1 集合与常用逻辑用语、不等式 综合测试 - 2027届高三数学一轮复习

**基本信息** 聚焦集合、常用逻辑用语与不等式基础模块，通过基础辨析、综合应用及新定义题型，构建知识网络，强化数学抽象与逻辑推理。 **综合设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |集合|选择1-2、多选9、填空12|交并补运算、子集关系、元素个数|从集合概念到运算，结合子集关系深化集合间联系| |常用逻辑用语|选择3-5、多选10B|充分必要条件判断、命题真假|以命题为载体，建立条件关系与逻辑推理链条| |不等式|选择6-8、多选10ACD、填空13-14、解答15-19|解法、最值、恒成立、新定义应用|从性质到解法，结合均值定理与实际情境，体现运算能力与模型意识|

2027届高三数学一轮复习综合测试 1 集合与常用逻辑用语、不等式 （考试时间：120分钟　试卷满分：150分） 注意事项： 1. 答卷前，考生务必将自己的姓名、班级、学号填写在答题卡上. 2. 回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3. 考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.　已知集合，集合，则（　　） A. B. C. D. 2.　已知集合，，则（　　） A. B. C. D. 3.　是的（　　） A. 充要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 4.　已知，则“”是“”的（　　） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 5.　已知，，则是的（　　） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 6.　下列命题为真命题的是（　　） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 7.　已知，则的最小值为（　　） A. B. C. D. 8.　不等式的解集是（　　） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错得0分. 9.　已知集合，若集合满足，则可以是（　　） A. B. C. D. 10.　下列说法中正确的是（　　） A. 若，则的最小值为2 B. 若，则的最大值为-2 C. 若，且，则的最大值为 D. 若，则的最小值为2 11.　已知，则下列不等式成立的是（　　） A. B. C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.　表示有限集合中元素的个数，已知，，，则＿＿＿＿＿＿. 13.　若实数和的等差中项为 1，则的最小值为＿＿＿＿＿＿. 14.　不等式的解集是＿＿＿＿＿＿. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.（13分）已知，且的解集为. （1）当，求函数的解析式； （2）若关于的不等式对一切实数恒成立，求实数的取值范围. 16.（15分）已知函数的定义域为，关于的不等式的解集为. （1）若时，求； （2）若是的充分条件，求实数的取值范围. 17.（15分）若集合满足：，且，则称互为对偶集. 已知函数，定义. （1）当时，证明：； （2）证明：存在，使得无论取何值，与均互为对偶集； （3）若，求的取值范围. 18.（17分）已知. 设集合，集合. 若集合中的元素，满足，则称为的“相邻元”. 对于整数，若集合存在一个子集满足：（ⅰ）集合中的元素个数为；（ⅱ），在集合中都至少有个“相邻元”，则称是“好数”. （1）当时，直接写出的“相邻元”； （2）当时，求证：是“好数”； （3）当时，若整数满足，且，求证：是“好数”. 19.（17分）给定正整数，数集满足对于任意，都存在，使得. （1）若，且，求； （2）证明：对于任意，都有； （3）若，且，求数集中所有元素的和.（用含有的式子表示） 第 2 页，共 17 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2027届高三数学一轮复习综合测试 1 集合与常用逻辑用语、不等式 解析卷 1 2 3 4 5 A A C A D 6 7 8 9 10 B B C AC BCD 11 12 13 14 15 ABD 17 2 （1）；（2） 16 17 18 19 （1）； （2） （1）详见解析； （2）详见解析； （3） （1）； （2）详见解析； （3）详见解析 （1）； （2）详见解析； （3）当时为，当时为 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.已知集合，集合，则 A. B. C. D. 【答案】A 【思路】先解分式不等式求出集合，再根据集合交集的定义求出公共元素即可. 【解析】由 ，得 ，即 ，解得：，则集合 ，所以 .故选 A . 2.已知集合，，则 A. B. C. D. 【答案】A 【思路】求解无理方程确定集合，再与集合求交集. 【解析】由题可得 ，所以 .故选 A . 3.是的 A. 充要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【思路】根据指数函数与对数函数的单调性及定义域，分别考查充分性与必要性是否成立. 【解析】当 时， 成立；当 时，，但 不一定大于 0， 不一定成立，故 是 的必要不充分条件.故选 C . 4.已知，则“”是“”的 A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【思路】解分式不等式，再利用集合间的包含关系判断充分必要条件. 【解析】∵ ，∴ ，∴ ，∴ 或 ，所以“”是“”的充分不必要条件.故选 A . 5.已知，，则是的 A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】D 【思路】利用对数运算法则将不等式化简，并通过构造反例分别检验充分性与必要性. 【解析】取 ，则 ，但 ，此时 ，，所以 不是 的充分条件；取 ，则 ，故 ，但 ，所以 不是 的必要条件；所以 是 的既不充分也不必要条件.故选 D . 6.下列命题为真命题的是 A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】B 【思路】利用不等式的性质逐项判断，注意特殊值（如零、负数）的检验. 【解析】对于 A，当 时，显然 不成立，故 A 错误；对于 B，由 ，利用不等式的性质易得 ，故 B 正确；对于 C，当 时，取 ，则 ，故 C 错误；对于 D，当 时，，由不等式的性质，可得 ，故 D 错误.故选 B . 7.已知，则的最小值为 A. B. C. D. 【答案】B 【思路】观察分母特征，利用常数代换法构造和为定值，进而运用基本不等式求最值. 【解析】∵ ，∴ ，所以 ，当且仅当 ，即 时，等号成立，所以 的最小值为 .故选 B . 8.不等式的解集是 A. B. C. D. 【答案】C 【思路】移项通分将分式不等式转化为二次不等式组求解，注意分母不为零. 【解析】 即为 ，即 故 ，故解集为 .故选 C . 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错得0分. 9.已知集合，若集合满足，则可以是 A. B. C. D. 【答案】AC 【思路】分别化简各个选项中的集合，再根据交集为空集逐项核验元素1和2是否在集合中. 【解析】对于选项 A：若 ，满足 ，符合题意，故 A 正确；对于选项 B：若 ，则 ，不符合题意，故 B 错误；对于选项 C：若 ，满足 ，符合题意，故 C 正确；对于选项 D：因为 ，则 ，不符合题意，故 D 错误.故选 AC . 10.下列说法中正确的是 A. 若，则的最小值为2 B. 若，则的最大值为-2 C. 若，且，则的最大值为 D. 若，则的最小值为2 【答案】BCD 【思路】依据基本不等式的适用条件“一正、二定、三相等”逐一分析各选项的成立前提与取等条件. 【解析】对于 A，，当且仅当 时等号成立，但 ，所以等号取不到，故 A 错误；对于 B，因为 ，所以 ，所以 ，所以 ，当且仅当 时等号成立，所以 的最大值为-2，故 B 正确；对于 C，，当且仅当 时取等号，故 C 正确；对于 D，若 ，则 ，所以 ，当且仅当 时等号成立，故 D 正确.故选 BCD . 11.已知，则下列不等式成立的是 A. B. C. D. 【答案】ABD 【思路】运用不等式性质、作差比较法、基本不等式展开法及指数函数底数分类讨论逐项分析. 【解析】因为 ，所以 ，即 ，故 A 正确；因为 ，所以 ，即 ，故 B 正确；因为 ，不能确定指数函数 是增函数，即 不一定成立，故 C 错误；因为 ，所以 ，当且仅当 时取等号，即 ，故 D 正确.故选 ABD . 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.表示有限集合中元素的个数，已知，，，则＿＿＿＿＿＿. 【答案】17 【思路】直接利用两集合容斥原理公式 求解. 【解析】. 13.若实数和的等差中项为 1，则的最小值为＿＿＿＿＿＿. 【答案】2 【思路】由等差中项得，再利用柯西不等式或均值不等式求解二次和的最值. 【解析】若实数 和 的等差中项为 1，则 ，，即 ，即 ，当且仅当 取等号，故 的最小值为 2 . 14.不等式的解集是＿＿＿＿＿＿. 【答案】 【思路】移项通分将分式不等式化为整式不等式组求解，注意分母非零的限制. 【解析】不等式 ，即 ，化简得 ，等价于 解得 ，所以不等式 的解集为 . 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.（13分）已知，且的解集为. （1）当，求函数的解析式； （2）若关于的不等式对一切实数恒成立，求实数的取值范围. 【答案】（1）；（2）. 【思路】第（1）问由解集特征设出两根式方程，代入特殊点求出参数；第（2）问利用指数单调性将不等式恒成立转化为二次式恒成立问题，注意分类讨论二次项系数是否为零. 【解析】（1）由 的解集为 可知 且 . 2分 则 ， 4分 ∴ . 5分 （2） 的解集为 . 7分 当 时，不等式为 ，恒成立，满足题意； 9分 当 时，由 解得 . 12分 综上，实数 的取值范围为 . 13分 16.（15分）已知函数的定义域为，关于的不等式的解集为. （1）若时，求； （2）若是的充分条件，求实数的取值范围. 【答案】（1）；（2）. 【思路】第（1）问分别求解函数定义域与二次不等式解集，再求补集与交集；第（2）问根据充分条件转化为集合包含关系，对二次不等式解集的端点进行讨论并结合集合的断点确定参数范围. 【解析】（1）由 解得 且 ， 所以集合 . 2分 由 ， 当 时，不等式为 ，即集合 ， 4分 又 ， 所以 . 7分 （2）因为 是 的充分条件，所以 是 的子集，又 ， 当 时，，满足题意； 9分 当 时，，所以 或 得 ； 12分 当 时，，所以 得 . 14分 综上，实数 的取值范围为 . 15分 17.（15分）若集合满足：，且，则称互为对偶集. 已知函数，定义. （1）当时，证明：； （2）证明：存在，使得无论取何值，与均互为对偶集； （3）若，求的取值范围. 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）. 【思路】第（1）问求导验证函数的单调性，利用单调性导出集合的包含关系；第（2）问利用对称中心思想计算确定常数，再结合对偶集的定义严密证明；第（3）问将集合条件转化为充要条件，由连续性得出并确定，再根据导数与极限性质分类讨论确定参数的范围. 【解析】（1）当 时，， 则 ， 2分 因此 在 上单调递减. 而 时，，有 ，则 ，故 . 4分 （2）证明：， 6分 取 ，下证 与 均互为对偶集， ，则 ，即 ， 由定义知 . 同理可知，. 8分 故当 时， 与 均互为对偶集. 9分 （3）解：由 可知 的充分必要条件为 ， 若 ，又 ，由于 的图象在 上连续不断， 故 ，使得 ，则与 矛盾； 若 ，则 满足 ，与 矛盾. 因此 ，所以 . 11分 若 ，则 ，不符合题意，舍去. 13分 若 ，则 在 上恒成立， 此时 在 上单调递增，又 ，故此时 的解集为 ，符合题意. 14分 综上： 的取值范围为 . 15分 18.（17分）已知. 设集合，集合. 若集合中的元素，满足，则称为的“相邻元”. 对于整数，若集合存在一个子集满足：（ⅰ）集合中的元素个数为；（ⅱ），在集合中都至少有个“相邻元”，则称是“好数”. （1）当时，直接写出的“相邻元”； （2）当时，求证：是“好数”； （3）当时，若整数满足，且，求证：是“好数”. 【答案】（1）；（2）证明见解析；（3）证明见解析. 【思路】第（1）问直接按相邻元定义计算距离为1的向量；第（2）问构造子集，通过补集思想与坐标限制，证明集合中的每个元素在中至少存在8个相邻元；第（3）问将集合按照给定的指标位置分为若干不相交子集，再通过构造集合并严格论证交集性质与相邻元个数下界. 【解析】（1） 的“相邻元”为：，， . 3分 （2）因为 ，所以 . 设 ，显然 中每一个元素恰有 9 个“相邻元”. 5分 设 ，构造 ，则集合 中的元素个数为 . 7分 对集合 中的任意元素 ，在集合 中至多存在一个 ， 满足 ，从而 在集合 中至少有 8 个“相邻元”， 所以 是“好数”. 9分 （3）设 ，. ①当 时，集合 中的每一个元素均有 2025 个“相邻元”. 设 ，则 中含有 个元素. 设 ，. 则 中含有 个元素，. 并且 两两交集为空集. 11分 设 ，则 共有： 个元素. 13分 ②对于 ，有 在每一个 中，至多有一个“相邻元”. 设 ，，且均是 的“相邻元”. 由于 ，则 与 不同元素在前 位，且后 位相同，即 后 位相同. 设 与 不同位置为 ，即 ； 与 不同位置为 ，即 . 当 相同时，又 中与 差为 1 的只有一个数，则 . 当 时，， 或 . 所以 在每一个 中，至多有一个“相邻元”. 15分 ③ 不能在 中均有“相邻元”，. 元素中第 都是 中元素. 中第 都是 中元素. 故 中至少有 3 个元素属于不同的 和 . 所以不存在 均是 的“相邻元”. 由①②③知 在 中至少有 2024 个“相邻元”，故： 是“好数”. 17分 19.（17分）给定正整数，数集满足对于任意，都存在，使得. （1）若，且，求； （2）证明：对于任意，都有； （3）若，且，求数集中所有元素的和.（用含有的式子表示） 【答案】（1）；（2）证明见解析；（3）当时，和为；当时，和为. 【思路】第（1）问直接列出所有元素差的绝对值，代入方程求解；第（2）问用反证法，假设存在位于两侧的元素，推导出最大跨度矛盾；第（3）问对与分类讨论，利用归纳递推证明元素的等差规律，进而求和. 【解析】（1）对于 或 或 时命题显然成立， 又 ，解得 或 1 或 3， 结合题意可得 . 3分 （2）当 时，命题显然成立. 当 时，若 既不是 中最大的元素，也不是 中最小的元素， 不妨设 为 中的最大元素， 为 中最小的元素， 则 且 ，，等号成立当且仅当 ， 故 矛盾！ 6分 故 为 中的最大元素或最小元素. 若 为最大元素，则 ，有 ，故 ， 同理可得，若 为最小元素有 ，. 命题得证. 8分 （3）若 ，，故 是 中最小元素， 下证 成等差数列. 因为 ，故 成立时 ， 所以有 ，所以 成等差数列. 10分 若 ，对于 成立， ，即 ， 故 成立时，. 而 中，两个元素的最大差值为 ， ，故 ， 即 ，从而有 . 从而 ，对于 成立. 故 时， 中元素之和为 . 13分 当 时， 为最大元素，同理可证 为等差数列， 其中 ，故此时 中元素之和为 . 16分 综上所述，当 时， 中元素之和为 ；当 时， 中元素之和为 . 17分 1 集合与常用逻辑用语、不等式 方法总结 1. 求解集合的交、并、补集运算时，先将集合中的不等式或方程化为最简形式，涉及连续数集问题充分利用数轴直观确定端点开闭与取舍.（第1、2、8、9题） 2. 判断充分条件与必要条件时，优先将条件转化为对应的解集，利用集合间的包含关系（“小范围推大范围”）判定充要性；对否定性结论通过构造反例快速突破.（第3、4、5、16题） 3. 应用基本不等式求最值时，必须严格验证“一正、二定、三相等”三个前提条件.若乘积或和不为定值，常用“常数代换法（乘1法）”配凑定值.（第7、10、11、13题） 4. 解含参数的一元二次不等式及恒成立问题时，需先观察二次项系数是否含参（讨论二次项系数是否为0），再结合判别式 与根的分布进行分类讨论.（第15、16题） 5. 解决集合新定义抽象问题时，需准确提炼新定义的本质特征（如对偶性、相邻元距离、最大跨度等），运用反证法、数学归纳法及极值分析进行严密论证.（第17、18、19题） 第 2 页，共 17 页 学科网（北京）股份有限公司 $