第十四章全等三角形单元培优卷2026-2027学年八上数学沪科版

**基本信息** 沪科版八上全等三角形单元培优卷，覆盖全等判定、性质及应用，通过基础辨析、情境探究（如环城河测量）与综合推理题，培养几何直观与推理能力，适配单元复习提升。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/40|全等性质、判定（SAS/SSS等）|基础概念辨析，如第8题尺规作图依据SSS| |填空题|4/20|全等应用、尺规作图|情境化设计，如第13题雨伞模型证角相等| |解答题|8/90|证明、实际测量、综合探究|分层综合，如第21题测量方案设计，第23题动态几何推理|

2026-2027学年八上数学沪科版第十四章全等三角形单元培优卷 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ （考试时间：120分钟 满分：150分 ） 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．如图，已知，则的对应角是（    ） A． B． C． D． 2． 如图，已知，以下结论错误的是（   ） A． 平分 B． C． D． 3．如图，是的角平分线，，垂足为，，和的面积分别为48和26，则的面积为（    ） A．11 B．22 C．26 D．37 4．如图，已知，，则的依据是（  ） A． B． C． D． 5．如图，已知，那么添加下列一个条件后，仍无法判定的是（    ） A． B． C． D． 6．如图，，和分别是和的高，若，则的值是（    ） A．4 B．3 C．2.5 D．3.2 7．如图，在和中，，，要利用“”来判定和全等时，下面的4个条件中：①；②；③；④，其中正确的是（　　    ）      A．①或② B．②或③ C．①或③ D．①或④ 8．如图是用直尺和圆规作一个角等于已知角的示意图，在作图过程中说明的依据是．证明的依据是（   ）       A．SAS B．SSS C．AAS D．ASA 9．如图，在中，，，是经过点A的一条直线，且点B，C在的两侧，于点D，于点E，交于点F．若，，则的长为（    ） A．6 B．5 C．4 D．8 10．如图所示，，B，D，E三点在一条直线上，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 11．如图，在与中，已知，，，若，，则______． 12．给出下列条件：①已知两边；②已知两角；③已知一边和一角；④已知两角和一边．其中能用尺规作出唯一三角形的是_______（填序号） 13．雨伞截面示意图如图所示，伞骨，支撑杆．当沿滑动时，雨伞开闭，则在雨伞开闭过程中，与的数量关系为______． 14．如图，C为线段上一动点（不与点A，E重合），在同侧分别作等边和等边，与交于点O，与交于点P，与交于点Q，连接．以下五个结论： ①；②；③；④为等边三角形；⑤．其中正确的有 _________ ．（注：把你认为正确的答案序号都写上） 三.（本题共16分） 15．如图，在和中，，，． 求证：． 16．如图， ，相交于点，，，连接，．求证：． 四.（本题共16分） 17．如图，且，． (1)求证：； (2)若，，求的度数． 18．如图，已知，在中，，是上一点，且，为上的一点，交于． (1)求证：≌； (2)求证：． 五．（本题共20分） 19．已知，，．        (1)如图1，求证：； (2)如图2，与相交于点，若，，求的度数． 20．如图，D为外部一点，连接，，已知， (1)尺规作图：在内求作一点M，使；（提示：以点A为圆心，为半径画弧；再以点C为圆心，为半径画弧，两弧交于点M，连接） (2)①通过作图可以得到：______，______； ②判定的依据是______（从、、或中选填）； (3)求． 六.（本题共12分） 21．无为市环城河原来是一条古老的护城河，古代的护城河保护着城镇的安全，现在的环城河两岸风光旖旎，市政府把它改造成环城公园，改造后焕然一新，成为居民锻炼休闲的好去处．为了测量环城河某段平行两岸的宽度，两个数学研究小组设计了不同的方案，如下表： 课题 测量环城河的宽度 工具 测量角度的仪器，标杆，皮尺等 小组 第一小组 第二小组 测量方案 如图，观测者在河南岸找到一点B，正好位于对岸树A的正南方向；从B点出发，沿着南偏西的方向走到点C，此时恰好测得，米． 如图，观测者在河南岸找到一点B，正好位于对岸树A的正南方向；从B点向东走到O点，在O点插上一根标杆，继续向东走相同的路程，到达C点后，一直向南走到点D，使得树，标杆，人在同一直线上．测得长为20米． 示意图          (1)分别根据第一小组，第二小组的测量方案，求出该段环城河的宽度； (2)除上述方法外，请你运用所学知识再设计1种方案对河宽进行测量（要求：在图3中画出基本图形；简单说明测量方案；不写计算和证明的过程） 七.（本题共12分） 22．如图，在等腰中，，点F在边上，延长交于点E，，． (1)试说明：； (2)若，，求的度数． 八.（本题共14分） 23．在中，，，过的中点作的垂线，交于点，点在的延长线上，． (1)如图，，求证：； (2)如图，点在的延长线上，，连接，，直接写出的大小，并证明． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《2026-2027学年八上数学沪科版第十四章全等三角形单元培优卷》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A B A B B B A B A B 1．A 【分析】本题主要考查全等三角形的性质，解答的关键是熟记全等三角形的性质：全等三角形的对应角相等． 根据全等三角形的性质进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴，则的对应角为． 故选：A． 2．B 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，利用可证明，由全等三角形的性质可得，据此可判断A、C、D，根据现有条件无法证明，则可判断B． 【详解】解：∵， ∴，故C结论正确，不符合题意， ∴，故D结论正确，不符合题意， ∴平分，故A结论正确，不符合题意； 根据现有条件无法证明，故B结论错误，符合题意； 故选：B． 3．A 【分析】本题主要考查了角平分线的性质，全等三角形的性质和判定， 作，根据角平分线的性质定理得，再证明，，进得出方程，求出解即可． 【详解】解：过点D作，于点H， ∵是的角平分线，， ∴． 在和中， ， ∴， 同理． 设的面积是x，则的面积是x，根据题意，得 ， 解得， 所以的面积是11． 故选：A． 4．B 【分析】本题考查了全等三角形的判定定理，解题的关键是根据已知条件准确找出判定三角形全等所需的边和角． 已知，，且为与的公共边，因此满足两边及其夹角对应相等，可依据判定两三角形全等． 【详解】解：在和中， ∴ （）． 故选：． 5．B 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定定理的应用，熟练掌握全等三角形判定方法是解题的关键． 根据图形得出，根据全等三角形的判定定理逐个判断即可． 【详解】解：A、添加，则依据可判定，故选项不符合题意； B、添加，与，不是夹角，不可判定，故选项符合题意； C、添加，则依据可判定，故选项不符合题意； D、添加，则依据可判定，故选项不符合题意； 故选：B． 6．B 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的对应边相等、对应角相等，以及利用判定三角形全等是解题的关键．根据全等三角形的性质，对应边相等、对应角相等，结合高的定义得到直角，再通过证明包含高的两个小三角形全等，从而得出高相等． 【详解】解：∵， ∴，， ∵、分别是、的高， ∴， 在和中， ， ∴（）， ∴， ∵， ∴， 故选：B． 7．A 【分析】本题考查全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定方法是解答的关键．根据全等三角形的SSS判定条件解答即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∵和推不出， ∴可利用的是①或②， 故选：A． 8．B 【分析】本题考查了尺规作图，作一个角等于已知角，理解尺规作图的基本原理是解题的关键．由作图可知，的半径相等，，据此求解即可． 【详解】解：由作图可知：，， 在和中 ， ， 故选：B． 9．A 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，根据全等三角形的判定与性质，利用余角的性质得出是解题关键． 先根据推出，再根据全等三角形的性质即可得到结论． 【详解】解：，， ， 于， ， ， 在与中， ， ， ，， ． 故选：A． 10．B 【详解】本题考查了全等三角形的判定与性质、三角形内角和定理及外角性质等知识点，解题的关键在证明．先证明．然后利用全等三角形的性质得出，再结合三角形内角和定理计算出的具体度数． 【点睛】解：， ，即， 在和中， ， ， ， ， 在中，， ， ． 故选：B． 11．10 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，平行线的性质，由平行线的性质可得，再证明，得到，据此根据线段的和差关系求解即可． 【详解】解：∵， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 故答案为：10． 12．④ 【分析】本题考查了全等三角形的判定．根据全等三角形的判定定理，只有已知两角和一边（对应判定方法是或）能唯一确定三角形，其他条件均不能用尺规作出唯一三角形，据此进行逐个分析，即可作答． 【详解】解：依题意，已知两边不能用尺规作出唯一三角形， 故①不符合题意； 已知两角不能用尺规作出唯一三角形， 故②不符合题意； 已知一边和一角不能用尺规作出唯一三角形， 故③不符合题意； 已知两角和一边（对应判定方法是或）能唯一确定三角形，即用尺规作出唯一三角形， 故④符合题意； 故答案为：④ 13． 【分析】此题主要考查了全等三角形的应用，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题关键． 与相等，证角相等，常常通过把角放到两个全等三角形中进行证明，本题公共边，可考虑证明三角形全等，从而推出角相等． 【详解】解：雨伞开闭过程中二者关系始终是：， 理由如下：∵， ∴， 在与中， ∴， ∴． 故答案为：． 14．①②④⑤ 【分析】本题主要考查了等边三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、平行线的判定与性质等知识，灵活运用相关知识是解题的关键． 根据等边三角形的性质可证明，即，可判断结论①；由可得，进而证明可得，易证为等边三角形，可判断结论④；易得可证，可判断结论②；由可得，再根据线段的和差以及等量代换可判断⑤；无法判断③的正误． 【详解】解：∵和都是等边三角形， ∴， ∴， ∴， 在和中，， ∴， ∴，结论①正确． ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， 在和中，， ∴， ∴， 又∵， ∴为等边三角形，结论④正确； ∴， ∴，结论②正确； ∵， ∴， ∴， ∴结论⑤正确． 没有条件证出，③错误； 综上，可得正确的结论有4个：①②④⑤． 故答案为：①②④⑤． 15．证明：在和中 ， 【分析】根据题干的条件，由“边角边”证明两三角形全等即可． 【详解】略． 16．详见解析 【分析】要证明 ，需证明和全等，通过已知条件 ， 以及对顶角，利用判定定理证明全等，进而得出对应边相等.本题主要考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定定理（）是解题的关键. 【详解】证明：在和中， ∴， ∴（全等三角形对应边相等） 17．(1)见解析 (2) 【分析】（1）利用即可证明结论； （2）由全等三角形的性质求出的度数，再求出的度数即可得到答案． 【详解】（1）证明：∵， ∴， 又∵，， ∴； （2）解：由（1）得，， ∴， ∴， ∴． 18．(1) 证明：由题意可得：， 在与中， ∴≌； (2) 证明：∵≌； ∴， ∵， ∴， ∴， 即． 【分析】本题考查了全等三角形的性质和判定，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）根据全等三角形的判定定理证明即可； （2）根据全等三角形的性质证明即可． 【详解】（1）略 （2）略 19．(1) 证明：，， ， 在和中， ， ； (2) 【分析】本题考查三角形全等的判定与性质、三角形外角性质及三角形内角和定理等知识，熟练掌握三角形全等的判定与性质是解决问题的关键． （1）利用三角形全等判定与性质，证得，即可得证； （2）利用全等三角形性质得到，再由三角形外角性质与三角形内角和定理数形结合即可得到答案． 【详解】（1）略 （2）解：由（1）知，， 在中，是其外角，则， 在中，． 20．(1) (2)①；；② (3) 【分析】（1）根据提示作图即可； （2）①根据题意可得答案；②结合全等三角形的判定可得答案． （3）结合全等三角形的判定可得，在中，，在中，，则可得． 【详解】（1）略； （2）解：①通过作图可以得到：． ②结合作图得， ∵ ∴判定的依据是； （3）解：在中，， 在中，． ∵， ∴． ∴ ． 21．(1)20米 (2) 解：如图为所画的测量基本图形，    在河南岸找到一点，正好位于对岸树的正南方向，然后从点沿河岸向东走到点，测得，则线段的长就是河宽的长度． 由题意得， ， ， ， ∴线段的长就是河宽的长度． 【分析】本题主要考查三角形外角的性质，等腰三角形的判定以及全等三角形的判定与性质等知识，解题的关键是理解题意． （1）第一小组：根据三角形外角性质求出，再根据等角对等边求出米；第二小组：根据证明，得米； （2）观察者从点向东走到点，此时恰好测得，利用等腰三角形的判定和性质即可测量． 【详解】（1）解：第一小组： ， ， ， ， 米， 米， ∴河宽为20米； 第二小组：由题意得，， ， ， 米， 米， ∴河宽为20米； （2）略 22．(1)见解析 (2) 【分析】（1）首先得到，然后证明出即可； （2）根据三角形外角的性质可得，利用全等三角形的性质即可得到，根据等边对等角得到，利用角的和差即可求解． 【详解】（1）∵， ∴， 即， 在和中， ， ∴； （2）∵，， ∴， ∵， ∴ ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质、三角形外角的性质，等腰三角形的性质等内容，掌握上述基本性质定理是解题的关键． 23．(1)证明：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴； (2)解：的大小为， 证明：如图，过点分别作，的垂线，分别交，的延长线于点，， 在中，， ∴， ∵是的中点， ∴， ∵， ∴， ∵， 又是和的公共边， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 即， ∴． 【分析】（1）得，通过，，所以，则有，然后通过直角三角形的性质可得，，再由线段的和与差即可求解； （2）过点分别作，的垂线，分别交，的延长线于点，，分别证明，，所以，又，则，即，从而可得． 【详解】（1）略； （2）略． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $