精品解析：湖南省永州市宁远县第二中学2025-2026学年高二上学期开学考试数学试题

025年下期宁远二中高二开学考试 数学 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 给出下列表述：①联合国常任理事国；②充分接近的实数的全体；③方程的实数根④全国著名的高等院校.以上能构成集合的是（ ） A. ①③ B. ①② C. ①②③ D. ①②③④ 【答案】A 【解析】 【分析】根据集合中的元素需要满足：确定性、互异性、无序性进行判断. 【详解】解： ① 联合国的常任理事国有：中国、法国、美国、俄罗斯、英国.所以可以构成集合. ② 中的元素是不确定的，不满足集合确定性的条件，不能构成集合. ③ 方程的实数根是确定，所以能构成集合. ④ 全国著名的高等院校.不满足集合确定性的条件，不构成集合. 故选：A 2. 在下列函数中，定义域和值域不同的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】把幂函数写成根式的形式即可求出定义域及值域，逐项分析即可得解. 【详解】由可知，,，定义域、值域相同； 由可知，，定义域、值域相同； 由可知，,，定义域、值域相同； 由可知，，，定义域、值域不相同. 故选：D 3. 已知角的终边与单位圆交于点,则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 根据三角函数的定义即可求出． 【详解】根据三角函数的定义可知，． 故选：B． 【点睛】本题主要考查三角函数的定义的应用，属于基础题． 4. 根据统计，一名工人组装第x件某产品所用的时间(单位：分钟)为f(x)＝(A，c为常数)．已知工人组装第4件产品用时30分钟，组装第A件产品用时15分钟，那么c和A的值分别是 A. 75,25 B. 75,16 C. 60,25 D. 60,16 【答案】D 【解析】 【详解】由题意可得：f（A）==15，所以c=15而f（4）==30， 可得出=30故=4，可得A=16 从而c=15=60 故答案为D 5. 函数的一个单调递减区间是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】将函数化成分段函数并作出图象，结合图象即可判断. 【详解】函数，其图象如图所示： 由图知：函数在上单调递减. 故选：C 6. 若，则化简的结果是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用诱导公式与升幂公式可得，再由即可求出答案. 【详解】解：. ∵，∴， ∴，∴. 故选：. 【点睛】本题考查诱导公式与升幂公式的应用，考查分析与运算能力，属于中档题. 7. 若为奇函数，且是 的一个零点，则一定是下列哪个函数的零点（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据是奇函数可得，因为是的一个零点，代入得到一个等式，利用这个等式对A、B、C、D四个选项进行一一判断； 【详解】解：是奇函数，且是的一个零点，，，把分别代入下面四个选项， 对于A，，故A正确； 对于B，不一定为0，故B不正确； 对于C，，故C不正确； 对于D，，故D不正确； 故选：A. 8. 已知是边长为2的等边三角形，为平面内一点，则的最小值是　　 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据条件建立坐标系，求出点的坐标，利用坐标法结合向量数量积的公式进行计算即可． 【详解】建立如图所示的坐标系，以中点为坐标原点， 则，，， 设，则，，， 则 当，时，取得最小值， 故选：． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知二次函数图象如图所示，则下列说法正确的是（ ） A. 在区间上单调递减 B. 不等式的解集为 C. 若，则在上的值域为 D. 不等式的解集为 【答案】ABD 【解析】 【分析】分析出且二次函数的对称轴为直线，可判断A选项的正误；利用图象可判断B选项的正误；求出的值，利用二次函数的基本性质可判断C选项的正误；利用一元二次方程的解法可判断D选项的正误. 【详解】由图象可知，二次函数的图象开口向上，则，对称轴为直线. 对于A选项，函数在区间上单调递减，A对； 对于B选项，不等式的解集为，B对； 对于C选项，由图可知，则，可得， 所以，， 当时，，C错； 对于D选项，对于二次方程，该方程的两根分别为、， 由韦达定理可得，所以且， 由得，即为，解得，D对. 故选：ABD. 10. 已知点，，，则下列说法正确的是（ ） A. B. 若，则 C. 若，则 D. 若，的夹角为锐角，则且 【答案】AC 【解析】 【分析】根据向量的模长，垂直，平行和夹角大小的定义，对下列各项逐一判断，即可得到本题答案. 【详解】因为，，， 所以，， 选项A：，所以A正确； 选项B：因为，所以，所以，所以，所以B错误； 选项C：因为，所以，所以，所以C正确； 选项D：因为，的夹角为锐角，且，所以，解得 ，所以D错误. 故选：AC 11. 已知函数，，则下列结论正确的是（ ） A. ，恒成立，则a的取值范围是 B. ，，则a的取值范围是 C. ，，则a的取值范围是 D. ，， 【答案】AC 【解析】 【分析】利用函数的单调性讨论最值，再根据恒成立问题或能成立求解即可. 【详解】对于A，因为单调递减，所以， 又因为恒成立，则a的取值范围是，故A正确； 对于B，因为单调递减，所以， 又，，则a的取值范围是，故B错误； 对于C，在单调递减，单调递增， 所以 所以， 因为，，所以a的取值范围是，故C正确； 对于D，由上述过程可知，， 则不能保证，，， 例如：当时，不存在，，故D错误. 故选:AC. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若，，则函数的图象恒过定点______． 【答案】 【解析】 【分析】利用对数函数的定点，即可求解. 【详解】，解得：，此时，， 所以函数的图象恒过定点. 故答案为： 13. 已知，，则的取值范围是______ 【答案】 【解析】 【分析】把 用 和 表示，然后由不等式的性质得出结论. 【详解】令 ， 则 ，解得 . ，， 故答案：. 14. 已知恒成立，.如果中有且仅有一个为真命题，则实数的取值范围为______. 【答案】 【解析】 【分析】分别求解命题为真时的取值范围，再分为真命题，为假命题与为假命题，为真命题两种情况求解即得. 【详解】若为真命题，当时，可得恒成立，满足题意， 当时，则有，解得， 综上，当真命题时，实数满足； 若为真命题，则有，解得， 故当为真命题时，实数满足； 中有且仅有一个为真命题， 当为真命题，为假命题时，实数满足，解得； 当为假命题，为真命题时，实数满足，解得. 综上，当中有且仅有一个为真命题时，实数的取值范围是. 故答案为：. 四、解答题：本题共5个小题，共77分. 15. 已知函数． （1）求的值； （2）求证：是定值； （3）求的值． 【答案】（1）1；1 （2）证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）代入直接计算得到答案. （2）代入直接计算得到证明. （3）根据，两两组合计算得到答案. 小问1详解】 ，，. 【小问2详解】 . 【小问3详解】 . 16. 已知函数的最小正周期为. （1）求函数的单调递增区间； （2）将函数的图象向左平移个单位，再向上平移1个单位，得到函数的图象，若在上至少含有10个零点，求的最小值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）借助三角恒等变换公式将原函数化为正弦型函数后结合正弦型函数单调性计算即可得； （2）得到解析式后，利用正弦型函数性质计算即可得. 【小问1详解】 ， 由最小正周期为，得，则， 所以， 则， 整理得， 所以函数的单调递增区间是； 【小问2详解】 将函数的图象向左平移个单位，再向上平移1个单位， 可得到的图像，所以， 令，得或， 所以在上恰好有两个零点且不为区间端点， 若在上至少有10个零点， 则不小于第10个零点的横坐标即可， 所以的最小值为. 17. 如图，直三棱柱ABC-A1B1C1中，AC=BC=1，∠ACB=90°，D是A1B1的中点，F在BB1上． （1）求证：C1D⊥平面AA1B1B； （2）在下列给出三个条件中选取哪两个条件可使AB1⊥平面C1DF？并证明你的结论． ①F为BB1的中点；②AB1=；③AA1=. 【答案】（1）证明见解析；（2）答案见解析. 【解析】 【分析】(1)根据给定条件证得C1D⊥A1B1及AA1⊥C1D即可推理作答； (2)连接DF，A1B，选①③，先证DF⊥AB1，再结合(1)证得C1D⊥AB1即可证得AB1⊥平面C1DF，选①②、选②③推理说明不能证得结论成立. 【详解】（1）在直三棱柱ABC-A1B1C1中，依题意有A1C1=B1C1=1，且∠A1C1B1=90°， 又D是A1B1的中点，则C1D⊥A1B1，又AA1⊥平面A1B1C1，C1D平面A1B1C1， 于是得AA1⊥C1D，又A1B1AA1=A1，A1B1平面AA1B1B，AA1平面AA1B1B， 所以C1D⊥平面AA1B1B； （2）(ⅰ)选①③能证明AB1⊥平面C1DF， 连接DF，A1B，如图， 则DF∥A1B，在△ABC中，AC=BC=1，∠ACB=90°，则AB=，又AA1=，于是得四边形AA1B1B为正方形， 则有A1B⊥AB1，从而有DF⊥AB1，因C1D⊥平面AA1B1B，AB1平面AA1B1B， 因此得C1D⊥AB1，DFC1D=D，C1D平面C1DF，DF平面C1DF， 所以AB1⊥平面C1DF； (ⅰⅰ)选①②不能证明AB1⊥平面C1DF， 连接DF，A1B，如图， 则DF∥A1B，在△ABC中，AC=BC=1，∠ACB=90°，则AB=，AA1=， 于是得四边形AA1B1B为长方形，则有A1B与AB1不垂直，即有DF与AB1不垂直， 所以AB1不垂直于平面C1DF； (ⅰⅰⅰ)选②③不能证明AB1⊥平面C1DF， 在△ABC中，AC=BC=1，∠ACB=90°，则AB=，又，矛盾， 所以不能证明AB1⊥平面C1DF， 综上：(ⅰ)选①③能证明AB1⊥平面C1DF. 18. 在中,. （1）求; （2）若,再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知,使存在且唯一确定,求及的面积. 条件①:; 条件②:; 条件③:. 【答案】（1） （2）答案见解析 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理和二倍角公式求解即可; （2）结合正弦定理和余弦定理求解即可; 【小问1详解】 由正弦定理得 得, , 因为, 所以 则. 所以, 所以. 【小问2详解】 选条件①: 因为, 由正弦定理得, 由余弦定理得, 解得， 则, 解得， 所以存在且唯一确定, 则. 选条件②:, 已知 由正弦定理得, 因为, 所以,, 所以存在且唯一确定, 则. 选条件③:, 由余弦定理得, 即, 所以,即, 因为, 所以不存在使得存在. 19. 已知 （1）若在上单调，求实数的取值范围； （2）若，求的最小值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】分类讨论参数值，结合一次函数，二次函数的单调性求解； 【小问1详解】 当时，上单调递减，符合题意； 当时，的图象对称轴是，注意到， 而在上单调，则，解得； 当时，注意到对称轴，满足在上单调； 综上，. 【小问2详解】 ①当时，在上单调递减，， ②当时，的图象开口方向向上，且对称轴为， （ⅰ）当，即时，对称轴， 则在上递减，在上递增， ； （ⅱ）当，即时，在上递减， ； ③当时，的图象开口方向向下，且对称轴，在轴的左侧， 则在上单调递减，故； 综上所述，. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 025年下期宁远二中高二开学考试 数学 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 给出下列表述：①联合国常任理事国；②充分接近的实数的全体；③方程的实数根④全国著名的高等院校.以上能构成集合的是（ ） A. ①③ B. ①② C. ①②③ D. ①②③④ 2. 在下列函数中，定义域和值域不同的是（ ） A. B. C. D. 3. 已知角的终边与单位圆交于点,则的值为（ ） A. B. C. D. 4. 根据统计，一名工人组装第x件某产品所用的时间(单位：分钟)为f(x)＝(A，c为常数)．已知工人组装第4件产品用时30分钟，组装第A件产品用时15分钟，那么c和A的值分别是 A. 75,25 B. 75,16 C. 60,25 D. 60,16 5. 函数的一个单调递减区间是（ ） A. B. C. D. 6. 若，则化简的结果是（ ） A. B. C. D. 7. 若为奇函数，且是 的一个零点，则一定是下列哪个函数的零点（ ） A. B. C. D. 8. 已知是边长为2的等边三角形，为平面内一点，则的最小值是　　 A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知二次函数图象如图所示，则下列说法正确的是（ ） A. 在区间上单调递减 B. 不等式的解集为 C. 若，则在上的值域为 D. 不等式解集为 10. 已知点，，，则下列说法正确是（ ） A. B. 若，则 C. 若，则 D. 若，的夹角为锐角，则且 11. 已知函数，，则下列结论正确的是（ ） A. ，恒成立，则a的取值范围是 B. ，，则a的取值范围是 C. ，，则a的取值范围是 D. ，， 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若，，则函数图象恒过定点______． 13. 已知，，则的取值范围是______ 14. 已知恒成立，.如果中有且仅有一个为真命题，则实数的取值范围为______. 四、解答题：本题共5个小题，共77分. 15. 已知函数． （1）求的值； （2）求证：是定值； （3）求的值． 16. 已知函数的最小正周期为. （1）求函数的单调递增区间； （2）将函数图象向左平移个单位，再向上平移1个单位，得到函数的图象，若在上至少含有10个零点，求的最小值. 17. 如图，直三棱柱ABC-A1B1C1中，AC=BC=1，∠ACB=90°，D是A1B1的中点，F在BB1上． （1）求证：C1D⊥平面AA1B1B； （2）在下列给出三个条件中选取哪两个条件可使AB1⊥平面C1DF？并证明你的结论． ①F为BB1中点；②AB1=；③AA1=. 18. 在中,. （1）求; （2）若,再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知,使存在且唯一确定,求及的面积. 条件①:; 条件②:; 条件③:. 19. 已知 （1）若在上单调，求实数的取值范围； （2）若，求的最小值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $