精品解析：湖南株洲市第一中学2026-2027学年高三上学期入学质量检测数学试卷

2026年下期高三入学质量检测 数学 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 数据1，2，4，5，7，9的第60百分位数为（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 3. 复数在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 4. 平面向量，，则与的夹角为（ ） A. B. C. D. 5. 设等比数列的前项和为，若，，则（ ） A. B. C. D. 6. 已知是函数的极小值点，则（ ） A. B. C. D. 7. 已知正方体的8个顶点都在球的球面上，且过，，三点的平面截球所得截面面积为，则球的体积为（ ） A. B. C. D. 8. 从如图所示的方格表中随机选4个方格，要求每行和每列均恰有一个方格被选中，则事件“选中方格中的4个数之和为”的概率为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 在棱长为1的正方体中，为棱的中点，为棱上一点（含端点），则（ ） A. 平面 B. 直线可能相交于同一点 C. 平面与平面可能平行 D. 正方体表面上满足的动点的轨迹长度为 10. 设函数的定义域为，定义，．若为奇函数，为偶函数，则下列说法正确的是（ ） A. B. 的解析式为 C. 在区间上单调递增 D. 的最大值为 11. 设为双曲线：（，）的左焦点，经过原点且斜率大于的直线交于，两点，与轴垂直，，则（ ） A. B. 双曲线的渐近线方程为 C. 双曲线的离心率为 D. 直线的斜率为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知，则的展开式中的系数为__________________． 13. 求值：___________． 14. 已知三个内角的对边依次成等比数列，且，，点为线段（不含端点）上的动点．设为常数，若满足的点恰好有2个，则实数的取值范围为______． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 在中，角、、所对的边分别为、、，且满足：. （1）求角的大小； （2）若，，角的角平分线交于点，求的长度. 16. 如图，在四棱锥中，，，，平面 ，． （1）求证：； （2）若，且二面角的大小为， （i）求直线与平面 所成角的大小； （ii）求 的长． 17. 某科技公司正在研发一款新型量子计算芯片，该芯片的制造与测试流程分为三个关键阶段：量子比特制备（第1阶段）、量子纠缠校准（第2阶段）和逻辑门操作验证（第3阶段）．测试人员必须按顺序完成各阶段测试，且每个阶段的测试次数不限，只有当前阶段测试通过后才能进入下一阶段．一旦通过第3阶段测试，即视为芯片合格并结束整个测试流程．已知某工程师进行测试时，第1、2、3阶段单次测试通过的概率分别为，，，且每次测试相互独立．记事件为“该工程师第次测试后芯片合格”． （1）求，； （2）记“第次测试后恰好通过量子纠缠校准测试”为事件，记“第至次进行逻辑门操作验证测试没有通过且第次通过”为事件，求，并求的表达式； （3）比较与的大小． 18. 已知双曲线，过点的直线与的上、下两支分别交于点，． （1）若点是上的动点，求的最小值； （2）设为坐标原点，直线，的斜率分别为，， （i）若，求直线的方程； （ii）求的取值范围． 19. 已知函数． （1）当时，求在处的切线方程； （2）若函数存在单调递增区间，求实数的取值范围； （3）若，，对任意的，恒成立，求的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年下期高三入学质量检测 数学 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】不等式解得，则， 又，所以. 2. 数据1，2，4，5，7，9的第60百分位数为（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 【答案】B 【解析】 【详解】易知共6个数据，且， 因此第60百分位数取第四个数即可，即为5. 3. 复数在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意得到复数在复平面内对应的点位于第四象限，即可求解. 【详解】因为在复平面内对应的点为，位于第四象限， 所以复数在复平面内对应的点位于第四象限. 故选：D. 4. 平面向量，，则与的夹角为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】求出向量与的坐标，利用夹角公式求解即可. 【详解】因为，， 所以，， 设与的夹角为，则， 所以， 所以. 5. 设等比数列的前项和为，若，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，结合等比数列的前项和的性质即可求解. 【详解】已知等比数列的前项和为，设等比数列的公比为， 根据等比数列的前项和的性质，，，，等构成一个公比为的等比数列， 已知，，则，所以， 所以，即， ，即， 因此，故C正确. 6. 已知是函数的极小值点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由极小值点算出的值，举特殊值计算可判断ABC；代入计算可判断D. 【详解】由题， 令，解得， 因为是极小值点， 所以当时，是极小值点，是极大值点成立， 当时，是极大值点，是极小值点，舍去， 所以， 对于A，， 所以，故A不正确； 对于B，令，则， 所以，故B不正确； 对于C，令，， 所以，故C不正确； 对于D，， ， 所以，故D正确. 7. 已知正方体的8个顶点都在球的球面上，且过，，三点的平面截球所得截面面积为，则球的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】设截面圆半径为，由截面面积，解得， 设正方体棱长为，由正方体棱长关系可得， 即是等边三角形，由正弦定理可得其外接圆半径， 故，解得， 设正方体外接球半径为，则其直径等于正方体对角线，即 ，解得， 球的体积为． 8. 从如图所示的方格表中随机选4个方格，要求每行和每列均恰有一个方格被选中，则事件“选中方格中的4个数之和为”的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由分步计数原理可得符合题目要求的选取4个方格的情况数，随后找到“选中方格中的4个数之和为”的情况数，据此可得答案. 【详解】从第一行选出一个方格，有4种选法，再从剩下的3行中选取一个与第一个方格不同列的方格，有3种选法， 然后从剩下2行中选取1个与前2个方格不同列的方格，有2种选法，最后剩下一种， 则符合要求的选取4个方格的情况数为种. 又由题可得当“选中方格中的4个数之和为”时，方格中的数字只能为， 则从第三行选定后， 若第一行选取第一个0，则第二行只能选取第4个0，第四行只能选取第3个0； 若第一行选取第三个0，则第二行只能选取第1个0，第四行只能选取第4个0； 若第一行选取第四个0，则第二行只能选取第1个0，第四行只能选取第3个0. 综上“选中方格中的4个数之和为”的情况数为3，则对应概率为. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 在棱长为1的正方体中，为棱的中点，为棱上一点（含端点），则（ ） A. 平面 B. 直线可能相交于同一点 C. 平面与平面可能平行 D. 正方体表面上满足的动点的轨迹长度为 【答案】BD 【解析】 【分析】对于A，易证平面平面，故不平行于平面，故A错误； 对于B，直线，直线与的交点即为点，故B正确； 对于C，建立空间直角坐标系，求出平面的法向量为，若平面与平面平行， 则，事实上，故平面与平面不可能平行. 对于D，由题意得，平面，进而得到动点的轨迹即可求解. 【详解】 对于A，连接，易证平面平面，平面， 故不平行于平面，故A错误； 对于B，连接，并延长交的延长线于点，连接交于点，故B正确； 对于C，如图：建立空间直角坐标系，则， ，， 设平面的法向量为，则， 即，取，则. 若平面与平面平行，则， 而，，显然不成立， 故平面与平面不可能平行，C错误； 选项D ，由得，，即， 而平面，所以点的轨迹为矩形的四条边， 所以动点的轨迹长度为，故D正确. 故选：BD 10. 设函数的定义域为，定义，．若为奇函数，为偶函数，则下列说法正确的是（ ） A. B. 的解析式为 C. 在区间上单调递增 D. 的最大值为 【答案】BD 【解析】 【分析】结合已知条件利用函数的奇偶性求出函数的解析式，再根据二次函数的性质分析各项即可求解. 【详解】因为 为奇函数， 为偶函数， 所以 ①， ② ， 联立①②可得 ，选项 B 正确； 则 ，选项 A 错误； 结合二次函数性质可得 在 上单调递增，在 上单调递减， 故在区间在 上不单调，选项C错误； 结合二次函数性质可得，当 时，函数取得最大值 ，选项 D 正确． 11. 设为双曲线：（，）的左焦点，经过原点且斜率大于的直线交于，两点，与轴垂直，，则（ ） A. B. 双曲线的渐近线方程为 C. 双曲线的离心率为 D. 直线的斜率为 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于A，联立与双曲线方程，求解后即可判断；对于B，设双曲线的右焦点为，连接,由题意可得为等腰直角三角形，从而得，整理可得，即可判断；对于C，结合B可求得，求出离心率即可判断；对于D，求得，即可判断. 【详解】对于A，由，得或， 所以，故A正确； 对于B，设双曲线的右焦点为，连接， 因为关于原点对称，也关于原点对称， 所以四边形为平行四边形， 且， 所以为等腰直角三角形， 所以， 即，， 所以， 整理得， 所以， 所以， 所以双曲线的渐近线方程为，故B错误； 对于C，由B可知， 所以， 所以， 所以， 所以双曲线的离心率，故C正确； 对于D，因为， 即直线的斜率为，故D正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知，则的展开式中的系数为__________________． 【答案】 【解析】 【详解】∵，∴，即， 则的展开式， 令，则，∴， ∴的展开式中的系数为. 13. 求值：___________． 【答案】 【解析】 【详解】 . 14. 已知三个内角的对边依次成等比数列，且，，点为线段（不含端点）上的动点．设为常数，若满足的点恰好有2个，则实数的取值范围为______． 【答案】 【解析】 【分析】先找出A，C和B的关系，列出方程求出B，再求出三角形各边长.建立平面直角坐标系，列出各点坐标，列出关于x的方程求解即可. 【详解】因为三边成等比数列，，故， 由正弦定理得，即， 又，，， 所以， 整理得，所以， 又，， 所以，整理得， 解得​（舍去负根），又，故， 所以， 又，所以，所以，即， 所以是边长为2的等边三角形,建立坐标系如图所示， 设，动点.则， 则， 因为，所以，记， 因为满足条件的点恰好有2个，所以， 解得或， 所以t的取值范围是. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 在中，角、、所对的边分别为、、，且满足：. （1）求角的大小； （2）若，，角的角平分线交于点，求的长度. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由已知结合正弦定理及余弦定理可求进而可求； （2）根据，利用三角形的面积公式结合角平分线可求解. 【小问1详解】 由正弦定理可得：， 则. 由余弦定理，得, 所以， 故， 又， ∴. 【小问2详解】 由 可得， 则. 16. 如图，在四棱锥中，，，，平面 ，． （1）求证：； （2）若，且二面角的大小为， （i）求直线与平面 所成角的大小； （ii）求 的长． 【答案】（1）因为平面 ，平面 ，所以， 又因为，，，所以, 所以,所以， 又，平面，所以平面， 因为平面，所以. （2）（i）；（ii） 【解析】 【分析】（1）通过证明平面来证得. （2）（i）先判断为直线与平面 所成角的平面角，进而计算出线面角的大小. （ii）作出二面角的平面角，由此列方程求得的长. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 （i）因为平面 ， 由线面角的定义知，为直线与平面 所成角的平面角． 又因为，故线面所成角的大小为； （ii）因为平面 ，平面 ， 所以，又，平面，所以平面． 过 作垂线，垂足为 ， 又，平面，所以平面． 过 作垂线，垂足为 ，则为二面角的平面角． 故， 因为，所以，故， 所以，又，， 解得． 17. 某科技公司正在研发一款新型量子计算芯片，该芯片的制造与测试流程分为三个关键阶段：量子比特制备（第1阶段）、量子纠缠校准（第2阶段）和逻辑门操作验证（第3阶段）．测试人员必须按顺序完成各阶段测试，且每个阶段的测试次数不限，只有当前阶段测试通过后才能进入下一阶段．一旦通过第3阶段测试，即视为芯片合格并结束整个测试流程．已知某工程师进行测试时，第1、2、3阶段单次测试通过的概率分别为，，，且每次测试相互独立．记事件为“该工程师第次测试后芯片合格”． （1）求，； （2）记“第次测试后恰好通过量子纠缠校准测试”为事件，记“第至次进行逻辑门操作验证测试没有通过且第次通过”为事件，求，并求的表达式； （3）比较与的大小． 【答案】（1）， （2），， （3）当，3，4时，，当时，． 【解析】 【分析】（1）利用独立事件乘法公式和互斥事件加法公式，计算和的概率。 （2）利用组合计数原理与独立事件乘法公式求、，结合全概率公式与错位相减法推导的表达式. （3）结合条件概率公式转化问题，通过构造数列判断单调性，最后比较两个条件概率的大小. 【小问1详解】 依题意，， 事件发生分两种情况，当测试失败的情况发生在第三阶段概率为， 由于前两个测试失败的概率相同，所以当测试失败的情况发生在前两个阶段概率为， 所以． 【小问2详解】 先求事件的概率， 第次测试后恰好通过量子纠缠校准测试，表示首次通过第一阶段的测试发生在第次（）， 且首次通过第二阶段的测试发生在第次，对所有可能的求和得到. 求事件发生分两步： 第一步，第次测试后恰好通过量子纠缠校准测试，概率为， 第二步，第次至次进行逻辑门操作验证测试没有通过，第次通过，概率为 ； 由全概率公式得，， 设，则， 两式相减得，， 所以，所以． 【小问3详解】 依题意，，又因为，， 所以， 令，则，因为， 所以，故数列在时递增， 又，，故当，3，4时，， 故，当时，，故． 18. 已知双曲线，过点的直线与的上、下两支分别交于点，． （1）若点是上的动点，求的最小值； （2）设为坐标原点，直线，的斜率分别为，， （i）若，求直线的方程； （ii）求的取值范围． 【答案】（1） （2）（i）；（ii）． 【解析】 【分析】（1）利用两点间的距离公式，结合配方法，可求的最小值. （2）设直线：，与双曲线方程联立，利用韦达定理，表示出，，进而用表示出， （i）根据，求出，可得直线的方程； （ii）利用的取值范围，可确定的取值范围. 【小问1详解】 设，则， 所以， 即当时，. 【小问2详解】 如图： 设与联立，有， 由，得， 设，，则，， 得， 则， （i）当时，，直线的方程为； （ii）因为直线，存在斜率，所以， 故， 所以， 即的取值范围． 19. 已知函数． （1）当时，求在处的切线方程； （2）若函数存在单调递增区间，求实数的取值范围； （3）若，，对任意的，恒成立，求的最小值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）先求函数的导数，再计算与，最后用点斜式得切线方程. （2）由无单调递增区间得恒成立，转化为恒成立，求最小值得取值范围. （3）先确定单调性得，再根据，令，推出与关系，求最小值得的最小值. 【小问1详解】 当时，，故， 所以，又因为， 所以切线方程是． 【小问2详解】 由题意得， 若不存在单调增区间，则恒成立（*）， 即恒成立，令，， 所以，当时，当时， 所以在递减，在递增， 所以，所以， （经检验当时，（*）式成立）， 因此函数存在单调递增区间，可知； 可知所求实数的取值范围是. 【小问3详解】 由（2）知，，令， 所以，即在上单调递减， 又因为，， 所以必存在正数，使得， 故， 由（2）知，当时，，当时，，当时，， 由上知，在上单调递增，在上单调递减， 所以，所以， 即， 令， 因为， 所以当时，单调递减，时，单调递增， 所以， 因此的最小值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $