1.4.2 第1课时 用空间向量研究距离问题-（配套练习）【精讲精练】2026-2027学年高中数学选择性必修第一册（人教A版）

**基本信息** 该同步练习按“基础巩固-综合提升-探索创新”分层，聚焦空间距离计算，从公式直接应用到几何体综合求解，再到探究性问题，梯度清晰，适配新授课知识巩固与核心素养培养。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |必备知识·基础巩固|点到直线、点到平面距离公式|直接套用公式，如第1-3题纯计算| |关键能力·综合提升|线面、面面距离及综合应用|结合几何体建系，如第4-8题长方体背景| |核心价值·探索创新|存在性探究与跨知识综合|含开放性问题，如第13题线段上点的存在性|

[必备知识·基础巩固] 1．已知空间直角坐标系中的点P(1，1，1)，A(1，0，1)，B(0，1，0)，则点P到直线AB的距离为(　　) A．　　 B．　　 C．　　 D． 解析　∵A(1，0，1)，B(0，1，0)，P(1，1，1)， ∴＝(－1，1，－1)，＝(0，1，0)，||＝1， 在上的投影为＝＝， 则点P到直线AB的距离为＝＝.故选D. 答案　D 2．两平行平面α，β分别经过坐标原点O和点A(2，1，1)，且两平面的一个法向量n＝(－1，0，1)，则两平面间的距离是(　　) A． B． C． D．3 解析　∵两平行平面α，β分别经过坐标原点O和点A(2，1，1)，＝(2，1，1)，且两平面的一个法向量n＝(－1，0，1)，∴两平面间的距离d＝＝＝. 答案　B 3.已知平面α的一个法向量为n＝，点A在平面α内，点P在平面α外，则点P到平面α的距离为(　　) A． B． C． D． 解析　点A在平面α内，点P在平面α外，则＝， 则点P到平面α的距离为＝＝. 故选D. 答案　D 4．如图所示，在长方体ABCD ­A1B1C1D1中，A1A＝5，AB＝12，则直线B1C1到平面A1BCD1的距离是(　　) A．5 B．8 C． D． 解析　以D为原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系． 则C(0，12，0)，D1(0，0，5).设B(x，12，0)，B1(x，12，5)(x≠0).设平面A1BCD1的法向量为n＝(a，b，c)，由n⊥，n⊥，得n·＝(a，b，c)·(－x，0，0)＝－ax＝0，n·＝(a，b，c)·(0，－12，5)＝－12b＋5c＝0，∴a＝0，b＝c，∴可取n＝(0，5，12).又＝(0，0，－5)，∴点B1到平面A1BCD1的距离为＝.∵B1C1∥平面A1BCD1， ∴B1C1到平面A1BCD1的距离为. 答案　C 5．如图所示，在长方体ABCD ­A1B1C1D1中，AA1＝AB＝2，AD＝1，点F，G分别是AB，CC1的中点，则点D1到直线GF的距离为________． 解析　如图，以D为原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则D1(0，0，2)，F(1，1，0)，G(0，2，1)，于是有＝(1，－1，－1)，＝(0，－2，1)，所以＝＝，||＝，所以点D1到直线GF的距离为＝. 答案　 6．在底面是直角梯形的四棱锥P ­ABCD中，侧棱PA⊥底面ABCD，BC∥AD，∠ABC＝90°，PA＝AB＝BC＝2，AD＝1，则AD到平面PBC的距离是________． 解析　AD到平面PBC的距离等于点A到平面PBC的距离．由已知可知AB，AD，AP两两垂直，以A为原点，AB，AD，AP所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系(图略)，则A(0，0，0)，B(2，0，0)，C(2，2，0)，P(0，0，2).则＝(2，0，－2)，＝(0，2，0).设平面PBC的法向量为n＝(a，b，c)，则即取a＝1，得n＝(1，0，1)，又＝(2，0，0)，所以d＝＝. 答案　 7．如图，在三棱柱ABC ­A1B1C1中，底面ABC为正三角形，且侧棱AA1⊥底面ABC，底面边长与侧棱长都等于2，O，O1分别为AC，A1C1的中点，则平面AB1O1与平面BC1O之间的距离为________． 解析　如图，连接OO1，根据题意，OO1⊥底面ABC， 则以O为原点，OB，OC，OO1所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系． ∵AO1∥OC1，OB∥O1B1，AO1∩O1B1＝O1，OC1∩OB＝O， ∴平面AB1O1∥平面BC1O， ∴平面AB1O1与平面BC1O之间的距离即为点O1到平面BC1O的距离． ∵O(0，0，0)，B(，0，0)，C1(0，1，2)，O1(0，0，2)， ∴＝(，0，0)，＝(0，1，2)，＝(0，0，2)， 设n＝(x，y，z)为平面BC1O的法向量， 则即 ∴可取n＝(0，2，－1). 点O1到平面BC1O的距离记为d， 则d＝＝＝， ∴平面AB1O1与平面BC1O之间的距离为. 答案　 8．在直三棱柱ABC ­A1B1C1中，AB＝AC＝AA1＝2，∠BAC＝90°，M为BB1的中点，N为BC的中点． (1)求点M到直线AC1的距离； (2)求点N到平面MA1C1的距离． 解析　(1)建立如图所示的空间直角坐标系，则A(0，0，0)，A1(0，0，2)，M(2，0，1)，C1(0，2，2)，直线AC1的一个单位方向向量为s0＝，＝(2，0，1)，故点M到直线AC1的距离d＝＝＝. (2)设平面MA1C1的法向量为n＝(x，y，z)，则n·＝0且n·＝0，即(x，y，z)·(0，2，0)＝0且(x，y，z)·(2，0，－1)＝0，即y＝0且2x－z＝0，取x＝1，得z＝2，故n＝(1，0，2)为平面MA1C1的一个法向量，与n同向的单位向量为n0＝.因为N(1，1，0)，所以＝(－1，1，－1)，故点N到平面MA1C1的距离d＝|·n0|＝. [关键能力·综合提升] 9．如图，在棱长为2的正方体ABCD ­A1B1C1D1中，E为BC上的一点，F为CD的中点，若点E到平面AB1F的距离为1，则线段CE的长度为(　　) A．1 B． C． D．2 解析　如图，以D为原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，则A(2，0，0)，F(0，1，0)，B1(2，2，2)，设CE＝a(0≤a≤2)，则E(a，2，0)， ＝(0，2，2)，＝(－2，1，0)，＝(a－2，2，0).设n＝(x，y，z)为平面AB1F的一个法向量，则令x＝1，得y＝2，z＝－2，所以n＝(1，2，－2).则点E到平面AB1F的距离为d＝＝＝1，解得a＝1，所以线段CE的长度为1.故选A. 答案　A 10．(多选)已知正方体ABCD ­A1B1C1D1的棱长为1，点E，O分别是A1B1，A1C1的中点，P在正方体内部且满足＝＋＋，则下列说法正确的是(　　) A．点A到直线BE的距离是 B．点O到平面ABC1D1的距离为 C．点P到直线AB的距离为 D．平面A1BD与平面B1CD1间的距离为 解析　如图，建立空间直角坐标系，则A(0，0，0)，B(1，0，0)，D(0，1，0)，A1(0，0，1)，C1(1，1，1)，D1(0，1，1)，E，O，所以＝(－1，0，0)，＝. 设∠ABE＝θ，则cos θ＝＝，sin θ＝＝.故A到直线BE的距离d1＝sin θ＝1×＝，故A正确． 易知＝，平面ABC1D1的一个法向量＝(0，－1，1)，则点O到平面ABC1D1的距离d2＝＝＝，故B正确． ＝(1，0，－1)，＝(0，1，－1)，＝(0，1，0).设平面A1BD的法向量为n＝(x，y，z)，则所以令z＝1， 得y＝1，x＝1，所以n＝(1，1，1)，所以点D1到平面A1BD的距离d3＝＝＝.因为平面A1BD∥平面B1CD1，所以平面A1BD与平面B1CD1间的距离等于点D1到平面A1BD的距离，即为，故D正确． 因为＝＋＋，所以＝，＝(1，0，0)，则＝，所以点P到AB的距离d＝＝＝，故C错误．故选ABD. 答案　ABD 11．如图所示，正方形ABCD，ABEF的边长都是1，而且平面ABCD，ABEF互相垂直，点M在AC上移动，点N在BF上移动，若CM＝BN＝a(0＜a＜)，则MN＝________；当a＝________时，MN的长最小． 解析　建立空间直角坐标系如图， 则A(1，0，0)，F(1，1，0)，C(0，0，1). 因为CM＝BN＝a(0＜a＜)，且四边形ABCD，ABEF为正方形， 所以M，N， 所以＝. 所以||＝ ， 即MN的长为. 当a＝时，||min＝，即M，N分别为AC，BF的中点时，MN的长最小，最小值为. 答案　　 12．如图，在棱长为1的正方体ABCD ­A1B1C1D1中，E为线段DD1的中点，F为线段BB1的中点． (1)求直线FC1到直线AE的距离； (2)求直线FC1到平面AB1E的距离． 解析　建立如图所示的空间直角坐标系， 则B1(1，1，1)，E，F， C1(0，1，1)，A(1，0，0). (1)因为＝，＝， 所以∥，即AE∥FC1， 所以点F到直线AE的距离即为直线FC1到直线AE的距离． u＝＝，＝， 2＝，·u＝， 所以直线FC1到直线AE的距离为＝. (2)因为AE∥FC1，所以FC1∥平面AB1E， 所以直线FC1到平面AB1E的距离等于C1到平面AB1E的距离． ＝(1，0，0)，＝(0，1，1)， 设平面AB1E的一个法向量为n＝(x，y，z)，则 即取z＝2，可得n＝(1，－2，2)， 所以C1到平面AB1E的距离为＝， 所以直线FC1到平面AB1E的距离为. [核心价值·探索创新] 13．如图，在多面体ABCDEF中，平面ABEF⊥平面ABCD，底面ABCD为直角梯形，AD∥BC，AB⊥BC，AB＝AD＝BC＝2，AB綊EF，AF＝BF＝2. (1)证明：CD⊥BF. (2)在线段CE上是否存在点M，使得点M到平面BDF的距离为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． (1)证明　因为AB＝2，BF＝2，AF＝2， 所以AB2＋BF2＝AF2，所以BF⊥AB. 因为平面ABEF⊥平面ABCD，平面ABEF∩平面ABCD＝AB，BF⊂平面ABEF， 所以BF⊥平面ABCD.因为CD⊂平面ABCD，所以CD⊥BF. (2)解析　存在，由(1)知，BF⊥平面ABCD且AB⊥BC，以B为原点，BA，BC，BF所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，如图． 则B(0，0，0)，A(2，0，0)，C(0，4，0)，D(2，2，0)， F(0，0，2)，E(－2，0，2)，所以＝(2，2，0)，＝(0，0，2)， 设＝λ＝λ(－2，－4，2)＝(－2λ，－4λ，2λ)(0≤λ≤1)， 则＝＋＝(0，4，0)＋(－2λ，－4λ，2λ)＝(－2λ，－4λ＋4，2λ). 设平面BDF的法向量为n＝(x，y，z)， 则即 令x＝1，则n＝(1，－1，0). 设点M到平面BDF的距离为d， d＝＝＝，解得λ＝或(舍). 所以在线段CE上存在点M，且＝. 学科网（北京）股份有限公司 $