛物线也经过点，将方程变形为，根据一元二次方程和二次函数的关系即可求出的根． 【详解】解：由抛物线经过点（0,3）得c=3， ∴抛物线解析式为， ∵抛物线经过点（0,3）和（6,3）， ∴抛物线对称轴为， ∵抛物线经过点， ∴抛物线也经过点， 方程变形为， ∴方程的根可以理解为二次函数的函数值为1时所对应的自变量的取值， 所以方程的根为． 故选：D 【点睛】本题考查二次函数的性质、一元二次方程与二次函数的关系，熟知相关知识，并根据题意得抛物线经过点，并能将方程变形为是解题的关键． 【变式】如图，二次函数的图象与轴交于点、点，与轴交于点，其中． (1)求二次函数的解析式； (2)若点在二次函数图象上，且，求点的坐标； (3)若M是抛物线对称轴上一点，ACM是等腰三角形，直接写出点M的坐标． 【答案】(1) (2)点的坐标为或或 (3)点M的坐标为或或或或． 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）先根据，得出，根据，求出，得出，代入二次函数解析式，进而求出点的坐标即可； （3）先求出抛物线的对称轴为直线，设点M的坐标为，得出，，，分三种情况：当时，当时，当时，分别列出方程，求解即可． 【详解】（1）解：依题意，把，代入中， 得， ， 二次函数解析式为； （2）解：∵， ， ， ， 即 ， ， 当时， 解得：， 即； 当时， 解得或， 即或； 综上所述，点的坐标为或或． （3）解：∵， ∴抛物线的对称轴为直线， ∴设点M的坐标为， ∵，， ∴， ， ， 当时，， 即， 解得：， 此时点M坐标为：； 当时，， 即， 解得：， 此时点M坐标为：或； 当时，， 即， 解得：， 此时点M坐标为：或； 综上分析可知：点M的坐标为或或或或． 【点睛】本题主要考查了二次函数综合，待定系数法求二次函数解析式，两点间距离公式，等腰三角形的定义，三角形面积计算，灵活运用所学知识是解题的关键． 题型04抛物线与x轴的交点问题 【典例】二次函数的图象与轴交于点，且，． (1)求，的值． (2)当时，函数值都小于，求的取值范围． 【答案】(1)， (2) 或 【分析】（1）根据题意，得，，，结合，得，解方程，解答即可． （2）当时，得，利用数形结合思想，结合函数的增减性求解即可． 【详解】（1）解：根据题意，得二次函数的图象与轴交于点，且， ，，， ， ， ， ， 整理，得， 解得， 当时，，不满足要求，舍去； 当时，，满足要求； 故，． （2）解：，， 故二次函数的解析式为，且抛物线开口向下，对称轴为直线， 当时，得， 解得， 如图所示，此时， 时，函数值都小于，且对称轴左侧，y随x减小而减小， ， 解得； 时，函数值都小于，且对称轴右侧，y随x增大而减小， ， 解得； 综上所述，符合要求的的取值范围是或． 【变式】二次函数的图象如图所示，根据图象回答下列问题： (1)写出方程的根； (2)写出不等式的解集； (3)若方程有且只有一个实数根，写出的值． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】（1）直接根据函数图象作答即可； （2）直接根据函数图象作答即可； （3）直接根据函数图象作答即可． 【详解】（1）解：观察图象可知，方程的根，即为抛物线与轴交点的横坐标， ∴，； （2）解：观察图象可知：不等式的解集为； （3）解：由图象可知，时，方程有且只有一个实数根． 题型05图象法确定一元二次方程的近似根 【典例】如表是二次函数的自变量x与函数值y的部分对应值，那么方程的一个根的取值范围是（　　） x … 1 1.1 1.2 1.3 1.4 … y … 0.04 0.59 1.16 … A． B． C． D． 【答案】A 【分析】观察表中数据得到抛物线与x轴的一个交点在和点之间，根据抛物线与x轴的交点问题可得到方程一个根的取值范围． 【详解】解：∵时，； 时，； ∴抛物线与x轴的一个交点在和点之间， ∴方程有一个根在之间． 故选：A． 【点睛】本题考查了求一元二次方程的近似根，解题的关键是找到y由正变为负时，自变量的取值即可． 【变式】根据表中二次函数的自变量与函数值的对应值，判断一元二次方程的一个根的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据一元二次方程的根即为函数与轴交点的横坐标解答即可． 【详解】解：∵当时，，当时，， ∴一元二次方程的一个根的取值范围是， 故选：C． 【点睛】本题考查了一元二次方程的根与二次函数的关系，熟知一元二次方程的根即为函数与轴交点的横坐标是解答本题的关键． 题型06根据二次函数图象确定相应方程根的情况 【典例】已知二次函数的图象如图所示，顶点坐标为，与轴交于，两点，其中．则下列结论： ①②③④⑤方程（为常数）有实数根． 其中正确的个数有（     ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】B 【分析】根据抛物线开口向下，顶点坐标为，与y轴交于正半轴，得到，，，即可判断①②③；根据抛物线的顶点坐标为得到，根据当时，，当时，，即可判断④；讨论抛物线与直线的交点情况即可判断⑤． 【详解】解∶∵抛物线开口向下，顶点坐标为，与y轴交于正半轴， ∴，，， ∴， ∴，故①错误； ∵， ∴，故②错误； ∵，， ∴， ∴，故③正确； ∵抛物线的顶点坐标为， ∴当时，，即， ∴， 由图象可得当时，，即， ∴， ∴， 由图象可得当时，，即， ∴， ∴， ∴，故④正确； ∵方程可化为， ∴该方程的解为抛物线与直线的交点的横坐标， ∵直线， ∴该直线过定点，且过第二、三、四象限， ∴抛物线与直线必有交点， ∴方程（为常数）有实数根．故⑤正确． 综上所述，正确的结论是③④⑤，共3个． 【变式】抛物线经过点，，，直线经过点B，C，则： (1)该抛物线的对称轴为直线______； (2)关于x的方程的解为______； (3)关于x的不等式的解为______； (4)若关于x的方程在的范围内有两个不相等实数根，则k的取值范围是______． 【答案】(1) (2)， (3) (4) 【分析】（1）根据对称点即可求解对称轴； （2）先由待定系数法求解抛物线的表达式，再解一元二次方程即可； （3）先求出直线的表达式，然后得到不等式，再转化求解即可； （4）方程即，整理得，设，把问题转化为函数图象在的范围内有两个不同的交点求解即可． 【详解】（1）解：∵抛物线经过点，， ∴对称轴为直线，即； （2）解：∵抛物线经过点，，， ∴ 解得 ∴ ∴关于x的方程即为， 解得； （3）解：∵直线经过点，， ∴ 解得 ∴直线为 ∴不等式为 整理得， 即 ∴或 解不等式组，无解； 解不等式组，得， ∴解集为 ∴不等式的解集为； （4）解：方程即， 整理得， ∴方程在范围内有两个不相等实数根， 设， ∴， 解得； 而对称轴在范围内，符合要求， 如图： 当时，； 当时， 即 由①得 由②得 ∴， 综上：． 题型07利用不等式求自变量或函数值的范围 【典例】在平面直角坐标系中，已知抛物线：，若为抛物线上三点，且．则m的取值范围是___________． 【答案】 【分析】直接根据给定的函数值大小关系列不等式求解即可． 【详解】解：为抛物线上三点， ∴， ， ， 又∵， ∴， 解得： ． 【变式】已知，二次函数（a，b，c是常数，）的y与x的部分对应值如表： x … 2 3 … y … 3 0 3 … (1)求二次函数的解析式． (2)当时，y的取值范围是 ；当时，x的取值范围是 ． 【答案】(1) (2)；或 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）先将解析式化成顶点式，再结合二次函数的性质解答即可． 【详解】（1）解：由题意，结合表格数据可得， ． ∴． ∴二次函数的解析式为； （2）解：由题意，∵， ∴当时，y取最小值为． 又∵当时，；当时，， ∴当时，． 令，则或， 又∵抛物线的开口向上， ∴当时，或． 题型08根据交点确定不等式的解集 【典例】如图，二次函数的图象与直线有两个交点，交点横坐标分别为1、3，则关于的不等式的解集为___________． 【答案】 【分析】将不等式变形为，即求二次函数图象在一次函数图象上方（包括交点）时自变量的取值范围． 【详解】解：关于的不等式可变形为， 该不等式的解集即为二次函数的图象在一次函数的图象上方（包括交点）时自变量的取值范围， 由图象可知，二次函数与一次函数交点的横坐标分别为，， 当时，二次函数的图象在一次函数的图象上方， 关于的不等式的解集为． 【变式】二次函数的图象如图所示，根据图象填空： (1)方程的两个根为________________； (2)不等式的解集为_______________； (3)y 随 x 的增大而减小的自变量 x 的取值范围为___________； (4)若方程有实数根，则 k 的取值范围为_________． 【答案】(1)， (2) (3) (4) 【分析】利用数形结合的思想解决问题是解题关键． （1）根据图象可知二次函数与x轴的交点坐标，交点的横坐标即为方程的两个根； （2）由图象可知二次函数在x轴上方图象的自变量的取值范围，即可得到不等式的解集； （3）根据二次函数的图象和性质，即可得到答案； （4）由方程有实数根可知，二次函数与直线有一个或两个交点，再利用顶点坐标，即可求出k的取值范围． 【详解】（1）解：由图象可知，二次函数与x轴的交点坐标为，， 即方程的两个根为，； （2）解：由图象可知，二次函数在x轴上方图象的自变量取值范围是，即不等式的解集为； （3）解：由图象可知，抛物线开口向下，对称轴为直线， 当时，y随x的增大而减小， 即y随x的增大而减小的自变量x的取值范围为； （4）解：∵方程有实数根， ∴二次函数与直线有一个或两个交点， 由图象可知，抛物线的顶点坐标为， ∴，即方程有实数根，k的取值范围为． 题型09线段周长问题（二次函数综合） 【典例】如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点，，交轴于点． (1)求抛物线的解析式； (2)若将该抛物线向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度，求平移后的解析式； (3)若点是线段上一动点，过点作轴于点，交抛物线于点，求线段长度的最大值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用待定系数法求出答案即可； （2）把抛物线化为顶点式，根据平移规律进行解答即可； （3）求出直线的解析式为，设，则，则线段的长度，根据二次函数的性质进行解答即可． 【详解】（1）解：抛物线经过点，， ∴， 解得 ∴抛物线的解析式为 （2）解： ∴将该抛物线向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度，则平移后的解析式为； （3）当时，， ∴， 设直线的解析式为，把，代入得到， ， 解得 ∴直线的解析式为， 设，则， 则线段的长度， ∵ ∴当时，线段的长度的最大值为． 【变式】在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B左侧），与y轴交于C．若点为直线上的动点，过点P作轴交抛物线于点Q． (1)若． ①求直线的表达式； ②若，直接写出线段长度的最大值及此时的点P的坐标； (2)若，且线段的长随着的增大而增大，求m的取值范围． 【答案】(1)①；②长度的最大值为，； (2)或 【分析】（1）①先确定抛物线的表达式为，再确定A，B，C三点的坐标，运用待定系数法求直线的表达式即可；②根据题意可得，，得到，利用二次函数的性质，确定最值，求解即可； （2）可求出，，则可求出，讨论的取值范围，从而根据二次函数的性质确定的增减性，结合题意讨论求解即可， ． 【详解】（1）①解：当时，抛物线的表达式为， 在中，当时，， 解得， ∵点A在点B左侧， ； 在中，当时，， ； 设直线的表达式为， ∴， 解得， ∴直线的表达式为； ②解：∵点为直线上的动点，且， ∴由（1）可知点在线段上，且不与点B，点C重合， 如图所示， 在中，当时，， 在中，当时，， ，， ， ∵，且， ∴当，长度有最大值，最大值为， 此时 ∴此时． （2）解：在中，当时，， ∴，即， 解得， ∵点A在点B左侧， ； 在中，当时，， ， 设直线的表达式为， ∴， 解得， ∴直线的表达式为； 在中，当时，， 在中，当时，， ∴，， ； 当时，，则， ∴， ∵， ∴当时，随的增大而减小，不符合题意； 当时，，则， ∴ ∵，即， ∴当时，随的增大而增大， 又∵，且线段的长随着的增大而增大， ∴， 解得； 当时，，则， ∴， ∵， ∴当时，随的增大而增大， 又∵，且线段的长随着的增大而增大， ∴； 综上所述，m的取值范围是或； 题型10面积问题（二次函数综合） 【典例】如图，抛物线与轴相交于，与轴交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)连接，点为抛物线上第一象限内一动点，当面积最大时，求点的坐标． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）连接，，过点P作轴交于H，先求得直线的表达式为，设，则，，可得，根据二次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：∵抛物线与轴相交于，与轴交于点， ∴，解得， ∴抛物线的解析式是； （2）解：如图，连接，，过点P作轴交于H， 设直线的表达式为， 将，代入，得，解 得， ∴直线的表达式为， 设，则，， ∴， ∴， ∵，， ∴当时，最大，此时， ∴当面积最大时，点的坐标为． 【变式】如图，二次函数的图象经过坐标原点，与轴交于点． (1)求二次函数的解析式； (2)求抛物线的顶点坐标； (3)在抛物线上存在点，满足，请直接写出点的坐标． 【答案】(1) (2) (3)或或 【分析】（1）把点和原点的坐标代入函数解析式，利用待定系数法求二次函数解析式即可得出答案； （2）把二次函数的解析式化为顶点式，即可得解； （3）根据三角形的面积公式求出点到的距离，然后分点在轴的上方与下方两种情况解答即可． 【详解】（1）解：将点，代入得， ，解得， 二次函数的解析式为； （2）解：∵， 抛物线的顶点坐标为； （3）解：， ， 设点到轴的距离为，则， 解得， 当点在轴上方时，， 解得， 点的坐标为； 当点在轴下方时，， 解得，， 点的坐标为或； 综上所述，点的坐标是或或． 题型11角度问题（二次函数综合） 【典例】如图，抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点． (1)求抛物线及直线的解析式； (2)直接写出抛物线的顶点坐标和对称轴； (3)若P为抛物线上一点，当时，求点P的横坐标． 【答案】(1)抛物线的解析式为，直线的解析式为； (2)顶点坐标为，对称轴为直线； (3)点的横坐标为． 【分析】（1）已知抛物线与轴交于、，可设交点式，再利用与轴交点求出；利用待定系数法求直线解析式即可． （2）把抛物线解析式化为顶点式，或直接利用顶点横坐标公式，代入求纵坐标． （3）延长交x轴于点，由可得，设点的坐标为，利用两点距离公式求出m，再用待定系数法求出直线的解析式，最后与抛物线联立求解． 【详解】（1）解：抛物线与轴交于、， 设其解析式为， 抛物线与轴交于点，令得， 又此时， ， 解得：， ， 点的坐标为， 设直线解析式为， 把、，代入，得 解得， 直线的解析式为． （2）解：， 抛物线的顶点坐标为，对称轴为直线． （3）解：、、， ，，， 在中，， 延长交x轴于点， ， ∴， 设点的坐标为， ， 解得， 点的坐标为， 设直线的解析式为， 直线过点， ， 又直线过点， ， 解得：， 直线的解析式为， 点在抛物线上， ， 解得：（为点，舍去）或， 点的横坐标为． 【变式】如图，在平面直角坐标系中，抛物线交轴于，两点，交轴于点． (1)求该抛物线的表达式； (2)点是直线上方该抛物线上的一动点，过点作于点，过点作轴交于点，交轴于点．点、是轴上两动点，点在点上方，且，连接，．当的周长取得最大值时，求点的坐标及的最小值； (3)在（2）的条件下，将该抛物线沿射线方向平移个单位长度得到新的抛物线，是新抛物线对称轴上纵坐标为2的点，是新抛物线上一动点．若，请直接写出所有符合条件的点的坐标，并写出求解点的坐标的其中一种情况的过程． 【答案】(1) (2)点的坐标为，的最小值为 (3)符合条件的点的坐标为或， 由（2）知是等腰直角三角形， ∴， ∴将该抛物线沿射线方向平移个单位长度，相当于将该抛物线向右平移个单位长度，向上平移个单位长度， ∴平移后新抛物线的表达式为， ，，， 设直线的表达式为， 代入得：， 解得：， ∴直线的表达式为 ①当点N在下方时， ， 如图2，过点作交新抛物线于点 设直线的表达式为， 代入得： 解得： ∴直线的表达式为 由，得， （不合题意，舍去） 当时，， ； ②当点在上方时， 如图3，当时，交于L， ∵， ∴， 设， 则， 解得：， ∴， 设直线的解析式为， 则，解得：， ∴直线的解析式为， 由，得， （不合题意，舍去）， ∴， 综上，符合条件的点的坐标为或． 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）求出直线的表达式可得，进而得出是等腰直角三角形，求出，可知当取最大值时，的周长取最大值，然后利用二次根式的性质求出取最大值时点的坐标即可，然后将点向下平移1个单位长度得到点，利用轴对称求最短路径的方法进行解答即可； （3）首先求出直线的表达式，然后分情况讨论：①当点N在下方时，②当点在上方时，分别求出直线及的解析式，再与新抛物线进行联立求解即可． 【详解】（1）解：把，代入中， 得， 解得， 该抛物线的表达式为； （2）在中，令 解得， 直线过点，， 直线的表达式为，且 轴，， ， 在中，， 的周长为： 设（），则 ， 当时，取得最大值，则的周长取得最大值 此时点的坐标为 如图1，将点向下平移1个单位长度得到点，则点的坐标为，连接 ， 四边形是平行四边形 即 作点关于轴的对称点，连接，则 当，，三点共线时，取最小值为 的最小值为 又， 的最小值为 点的坐标为，的最小值为； （3）略 题型12特殊三角形问题（二次函数综合） 【典例】二次函数的图象的一部分如图所示．已知它的顶点M在第二象限，且经过点和点． (1)试求a，b所满足的关系式； (2)设此二次函数的图象与x轴的另一个交点为C，当的面积为面积的倍时，求a的值； (3)是否存在实数a，使得为直角三角形？若存在，请求出a的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)不存在实数a，使得为直角三角形． 理由如下： ①由图可知，A为直角顶点，不可能； ②若C为直角顶点，此时与原点O重合，由题意可知，也不可能； ③若B为直角顶点，则， 令，可得， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，整理得， 解得， 由（2）可知，， ∴，不合题意，舍去； 综上所述，不存在实数a，使得为直角三角形． 【分析】（1）把点和点代入，即可求解； （2）先求出顶点M的坐标，再利用得到关于a的方程，即可求解； （3）分A为直角顶点，C为直角顶点，B为直角顶点，三种情况进行讨论，即可求解． 【详解】（1）解：将，代入，得， ∴． （2）解：由（1）可知， ∴顶点M的纵坐标为， ∵， ∴ ∴， 整理得， 解得， 由图象可知， ∵顶点M在第二象限， ∴对称轴， ∵， ∴，即， ∴， ∴． （3）略 【变式】如图，已知抛物线与x轴交于点，，与y轴交于点，且直线． (1)求该抛物线的表达式； (2)若点Q在直线l上移动，在x轴下方的抛物线上，是否存在点P，使得是以点P为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在，或 【分析】（1）利用待定系数法计算即可得出结果； （2）设，，过点P作于点，过点A作于点N，则，证明，得出，，由此计算即可得出结果． 【详解】（1）解：∵抛物线过点， ∴． ∵抛物线过点，， ∴， 解得：， ∴该抛物线的表达式为； （2）解：存在． 设，， 如图①，图②，过点P作于点，过点A作于点N，则． ∵是以点P为直角顶点的等腰直角三角形， ∴，， ∴． ∵， ∴． 在和中， ， ∴， ∴，． ∵，， ∴， 解得，， ∴或． 题型13特殊四边形（二次函数综合） 【典例】如图，抛物线与轴交于点，与轴交于，两点，点在点的左侧．若点在轴上，点在抛物线上，且以，，，为顶点的四边形是平行四边形，则符合条件的点有（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】根据题意分三种情况讨论，然后根据平行四边形的性质求解即可． 【详解】解：∵抛物线与轴交于点， ∴当时， ∴ ∵以，，，为顶点的四边形是平行四边形，点在轴上，点在抛物线上， ∴当是对角线时，和互相平分， ∴， ∴ ∴ 将代入得， 解得或 ∴； 当是对角线时，和互相平分， ∴， ∴ ∴ 同理可得； 当是对角线时，和互相平分， ∴， ∴ ∴； 由图像可得，直线与抛物线有两个不同的交点， ∴此时有两个符合条件的点P， 综上所述，符合条件的点有3个． 【变式】如图，抛物线的对称轴为：直线，图像与轴、轴分别交于点、、，已知点、，点在直线下方的抛物线上． (1)求该抛物线的解析式； (2)过点作轴交直线于点，作交于点，求的最大值； (3)设点为直线上的点，以、、、为顶点的四边形能否构成平行四边形？若能，求出点的坐标；若不能，请说明理由． 【答案】(1) (2)3 (3)能，点Q的坐标为或或或 【分析】（1）因为已知抛物线对称轴、点A的坐标，所以根据对称性求出点B的坐标，设抛物线解析式为交点式，将点C的坐标代入求解系数a，即得解析式． （2）首先求直线的解析式，设点P的横坐标为参数，用参数表示点P的坐标；因为平行于x轴，垂直于，所以分别用参数表示D、E的坐标，进而得到和的长度表达式，将整理为关于参数的二次函数，利用二次函数性质求最大值． （3）判断平行四边形存在性：分为边、为对角线两类讨论．如果为边，那么平行且等于，据此建立点P和点Q坐标的关系，结合点Q在直线上、点P在抛物线上的条件列方程求解；如果为对角线，那么和互相平分，利用中点坐标公式建立坐标关系，联立方程求解． 【详解】（1）解：∵抛物线的对称轴为直线，与轴交于， ∴， ∴点， ∴设抛物线的解析式为， 把点代入，得， 解得， ∴抛物线的解析式为， 即． （2）解：如图所示，设，直线的解析式为， 把代入得，， 解得， ∴直线的解析式为， ∵轴，，点D，E都在直线上， ∴，， ∴， ∴， ∴ ， ∴当时，的最大值是3． （3）解：能，理由如下： ∵， ∴， 若以A、B、P、Q为顶点的四边形能构成平行四边形， ①当以为边时，则且， 设，则， ∴， 解得， ， ∴， ∴， ∴， 当时， 解得：，（与A重合，舍去）， ∴，， ∴， 当时， 解得：，， ∴，， ∴或； ②当以为对角线时，连接交于点G，则， 设， ∵， ∴， ∴， ∴， 作于点M，于点N，则， 设， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 整理得：， 解得：，（与A重合，舍去）， ∴． 综上所述，以A、B、P、Q为顶点的四边形能构成平行四边形．此时点Q的坐标为或或或． 题型14相似三角形问题（二次函数综合） 【典例】如图，已知抛物线与x轴相交于，与y轴相交于点C，直线，垂足为C． (1)求该抛物线的表达式； (2)若直线l与该抛物线的另一个交点为D，求点D的坐标； (3)设动点在该抛物线上，当时，求m的值． 【答案】(1) (2)点D的坐标为 (3)或 【分析】（1）用待定系数法即可求解； （2）证明，则，即，即可求解； （3）延长交直线l于点，当时，证明为等腰直角三角形，利用，即可求出点的坐标，再利用点的坐标，求出直线的解析式，再与抛物线解析式联立即可求出m的值． 【详解】（1）解：将点A、B的坐标代入抛物线的表达式得： ，解得： ∴抛物线的表达式为； （2）解：过点D作轴于点E， 而直线轴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， 设点，则，， ∴，解得（舍去）或， 当时，， 故点D的坐标为； （3）设直线l的表达式为 将，代入得： ，解得： ∴直线l的表达式为， 延长交直线l于点M，设点， ∵，直线， ∴为等腰直角三角形，则， ∴，解得或， ∴点M的坐标为或， 当M的坐标为时，设直线的表达式为，如图所示： 将，代入得： ，解得：， ∴直线的表达式为， 令，解得：（舍去）或， ∴点P的横坐标； 当M的坐标为时，设直线的表达式为，如图所示： 将，代入得： ，解得：， ∴直线的表达式为， 令，解得：（舍去）或， ∴点P的横坐标； 综上，或． 【变式】如图①，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，点在直线下方的抛物线上，过点作轴于点，交直线于点，连接． (1)求抛物线的解析式； (2)连接，设四边形的面积为，当最大时，求点的坐标及最大值； (3)如图②，过点作于点，当以为顶点的三角形与△相似时，求点的坐标． 【答案】(1) (2)当最大时，点坐标为，的最大值为 (3)或 【分析】（1）已知抛物线与x轴两个交点坐标，可设交点式，因为抛物线过点，所以代入该点坐标即可求出参数，整理得到抛物线解析式； （2）先求出直线的解析式，设点的横坐标为，则可根据抛物线和直线的解析式表示出、的坐标，进而得到的长度，将四边形的面积拆分为和的面积和，其中面积为定值，的面积可表示为关于的二次函数，利用二次函数的性质求出面积最大值及对应的坐标； （3）先确定的直角边比例，因为，所以是直角三角形，分两种对应边成比例的相似情况，结合直线与、的关系，列出关于点横坐标的方程，求解得到的坐标． 【详解】（1）解：∵抛物线与轴交于、， ∴设抛物线交点式为， 将代入得： ， 解得， ∴． （2）解：设的解析式为， 将、代入解析式，解得， ∴直线为， 设点横坐标为，则，则点， ∴， ∴， ∴四边形的面积， 且 ， ∴， ∵，开口向下， ∴当时取最大值， 将代入抛物线，解得点纵坐标为， ∴， ∴当最大时，点坐标为，的最大值为． （3）解：设， ∵、、， ∴，，， ∵， ∴， ∵于点， ∴， ①当时， ∴， ∴， 解得（与点重合，舍去），， ∴点的坐标为； ②当时， ∴， ∴， 解得（不合题意，舍去），， ∴点的坐标为， 综上所述，点的坐标为或． 【巩固训练】 1．已知二次函数（m是常数），若自变量x取任意实数，函数值y始终为正数，则m的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】抛物线与x轴交点个数由的符号确定，当时，抛物线与x轴有2个交点；当时，抛物线与x轴有1个交点；当时，抛物线与x轴没有交点，据此可进行判断，从而求出m的取值范围． 【详解】解：∵， ∴二次函数图象开口向上， ∵当x取任意实数时，都有， ∴，则， 解得：． 2．抛物线，顶点纵坐标为．若有且只有两个不相等的实数根，则m的取值范围是（     ） A． B．或 C．或 D．或 【答案】C 【分析】先根据题意画出的图象，即可得出有两个不相等的实数根时，m的取值范围． 【详解】解：由题意得，将此抛物线在x轴下方的部分沿x轴往上翻折，得到一个新的函数图象的顶点的纵坐标为5， ∴的图象是x轴上方部分（包含与x轴的两个交点）， 由图象可知，当时，有两个不相等的实数根，在x轴上方时，只有时，有两个不相等的实数根， ∴或． 3．已知二次函数的图象与x轴没有交点，且过点，，，，则 的大小关系是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据点B和点C的坐标可求出对称轴为直线，则可推出，根据二次函数的图象与x轴没有交点，可得，进而推出，则离对称轴越远，函数值越小，求出A，C，D三点到对称轴的距离，比较即可得到答案． 【详解】解：∵二次函数的图象过点，， ∴对称轴为直线， ∴， ∴； ∵二次函数的图象与x轴没有交点， ∴关于x的一元二次方程没有实数根， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴离对称轴越远，函数值越小， ∵二次函数的图象过点，，， 且， ∴． 4．在平面直角坐标系中，函数的图象为，关于y轴对称的图象为，则直线（a为常数）与，的交点共有（     ） A．2个 B．1个或2个 C．0个或2个或3个或4个 D．无数个 【答案】C 【分析】设点是上的一点，则点是上的一点，据此可推出对应的函数解析式为，画出，的图象，结合函数图象可得答案． 【详解】解：设点是上的一点，则点是上的一点， ∴， ∴对应的函数解析式为； ∵， ∴当时，函数取得最小值， 当时，函数取得最小值； 如图所示， 由函数图象可知，当时，直线（a为常数）与，的交点为0个， 当时，直线（a为常数）与，的交点为2个， 当时，直线（a为常数）与，的交点为4个， 当时，直线（a为常数）与，的交点为3个， 当时，直线（a为常数）与，的交点为2个， 综上所述，直线（a为常数）与，的交点共有0个或2个或3个或4个． 5．已知抛物线与x轴没有交点，将该抛物线向左平移3个单位长度，再向下平移5个单位长度后，得到的抛物线的顶点一定在（     ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】C 【分析】先根据抛物线与x轴无交点求出a的取值范围，再求出原抛物线顶点坐标，根据平移规律得到平移后顶点坐标，通过判断坐标符号确定顶点所在象限． 【详解】解：∵抛物线与x轴没有交点， ∴， 解得：， 原抛物线顶点横坐标为，纵坐标为， 即原顶点坐标为， 根据平移规律，得平移后顶点坐标为， ∵， ∴，则， 又，则， ∴平移后顶点的横纵坐标均为负数，因此顶点在第三象限． 6．下面表格中的数据是二次函数的几组对应值．根据表中的数据我们可以判断：当时，自变量x的取值范围是（     ） x … 0 1 2 3 4 … y … 0 0 5 … A． B．或 C． D．﹣ 【答案】B 【分析】本题先根据表格中的对应值，得到二次函数的对称轴，与x轴的交点坐标，判断开口方向，再结合二次函数的图像性质确定时自变量的取值范围． 【详解】解：由表格数据可知，和时值相等，均为， 二次函数的对称轴为直线，顶点坐标为，二次函数与轴的交点为和， 顶点纵坐标，且抛物线与x轴有两个交点， 抛物线开口向上， 根据开口向上的二次函数图像性质，可得当时，自变量的取值范围是或． 7．如图，若二次函数的图象的对称轴为直线，与y轴交于点C，与x轴交于点A、点，则：①二次函数的最大值为；②；③；④当时，；其中正确的个数是（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】函数图象开口向下，则在对称轴处函数有最大值，结合对称轴为直线可判断①；根据点B的坐标可判断②；根据二次函数与x轴有两个交点可判断③；根据对称性求出点A的坐标，结合函数图象可判断④． 【详解】解：∵二次函数的图象开口向下， ∴在对称轴处函数有最大值， ∵对称轴为直线， ∴把代入得， ∴函数的最大值为，故①正确； ∵二次函数与交于点， ∴当时，，故②错误； ∵二次函数与x轴交于点A、点， ∴关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴，故③正确； 由对称性可知，点A的坐标为， ∴由函数图象可知，当时，，故④正确； 综上所述，正确的有①③④，共3个． 8．已知抛物线的对称轴是直线，与x轴交于，B两点，与y轴的交点C在x轴下方，若，则该抛物线的表达式可以是________．（写出一个即可） 【答案】（答案不唯一） 【分析】根据二次函数的对称性可知交点B的坐标为，则有，然后可得，进而可得，最后问题可求解． 【详解】解：的图象经过，对称轴为直线， 交点B的坐标为， 可设表达式为， ， ∴， 二次函数与y轴交点在x轴下方， ， ， 当时，，即时， ， 该二次函数的表达式可以是（答案不唯一）． 9．如图，抛物线与直线的两个交点坐标分别为，，则不等式的解集是___________ ． 【答案】 【分析】观察函数图象，二次函数的图象不在一次函数的图象上方时自变量的取值范围，即为不等式的解集． 【详解】解：∵抛物线与直线的两个交点坐标分别为，, ∴由图象可得，不等式的解集是． 10．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴只有一个交点M，与平行于x轴的直线l交于A、B两点．若，则点M到直线l的距离为________． 【答案】 【分析】由题意知，对称轴为直线，，两点的纵坐标相同，设为，有，点A的横坐标是，点的横坐标是，由，可知，计算求解即可． 【详解】解：∵与轴只有一个交点， ∴，对称轴为直线， ∵抛物线与平行于轴的直线交于，两点， ∴，两点的纵坐标相同，设为， 则时，， 解得：， ∴点A的横坐标是，点的横坐标是， ∵， ∴， 解得：． 即点M到直线l的距离为． 11．如图，已知二次函数的图象与正比例函数交于点，与轴交于点，当时，自变量的取值范围是______． 【答案】 【分析】过A作轴于C，则当x取值在之间时，即有，所以只要求出C、B两点的坐标，问题即可得到解答． 【详解】解：过A作轴于C， 令，则：，解得：或4， ∴， ∵，轴， ∴ 时， ∴自变量的取值范围是． 12．已知二次函数图象上的部分点的坐标对应值列表如下： x … 1 3 … y … 4 … 则关于x的方程的解为：________． 【答案】， 【分析】将方程的解等价转化为二次函数中时对应的的值是解题关键，先根据表格数据求出抛物线的对称轴，再利用对称性得到时对应的所有的值即可． 【详解】解：由表格可知，二次函数经过点，，， 点与点纵坐标相等， 抛物线的对称轴为直线， 设点关于对称轴的对称点横坐标为， 则， 解得，即对称点坐标为， 当时，的值为或， 即关于的方程的解为，． 13．如图，二次函数的图像与y轴交于点C，点B在抛物线上，且与点C关于抛物线的对称轴对称，一次函数的图像经过该二次函数图像上的点及点B，则满足的x的取值范围是 ______________ ． 【答案】或 【分析】先将点的坐标代入二次函数解析式求出m的值，从而确定二次函数的解析式及点C的坐标，再根据抛物线的对称轴及轴对称的性质求出点B的坐标，最后观察函数图象，找出二次函数图像在一次函数图像上方（包括交点）时对应的自变量x的取值范围即可． 【详解】解：∵二次函数的图像经过点， ∴， 解得；抛物线的对称轴为直线； ∴二次函数的解析式为， 令，则， ∴点C的坐标为， ∵抛物线的对称轴为直线，且点B与点C关于对称轴对称， ∴点B的横坐标为，纵坐标为3， ∴点B的坐标为， 由图像可知，当或时，二次函数的图像在一次函数的图像上方或相交， ∴满足的x的取值范围是或． 14．如图是二次函数的图象，若关于的方程总有一正一负两个实数根，则的取值范围是_____________． 【答案】 【分析】根据题意可得二次函数的图象与直线有两个交点，一个在第一象限，一个在第二象限内，即可求解． 【详解】解：如图，二次函数开口向上，故；且二次函数过，因此． ∵关于x的方程总有一正一负两个实数根， ∴二次函数的图象与直线有两个交点，一个在第一象限，一个在第二象限内， ∴． 15．如图，在平面直角坐标系中，抛物线的顶点为A，在x轴下方作垂直于y轴的直线交抛物线于点B、C，连接、，若点B到x轴的距离是点A到x轴距离的3倍，则的面积为_____ ． 【答案】8 【分析】根据抛物线解析式得到点的坐标，易得点到的距离、线段的长度，所以根据三角形的面积公式解答即可． 【详解】解：由抛物线知，顶点． ∵点B到x轴的距离是点A到x轴距离的3倍， ∴． 则， 解得． ∵轴， ∴，． ∴． ∴． 16．在平面直角坐标系中，抛物线的开口向上，且经过点 (1)______． (2)若此抛物线经过点，抛物线与轴的另一个交点为，当点落在线段上，且最小值为时，求函数解析式． (3)若，当时，抛物线上的点到轴距离的最大值为4，求的值． 【答案】(1)； (2)； (3)． 【分析】（1）将代入即可； （2）根据抛物线经过点得到，即，求出点横坐标，可知，根据顶点纵坐标公式得到，求解即可； （3）用含b的代数式表示出抛物线解析式，可求得其对称轴为直线，由题意可得出当或时，抛物线上的点可能离x轴最远，可分别求得其函数值，得到关于b的方程，可求得b的值，进而判断即可． 【详解】（1）解：将代入得； （2）解：∵抛物线经过点， ∴， ∴， ∴， 解得，， ∵点落在线段上， ∴， ∴， ∵顶点纵坐标公式为，最小值为，，， ∴， 整理得， 解得：，， ∴， ∴， ∴函数解析式为； （3）解：当时，抛物线开口向上，解析式为， ∴抛物线对称轴为直线， ①当时，， ，时，即， 解得（舍）． ，时，即， 解得（舍）， ②，即， ，时，即， 解得（舍）． 当，，即， 解得（舍）， 当，时，即， 解得， 此时，当时，，符合题意． 当，时，即， 解得， 此时，当时，，符合题意． ③，， 当，时，即， 解得， 此时，当时，不符合题意． 当，时，即， 解得（舍）． 综上所述，． 17．在平面直角坐标系中，设二次函数，其中． (1)若函数的图象经过点，求函数的表达式； (2)若一次函数的图象与的图象经过x轴上同一点，探究实数a，b满足的关系式； (3)已知点和在函数的图象上，若，求的取值范围． 【答案】(1) (2)或 (3)或 【分析】（1）利用待定系数法计算即可得出结果； （2）先求出的图象与x轴的交点为和，再分两种情况计算即可得出结果； （3）先求出的对称轴为直线，再结合二次函数的性质分情况计算即可得出结果． 【详解】（1）解：∵函数的图象经过点， ∴， 解得，， 当时，函数， 当时，函数， 综上所述，函数的表达式为； （2）解：在中，当时，， 解得，， ∴的图象与x轴的交点为和， ∵一次函数的图象与的图象经过x轴上同一点， ∴当一次函数的图象经过点时，，即； 当一次函数的图象经过点时，，即； 综上所述，实数a，b满足的关系式为或； （3）解：由（2）有的图象与x轴的交点为和， ∴的图象的对称轴为直线，且图象开口向上， 当点在对称轴的左侧（含顶点）时，随着的增大而减小， ∵关于对称轴对称的点为，且， ∴； 当点在对称轴的右侧时，随着的增大而增大， ∵， ∴， 综上所述，的取值范围为或． 18．如图是一座古拱桥的截面图，拱桥桥洞的上沿是抛物线形状，水面的宽度为，桥洞与水面的最大距离是．经过讨论，同学们得出三种建立平面直角坐标系的方案（如图）． (1)你选择的方案是______（填“方案一”“方案二”或“方案三”），则B点坐标是______； (2)求出你所选方案中的抛物线的解析式； (3)因降暴雨水位上升，此时水面宽为多少？ 【答案】(1)方案一，；方案二，；方案三， (2)方案一，；方案二；方案三， (3) 【分析】（1）根据水面的宽度为，桥洞与水面的最大距离是，求出点坐标； （2）三种方案中抛物线开口都向下，故抛物线解析式二次项系数为负，根据题意先求出顶点坐标，设解析式为顶点式，再代入（1）中点B坐标，即可求出抛物线解析式； （3）任意选择三种方案中的一种，根据暴雨水位上升代入对应抛物线解析式，求解即可． 【详解】（1）解：分情况讨论： 选择方案一： 由题意得，; 选择方案二： 由题意得，; 选择方案三： 由对称性可知点与点关于轴对称，，， 又桥洞与水面的最大距离是，， ． （2）解：分情况讨论： 选择方案一：由题意得抛物线顶点坐标为， 抛物线开口向下，故设抛物线解析式为， 代入，得， 解得， 抛物线解析式为; 选择方案二：由题意得抛物线顶点坐标为， 抛物线开口向下，故设抛物线解析式为， 代入，得， 解得， 抛物线解析式为; 选择方案三：由题意得抛物线顶点坐标为， 抛物线开口向下，故设抛物线解析式为， 代入，得， 解得， 抛物线解析式为． （3）解：选择方案三中的解析式， ， 暴雨水位上升后，代入，得， 解得或， 水面宽为． 19．如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象交x轴于两点，与y轴的交点为点C，点P是抛物线在第四象限内一点． (1)求这个二次函数的表达式； (2)当时，求出点P的坐标； (3)设的面积为S，试求S的最大值以及此时点P的坐标． 【答案】(1)； (2)； (3)8，． 【分析】（1）将两个已知交点代入抛物线方程，解二元一次方程组求即可； （2）由知到轴的距离等于其纵坐标的绝对值，设，列方程求解并舍去不合题意的根即可； （3）设 ，作铅垂线交于，用表示三角形面积，得到二次函数后配方求最大值及对应点坐标即可． 【详解】（1）解：把代入， 得， 解得， 这个二次函数的表达式为． （2）解：如图1，作轴于点D， ∵，， ∴， ∴， 设点P的坐标为，则， ∵点P在第四象限， ∴，， ∴，， ∴， 解得，（不符合题意，舍去）， ∴， ∴点P的坐标为． （3）解：如图2，设点P的坐标为 ， 作轴于点F，交线段于点E， 当时，则， ∴， 设直线的函数表达式为，则， 解得， ∴直线的函数表达式为， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，且 ∴当时，， ∴S的最大值为8，此时点P的坐标为． 【点睛】本题考查二次函数解析式求解、坐标系内角度条件转化及面积最值的铅垂高法， 关键是将转化为到坐标轴距离相等，以及将面积用水平宽与铅垂高表示，最终通过解方程和二次函数配方求得最值． 20．如图，二次函数的图像与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，点B的坐标为，点C的坐标为，直线l经过B、C两点． (1)求该二次函数的表达式及其图像的顶点坐标； (2)点P在线段上运动（不与B、C重合），过点P作x轴的垂线与该二次函数的图像相交于点M，再过点M作y轴的垂线与该二次函数的图像相交于另一点N，当时，求点P的坐标； 【答案】(1)，顶点坐标 (2)点P的坐标为或 【分析】（1）用待定系数法求函数的解析式，然后配方成顶点式即可； （2）首先求出直线的解析式为，设，则，，则，，由题意可得方程，求解方程即可． 【详解】（1）解：将点，代入 ∴ 解得 ∴ ∵ ∴顶点坐标； （2）解：设直线的解析式为 将，代入得， 解得 ∴直线的解析式为 如图，设，，则 ∵抛物线对称轴为直线，轴 ∴点M和点N关于对称轴对称 ∴ ∴，， ∵ ∴ ∴或 当时，整理得 解得，（舍去） ∴； 当时，整理得 解得（舍去）， ∴； 综上所述，点P点坐标为或． 21．如图，对称轴为直线的抛物线与轴相交于、两点，其中点的坐标为． (1)求抛物线的解析式； (2)C为抛物线与y轴的交点，若点P在抛物线上，且，求点P的坐标． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）根据、关于对称轴对称，可得点坐标，根据待定系数法，可得答案； （2）根据，可得到的距离是的4倍，可得点的横坐标，根据自变量与函数值的对应关系，可得答案． 【详解】（1）解：由、关于对称轴对称， 得． 将、点坐标代入函数解析式， 得， 解得， 抛物线的解析式； （2）解：由，得到的距离是的4倍， 即点的横坐标为4或， 当时，， 当时，，即， 综上所述，点P的坐标为或． 22．【问题背景】重庆市将投掷实心球作为中考体育的必考项目，在离手高度和离手速度一定的情况下，运动员可以通过调整实心球的离手角度，将实心球投掷得尽可能远． 【收集素材】投掷实心球属于物理中的斜抛运动，它可以看作竖直方向的运动与水平方向的运动的合成．忽略空气阻力，将实心球的离手速度分解到水平方向与竖直方向（如图1），抛实心球向前运动的水平距离（单位：米）、离开地面的高度（单位：米）与时间（单位：秒）满足关系式，其中表示重力加速度（，为常量）．表示实心球离手时距离地面的高度． 【建立模型】建立如图2所示的平面直角坐标系，实心球离手后的运动轨迹则可用函数图象来刻画． 【问题解决】某学习小组安排了一名男同学，分别以为离手角度进行实心球投掷．考虑到投掷者不变，故实心球离手时的离地高度、离手速度均视为不变量．通过查阅资料和初步计算，实心球离手后，水平方向与竖直方向的运动可表示如下： 离手角度为时：； 离手角度为时：； 离手角度为时：． 通过消元，离手角度为时，，即可表示为关于的二次函数，将其命名为函数． (1)任务一：请表示：离手角度为时，关于的函数表达式： ；离手角度为时，关于的函数表达式： ； (2)任务二：图3中是同一平面直角坐标系里，的图象，根据图象可以判断，在这三次投掷中，离手角度为 时，扔出的实心球落地点距离最远，为最佳离手角度； (3)任务三：中考实心球项目中，男生投掷9.7米及以上的距离则能够获得满分．请通过计算说明，该学习小组安排的这位男同学，以最佳离手角度投掷实心球时，能否获得满分？ 【答案】(1)； (2) (3)能获得满分 【分析】（1）用x表示t，并代入y关于t的表达式中即可； （2）观察图象即可； （3）令，求得x的值，据此即可判断． 【详解】（1）解：当离手角度为时，， 代入得， 则关于的函数表达式； 离手角度为时，， 代入得， 则关于的函数表达式； （2）解：观察图象知，从下往上，离手角度分别为，显然，离手角度为时，扔出的实心球落地点距离最远，为最佳离手角度； （3）解：令， 解得（舍去）， ∵， ∴， ∵， ∴以最佳离手角度投掷实心球时，能获得满分． 【强化训练】 1．已知抛物线（、、为常数，且）与轴交于，两点，且点在直线的下方，则下列说法正确的是（     ） A．抛物线的顶点不可能在第四象限 B．抛物线的开口一定向上 C．抛物线与直线一定有两个交点 D．抛物线的对称轴可能在y轴右侧 【答案】A 【分析】先求出直线与x轴的交点，根据点B在直线下方得出B点横坐标的范围，进而得到抛物线对称轴的位置，再判断各选项说法即可． 【详解】解：令直线中，得， 即直线与x轴交点为． 点是抛物线与x轴的交点， 点的纵坐标为，设， 点在直线下方， ，即． 抛物线与x轴交于，两点， 抛物线对称轴为直线. ， ，即对称轴在y轴左侧， 抛物线顶点的横坐标小于， 第四象限内点的横坐标大于， 抛物线的顶点不可能在第四象限，A选项说法正确； 的正负不确定， 抛物线开口方向无法确定，B选项说法错误； 联立抛物线与直线解析式，整理得， 其判别式， 当时，的符号不确定，交点个数不确定，C选项说法错误； 抛物线对称轴在y轴左侧， 对称轴不可能在y轴右侧，D选项说法错误． 2．说明：二次函数，也可以由表示，例如：当时，已知二次函数与轴有交点，且的根与的根完全一致，则的根为（     ） A． B．2 C．或2 D．以上都不对 【答案】A 【分析】由两方程根完全一致，推出若是的根，则也是的根，结合二次函数最多2个实根求解. 【详解】解：设是的任意一个根， ∵与的根完全一致， ∴是的根， ∴， 又∵， ∴，即也是的根， ∵ 一元二次方程最多有2个不同的实根， ∴ 对任意根，只能等于或另一个根， 若，解得； 若存在两个不同的根，则， 解得，与两个不同根矛盾； ∴有两个相等的实数根为. 3．函数的图象与x轴交于点，顶点坐标为，其中．以下结论正确的个数是（     ） ①；②点，在函数图象上，当时，；③一元二次方程必有一个解是；④． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】根据二次函数图象的性质和与一元二次方程的关系逐一判断即可． 【详解】解：①抛物线顶点坐标为，，与轴有交点， 抛物线开口向上，，对称轴为直线， 对称轴为直线， ， 抛物线与轴交于点，对称轴为直线， 抛物线与轴的另一个交点坐标为， 当时，，且，抛物线开口向上， ， ，故①错误； ②抛物线开口向上，对称轴为直线， 抛物线上的点离对称轴越远，对应的函数值越大， 当时，无法确定，到对称轴的距离大小， 无法比较与的大小，故②错误； ③抛物线与轴的交点为和， 一元二次方程的解为和，即必有一个解是，故③正确； ④当时，，且，抛物线开口向上， ， 又 ， ，故④正确； 综上，正确的结论有2个． 4．如图是抛物线，其顶点为，且与轴的一个交点在点和之间，则下列结论正确的有（     ） ①若抛物线与轴的另一个交点为，则； ②；③若时，随的增大而增大，则；④若时，． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】①根据抛物线的对称性得：，列不等式可得结论； ②将顶点坐标代入抛物线的解析式中，列两式可得结论； ③根据抛物线的对称轴即可判断； ④设，把它看作另一个二次函数，此二次函数过原点，通过计算发现与轴有两个交点，且另一个交点在原点的右侧，由此作判断． 【详解】解：①如图1，设抛物线与轴的交点为和（在的右侧）， 则， ∴， 由对称性得：， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故①正确； ②∵抛物线的顶点坐标为， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， 故②正确； ③∵抛物线的对称轴是直线，开口向下， ∴时，随的增大而增大， ∵时，随的增大而增大， ∴； 故③错误； ④由图可知：抛物线开口向下， ∴， ∴抛物线也开口向下，且过原点，如图2所示， 当时，， ， ∴，， ∴当时，， 即当时，； 故④正确； 其中正确结论是：①②④，3个． 5．对称轴为直线的抛物线（、、为常数，且）如图所示，小明同学得出了以下结论：①，②，③，④，⑤（为任意实数），⑥当时，随的增大而增大是随机事件．其中结论正确的个数为（     ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】由抛物线的开口方向判断的符号，由抛物线与轴的交点判断的符号，结合对称轴判断①，然后根据对称轴及抛物线与轴交点情况判断②，根据对称性求得时的函数值小于0，判断③；根据时的函数值，结合，代入即可判断④，根据顶点坐标即可判断⑤，根据函数图象和事件的分类即可判断⑥． 【详解】解：①由图象可知：， ∵对称轴为直线：， ∴， ∴，故①错误； ②∵抛物线与轴有两个交点， 即有两个不相同的根， ∴， ∴，故②正确； ③∵对称轴为直线，则与的函数值相等， ∴当时，，故③错误； ④当时，， ∴，故④正确； ⑤当时，取到最小值，此时，， 而当时，， 所以， 故，即，故⑤正确， ⑥当时，y随的增大而减小，当时，y随的增大而增大， 所以当时，随的增大而增大是随机事件，故⑥正确， 故结论正确的是②④⑤⑥. 6．已知抛物线与轴交于点和点，点为抛物线上的一动点，当为直角三角形时，则点的坐标为______． 【答案】或 【分析】由题意易得，设，然后根据两点间距离公式可得，，，进而根据勾股定理进行分类讨论求解即可． 【详解】解：令时，则有，解得， 不妨令点在点的左侧， ∴， 设， ∴， ， ， 当为直角三角形，且时，根据勾股定理得：， ∴， 解得，此时点T与点重合，故不符合题意； 当时，同理可得：， 解得：，此时点T与点重合，故不符合题意； 当时，同理可得：， 解得， ∵不符合题意， ∴或， ∴当时，则； 当时，则； 综上所述：当为直角三角形时，点的坐标为或． 7．如图，抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C．将抛物线沿y轴向下平移t个单位，当平移后的抛物线与线段有且只有一个交点时，则t的取值范围是______． 【答案】或 【分析】当t向下平移3个单位时，抛物线与线段开始有两个交点，当抛物线向下平移个单位时，抛物线与线段有且只有一个交点，即可求解． 【详解】解：如图，当t向下平移3个单位时，抛物线与线段开始有两个交点， 如图，当抛物线向下平移3到4个单位（不含3和4个单位）时，抛物线与有两个交点， 当抛物线向下平移4个单位时，抛物线与线段有且只有一个交点， 综上所述，t的取值范围是或． 8．若不等式的解集是，则实数的取值范围是_______； 【答案】 【分析】先判断分子恒为正，因此原不等式解集为等价于分母对任意恒成立，分和两种情况讨论，结合二次函数的图象性质求解的范围． 【详解】首先分析分子，对，其判别式，又二次项系数为，因此对任意，恒成立． 因此的解集为，等价于对任意恒成立． （1）当时，不等式化为，恒成立，符合题意． （2）当时，要使对任意恒成立， 需满足， 其中 令，即，整理得，即， 解得或． 结合，得符合题意，不符合，舍去． 综上，实数的取值范围是． 9．已知抛物线经过点．若抛物线顶点为，它与轴交于两点，且为等边三角形．请回答下列问题： （1）的值为__________； （2）若抛物线顶点在第三象限，则顶点坐标为__________． 【答案】 【分析】（1）抛物线顶点，与轴交于，，则，由于是等边三角形，顶点到轴距离为，顶点纵坐标绝对值为高，可得，代入，化简得，解得； （2）顶点在第三象限，需满足横坐标，即，纵坐标，当时，顶点横坐标，纵坐标，符合第三象限． 【详解】（1）解：由题意，，　 ∴， 抛物线顶点为， 设， ∵， ∵为等边三角形， ∴ 即 ∵， ∴， ∵，　 ∴， ． （2）解：或， ∵抛物线顶点在第三象限, ∴, 即, 故舍去, 将代入得， ∵抛物线顶点在第三象限， ∴顶点坐标为． 10．如图，抛物线，与直线分别交于A，C和B，D四点，且，，．若点P，Q分别是两抛物线的顶点，且P，Q都在x轴上，则的长是______． 【答案】 【分析】根据题意求出的长，根据对称性可求出点A到抛物线的对称轴的距离为，点D到抛物线的对称轴的距离为，据此可得答案． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴； ∵抛物线，与直线分别交于A，C和B，D四点， ∴点A和点C关于抛物线的对称轴对称，点B与点D关于抛物线的对称轴对称， ∴点A到抛物线的对称轴的距离为，点D到抛物线的对称轴的距离为， ∴． 11．二次函数的图象如图所示，下列结论： ①； ②； ③； ④当时，y随x的增大而增大； ⑤． 其中正确的有______．（填序号） 【答案】②③④⑤ 【分析】根据开口方向可得，根据对称轴为直线，得到，根据二次函数与y轴的交点在y轴的负半轴，得到，据此可判断①；根据二次函数与x轴的一个交点的坐标为，可判断②⑤；根据二次函数与x轴有两个不同的交点可判断③；根据二次函数的增减性可判断④． 【详解】解：∵二次函数的图象开口向上， ∴， ∵对称轴为直线， ∴， ∴； ∵二次函数与y轴的交点在y轴的负半轴， ∴， ∴，故①错误； ∵二次函数与x轴的一个交点的坐标为， ∴当时，，故⑤正确； ∴，即，故②正确； ∵二次函数与x轴有两个不同的交点， ∴，即，故③正确； ∵二次函数的图象开口向上，对称轴为直线， ∴当时，y随x的增大而增大，故④正确； 12．如图，已知抛物线与x轴交于点和，与y轴交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)如图1，若点P是线段上的一个动点（不与点B、C重合），过点P作y轴的平行线交抛物线于点Q，连接，当线段长度最大时，判断四边形的形状并说明理由； (3)如图2，在（2）的条件下，D是的中点，过点Q的直线与抛物线交于点E，与x轴交于点G，且．在y轴上是否存在点F，使得为等腰三角形？若存在，求点F的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)解：四边形为平行四边形 理由如下 设直线的解析式为，根据题意，得 ， 解得， ∴直线的解析式为：， 设点P的坐标为，则点Q的坐标为， ∴， ∴， ∵， ∴抛物线开口向下，函数有最大值， ∴当时，的长度最大，且最大值为，此时，，． ， ， ∵， ∴四边形为平行四边形 (3)存在，点F的坐标为或或 【分析】（1）利用待定系数法解答即可； （2）设直线的解析式为，将、代入直线的解析式得到直线的解析式为：．设点P的坐标为，则点Q的坐标为，继而得到，配方后得到，根据二次函数的性质解答即可． （3）先确定点，直线的表达式为；过点Q作轴于点H，得到直线和直线关于直线对称，确定直线的表达式为；根据题意，得  得到点E的坐标为，设点F的坐标为，根据题意，得，，，分，，求解即可； 【详解】（1）解：抛物线与x轴交于点和，与y轴交于点． 解得 抛物线的解析式为． （2）略 （3）解：∵D是的中点，且，则点， 设直线的表达式为， 根据题意，得， 解得， 故直线的表达式为； 当时，， ∴点A在直线上， 过点Q作轴于点H， 则， 故， 而，， ∴， ∴直线和直线关于直线对称， ∵点，， ∴点， 设直线的表达式为， 根据题意，得， 解得， 故直线的表达式为； 根据题意，得   解得，， ∴点E的坐标为，另一组解与点Q重合， 设点F的坐标为， 根据题意，得，， ， 当时，此时有，故，，故，此时方程无实数解； 当时，此时有，故，故， 解得； 当时，此时有，故， 解得； 故在y轴上存在点F，使得为等腰三角形，并且点F的坐标为或或． 13．如图，在平面直角坐标系中，已知直线与x轴交于点A，与y轴交于点C，过A，C两点的抛物线与x轴交于另一点，抛物线对称轴为直线l． (1)求抛物线的解析式； (2)点M为直线下方抛物线上一点，当的面积最大时，求点M的坐标； (3)在（2）的条件下，点N为y轴上一点，求的最小值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由一次函数的解析式求出点A和点C的坐标，再利用待定系数法求出抛物线的解析式即可； （2）过点M作轴，交于点D，设，则，可得，则可得到，据此可得答案； （3）作直线，且使得直线与y轴正半轴的夹角为，过点N作于点G，连接，则，可证明当三点共线（点N在上），且时，有最小值，即此时有最小值，最小值为线段的长；过点M作轴，交x轴于点K，交直线于点T，求出的长，根据，求出的长即可得到答案． 【详解】（1）解：在中，当时，，当时，，解得， ∴， ∵抛物线经过三点， ∴， ∴， ∴抛物线的解析式为； （2）解：如图所示，过点M作轴，交于点D， 设，则， ∴， ∴ ， ∵， ∴当，即时，有最大值， 此时， ∴当的面积最大时，点M的坐标为； （3）解：如图3-1所示，作直线，且使得直线与y轴正半轴的夹角为，过点N作于点G，连接， 在中，， ∴， ∴， ∵垂线段最短， ∴当三点共线（点N在上），且时，有最小值，即此时有最小值，最小值为线段的长； 如图3-2所示，当有最小值时，过点M作轴，交x轴于点K，交直线于点T， 由（2）得点M的坐标为， ∴； ∵轴， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴的最小值为． 14．如图，已知二次函数的图象与x轴相交于不同的两点，，且，该抛物线与y轴相交于点C，顶点为P． (1)若抛物线的对称轴为，求b的值； (2)若，求b的取值范围； (3)该抛物线的对称轴与x轴相交于点E，M在其对称轴上，且满足，，点F在y轴上，若，且，求该二次函数的表达式． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据对称轴为，即可求解； （2）根据二次函数的图象抛物线与x轴有两个不同的交点，可得，即可求解； （3）先求出顶点P，E的坐标，再求出点A，B，C的坐标，可得，，设点M的坐标为，其中，则，根据，可得，从而可得 ，再根据，可得，根据，可得，即可求解． 【详解】（1）解：∵抛物线的对称轴为， ∴， 解得：； （2）解：∵， ∴抛物线的解析式为， ∵二次函数的图象抛物线与x轴相交于不同的两点，， ∴， 解得：； （3）解：∵， ∴点A，B均在x轴的正半轴上，即点E在x轴的正半轴上， ， ∴顶点P的坐标为， ∴抛物线的对称轴为直线， ∴点E的坐标为， 当时，， ∴点C的坐标为，即， 当时，， 解得：， ∴点， ∴，， ∵M在其对称轴上， ∴可设点M的坐标为，其中， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∴点M的坐标为， ∴，， ∵， ∴， 解得：或0（舍去）， ∴，， ∴，即， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得：或（舍去）， ∴抛物线的解析式为． 15．如图，抛物线与轴交于两点（点在点左侧），与轴交于点，点是抛物线上的一个动点，且位于第四象限，连接、、、，延长交轴于点． (1)若，求点的坐标和线段的长度； (2)若对任意，、两点总关于轴对称，求点的坐标（用含的式子表示）； (3)当点运动到某一位置时，恰好使得点是线段的中点． ①求证：； ②该抛物线上存在一点，若此时恰好满足，且对于动点总有实数满足恒成立，求实数n的取值范围． 【答案】(1)，的长度为4 (2)点的坐标为 (3)①证明：由题可知点． ∵点是线段的中点， ，即点在线段的垂直平分线上． ∵， ∴点的横坐标为3，即，代入抛物线， 得，即点的坐标为． ∵点是线段的中点， 设点， ∴，即， ∴点的坐标为，即． 由(2)知点的坐标为，即， ； ②或 【分析】（1）当时，得，当时，得，可得点，进而可得的长，当时，可得的坐标； （2）首先，得到，再当时，，且，可得，然后，由、两点总关于x轴对称，得，进而可得直线的解析式为，接着，由点为直线与抛物线的交点，联立成方程组，解方程组即可得到点D的坐标； （3）①由题可知点，由点是线段的中点，得点在线段的垂直平分线上，再由，可得点的横坐标为3，代入抛物线的解析式得，进而得点的坐标为，由点是线段的中点，设点，可得点的坐标为，即，进而可证得结论； ②由①可知点的坐标为，可得，再由，，，可得，进而得，解得，接着，可得抛物线的解析式为，然后，由动点在抛物线上，可得，令，得其对称轴为直线，可得当时，随的增大而增大，当时，得的最小值为，进而得，即，令，结合图象即可得出n的取值范围． 【详解】（1）解：当时，， 当时，， 解得， ∵抛物线与轴交于两点（点在点左侧）， ∴． ∴的长度为． 当时，， ∴； （2）解：由题可知当时，， ∴， 当时，，且， 整理，得， 解得， ∴，即， ∵对任意，、两点总关于x轴对称， ∴， 设直线的解析式为， 将代入，可得 ，解得， ∴直线的解析式为， ∵点为直线与抛物线的交点， ∴解方程组，得或(点舍去）， ∴点的坐标为； （3）①略； ②解:由①可知点的坐标为． ∴， ，，， ． ∴， ，即． ∴抛物线的解析式为． ∵动点在抛物线上， ． 令， ∴其对称轴为直线． 则当时，随的增大而增大． ∴当时，有最小值，的最小值为． ，即． 令， 当时，，解得， 结合的图象可得，当时，即的取值范围为或． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $