第1章 第4讲 基本不等式 课后达标检测(教用Word)-【精微方案】2027年高考一轮总复习讲义·数学（创新版）

**基本信息** 聚焦基本不等式应用，以“概念辨析—技巧变形—综合应用”为逻辑主线，系统提炼配凑法、常数代换等核心技巧，培养运算能力与推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |条件判断|1（第1题）|充要条件分析|从基本不等式成立条件切入，建立概念认知| |单变量最值|3（第2、7、12题）|配凑法构造定值|通过代数式变形，强化“一正二定三相等”应用| |双变量/多变量问题|7（第3-6、8、10、11、14题）|常数代换、1的代换|拓展至多变量关系，培养模型观念与转化思想| |实际应用|2（第13题）|建模转化|连接实际问题与数学模型，提升应用意识|

1．“＋≥2”是“x＞0，y＞0”的(　　) A．充分不必要条件　　 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 解析：选B.由＋≥2，可得xy＞0，即x＞0，y＞0或x＜0，y＜0，所以“＋≥2”是“x＞0，y＞0”的必要不充分条件． 2．(2026·绵阳模拟)已知x＞1，则f(x)＝的最小值为(　　) A．6 B．5 C．4 D．3 解析：选B.f(x)＝＝＝(x－1)＋＋1， 因为x＞1，所以x－1＞0， 所以f(x)＝(x－1)＋＋1≥2＋1＝5，当且仅当x－1＝，即x＝3时取等号， 所以f(x)的最小值为5. 3．若圆柱的上、下底面的圆周都在一个半径为2的球面上，则该圆柱侧面积的最大值为(　　) A．4π B．8π C．12π D．16π 解析：选B.设圆柱底面圆半径为r(0＜r＜2)，则圆柱的高为2，圆柱侧面积为S＝2πr·2＝4πr≤4π·＝8π，当且仅当r2＝4－r2，即r＝时等号成立．故该圆柱侧面积的最大值为8π. 4．(2025·北京卷)已知a＞0，b＞0，则(　　) A．a2＋b2＞2ab B．＋≥ C．a＋b＞ D．＋≤ 解析：选C.对于A，当a＝b时，a2＋b2＝2ab，故A错误；对于B，D，取a＝，b＝，此时＋＝2＋4＝6＜＝8＝，＋＝2＋4＝6＞＝4＝，故B，D错误；对于C，由基本不等式可得a＋b≥2＞，故C正确． 5．(2026·延边模拟)已知正实数x，y满足x＋y－xy＝0，且不等式x＋y－a＞0恒成立，则a的取值范围是(　　) A．a＜2 B．a＜8 C．a＜6 D．a＜4 解析：选B.因为正实数x，y满足x＋y－xy＝0，所以＋＝，则x＋y＝2(x＋y)＝2≥8，当且仅当x＝y＝4时取等号，因为不等式x＋y－a＞0恒成立，所以a＜8. 6．(多选)已知x，y，z都是正数，则下列选项中一定正确的是(　　) A．≤ B．x＋的最小值为1 C．(x＋y)(y＋z)(z＋x)≥8xyz D．若＋2＝2，则xy的最大值为 解析：选ACD.对于A，因为0<2≤x＋y，所以≤1，即≤，当且仅当x＝y时，等号成立，故A正确；对于B，x＋＝x＋1＋－1≥2－1＝1，当且仅当x＝0时，等号成立，由题意可得等号不成立，故B错误；对于C，x＋y≥2，y＋z≥2，z＋x≥2，(x＋y)(y＋z)(z＋x)≥8xyz，当且仅当x＝y＝z时，等号成立，故C正确；对于D，2＝＋2≥2，2≤3，xy≤，当且仅当x＝4y＝3时，等号成立，故D正确． 7．(2025·贵州黔东南一模)若x4＋9y4＝10，则x2y2的最大值为________，此时x2＝________． 解析：由10＝x4＋9y4≥2x2·3y2，则x2y2≤，当且仅当x2＝3y2＝时，等号成立，即x2y2的最大值为，此时x2＝. 答案：　 8．已知a＞0，b＞0，从①a＋b＝1；②b－a＝ab这两个条件中任选一个作为已知，则＋的最小值为________． 解析：若选择条件①：因为a＞0，b＞0，且a＋b＝1，所以＋＝＋＝＋＋1≥2＋1＝3，当且仅当a＝，b＝时，等号成立，所以＋的最小值为3.若选择条件②：因为a＞0，b＞0，且b－a＝ab，所以－＝1，即＝1＋，则＋＝b＋＝b＋＋1≥2＋1＝3，当且仅当a＝，b＝1时，等号成立，所以＋的最小值为3. 答案：3 9．(13分)已知正数x，y满足x＋y＝6，xy＝9k. (1)求k的最大值；(4分) (2)求＋的最小值；(4分) (3)若＋≥m2－m恒成立，求实数m的取值范围．(5分) 解：(1)因为x＞0，y＞0，所以由基本不等式可得x＋y＝6≥2，得0<xy≤9，当且仅当x＝y＝3时，等号成立，即0<9k≤9，则0<k≤1，故k的最大值为1. (2)由x＋y＝6，得(x＋y)＝1，则＋＝(x＋y)＝(＋＋5)≥＝，当且仅当＝，即y＝2x＝4时，等号成立．故＋的最小值为. (3)因为＋≥m2－m恒成立，所以m2－m≤＝，即2m2－5m－3≤0，解得－≤m≤3，所以实数m的取值范围为. 10．若x＞y＞1，且满足x＋y＝4，则＋的最小值是(　　) A．6 B．18 C． D．9 解析：选C.x＋y－2＝(x－y)＋2(y－1)＝2，因为x>y>1，所以x－y>0，y－1>0， 则＋＝＋＝[(x－y)＋(2y－2)] ＝ ≥×2＋＝. 当且仅当＝，且x＋y＝4， 即x＝，y＝时取等号，则＋的最小值是. 11．(多选)(2026·西安模拟)已知x，y为正实数，x＋y＝4，则(　　) A．xy的最大值为4 B．＋的最小值为2 C．＋的最小值为3 D．(x2＋1)(y2＋1)的最小值为16 解析：选AD.对于A，因为x，y为正实数，x＋y＝4，则xy≤＝4，当且仅当x＝y＝2时取等号，故A正确；对于B，(＋)2＝x＋y＋2＝4＋2≤4＋2＝8，当且仅当x＝y＝2时取等号，所以＋的最大值为2，故B错误；对于C，因为x＋y＝4，则(x＋y)＝1，故＋＝＝＋＋＋1≥＋，当且仅当x＝8－12，y＝16－8时取等号，故C错误；对于D，因为(x2＋1)(y2＋1)＝x2y2＋x2＋y2＋1＝x2y2＋(x＋y)2－2xy＋1＝x2y2－2xy＋17＝(xy－1)2＋16，因为xy≤4，所以(xy－1)2＋16≥16，所以(x2＋1)(y2＋1)的最小值为16，故D正确． 12．若对任意x∈[0，3]，x2－ax－a＋3＞0恒成立，则实数a的取值范围为________． 解析：当0≤x≤3时，1≤x＋1≤4，由题意知，对任意x∈[0，3]，x2＋3＞a(x＋1)，即a＜＝＝x－1＋＝x＋1＋－2恒成立，由基本不等式可得(x＋1)＋－2≥2－2＝2，当且仅当x＋1＝，即x＝1时，等号成立，故a＜＝2.即实数a的取值范围为(－∞，2). 答案：(－∞，2) 13．(15分)如图所示，动物园要围成四间相同面积的长方形虎笼，一面可利用原有的墙，其他各面用钢筋网围成，每间虎笼的长为a、宽为b(单位：m). (1)现有36 m长的钢筋网材料可供使用，每间虎笼的长、宽各设计为多少时，可使每间虎笼面积最大？(5分) (2)若使每间虎笼面积为24 m2，每间虎笼的长、宽各设计为多少时，可使围成四间虎笼的钢筋网总长最小？最小值为多少？(5分) (3)若使用的钢筋网材料总长为28 m，求的最小值．(5分) 解：(1)由题得4a＋6b＝36，即2a＋3b＝18，a＞b＞0，设每间虎笼的面积为S，则S＝ab，因为18＝2a＋3b≥2＝2，当且仅当2a＝3b＝9时，等号成立，所以ab≤，所以每间虎笼的长为 m，宽为3 m时，可使每间虎笼面积最大，最大为 m2. (2)由题意可得ab＝24，a＞b＞0，设钢筋网总长为l，则l＝4a＋6b，因为4a＋6b≥2＝4＝48，当且仅当4a＝6b，即2a＝3b＝12时，等号成立，所以每间虎笼的长设计为6 m、宽设计为4 m时，可使围成四间虎笼的钢筋网总长最小，最小值为48 m. (3)依题意，得4a＋6b＝28，即2a＋3b＝14，a>b>0. 方法一：＝＋＝·(2a＋3b)＝≥＝， 当且仅当＝，即2a＝3b＝7时，等号成立，所以的最小值为. 方法二：2a＋3b＝14≥2，则ab≤，≥，故＝≥14×＝，当且仅当2a＝3b＝7时，等号成立． 所以的最小值为. 14．已知正实数x，y，z满足x2－3xy＋4y2－z＝0，当取得最大值时，＋－的最大值为__________． 解析：由x，y，z＞0，且x2－3xy＋4y2－z＝0，可得z＝x2－3xy＋4y2，则＝＝≤＝1，当且仅当＝，即x＝2y时取等号，此时z＝2y2，所以＋－＝－＝－＋1≤1，当y＝1时取到最大值，所以当取得最大值时，＋－的最大值为1. 答案：1 学科网（北京）股份有限公司 $