湖南省长沙市2026-2027学年高二上学期开学学情数学自测卷

**基本信息** 以赵爽弦图、费马点等文化素材及码头坐标、知识竞赛等实际情境为载体，融合解三角形、立体几何、概率统计等知识，考查数学抽象、逻辑推理与模型构建能力。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|11题58分|解三角形、空间向量、概率、立体几何|第8题赵爽弦图结合向量数量积，第3题中位数概率考查数据分析| |填空题|3题15分|分层抽样方差、不等式恒成立、三角恒等变换|第12题分层抽样方差计算，体现数据处理能力| |解答题|5题77分|圆柱与三棱柱体积、频率分布直方图、解三角形、费马点应用|第19题费马点问题融合旋转思想与坐标运算，第17题码头坐标建立模型解决实际问题|

湖南省长沙市2026-2027学年高二上学期开学学情自测卷 数学试题（解析版） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B C D C D D C D AC ACD 题号 11 答案 AC 1．B 【分析】根据所给边长，分别求出各个三角形的角度，结合题意，分析即可得答案. 【详解】选项A：因为，所以此三角形为等腰直角三角形， 三个角分别为，不符合题意，故A错误； 选项B：因为三边分别为，，，则此三角形为等腰三角形，作底边上的高，如图所示 则，， 所以，所以， 所以，则，符合题意，故B正确； 选项C：因为，所以此三角形为直角三角形， 最小角正弦值为，即三个角分别为，不符合题意，故C错误； 选项D：因为，所以此三角形为直角三角形， 最小角的正弦值为，则最小角大于，最大角为，不符合题意，故D错误. 故选：B 2．C 【分析】通过向量的运算求出向量在直线方向向量上的投影，然后利用勾股定理求出点到直线的距离. 【详解】已知点和点，则. 向量在上的投影长度. 先求.再求.所以. 根据勾股定理，点到直线的距离. 先求.则. 故选：C. 3．D 【分析】分情况讨论时对应的中位数，从而可求解. 【详解】由题意， 当时，8个点数的中位数为3.5； 当时，8个点数的中位数为4； 当时，8个点数的中位数为4.5， 则8个点数的中位数为4的概率为. 故选:D. 4．C 【分析】根据空间向量的线性运算可得，进而结合数量积运算求模长. 【详解】由题意可知：， 则 ， 所以. 故选：C. 5．D 【分析】利用侧棱长结合勾股定理可求出棱台的高，结合台体体积公式，即可求出体积. 【详解】 正四棱台的上、下底面边长分别为2，4，侧棱长为3， 如图可得正四棱台的高， 由棱台体积公式可得， 故选：D. 6．D 【详解】， ． 7．C 【分析】取中点，先证明平面，进而得到，然后分析出要使平面，只需.通过计算得到，进而在中求出，即可得解. 【详解】    如图所示，取中点，连接. 是正三棱柱，为线段的中点， ，， 平面，平面，. ,平面， 平面，平面，. 要使平面，只须. 设三棱柱的棱长为， 则，. 在中，，， . 故选：C 8．D 【分析】利用题中条件设，将正方形的边长等长度求出，在直角三角形中，有，求出，再用向量的数量积公式求解即可. 【详解】   为的中点，设，，，，， ，，， 过作于，过作于，过作于， ，，，，， ，，， ，，，过作于，，，， 又，，. 故选：D 9．AC 【分析】写出分别在上运动时的函数解析式，利用分段函数图象可解. 【详解】分别在上运动时的函数解析式，， 分别在上运动时的函数解析式，， 分别在上运动时的函数解析式，， ， 由图象可得，方程最多有6个实数根，函数的最大值为12，最小值为3，当时能取得最小值 故选：AC. 10．ACD 【分析】根据角θ的终边经过点，且θ与α的终边关于x轴对称，先算出和，进而逐个选项判断即可 【详解】角θ的终边经过点，，A正确． θ与α的终边关于x轴对称，由题意得α的终边经过点，α为第二象限角，不一定为钝角，，B错误，C正确． 因为tan θ=>0，，所以点(tan θ，tan α)在第四象限，D正确． 故选：ACD 11．AC 【分析】根据向量的线性运算分别判断各选项. 【详解】A选项：，A选项正确； B选项：，B选项错误； C选项：，C选项正确； D选项：，D选项错误； 故选：AC. 12． 54 / 【分析】利用分层抽样的平均数与方差的计算公式代入计算，即可求解. 【详解】设分别为总样本均值和方差， 则， ， 故答案为：；. 13．或 【分析】转化为二次方程有解，利用判别式大于等于0 求解 【详解】若命题“”是真命题， 则，解得或 故答案为：或 14． 【分析】利用两角和的正切公式先求出，再求出，从而可求出的值. 【详解】因为， 所以， 因为， 所以， 因为，所以， 因为，所以， 所以， 所以， 故答案为： 15．(1)3 (2) 【分析】（1）根据圆柱的体积公式求圆柱的底面半径. （2）根据三棱柱的体积公式求其体积. 【详解】（1）设圆柱的底面半径为，则圆柱的高为. 由题意：. 即圆柱的底面半径为3. （2）因为为等边三角形，且其外接圆半径为3， 所以， 又三棱柱的高为6，所以. 16．(1)0.030 (2)84 (3)总平均数是62，总方差是23. 【分析】（1）利用小矩形的面积之和为1，进行求解； （2）先判断第75百分位数在，然后列方程可求得结果； （3）由频率分布直方图中数据结合方差计算公式即可解答. 【详解】（1）每组小矩形的面积之和为1， ， ； （2）成绩落在内的频率为， 落在内的频率为， 设第75百分位数为m， 由， 得，故第75百分位数为84； （3）由频率分布直方图知，成绩在的市民人数为， 成绩在的市民人数为，所以； 由样本方差计算总体方差公式，得总方差为 17．(1) (2) 【分析】（1）根据已知条件，写出直线ON方程，再求解Q点坐标. （2）由直线AQ的方程求解B点坐标，进而求解AB的直线方程.由（1）知C为垂足，可联立直线AB与PC 方程，即可求解C点坐标. 【详解】（1）由已知得，，直线ON方程： 设，由，得，. （2）直线AQ的方程为即 由，解得，即 则直线AB 方程， 点P到直线AB 的垂直距离最近，则垂足为C， 因为，且，， ，则直线PC方程为 联立，解得 轮在水上沿旅游线航行时离景点最近的点的坐标为. 18．(1) (2) (3) 【分析】（1）利用余弦定理，结合二倍角公式即可求出角的值； （2）通过向量平方关系，结合余弦定理求出的值，最后用三角形面积公式即可得出答案； （3）先在和中利用正弦定理将边长转化为三角函数形式，进而表示出，再利用三角函数的单调性确定的取值范围. 【详解】（1）利用余弦定理化简，得， 在斜中，得，， 故上式可化为， ，可得，利用二倍角公式可得， ，，即，. （2）为边的中点，根据向量的平行四边形法则，得，两边同时平方得，， ，得， 由（1）可知，即，， 由余弦定理得，解得， 的面积为 （3），在中，由正弦定理可得，，即， 在中，由正弦定理可得，，即， 四边形的内角和为，且，， 在中，由余弦定理可得， ， 即， ， ，在中,，， ，故的取值范围为. 19．(1) (2) (3) 【分析】（1）根据题意，代入公式可得，从而得解； （2）根据题意，旋转后为等边三角形，根据勾股定理可解； （3）根据题意，中，与关于轴对称，所以旋转后与关于轴对称，由图形的对称性知费马点必在轴上，由三点共线求解. 【详解】（1），绕着点顺时针旋转， 即逆时针旋转，代入公式， ， 所以， 则点的坐标为； （2）由费马点的求法知： 绕着点顺时针旋转，与重合，， 所以为等边三角形， 连接，的最小值为，由勾股定理得； （3）通过材料可以知道，内部有一点，连接， 将绕点顺时针旋转，得到，连接，则的长即为所求， 此时与三个顶点连线恰好三等分费马点的周角， 即此时点满足， 又由题设，可知为等腰三角形，且， 根据费马点求法知：点在中垂线上， 且是顶角为的等腰三角形，所以， 故，则. 【点睛】关键点点睛：第（3）中，发现中，根据费马点求法知：点在中垂线上，且. 学科网（北京）股份有限公司 $ 湖南省长沙市2026-2027学年高二上学期开学学情自测卷 数学试题 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题（本大题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．如果三角形满足一个角是另一个角的倍，那么我们称这个三角形为“实验三角形”，下列各组数据中，能作为一个“实验三角形”三边长的一组是（    ） A．，， B．，， C．，， D．3，4，5 2．已知直线经过点，且是的方向向量，则点到的距离为（    ） A． B． C． D． 3．将一枚质地均匀的骰子连续抛掷8次，得到的点数分别为，则这8个点数的中位数为4的概率为（    ） A． B． C． D． 4．平行六面体的底面是边长为2的正方形，且，，为，的交点，则线段的长为（   ）    A．3 B． C． D． 5．正四棱台的上、下底面边长分别为2，4，侧棱长为3，则其体积为（    ）． A．28 B． C． D． 6．已知两个随机事件和，其中，则（    ） A． B． C． D． 7．如图，在棱长均相等的正三棱柱中，分别为线段的中点，点在上，若平面，则（   ）    A． B． C． D． 8．我国古代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“勾股圆方图”，该图被后人称为“赵爽弦图”．如图，大正方形由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成，其中小正方形的边长为1，为的中点，点在正方形内（不含边界），则的取值范围为（   ）    A． B． C． D． 二、选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，至少有两项符合题目要求，若全部选对得6分，部分选对得部分分，选错或不选得0分） 9．如图，在等边三角形中，.动点从点出发，沿着此三角形三边逆时针运动回到点，记运动的路程为，点到此三角形中心距离的平方为，给出下列结论正确的有（    ） A．函数的最大值为12； B．函数的最小值为6； C．关于的方程最多有6个实数根； D．当时能取得最大值. 10．已知角θ的终边经过点，且θ与α的终边关于x轴对称，则（    ） A． B．α为钝角 C． D．点(tan θ，tan α)在第四象限 11．如图所示，四边形为梯形，其中，，，分别为，的中点，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 三、填空题（本大题共3个小题，每小题5分，共15分） 12．对某校学生体重进行调查，采用按样本量比例分配的分层抽样.已知抽取女生30人，其平均数和方差分别为；抽取男生20人，其平均数和方差分别为，则总样本平均数为__________；总样本的方差为__________. 13．若命题“，”是真命题，则实数的取值范围为_______． 14．已知都是锐角，且，则________. 4、 解答题（本大题共5个小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15．如图，正三棱柱内接于一个圆柱，圆柱的体积是，且底面直径与母线长相等． (1)求圆柱的底面半径； (2)求三棱柱的体积． 16．文明城市是反映城市整体文明水平的综合性荣誉称号，作为普通市民，既是文明城市的最大受益者，更是文明城市的主要创造者.某市为提高市民对文明城市创建的认识，举办了“创建文明城市”知识竞赛，从所有答卷中随机抽取100份作为样本，将样本的成绩（满分100分，成绩均为不低于40分的整数）分成六段：得到如图所示的频率分布直方图. (1)求频率分布直方图中a的值； (2)求样本成绩的第75百分位数； (3)已知落在的平均成绩是56，方差是7，落在的平均成绩为65，方差是4，求两组成绩的总平均数和总方差 17．如图，、是海岸线、上的两个码头，海中小岛有码头到海岸线、的距离分别为2km、.测得，.以点为坐标原点，射线为轴的正半轴，建立如图所示的直角坐标系.码头在第一象限，且三个码头、、均在一条航线上. (1)求码头点的坐标； (2)海中有一处景点（设点在平面内，，且），游轮无法靠近.求游轮在水上沿旅游线航行时离景点最近的点的坐标. 18．记斜的内角的对边分别为，已知，且． (1)求角； (2)为边的中点，若，求的面积； (3)如图所示，是外一点，若，且，记的周长为，求的取值范围． 19．“费马点”是由十七世纪法国数学家费马提出并征解的一个问题，该问题是：“在一个三角形内求作一点，使其与此三角形的三个顶点的距离之和最小”.如图1，三个内角都小于的内部有一点，连接，求的最小值.我们称三角形内到三角形三个顶点距离之和最小的点为费马点.要解决这个问题，首先应想办法将这三条端点重合于一点的线段分离，然后再将它们连接成一条折线，并让折线的两个端点为定点，这样依据“两点之间，线段最短”，就可求出这三条线段和的最小值.某数学研究小组先后尝试了翻折､旋转､平移的方法，发现通过旋转可以解决这个问题，具体的做法如图2，将绕点顺时针旋转，得到，连接，则的长即为所求，此时与三个顶点连线恰好三等分费马点的周角.同时小组成员研究教材发现：已知对任意平面向量，把绕其起点沿逆时针方向旋转角得到向量. (1)已知平面内点，把点绕点沿顺时针方向旋转后得到点，求点的坐标； (2)在中，，借助研究成果，直接写出的最小值； (3)已知点，求的费马点的坐标. 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $