1.4.2 用空间向量研究夹角问题暑假预习讲义（6个题型归纳）-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

2026年新高二数学上学期暑假常考题型归纳 【1.4.2 用空间向量研究夹角问题】 总览 题型梳理 【教材知识梳理】 1．夹角 （1）求异面直线所成的角 若两异面直线所成角为，它们的方向向量分别为，则有=_ _____ . （2）求直线和平面所成的角 设直线的方向向量为，平面的法向量为，直线与平面所成的角为，与 的角为，则有______=_______. （3）求二面角 如图，若于A，于B，平面PAB交于E，则________为二面角的平面角，∠AEB+∠APB=180°.若二面角的平面角的大小为，其两个面的法向量分别为，则=______=___ ____ （4）求平面与平面的夹角 平面与平面相交，形成四个二面角，把这四个二面角中不大于90°的二面角称为平面与平面的夹角_________=___________. 题型分类 知识讲解与常考题型 【题型1：求异面直线的夹角】 【练方法】 公式结论 1.设异面直线方向向量，异面直线夹角 2.坐标展开： 方法技巧 1.先写出两条直线方向向量，计算对应坐标乘积和 2.分子必须加绝对值，保证余弦值非负，夹角取锐角或直角 3.算出余弦值后用反三角函数表示角度，特殊角直接写度数 易错提醒 1.分子遗漏绝对值，算出钝角余弦，夹角范围出错 2.混淆异面直线夹角范围，写出大于90°的角 （25-26高一下·天津红桥·期末）如图，直三棱柱，，点，分别是，的中点，若，则与所成角的余弦值是（    ）经典例题1例题 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】使用向量法求解. 【详解】以为原点建立如图所示空间直角坐标系， 设，则，，，， ，， 则与所成角的余弦值为：. （25-26高一下·江苏连云港·期末）在正方体中，为的中点，则与夹角的余弦值为（   ）小试牛刀1 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先设正方体棱长并建立空间直角坐标系，写出各点坐标得到两条直线的方向向量，通过向量点积公式求出向量夹角余弦，再取其绝对值得到异面直线夹角的余弦值． 【详解】 设正方体棱长为， 如图，以为原点，为轴，为轴，为轴建立坐标系， ，，，， ，， 所以， 所以与夹角的余弦值为． （25-26高一下·河南郑州·期末）如图，在直三棱柱中，，，，是的中点，求直线与直线所成角的余弦值（    ）小试牛刀2 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用勾股定理逆定理证明，以为原点建立空间直角坐标系，利用向量法求解异面直线夹角的余弦值. 【详解】在中，， 因为，所以. 因为三棱柱为直三棱柱，所以平面， 又平面平面，所以. 如图，以为原点，的方向分别为轴、轴、轴的正方向建立空间直角坐标系. 则. 因为是的中点，所以. 所以. 设直线与直线所成角为， 则 . 所以直线与直线所成角的余弦值为. （25-26高一下·山东济宁·期末）已知直三棱柱的所有顶点都在球O的表面上，且．，，若球O的表面积为，则异面直线与所成角的余弦值为（    ）小试牛刀3 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】通过余弦定理判断形状后确定外接圆圆心位置，进一步判断球心位置，并通过数量积求解直线夹角余弦值. 【详解】   因为，，，所以， 解得，所以， 因此，外接圆圆心位于中点. 同理，外接圆圆心位于中点. 由此可知，外接球球心位于中点. 因为球表面积为，设外接球半径为， 所以，解得， 所以，. 以作为基底，分别记作，得，. 所以. 【题型2：求线面角】 【练方法】 公式结论 1.直线方向向量，平面法向量，线面角 2.坐标展开： 方法技巧 1.核心逻辑：线面角是直线与平面投影的夹角，和方向向量、法向量夹角互余 2.先算向量夹角余弦取绝对值，结果为线面角的正弦值 3.直线平行平面时，直线垂直平面时 易错提醒 1.直接把当作线面角余弦，混淆正弦、余弦 2.忘记取绝对值，得到负的正弦值 （25-26高二下·海南·期末）如图，在三棱柱中，侧面是正方形，平面．经典例题1例题    (1)证明：平面平面； (2)若，，求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】(1)因为侧面是正方形，所以， 因为平面，平面，所以， 因为，平面，所以平面， 因为平面，所以平面平面． (2) 【分析】（1）根据线面垂直的性质、线面垂直的判定定理及面面垂直的判定定理证明即可. （2）方法一：建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，根据线面角的向量求法求解即可. 方法二：根据平面平面得到直线在平面内的射影即直线，进而即为所求角，结合正弦定理求解即可. 【详解】（1）略 （2）方法一：如图，以C为坐标原点，CA，，CB所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，    则，，，， 所以，，． 设平面的法向量为， 则，即，取，得． 设直线与平面所成的角为θ， 则， 即直线与平面所成角的正弦值为． 方法二：设与的交点为O，连接OB，    因为平面平面，所以直线在平面内的射影即直线， 则即为直线与平面所成的角． 因为，四边形是正方形，所以，． 又， 所以，． 所以． 在中，由正弦定理可得， 即，解得， 即直线与平面所成角的正弦值为． （25-26高二下·内蒙古赤峰·期末）如图，在中，，，D，E分别在，上，满足，，将沿折起到的位置，使.小试牛刀1      (1)求证：平面； (2)若点M满足，求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】(1)因为，，所以， 又因为，则，所以，翻折后， 又因为，平面，所以平面， 又平面，所以， 又因为，平面， 所以平面. (2) 【分析】(1)折叠保垂直，依靠两组垂直交线证明出线面垂直； (2)依托第一问垂直条件建立空间直角坐标系，确定点坐标，求出平面法向量，套用线面夹角向量公式运算求解. 【详解】（1）略 （2）由（1）知，建立如下所示空间直角坐标系，由几何关系知， 所以，则， 设平面的法向量，则， 令，则， 因为在线段上，且，则， 所以， 即直线与平面所成角的正弦值为.    （25-26高二下·广东潮州·期末）四棱锥中，底面，，，且，，是的中点．小试牛刀2 (1)证明：平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】(1)取中点，连接，， 因为，，所以四边形为平行四边形，则， 因为，所以， 因为，为的中点，所以， 由勾股定理可得，同理可得， 所以，所以， 因为平面，平面，所以， 因为，、平面，所以平面． (2) 【分析】（1）根据线面垂直的判定定理，结合线面垂直的性质及勾股定理逆定理证明即可. （2）建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，根据线面角的向量求法求解即可. 【详解】（1）略 （2）因为平面，， 如图，以点为原点，以，，所在直线分别为，，轴，建立空间直角坐标系， 则，，，，， ，，， 设平面的一个法向量为， 则，令，可得， 设直线与平面所成角为， 则， 所以，直线与平面所成角的正弦值为． （25-26高二下·甘肃定西·期末）如图，在三棱柱中，平面，，二面角的大小为．小试牛刀3 (1)若是的中点，证明：平面． (2)若，，求直线与平面所成角的大小． 【答案】(1) 连接交于， 在三棱柱中，侧面是平行四边形， 所以是的中点， 又因为是的中点， 所以， 因为平面，平面， 所以平面； (2) 【分析】（1）借助三棱柱侧面平行四边形对角线中点性质，结合三角形中位线得到线线平行，再用线面平行判定定理完成证明； （2）由侧棱垂直底面确定二面角平面角，建立空间直角坐标系求出所有点坐标，利用线段比例算出坐标，求出平面法向量后，套用线面角向量公式计算出角度． 【详解】（1）略 （2） 因为平面，平面，平面， 所以，， 所以二面角的平面角， ，，， 在平面内作， 因为平面，平面， 所以，即两两垂直， 以为原点，所在直线分别为轴、轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系， ，，即，，， 设， ， 由，得， 所以，解得，即， ，，， 设平面的法向量， 所以，即， 令，得， 设直线与平面所成角为， 所以， 因为，所以， 所以直线与平面所成角的大小为． 【题型3：求二面角】 【练方法】 公式结论 1.平面法向量，二面角平面角为， 2.符号判定规则 ①两法向量同时指向二面角内部/外部： ②两法向量一内一外： 3.坐标展开： 方法技巧 1.先求出两个平面法向量，计算无绝对值的点积分式 2.通过观察图形判断二面角为锐角还是钝角，匹配余弦正负 3.二面角为直角时满足 易错提醒 1.统一给分子加绝对值，无法区分锐二面角、钝二面角 2.不看图直接把向量夹角当作二面角，角度互补出错 （25-26高一下·黑龙江哈尔滨·期末）如图，在四棱锥中，底面是矩形，，且，，点在线段上，满足：平面经典例题1例题 (1)确定点的位置并说明原因； (2)求二面角的正弦值． 【答案】(1)连接交于点，连接， 因为底面是矩形，所以是的中点， 已知平面，且平面， 平面平面，所以， 在中，为中点且，因此是的中位线， 故为线段的中点. (2) 【分析】（1）利用线面平行的性质定理推导出线线平行，再结合三角形的中位线确定中点位置 （2）法一: 利用等体积法求出点到平面的距离，再结合余弦定理与三角形面积公式求出相应的斜高，最后通过定义在直角三角形中直接计算出该二面角的正弦值；法二:证明面面垂直找到几何体的高并建立空间直角坐标系，通过求两平面法向量的夹角余弦值，最终转化为二面角的正弦值. 【详解】（1）略 （2）法一，设点在平面上的投影为点，过点作交于点，连接， 因为平面，平面，所以， ，平面，所以平面， 因为平面，所以， 因此为二面角的平面角或其补角， 因此， 由题意得，，平面，所以平面， 因为平面，所以， 在中，，，， ， 取的中点，在等腰三角形中，易得，，，， ，， ，且， ，解得， ， ， ，所以， ， 所以， ， 所以， 则， 又因为，代入得， 则. 法二：由题意得，且， ，平面，所以平面， 因为平面，所以平面平面， 取的中点，连接， 因为，所以， 平面平面，所以平面， 在中，，， 在中，， 以为原点，以为轴正方向建系， 则， 且，，， 设平面的法向量为， 则，令，解得，故， ，，设平面的法向量为， 则，令，解得，故， 设二面角的平面角为， ， 则， 综上， 二面角的正弦值为. （25-26高二下·西藏昌都·期末）如图，在四棱锥中，底面为正方形，与相交于点O，平面，，，点E为线段中点．小试牛刀1    (1)求证：平面； (2)求平面与平面夹角的大小． 【答案】(1)因为平面ABCD，平面ABCD，所以， 底面ABCD为正方形，，，平面PBD，平面PBD， 所以平面PBD，平面PBD，所以， 平面ABCD，平面ABCD，所以， 在中，，，又点E为线段PO中点，所以， 因为，平面PAC，平面PAC，所以平面PAC； (2) 【分析】（1）根据线面垂直的判定定理以及性质证明即可. （2）建立空间直角坐标系，根据向量法求解即可. 【详解】（1）略 （2）如图所示，建立空间直角坐标系，    则，，，，， 则，，，， 设平面PBC的一个法向量为， 则，即，令，则，所以． 由（1）可知，为平面PAC的法向量， 设平面PAC与平面PBC夹角为，则， 又，所以，即平面PAC与平面PBC夹角为． （25-26高二下·福建漳州·期末）在正三棱柱中，已知分别是棱的中点．小试牛刀2 (1)证明：平面平面； (2)求二面角的余弦值． 【答案】(1)如图： 在矩形中，分别为的中点，连接，则， 平面，平面，所以平面. 在与中，因为，，因为，所以， 因为平面，平面，所以平面. 因为平面，且，所以平面平面． (2) 【分析】（1）根据面面平行的判定定理进行证明. （2）建立空间直角坐标系，利用空间向量求二面角的余弦. 【详解】（1）略 （2）以中点为坐标原点，所在直线为x轴正方向，所在直线为y轴正方向， 过点和平面垂直的直线为z轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 设平面的法向量为， 因， 则，即. 令，则， 设平面的法向量为， 所以， 所以所求二面角的余弦值为． （25-26高二下·河南洛阳·期末）如图，在三棱锥中，平面，，，D是的中点，于E.小试牛刀3 (1)求证：平面； (2)若，求平面与平面夹角的余弦值. 【答案】(1)平面，平面， ，又，，平面， 平面，平面，从而， 又，D是的中点，则， 由，平面，则平面， 由平面，则， 又，，平面， 平面； (2) 【分析】（1）根据已知条件，由线面垂直的性质、判定定理证明结论即可； （2）构建合适空间直角坐标系，标出相关点坐标，进而求出两个平面的法向量，应用向量法求面面角的余弦值. 【详解】（1）略 （2）由平面，平面，则， 由平面，平面，则， 在中，即， 所以，，以A为原点，建立如图所示的空间直角坐标系， 依题意，得，，，，， 即，，设平面的法向量， 由，得，令，得， 由（1）知平面的一个法向量为， 设平面与平面的夹角为，则， 即平面与平面夹角的余弦值为. 【题型4：线面角二面角的存在性】 【练方法】 公式结论 1.存在直线与平面成定角：方程存在非零向量解 2.存在两平面成定二面角：方程存在法向量解 3.取值边界约束 线面角：；二面角： 方法技巧 1.设动点参数，构造含参方向向量/法向量，代入夹角等式 2.根据三角函数值域约束参数方程有无实数解，有解则存在 3.解出参数后代回验证角度范围符合题意 易错提醒 1.忽略三角函数值域，解出或的无效参数 2.不检验向量非零，保留零向量对应的无意义解 （25-26高一下·河北承德·期末）如图，在四棱锥中，平面平面，，，，．经典例题1例题    (1)证明：平面平面； (2)求三棱锥的体积； (3)在棱上是否存在点，使得平面与平面的夹角为？若存在，求出点的位置；若不存在，说明理由． 【答案】(1)设中点，连接， ，，，所以， 因为，所以有，则， 因为，为中点，所以， 因为平面平面，平面平面，所以平面， 因为平面，所以， 因为，所以平面， 因为平面，所以平面平面. (2) (3)在棱上存在点，为上靠近的三等分点. 【分析】(1) 依托面面垂直性质得到高线，结合勾股逆定理证，证明垂直平面内两条相交直线，使用面面垂直判定定理完成证明； (2) 利用等体积转换，作为三棱锥的高，求出底面三角形面积后代入锥体体积公式直接计算； (3)建立空间直角坐标系，写出相关点的坐标，设，分别求出平面与平面的法向量，利用向量夹角公式列出方程，求得即可. 【详解】（1）略 （2）由（1）可知，平面，因为，所以， 则. （3）在棱上存在点，使得平面与平面的夹角为30°，为上靠近的三等分点.，证明如下： 由（1）得平面，因为平面，则， 过作的平行线，则以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，所在直线为轴，建立空间直角坐标系，如图，    由题意得，则, 因，则，故， 则， 设，由题可知， ， 设平面法向量为， 则，令，则，， 设平面的法向量为， 则， 令，则，， 因为平面与平面的夹角为30°， 所以， 化简得，即，又，则， 所以为上靠近的三等分点. （25-26高一下·宁夏银川·期末）如图，在四棱锥中，底面是直角梯形.，且，，为中点．小试牛刀1 (1)证明：平面； (2)在线段上是否存在一点，使得平面与平面夹角的余弦值为？若存在，求出的值；若不存在，说明理由． 【答案】(1)证明：记中点为，连接，， 则四边形为正方形，且根据勾股定理得， 所以，则，所以. 又，，，平面， 所以平面. 因为平面，所以， 易知，所以， 又因为，，平面， 所以平面. (2)存在，． 【分析】（1）利用勾股定理以及线面垂直判定定理可证明平面，再由线面垂直性质定理可得，即可证明平面； （2）以为坐标原点建立空间直角坐标系，利用空间向量求出平面与平面的法向量，根据夹角余弦值确定点的位置，再由空间中点到直线距离的向量求法计算可得结果． 【详解】（1）略． （2）由（1）知平面，且，所以，，两两相互垂直． 以为坐标原点，以，，分别为，，轴建立如图空间直角坐标系， 则，，，，， 设，，则， 则，，， 设平面的法向量为． 则，令 ， 得. 设平面的法向量， 设平面与平面的夹角为，， 则，解得． 所以． （25-26高一下·湖北咸宁·期末）如图，在直三棱柱中，，，分别为的中点．小试牛刀2 (1)求证：平面； (2)设平面与平面的交线为，求二面角的余弦值； (3)在线段（不含端点）上是否存在点，使直线与平面所成角的正切值大小为？若存在，求出的长度；若不存在，说明理由． 【答案】(1)设，连接， 四边形为平行四边形，为中点，又为中点，， 平面，平面，平面. (2) (3)存在点， 【分析】（1）根据三角形中位线可得，由线面平行的判定定理可得结论； （2）方法一：设为中点，根据线面垂直的判定可证得平面，进而得到，作，根据线面垂直性质和二面角平面角定义可知所求角为，根据长度关系可求得结果； 方法二：以为坐标原点可建立空间直角坐标系，根据二面角的向量求法可求得结果； （3）方法一：设在面上射影为，根据线面角定义可知为与平面所成角，由长度关系可求得的长； 方法二：假设，由线面角的向量求法可构造方程求得的值，进而得到结果. 【详解】（1）略. （2）方法一：平面，平面，平面平面，； ，，平面,平面； 设为中点，则，平面， 平面，； 过作，，平面，平面， 连接，则，为二面角的平面角． ∽，，即，， 在中，，，， ，即二面角的余弦值为. 方法二：以为坐标原点，正方向为轴正方向，可建立如图空间直角坐标系， 则，，，，，； 设平面的法向量，则， 令，解得：，，； 轴平面，平面的一个法向量， ， 又二面角为锐二面角，二面角的余弦值为. （3）方法一：线段上存在点，当，与平面所成角的正切值大小为，理由如下： 设在面上射影为，则为与平面所成角. ，， ，，， ， ，； ，， 若与平面所成角的正切值大小为，即， 则， 在中，由余弦定理知：， 解得：. 方法二： 假设存在点满足题意， 设， ， 设平面的一个法向量，则， 令，解得：，，， 记直线与平面所成角为，则，， 即， 整理可得：，解得：（舍）或，. （25-26高一下·河南郑州·阶段检测）如图，在三棱锥中，，，，且平面平面．小试牛刀3 (1)证明：平面； (2)求点到平面的距离； (3)线段上是否存在一点，使得二面角的正切值为？若存在，求出的值；若不存在，说明理由． 【答案】(1) 证明：取PB的中点D，连接CD； 因为，D为PB的中点， 故； 因为平面平面，且交于PB， 故平面； 因为平面，故； 又因为，且，平面， 故平面； (2)； (3)存在一点，使得二面角的正切值为；． 【分析】(1)根据面面垂直的性质得到线面垂直，进而得到线线垂直，结合已有的线线垂直，根据线面垂直的判定定理，证明线面垂直； (2)根据第一问的结论，建立空间直角坐标系，写出点的坐标，写出法向量，代入点到平面的距离公式计算距离； (3)假设存在，根据向量的共线定理设出点的坐标，根据已知条件计算参数，能求出满足题意的值说明存在，否则不存在． 【详解】（1）略 （2） 取BC的中点O，AC的中点F，连接OF，PO； 因为O，F为BC，AC的中点，故； 由(1)可知，平面，故平面； 故，； 又因为为等边三角形，故； 故以O为原点，所在直线为轴建立空间直角坐标系； 因为，， 故，，； 故，，，， ，，； 设为平面的法向量，则 ，故，令，则； 则点到平面的距离为； （3） 设存在点E，使得，； 则； 设为平面的法向量； 为平面的法向量； 则，故， 令，则； 设二面角为， 则，故； 因为， 整理化简可得： 即，化简得：，解得：； 故，则； 综上，存在一点，使得二面角的正切值为． 【题型5：由线面角二面角求其他量】 【练方法】 公式结论 1.已知线面角，列等式 2.已知二面角，列等式 符号由二面角锐钝决定 方法技巧 1.等式两边平方消去绝对值与根号，转化整式方程求解参数、坐标 2.二面角分正负两种情况列方程，全部解后代入图形核验角度 3.求线段长度、点坐标、平面参数均使用此等量关系 易错提醒 1.二面角只取单一符号，漏掉锐角、钝角两种情况 2.平方后产生增根，不回代检验角度大小直接保留解 （25-26高二下·天津河东·期末）如图，在多面体中，平面平面，四边形为矩形．四边形中，，，，，为的中点．经典例题1例题 (1)求证：平面平面； (2)求平面与平面所成夹角的大小； (3)点在线段上，当与平面所成角的大小为时，求的长． 【答案】(1)由四边形为矩形，得，而平面平面， 平面平面平面，则平面， 又平面，所以平面平面. (2) (3) 【分析】（1）利用面面垂直的性质定理及判定定理推理得证. （2）建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，再利用面面角的向量法求解. （3）令，求出平面的法向量，再利用线面角的向量法列式求解. 【详解】（1）略 （2）由平面，得直线两两垂直， 以为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系， 则， ，则， 因此是平面的一个法向量，而是平面的一个法向量， 设平面与平面的夹角为，则， 解得，所以平面与平面的夹角大小为. （3）由（2）得，由点在线段上，， 即，则点，而， 设平面的法向量为，则，取，得， 而，直线与平面所成角的大小为， 因此，解得， 即点与点重合，所以. （2026·山东聊城·二模）如图，在六面体中，底面是边长为2的菱形，，平面，是的中点.小试牛刀1 (1)证明： 平面； (2)若直线与平面所成角的正弦值为，求的长. 【答案】(1)取的中点，连接，. 因为分别为的中点， 所以，且. 又，所以，， 所以四边形是平行四边形， 所以. 又 平面平面，所以 平面. (2) 【分析】（1）取的中点，连接，，结合中点性质和线面平行的判定定理即可证明. （2）建立空间直角坐标系，利用向量法求解. 【详解】（1）略 （2）连接， 因为底面是菱形，，所以和均为等边三角形. 因为是的中点， 所以，即, 又平面， 则以为坐标原点，分别以，所在直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系. 设， 则由题意知，，， 所以，. 设平面的法向量为， 则令， 则. 因为直线与平面所成角的正弦值为， 设直线与平面所成的角为， 则 ， 解得，所以. （25-26高一下·吉林长春·期末）如图，在四棱锥中，，，，，，点为棱上一点．小试牛刀2    (1)证明：平面平面； (2)当点为棱的中点时，求直线与平面所成角的正弦值； (3)当平面与平面的夹角的余弦值为时，求． 【答案】(1)证明：因为， 所以，，所以 又，且平面， 所以平面，又因为平面，所以平面平面. (2)； (3). 【分析】（1）由勾股定理证得，再由线面垂直的判定定理即可证得； （2）由条件如图建立空间直角坐标系，先求平面的法向量，再利用公式求解； （3）设 ，分别求平面的法向量是和平面的法向量，利用公式，求点的位置. 【详解】（1）略 （2）由（1）可知两两垂直，以为原点，以所在直线分别为轴、轴、轴建立如图所示的空间直角坐标系． 则， 当点为棱的中点时，． 设平面的一个法向量，    则即取， 设直线与平面所成角为， 则， 故直线与平面所成角的正弦值为． （3）由（2）可知， 设，则， 设平面的一个法向量， 则，即 令，解得，故， 设平面的一个法向量为， 由，得令，解得， 故， 所以， 即，整理，得， 解得或（舍去）． 故． （25-26高一下·浙江温州·期末）已知等边的边长为3，，分别是，上的点，且，将沿折起到的位置，使得平面平面，得到四棱锥．小试牛刀3    (1)求证：； (2)求直线与平面所成角的正弦值； (3)线段上是否存在一点，使得二面角的大小为？若存在，求出线段的长度；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)等边的边长为3，，. ，. 由余弦定理得，解得； ，，； 为直角三角形，即. . 平面平面，平面平面，平面 平面； 平面，. (2) (3) 【分析】（1）由余弦定理求出，根据三角形三边满足勾股定理，证得，由面面垂直得到线面垂直，再由线面垂直证得线线垂直； （2）由面面垂直得到线面垂直，从而确定线面的夹角，根据直角三角形的边的关系，求得线面夹角的正弦值； （3）以为原点，分别以，，所在的直线为，，轴建立空间直角坐标系，分别求出两平面的法向量，根据异面夹角的计算公式即可求得. 【详解】（1）略 （2）由（1），得. 由折叠得，. 平面平面，平面平面，平面 平面. 为直线与平面所成的角. ，，，，，. 在中，. 即直线与平面所成角的正弦值为 （3）线段上存在一点，使得二面角的大小为，且线段的长度为，理由如下： 平面，平面，平面，，. 平面，平面，. 以为原点，分别以，，所在的直线为，，轴建立空间直角坐标系，    则，，，. . 点在线段上，设，得. ，. 平面，平面的法向量可取. 设平面的法向量为，则，即； 令，则，. 平面的一个法向量为. 二面角的大小为， ，解得或. ，. ，则. 即线段的长度为. 【题型6：求线面角二面角的最值与范围】 【练方法】 公式结论 1.线面角最值：，利用得， 2.二面角最值：，值域， 3.含参向量构造函数：转化为二次函数、分式函数求三角函数最值，再反求角度范围 方法技巧 1.优先求余弦/正弦函数的最值，再结合反三角函数得到角度区间 2.利用柯西不等式快速锁定点积分式的上下界 3.结合动点参数定义域，舍去区间外的三角函数边界值 易错提醒 1.求出正弦/余弦最值后，忽略反三角函数单调性，角度范围写反 2.混淆线面角上限与二面角上限 （25-26高一下·湖南长沙·期末）如图，在四棱锥中，平面，底面为平行四边形，且，设平面平面，且．经典例题1例题 (1)证明：； (2)若，， （i）求直线与平面所成角的正弦值； （ii）点是四边形（不含边界）内的动点，且，求平面与平面所成角的余弦值的取值范围． 【答案】(1)证明：因为为平行四边形，所以， 又平面，平面，所以平面， 因为平面平面，所以， 因为，所以； (2)（i）；（ii）． 【分析】（1）由线面平行的性质得线线平行，从而证明出； （2）（i）法一：建立空间直角坐标系，写出点的坐标，求出平面的法向量，得到线面角的正弦值； 法二：补体成长方体，得到为直线与平面所成角，求出各边长，求出正弦值； （ii）令，，则，求出平面和平面的法向量，利用面面角的余弦公式和换元得到，根据函数的单调性，得到平面与平面所成角的余弦值的取值范围. 【详解】（1）略； （2）（i）（法一：向量法）因为平面，且，所以，，两两互相垂直， 以为原点，、、分别为，，轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，，， 所以，，， 设平面的法向量为， 由可得取，则，， 所以， 设直线与平面所成角为， 则； （法二：几何法）补体成长方体， 过点作垂直于点，连接，，则平面， 所以为直线与平面所成角， 在中，，所以， 在中，，， 所以． （ii）因为平面，平面，所以， 因为，所以， 又是四边形（不含边界）内的动点，则点在以为圆心，2为半径的圆上， 令，，则， 又，，，，， ，， 设平面的法向量为， 则取， 设平面的法向量为， 则取， 故， 令，则， 因为函数在上单调递减，则， 则， 设平面与平面所成角为，则， 所以平面与平面所成角的余弦值的取值范围为． （25-26高二下·湖南·期末）如图，在三棱锥中，平面，，，；分别延长，到，使得，；平面与平面的交线为．小试牛刀1 (1)求平面与平面夹角的余弦值； (2)证明：； (3)点在上，当直线与平面所成角的正弦值最大时，求出的长． 【答案】(1) (2)由题可知，分别是的中点，所以， 又因为平面，平面，所以平面，            又平面，平面平面， 所以，从而. (3) 【分析】（1）方法一：过点作于，连接，得到平面与平面夹角的平面角，通过即可求解；方法二：建立空间直角坐标系，分别求出平面与平面的法向量即可求解； （2）由线面平行可得线线平行； （3）方法一：利用向量法求出直线与平面所成角的正弦值的表达式，求出正弦值最大的情况即可求解；方法二：利用等体积法，得到当最小时，直线与平面所成角的正弦值最大，此时，得到即可求解. 【详解】（1）方法一：平面与平面的夹角也就是平面与平面的夹角． 过点作于，连接， 因为平面，平面,所以， 又因为平面,所以平面， 又平面，所以，所以是两个平面所成的角， 根据题意可知，， 在中，由等面积可得，则， 所以， 即平面与平面夹角的余弦值为. 方法二：根据题意可知，， 于是可以建立如图所示的空间直角坐标系，则，，， 利用点是的中点确定点的坐标为， 所以，， 设平面的法向量为， 则，即，故可取， 显然平面的法向量可以是， 设平面与平面的夹角大小为， 则， 即平面与平面夹角的余弦值为. （2）略. （3）方法一：由（2）可知，，于是可设， 即，又，则，， 设直线与平面所成角大小为， 则， 当时，取得最小值，则取得最大值． 此时，； 方法二：由（2）可知，平面，所以上所有点到平面的距离都相等， 设这个定距离为，也就是点到面的距离． 在中，，，由余弦定理，，， 在三棱锥中，， 设直线与平面所成角大小为，为锐角，则， 当最小时，最大，显然，即时，最小． 又，， ． 所以． （25-26高一下·浙江温州·期末）若四面体任意顶点在对面的投影恰好为该面三角形的垂心，则称该四面体为垂心四面体．如图，中，，，，在上取一点，将沿折叠到某个位置得到，使得三棱锥为垂心四面体．小试牛刀2 (1)求证：； (2)求与平面的夹角的正弦值； (3)设动点在棱上，动点在棱上，满足，记平面与平面所成锐二面角为，求的最小值及此时的值． 【答案】(1)设点在平面的投影为，连接． 在三角形中，，即翻折后与不垂直， 从而,不重合，由是的垂心得， 因为平面平面，所以， 又因为，平面，所以平面. 因为平面，所以． (2)； (3)时，取得最小值． 【分析】（1）过作平面的投影，再利用线面垂直的性质定理和判定定理即可证明； （2）首先证明两两垂直，再建立合适的空间直角坐标系，求出相关平面法向量，再利用线面角的空间向量求法即可得到答案； （3）求出相关平面的法向量，再求出面面角的表达式，最后利用基本不等式即可求出最值. 【详解】（1）略 （2）同（1）可得， 在平面内，过作交于点， 又因为，平面，所以平面. 又平面，所以， 由及勾股定理得：， 等价为：① 又平面，所以， 由及勾股定理得：② 联立①②得：， 结合题意，解得：． 由余弦定理得：， 则， 则由勾股定理逆定理可得：． 又因为，平面， 所以平面, 因为平面，所以，即两两垂直． 则以为原点，分别为,,轴建立空间直角坐标系， 则, , 设平面的法向量为， 则，即取 设直线与平面夹角大小为， 则. （3）由（2）知， 平面的法向量为． 由得：， 同理得：． 设平面的法向量为， 则，即，可取， 所以，即， 当且仅当即时取等． 综上所述：时，取得最小值． （25-26高一下·黑龙江鸡西·期末）如图，在四棱锥中，底面是边长为6的正方形，平面平面，平面平面，点E是棱的中点，点F是棱上的一点（不包含端点）．小试牛刀3 (1)求证：平面； (2)若，且平面与平面的夹角的余弦值为． （ⅰ）求三棱锥的体积； （ⅱ）记平面交于点G，点H在平面上，求与平面所成角的正弦值的取值范围． 【答案】(1)证明：因为底面是边长为6的正方形，所以，， 因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面，又因为平面，所以， 因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面，又因为平面，所以， 又因为，，平面，所以平面． (2)（ⅰ）6（ⅱ） 【分析】（1）利用面面垂直可证明线面垂直，从而可证明线面垂直； （2）（ⅰ）利用空间向量法来求两平面夹角的余弦值，再计算空间体积即可； （ⅱ）利用空间向量法来求线面角的正弦值，再通过二次函数值域即可求线面角正弦值的取值范围. 【详解】（1）略 （2）（ⅰ）由（1）知平面，又，平面，所以，，又， 则以为坐标原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴，建立如图所示空间直角坐标系， 可得：，，，，， 所以，，， 设， 则． 设平面的法向量为，则 即， 取，解得，，则， 因为平面，所以是平面的一个法向量． 因为平面与平面的夹角的余弦值为， 所以， 解得或（舍），所以， 所以三棱锥的体积 ． （ⅱ）设，则， 由（i）可知为平面的一个法向量，所以， 所以，解得， 所以， 因为在平面上，所以， 所以． 设平面的法向量，则 即， 取得，，则， 设与平面所成角为， 则． 因为，所以， 即与平面所成角的正弦值的取值范围为． 课后过关检测 一、单选题 1．（2026高三·全国·专题练习）已知直三棱柱中，，，，侧棱，侧面的两条对角线交于点，则平面与平面所成锐二面角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】以为原点建立空间直角坐标系，求出平面的法向量和平面的法向量，利用向量法能求出平面与平面所成锐二面角余弦值． 【详解】由题意知两两垂直， 则以为x轴，为y轴，为z轴建立空间直角坐标系． ∴，， 由， 设平面的法向量， 则，取，得， ， 设平面的法向量， 则，取，得， 设平面与平面所成锐二面角为， 则， ∴平面与平面所成锐二面角的余弦值为． 2．（25-26高一下·北京·期中）正三棱柱的底面边长为3，侧棱，是延长线上一点，且，则二面角的大小为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先找到二面角的平面角，再根据线段长度求出角大小. 【详解】如图所示，设的中点，连接， 因为三棱柱为正三棱柱，所以平面， 又因为平面，所以； 因为，， 所以，所以为等腰三角形， 又因为为的中点，所以， 又因为，所以平面， 平面，所以， 所以为二面角的平面角， 因为，所以，所以， 所以， 所以， 又，所以. 3．（2026·陕西咸阳·三模）在四面体中，平面，，.若四面体的体积为，则与平面所成角的正弦值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】 在中，，，由三角形面积公式得， 由余弦定理得 ，故， 因为平面ABC，四面体体积，代入解得， 以B为原点，为轴，平面内垂直于的方向为轴，过B且垂直于平面的方向为轴， 得各点坐标：， ， ， ，， 设平面的法向量为， 则，解得，令得，即 ， 又向量 ，， 设AC与平面所成角为，根据线面角与向量夹角的关系，. 4．（25-26高一下·江苏常州·期末）在正方体中，点分别在线段和上，且，，则直线和所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】建立空间直角坐标系，求出两直线的方向向量，利用向量夹角公式计算异面直线所成角的余弦值 【详解】设正方体的棱长为1，以D为坐标原点，分别以、、的方向为x轴、y轴、z轴的正方向，建立空间直角坐标系. 则，，，. ∴， ，, . 设直线和所成角为，则， 所以. 5．（25-26高一下·重庆·期末）在正三棱柱中，，，则直线与平面所成角的正弦值为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】建立空间直角坐标系，求出直线的方向向量与平面的法向量，利用线面角的向量计算公式求解. 【详解】取中点，连接，因为为正三角形，故， 正三棱柱中，平面，平面，故， 又，平面，因此平面， 以为原点，、过且平行于的直线分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系， 已知底面边长，故，高，得各点坐标：，，， 直线的方向向量， 平面上所有点的坐标为，故其一个法向量为，， 设直线与平面所成角为，根据线面角的向量关系： ， 计算得，，代入得：，故B正确. 6．（25-26高一下·山东烟台·期末）已知三棱柱中，，，，点在底面内的射影为的外心，则直线与平面所成角的正弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题以三棱柱为背景，利用空间向量法求线面角.关键在于由底面直角三角形确定外心位置，再根据侧棱长相等求出棱柱的高，进而得到点和的坐标.最后，直线的方向向量与平面的法向量（即竖轴方向）的夹角余弦的绝对值即为所求线面角的正弦值. 【详解】以为原点，方向为轴，方向为轴，垂直于底面的方向为轴建立空间直角坐标系. 则，，，斜边的中点为的外心. 由在底面的射影为，设，则. 侧棱长， 故 解得，取. 于是. 平面的法向量为，设直线与平面所成角为，则      , 故选A. 二、解答题 7．（25-26高二下·广东韶关·期末）如图所示，在四棱锥中，底面为直角梯形，，，，，，侧面底面，平面平面. (1)证明：平面； (2)证明：； (3)若平面与平面夹角的余弦值为，求的长. 【答案】(1)因为底面为直角梯形，，，所以. 因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面. (2)因为，平面，平面，所以平面， 设平面平面，又平面，所以， 即， 由平面，即平面，平面， 所以，故或其补角为平面与平面所成角. 因为平面平面，所以，即. (3)或 【分析】（1）由已知得，再由面面垂直的性质定理证明结论； （2）由线面平行的判定定理得平面，再由线面平行的性质定理得，根据二面角的定义及已知即可证； （3）构建合适的空间直角坐标系，取为中点，设并标注出相关点坐标，应用向量法求二面角列方程求参数值，最后由向量模长的坐标运算求长度. 【详解】（1）略 （2）略 （3）以为原点，为轴，为轴，过点垂直于平面的直线为轴， 建立如图所示直角坐标系，则，，，. 取为中点，由可得，设， 设，所以，，， 设平面的法向量为，则，可取， 由题可取平面的一个法向量为. 设平面与平面夹角为，则， 化简得，解得或， 所以， 所以或. 8．（25-26高二下·广东广州·期末）如图，正三棱柱的所有棱长都为2，且． (1)求证：平面； (2)求平面与平面的夹角的余弦值． 【答案】(1)证明：法一：取中点，连结， 因为为正三角形，所以， 又因为正三棱柱中，平面平面，交线为， 所以平面，因为面，所以， 可得，所以． 又因为，所以，所以， 因为，且面，可得面． 又因为面，所以， 因为四边形是正方形，可得， 又因为，且面，所以面． 法二：取中点，以为原点，的方向为轴的正方向， 建立空间直角坐标系， 则， 可得， 因为，所以，即 又因为，所以，即， 因为平面，且，所以平面． (2)． 【分析】（1）法一：取中点，连结，证得，再由四边形是正方形，得到，利用线面垂直的判定定理，即可证得面． 法二：以为原点，建立空间直角坐标系，求得和，得到和，利用线面垂直的判定定理，即可证得面． （2）由（1）中的空间直角坐标系，求得平面和的法向量和，结合向量的夹角公式，即可求解. 【详解】（1）略 （2）解：由（1）可得，． 设平面的法向量为，则， 令，可得，所以， 由（1）知平面．所以为平面的法向量． 设平面与平面的夹角为， 则， 所以平面与平面的夹角的余弦值为． 9．（25-26高二下·四川成都·期末）如图，在四棱锥中，底面，，，，是线段上的动点.    (1)证明：； (2)若是线段的中点，求平面与平面夹角的余弦值； (3)设直线与平面所成角为，求的取值范围. 【答案】(1)由已知，得； 又因为底面，底面，故； 因为，，，平面， 所以平面，平面，故. (2) (3)或不存在 【分析】（1）由线面垂直的判定定理可得平面，再由线面垂直的定义可得； （2）建立空间直角坐标系，通过解三角形得，再分别求两个平面的法向量，并用向量法求两个平面的夹角可得； （3）先设，再由向量法求得线面角，若时，，，此时的值不存在；若时，由同角三角函数关系得，再分和两种情况讨论，并结合函数，的单调性可得的取值范围. 【详解】（1）略 （2）因为底面，底面，所以， 又因为，所以，因此两两垂直. 因此以为坐标原点，分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系，如图：    则. 在中，，，所以为等边三角形，所以. 又因为，，所以. 在中，，，， 所以，. 因此，因为是中点，故. 设平面的法向量为，，， 则，，令，得， 所以平面的法向量. 设平面的法向量为，，， 则，，令，则， 所以平面的法向量. 设平面与平面的夹角为， 则. 故平面与平面夹角的余弦值为. （3）设在上，设，且， 得，， 设平面的法向量为，，， 则，， 令，则，所以. 因为，平面的法向量为， 所以 ， 因为，所以，所以，因此， 若，则，得，，解得. 当时，，此时，所以的值不存在； 当时，，此时，所以， 所以 ， 得， ①时，， 因为函数在单调递减，且，，    所以，因此得； ②时，， 因为函数在单调递增，且，，    所以，因此得. 综上所述，当时，的值不存在；当时，. 因此的取值范围是或不存在. 10．（25-26高二下·四川泸州·期末）如图，在多面体中，平面，，，为中点， (1)证明：平面； (2)若直线与平面所成角的正弦值为，求平面与平面ADE夹角的余弦值． 【答案】(1)连结CF，因为，所以， 所以四边形为平行四边形，因此； 因为 F为BD中点，，所以. 因为平面，平面，所以. 又因为平面，，所以平面. 又因为，所以平面. (2) 【分析】（1）根据等腰三角形三线合一和平面分别得到，，再根据线面垂直的判定定理证得平面，再根据即可证得平面. （2）建立空间直角坐标系，利用向量法表示直线与平面所成角的正弦值即可求得BA长，再利用向量法求平面与平面ADE夹角的余弦值即可. 【详解】（1）略 （2）因为平面，平面， 所以，又因为， 所以以C为原点，所在直线分别为轴、轴，过C作与平行的线为轴，建立空间直角坐标系. 所以， 设，则. 设平面的一个法向量， 则，令，则 ，所以. ， 因此直线与平面所成角的正弦值为， 解得. 所以. 设平面的一个法向量，， 则， 令，则，所以. 设平面的一个法向量，， 则， 令，则，所以. 平面与平面ADE夹角的余弦值为. 11．（25-26高二下·河南·阶段检测）如图1，在平面四边形中，是以为斜边的等腰直角三角形，，是边长为2的等边三角形．现将沿翻折至的位置，使得，如图2． (1)设为的中点，证明：平面； (2)求平面与平面夹角的余弦值． 【答案】(1)因为为的中点，是边长为2的等边三角形，所以，且. 如图，连接，在等腰中，，又， 满足，所以，即. 又，且平面，平面，所以平面. (2) 【分析】（1）根据等边三角形的性质以及勾股定理证明，再利用线面垂直的判定定理证明即可. （2）建立空间直角坐标系，利用空间向量法可求得平面与平面的夹角的余弦值. 【详解】（1）略 （2） 由(1)知平面，以为坐标原点，分别以的方向为轴、轴、轴正方向，建立空间直角坐标系，如图所示， 则 因为平面位于平面内，易知平面的一个法向量为 又. 设平面的法向量为，则， 得，令，得， 即平面的一个法向量为. 设平面与平面的夹角为. 因为， ， 所以. 故平面与平面夹角的余弦值为. 12．（25-26高二下·四川凉山·期末）如图，为直角梯形，，，为的中点，现将沿折起使点至点处，得四棱锥，点为中点．    (1)求证：平面； (2)当二面角为直二面角时，求：直线与平面所成角的正弦值． 【答案】(1)    如上图，连接交于，连接， 由题可知：底面是正方形，所以为的中点， 又因为为中点，所以， 又因为平面，平面，所以平面. (2) 【分析】（1）连接交于，连接，再根据线面平行的判定定理求解即可； （2）建系，求得平面法向量，和直线方向向量，代入夹角公式即可求解. 【详解】（1）略. （2）因为底面是正方形，所以，由二面角为直二面角， 得平面平面，而平面平面，平面， 所以平面，而平面，所以 ， 又，平面，平面，    以E为坐标原点，，，所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间坐标系，直线与平面所成角为． ，，，， 由图可知为平面的法向量， 则，. 13．（25-26高二下·甘肃酒泉·期末）如图，在正方体中，棱长为，为棱的中点，为侧面内的一点，已知，． (1)求证：平面； (2)求与平面所成角的正弦值； (3)求点到平面的距离． 【答案】(1)解法一：以为原点，建立如图空间直角坐标系． 则，，，，，． 因为为棱的中点，所以， 因为为侧面内的一点，且，所以可设，． 因为，所以． 所以， 所以． 又因为，，，平面，且， 所以平面． 所以为平面的法向量 ， 因为，且平面， 所以平面． 解法二：因为，设的中点为，连接，则， 所以在正方形中，，且平面，平面， 所以平面． 又因为为棱的中点，为中点，连接，则， 且平面，平面，所以平面， 因为，，平面，所以平面平面， 平面，所以平面； (2) (3) 【分析】（1）解法一：建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，进而证明出线面平行； 解法二；证明出面面平行，进而得到线面平行； （2）建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，利用线面角正弦公式进行求解； （3）建立空间直角坐标系，利用点到平面距离公式进行求解 【详解】（1）略 （2）以为原点，建立如图空间直角坐标系． 则，，，，，． 因为为棱的中点，所以． 因为为侧面内的一点，且，所以可设，． 因为，所以． 所以，所以            在正方体中，平面， 所以是平面的一个法向量，          又因为，设与平面所成角为， 则， 即直线与平面所成角的正弦值为； （3）因为，． 设平面的法向量为， 则，令可得， 所以． 所以点到平面的距离为． 14．（25-26高二下·山西·期末）在三棱锥中，和均为等边三角形，，点为线段的中点. (1)证明：平面平面； (2)若直线与所成角的余弦值为时，求二面角的余弦值. 【答案】(1)连接、，如图所示： 因为和均为等边三角形，所以， 因为为的中点，所以，，                        因为，、平面，所以平面， 因为平面，所以平面平面.                      (2) 【分析】（1）利用等腰三角形三线合一证出平面，再利用面面垂直的判定定理即可证出结论； （2）取中点找出二面角，建立空间直角坐标系后借助异面直线的夹角公式即可求出二面角的余弦值. 【详解】（1）略 （2）取的中点，连接、，如图所示， 因为，为的中点，则，， 所以二面角的平面角为，设， 因为，、平面，所以平面，            以点为原点，、所在直线分别为、轴，平面内过点且垂直于的直线为轴建立空间直角坐标系， 则，，，， 所以，，                              由题意可得，           解得（舍去）或，故二面角的余弦值为. 15．（25-26高一下·广东深圳·期末）如图，已知直四棱柱中，，，，，，是的中点，是的中点． (1)求异面直线ND1与B1C夹角的余弦值； (2)求平面与平面夹角的余弦值； 【答案】(1) (2) 【分析】（1）建立空间直角坐标系，结合向量夹角公式求解即可； （2）建立空间直角坐标系，确定平面法向量，再结合向量夹角公式求解. 【详解】（1）以为原点建立如图所示空间直角坐标系， 得，，，， 由为的中点，得， 所以，， 所以， 故异面直线与夹角的余弦值为. （2）由（1）得，，，，），， 则有，，， 设平面与平面的法向量分别为，， 则有，， 分别取，则有，，，， 即，， 则， 故平面与平面的夹角的余弦值为． 16．（25-26高一下·黑龙江·期末）如图，直三棱柱内接于一个圆柱，是底面圆的直径，. (1)求圆柱的表面积； (2)求异面直线与所成角的余弦值. 【答案】(1) (2) 【分析】(1)利用直径所对的圆周角为直角和勾股定理求出的长度和柱体的高，再根据圆柱结构特征即可求其表面积； (2)法一：利用平行线转化，求出异面直线与所成角即为，再利用勾股定理的逆定理证明，然后通过余弦定理计算夹角即可求解； 法二：建立空间直角坐标系，求出相关点的坐标，再利用向量法求出异面直线所成的角的余弦值即可. 【详解】（1）因为AB是底面圆O的直径，所以.因为，，所以.因为，所以圆柱的侧面积为，故其表面积为. （2）（方法一）由三棱柱的性质可得，所以异面直线与所成的角即为.连接. 因为 ， 所以则，所以， 即异面直线与所成角的余弦值为. （方法二）以为坐标原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系，如图所示 由题意得，所以. 设异面直线与所成的角为，则， 即异面直线与所成角的余弦值为. 17．（25-26高一下·山东济宁·期末）如图所示，在四棱锥中，和都垂直于平面，，平面分别交侧棱，于点E，F，且平面． (1)证明：E为的中点； (2)已知点M为内（含边界）不与A，D重合的一点，且． （ⅰ）证明：平面平面； （ⅱ）若，求二面角的取值范围． 【答案】(1)证：因为平面，平面平面，平面，所以. 因为平面，平面，所以， 又平面，平面，所以平面， 又因为平面，平面平面， 所以. 四边形为平行四边形，故且， ，所以为中点. (2)(i)因为平面，平面，所以， 又，，平面，所以平面， 又平面，所以平面平面. (ii) 【分析】（1）通过线面垂直证明为平行四边形，并利用相似三角形证明中点. （2）(i)利用线面垂直证明面面垂直. (ii)通过建立空间直角坐标系求解轨迹，并利用法向量求解二面角范围. 【详解】（1）略 （2）(i)略 (ii) 建立如图空间直角坐标系. 设，所以为等边三角形. ，，，，，. 设，，，因为，所以. 在以为圆心，的半圆上， 因为直线为，所以与半圆交， 同理直线与半圆交， 故. 因为，，所以平面法向量且， 设，则且， 解得. 平面法向量. 所以二面角余弦值. 因为，所以，. 所以，所以. 18．（25-26高一下·湖南长沙·期末）如图，四棱锥的底面是边长为的菱形，，平面平面． (1)证明：； (2)设直线与平面所成角为．若点为棱上的动点（不包括端点），求二面角的正弦值的最小值． 【答案】(1)证明：连接交于点，连接， 因为底面为菱形，所以为的中点，可得,， 又因为平面平面，且平面平面，平面， 所以平面， 因为平面，所以，又，由为公共边， 所以，所以. (2) 【分析】（1）连接交于点，证得平面，得到，结合，证得，即可证得； （2）以,所在直线分别为轴和轴，建立空间直角坐标系，设，求得，求得平面和平面的法向量和，结合向量的夹角公式和二次函数的性质，即可求解. 【详解】（1）略 （2）解：过点作于点， 因为平面平面，且平面平面，平面， 所以平面， 所以为直线于平面所成的角，即， 因为平面，平面，所以， 又因为，且，平面，所以平面， 因为平面，所以， 又因为，所以为的垂心， 因为底面是边长为的菱形，且，所以为等边三角形， 所以点为的重心，可得， 则，且, 又因为，所以， 以为轴，以为轴，过点作平面的垂线为轴， 建立空间直角坐标系，如图所示， 则， 设，可得， 则， 设平面的法向量为，则， 取，可得，所以， 设平面的法向量为，则， 取，可得，所以， 设二面角的平面角为 ， 则， 令 ，则， 所以， 由于， 所以， 当且仅当时，即时，等号成立， 所以的最大值为，所以的最小值为. 19．（25-26高一下·广东江门·期末）如图，在四棱锥中，侧面底面，底面为正方形，侧面为等腰三角形，为的中点，且，． (1)求证：平面； (2)设平面与平面的交线为． （ⅰ）求直线与直线所成角的正弦值； （ⅱ）若为直线上的动点，且满足，是否存在点使直线与平面所成的角为？若存在，请求出满足条件的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)在四棱锥中，由正方形，得， 由平面平面，平面平面，平面， 得平面，而平面，则，由为的中点，， 得，又平面，所以平面. (2)（ⅰ）；（ⅱ）存在，. 【分析】（1）利用面面垂直的性质、线面垂直的性质及判定推理得证. （2）（ⅰ）利用线面平行的判定、性质，结合线线角的意义确定所求角，再利用余弦定理求解；（ⅱ）建立空间直角坐标系，利用线面角的向量法列式求解. 【详解】（1）略 （2）（ⅰ）由，平面，平面，得平面， 又平面与平面的交线为，平面，则， 则直线与直线所成的角是或其补角， 在平面内过点作交的延长线于点，连接， 由平面平面，平面平面，得平面， 而平面，则，而，， 则， 在中，由余弦定理得，， 所以直线与直线所成角的正弦值. （ⅱ）作，由（ⅰ）得平面，直线两两垂直， 以点为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系， 则，，， ，设平面的法向量， 则，令，得，而， 由直线与平面所成的角为，得，解得， 所以存在点使直线与平面所成的角为，此时. 20．（25-26高一下·湖南长沙·期末）在梯形中，，为的中点，线段与交于点（如图1）.将沿折起到的位置，使得平面平面（如图2）. (1)求证:平面 ; (2)求二面角的余弦值； (3)线段上是否存在点，使得与平面所成角的余弦值为 若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)因为在梯形中，，为的中点， 所以， 所以四边形为平行四边形， 因为线段与交于点，所以为线段的中点， 所以中， 因为平面，平面， 所以平面. (2) (3)存在，. 【分析】（1）推导出，从而四边形为平行四边形，推导出，由此能证明平面； （2）建立空间直角坐标系，利用向量法求得二面角的余弦值. （3）设，求得及平面的一个法向量的坐标，根据与平面所成角的余弦值列方程，求得，进而求得正确答案. 【详解】（1）略. （2）平行四边形中，， 所以四边形是菱形，，垂足为， 所以， 因为平面，平面， 所以是二面角的平面角， 因为平面平面， 所以，即. 可以如图建立空间直角坐标系，其中， 因为在图1菱形中，， 所以， 则， ，， 设平面的一个法向量为， 则取，得， 平面的一个法向量为， 由图得二面角为锐角，设二面角为， 故， （3）假设线段上存在点使得与平面所成角的余弦值为，则与平面所成角的正弦值为. 设， 因为， 所以， 设平面的一个法向量为， 则取，得， ， 所以， 因为，所以， 故线段上存在点，且，使得与平面所成角的余弦值为. 1 学科网（北京）股份有限公司 $2026年新高二数学上学期暑假常考题型归纳 【1.4.2 用空间向量研究夹角问题】 总览 题型梳理 【教材知识梳理】 1．夹角 （1）求异面直线所成的角 若两异面直线所成角为，它们的方向向量分别为，则有=_ _____ . （2）求直线和平面所成的角 设直线的方向向量为，平面的法向量为，直线与平面所成的角为，与 的角为，则有______=_______. （3）求二面角 如图，若于A，于B，平面PAB交于E，则________为二面角的平面角，∠AEB+∠APB=180°.若二面角的平面角的大小为，其两个面的法向量分别为，则=______=___ ____ （4）求平面与平面的夹角 平面与平面相交，形成四个二面角，把这四个二面角中不大于90°的二面角称为平面与平面的夹角_________=___________. 题型分类 知识讲解与常考题型 【题型1：求异面直线的夹角】 【练方法】 公式结论 1.设异面直线方向向量，异面直线夹角 2.坐标展开： 方法技巧 1.先写出两条直线方向向量，计算对应坐标乘积和 2.分子必须加绝对值，保证余弦值非负，夹角取锐角或直角 3.算出余弦值后用反三角函数表示角度，特殊角直接写度数 易错提醒 1.分子遗漏绝对值，算出钝角余弦，夹角范围出错 2.混淆异面直线夹角范围，写出大于90°的角 （25-26高一下·天津红桥·期末）如图，直三棱柱，，点，分别是，的中点，若，则与所成角的余弦值是（    ）经典例题1例题 A． B． C． D． （25-26高一下·江苏连云港·期末）在正方体中，为的中点，则与夹角的余弦值为（   ）小试牛刀1 A． B． C． D． （25-26高一下·河南郑州·期末）如图，在直三棱柱中，，，，是的中点，求直线与直线所成角的余弦值（    ）小试牛刀2 A． B． C． D． （25-26高一下·山东济宁·期末）已知直三棱柱的所有顶点都在球O的表面上，且．，，若球O的表面积为，则异面直线与所成角的余弦值为（    ）小试牛刀3 A． B． C． D． 【题型2：求线面角】 【练方法】 公式结论 1.直线方向向量，平面法向量，线面角 2.坐标展开： 方法技巧 1.核心逻辑：线面角是直线与平面投影的夹角，和方向向量、法向量夹角互余 2.先算向量夹角余弦取绝对值，结果为线面角的正弦值 3.直线平行平面时，直线垂直平面时 易错提醒 1.直接把当作线面角余弦，混淆正弦、余弦 2.忘记取绝对值，得到负的正弦值 （25-26高二下·海南·期末）如图，在三棱柱中，侧面是正方形，平面．经典例题1例题    (1)证明：平面平面； (2)若，，求直线与平面所成角的正弦值． （25-26高二下·内蒙古赤峰·期末）如图，在中，，，D，E分别在，上，满足，，将沿折起到的位置，使.小试牛刀1      (1)求证：平面； (2)若点M满足，求直线与平面所成角的正弦值. （25-26高二下·广东潮州·期末）四棱锥中，底面，，，且，，是的中点．小试牛刀2 (1)证明：平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值． （25-26高二下·甘肃定西·期末）如图，在三棱柱中，平面，，二面角的大小为．小试牛刀3 (1)若是的中点，证明：平面． (2)若，，求直线与平面所成角的大小． 【题型3：求二面角】 【练方法】 公式结论 1.平面法向量，二面角平面角为， 2.符号判定规则 ①两法向量同时指向二面角内部/外部： ②两法向量一内一外： 3.坐标展开： 方法技巧 1.先求出两个平面法向量，计算无绝对值的点积分式 2.通过观察图形判断二面角为锐角还是钝角，匹配余弦正负 3.二面角为直角时满足 易错提醒 1.统一给分子加绝对值，无法区分锐二面角、钝二面角 2.不看图直接把向量夹角当作二面角，角度互补出错 （25-26高一下·黑龙江哈尔滨·期末）如图，在四棱锥中，底面是矩形，，且，，点在线段上，满足：平面经典例题1例题 (1)确定点的位置并说明原因； (2)求二面角的正弦值． （25-26高二下·西藏昌都·期末）如图，在四棱锥中，底面为正方形，与相交于点O，平面，，，点E为线段中点．小试牛刀1    (1)求证：平面； (2)求平面与平面夹角的大小． （25-26高二下·福建漳州·期末）在正三棱柱中，已知分别是棱的中点．小试牛刀2 (1)证明：平面平面； (2)求二面角的余弦值． （25-26高二下·河南洛阳·期末）如图，在三棱锥中，平面，，，D是的中点，于E.小试牛刀3 (1)求证：平面； (2)若，求平面与平面夹角的余弦值. 【题型4：线面角二面角的存在性】 【练方法】 公式结论 1.存在直线与平面成定角：方程存在非零向量解 2.存在两平面成定二面角：方程存在法向量解 3.取值边界约束 线面角：；二面角： 方法技巧 1.设动点参数，构造含参方向向量/法向量，代入夹角等式 2.根据三角函数值域约束参数方程有无实数解，有解则存在 3.解出参数后代回验证角度范围符合题意 易错提醒 1.忽略三角函数值域，解出或的无效参数 2.不检验向量非零，保留零向量对应的无意义解 （25-26高一下·河北承德·期末）如图，在四棱锥中，平面平面，，，，．经典例题1例题    (1)证明：平面平面； (2)求三棱锥的体积； (3)在棱上是否存在点，使得平面与平面的夹角为？若存在，求出点的位置；若不存在，说明理由． （25-26高一下·宁夏银川·期末）如图，在四棱锥中，底面是直角梯形.，且，，为中点．小试牛刀1 (1)证明：平面； (2)在线段上是否存在一点，使得平面与平面夹角的余弦值为？若存在，求出的值；若不存在，说明理由． （25-26高一下·湖北咸宁·期末）如图，在直三棱柱中，，，分别为的中点．小试牛刀2 (1)求证：平面； (2)设平面与平面的交线为，求二面角的余弦值； (3)在线段（不含端点）上是否存在点，使直线与平面所成角的正切值大小为？若存在，求出的长度；若不存在，说明理由． （25-26高一下·河南郑州·阶段检测）如图，在三棱锥中，，，，且平面平面．小试牛刀3 (1)证明：平面； (2)求点到平面的距离； (3)线段上是否存在一点，使得二面角的正切值为？若存在，求出的值；若不存在，说明理由． 【题型5：由线面角二面角求其他量】 【练方法】 公式结论 1.已知线面角，列等式 2.已知二面角，列等式 符号由二面角锐钝决定 方法技巧 1.等式两边平方消去绝对值与根号，转化整式方程求解参数、坐标 2.二面角分正负两种情况列方程，全部解后代入图形核验角度 3.求线段长度、点坐标、平面参数均使用此等量关系 易错提醒 1.二面角只取单一符号，漏掉锐角、钝角两种情况 2.平方后产生增根，不回代检验角度大小直接保留解 （25-26高二下·天津河东·期末）如图，在多面体中，平面平面，四边形为矩形．四边形中，，，，，为的中点．经典例题1例题 (1)求证：平面平面； (2)求平面与平面所成夹角的大小； (3)点在线段上，当与平面所成角的大小为时，求的长． （2026·山东聊城·二模）如图，在六面体中，底面是边长为2的菱形，，平面，是的中点.小试牛刀1 (1)证明： 平面； (2)若直线与平面所成角的正弦值为，求的长. （25-26高一下·吉林长春·期末）如图，在四棱锥中，，，，，，点为棱上一点．小试牛刀2    (1)证明：平面平面； (2)当点为棱的中点时，求直线与平面所成角的正弦值； (3)当平面与平面的夹角的余弦值为时，求． （25-26高一下·浙江温州·期末）已知等边的边长为3，，分别是，上的点，且，将沿折起到的位置，使得平面平面，得到四棱锥．小试牛刀3    (1)求证：； (2)求直线与平面所成角的正弦值； (3)线段上是否存在一点，使得二面角的大小为？若存在，求出线段的长度；若不存在，请说明理由． 【题型6：求线面角二面角的最值与范围】 【练方法】 公式结论 1.线面角最值：，利用得， 2.二面角最值：，值域， 3.含参向量构造函数：转化为二次函数、分式函数求三角函数最值，再反求角度范围 方法技巧 1.优先求余弦/正弦函数的最值，再结合反三角函数得到角度区间 2.利用柯西不等式快速锁定点积分式的上下界 3.结合动点参数定义域，舍去区间外的三角函数边界值 易错提醒 1.求出正弦/余弦最值后，忽略反三角函数单调性，角度范围写反 2.混淆线面角上限与二面角上限 （25-26高一下·湖南长沙·期末）如图，在四棱锥中，平面，底面为平行四边形，且，设平面平面，且．经典例题1例题 (1)证明：； (2)若，， （i）求直线与平面所成角的正弦值； （ii）点是四边形（不含边界）内的动点，且，求平面与平面所成角的余弦值的取值范围． （25-26高二下·湖南·期末）如图，在三棱锥中，平面，，，；分别延长，到，使得，；平面与平面的交线为．小试牛刀1 (1)求平面与平面夹角的余弦值； (2)证明：； (3)点在上，当直线与平面所成角的正弦值最大时，求出的长． （25-26高一下·浙江温州·期末）若四面体任意顶点在对面的投影恰好为该面三角形的垂心，则称该四面体为垂心四面体．如图，中，，，，在上取一点，将沿折叠到某个位置得到，使得三棱锥为垂心四面体．小试牛刀2 (1)求证：； (2)求与平面的夹角的正弦值； (3)设动点在棱上，动点在棱上，满足，记平面与平面所成锐二面角为，求的最小值及此时的值． （25-26高一下·黑龙江鸡西·期末）如图，在四棱锥中，底面是边长为6的正方形，平面平面，平面平面，点E是棱的中点，点F是棱上的一点（不包含端点）．小试牛刀3 (1)求证：平面； (2)若，且平面与平面的夹角的余弦值为． （ⅰ）求三棱锥的体积； （ⅱ）记平面交于点G，点H在平面上，求与平面所成角的正弦值的取值范围． 课后过关检测 一、单选题 1．（2026高三·全国·专题练习）已知直三棱柱中，，，，侧棱，侧面的两条对角线交于点，则平面与平面所成锐二面角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 2．（25-26高一下·北京·期中）正三棱柱的底面边长为3，侧棱，是延长线上一点，且，则二面角的大小为（    ） A． B． C． D． 3．（2026·陕西咸阳·三模）在四面体中，平面，，.若四面体的体积为，则与平面所成角的正弦值为（   ） A． B． C． D． 4．（25-26高一下·江苏常州·期末）在正方体中，点分别在线段和上，且，，则直线和所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 5．（25-26高一下·重庆·期末）在正三棱柱中，，，则直线与平面所成角的正弦值为（     ） A． B． C． D． 6．（25-26高一下·山东烟台·期末）已知三棱柱中，，，，点在底面内的射影为的外心，则直线与平面所成角的正弦值为（    ） A． B． C． D． 二、解答题 7．（25-26高二下·广东韶关·期末）如图所示，在四棱锥中，底面为直角梯形，，，，，，侧面底面，平面平面. (1)证明：平面； (2)证明：； (3)若平面与平面夹角的余弦值为，求的长. 8．（25-26高二下·广东广州·期末）如图，正三棱柱的所有棱长都为2，且． (1)求证：平面； (2)求平面与平面的夹角的余弦值． 9．（25-26高二下·四川成都·期末）如图，在四棱锥中，底面，，，，是线段上的动点.    (1)证明：； (2)若是线段的中点，求平面与平面夹角的余弦值； (3)设直线与平面所成角为，求的取值范围. 10．（25-26高二下·四川泸州·期末）如图，在多面体中，平面，，，为中点， (1)证明：平面； (2)若直线与平面所成角的正弦值为，求平面与平面ADE夹角的余弦值． 11．（25-26高二下·河南·阶段检测）如图1，在平面四边形中，是以为斜边的等腰直角三角形，，是边长为2的等边三角形．现将沿翻折至的位置，使得，如图2． (1)设为的中点，证明：平面； (2)求平面与平面夹角的余弦值． 12．（25-26高二下·四川凉山·期末）如图，为直角梯形，，，为的中点，现将沿折起使点至点处，得四棱锥，点为中点．    (1)求证：平面； (2)当二面角为直二面角时，求：直线与平面所成角的正弦值． 13．（25-26高二下·甘肃酒泉·期末）如图，在正方体中，棱长为，为棱的中点，为侧面内的一点，已知，． (1)求证：平面； (2)求与平面所成角的正弦值； (3)求点到平面的距离． 14．（25-26高二下·山西·期末）在三棱锥中，和均为等边三角形，，点为线段的中点. (1)证明：平面平面； (2)若直线与所成角的余弦值为时，求二面角的余弦值. 15．（25-26高一下·广东深圳·期末）如图，已知直四棱柱中，，，，，，是的中点，是的中点． (1)求异面直线ND1与B1C夹角的余弦值； (2)求平面与平面夹角的余弦值； 16．（25-26高一下·黑龙江·期末）如图，直三棱柱内接于一个圆柱，是底面圆的直径，. (1)求圆柱的表面积； (2)求异面直线与所成角的余弦值. 17．（25-26高一下·山东济宁·期末）如图所示，在四棱锥中，和都垂直于平面，，平面分别交侧棱，于点E，F，且平面． (1)证明：E为的中点； (2)已知点M为内（含边界）不与A，D重合的一点，且． （ⅰ）证明：平面平面； （ⅱ）若，求二面角的取值范围． 18．（25-26高一下·湖南长沙·期末）如图，四棱锥的底面是边长为的菱形，，平面平面． (1)证明：； (2)设直线与平面所成角为．若点为棱上的动点（不包括端点），求二面角的正弦值的最小值． 19．（25-26高一下·广东江门·期末）如图，在四棱锥中，侧面底面，底面为正方形，侧面为等腰三角形，为的中点，且，． (1)求证：平面； (2)设平面与平面的交线为． （ⅰ）求直线与直线所成角的正弦值； （ⅱ）若为直线上的动点，且满足，是否存在点使直线与平面所成的角为？若存在，请求出满足条件的值；若不存在，请说明理由． 20．（25-26高一下·湖南长沙·期末）在梯形中，，为的中点，线段与交于点（如图1）.将沿折起到的位置，使得平面平面（如图2）. (1)求证:平面 ; (2)求二面角的余弦值； (3)线段上是否存在点，使得与平面所成角的余弦值为 若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 1 学科网（北京）股份有限公司 $