必刷小题1 集合、常用逻辑用语、不等式-2027届高三数学一轮复习

**基本信息** 聚焦集合、常用逻辑用语、不等式三大模块，通过高考真题与模拟题构建“概念-运算-应用”逻辑链，强化运算能力与推理意识，契合高考基础送分与综合应用命题趋势。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |集合|单选1,3/多选11|交并补运算、子集个数、Descartes积新定义|以不等式解集为工具，联结集合基本运算与新定义理解，培养抽象能力| |常用逻辑用语|单选2,4/填空12|全称特称命题否定、充要条件判定|通过具体问题强化命题逻辑，建立条件关系判定框架，发展推理意识| |不等式|单选5-8/多选9,10/填空13,14|一元二次不等式解法、基本不等式求最值、恒成立参数范围|贯穿集合运算与逻辑判定，形成“解法-应用-拓展”链条，提升运算能力与模型意识|

第一章集合、常用逻辑用语、不等式 必刷小题1　集合、常用逻辑用语、不等式 [分值：73分] 【高考考向预测】 近三年高考中集合为必考5分基础单选题，多结合不等式考查交并补运算，考频稳居首位；常用逻辑用语考查频次较高，以充分必要条件判定为主，辅以全称特称命题否定；不等式渗透面广，一元二次不等式为解题基础，基本不等式高频用于求最值，线性规划大幅弱化。预测2027 年高考预计延续稳中求新命题风格，集合仍稳居卷首送分位置，融合各类不等式解集运算；常用逻辑用语将更多结合函数、几何等知识综合设题；不等式侧重考查最值求解与恒成立参数范围问题，强化实际应用，弱化偏题旧题型，整体依旧以基础题型为主，侧重运算与逻辑思维考查。 一、单项选择题(每小题5分，共40分) 1.(2024·新课标Ⅰ卷)已知集合A={x|-5<x3<5}，B={-3，-1，0，2，3}，则A∩B等于(　　) A.{-1，0} B.{2，3} C.{-3，-1，0} D.{-1，0，2} 【答案】A 【解析】因为A={x|-<x<}， B={-3，-1，0，2，3}， 且1<<2，-2<-<-1， 所以A∩B={-1，0}. 2.(2025·长治模拟)命题“∀x>0，x2-3x+2>0”的否定是(　　) A.∀x>0，x2-3x+2≤0 B.∀x≤0，x2-3x+2≤0 C.∃x>0，x2-3x+2≤0 D.∃x≤0，x2-3x+2≤0 【答案】C 【解析】命题“∀x>0，x2-3x+2>0”的否定是“∃x>0，x2-3x+2≤0”. 3.(2025·武汉模拟)已知集合P=，则P的真子集个数为(　　) A.7 B.8 C.15 D.16 【答案】A 【解析】由 解得1<x<2或2<x≤5， 所以P=={3，4，5}， 所以P的真子集个数为23-1=7. 4.“a=2”是“直线l1：2ax+4y+3=0与直线l2：(a-1)2x+y-5=0平行”的(　　) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】若l1∥l2，则2a-4(a-1)2=0，解得a=2或a=，经检验，当a=2或a=时，l1∥l2， 所以由a=2可以得到l1∥l2，反之则不然， 故“a=2”是“l1∥l2”的充分不必要条件. 5.(2026·重庆模拟)已知关于x的不等式(m+1)x2-mx+m-1>0的解集为R，则实数m的取值范围是(　　) A. B. C. D. 【答案】A 【解析】关于x的不等式(m+1)x2-mx+m-1>0的解集为R， 当m+1=0，即m=-1时，解得x>2，显然解集不为R，故舍去；当m+1≠0，即m≠-1时， 解得m>， 综上可得实数m的取值范围为. 6.已知a2+b2=ab+4，则a+b的最大值为(　　) A.2 B.4 C.8 D.2 【答案】B 【解析】a2+b2=ab+4，则有(a+b)2=3ab+4≤+4， 可得(a+b)2≤16，即a+b≤4，当且仅当a=b=2时，等号成立.所以a+b的最大值为4. 7.已知关于x的一元二次不等式x2-(m+1)x+2m-1<0的解集为{x|x1<x<x2}，其中x1<x2，且实数x1，x2满足+<1，则实数m的取值范围是(　　) A.(2，+∞) B.(-∞，2) C.∪(2，+∞) D.∪(5，+∞) 【答案】D 【解析】由不等式的解集可得，方程x2-(m+1)x+2m-1=0的根为x1，x2， 可得x1+x2=m+1，x1x2=2m-1， 由Δ=(m+1)2-4(2m-1)>0，得m>5或m<1， 由+==<1，得<0， 即(m-2)(2m-1)>0，解得m>2或m<， 综上，实数m的取值范围是∪(5，+∞). 8.(2025·乌鲁木齐模拟)已知x>0，y>0，且不等式x(x+1)2+y(y+1)2-(m2-2m)xy≥0恒成立，则m的取值不可能是(　　) A.-4 B.-2 C.2 D.4 【答案】A 【解析】由x>0，y>0，且x(x+1)2+y(y+1)2-(m2-2m)xy≥0得，m2-2m≤+=+， ∵≥ ， ∴+≥==(x+y)++4 ≥2+4=8(当且仅当x=y=1时取等号)， ∴m2-2m≤8，解得-2≤m≤4， 结合选项知，m的取值不可能是-4. 二、多项选择题(每小题6分，共18分) 9.(2020·新高考全国Ⅰ卷)已知a>0，b>0，且a+b=1，则(　　) A.a2+b2≥ B.2a-b> C.log2a+log2b≥-2 D.+≤ 【答案】ABD 【解析】因为a>0，b>0，a+b=1， 所以a+b≥2， 当且仅当a=b=时，等号成立，即有ab≤. 对于A，a2+b2=(a+b)2-2ab=1-2ab≥1-2×=，故A正确； 对于B，2a-b=22a-1=×22a， 因为a>0，所以22a>1，即2a-b>，故B正确； 对于C，log2a+log2b=log2(ab)≤log2=-2，故C错误； 对于D，由(+)2=a+b+2=1+2≤2，得+≤，故D正确. 10.(2026·临沂模拟)已知关于x的一元二次不等式ax2+bx+c≥0的解集为{x|x≤-2或x≥1}，则(　　) A.b>0且c<0 B.4a+2b+c=0 C.不等式bx+c>0的解集为{x|x>2} D.不等式cx2-bx+a<0的解集为 【答案】AC 【解析】由题意可知⇒所以b>0且c<0，4a+2b+c=4a+2a-2a=4a>0，故A正确，B错误； 不等式bx+c>0，即ax-2a=a(x-2)>0，又a>0，所以x>2，故C正确； 不等式cx2-bx+a<0，即-2ax2-ax+a=-a(2x-1)(x+1)<0，又a>0， 所以(2x-1)(x+1)>0，解得x>或x<-1，故D错误. 11.(2025·北京模拟)对于数集A，B，它们的Descartes积A×B={(x，y)|x∈A，y∈B}，则下列选项正确的是(　　) A.A×B=B×A B.若A⊆C，则(A×B)⊆(C×B) C.A×(B∩C)=(A×B)∩(A×C) D.集合{0}×R表示y轴所在直线 【答案】BCD 【解析】A×B={(x，y)|x∈A，y∈B}，B×A={(x，y)|x∈B，y∈A}，故A×B≠B×A，A错误； 若A⊆C，则对于A×B和C×B，点集中来自集合A的横坐标值一定在集合C中，且纵坐标值都来自集合B，则(A×B)⊆(C×B)，B正确； A×(B∩C)={(x，y)|x∈A，y∈(B∩C)}， (A×B)∩(A×C)={(x，y)|x∈A，y∈B}∩{(x，y)|x∈A，y∈C}={(x，y)|x∈A，y∈(B∩C)}， 则A×(B∩C)=(A×B)∩(A×C)，C正确； 集合{0}×R表示横坐标为0的点集，即为y轴所在直线，D正确. 三、填空题(每小题5分，共15分) 12.已知命题p：∃x∈R，x2+2mx+3≤0，请写出一个满足“p为假命题”的整数m的值：　　　　.  【答案】-1(答案不唯一) 【解析】由命题p：∃x∈R，x2+2mx+3≤0为假命题， 则∀x∈R，x2+2mx+3>0恒成立， 得Δ=4m2-4×3<0，解得-<m<， 所以整数m的值可为-1，0，1. 13.已知集合A={x|log2x<m}，B=，若“x∈A”是“x∈B”的充分不必要条件，则实数m的取值范围是　　　　　　.  【答案】(-∞，2] 【解析】由log2x<m⇒0<x<2m， 所以A=(0，2m)； 由≤1⇒-1≤0⇒≤0⇒≤0⇒x<4，所以B=(-∞，4). 因为“x∈A”是“x∈B”的充分不必要条件，所以A⊆B且A≠B. 所以2m≤4⇒m≤2. 14.若正实数a，b满足a+b+2=ab，则a+b-2的最小值为　　　　；+的最小值是　　　　.  【答案】2　2 【解析】由a+b+2=ab，得a=>0，所以b>1，同理可得a>1，所以b-1>0，a-1>0. 因为a+b+2=ab，所以(a-1)(b-1)=3， 所以a+b-2=(a-1)+(b-1) ≥2=2，当且仅当a-1=b-1，即a=b=1+时取等号. 又b-1=，所以+=b-1+≥2=2，当且仅当b-1=，即b=+1，a=时，等号成立. 第 1 页 共 5 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第一章集合、常用逻辑用语、不等式 必刷小题1　集合、常用逻辑用语、不等式 [分值：73分] 【高考考向预测】 近三年高考中集合为必考5分基础单选题，多结合不等式考查交并补运算，考频稳居首位；常用逻辑用语考查频次较高，以充分必要条件判定为主，辅以全称特称命题否定；不等式渗透面广，一元二次不等式为解题基础，基本不等式高频用于求最值，线性规划大幅弱化。预测2027 年高考预计延续稳中求新命题风格，集合仍稳居卷首送分位置，融合各类不等式解集运算；常用逻辑用语将更多结合函数、几何等知识综合设题；不等式侧重考查最值求解与恒成立参数范围问题，强化实际应用，弱化偏题旧题型，整体依旧以基础题型为主，侧重运算与逻辑思维考查。 一、单项选择题(每小题5分，共40分) 1.(2024·新课标Ⅰ卷)已知集合A={x|-5<x3<5}，B={-3，-1，0，2，3}，则A∩B等于(　　) A.{-1，0} B.{2，3} C.{-3，-1，0} D.{-1，0，2} 2.(2025·长治模拟)命题“∀x>0，x2-3x+2>0”的否定是(　　) A.∀x>0，x2-3x+2≤0 B.∀x≤0，x2-3x+2≤0 C.∃x>0，x2-3x+2≤0 D.∃x≤0，x2-3x+2≤0 3.(2025·武汉模拟)已知集合P=，则P的真子集个数为(　　) A.7 B.8 C.15 D.16 4.“a=2”是“直线l1：2ax+4y+3=0与直线l2：(a-1)2x+y-5=0平行”的(　　) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 5.(2026·重庆模拟)已知关于x的不等式(m+1)x2-mx+m-1>0的解集为R，则实数m的取值范围是(　　) A. B. C. D. 6.已知a2+b2=ab+4，则a+b的最大值为(　　) A.2 B.4 C.8 D.2 7.已知关于x的一元二次不等式x2-(m+1)x+2m-1<0的解集为{x|x1<x<x2}，其中x1<x2，且实数x1，x2满足+<1，则实数m的取值范围是(　　) A.(2，+∞) B.(-∞，2) C.∪(2，+∞) D.∪(5，+∞) 8.(2025·乌鲁木齐模拟)已知x>0，y>0，且不等式x(x+1)2+y(y+1)2-(m2-2m)xy≥0恒成立，则m的取值不可能是(　　) A.-4 B.-2 C.2 D.4 二、多项选择题(每小题6分，共18分) 9.(2020·新高考全国Ⅰ卷)已知a>0，b>0，且a+b=1，则(　　) A.a2+b2≥ B.2a-b> C.log2a+log2b≥-2 D.+≤ 10.(2026·临沂模拟)已知关于x的一元二次不等式ax2+bx+c≥0的解集为{x|x≤-2或x≥1}，则(　　) A.b>0且c<0 B.4a+2b+c=0 C.不等式bx+c>0的解集为{x|x>2} D.不等式cx2-bx+a<0的解集为 11.(2025·北京模拟)对于数集A，B，它们的Descartes积A×B={(x，y)|x∈A，y∈B}，则下列选项正确的是(　　) A.A×B=B×A B.若A⊆C，则(A×B)⊆(C×B) C.A×(B∩C)=(A×B)∩(A×C) D.集合{0}×R表示y轴所在直线 三、填空题(每小题5分，共15分) 12.已知命题p：∃x∈R，x2+2mx+3≤0，请写出一个满足“p为假命题”的整数m的值：　　　　.  13.已知集合A={x|log2x<m}，B=，若“x∈A”是“x∈B”的充分不必要条件，则实数m的取值范围是　　　　　　.  14.若正实数a，b满足a+b+2=ab，则a+b-2的最小值为　　　　；+的最小值是　　　　.  第 1 页 共 5 页 学科网（北京）股份有限公司 $