2.2 基本不等式及其应用 专项训练-2027届高三数学一轮复习

**基本信息** 以10类核心题型系统构建“概念-方法-应用”三层解题体系，通过数学思维的逻辑性与方法迁移的实用性，实现基本不等式从原理到实践的深度突破。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础概念|4题|内容辨析、条件判断|从基本不等式定义到不等式链，构建概念认知基础| |求最值方法|6题型|配凑法、常数代换法等6种技巧|以“一正二定三相等”为核心，形成方法与题型的对应逻辑| |综合应用|2题型|含参恒成立、实际问题建模|通过实际情境与数学模型转化，体现数学语言表达现实世界的应用价值|

§2.2 基本不等式及其应用·专项训练 目录 题型1: 基本不等式的内容及辨析 3 题型2: 基本不等式求和（积）的最值 5 题型3：配凑法求最值 8 题型4：常数代换法求最值 10 题型5：条件等式求最值 13 题型6：消元法求最值 15 题型7：分离常数法求最值 16 题型8：换元法求最值 18 题型9：含参恒成立问题 21 题型10：基本不等式的实际应用 23 1. 基本不等式 如果，那么，当且仅当时，等号成立. 2. 基本不等式链 基本不等式链： (调和平均数几何平均数算术平均数平方平均数)，其几何意义如下图： 3. 不等式的变形 (1) (2) （） 4. 最值定理 （1） 若均为正数，且为定值，则，当且仅当时，等号成立. （2） 若均为正数，且为定值，则，当且仅当时，等号成立. 提醒 (1)最值定理可简记为：“和定积最大，积定和最小”. (2)利用不等式求最值应满足三个条件“一正、二定、三相等”． 题型1: 基本不等式的内容及辨析 【例1.1.】 “”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】判断命题的充分不必要条件、基本不等式的内容及辨析 【分析】利用基本不等式即可判断选项. 【详解】若，根据基本不等式可得，当且仅当时等号成立，所以由可得成立， 若，取，满足，但不满足，所以由推不出， 所以“”是“”的充分不必要条件， 故选：A 【例1.2.】 若，，且，则下列不等式中恒成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】基本不等式的内容及辨析、由基本不等式证明不等关系 【分析】根据基本不等式的性质进行逐项判断即可. 【详解】因为，所以同号. 对于A：当时，，此时， 不等式左边为负数，右边为正数，所以该不等式不成立，A错误； 对于B：当时，，即， 此时，所以B错误； 对于C：当时，，此时， 不等式左边为负数，右边为正数，所以该不等式不成立，C错误； 对于D：因为同号，所以， 根据基本不等式的性质可得，D正确. 故选：D. 【例1.3.】 （多选）下列不等式中正确的是（    ） A． B． C． D．若，则 【答案】ACD 【难度】0.65 【知识点】基本不等式的内容及辨析、由基本不等式比较大小、作差法比较代数式的大小 【分析】利用作差法可判断A；由基本不等式可判断BCD. 【详解】对于A，，所以，故A正确； 对于B，当，时，不成立，故B错误； 对于C，因为，， 所以， 当且仅当，即时等号成立，故C正确； 对于D，， 当且仅当，时等号成立，D项正确． 故选：ACD． 【例1.4.】 （多选）下列不等式一定成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【难度】0.65 【知识点】求含sinx(型)函数的值域和最值、求对数函数的定义域、基本不等式的内容及辨析、具体函数的定义域 【分析】根据不等式的性质结合函数的性质逐一分析选项. 【详解】对于A，由题可知不等式有意义须需，则， 则，当且仅当时，等号成立，故A正确； 对于B，当，即，时，有，故不等式不一定成立，故B错误； 对于C，由，则， 当且仅当，即时，等号成立，故C正确； 对于D，由题意知,，故, 故不等式成立，D正确． 故选：ACD 题型2: 基本不等式求和（积）的最值 【例2.1.】 已知，的最小值为______. 【答案】12 【难度】0.94 【知识点】基本不等式求和的最小值 【详解】解析  由，，当且仅当，即，或，时取最小值12，所以的最小值为12.故答案为：12. 【例2.2.】 已知正实数a，b满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.75 【知识点】由基本不等式证明不等关系、基本不等式“1”的妙用求最值 【分析】用“1”的代换和基本不等式判断即可． 【详解】由a，b为正实数且. 根据基本不等式，当且仅当时等号成立，故A正确； ，当且仅当时等号成立，故B错误； ，当且仅当时等号成立，故C错误； 根据算术平均值小于等于平方平均值不等式，得， 当且仅当时等号成立，即，故D错误. 【例2.3.】 已知正数，满足，则的最大值为______. 【答案】8 【难度】0.85 【知识点】基本（均值）不等式的应用、基本不等式求积的最大值 【分析】将已知等式变形为，利用基本不等式建立与的关系，从而求得的最大值. 【详解】因为，为正数，所以， 根据基本不等式可得，(当且仅当16，即时等号成立)； 则，即16， 因为16，所以，可得. 即的最大值为8. 故答案为：8 【例2.4.】 已知，，且，则的最小值为________． 【答案】 【难度】0.79 【知识点】基本不等式求和的最小值 【详解】由题意得，， 所以， 当且仅当，，即时，等号成立． 【例2.5.】 （多选）已知实数满足，则（ ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【难度】0.45 【知识点】解不含参数的一元二次不等式、基本不等式求积的最大值、基本不等式求和的最小值、条件等式求最值 【分析】利用已知条件结合基本不等式计算判断选项A；利用有解，由判别式构造不等式，解不等式，判断选项B；由已知条件得出，进而求解判断选项C；由求出，结合已知条件计算求解． 【详解】已知，由基本不等式， 当时，，解得，当且仅当时取等号， 当时，，解得，当且仅当时等号成立， ，故A正确； 因为关于的方程有解，所以 因此，故B错误； 由，即由上可得， 所以，， 所以，故C正确； 因为，由选项A知， 由，得，故D正确． 题型3：配凑法求最值 【例3.1.】 已知，则的最小值为__________． 【答案】9 【难度】0.62 【知识点】基本不等式求和的最小值 【分析】对进行变形，然后利用基本不等式求解其最小值. 【详解】因为，则，. 所以 . 当且仅当时，即等号成立. 因此，的最小值为9. 【例3.2.】 函数的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.62 【知识点】基本不等式求和的最小值、利用函数单调性求最值或值域 【分析】对于函数进行变形得，再利用基本不等式求最值即可． 【详解】因为，所以， 所以， 当且仅当时，取等号， 所以的最大值为． 【例3.3.】 函数的最小值为（   ） A．2 B．4 C．3 D．6 【答案】C 【难度】0.75 【知识点】基本不等式求和的最小值 【分析】由关系，结合基本不等式求结论. 【详解】，， ， 当且仅当时，即时等号成立， 因此函数最小值为. 【例3.4.】 函数 的最大值为______． 【答案】/ 【难度】0.6 【知识点】二倍角的正弦公式、基本（均值）不等式的应用 【分析】利用二倍角的正弦公式及基本不等式求解. 【详解】 ， 当且仅当，即时取等号． 题型4：常数代换法求最值 【例4.1.】 （多选）设正实数，满足，则下列说法正确的是（   ） A．有最大值 B．有最小值4 C．有最大值 D．有最小值 【答案】ABC 【难度】0.72 【知识点】基本（均值）不等式的应用、基本不等式求积的最大值、基本不等式求和的最小值、基本不等式“1”的妙用求最值 【分析】结合已知条件，利用基本不等式及其变形逐一判断各选项即可. 【详解】对于A，由基本不等式，代入得，即， 当且仅当时等号成立，所以最大值为，故A正确； 对于B，，由基本不等式， 故，当且仅当时等号成立， 所以最小值为，故B正确； 对于C，，由选项A知， 故，即， 当且仅当时等号成立，所以最大值为，故C正确； 对于D，，由选项A知，故， 则， 即最小值为，不是，故D错误. 【例4.2.】 已知正数a，b满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】基本不等式“1”的妙用求最值 【分析】由，得到，再利用“1”的代换求解. 【详解】解：因为， 所以， 所以， 当且仅当，即，时，等号成立． 故选：C 【例4.3.】 已知，，，则的最小值为（   ） A． B．12 C． D．16 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】基本不等式“1”的妙用求最值 【详解】解析  由可得，， 当且仅当时，等号成立，即.所以的最小值为，故选C. 【例4.4.】 已知，，且，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.4 【知识点】基本不等式“1”的妙用求最值、条件等式求最值 【分析】由已知条件将所求式子变为，利用“1”的代换结合基本不等式求解. 【详解】因为，且， 所以 ， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最大值为. 故选：A. 【例4.5.】 若正数满足，则的最小值为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.79 【知识点】基本不等式“1”的妙用求最值、指数幂的运算 【分析】根据条件，利用指数的运算得到，再利用基本不等式，即可求解. 【详解】因为，所以，又是正数， 则， 当且仅当，即时取等号，所以的最小值为. 【例4.6.】 已知正实数、、满足，则的最小值为______，的最小值为______. 【答案】 ； / 【难度】0.4 【知识点】基本不等式求和的最小值、基本不等式“1”的妙用求最值 【分析】根据基本不等式中常值代换法可得第一空；利用两次基本不等式计算即可. 【详解】因为，，所以， 所以 ， 当且仅当，即时取得最小值； 易知 ， 当且仅当第一个不等号可取等号， 当且仅当第二个不等号可取等号. 故答案为：；. 题型5：条件等式求最值 【例5.1.】 已知，，且，则的最小值为（   ） A．11 B．12 C．13 D．14 【答案】C 【难度】0.75 【知识点】条件等式求最值 【分析】方法一：条件等式可化为，再结合关系利用基本不等式求结论； 方法二：由条件等式可得，消元变形可得，再利用基本不等式求其最小值即可. 【详解】（方法一）由，可得， 因为，，所以，， 则， 当且仅当，即，时，等号成立， 故的最小值为13． （方法二）由，可得，因为，所以， 则， 当且仅当，即时，等号成立， 故的最小值为13． 【例5.2.】 已知正实数，满足，则的最小值是（ ） A．22 B．26 C．28 D．30 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】条件等式求最值、基本不等式求和的最小值 【分析】将变形为，然后利用基本不等式求得最小值. 【详解】由题得，因为，所以，同理， 将条件变形为， 则， 当且仅当，即，时取等号，所以的最小值为28. 故选：C. 【例5.3.】 设均为正实数，满足，则的最小值为______. 【答案】4 【难度】0.85 【知识点】基本不等式求和的最小值、条件等式求最值 【详解】 ， 所以， 当且仅当，即时等号成立， 故最小值为4. 【例5.4.】 已知，，求的最大值． 【答案】/ 【难度】0.4 【知识点】基本（均值）不等式的应用 【分析】拆分分母构造均值不等式，匹配系数求解待定参数，最后利用均值不等式的放缩即可求解. 【详解】， 为使不等式右侧为常数，需使，解得， 此时当且仅当时等号成立，解得 故的最大值为. 故答案为：． 题型6：消元法求最值 【例6.1.】 已知正数a，b满足，的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.75 【知识点】基本不等式求积的最大值 【详解】由得，于是， 当且仅当，即，时，等号成立. 【例6.2.】 已知正实数满足，则的最小值为__________. 【答案】/ 【难度】0.65 【知识点】基本不等式求和的最小值、条件等式求最值 【分析】由题设求得，从而将所求式化成，再根据基本不等式求解即可. 【详解】由题意，为正实数，且，则， 所以， 当且仅当，即时等号成立， 则的最小值为. 故答案为：. 【例6.3.】 已知实数，满足，则的最大值为_____. 【答案】 【难度】0.62 【知识点】条件等式求最值 【分析】令，把方程化为，根据方程有解，利用，求得，进而求得的最大值. 【详解】令，则， 方程可化为， 整理得，则满足， 解得，所以，即， 所以的最大值为. 题型7：分离常数法求最值 【例7.1.】 已知，则的最大值是（    ）． A． B． C．5 D．8 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】二次与二次（或一次）的商式的最值 【分析】化简变形利用基本不等式计算即可． 【详解】易知． 因为，所以，所以， 则， 当且仅当，即时，等号成立， 故，则的最大值是． 故选：A 【例7.2.】 函数的最小值为________. 【答案】 【难度】0.85 【知识点】对勾函数求最值 【分析】先对函数进行化简，然后利用对勾函数的单调性可求出有最小值. 【详解】， 因为， 所以根据对勾函数在上单调递增，可知当，即时，有最小值， 故答案为： 【例7.3.】 函数的最大值是（    ） A．2 B． C． D． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】二次与二次（或一次）的商式的最值 【分析】化简函数，结合基本不等式，即可求解. 【详解】由题意，函数 又由，当且仅当，即时等号成立， 所以，所以 即函数的最大值是. 故选：C. 题型8：换元法求最值 【例8.1.】 已知正数，满足，则的最小值是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.4 【知识点】基本不等式“1”的妙用求最值 【详解】解析  因为，所以，令，，，，，， ，当且仅当，即，即，时等号成立，所以的最小值是.故选B. 【例8.2.】 已知实数，满足，则的最小值为______. 【答案】 【难度】0.4 【知识点】条件等式求最值 【详解】解析  ，令，则，解得，，所以，故最小值为. 【例8.3.】 已知，且，则的最小值为（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】基本不等式的恒成立问题、基本不等式求和的最小值 【分析】根据题意，化简得到，利用基本不等式，求得，得到，得到，令，得到，结合一元二次不等式的解法，即可求解. 【详解】由，可得， 因为，两边同除，可得，即， 又因为，可得，所以， 则， 当且仅当时，即时，等号成立，所以， 所以， 令，其中，则，即，解得或（舍去）， 所以，即的最小值为，此时，. 故选：A. 【例8.4.】 若，，则的最小值为______． 【答案】/ 【难度】0.4 【知识点】基本不等式求和的最小值 【分析】方法一：拆分根号内部构造均值不等式，匹配系数求解待定参数 ，最后利用均值不等式的放缩即可求解； 方法二：利用三角换元，结合双曲函数进行求解即可. 【详解】法一：（待定系数法）设，， 要得到最小值，分子为分母的倍数，故，解得，，， 法二：（三角代换）令，，则原式可化为，其中； 由二次函数性质可知当时，的最小值为， 故答案为：． 题型9：含参恒成立问题 【例9.1.】 若正数满足，且恒成立，则实数的范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】基本不等式“1”的妙用求最值、条件等式求最值、解不含参数的一元二次不等式 【分析】由已知利用基本不等式“1”的巧用，可求的最小值，然后结合不等式恒成立与最值关系的转化可求． 【详解】因为正数满足，即， 所以， 当且仅当，即，时取等号， 若不等式恒成立，则， 解得，所以实数的范围是. 故选：C． 【例9.2.】 若对于任意，不等式恒成立，则实数m的取值范围为（   ） A．或 B． C． D．或 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】基本不等式的恒成立问题、基本不等式求和的最小值 【分析】根据基本不等式的乘“1”法求解的最小值，即可将问题转化为，解一元二次不等式即可. 【详解】依题意有， 因为,故，则， 当且仅当，即时，等号成立， 所以，得． 故选：B 【例9.3.】 已知，若对任意正数，不等式恒成立，则实数的最小值为（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】基本不等式的恒成立问题、解不含参数的一元一次不等式 【分析】根据基本不等式求解即可. 【详解】已知，，， 恒成立等价于恒成立. 又，则， . ，即， 解得（舍去）或， 的最小值为， 故选：B. 【例9.4.】 已知，且，若不等式恒成立．则当实数m取得最大值时，a的值为________． 【答案】 【难度】0.4 【知识点】基本不等式的恒成立问题 【分析】利用换元法，结合基本不等式进行求解即可. 【详解】因为， 所以由， 因为， 所以由，设，则， 因此由， 于是不等式恒成立可以转化为恒成立， 即， 由， 于是有， 当且仅当时取等号，即当时，有最小值， 所以有，此时有 故答案为： 题型10：基本不等式的实际应用 【例10.1.】 甲乙两地的高速公路全长166千米，汽车从甲地进入该高速公路后匀速行驶到乙地，车速（千米/时）．已知汽车每小时的运输成本（以元为单位）由可变部分和固定部分组成：可变部分为，固定部分为220元． (1)若每小时的运输成本不高于420元，汽车的速度应该控制在什么范围？ (2)汽车应以多大速度行驶才能使全程运输成本最小？最小运输成本约为多少元？（结果保留整数） 【答案】(1)（千米/时）； (2)当时，最小运输成本为696元． 【难度】0.65 【知识点】一元二次不等式的实际应用、基本不等式的实际应用 【分析】（1）根据题意列出不等式，根据一元二次不等式的解法，求出结果即可. （2）根据题意，列出函数，根据基本不等式，求出最小值即可. 【详解】（1）由题意得汽车每小时的运输成本为（元）， 每小时的运输成本不高于420元，所以，解得， 可得，即（千米/时）， 所以，此时汽车的速度应该控制在（千米/时）； （2）因为汽车从甲地进入该高速公路后匀速行驶到乙地，车速（千米/时）， 所以汽车的行驶时间为（小时）， 所以全程运输成本，， 由基本不等式可得，当且仅当时，即时取等号， 即当速度为（千米/时），最小运输成本为696元． 【例10.2.】 某蛋糕店推出两款新品蛋糕，分别为薄脆百香果蛋糕和朱古力蜂果蛋糕，已知薄脆百香果蛋糕单价为元，朱古力蜂果蛋糕单价为元，现有两种购买方案： 方案一：薄脆百香果蛋糕购买数量为个，朱古力蜂果蛋糕购买数量为个，花费记为； 方案二：薄脆百香果蛋糕购买数量为个，朱古力蜂果蛋糕购买数量为个，花费记为. （其中，，且） (1)试问哪种购买方案花费更少？请说明理由； (2)若同时满足，求这两种购买方案花费的差值最小值（注：差值花费较大值花费较小值）. 【答案】(1)购买方案二花费更少，理由见解析 (2) 【难度】0.65 【知识点】基本不等式的实际应用、作差法比较代数式的大小、建立拟合函数模型解决实际问题 【分析】（1）根据可得结论； （2）由（1）可得，结合基本不等式可求得最小值. 【详解】（1）由题意知：，， ， ，，，， ，即，购买方案二花费更少. （2）由（1）得：； ，（当且仅当，即时取等号）； ，（当且仅当，即时取等号）； 差值的最小值为（当且仅当，，，时取最小值）. 【例10.3.】 2026年马年春晚，宇树科技、银河通用、松延动力、魔法原子通过武术、仿生、对话与精细操作等多种形式集体登台，如此密集且高水准的亮相，让观众不禁感慨人形机器人的迭代速度，仅仅一年，就从需要搀扶上台的青涩表现，进化到能自主玩梗、连续空翻的全新阶段．某款仿生机器人小华在某测试场地测试可视范围，如图所示，测试区域是等腰梯形，，，，，点E在边上，且，小华在点E处看到的区域是五边形（分别在边上）且，则当五边形的面积最大时，________． 【答案】 【难度】0.16 【知识点】三角形面积公式及其应用、基本（均值）不等式的应用、正弦定理解三角形 【分析】由题意转化为求最小时的值，利用正弦定理及三角形面积公式求出，利用基本不等式求最值，根据等号成立的条件求解即可. 【详解】在等腰梯形中，， ，故， 因为五边形的面积为梯形面积减去和的面积之和， 即， 因为为定值，所以最大等价于最小， 设，则， 在中，由正弦定理可得，得， 所以， 在中，由正弦定理得，得， 所以， 所以， 所以， 当且仅当，即， 由，即，解得， 即当时，有最小值，此时五边形面积最大， 当时，，结合，解得. ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $ §2.2 基本不等式及其应用·专项训练 目录 题型1: 基本不等式的内容及辨析 3 题型2: 基本不等式求和（积）的最值 3 题型3：配凑法求最值 4 题型4：常数代换法求最值 4 题型5：条件等式求最值 5 题型6：消元法求最值 5 题型7：分离常数法求最值 5 题型8：换元法求最值 6 题型9：含参恒成立问题 6 题型10：基本不等式的实际应用 6 1. 基本不等式 如果，那么，当且仅当时，等号成立. 2. 基本不等式链 基本不等式链： (调和平均数几何平均数算术平均数平方平均数)，其几何意义如下图： 3. 不等式的变形 (1) (2) （） 4. 最值定理 （1） 若均为正数，且为定值，则，当且仅当时，等号成立. （2） 若均为正数，且为定值，则，当且仅当时，等号成立. 提醒 (1)最值定理可简记为：“和定积最大，积定和最小”. (2)利用不等式求最值应满足三个条件“一正、二定、三相等”． 题型1: 基本不等式的内容及辨析 【例1.1.】 “”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【例1.2.】 若，，且，则下列不等式中恒成立的是（   ） A． B． C． D． 【例1.3.】 （多选）下列不等式中正确的是（    ） A． B． C． D．若，则 【例1.4.】 （多选）下列不等式一定成立的是（   ） A． B． C． D． 题型2: 基本不等式求和（积）的最值 【例2.1.】 已知，的最小值为______. 【例2.2.】 已知正实数a，b满足，则（    ） A． B． C． D． 【例2.3.】 已知正数，满足，则的最大值为______. 【例2.4.】 已知，，且，则的最小值为________． 【例2.5.】 （多选）已知实数满足，则（ ） A． B． C． D． 题型3：配凑法求最值 【例3.1.】 已知，则的最小值为__________． 【例3.2.】 函数的最大值为（    ） A． B． C． D． 【例3.3.】 函数的最小值为（   ） A．2 B．4 C．3 D．6 【例3.4.】 函数 的最大值为______． 题型4：常数代换法求最值 【例4.1.】 （多选）设正实数，满足，则下列说法正确的是（   ） A．有最大值 B．有最小值4 C．有最大值 D．有最小值 【例4.2.】 已知正数a，b满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【例4.3.】 已知，，，则的最小值为（   ） A． B．12 C． D．16 【例4.4.】 已知，，且，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 【例4.5.】 若正数满足，则的最小值为（ ） A． B． C． D． 【例4.6.】 已知正实数、、满足，则的最小值为______，的最小值为______. 题型5：条件等式求最值 【例5.1.】 已知，，且，则的最小值为（   ） A．11 B．12 C．13 D．14 【例5.2.】 已知正实数，满足，则的最小值是（ ） A．22 B．26 C．28 D．30 【例5.3.】 设均为正实数，满足，则的最小值为______. 【例5.4.】 已知，，求的最大值． 题型6：消元法求最值 【例6.1.】 已知正数a，b满足，的最大值为（   ） A． B． C． D． 【例6.2.】 已知正实数满足，则的最小值为__________. 【例6.3.】 已知实数，满足，则的最大值为_____. 题型7：分离常数法求最值 【例7.1.】 已知，则的最大值是（    ）． A． B． C．5 D．8 【例7.2.】 函数的最小值为________. 【例7.3.】 函数的最大值是（    ） A．2 B． C． D． 题型8：换元法求最值 【例8.1.】 已知正数，满足，则的最小值是（   ） A． B． C． D． 【例8.2.】 已知实数，满足，则的最小值为______. 【例8.3.】 已知，且，则的最小值为（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 【例8.4.】 若，，则的最小值为______． 题型9：含参恒成立问题 【例9.1.】 若正数满足，且恒成立，则实数的范围是（　　） A． B． C． D． 【例9.2.】 若对于任意，不等式恒成立，则实数m的取值范围为（   ） A．或 B． C． D．或 【例9.3.】 已知，若对任意正数，不等式恒成立，则实数的最小值为（    ） A． B． C．1 D．2 【例9.4.】 已知，且，若不等式恒成立．则当实数m取得最大值时，a的值为________． 题型10：基本不等式的实际应用 【例10.1.】 甲乙两地的高速公路全长166千米，汽车从甲地进入该高速公路后匀速行驶到乙地，车速（千米/时）．已知汽车每小时的运输成本（以元为单位）由可变部分和固定部分组成：可变部分为，固定部分为220元． (1)若每小时的运输成本不高于420元，汽车的速度应该控制在什么范围？ (2)汽车应以多大速度行驶才能使全程运输成本最小？最小运输成本约为多少元？（结果保留整数） 【例10.2.】 某蛋糕店推出两款新品蛋糕，分别为薄脆百香果蛋糕和朱古力蜂果蛋糕，已知薄脆百香果蛋糕单价为元，朱古力蜂果蛋糕单价为元，现有两种购买方案： 方案一：薄脆百香果蛋糕购买数量为个，朱古力蜂果蛋糕购买数量为个，花费记为； 方案二：薄脆百香果蛋糕购买数量为个，朱古力蜂果蛋糕购买数量为个，花费记为. （其中，，且） (1)试问哪种购买方案花费更少？请说明理由； (2)若同时满足，求这两种购买方案花费的差值最小值（注：差值花费较大值花费较小值）. 【例10.3.】 2026年马年春晚，宇树科技、银河通用、松延动力、魔法原子通过武术、仿生、对话与精细操作等多种形式集体登台，如此密集且高水准的亮相，让观众不禁感慨人形机器人的迭代速度，仅仅一年，就从需要搀扶上台的青涩表现，进化到能自主玩梗、连续空翻的全新阶段．某款仿生机器人小华在某测试场地测试可视范围，如图所示，测试区域是等腰梯形，，，，，点E在边上，且，小华在点E处看到的区域是五边形（分别在边上）且，则当五边形的面积最大时，________． ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $