1.4 基本不等式及其应用 专项训练 - 2027届高三数学一轮复习

**基本信息** 以“考点-考法”架构系统整合基本不等式求最值的8类核心方法，覆盖从代数变形到跨模块综合及实际建模的全应用场景，培养数学思维与应用意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |直接法与配凑消元|6题|裂项配凑、消元代换|从基本形式到变量关系转化| |常数代换与“乘1”法|7题|构造“1”代换、展开求最值|条件等式与目标式的关联处理| |代数式结构变换|7题|换元转化、整体代换、齐次化构造|代数式结构优化与变量统一| |指对数与函数性质综合|6题|指对数运算转化、单调性与恒成立|跨知识模块的综合应用| |实际情境与几何应用|4题|实际建模、几何面积最值|数学眼光解决现实问题| |命题真伪与取等条件|7题|均值不等式链、取等条件辨析|概念本质与逻辑推理深化|

2027届高三数学一轮复习专项训练 1.4 基本不等式及其应用 练习卷 考点一：直接法与配凑消元求最值 1 考法1：裂项配凑与消元代换 1 考点二：常数代换与“乘1”法 2 考法2：构造“1”的代换与展开求最值 2 考点三：代数式结构变换与变量转化 3 考法3：换元转化与整体代换 3 考法4：齐次化构造与比值代换 3 考点四：指对数与函数性质的综合应用 4 考法5：指对数运算转化与基本不等式结合 4 考法6：函数单调性、最值与不等式恒成立 4 考点五：实际情境建模与几何应用 5 考法7：实际应用情境与几何面积最值建模 5 考点六：基本不等式命题真伪与取等条件辨析 6 考法8：均值不等式链与取等条件的综合判断 6 考点一：直接法与配凑消元求最值 考法1：裂项配凑与消元代换 1.（2025·河北保定·二模）已知 ， 是非零实数，则 的最小值为（　　） A. 6 B. 12 C. 2 D. 4 2.（2026·江苏南通·一模）已知 均为正数，且 ，则 最小值为（　　） A. 11 B. 13 C. 10 D. 12 3.（2026·河北NT20·检测）已知正实数 满足 ，则（　　） A. B. C. D. 4.（2024·广东华师附中·模拟）设实数 、 、 、 满足不等式 ，则 的最小值为＿＿＿＿＿＿． 5.（2026·安徽A10联盟·模拟）已知 ，且 ，则 的最小值为＿＿＿＿＿＿． 6.（2025·河北邢台协作体·一模）已知 ，则 的最大值为＿＿＿＿＿＿． 考点二：常数代换与“乘1”法 考法2：构造“1”的代换与展开求最值 7.（2025·河北沧州运东五校·二模）若正数 ， 满足 ，则 的最小值是（　　） A. B. C. 5 D. 6 8.（2026·重庆南开中学·检测）设正实数 满足 ，则 的最小值为（　　） A. 7 B. 8 C. 9 D. 10 9.（2026·辽宁丹东·一模）已知 ，且 ，则 的最小值为（　　） A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 10.（2025·广东衡水金卷·联考）已知正数 满足 ，则 的最小值为（　　） A. B. C. D. 11.（2025·江西上饶·二模）（多选）若正实数 满足 ，则（　　） A. 的最大值是 B. 的最小值是 9 C. 的最大值是 D. 的最小值是 12.（2026·河北石家庄一中·一模）（多选）已知 ，则（　　） A. 的最小值为 4 B. 的最小值为 C. 的最小值为 3 D. 的最小值为 13.（2026·湖南雅礼中学·二模）已知 ，若 ，则 的最小值为＿＿＿＿＿＿． 考点三：代数式结构变换与变量转化 考法3：换元转化与整体代换 14.（2026·湖南新高考联盟·二模）若 ，且 ，则 的最小值为（　　） A. 12 B. 16 C. D. 15.（2026·重庆西南大学附中·检测）已知 ，且 ，则 的最小值为（　　） A. 6 B. 8 C. 10 D. 12 16.（2026·安徽合肥一六八中·一模）若实数 满足 ，设 ，则 的最小值为（　　） A. B. C. D. 17.（2026·安徽黄山·检测）若 ，则 的取值范围为＿＿＿＿＿＿． 18.（2026·内蒙古赤峰·模拟）正数 满足 ，则 的最小值为＿＿＿＿＿＿． 考法4：齐次化构造与比值代换 19.（2026·贵州毕节·检测）（多选）已知正实数 满足 ，则（　　） A. B. C. D. 20.（2026·辽宁大连二十四中·检测）已知 ，则 的最小值为＿＿＿＿＿＿． 考点四：指对数与函数性质的综合应用 考法5：指对数运算转化与基本不等式结合 21.（2025·河北衡水中学·检测）若 ，则 的最小值为（　　） A. B. C. D. 22.（2026·重庆一中·检测）设 且 且 ，若 ，则 的最小值是（　　） A. 3 B. C. 9 D. 18 23.（2026·湖北孝感·一模）已知正实数 满足 ，则 的最小值是（　　） A. 6 B. 8 C. 12 D. 16 24.（2026·湖南九校联盟·联考）已知 ，且 ，则 的最小值为＿＿＿＿＿＿． 考法6：函数单调性、最值与不等式恒成立 25.（2026·湖南常德·一模）已知实数 ，若对任意的 ， 恒成立，则 的最大值为（　　） A. B. C. D. 26.（2026·河南豫东名校·二模）（多选）已知 ，设 的最小值为 ，且 （ 为自然对数的底数），则下列说法正确的是（　　） A. B. 的最大值是 C. D. 若 且 ，则 考点五：实际情境建模与几何应用 考法7：实际应用情境与几何面积最值建模 27.（2025·江西稳派上进·联考）在生物界中，部分昆虫会通过向后跳跃的方式来躲避偷袭的天敌．已知某类昆虫在水平方向上速度为 （单位：米/秒）时的跳跃高度 （单位：米）满足 ，则该类昆虫的最大跳跃高度为（　　） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 28.（2026·陕西延安校联考·模拟）已知 是 内的一点，且 ，．若 ， 和 的面积分别为 ，则 的最小值是（　　） A. B. 9 C. 15 D. 20 29.（2026·安徽皖江联盟·模拟）工厂生产都会面临原料存贮的问题，存贮量过多会导致占用资金过多、仓储费用过高，而存贮量太少会导致存贮批次增多，订货费用增加（订货费不包括购买原料的费用，仅包括进货过程中产生的人力和运输成本）．因此需要决定多长时间订购一次，使每天所需平均成本费用（不包括购买原料费用）最少．设时间以天为单位，工厂对某原料的消耗是连续且均匀的，每天原料需求量为 吨，每次订货费为 元，每天每吨原料贮存费为 元，当贮存量降到 0 时订货可立即送达，订货费 、贮存费 和需求量 均为已知常数．在上述条件下，设一个订货周期为 （即每 天订一次货），则每次订货量为 ，根据经济学的相关结论可知，一个订货周期内需要支付贮存费的货物贮存量为 ，所以一个订货周期的贮存费为 ，要使每天所需平均成本费用最低，则 （　　） A. B. C. D. 30.（2026·广东广州·一模）某公园里有一块边长分别为 30 米，40 米，50 米的三角形草坪（记为 ），点 在 的边上，线段 把草坪分成面积相等的两部分．如果沿 铺设灌溉水管，则水管的最短长度为＿＿＿＿＿＿米． 考点六：基本不等式命题真伪与取等条件辨析 考法8：均值不等式链与取等条件的综合判断 31.（2026·安徽师大附中·检测）（多选）若非零实数 满足 ，则下列结论一定成立的是（　　） A. B. C. D. 32.（2026·安徽合肥一六八中·一模）（多选）已知正数 满足 ，则下列结论正确的是（　　） A. 的最大值为 1 B. 的最小值为 4 C. 的最大值为 D. 的最小值为 1 33.（2026·安徽铜陵·一模）（多选）下列说法正确的是（　　） A. 若 ，则函数 的最小值为 3 B. 若 ，则 的最小值为 C. 函数 的最小值为 D. 若 ，且 ，则 34.（2026·江西南昌·一模）（多选）已知 ，则下列选项中正确的有（　　） A. B. C. D. 35.（2026·安徽滁州·一模）（多选）下列选项正确的有（　　） A. 若 ，则 最小值为 B. 若 ，则 最小值为 3 C. 若 ，则 的最小值为 5 D. 若 ，则 的最大值为 36.（2026·河南豫东名校·二模）（多选）已知 ，则下列说法正确的是（　　） A. 若 ，则 B. 的最小值为 1 C. 若 ，则 的最小值为 8 D. 若 恒成立，则 的最小值为 37.（2026·八省T8联盟·联考）（多选）已知三个不同的实数 满足 ，且 ，则（　　） A. B. C. D. 的最小值是 第 2 页，共 17 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2027届高三数学一轮复习专项训练 1.4 基本不等式及其应用 解析卷 答案速查表 2 考点一：直接法与配凑消元求最值 2 考法1：裂项配凑与消元代换 2 考点二：常数代换与“乘1”法 4 考法2：构造“1”的代换与展开求最值 4 考点三：代数式结构变换与变量转化 7 考法3：换元转化与整体代换 7 考法4：齐次化构造与比值代换 9 考点四：指对数与函数性质的综合应用 10 考法5：指对数运算转化与基本不等式结合 10 考法6：函数单调性、最值与不等式恒成立 11 考点五：实际情境建模与几何应用 12 考法7：实际应用情境与几何面积最值建模 12 考点六：基本不等式命题真伪与取等条件辨析 14 考法8：均值不等式链与取等条件的综合判断 14 【1.4 基本不等式及其应用 方法总结】 19 答案速查表 1 2 3 4 5 A A A 6 7 8 9 10 -3 C C C D 11 12 13 14 15 ABC BCD C A 16 17 18 19 20 D 2 AB 21 22 23 24 25 A B B B 26 27 28 29 30 BD A C D 20 31 32 33 34 35 BCD ACD BCD BCD BD 36 37 ACD ABC 考点一：直接法与配凑消元求最值 考法1：裂项配凑与消元代换 1.（2025·河北保定·二模）已知 ， 是非零实数，则 的最小值为（　　） A. 6 B. 12 C. 2 D. 4 【答案】A 【思路】观察所求代数式两项互为倒数关系且系数为正，直接利用基本不等式 即可求得最小值，注意检验等号成立的条件. 【解析】，当且仅当 ，即 时，等号成立.所以 的最小值为 6.故选：A. 2.（2026·江苏南通·一模）已知 均为正数，且 ，则 最小值为（　　） A. 11 B. 13 C. 10 D. 12 【答案】A 【思路】利用已知条件 将待求式分子中的常数项齐次化展开，分离出常数与互为倒数的项，再应用基本不等式求最小值. 【解析】，当且仅当 ，即 时，等号成立.故选：A. 3.（2026·河北NT20·检测）已知正实数 满足 ，则（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【思路】结合正数和为定值的条件，分别运用基本不等式及其推论对各选项中的乘积、平方和、倒数和及算术平方根和的最值方向进行逐一验证. 【解析】由 为正实数且 .根据基本不等式 ，当且仅当 时等号成立，故 A 正确.，当且仅当 时等号成立，故 B 错误.，当且仅当 时等号成立，故 C 错误.根据算术平均值小于等于平方平均值不等式，得 ，当且仅当 时等号成立，即 ，故 D 错误.故选 A. 4.（2024·广东华师附中·模拟）设实数 、 、 、 满足不等式 ，则 的最小值为＿＿＿＿＿＿． 【答案】 【思路】将多元分式转化为两个乘积有下界的新变量，利用基本不等式放缩并结合链式不等式的端点值确定取等条件. 【解析】设 ，，由题意 ，则 ，所以 ，当且仅当 即 时取等号.故答案为：. 5.（2026·安徽A10联盟·模拟）已知 ，且 ，则 的最小值为＿＿＿＿＿＿． 【答案】 【思路】将前两项通分后把 代入，将目标式转化为关于 的代数式，直接应用基本不等式求最值. 【解析】由题意得，，所以 ，当且仅当 ，，即 时，等号成立.故答案为：. 6.（2025·河北邢台协作体·一模）已知 ，则 的最大值为＿＿＿＿＿＿． 【答案】 【思路】利用对数加法法则将原式化为以 为底 的对数，再由基本不等式通过 求解乘积 的最大值. 【解析】因为 ，所以 ，故 .又因为 ，故 ，从而 ，这就得到 .而当 时，有 ，且 .所以 的最大值为 .故答案为：. 考点二：常数代换与“乘1”法 考法2：构造“1”的代换与展开求最值 7.（2025·河北沧州运东五校·二模）若正数 ， 满足 ，则 的最小值是（　　） A. B. C. 5 D. 6 【答案】C 【思路】将已知等式变形为关于倒数的定值条件 ，再用“乘1法”将目标式展开后利用基本不等式求最值. 【解析】由已知可得 ，则 ，所以 的最小值 5，应选答案 C. 8.（2026·重庆南开中学·检测）设正实数 满足 ，则 的最小值为（　　） A. 7 B. 8 C. 9 D. 10 【答案】C 【思路】典型的“乘1法”应用，将待求分式乘以 ，展开后利用基本不等式求出最小值，并验证取等条件. 【解析】，当且仅当 时取等.故选 C. 9.（2026·辽宁丹东·一模）已知 ，且 ，则 的最小值为（　　） A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 【答案】C 【思路】对目标对数式进行配凑，构造出与已知条件一致的项 与 ，然后利用“乘1法”展开求出极值. 【解析】因为 ，所以 ，因为 ，所以 .从而 .当且仅当 时，等号成立，由 ，得 ，代入 ，得 ，因此当 时， 取最小值 8.故选：C. 10.（2025·广东衡水金卷·联考）已知正数 满足 ，则 的最小值为（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【思路】设 将多元变量转化为关于 的二元分式，进一步利用“乘1法”将分母项消元配凑求解. 【解析】设 ，则 ，故 ，当且仅当 时取等号.故选 D. 11.（2025·江西上饶·二模）（多选）若正实数 满足 ，则（　　） A. 的最大值是 B. 的最小值是 9 C. 的最大值是 D. 的最小值是 【答案】ABC 【思路】考查基本不等式的多种应用形态，涵盖乘1法求分式最值、平方法求和的最大值、均值不等式求积的最大值以及二次函数消元法求平方和的最值. 【解析】对于 A，，当且仅当 时取等号，A 正确； 对于 B，，当且仅当 时取等号，B 正确； 对于 C，，当且仅当 时取等号，C 正确； 对于 D，，则 ，当且仅当 时取等号，D 错误.故选：ABC. 12.（2026·河北石家庄一中·一模）（多选）已知 ，则（　　） A. 的最小值为 4 B. 的最小值为 C. 的最小值为 3 D. 的最小值为 【答案】BCD 【思路】综合运用“乘1法”、二次函数消元法、对数运算法则及指数函数基本不等式，逐个判断各代数式的最值及取等条件. 【解析】由题意可得 ，当且仅当 时，等号成立，则 A 错误； ，，，，当 时， 的最小值为 ，则 B 正确； 因为 ，且 ，所以 ，所以 ，，当且仅当 时，等号成立，则 C 正确； ，当且仅当 时，等号成立，则 D 正确.故选：BCD. 13.（2026·湖南雅礼中学·二模）已知 ，若 ，则 的最小值为＿＿＿＿＿＿． 【答案】 【思路】对已知方程移项因式分解，利用 排除零因式求得乘积 ，再应用基本不等式求出一次和式的最小值. 【解析】因为 ，所以 ，整理可得 ，由已知 ，则 ，可得 ，即 ，所以 ，所以 ，所以 ，当且仅当 时取等号，又 ，所以 时取到最小值.故答案为：. 考点三：代数式结构变换与变量转化 考法3：换元转化与整体代换 14.（2026·湖南新高考联盟·二模）若 ，且 ，则 的最小值为（　　） A. 12 B. 16 C. D. 【答案】C 【思路】利用基本不等式建立和与积的关系，将积转化为和的不等式，设和为新变量 构造一元二次不等式求解. 【解析】因为 ，，所以 ，令 ，所以 ，解得 （舍去）或 ，即 ，当且仅当 时取等号，所以 的最小值为 .故选：C. 15.（2026·重庆西南大学附中·检测）已知 ，且 ，则 的最小值为（　　） A. 6 B. 8 C. 10 D. 12 【答案】A 【思路】将 与 视为整体，利用基本不等式 建立关于 的一元二次不等式求解. 【解析】因为 ，且 ，由基本不等式得 ，当且仅当 时等号成立，即 ，得 ，因为 ，所以 .由 代入 ，解得 ，因此当 时， 的最小值为 6.故选：A. 16.（2026·安徽合肥一六八中·一模）若实数 满足 ，设 ，则 的最小值为（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【思路】由已知消元转化得到 ，利用判别式确定 ，再构造关于 的函数求导分析单调性求得最值. 【解析】由题易知 ，令 ，则 ，所以 可以看作方程 的解，则 ，又因为 ，则 ，所以 ，，令 ，则 ，当 时， 单调递减；当 时， 单调递增，所以 ，即 的最小值为 .故选 D. 17.（2026·安徽黄山·检测）若 ，则 的取值范围为＿＿＿＿＿＿． 【答案】 【思路】引入比值变量 ，将 及目标代数式统一用 表示，转化为二次函数在开区间上的值域问题. 【解析】记 ，则 ，由 得 ，即 ，因为 ，所以 ，所以 ，则 ，因为 ，开口向下，其对称轴为 ，所以当 时，，所以 的取值范围为 .故答案为：. 18.（2026·内蒙古赤峰·模拟）正数 满足 ，则 的最小值为＿＿＿＿＿＿． 【答案】2 【思路】将 用 向上放缩，建立关于 的一元二次不等式并求解. 【解析】由基本不等式 （或 ）当且仅当 时“=”成立.可知 ，即 ，又 ，可得 ，则 的最小值为 2. 考法4：齐次化构造与比值代换 19.（2026·贵州毕节·检测）（多选）已知正实数 满足 ，则（　　） A. B. C. D. 【答案】AB 【思路】利用均值不等式将已知和为定值的条件代入乘积、开方和、平方和及倒数和的表达式中，注意检验各选项的最值方向. 【解析】选项 A. 由基本不等式 ，则 ，平方得 ，当且仅当 时等号成立，A 正确. 选项 B. 对 平方得 ，由 A 知 ，因此 ，因为 ，开方得 ，当且仅当 时等号成立，B 正确. 选项 C. ，由 ，所以 ，即 ，C 错误. 选项 D. ，因此 ，所以 ，D 错误.故选：AB. 20.（2026·辽宁大连二十四中·检测）已知 ，则 的最小值为＿＿＿＿＿＿． 【答案】 【思路】将非齐次分式项 中的分子常数 用 替换完成齐次化，合并同类项后利用“乘1法”展开求最值. 【解析】由 ，则 ，当且仅当 ，即 时取等号，所以 的最小值为 .故答案为：. 考点四：指对数与函数性质的综合应用 考法5：指对数运算转化与基本不等式结合 21.（2025·河北衡水中学·检测）若 ，则 的最小值为（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【思路】先由对数运算法则求得乘积 ，再直接对目标倒数和式应用基本不等式求最小值. 【解析】，，，当且仅当 时，上式等号成立，又 ，可得 时， 的最小值为 .故选：A. 22.（2026·重庆一中·检测）设 且 且 ，若 ，则 的最小值是（　　） A. 3 B. C. 9 D. 18 【答案】B 【思路】利用对数换底公式将条件转化为 ，得到 ，进而对 直接使用基本不等式求最值. 【解析】因为 ，所以 ，所以 ，则 ，当且仅当 时，等号成立，故 的最小值为 .故选 B. 23.（2026·湖北孝感·一模）已知正实数 满足 ，则 的最小值是（　　） A. 6 B. 8 C. 12 D. 16 【答案】B 【思路】利用指数运算法则将方程化为 ，变形为 ，再用“乘1法”展开求解. 【解析】因为 ，所以 ，所以 ，即 ，所以 ，当且仅当 时取等．故选：B. 24.（2026·湖南九校联盟·联考）已知 ，且 ，则 的最小值为＿＿＿＿＿＿． 【答案】 【思路】由指数运算法则得出 ，将分母中的 代换为 ，使式子转化为互为倒数形式，直接应用基本不等式. 【解析】，即 ，又 ，当且仅当 ，即 时等号成立.故答案为：. 考法6：函数单调性、最值与不等式恒成立 25.（2026·湖南常德·一模）已知实数 ，若对任意的 ， 恒成立，则 的最大值为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【思路】二次函数恒成立转化为判别式条件，将目标式平方后结合基本不等式进行三次积的定值配凑求最值. 【解析】由于 在 上恒成立，等价于 ，即 .要求 的最大值，需 ，此时 .利用基本不等式：，所以 ，故 ，当且仅当 ，即 时等号成立.故选 B. 26.（2026·河南豫东名校·二模）（多选）已知 ，设 的最小值为 ，且 （ 为自然对数的底数），则下列说法正确的是（　　） A. B. 的最大值是 C. D. 若 且 ，则 【答案】BD 【思路】先由“乘1法”求出基本不等式最值 ，再结合对数函数性质确定底数大小关系，进而利用导数求函数单调性与最值，并运用作差法证明分式大小. 【解析】，当且仅当 即 时取等号，故 A 错误； 因为且 ，所以 ，设 ，， 时， 的解为 ， 的解为 ，则 在 单调递增， 单调递减，故 最大值为 ，则 的最大值是 ，故 B 正确； 令 ，则 ，，所以 在区间 上单调递增，又 ，，即 ，即 ，，故 C 错误； 由 ，，，，即 ，故 D 正确.故选：BD. 考点五：实际情境建模与几何应用 考法7：实际应用情境与几何面积最值建模 27.（2025·江西稳派上进·联考）在生物界中，部分昆虫会通过向后跳跃的方式来躲避偷袭的天敌．已知某类昆虫在水平方向上速度为 （单位：米/秒）时的跳跃高度 （单位：米）满足 ，则该类昆虫的最大跳跃高度为（　　） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 【答案】A 【思路】通过代数变形将高度 表示为速度平方 的分式形式，运用基本不等式分子分母同除以 求最大值. 【解析】由 可知 ，故 ，当且仅当 时等号成立，即该类昆虫的最大跳跃高度为 米.故选 A. 28.（2026·陕西延安校联考·模拟）已知 是 内的一点，且 ，．若 ， 和 的面积分别为 ，则 的最小值是（　　） A. B. 9 C. 15 D. 20 【答案】C 【思路】由向量数量积求出三角形总面积得到面积分割关系 ，再消元并结合“乘1法”求分式最值. 【解析】因 ，则 ，则 ，于是 ，， 和 的面积分别为 ，，，，，当且仅当 时，即 时等号成立， 的最小值是 15.故选：C. 29.（2026·安徽皖江联盟·模拟）工厂生产都会面临原料存贮的问题，存贮量过多会导致占用资金过多、仓储费用过高，而存贮量太少会导致存贮批次增多，订货费用增加（订货费不包括购买原料的费用，仅包括进货过程中产生的人力和运输成本）．因此需要决定多长时间订购一次，使每天所需平均成本费用（不包括购买原料费用）最少．设时间以天为单位，工厂对某原料的消耗是连续且均匀的，每天原料需求量为 吨，每次订货费为 元，每天每吨原料贮存费为 元，当贮存量降到 0 时订货可立即送达，订货费 、贮存费 和需求量 均为已知常数．在上述条件下，设一个订货周期为 （即每 天订一次货），则每次订货量为 ，根据经济学的相关结论可知，一个订货周期内需要支付贮存费的货物贮存量为 ，所以一个订货周期的贮存费为 ，要使每天所需平均成本费用最低，则 （　　） A. B. C. D. 【答案】D 【思路】建立平均成本关于周期 的函数模型，直接应用基本不等式求出取得最值时的周期 . 【解析】一个订货周期的总费用为 ，每天所需平均成本费用为 ，当且仅当 ，即 时，等号成立.故选 D. 30.（2026·广东广州·一模）某公园里有一块边长分别为 30 米，40 米，50 米的三角形草坪（记为 ），点 在 的边上，线段 把草坪分成面积相等的两部分．如果沿 铺设灌溉水管，则水管的最短长度为＿＿＿＿＿＿米． 【答案】20 【思路】对分角线所在边分三类讨论，利用面积等分关系求出两边乘积，再结合余弦定理与基本不等式分别求出各情形下的最小值并比较. 【解析】由 ，可得 是直角三角形，其面积 ，不妨设 ， ①若 在 上，设 ，则 ，解得 ，，即 ，当且仅当 时等号成立； ②若 在 上，设 ，，则 ，解得 ，，即 ，当且仅当 时等号成立； ③若 在 上，设 ，，则 ，解得 ，，即 ，当且仅当 时等号成立； 因为 ，所以 的最小值为 20，即水管的最短长度为 20 米.故答案为：20. 考点六：基本不等式命题真伪与取等条件辨析 考法8：均值不等式链与取等条件的综合判断 31.（2026·安徽师大附中·检测）（多选）若非零实数 满足 ，则下列结论一定成立的是（　　） A. B. C. D. 【答案】BCD 【思路】注意题干中 为非零实数（可正可负），通过特值反例排除 A，利用基本不等式及柯西不等式证明 B、C、D 成立. 【解析】由 时，满足 ，此时 ，A 错； 由 ，有 ，当且仅当 时取等号，B 对； 由 ，当且仅当 时取等号，C 对； 由 ，则 ，当且仅当 ，即 时取等号，D 对.故选：BCD. 32.（2026·安徽合肥一六八中·一模）（多选）已知正数 满足 ，则下列结论正确的是（　　） A. 的最大值为 1 B. 的最小值为 4 C. 的最大值为 D. 的最小值为 1 【答案】ACD 【思路】对和积混合条件建立不等式求出 和 的取值范围，再利用基本不等式对各分式结构进行极值分析. 【解析】由正数 满足 ，可得 ，解得 ，即 ，当且仅当 ，即 时等号成立，故 A 正确； 由正数 满足 ，可得 ，解得 或 （舍去），当且仅当 时等号成立，故 B 错误； 因为 ，所以 ，当且仅当 时等号成立，故 C 正确； 由 可得 ，所以 ，当且仅当 ，即 时等号成立，故 D 正确.故选 ACD. 33.（2026·安徽铜陵·一模）（多选）下列说法正确的是（　　） A. 若 ，则函数 的最小值为 3 B. 若 ，则 的最小值为 C. 函数 的最小值为 D. 若 ，且 ，则 【答案】BCD 【思路】涵盖了正负变号配凑最大值、“乘1法”三角分式求最值、指数基本不等式以及代数基本不等式求积的最大值辨析. 【解析】对于 A，，，，当且仅当 ，即 时，取得最大值 ，故 A 错误； 对于 B，，当且仅当 时， 取到最小值为 ，故 B 正确； 对于 C，，当且仅当 时，取等号，故 C 正确； 对于 D，当 ，且 时，，，当且仅当 ， 取最大值 ，故 D 正确.故选：BCD. 34.（2026·江西南昌·一模）（多选）已知 ，则下列选项中正确的有（　　） A. B. C. D. 【答案】BCD 【思路】由正数和为 1 得到各变量在 内，结合对数单调性、指数单调性、“乘1法”及柯西不等式逐项检验. 【解析】因为 ，所以 ，所以 ，A 错误； ，B 正确； ，当且仅当 时等号成立，C 正确； ，当且仅当 时等号成立，D 正确.故选：BCD. 35.（2026·安徽滁州·一模）（多选）下列选项正确的有（　　） A. 若 ，则 最小值为 B. 若 ，则 最小值为 3 C. 若 ，则 的最小值为 5 D. 若 ，则 的最大值为 【答案】BD 【思路】本题重点考查基本不等式的应用前提（正数性、等号成立条件）及换元法、辅助角公式在最值问题中的综合辨析. 【解析】对于选项 A，，，当 时，，当且仅当 ，即 时，等号成立；当 时，假设 ，满足 ，而 ，故选项 A 错误； 对于选项 B，设 ，，，当且仅当 时，即 时取等号，则 的最小值为 3，故选项 B 正确； 对于选项 C，，，，当且仅当 ，即 时，等号成立，但是 无解，故等号不能成立，则 ，故选项 C 错误； 对于选项 D，， 设 ，，，其中 ，，， 的最大值为 ，故选项 D 正确.故选：BD. 36.（2026·河南豫东名校·二模）（多选）已知 ，则下列说法正确的是（　　） A. 若 ，则 B. 的最小值为 1 C. 若 ，则 的最小值为 8 D. 若 恒成立，则 的最小值为 【答案】ACD 【思路】综合考察基本不等式解方程、凑项法中等号能否取到的关键辨析、齐次化代换求最值以及柯西不等式求上界. 【解析】对于 A，，，当且仅当 时取等号，，解得 ，即 ，故 A 正确； 对于 B，，当且仅当 ，即 时取等号，显然 的值不存在，故 B 错误； 对于 C，因为 ，所以 ，当且仅当 ，即 时，等号成立，故 C 正确； 对于 D，，当且仅当 时取等号，所以 ，又 恒成立，所以 ，即 的最小值为 ，故 D 正确.故选：ACD. 37.（2026·八省T8联盟·联考）（多选）已知三个不同的实数 满足 ，且 ，则（　　） A. B. C. D. 的最小值是 【答案】ABC 【思路】利用根与系数的关系将三元问题转化为关于一元的多项式性质，借助判别式严格不等式与不等式链确定变量取值区间，并用二次函数求最值. 【解析】， 选项 A 正确； ，， 是不同实数，，即 ，整理得 ，解得 ，同理可得 ，又 ，，，即 ，解得 或 ，，，综上所述，，选项 B 正确； 同理，，解得 ， 选项 C 正确； ，代入 ，得 ，这是关于 的二次函数，开口向上，对称轴 ，且 ，对称轴在区间内， 最小值在 处取得，即最小值为 ， 选项 D 错误.故选 ABC. 【1.4 基本不等式及其应用 方法总结】 1. 利用基本不等式 求最值时，必须严格遵循“一正、二定、三相等”的原则，即各项必须为正，乘积或和必须为定值，等号成立的条件必须在定义域范围内且能够同时取得. 2. 求解分式形式的最值时，“常数代换法”（即“乘1法”）是极具实操性的核心解法：将常数 用已知的和式（如 或 ）代换展开，再对互为倒数项运用基本不等式. 3. 对于非齐次代数式或多项式分式结构，可通过“齐次化代换”或“裂项配凑”使分子分母次数齐次，或分离出常数项，再转化为对勾函数模型或倒数积形式求解. 4. 面对“和”与“积”混合的等式约束（如 ），可将 或 设为新变量 ，利用基本不等式 建立关于 的一元二次不等式，从而确定整体范围. 5. 在结合指数、对数运算的问题中，优先利用对数运算法则 或指数幂运算 将“和”转化为“积”或反之，转化为基本不等式标准模型. 6. 求解几何最值或实际应用题时，需先建立精准的目标函数模型，合理选择自变量并确定实际物理或几何意义下的定义域，再结合基本不等式或二次函数求解极值. 7. 遇到等号无法成立的基本不等式形式（如 或三角函数分式），切忌盲目套用基本不等式公式，必须转为函数单调性、导数法或换元二次函数分析值域. 第 2 页，共 17 页 学科网（北京）股份有限公司 $