第1章 第4讲 基本不等式 课后达标检测(教用Word)-【精微方案】2027年高考一轮总复习讲义·数学（创新版）

1．“＋≥2”是“x＞0，y＞0”的(　　)

A．充分不必要条件　　

B．必要不充分条件

C．充要条件     

D．既不充分也不必要条件

解析：选B.由＋≥2，可得xy＞0，即x＞0，y＞0或x＜0，y＜0，所以“＋≥2”是“x＞0，y＞0”的必要不充分条件．

2．(2026·绵阳模拟)已知x＞1，则f(x)＝的最小值为(　　)

A．6     B．5

C．4     D．3

解析：选B.f(x)＝＝＝(x－1)＋＋1，

因为x＞1，所以x－1＞0，

所以f(x)＝(x－1)＋＋1≥2＋1＝5，当且仅当x－1＝，即x＝3时取等号，

所以f(x)的最小值为5.

3．若圆柱的上、下底面的圆周都在一个半径为2的球面上，则该圆柱侧面积的最大值为(　　)

A．4π     B．8π     

C．12π     D．16π

解析：选B.设圆柱底面圆半径为r(0＜r＜2)，则圆柱的高为2，

圆柱侧面积为S＝2πr·2＝4πr≤4π·＝8π，当且仅当r2＝4－r2，即r＝时等号成立．故该圆柱侧面积的最大值为8π.

4．(2025·北京卷)已知a＞0，b＞0，则(　　)

A．a2＋b2＞2ab     B．＋≥

C．a＋b＞     D．＋≤

解析：选C.对于A，当a＝b时，a2＋b2＝2ab，故A错误；对于B，D，取a＝，b＝，此时＋＝2＋4＝6＜＝8＝，＋＝2＋4＝6＞＝4＝，故B，D错误；对于C，由基本不等式可得a＋b≥2＞，故C正确．

5．(2026·延边模拟)已知正实数x，y满足x＋y－xy＝0，且不等式x＋y－a＞0恒成立，则a的取值范围是(　　)

A．a＜2     B．a＜8

C．a＜6     D．a＜4

解析：选B.因为正实数x，y满足x＋y－xy＝0，所以＋＝，则x＋y＝2(x＋y)＝2≥8，当且仅当x＝y＝4时取等号，因为不等式x＋y－a＞0恒成立，所以a＜8.

6．(多选)已知x，y，z都是正数，则下列选项中一定正确的是(　　)

A．≤

B．x＋的最小值为1

C．(x＋y)(y＋z)(z＋x)≥8xyz

D．若＋2＝2，则xy的最大值为

解析：选ACD.对于A，因为0<2≤x＋y，所以≤1，即≤，当且仅当x＝y时，等号成立，故A正确；对于B，x＋＝x＋1＋－1≥2－1＝1，当且仅当x＝0时，等号成立，由题意可得等号不成立，故B错误；对于C，x＋y≥2，y＋z≥2，z＋x≥2，(x＋y)(y＋z)(z＋x)≥8xyz，当且仅当x＝y＝z时，等号成立，故C正确；对于D，2＝＋2≥2，2≤3，xy≤，当且仅当x＝4y＝3时，等号成立，故D正确．

7．(2025·贵州黔东南一模)若x4＋9y4＝10，则x2y2的最大值为________，此时x2＝________．

解析：由10＝x4＋9y4≥2x2·3y2，则x2y2≤，当且仅当x2＝3y2＝时，等号成立，即x2y2的最大值为，此时x2＝.

答案：　

8．已知a＞0，b＞0，从①a＋b＝1；②b－a＝ab这两个条件中任选一个作为已知，则＋的最小值为________．

解析：若选择条件①：因为a＞0，b＞0，且a＋b＝1，所以＋＝＋＝＋＋1≥2＋1＝3，当且仅当a＝，b＝时，等号成立，所以＋的最小值为3.若选择条件②：因为a＞0，b＞0，且b－a＝ab，所以－