1.4.2用空间向量研究距离、夹角问题7题型分类讲义（讲+练）-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

本讲义聚焦用空间向量研究距离与夹角问题，系统梳理点到直线、点到平面等距离类型及线线角、线面角、面面角等夹角类型，通过7类题型构建学习支架，衔接空间向量基本运算，形成从原理到应用的完整知识链。 资料亮点在于题型分类细致，含步骤解析与多样例题，通过具体几何体问题抽象向量方法培养数学眼光，规范推理步骤发展数学思维，用向量语言表达空间关系提升数学语言能力。课中辅助教师分层教学，课后助力学生巩固查漏。

2026-2027学年高二数学人教A版2019选择性必修第一册同步知识·题型解题秘籍 1.4.2用空间向量研究距离、夹角问题7题型分类 一、空间向量研究距离问题 1．点P到直线l的距离: 已知直线l的单位方向向量为u，A是直线l上的定点，P是直线l外一点，设向量在直线l上的投影向量为＝a，则点P到直线l的距离为 (如图)． 2．点P到平面α的距离: 设平面α的法向量为n，A是平面α内的定点，P是平面α外一点，则点P到平面α的距离为(如图)． 3．两平行直线间的距离：一条直线上任一点到另一条直线的距离. 4．直线到平面的距离：直线上任一点到这个平面的距离. 5．两平行平面间的距离：一平面上任一点到另一平面的距离． 二、空间向量研究夹角问题 1． 两个平面的夹角： 平面α与平面β的夹角：平面α与平面β相交，形成四个二面角，我们把这四个二面角中不大于90°的二面角称为平面α与平面β的夹角． 2．空间角的向量法解法 角的分类 向量求法 范围 线线角 设两异面直线l1，l2所成的角为θ， 其方向向量分别为u，v， 则cos θ＝|cos〈u，v〉|＝ 线面角 设直线AB与平面α所成的角为θ，直线AB的方向向量为u，平面α的法向量为n，则sinθ＝|cos〈u，n〉|＝ 面面角 设平面α与平面β的夹角为θ， 平面α，β的法向量分别为n1，n2， 则cosθ＝|cos〈n1，n2〉|＝ （一） 点到直线的距离 1、用向量法求点到直线的距离的一般步骤： (1)求直线的方向向量． (2)计算所求点与直线上某一点所构成的向量在直线的方向向量上的投影向量的长度． (3)利用勾股定理求解．另外，要注意平行直线间的距离与点到直线的距离之间的转化． 2、用向量法求点到直线的距离时需注意以下几点: (1)不必找点在直线上的垂足以及垂线段; (2)在直线上可以任意选点,但一般选较易求得坐标的特殊点; (3)直线的方向向量可以任取,但必须保证计算正确. 题型1：利用空间向量求点到直线的距离 1．（2026高二·河南南阳·阶段检测）已知点，，，则点A到直线BC的距离为______． 【答案】/ 【详解】因为点，，， 所以， 于是有， 所以， 所以点A到直线BC的距离为. 2．（2026高二·福建漳州·期中）在空间直角坐标系中，已知，，，则点到直线的距离为________． 【答案】 【详解】由题意得，， ， ， 向量在直线上的投影长度为， 故点到直线的距离为 3．【多选】（2026高二·福建厦门·阶段检测）已知直线的方向向量为直线上一点，若点为直线外一点，则到直线上任意一点的距离可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】AB 【分析】先求出向量，结合直线方向向量，利用向量运算求出点到直线的最小距离，直线外一点到直线上任意点的距离不小于该最小距离，据此判断选项即可得. 【详解】因为，，所以， ， ，， 设与的夹角为， ，则， 由同角三角函数关系式得， 因此点到直线的最小距离，即. 选项A：，存在对应的点满足条件，正确； 选项B：是最小距离，垂足处即可取到该值，正确； 选项C：，两点的距离不可能小于，错误； 选项D：，两点的距离不可能小于，错误. 4．（2026高一·四川成都·期中）四面体满足，， ，. 设的中点分别为，则点到直线的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】建立空间直角坐标系，由向量关系求解. 【详解】由题意，建立如图所示空间直角坐标系： 则，所以， 所以点到直线的距离为. 5．（2026高二·福建宁德·期末）在三棱台中，，，且，若平面，则点到直线的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】建立适当空间直角坐标系，求出和直线的方向向量即可由点到直线向量法距离公式直接计算求解. 【详解】由题意，平面，， 因此以为原点，分别以、、方向为轴建立空间直角坐标系： 则，，，，， 直线​的方向向量， ， 点到直线的距离. 6．（2026高二·浙江·期中）在直四棱柱中，底面为菱形，，，，点为棱的中点． (1)求平面和平面夹角的余弦值； (2)连接，若点为线段上的一动点，当点到直线距离最短时，求线段的长度． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）建立空间直角坐标系，求出平面和平面的法向量坐标，然后根据向量夹角的余弦公式即可求出二面角的余弦值. （2）根据坐标求出到直线的距离最短的点的坐标，然后根据空间两点距离公式求出线段的长度即可. 【详解】（1）以为原点，以所在直线为轴，以过点垂直于的直线为轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则. 所以， 设平面和平面的法向量分别为. 则有，， 所以有，两式相减，令，则. ，令，则. 所以. 所以平面和平面的夹角的余弦值为 . （2）设，，因为，，， 所以，所以. 因为，,所以. 所以，所以， 所以点到直线的距离为， 其中，所以当时，点到直线的距离最短， 此时，又，所以. 7．（2026高二·全国·暑假作业）如图，在四棱锥中，底面四边形为菱形，为棱的中点，为边的中点． (1)求证：平面； (2)若侧面底面，且，；在棱上是否存在点，使点到直线的距离为，若存在，求的值；若不存在，说明理由． 【答案】(1) 证明：取线段的中点，连接，在中，分别为的中点． ，且 又底面是菱形，且为的中点， ，且， ，且， 四边形为平行四边形， 又平面平面 平面. (2)存在点， 【分析】（1）取线段的中点，连接，证明为平行四边形，即可证明结论； （2）以为原点，建立空间直角坐标系如图所示，设，点点坐标用表示出来，根据点到直线距离向量公式解出参数，即可求出结果． 【详解】（1）略 （2）在平面内过点作， 又由平面底面,且平面平面,可得平面， 又菱形中，且，所以可得在中有， 以为原点，分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系，由且，所以是正三角形，所以， 设 ， ， ，， 即 化简得，故（舍负）. 综上，存在点，. （二） 点到平面的距离与直线到平面的距离 1、用向量法求点面距的步骤： (1)建系：建立恰当的空间直角坐标系． (2)求点坐标：写出(求出)相关点的坐标． (3)求向量：求出相关向量的坐标(，α内两不共线向量，平面α的法向量n)． (4)求距离d＝. 2、求点到平面的距离的主要方法： (1)作点到平面的垂线,点到垂足的距离即为点到平面的距离. (2)在三棱锥中用等体积法求解. (3)向量法:d=(n为平面的法向量,A为平面上一点,MA为过点A的斜线段). 题型2：利用空间向量求点到平面的距离 8．（2026高一·福建厦门·阶段检测）在三棱锥中，，，，则D到平面的距离为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】因为是对棱相等的棱锥，所以将三棱锥放在长方体更容易求解. 【详解】 令长方体长、宽、高分别为由图的 由图可得：, 令平面法向量， 所以：所以， 点D到平面的距离即在投影向量的模长， ， 所以点D到平面的距离为. 9．（2026高三·全国·专题练习）三棱柱中，平面，，是棱的中点，． (1)证明：； (2)设，的中点为，求点到平面的距离． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）在中，利用勾股定理的逆定理可得．结合，可得平面．由线面垂直的性质定理即可得证； （2）先证明平面，可得，，两两垂直，然后建立空间坐标系，利用空间向量求解即可. 【详解】（1）如图所示，由题设知，三棱柱的侧面为矩形． 由于为的中点，故． 又， 可得 ， 所以． 又因为，， 所以平面． 因为平面， 所以． （2）由（1）可知， 又因为平面．平面, 所以， 又因为，平面，且， 所以平面， 所以，，两两垂直． 以为坐标原点，的方向为轴的正方向，的方向为轴的正方向，的方向为轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系． 由题意知，，，，， 则，，． 设是平面的法向量， 则,即， 取，得． 设点到平面的距离为，则． 10．（2026高二·四川凉山·阶段检测）如图所示，在直四棱柱中，底面为平行四边形，，，点在上，且，则点到平面的距离为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】建立如图所示的空间直角坐标系，利用向量法求出点到平面的距离即得解. 【详解】建立如图所示的空间直角坐标系，则. 所以， 设平面的法向量为 则. 所以点B到平面的距离. 故选：C 11．（2026高二·山西长治·阶段检测）在如图所示的五面体中，平面是边长为2的正方形，平面，，且，为的中点，为中点. (1)求证：平面； (2)求点到平面的距离． 【答案】(1)证明见解析； (2) 【分析】（1）建立空间直角坐标系，确定各点坐标，得到，平面的一个法向量为，根据得到证明. （2）平面的法向量为，，根据距离公式计算得到答案. 【详解】（1）由题分别以为轴建立如图所示的空间直角坐标系，则，， ，，，，， 所以，平面的一个法向量为， 所以，即，又平面，所以平面； （2），设平面的法向量为          ，即，取得到， 又，设点到平面距离为，， 所以点到平面距离为. 12．（2026高三·河北衡水·阶段检测）如图，四棱锥的底面是正方形，平面，．已知E，F分别为，的中点，平面与棱交于点G． (1)求证：平面； (2)求； (3)判断线段上是否存在一点H，使得点H到平面的距离为？若存在，请求出点H的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)因为 平面，平面，则 ， 在正方形中， ，因 ，平面， 则平面，因平面，则， 又，点是的中点，则， 又因为，平面，故平面. (2) (3)存在，或 【分析】（1）先由条件证明平面，进而得，由等腰三角形三线合一证得，最后利用线面垂直的判定定理即可证得结论； （2）结合图形利用线面垂直的判定定理和性质定理证明 平面 ，得到，再证，求得，从而可得； （3）假设线段上是存在一点，满足条件，则，表示出的坐标，结合平面的法向量，利用点到平面的距离坐标公式列方程，求解即得的值，从而得到点H的坐标. 【详解】（1）略 （2）由（1）平面，因平面，则， 因 平面，平面，则 ， 又 ，，平面，所以平面， 因平面，则， 又因为是的中点，，则， 因 ，平面，则平面， 因平面，则， 因，平面 ，则 平面 ， 因为平面 ，则，即， 即由（1）平面，因 平面，则，即， 又，则，则， 因为，，， 则，即，即. （3）以点为原点，分别以所在直线为坐标轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 所以 ， 设平面的一个法向量为， 则，令，得， 所以平面的一个法向量为， ，则， 假设线段上存在一点，使得点到平面的距离为， 则，则， 所以，则，即，则， 则点H到平面的距离，解得或， 则或， 即在线段上存在一点H，使得点H到平面的距离为. 13．（2026高二·江苏宿迁·期末）如图，三棱锥中，底面，平面平面． (1)求证：； (2)若，且二面角的正弦值为． ①求的长； ②为平面内一点，且满足，求点到平面距离的最大值． 【答案】(1)在面内，过A作交于， 因为平面平面，平面平面， 平面， 所以平面． 平面，所以． 因为底面，底面，所以． 又，且平面，所以平面． 因为平面，所以． (2)①；② 【分析】（1）由面面垂直的性质得到线面垂直，即可得到线线垂直，然后再证明线面垂直，由线面垂直的性质得证线线垂直； （2）①解法1：由二面角定义作出二面角的平面角，由线面垂直得到线线垂直，然后由直角三角形中边的关系即可求得； 解法2：建立空间直角坐标系，设点坐标，利用向量的数量积求得平面和平面的法向量，然后由二面角和向量的数量积公式求得点坐标.，从而求得. ②解法1：建立空间直角坐标系，设点坐标，由向量的数量积求得平面的法向量，由向量投影求得点到平面距离的表达式，即可求得答案； 解法2：利用等体积转换法求得点到平面距离的最大值. 【详解】（1）略 （2）①解法1：如图所示，在内过点M作交于，连接， 由（1）知，平面，又平面，所以． 又，平面，，所以平面． 又因为平面，所以． 故为二面角的平面角． 因为平面，平面PBC，所以． 因为平面，平面，平面，所以，． 设，则在中，，中，，． 在中，，即． 解得，即 解法2：以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，建立如图所示空间直角坐标系， 则， ， ， 设，由（1）可知，即． 设平面的一个法向量， 又， 所以，即，取，则，， 所以． 由题意得，平面的一个法向量 因为二面角的正弦值为， 所以二面角的余弦值的绝对值为． 所以． 即，将代入得，． 解得，． 当时，，此时，与C重合，舍； 当时，，此时．     ②解法1：以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，建立如图所示空间直角坐标系，则， ， ， ． 因为，为平面内一点， 所以在以为直径的圆上，则设． 设平面的一个法向量， 则，即，取，则． 所以． 到平面的距离为． 因为，所以到平面的距离最大值为． 解法2：因为平面，所以为三棱锥的高， 由（1）知，平面，平面，所以． 在直角三角形中，，，所以． 由（1）知， 设到平面的距离为h， 因为，所以，即． 又在平面内，且，所以在以为直径的圆上， 所以面积的最大值为． 故到平面的距离h的最大值为． 14．（2026高二·安徽淮南·期中）如图，在四棱锥中．底面为矩形，侧棱底面，，是的中点． (1)求证：平面； (2)求平面与平面夹角的余弦值； (3)若，且点到平面的距离为，求的值． 【答案】(1) 如图，连结，交于点，连结， 因为点是的中点，底面为矩形， 所以点是的中点， 所以， 因为平面，平面， 所以平面； (2)； (3)． 【分析】（1）连结，交于点，连结，证明，再由线面平行的判定定理证明即可； （2）以向量为轴的正方向建立空间直角坐标系，求平面和平面的法向量即可求解面面角的余弦值； （3）由（2）可得，再由求解即可. 【详解】（1）略 （2）如图，以向量为轴的正方向建立空间直角坐标系， ，，， 则，， 设平面的法向量， 则，令，，， 所以平面的法向量， 且平面的一个法向量为， 设平面和平面的夹角为， 则， 所以平面和平面的夹角的余弦值为. （3）由（2）可得，，，， ，，平面的法向量， 故， 设点与平面的距离为， 则，解得． （三） 异面直线的距离 1.建系，写出各点坐标； 2.写出两异面直线方向向量； 3.在两条直线上各取一点，得到； 4.设公垂向量，根据垂直，列方程组 5.给其中一个未知数赋合适常数（一般令或），解出一组，得到一个公垂向量； 6.代入投影公式 算出距离。 关键点：方程组只有2个方程，3个未知数，只要找一组非零解就够用，不需要全部解。 题型3：利用空间向量求异面直线的距离 15．（2026高二·湖北·阶段检测）正方体的棱长为1，若点在上，点在上，则的长度最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题意可得的长度最小值即异面直线和的距离，建立如图所示空间直角坐标系，再求出直线和的法向量，利用空间点面距离公式求解即可. 【详解】点在上，点在上， 则的长度最小值即异面直线和的距离， 以为原点建立如图所示空间直角坐标系， 则， 设为直线和的法向量， 又因为，，， 则，令，则， 所以异面直线和的距离为， 即的长度最小值为. 故选：C. 16．（2026高二·河南新乡·阶段检测）正四棱锥中，O为底面ABCD的中心，P为侧棱SD的中点，且，则异面直线BD与PC的距离是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】结合正四棱锥的几何特征建系，再应用空间向量法求与的公垂线方向向量为，最后应用异面直线距离公式计算求解. 【详解】因为为正四棱锥且是在底面内的正投影，所以面， 连接，，则且交于． 因为，面，所以，，所以以，，为，，轴建立如图所示的空间直角坐标系． 因为，则，，，，， 所以，． 设异面直线与的公垂线方向向量为， 则有，即，取． 又因为， 所以异面直线与的距离． 所以异面直线与的距离是． 故选：C. 17．（2026高二·山东临沂·期中）在三棱锥中，、均为等腰直角三角形，其中，，，点M，N分别在线段AB，PC上，则的最小值为______. 【答案】 【分析】先利用线面垂直证得平面，然后将求的最小值转化为求异面直线AB，PC的距离，建立空间直角坐标系，利用异面直线距离的向量法公式即可得解. 【详解】因为为等腰直角三角形，， 因为，所以，又，，平面，所以平面， 又，补成长方体，以点为原点，建立空间直角坐标系如图， 则， 故， 点M，N分别在线段AB，PC上，要求的最小值，即求异面直线AB，PC的距离， 设同时垂直于，则， 取，则，故， 所以的最小值为. 故答案为： 18．（2026高二·甘肃武威·期末）已知四边形为矩形，为四边形外一点且平面ABCD，，，，则异面直线与之间的距离为______． 【答案】/ 【分析】建立空间直角坐标系，利用向量法求得异面直线与间的距离. 【详解】因平面，且平面，故， 又，故可以为坐标原点，以所在直线 分别为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系，    则，，，， 所以，，， 设异面直线与的公垂线的方向向量为，则，， 所以，令，则. 设异面直线与之间的距离为d， 则. 故答案为： 19．（2026高二·新疆乌鲁木齐·期中）已知和两条异面直线都垂直相交的直线叫做两条异面直线的公垂线，公垂线与两条直线相交的点所形成的线段，叫做这两条异面直线的公垂线段．两条异面直线的公垂线段的长度，叫做这两条异面直线的距离．在四棱锥中，底面是边长为的正方形，底面，，点在侧棱上，且满足，则异面直线和的距离为________ 【答案】 【分析】以点为原点建立空间直角坐标系，利用向量法求解即可. 【详解】如图，以点为原点，分别作为轴正方向，建立空间直角坐标系， 则. 所以， 设为直线和的公垂线的方向向量， 则有，可取， 所以异面直线和的距离为. 故答案为： （四） 两条异面直线所成的角 1、求异面直线夹角的方法 (1)传统法：作出与异面直线所成角相等的平面角，进而构造三角形求解． (2)向量法：在两异面直线a与b上分别取点A，B和C，D，则与可分别为a，b的方向向量，则cosθ＝. 注：用空间向量求两条直线，夹角的步骤与方法： (1)化为向量问题：转化为求两直线，的方向向量,的夹角； (2)进行向量运算：； (3)回到图形问题：两条直线夹角的余弦值. 题型4：利用空间向量求异面直线的夹角 20．（2026·山东济南·模拟预测）在平行四边形中，设，，，沿将平行四边形折成一个直二面角，则与所成的角的余弦值是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据图形特点建立空间直角坐标系，利用向量计算即可. 【详解】因为二面角为直二面角，为交线， 故平面平面，平面平面，又，平面， 所以底面， 以为原点，建立空间直角坐标系如图所示， 因为，， 所以为等腰直角三角形， 则，，，, ，, 设与所成的角为， 则. 21．（2026高二·福建厦门·阶段检测）如图，对正方体­，，，分别是和的中点. (1)求到的距离； (2)求异面直线与所成角的余弦值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）建立空间直角坐标系，结合点到直线的距离向量求法求结论； （2）结合向量夹角公式求结论. 【详解】（1）以为原点，分别以为轴建立空间直角坐标系， 已知正方体棱长，故，，，， 所以，， 所以， ， ， 所以点到的距离； （2）由（1），已有， 所以，，， 设异面直线与所成角为，则. 22．（2026高二·浙江·学业考试）如图，在直三棱柱中，，，分别是，的中点．若，则直线与所成角的余弦值为____________． 【答案】/0.8 【详解】由题意知在直三棱柱中，， 故以B为坐标原点，以为轴建立空间直角坐标系， 设，则， 则， 故， 设直线与所成角为， 则. 23．（2026高二·浙江·学业考试）斜三棱柱中，是边长为2的正三角形，侧棱，，点为棱上动点，则异面直线与所成角的最小值为（     ） A．30° B．45° C．60° D．75° 【答案】B 【分析】先选择恰当的空间基底，用基底向量表示相关向量，再利用向量数量积公式计算异面直线所成角的余弦值，将几何问题转化为代数问题，再结合函数单调性求角度的最小值. 【详解】设，，，则， ，， ，. 因为点为棱上动点，设，， 则，， ， ，则， ， ，， 设异面直线与所成角为，则， 因为函数在上单调递增， 所以，当时，取得最大值，此时，所以取得最小值为， 即异面直线与所成角的最小值为. 24．（2026·广西崇左·模拟预测）如图，在四棱锥中，底面，，，，E，F，G分别为，，的中点. (1)证明：平面平面. (2)若异面直线与所成角的余弦值为，求四棱锥的体积. 【答案】(1)因为E，F分别为，的中点，所以. 又平面，平面，所以平面. 因为 ，，且E为的中点，所以， 则四边形为平行四边形， 则.又平面，平面，所以 平面. 因为平面，平面， ，所以平面 平面. (2) 【分析】（1）根据线面平行的判定定理得到平面和 平面，再利用面面平行的判定定理即可证明； （2）建立合适的空间直角坐标系，求出相关向量，从而得到锥体的高，最后利用锥体的体积公式即可得到答案. 【详解】（1）略 （2）以A为坐标原点，建立空间直角坐标系，如图所示. 设 （ ），则，，，， 则，. 因为异面直线与所成角的余弦值为， 所以， 解得， 故四棱锥的体积为. （五） 直线与平面所成的角 利用平面的法向量求直线与平面夹角的基本步骤 (1)建立空间直角坐标系； (2)求直线的方向向量u； (3)求平面的法向量n； (4)设线面角为θ，则sinθ＝. 题型5：利用空间向量求直线与平面所成的角 25．（2026高二·福建厦门·阶段检测）如图，长方体的底面是边长为2的正方形， ，点、分别为棱、的中点.若平面平面，则直线 与平面所成角的正切值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用线线平行转化线面角，建立空间直角坐标系，利用向量法求解线面角的正弦值，再求解出线面角的正切值. 【详解】 因为平面平面，平面平面， 平面平面，所以， 因此，直线与平面所成角即为直线与平面所成角， 以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系,则 ，，，，， ，，， 设平面的法向量为，则， 取，解得，，所以法向量， 设直线与平面所成角为，， 则， ， 因此，. 26．（2026高二·山东淄博·阶段检测）如图，在四棱锥中，平面平面，， ，，，，. (1)求证：平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】(1)因为平面平面，，平面平面，平面， 可得平面，则， 又因为，，平面， 所以平面. (2) 【分析】（1）根据面面垂直的性质可得平面，可证，结合可证线面垂直； （2）作辅助线，建立空间直角坐标系，求平面的法向量，利用空间向量求线面夹角. 【详解】（1）略 （2）取的中点，连结，， 因为，所以， 且 平面，平面 平面，平面平面， 所以平面，且平面，所以， 又因为，所以， 如图建立空间直角坐标系， 则，，，，， 可得，，， 设平面的法向量为，则， 令 ，则，可得， 则， 所以直线 与平面 所成角的正弦值为. 27．（2026高二·湖北荆州·期末）在正三棱柱中，，点分别在棱上，已知，则与平面所成角的正弦值为__________． 【答案】 【分析】利用空间向量法求解，求出平面的法向量，利用数量积公式求解. 【详解】取的中点，以为原点，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，， 则， 设平面的法向量， 则，，取，解得， 故平面的法向量，，， ， 设与平面所成的角为， 则， 故与平面所成角的正弦值为． 故答案为： 28．（2026·广西河池·模拟预测）如图，四棱锥的底面是边长为4的菱形，，，，，是的中点． (1)证明：； (2)若点为线段上动点，是否存在这样的点，使得直线与平面所成角的正弦值为？若存在，求出点的位置；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) 连接AC， 由题意可知：是等边三角形，且是的中点，， 则，， 因为，，则，， 又因为，则，可知， 且，平面，可得平面， 且平面，所以. (2) 以为原点，为轴，为轴，过作垂直于底面的直线为轴，建立空间直角坐标系， 则，，，，，， 可得，，，， 设平面的法向量为，则， 令，则，可得， 设，则， 设为与平面的夹角为， 则, 整理可得，解得， 且，所以线段上不存在满足条件的点. 【分析】（1）通过证明线面垂直来证明线线垂直，通过证明平面，从而证明. （2）通过建立坐标系来确定各点的坐标，然后通过线面角的公式来求得未知点的坐标，最后通过判断点的坐标是否可能在上，从而判断点是否存在. 【详解】（1）略 （2）略 29．（2026·北京朝阳·模拟预测）在四棱锥中，侧面底面，底面是正方形，，，点是棱上一点． (1)当点是棱中点时，求证：平面； (2)若直线与平面所成角的正弦值为，求线段的长． 【答案】(1)证明：连接，交于点，连接． 因底面是正方形，则点是中点，又因点是棱中点， 所以． 又因为平面，平面， 所以平面. (2)或． 【分析】（1）根据线面平行的判定定理证明即可； （2）由面面垂直的性质得到平面，即可得到，再证，进而建立空间直角坐标系，利用线面角的向量求法可得的坐标，即可得解. 【详解】（1）略 （2）因为侧面底面，平面底面， 因，平面,则平面． 又因平面,则． 因为，，满足,则得． 故可以点为坐标原点，分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系． 则，，，，． 设，则,且， 则,,, 设平面的法向量为． 由,故可取． 因为直线与平面所成角的正弦值为， 所以． 整理得，解得或,经检验均符合题意. 故线段的长为或． 30．（2026高二·河南许昌·期末）在正方体中，点为线段的中点，点在线段上，直线与平面所成的角为，则的最小值为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题通过建立空间直角坐标系，利用线面角的向量计算公式，将的最小值问题转化为求的最大值问题，结合二次函数的最值性质求解. 【详解】 如图：设正方体棱长为2，以D为坐标原点，、、,所在直线分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，可得各点坐标: ，因点在线段上，设，其中， ，设平面的法向量为，则 ，令，解得，即， 又，， 则， 由同角三角函数关系得，要使最小，需使最大， 当时，，此时取得最大值， 代入得：. （六） 两个平面的夹角 求两平面夹角的两种方法 (1)定义法：在两个平面内分别找出与两平面交线垂直的直线，这两条直线的夹角即为两平面的夹角．也可转化为求与两平面交线垂直的直线的方向向量的夹角，但要注意其异同． (2)法向量法：分别求出两平面的法向量n1，n2，则两平面的夹角为〈n1，n2〉或π－〈n1，n2〉 注：利用向量方法求二面角的大小时,多采用法向量法,即求出两个面的法向量,然后通过法向量的夹角来得到二面角的大小,但利用这种方法求解时,要注意结合图形观察分析,确定二面角是锐角还是钝角,不能将两个法向量的夹角与二面角的大小完全等同起来. 题型6：利用空间向量求二面角 31．（2026高二·甘肃兰州·期中）如图，在四面体ABCD中，，，，，M是AD的中点，P是BM的中点，点Q在线段AC上，且. (1)证明：平面BCD； (2)求二面角的余弦值. 【答案】(1)在中，，，， 由余弦定理可得即， 所以，即， 且，，BD，平面BCD，所以平面BCD， 又因为，，则，即， 以D为原点，分别以的方向为x，y，z轴正方向，建立如图所示空间直角坐标系， 则，，，，，， 可得，， 则，可得， 因为平面BCD，可知为平面BCD的一个法向量， 因为，则， 且平面BCD，所以平面BCD. (2) 【分析】（1）可证平面BCD，，建立空间直角坐标系，利用空间向量证明线面平行； （2）分别求平面APC、平面PCM的法向量，利用空间向量求二面角的余弦值. 【详解】（1）略 （2）由（1）可知：，，， 设平面APC的法向量为，则， 令，则，，可得； 设平面PCM的法向量为，则， 令，则，，可得； 设二面角的平面角为θ，由题意可知θ为锐角， 则. 所以二面角的余弦值为. 32．（2026·陕西·模拟预测）如图，四棱柱的底面为直角梯形，，，，．点为的中点，且． (1)证明：； (2)若与平面所成角的正弦值为，求二面角的正弦值． 【答案】(1)因为为中点，且，所以，即， 又，，，平面， 所以平面，又平面，所以. (2) 【分析】（1）先证明，，可得平面，进而求证即可； （2）建立空间直角坐标系，通过证明平面得到与平面所成角为，可得，，进而利用空间向量求解即可. 【详解】（1）略 （2）因为，所以． 又，，所以，所以，则， 由（1）知平面，所以，，两两垂直，以为原点，建立如图空间直角坐标系， 则，，， 由，，，平面，得平面， 所以与平面所成角为， 所以， 解得，，所以，则，， 所以，，． 设平面的一个法向量为， 由，得，可取， 设平面的一个法向量为， 由，得，可取 设二面角为． ， 则， 所以二面角的正弦值为. 33．（2026高一·广东江门·竞赛）如图，在四棱锥中，底面是边长为2的正方形，点M，N分别为BC，PD的中点． (1)证明：平面； (2)若，平面平面，求二面角的正弦值． 【答案】(1)取的中点为，连接， 又为的中点，则且， 又正方形中，为的中点，则且， 所以且，所以四边形为平行四边形， 故，又因为平面，平面， 所以平面； (2) 【分析】（1）取的中点为，连接，通过证明四边形为平行四边形可证得结论； （2）取的中点为，的中点为，连接，以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间坐标系，利用空间向量法求二面角的正弦值. 【详解】（1）略. （2）取的中点为，的中点为，连接， 因为，所以， 又平面平面，平面平面，平面， 所以平面，又平面，所以， 又四边形为正方形，所以. 以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 因为，，所以， 则， 所以， 设平面的法向量为， 则，令，得， 所以平面的一个法向量为. 设平面的法向量为， ，令，得， 所以平面的一个法向量为， 所以， 设二面角的大小为， 则， 所以二面角的正弦值为． 34．（2026高二·辽宁朝阳·期末）已知在三棱柱中，平面，，，，分别是线段，的中点．    (1)求证：平面； (2)求二面角的余弦值． 【答案】(1)证明：取的中点，连接，． 因为在中，是线段的中点，是线段的中点， 所以，． 又在三棱柱中，，是线段的中点， 所以，． 所以，， 所以四边形为平行四边形，所以． 又平面， 平面， 所以平面． (2) 【分析】（1）根据三棱柱的几何性质，结合已知条件，利用线面平行判定定理证明结论； （2）根据三棱柱的几何性质，结合已知条件，建立空间直角坐标系，求出相关点和向量坐标，求出对应平面的法向量，再利用向量夹角余弦公式计算求解． 【详解】（1）略 （2）取的中点，连接，在四边形中，是的中点，是线段的中点， 所以， 又平面，，平面， 所以，， 又， 所以，， 在中，， 所以是以为底边的等腰直角三角形， 又是线段的中点，所以． 以为坐标原点，，，所在的直线分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，    则，，，，， 所以，，， 设平面的法向量为， 由得，令，则； 设平面的法向量为，由得， 令，则，     设二面角为，则， 结合图象可知二面角为锐角， 所以二面角的余弦值是． 35．（2026高三·江苏徐州·阶段检测）如图，在四棱锥中，底面ABCD是平行四边形，平面，且，，. (1)证明：平面平面. (2)若二面角的余弦值为，求棱AB的长. 【答案】(1)证明：∵平面，平面，∴； ∵，，，∴，∴； ∵平面，，∴平面， ∵，∴ 平面， ∵平面，∴平面平面. (2)1 【分析】（1）由线面垂直的性质可得，再利用勾股定理可得，从而得到平面，最后结合面面垂直的判定定理得证； （2）以A为坐标原点，，，正方向为x，y，z轴正方向，建立空间直角坐标系，再利用二面角的向量求法可构造方程求得的值. 【详解】（1）略； （2）由（1）知：平面，，则AB，AD，AP两两互相垂直， 以A为坐标原点，，，正方向为x，y，z轴正方向，可建立如图空间直角坐标系， 设，则，，，， ∴，，， 设平面的法向量， 则，故可取； 设平面的法向量， 则，故可取； ∴，解得：（舍）或， ∴棱AB的长为1. 题型7：利用空间向量求两个平面的夹角 36．（2026高二·云南文山·阶段检测）如图，已知平面，底面为矩形，，， 分别为,的中点．    (1)求证：平面； (2)求平面与平面的夹角的余弦值． 【答案】(1)如图所示，取的中点，连接，， 又为、的中点，底面为矩形， 所以且， 又且， 所以且，则为平行四边形， 所以，又平面，平面， 所以平面．    (2) 【分析】（1）取的中点，利用几何关系可得，再由线面平行的判定定理，即可求解； （2）建立空间直角坐标系，求出平面和平面的法向量，再面面角的向量法，即可求解. 【详解】（1）略 （2）因为平面，底面为矩形由题意，可构建如3图示的空间直角坐标系，    根据题意可得： ，，，， ，，． 设是平面的一个法向量， 则，取，则，所以， 又是平面的一个法向量， 所以， 故平面与平面的夹角的余弦值． 37．（2026高一·海南海口·期末）如图，在四棱锥中，四边形为正方形，平面，． (1)求证：； (2)求平面和平面夹角的余弦值． 【答案】(1)因为平面，又因为平面，所以． 在正方形中，易知， 又因为，，平面， 因此平面． 又平面，故. (2) 【分析】（1）先根据线面垂直的判定定理证明平面，再根据线面垂直证明线线垂直. （2）建立空间直角坐标系，利用空间向量求二面角的余弦. 【详解】（1）略 （2）易知，，两两互相垂直， 因此可以为坐标原点，以，，所在直线为，，轴，建立空间直角坐标系， 则，，，，， 则，，． 由（1）可知，平面，故是平面的法向量． 设平面的法向量为，则有，即， 得，取，则，即，则， 所以平面和平面夹角的余弦值为． 38．（2026·湖北十堰·模拟预测）如图，四边形与为直角梯形，且平面平面，其中，，，．    (1)求平面与平面夹角的正弦值； (2)若空间中存在一点Q，满足，且直线平面，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先利用面面垂直的性质、线面垂直的性质推理得证线线垂直，建立空间直角坐标系，求出平面与平面的法向量，再利用面面角的向量法求解. （2）利用空间向量的坐标运算求出，再利用向量共线的坐标表示求解. 【详解】（1）因为，所以，因为平面平面， 平面平面，平面， 所以平面． 又平面，所以，因为，所以，， 以点A为坐标原点，如图建立空间直角坐标系， 因为，，，， 所以，，，，，，   ，， 设平面的一个法向量为，则即 令，得， 同理易知平面的一个法向量为， 所以， 所以平面与平面夹角的正弦值为． （2）设，由题可知， 即，，， 即，所以． 因为平面，所以是平面的一个法向量，所以， 即， 解得，，故，． 39．（2026高三·全国·专题练习）如图，直三棱柱中，，，，侧棱，侧面的两条对角线的交点为D，的中点为M．    (1)求证：平面； (2)求平面与平面所成二面角的正弦值． 【答案】(1)证法一：取中点N，连结，，，， 在直三棱柱中，，，， 所以，所以，所以，即， 因为为中点，可得，所以， 所以，且， 又因为，所以， 因为，且平面，所以平面， 又因为平面，所以， 因为，所以， 又因为，且平面，所以平面． 证法二：以为坐标原点，以所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系， 如图所示，因为， 可得，，，，，，， 所以，可得，，， 因为，，可得，， 即，， 又因为，且平面，所以平面． (2)1 【分析】（1）证法一：取中点，证得和，利用线面垂直的判定定理，证得平面，证得，得到，进而证得平面；证法二：以为坐标原点，建立空间直角坐标系，求得，，得到，，进而证得平面． （2）由（1）中的空间直角坐标系，求得平面和平面的法向量和，结合向量的夹角公式，即可求解. 【详解】（1）略 （2）由（1）中的空间直角坐标系，可得，， 设平面的法向量为，则 ， 取，可得，所以， 因为向量， 设平面的法向量为，则 ， 取，可得，所以， 设平面与平面所成二面角为，可得， 所以，所以平面与平面所成二面角的正弦值为. 40．（2026高一·广东肇庆·期末）如图，在直三棱柱中，，平面平面，为线段（不含端点）上的动点．    (1)求证：平面； (2)求证：是直角三角形； (3)求平面与平面夹角的余弦值的取值范围． 【答案】(1)在直三棱柱中，连接，由，得四边形为正方形， 则，而平面平面，平面平面， 平面，所以平面. (2)由（1）知，平面，而平面，则， 由平面，平面，得，又， 平面，因此平面，而平面， 所以，即是直角三角形. (3). 【分析】（1）根据给定条件，利用面面垂直的性质推理得证. （2）由（1）的结论，利用线面垂直的性质、判定推理得证. （3）以点为原点建立空间直角坐标系，令，求出相关点的坐标及平面与平面的法向量，再利用面面角的向量法列式求出范围. 【详解】（1）略 （2）略 （3）在直三棱柱中，由（2）知直线两两垂直， 以点为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系，令， 则，令，， ，， 设平面的法向量，则， 取，得，平面，即平面，设其法向量为， 则，取，得，设平面与平面的夹角为， 因此， 由，得，则， ，即， 所以平面与平面夹角的余弦值的取值范围是. 1．（2026高二·广东·期末）已知直线的一个方向向量为，直线的一个方向向量为，若直线、所成的角等于，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用空间向量法可得出关于的等式，解之即可. 【详解】由题意可得，解得. 故选：B. 2．（2026高二·江苏苏州·期中）直三棱柱，，分别是的中点，，则与所成的角为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】以为坐标原点建立空间直角坐标系，根据异面直线所成角的向量求法可求得结果. 【详解】以为坐标原点，的正方向为轴正方向，可建立如图空间直角坐标系， ，，，，，， ，即， 与所成的角为. 3．（2026高二·湖北·期中）已知点是平面内一点，平面的一个法向量为，则点到平面的距离为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题意可得，又， 则点到平面的距离为. 4．（2026高二·河北邯郸·期末）已知平面的一个法向量，点为上一点，则点到平面的距离为（   ） A．4 B．3 C．2 D． 【答案】C 【分析】利用点面距的向量公式求解即可. 【详解】由题意得，所以点到平面的距离. 故选：C. 5．（2026·陕西咸阳·模拟预测）在四面体中，平面，，.若四面体的体积为，则与平面所成角的正弦值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】 在中，，，由三角形面积公式得， 由余弦定理得 ，故， 因为平面ABC，四面体体积，代入解得， 以B为原点，为轴，平面内垂直于的方向为轴，过B且垂直于平面的方向为轴， 得各点坐标：， ， ， ，， 设平面的法向量为， 则，解得，令得，即 ， 又向量 ，， 设AC与平面所成角为，根据线面角与向量夹角的关系，. 6．（2026·河南·模拟预测）已知四棱锥的底面是边长为2的菱形，，侧面是以为斜边的等腰直角三角形，且侧面底面，是的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用面面垂直的性质建立空间直角坐标系，求出异面直线的方向向量，通过向量夹角公式计算异面直线所成角的余弦值． 【详解】取的中点，连接，因为是以为斜边的等腰直角三角形，所以，且． 又平面平面，平面平面，平面， 根据面面垂直的性质定理，可得平面． 以为坐标原点，方向为轴正方向，底面内垂直于的方向为轴正方向， 方向为轴正方向建立空间直角坐标系，可得各点坐标： ，，，． 因为是的中点，所以，则，． 设异面直线与所成角为，，则． 计算得： ，， ， ， 代入得． 7．（2026高二·福建莆田·阶段检测）在空间直角坐标系中，直线经过点，且其方向向量，则点到直线的距离为（ ） A． B． C．3 D． 【答案】B 【分析】根据空间直角坐标系中点到直线的距离公式求解即可. 【详解】由题意，所以点到直线的距离为： . 8．（2026高二·浙江温州·期中）已知平面的一个法向量，点在平面内，则点到平面的距离为（   ） A． B． C．1 D． 【答案】C 【分析】利用空间向量法来求点到面的距离即可. 【详解】由题意得，平面的一个法向量， 则点到平面的距离为， 故选：C. 9．（2026高二·江苏无锡·期末）已知：空间中，过点且一个法向量为的平面方程为.据此可知，若平面的方程为，直线是两平面与的交线，则直线与平面所成角的正弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由已知得出平面的一个法向量，再得出相交于直线的两个平面的法向量，由这两个法向量求出直线的方向向量，由平面的法向量与直线的方向向量夹角的余弦值的绝对值得线面角的正弦值． 【详解】由题意知平面的一个法向量是， 平面与的法向量分别是， 设直线的一个方向向量为， 则，所以，取，得， 所以， 故直线l与平面所成角的正弦值为. 故选：A． 10．（2026高二·湖北武汉·开学考试）鳖臑是指四个面都是直角三角形的三棱锥．如图，在鳖臑中，平面，，，分别是棱，的中点，点是线段的中点，则点到直线的距离是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】建立空间直角坐标系，根据向量法求点到直线的距离计算即可. 【详解】以为原点，以，，过点且平行于的直线为，，轴建立空间直角坐标系， 则，，，. 因为，分别是棱，的中点，所以，. 因为点是线段的中点，所以. 所以，， 所以点到直线的距离为 . 故选：D. 11．（2026高三·辽宁铁岭·阶段检测）在正四棱柱中，，以为球心，表面积为的球与平面只有1个公共点，若为棱的中点，则点到平面的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意可得球与平面相切，结合三角形面积公式求得，进而建立空间直角坐标系利用点到面的距离公式求解. 【详解】设，则三棱锥的体积为， 由球的表面积为，得球的半径， 又球与平面只有1个公共点，则球与平面相切， 所以点到平面的距离为1. 在中，，， 所以的面积为， 所以，解得，即． 以点为原点，所在直线分别为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，， 所以，，， 设平面的一个法向量为，则，即， 取，则， 所以到平面的距离为． 12．（2026高二·河南·阶段检测）如图，在四棱锥中，平面平面，，为的中点，则点到平面的距离为（   ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用空间关系可证明线面垂直，从而可建立空间直角坐标系，表示各点坐标，即可用空间向量法求出点到平面的距离. 【详解】由取的中点为，连接，则， 因为平面平面，平面平面平面， 所以平面， 又因为，所以可如图建立空间直角坐标系：    由，则， 可得：， 又因为为的中点，所以， 即， 设平面的一个法向量为， 则， 令，则，所以， 则点到平面的距离为， 故选：A. 13．（2026·江苏扬州·模拟预测）在正四面体中，分别为的中点，连接，若正四面体的边长为2，则直线与直线所成角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】取底面的中心，连接，以为原点，为轴，过作平行于的直线为轴，为轴建立空间直角坐标系，用空间向量法求异面直线所成的角. 【详解】取底面的中心，连接，则平面，以为原点，为轴，过作平行于的直线为轴，为轴建立空间直角坐标系，由正四面体的边长为2，则底面的外接圆半径，则由题易得高，故， ，由、分别为、的中点，所以， 同理得，故， 所以由向量夹角公式可知. 14．（2026高二·浙江宁波·期末）在三棱锥中，，，则直线与平面所成角的正弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设中点为，连接， 先证平面，再以为原点建立空间直角坐标系，利用空间向量法求线面角即可． 【详解】设中点为，连接， 不妨设， ，， ， ，， ，则， 又， ， 平面， 平面， 故以为原点建立空间直接坐标系， 则， 设平面的一个法向量， ，不妨取，则， ， 设直线与平面所成角为， ． 故选：D． 15．（2026高二·江苏·阶段检测）如图，正四棱锥的底面是正方形，每条侧棱的长都是底面边长的倍，平面，为侧棱上的点，则二面角的余弦值为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】建立空间直角坐标系，结合向量即可求解. 【详解】连接，设交于点，则平面， 以为坐标原点，的方向分别为轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系， 设底面边长为，则， 显然是平面的一个法向量， 因为平面，所以是平面的一个法向量， 设二面角为，则由图可知，为钝角， 所以. 16．【多选】（2026·河北张家口·模拟预测）如图，已知正四棱锥中，底面边长为2，高为1，则下列说法正确的是（    ） A．直线与直线所成角的余弦值为 B．直线与平面所成角的正弦值为 C．该正四棱锥的外接球的表面积为 D．若平面与平面所成的角为，平面与平面所成的角为，则 【答案】BC 【分析】以正四棱锥底面中心为原点，高为轴，底面两条对角线为轴，建系，由夹角公式可判断ABD，设球心，结合半径列出等式求，进而求得半径即可判断. 【详解】设正四棱锥底面中心为原点，底面在平面，高为轴，分别以两条对角线为轴，如下图： 根据题意：底面边长为，高为， 可得： ， 对于A：易得，， 则异面直线所成角余弦： ，A错误； 对于B：，， 设平面的法向量， 则， 令，可得， 即平面的法向量， 则直线与平面所成角满足： ，B正确； 对于C：易知正四棱锥外接球球心在高（轴）上， 设球心，半径，又， 由得： ， 所以外接球表面积， C正确； 对于D： 设平面法向量，又， 则 设可得， 则， 易知平面法向量； 平面法向量： ， ，D错误. 17．（2026高二·云南楚雄·期末）在长方形中，，将沿所在直线进行翻折，二面角为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题意得异面直线与的夹角为，即与的夹角为，由空间向量的运算法则可得，则，结合条件即可计算. 【详解】由题意得： 过点作，垂足为，过点作，垂足为，如下图： 因为二面角为，则异面直线与的夹角为， 即与的夹角为，易得， 因为，且， 则， 即，解得， 故选：D. 18．（2026高一·浙江温州·期中）如图，正方体棱长为4，点是棱的中点，点分别是线段的中点，则三棱锥的体积为（    ） A． B． C．6 D．8 【答案】A 【分析】建立空间直角坐标系，利用空间向量求点到平面的距离，再结合棱锥的体积公式求解. 【详解】以为原点，建立如图空间直角坐标系. 则，，，，，. 所以，，. 在中，，， 所以. 又，，. 设平面的法向量为，则 ，取可得. 所以点到平面的距离为：. 所以. 19．【多选】（2026高二·山东泰安·阶段检测）在棱长为2的正方体中，是棱上一动点，则到平面的距离可能是（    ） A．1 B． C． D． 【答案】BC 【分析】根据给定条件，建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，再利用点到平面距离公式求出到平面的距离范围即可. 【详解】在棱长为2的正方体中，以为原点建立如图所示的空间直角坐标系， 则， ，设平面的法向量为， 则，取，得，而， 因此到平面的距离， 而，所以AD不是，BC可以是. 故选：BC 20．【多选】（2026·四川成都·模拟预测）空间中，平面上的动点满足方程，（），则称为平面的方程．同时也称平面的方程为，并称为平面的一个法向量．已知方程分别为，的平面，的交线为，则下列结论正确的是（     ） A．经过点，，的平面的方程为 B．若平面的方程为：，则坐标原点到平面的距离为 C．交线为的一个方向向量为 D．与方程为的平面所成角的正弦值为 【答案】ABD 【分析】结合平面方程的定义、点到平面距离公式、直线方向向量的求解、线面角的向量计算方法，逐项分析判断即可. 【详解】 选项A：将、、分别代入，三个点均满足方程，且三点不共线可唯一确定平面，故A正确； 选项B：根据点到平面的距离公式，原点到平面的距离，故B正确； 选项C：易知方程的一组公共解为，且的另一组公共解为， 则直线经过和的一个方向向量为， 所以交线为l的方向向量为，故C错误； 选项D：取的方向向量，平面的法向量，设与所成角为，则，故D正确. 21．（2026高二·江苏扬州·阶段检测）如图，四棱锥中，平面，，，，则到平面的距离是______. 【答案】/ 【详解】以为坐标原点，所在直线为轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 所以， 设平面一个法向量为， 则，取，得， 所以到平面的距离为. 22．（2026高三·全国·专题练习）如图，四边形和均为边长为2的正方形，它们所在的平面互相垂直，若点在线段上，，分别为，的中点，设异面直线与所成的角为，且，则________． 【答案】1 【分析】首先以，，三直线为，，轴建立空间直角坐标系，设，结合异面直线夹角公式即可求解. 【详解】因为平面平面，平面平面， 且，平面， 所以平面，又， 则， 故，，三直线两两垂直，分别以这三直线为，，轴，建立如图所示空间直角坐标系，设，则： ， ， ； 在线段上，设， ； ； ，解得， 则. 23．（2026·北京丰台·模拟预测）已知四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为正方形，PA⊥底面ABCD，E，F分别为线段BC，PA的中点，G是线段PD上的一点，PA＝AD＝2．若异面直线CF与EG所成角的余弦值为，则三棱锥P﹣EFG的体积为__________________ ． 【答案】 【分析】建系并标出点坐标，设，，利用空间向量的坐标运算结合线线夹角求得，进而可求锥体的体积. 【详解】因为四棱锥的底面为正方形，且平面， 以为坐标原点，，，所在直线分别为，，轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则点，，，，， 可得，， 设，， 则，即， 可得， 设异面直线与所成角为， 则， 整理可得，解得或（舍去）， 即，则. 所以. 24．（2026·重庆·模拟预测）在正三棱柱中，已知分别是棱的中点． (1)证明：平面平面； (2)求平面与平面夹角的余弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2)． 【分析】（1）根据面面平行的判定定理来证明 （2）先建立空间直角坐标系，再分别求出平面和平面的法向量，最后计算夹角的余弦值. 【详解】（1）在矩形中，分别为的中点，连接，则， 在与中，易得，，因为，所以， 因为平面，平面，所以平面， 同理，，因为平面，平面，所以平面， 又因平面，故平面平面. （2）以中点为坐标原点，所在直线为x轴正方向，所在直线为y轴正方向， 过点 和平面垂直的直线为z轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 设平面的法向量为， 因，， 则，即令，则， 设平面的法向量为， 则，即令，则， 所以， 所以平面与平面夹角的余弦值为． 25．（2026高三·北京·阶段检测）把一副三角板按如图所示的方式拼接，其中，，．将沿翻折至，使得二面角为直二面角． (1)证明：平面； (2)求平面与平面所成角的余弦值． 【答案】(1)因为二面角 为直二面角，即平面 平面 ， 又平面平面，，即 ，且 平面，所以 平面 . 因为平面，所以 . 由题意知，是由 翻折得到，且 ,所以，即， 又因为 ，平面，所以 平面. (2) 【分析】（1）利用面面垂直的性质定理证明 平面，从而得到，结合 即可证明结论； （2）取 中点，建立空间直角坐标系，求出平面 与平面 的法向量，利用向量夹角公式求解即可. 【详解】（1）略 （2）在中，，所以， 分别取 的中点，连接. 因为 ，所以. 又因为平面平面 ，平面 平面，平面 ， 所以平面 .又因为，所以. 以 为坐标原点，分别以的方向为轴、轴、轴的正方向建立空间直角坐标系. 在中，，所以 . 则, 所以， 设平面的法向量为，则，即， 取，得， 又因为平面的一个法向量为， 设平面与平面所成角为， 则， 所以平面与平面所成角的余弦值为. 26．（2026·全国二卷）如图，在四边形中，，F为CD的中点，点E在AB上，，.将四边形沿翻折至四边形，使得面与面EFCB所成的二面角为． (1)证明：平面； (2)求面与面所成的二面角的正弦值． 【答案】(1) 设，所以，因为为中点，所以， 因为，，所以是平行四边形， 所以，所以， 因为平面平面，所以平面， 因为平面平面，所以平面， 又，平面，所以平面平面， 又平面，所以平面． (2) 【分析】（1）先应用线面平行判定定理得出平面及平面， 再应用面面平行判定定理得出平面平面，进而得出线面平行； （2）建立空间直角坐标系，利用已知条件将点的坐标表示出来，然后将平面及平面的法向量求出来，利用两个法向量的数量积公式可将两平面的夹角余弦值求出来，进而可求得其正弦值. 【详解】（1）略 （2） 因为，所以，又因为，所以， 以为原点，以及垂直于平面的直线分别为轴，建立空间直角坐标系. 因为，平面与平面所成二面角为60° ， 所以. 则，，，，，. 所以. 设平面的法向量为，则 ，所以，令，则，则. 设平面的法向量为， 则，所以， 令，则，所以. 所以. 所以平面与平面夹角的正弦值为. 27．（2026·全国一卷）如图,在四棱锥中，底面，． (1)证明：平面平面； (2)设，且点，，，均在球的球面上． （i）证明：点在平面内； （ⅱ）求直线与所成角的余弦值． 【答案】(1)证明：由题意证明如下， 在四棱锥中，⊥平面，， 平面，平面， ∴，， ∵平面，平面，， ∴平面， ∵平面， ∴平面平面. (2)（i）证明：由题意及（1）证明如下， 在四棱锥中，，，，∥， ，， 建立空间直角坐标系如下图所示， ∴， 若，，，在同一个球面上， 则， 在平面中， ∴， ∴线段中点坐标， 直线的斜率：， 直线的垂直平分线斜率：， ∴直线的方程：， 即， 当时，，解得：， ∴ 在立体几何中，， ∵ 解得：， ∴点在平面上. （ii）. 【分析】（1）通过证明，，得出平面，即可证明面面垂直； （2）（i）建立空间直角坐标系并表达出各点的坐标，假设在同一球面上，在平面中，得出点坐标，进而得出点在空间中的坐标，计算出，即可证明结论； （ii）写出直线和的方向向量，即可求出余弦值. 【详解】（1）略 （2）（i）略 （ii）由题意，（1）（2）（ii）及图得， ， 设直线与直线所成角为， ∴. 法2： 由几何知识得，， ，∥， ∴， 在Rt中，，，由勾股定理得， ， 过点作的平行线，交的延长线为，连接，， 则，直线与直线所成角即为中或其补角. ∵平面，平面，， ∴， 在Rt中，，，由勾股定理得， ， 在Rt中，，由勾股定理得， ， 在中，由余弦定理得， ， 即： 解得： ∴直线与直线所成角的余弦值为：. 28．（2026·北京）如图，在四棱锥中，与均为等腰直角三角形，，E为BC的中点． (1)若分别为的中点，求证：平面PAB； (2)若平面ABCD，，求直线AB与平面PCD所成角的正弦值． 【答案】(1) 取PA的中点N，PB的中点M，连接FN、MN， 与为等腰直角三角形且， 不妨设，.. E、F分别为BC、PD的中点， ，且. ，， ，∴四边形FGMN为平行四边形， ， 平面PAB，平面PAB，平面PAB； (2) 【分析】（1）取PA的中点N，PB的中点M，连接FN、MN，只需证明即可； （2）建立适当的空间直角坐标系，求出直线AB的方向向量与面PCD的法向量，根据向量夹角公式即可求解. 【详解】（1）略 （2）平面ABCD，以A为原点，AC、AB、AP所在直线分别为x、y、z轴建立如图所示的空间直角坐标系， 设，则， ， 设平面PCD的一个法向量为， ，， 取，，. 设AB与平面PCD所成角为， 则， 即AB与平面PCD所成角的正弦值为. 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $2026-2027学年高二数学人教A版2019选择性必修第一册同步知识·题型解题秘籍 1.4.2用空间向量研究距离、夹角问题7题型分类 一、空间向量研究距离问题 1．点P到直线l的距离: 已知直线l的单位方向向量为u，A是直线l上的定点，P是直线l外一点，设向量在直线l上的投影向量为＝a，则点P到直线l的距离为 (如图)． 2．点P到平面α的距离: 设平面α的法向量为n，A是平面α内的定点，P是平面α外一点，则点P到平面α的距离为(如图)． 3．两平行直线间的距离：一条直线上任一点到另一条直线的距离. 4．直线到平面的距离：直线上任一点到这个平面的距离. 5．两平行平面间的距离：一平面上任一点到另一平面的距离． 二、空间向量研究夹角问题 1． 两个平面的夹角： 平面α与平面β的夹角：平面α与平面β相交，形成四个二面角，我们把这四个二面角中不大于90°的二面角称为平面α与平面β的夹角． 2．空间角的向量法解法 角的分类 向量求法 范围 线线角 设两异面直线l1，l2所成的角为θ， 其方向向量分别为u，v， 则cos θ＝|cos〈u，v〉|＝ 线面角 设直线AB与平面α所成的角为θ，直线AB的方向向量为u，平面α的法向量为n，则sinθ＝|cos〈u，n〉|＝ 面面角 设平面α与平面β的夹角为θ， 平面α，β的法向量分别为n1，n2， 则cosθ＝|cos〈n1，n2〉|＝ （一） 点到直线的距离 1、用向量法求点到直线的距离的一般步骤： (1)求直线的方向向量． (2)计算所求点与直线上某一点所构成的向量在直线的方向向量上的投影向量的长度． (3)利用勾股定理求解．另外，要注意平行直线间的距离与点到直线的距离之间的转化． 2、用向量法求点到直线的距离时需注意以下几点: (1)不必找点在直线上的垂足以及垂线段; (2)在直线上可以任意选点,但一般选较易求得坐标的特殊点; (3)直线的方向向量可以任取,但必须保证计算正确. 题型1：利用空间向量求点到直线的距离 1．（2026高二·河南南阳·阶段检测）已知点，，，则点A到直线BC的距离为______． 2．（2026高二·福建漳州·期中）在空间直角坐标系中，已知，，，则点到直线的距离为________． 3．【多选】（2026高二·福建厦门·阶段检测）已知直线的方向向量为直线上一点，若点为直线外一点，则到直线上任意一点的距离可能为（    ） A． B． C． D． 4．（2026高一·四川成都·期中）四面体满足，， ，. 设的中点分别为，则点到直线的距离为（    ） A． B． C． D． 5．（2026高二·福建宁德·期末）在三棱台中，，，且，若平面，则点到直线的距离为（    ） A． B． C． D． 6．（2026高二·浙江·期中）在直四棱柱中，底面为菱形，，，，点为棱的中点． (1)求平面和平面夹角的余弦值； (2)连接，若点为线段上的一动点，当点到直线距离最短时，求线段的长度． 7．（2026高二·全国·暑假作业）如图，在四棱锥中，底面四边形为菱形，为棱的中点，为边的中点． (1)求证：平面； (2)若侧面底面，且，；在棱上是否存在点，使点到直线的距离为，若存在，求的值；若不存在，说明理由． （二） 点到平面的距离与直线到平面的距离 1、用向量法求点面距的步骤： (1)建系：建立恰当的空间直角坐标系． (2)求点坐标：写出(求出)相关点的坐标． (3)求向量：求出相关向量的坐标(，α内两不共线向量，平面α的法向量n)． (4)求距离d＝. 2、求点到平面的距离的主要方法： (1)作点到平面的垂线,点到垂足的距离即为点到平面的距离. (2)在三棱锥中用等体积法求解. (3)向量法:d=(n为平面的法向量,A为平面上一点,MA为过点A的斜线段). 题型2：利用空间向量求点到平面的距离 8．（2026高一·福建厦门·阶段检测）在三棱锥中，，，，则D到平面的距离为（   ） A． B． C． D． 9．（2026高三·全国·专题练习）三棱柱中，平面，，是棱的中点，． (1)证明：； (2)设，的中点为，求点到平面的距离． 10．（2026高二·四川凉山·阶段检测）如图所示，在直四棱柱中，底面为平行四边形，，，点在上，且，则点到平面的距离为（   ） A． B． C． D． 11．（2026高二·山西长治·阶段检测）在如图所示的五面体中，平面是边长为2的正方形，平面，，且，为的中点，为中点. (1)求证：平面； (2)求点到平面的距离． 12．（2026高三·河北衡水·阶段检测）如图，四棱锥的底面是正方形，平面，．已知E，F分别为，的中点，平面与棱交于点G． (1)求证：平面； (2)求； (3)判断线段上是否存在一点H，使得点H到平面的距离为？若存在，请求出点H的坐标；若不存在，请说明理由． 13．（2026高二·江苏宿迁·期末）如图，三棱锥中，底面，平面平面． (1)求证：； (2)若，且二面角的正弦值为． ①求的长； ②为平面内一点，且满足，求点到平面距离的最大值． 14．（2026高二·安徽淮南·期中）如图，在四棱锥中．底面为矩形，侧棱底面，，是的中点． (1)求证：平面； (2)求平面与平面夹角的余弦值； (3)若，且点到平面的距离为，求的值． （三） 异面直线的距离 1.建系，写出各点坐标； 2.写出两异面直线方向向量； 3.在两条直线上各取一点，得到； 4.设公垂向量，根据垂直，列方程组 5.给其中一个未知数赋合适常数（一般令或），解出一组，得到一个公垂向量； 6.代入投影公式 算出距离。 关键点：方程组只有2个方程，3个未知数，只要找一组非零解就够用，不需要全部解。 题型3：利用空间向量求异面直线的距离 15．（2026高二·湖北·阶段检测）正方体的棱长为1，若点在上，点在上，则的长度最小值为（    ） A． B． C． D． 16．（2026高二·河南新乡·阶段检测）正四棱锥中，O为底面ABCD的中心，P为侧棱SD的中点，且，则异面直线BD与PC的距离是（   ） A． B． C． D． 17．（2026高二·山东临沂·期中）在三棱锥中，、均为等腰直角三角形，其中，，，点M，N分别在线段AB，PC上，则的最小值为______. 18．（2026高二·甘肃武威·期末）已知四边形为矩形，为四边形外一点且平面ABCD，，，，则异面直线与之间的距离为______． 19．（2026高二·新疆乌鲁木齐·期中）已知和两条异面直线都垂直相交的直线叫做两条异面直线的公垂线，公垂线与两条直线相交的点所形成的线段，叫做这两条异面直线的公垂线段．两条异面直线的公垂线段的长度，叫做这两条异面直线的距离．在四棱锥中，底面是边长为的正方形，底面，，点在侧棱上，且满足，则异面直线和的距离为________ （四） 两条异面直线所成的角 1、求异面直线夹角的方法 (1)传统法：作出与异面直线所成角相等的平面角，进而构造三角形求解． (2)向量法：在两异面直线a与b上分别取点A，B和C，D，则与可分别为a，b的方向向量，则cosθ＝. 注：用空间向量求两条直线，夹角的步骤与方法： (1)化为向量问题：转化为求两直线，的方向向量,的夹角； (2)进行向量运算：； (3)回到图形问题：两条直线夹角的余弦值. 题型4：利用空间向量求异面直线的夹角 20．（2026·山东济南·模拟预测）在平行四边形中，设，，，沿将平行四边形折成一个直二面角，则与所成的角的余弦值是（     ） A． B． C． D． 21．（2026高二·福建厦门·阶段检测）如图，对正方体­，，，分别是和的中点. (1)求到的距离； (2)求异面直线与所成角的余弦值. 22．（2026高二·浙江·学业考试）如图，在直三棱柱中，，，分别是，的中点．若，则直线与所成角的余弦值为____________． 23．（2026高二·浙江·学业考试）斜三棱柱中，是边长为2的正三角形，侧棱，，点为棱上动点，则异面直线与所成角的最小值为（     ） A．30° B．45° C．60° D．75° 24．（2026·广西崇左·模拟预测）如图，在四棱锥中，底面，，，，E，F，G分别为，，的中点. (1)证明：平面平面. (2)若异面直线与所成角的余弦值为，求四棱锥的体积. （五） 直线与平面所成的角 利用平面的法向量求直线与平面夹角的基本步骤 (1)建立空间直角坐标系； (2)求直线的方向向量u； (3)求平面的法向量n； (4)设线面角为θ，则sinθ＝. 题型5：利用空间向量求直线与平面所成的角 25．（2026高二·福建厦门·阶段检测）如图，长方体的底面是边长为2的正方形， ，点、分别为棱、的中点.若平面平面，则直线 与平面所成角的正切值为（    ） A． B． C． D． 26．（2026高二·山东淄博·阶段检测）如图，在四棱锥中，平面平面，， ，，，，. (1)求证：平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值. 27．（2026高二·湖北荆州·期末）在正三棱柱中，，点分别在棱上，已知，则与平面所成角的正弦值为__________． 28．（2026·广西河池·模拟预测）如图，四棱锥的底面是边长为4的菱形，，，，，是的中点． (1)证明：； (2)若点为线段上动点，是否存在这样的点，使得直线与平面所成角的正弦值为？若存在，求出点的位置；若不存在，请说明理由． 29．（2026·北京朝阳·模拟预测）在四棱锥中，侧面底面，底面是正方形，，，点是棱上一点． (1)当点是棱中点时，求证：平面； (2)若直线与平面所成角的正弦值为，求线段的长． 30．（2026高二·河南许昌·期末）在正方体中，点为线段的中点，点在线段上，直线与平面所成的角为，则的最小值为（     ） A． B． C． D． （六） 两个平面的夹角 求两平面夹角的两种方法 (1)定义法：在两个平面内分别找出与两平面交线垂直的直线，这两条直线的夹角即为两平面的夹角．也可转化为求与两平面交线垂直的直线的方向向量的夹角，但要注意其异同． (2)法向量法：分别求出两平面的法向量n1，n2，则两平面的夹角为〈n1，n2〉或π－〈n1，n2〉 注：利用向量方法求二面角的大小时,多采用法向量法,即求出两个面的法向量,然后通过法向量的夹角来得到二面角的大小,但利用这种方法求解时,要注意结合图形观察分析,确定二面角是锐角还是钝角,不能将两个法向量的夹角与二面角的大小完全等同起来. 题型6：利用空间向量求二面角 31．（2026高二·甘肃兰州·期中）如图，在四面体ABCD中，，，，，M是AD的中点，P是BM的中点，点Q在线段AC上，且. (1)证明：平面BCD； (2)求二面角的余弦值. 32．（2026·陕西·模拟预测）如图，四棱柱的底面为直角梯形，，，，．点为的中点，且． (1)证明：； (2)若与平面所成角的正弦值为，求二面角的正弦值． 33．（2026高一·广东江门·竞赛）如图，在四棱锥中，底面是边长为2的正方形，点M，N分别为BC，PD的中点． (1)证明：平面； (2)若，平面平面，求二面角的正弦值． 34．（2026高二·辽宁朝阳·期末）已知在三棱柱中，平面，，，，分别是线段，的中点．    (1)求证：平面； (2)求二面角的余弦值． 35．（2026高三·江苏徐州·阶段检测）如图，在四棱锥中，底面ABCD是平行四边形，平面，且，，. (1)证明：平面平面. (2)若二面角的余弦值为，求棱AB的长. 题型7：利用空间向量求两个平面的夹角 36．（2026高二·云南文山·阶段检测）如图，已知平面，底面为矩形，，， 分别为,的中点．    (1)求证：平面； (2)求平面与平面的夹角的余弦值． 37．（2026高一·海南海口·期末）如图，在四棱锥中，四边形为正方形，平面，． (1)求证：； (2)求平面和平面夹角的余弦值． 38．（2026·湖北十堰·模拟预测）如图，四边形与为直角梯形，且平面平面，其中，，，．    (1)求平面与平面夹角的正弦值； (2)若空间中存在一点Q，满足，且直线平面，求的长． 39．（2026高三·全国·专题练习）如图，直三棱柱中，，，，侧棱，侧面的两条对角线的交点为D，的中点为M．    (1)求证：平面； (2)求平面与平面所成二面角的正弦值． 40．（2026高一·广东肇庆·期末）如图，在直三棱柱中，，平面平面，为线段（不含端点）上的动点．    (1)求证：平面； (2)求证：是直角三角形； (3)求平面与平面夹角的余弦值的取值范围． 1．（2026高二·广东·期末）已知直线的一个方向向量为，直线的一个方向向量为，若直线、所成的角等于，则（   ） A． B． C． D． 2．（2026高二·江苏苏州·期中）直三棱柱，，分别是的中点，，则与所成的角为（    ） A． B． C． D． 3．（2026高二·湖北·期中）已知点是平面内一点，平面的一个法向量为，则点到平面的距离为（   ） A． B． C． D． 4．（2026高二·河北邯郸·期末）已知平面的一个法向量，点为上一点，则点到平面的距离为（   ） A．4 B．3 C．2 D． 5．（2026·陕西咸阳·模拟预测）在四面体中，平面，，.若四面体的体积为，则与平面所成角的正弦值为（   ） A． B． C． D． 6．（2026·河南·模拟预测）已知四棱锥的底面是边长为2的菱形，，侧面是以为斜边的等腰直角三角形，且侧面底面，是的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 7．（2026高二·福建莆田·阶段检测）在空间直角坐标系中，直线经过点，且其方向向量，则点到直线的距离为（ ） A． B． C．3 D． 8．（2026高二·浙江温州·期中）已知平面的一个法向量，点在平面内，则点到平面的距离为（   ） A． B． C．1 D． 9．（2026高二·江苏无锡·期末）已知：空间中，过点且一个法向量为的平面方程为.据此可知，若平面的方程为，直线是两平面与的交线，则直线与平面所成角的正弦值为（    ） A． B． C． D． 10．（2026高二·湖北武汉·开学考试）鳖臑是指四个面都是直角三角形的三棱锥．如图，在鳖臑中，平面，，，分别是棱，的中点，点是线段的中点，则点到直线的距离是（    ） A． B． C． D． 11．（2026高三·辽宁铁岭·阶段检测）在正四棱柱中，，以为球心，表面积为的球与平面只有1个公共点，若为棱的中点，则点到平面的距离为（    ） A． B． C． D． 12．（2026高二·河南·阶段检测）如图，在四棱锥中，平面平面，，为的中点，则点到平面的距离为（   ）    A． B． C． D． 13．（2026·江苏扬州·模拟预测）在正四面体中，分别为的中点，连接，若正四面体的边长为2，则直线与直线所成角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 14．（2026高二·浙江宁波·期末）在三棱锥中，，，则直线与平面所成角的正弦值为（    ） A． B． C． D． 15．（2026高二·江苏·阶段检测）如图，正四棱锥的底面是正方形，每条侧棱的长都是底面边长的倍，平面，为侧棱上的点，则二面角的余弦值为（ ） A． B． C． D． 16．【多选】（2026·河北张家口·模拟预测）如图，已知正四棱锥中，底面边长为2，高为1，则下列说法正确的是（    ） A．直线与直线所成角的余弦值为 B．直线与平面所成角的正弦值为 C．该正四棱锥的外接球的表面积为 D．若平面与平面所成的角为，平面与平面所成的角为，则 17．（2026高二·云南楚雄·期末）在长方形中，，将沿所在直线进行翻折，二面角为，则（    ） A． B． C． D． 18．（2026高一·浙江温州·期中）如图，正方体棱长为4，点是棱的中点，点分别是线段的中点，则三棱锥的体积为（    ） A． B． C．6 D．8 19．【多选】（2026高二·山东泰安·阶段检测）在棱长为2的正方体中，是棱上一动点，则到平面的距离可能是（    ） A．1 B． C． D． 20．【多选】（2026·四川成都·模拟预测）空间中，平面上的动点满足方程，（），则称为平面的方程．同时也称平面的方程为，并称为平面的一个法向量．已知方程分别为，的平面，的交线为，则下列结论正确的是（     ） A．经过点，，的平面的方程为 B．若平面的方程为：，则坐标原点到平面的距离为 C．交线为的一个方向向量为 D．与方程为的平面所成角的正弦值为 21．（2026高二·江苏扬州·阶段检测）如图，四棱锥中，平面，，，，则到平面的距离是______. 22．（2026高三·全国·专题练习）如图，四边形和均为边长为2的正方形，它们所在的平面互相垂直，若点在线段上，，分别为，的中点，设异面直线与所成的角为，且，则________． 23．（2026·北京丰台·模拟预测）已知四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为正方形，PA⊥底面ABCD，E，F分别为线段BC，PA的中点，G是线段PD上的一点，PA＝AD＝2．若异面直线CF与EG所成角的余弦值为，则三棱锥P﹣EFG的体积为__________________ ． 24．（2026·重庆·模拟预测）在正三棱柱中，已知分别是棱的中点． (1)证明：平面平面； (2)求平面与平面夹角的余弦值． 25．（2026高三·北京·阶段检测）把一副三角板按如图所示的方式拼接，其中，，．将沿翻折至，使得二面角为直二面角． (1)证明：平面； (2)求平面与平面所成角的余弦值． 26．（2026·全国二卷）如图，在四边形中，，F为CD的中点，点E在AB上，，.将四边形沿翻折至四边形，使得面与面EFCB所成的二面角为． (1)证明：平面； (2)求面与面所成的二面角的正弦值． 27．（2026·全国一卷）如图,在四棱锥中，底面，． (1)证明：平面平面； (2)设，且点，，，均在球的球面上． （i）证明：点在平面内； （ⅱ）求直线与所成角的余弦值． 28．（2026·北京）如图，在四棱锥中，与均为等腰直角三角形，，E为BC的中点． (1)若分别为的中点，求证：平面PAB； (2)若平面ABCD，，求直线AB与平面PCD所成角的正弦值． 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $