湖南省株洲市2026-2027学年高三上学期开学学情数学自测卷（人教版A)

**基本信息** 高三开学学情自测卷，以基础巩固与能力提升为梯度，通过集合、函数等基础题与摩天轮高度函数、竞赛成绩统计等情境题，考查数学抽象、运算推理及数据应用能力。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|11题58分|集合、函数、三角、数列、立体几何|基础概念辨析，如函数定义域、数列求和，多选结合正方体模型考查空间线面关系| |填空题|3题15分|等差数列、圆的切线、函数最值|开放探究与运算结合，如圆的切线方程开放性设问，函数零点问题渗透逻辑推理| |解答题|5题77分|三角函数应用、统计、立体几何、椭圆、导数|情境真实且综合，摩天轮高度建模体现数学眼光，竞赛成绩数据分析强化数据意识，导数极值问题考查批判性思维|

湖南省株洲市2026-2027学年高三上学期开学学情自测卷 数学试题（解析版） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B D C B D A B B AC ABD 题号 11 答案 BC 1．B 【分析】先求得集合，再由集合交集的概念与运算，即可求解. 【详解】由集合， 因为，可得. 2．D 【详解】选项A，由的定义域为，所以，即函数值域为，故A错误； 选项B，由的定义域为，所以， 所以函数值域为：，故B错误； 选项C，由的定义域为，此时函数值域为，故C错误； 选项D，由的定义域为，此时， 所以函数值域为，故D正确. 3．C 【分析】设，分，，三种情况去掉绝对值符号得到的解析式及值域，即可得解. 【详解】设，. 所以当时，； 当时，； 当时，. 所以当时，的最小值为3， 故选：C 4．B 【分析】由求的范围，然后解不等式可得. 【详解】因为函数的定义域为，即，所以， 由解得，所以函数的定义域为. 故选：B 5．D 【分析】利用两角和与差的正弦公式即可得到答案. 【详解】 ， 所以， 所以. 故选：D. 6．A 【分析】由设，可得的值，进而可求得的值，结合余弦定理可得，由可求得，即可求得结果. 【详解】由题意知，设，则，如图所示， 由可得， 整理得，即， 又因为，所以， 所以，所以， 在中，由余弦定理得，所以， 由是边上的中线，得 . 所以，中线长. 故选：A 7．B 【分析】利用等差数列的性质可求数列前30项和. 【详解】设此数列前30项和为，则， 故选：B. 8．B 【分析】由题意，利用两角和与差的正弦公式可求得，再利用二倍角公式即可求得. 【详解】因为， 则，即， 所以， 则. 故选：B. 9．AC 【分析】设交于，利用线面平行的判定定理可判断A，由题可得进而可判断BD，利用线面垂直的判定定理可得平面，进而可判断C. 【详解】连接交于，连接，则为的中点， 所以，， 又M为中点，，， 所以，， 所以四边形为平行四边形， 所以，又平面，平面， 所以平面，故A正确； 因为，与平面相交且不垂直， 所以与平面不平行且不垂直，故BD错误； 由题可知平面，平面， 所以，由题可知， 又平面，平面， 所以平面，又， 所以平面，故C正确. 故选：AC. 10．ABD 【分析】应用二倍角公式计算判断A,B选项，根据两角和差公式计算判断C,D选项. 【详解】对于A： ，A正确； 对于B：，B正确； 对于C: ，C错误； 对于D: 正确，D正确. 故选：ABD. 11．BC 【分析】当均落在该正方体的一条体对角线上且这两个小球相切，同时这两个小球均与正方体的三个面相切时，小球的半径取得最大值，进而可得正方体的棱长为4.对于A，连接，证得平面，点作，则平面，则即为点到平面的距离，计算即可；对于B，连接，则为与底面所成的角，计算即可；对于C，因为，所以异面直线与所成的角为与所成的角（或其补角），以为原点建立坐标系，根据向量求解判断即可；对于D，四棱锥外接球的球心为线段的中点，求得外接球半径，根据球的表面积公式计算即可. 【详解】设这两个小球的球心为， 当均落在该正方体的一条体对角线上且这两个小球相切，同时这两个小球均与正方体的三个面相切时，小球的半径取得最大值， 设半径的最大值为，则该正方体的体对角线为， 所以该正方体的棱长为4. 对于A，连接，设，在正方体中，平面，， 因为平面，所以， 因为，平面， 所以平面， 过点作，则平面， 因为，所以点到平面的距离为，故A错误； 对于B，连接，则为与底面所成的角， 且，故B正确；    对于C，因为，所以异面直线与所成的角为与所成的角（或其补角）， 以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立平面直角坐标系，如图所示：    则，则， 所以异面直线与所成的角小于，故C正确； 对于D，四棱锥外接球的球心为线段的中点， 则四棱锥外接球的半径为， 则四棱锥外接球的表面积为，故D错误. 故选：BC 12．5 【分析】由题目给出的已知条件，直接代入等差数列的通项公式求公差即可. 【详解】在等差数列中，， 所以公差. 故答案为：5. 13．（或或，任写一条即可，答案不唯一） 【分析】求出两圆圆心和半径，两圆圆心距以及两圆心所在直线方程即可得两圆公切线情况，再结合直线垂直关系以及两平行直线距离公式即可求公切线方程. 【详解】圆的圆心为，半径为， 圆的圆心为，半径为， 两圆心距为，故两圆外切， 两圆圆心所在直线的方程为，即，中点为， 切线垂直于直线，且经过中点，所以切线的方程为； 切线平行于直线，且到直线的距离为， 设平行于直线切线方程为， 则或， 所以切线的方程分别为.    故答案为：（或或，任写一条即可，答案不唯一）. 14． 【分析】根据题意转化为时，恒成立，结合与圆相切时，利用点到直线的距离公式和导数，求得的最小值为，即可求解. 【详解】由题意，函数， 因为的最小值为，即，即表示圆及其外部的部分， 又因为命题成立，即时，恒成立， 当直线与圆相切时， 可得 设，可得， 当时，，单调递减； 当时，，单调递增， 所以当时，取得最小值，最小值为， 可得的最小值为，所以的最大值为， 所以的最小值为，所以， 即实数的取值范围是. 故答案为：. 15．(1)； (2)10分钟． 【分析】（1）由中心点到地面距离得值，由摩天轮半径得值，由周期求得，再由初始值求得得表达式； （2）解不等式后可得． 【详解】（1）中心点距地面60m，则，摩天轮的半径为50m，即，，， 最低点到地面距离为10 m， 所以，，又，则， 所以所求表达式为； （2），， 取一个周期内，有，，． 所以在摩天轮转动一圈内，点有10分钟的时间距离地面超过85m． 16．(1)76分 (2) (3)平均数，方差21 【分析】（1）先根据“第 1 组的频数的平方为第 2 组和第 4 组频数的积”，得“第 1 组的频率的平方为第 2 组和第 4 组频率的积”求，，求该组数据的第70百分位数即可. （2）根据古典概型求概率. （3）根据平均数与方程的概念求新数据的平均数与方程. 【详解】（1）由第1组的频数的平方为第2组和第4组频数的积可知， 第1组的频率的平方为第2组和第4组频率的积， 所以，解得 ， 又 ，解得， 所以， 成绩落在 内的频率为：，落在内的频率为： ， 设第70百分位数为，则，解得 ， 所以晋级分数线划76较为合理. （2）由图可知， 按分层抽样法， 两层应分别抽取 4 人和 2人， 分别记为 和 ， 则所有的抽样有： ， 共 15 个样本点， "抽到的两位同学来自不同小组"，则 ， 共 8 个样本点， 所以 ． （3）因为 ， 所以， 所以 ， 所以 ， 剔除其中的 和 86两个分数， 设剩余 8 个数为 ，，平均数与标准差分别为 ，则剩余 8 个分数的平均数： 方差：. 17．(1)因为平面，平面，，， 所以 取的中点，连接，，因为为的中点， 所以，所以， 所以四边形为平行四边形，所以 因为，为的中点，所以， 因为平面，平面，所以， 因为，所以平面， 因为，所以平面. (2)； (3). 【分析】（1）由已知可证，取的中点，，所以，再由，证明，平面，进而可证明平面； （2），求出两个三棱锥的体积即可求解. （3）建立空间直角坐标系，写出四点的坐标，求出平面的一个法向量，平面的法向量，利用向量夹角公式即可求解. 【详解】（1）略 （2）， 由（1）知，平面， ， 所以 （3）如图建立空间直角坐标系，则 ，，， 设平面的一个法向量为， ，， 由，令，则，， 所以 因为平面，所以平面的法向量， 所以， 因为， 所以平面与平面所成的锐二面角为. 【点睛】方法点睛：求二面角的方法总结 （1）定义法：分别在两个半平面内向棱作垂线，垂足为同一点，求两线的夹角 （2）垂面法：作垂直于棱的一个垂面，这个平面与两个半平面分别有一个交线，这两个交线所成的角； （3）三垂线法：过一个半平面内的一点作另一个半平面的一条垂线，过垂足作棱的垂线，记垂足为，连接，则即为二面角的平面角； （4）向量法：求两个半平面法向量夹角的即为二面角的平面角或二面角平面角的补角. 18．(1) (2)2 (3) 【分析】（1）利用题设条件列出的方程组，求解即得椭圆方程； （2）由条件推得为矩形，设，利用椭圆的定义得，再由勾股定理得，联立求出，从而可求的平行四边形的面积； （3）设，则，依题意求出的方程，联立求得点的坐标，由点Q在椭圆E上，解方程即可求得点P坐标. 【详解】（1）由题意，当P点在长轴端点时，取，则 ①， 当P点在短轴端点时，取，则 ②， 由②得，故代入①，可得，， 故椭圆E的标准方程为. （2） 如图1，若四边形为平行四边形，又，则，即为矩形， 设，则，又，则， 于是，故平行四边形的面积为. （3） 如图2，设，则，且， 因且，故，则； 因，则因，故，则. 由联立解得：， 因点Q在椭圆E上，则得，将代入化简得：， 解得，，即点P坐标为. 19．(1) (2) (3) 【分析】（1）由题意，将，代入的解析式，对进行求导，得到和的值，代入切线方程中即可求解； （2）将代入的解析式，，对进行求导，将既存在极大值，又存在极小值转化成必有两个不等的实数根，利用导数得到的单调性和极值，进而即可求解； （3）将代入的解析式，对进行求导，利用导数分析的极值，将恒成立转化成，构造函数，利用导数分类讨论求解即可. 【详解】（1）函数的定义域为， 当，时，， 则，故，又， 所以曲线在点处的切线方程为，即. （2）当时，，定义域为， 所以， 因为既存在极大值，又存在极小值， 所以必有两个不等的实数根， 当时，不符合题意， 故，令，解得或且 所以且， 当时，， 当时，，单调递增； 当时，，单调递减； 当时，，单调递增； 所以函数分别在，时取到极大值和极小值，满足题意， 当时，， 当时，，单调递增； 当时，，单调递减； 当时，，单调递增； 所以函数分别在，时取到极大值和极小值，满足题意， 综上，的取值范围为. （3）由（2）知，或， 所以， ， 由题意，得对任意的恒成立， 因为当时，在上单调递减， 所以，故， 所以，且，则. 令，其中， 所以， 令，则， 当，即时，，在上单调递增， 所以，即，符合题意， 当，即时，设方程的两根分别为，， 则，，不妨设， 当时，，在上单调递减， 所以当时，，即，不合题意， 综上所述，的取值范围为. 【点睛】关键点点睛：本题（3）关键是将恒成立转化成，构造函数，利用导数分类讨论求解即可 学科网（北京）股份有限公司 $ 湖南省株洲市2026-2027学年高三上学期开学学情自测卷 数学试题 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题（本大题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．如果集合，，那么（    ） A． B． C． D． 2．下列函数中，值域为的是（    ） A． B． C． D． 3．已知，则的最小值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 4．已知函数的定义域为，则函数的定义域是（    ） A． B． C． D． 5．已知，满足，，则值为（    ） A． B． C． D． 6．在中，角、、的对边分别为、、，若，，的平分线的长为，则边上的中线的长等于（    ） A． B． C． D． 7．在等差数列中，若，则此数列前30项和等于（     ） A．810 B．840 C．870 D．900 8．已知，则（    ） A． B． C． D． 二、选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，至少有两项符合题目要求，若全部选对得6分，部分选对得部分分，选错或不选得0分） 9．正方体中，M为中点，O为中点，以下说法正确的是（    ） A．平面 B．平面 C．平面 D．平面 10．下列选项正确的是（    ） A． B． C． D． 11．若正方体内放入两个半径相等的小球，且小球半径的最大值为，为棱上一点，且，则（    ） A．点到平面的距离为 B．与底面所成角的正切值为 C．异面直线与所成的角小于 D．四棱锥外接球的表面积为 三、填空题（本大题共3个小题，每小题5分，共15分） 12．在等差数列中，，则公差__________. 13．写出与圆和圆都相切的一条直线方程________. 14．设函数，设的最小值为M，若至少有一个零点，且命题成立，则的取值范围是__________． 四、解答题（本大题共5个小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15．如图，摩天轮上一点距离地面的高度关于时间的函数表达式为，，已知摩天轮的半径为50m，其中心点距地面60m，摩天轮以每30分钟转一圈的方式做匀速转动，而点的起始位置在摩天轮的最低点处. (1)根据条件具体写出关于的函数表达式； (2)在摩天轮转动一圈内，点有多长时间距离地面超过85m？ 16．某中学举行了一次“数学文化知识竞赛”，为了了解本次竞赛成绩情况，从中抽取了部分学生的成绩 作为样本进行统计． 将成绩进行整理后，分为五组 ， ，，， ，其中第一组的频数的平方为第二组和第四组频数的乘积.请根据下面的频率分布直方图，解决以下问题． (1)若根据这次成绩，学校准备淘汰 70% 的同学，仅保留 30% 的同学进入下一轮竞赛，请问晋级分数线划为多少合理？(四舍五入精确到 1 分) (2)从样本数据在 两个小组内的同学中，用分层抽样的方法抽取 6 名同学，再从这 6 名同学中随机选出 2 人，求选出的两人恰好来自不同小组的概率； (3)某老师在此次竞赛成绩中抽取了 10 名同学的分数： ，已知这 10 个分数的平均数 ． 方差 ，若剔除其中的最高分 98 和最低分 86，求剩余 8 个分数的平均数与方差． 17．如图，在多面体中，平面，平面.，，，为的中点. (1)求证：平面； (2)求该多面体的体积； (3)求平面与平面所成的锐二面角的大小. 18．椭圆的左、右焦点分别为，点P为椭圆E上动点．当P点在长轴端点时， ；当P点在短轴端点时，．过作直线的垂线，过作直线的垂线，直线的交点为Q． (1)求椭圆E的标准方程； (2)若四边形为平行四边形，求平行四边形的面积； (3)若点P在第一象限，点Q在椭圆E上，求点P坐标． 19．已知函数. (1)当，时，求曲线在点处的切线方程； (2)当时，既存在极大值，又存在极小值，求的取值范围； (3)当，时，，分别为的极大值点和极小值点，且，求实数的取值范围. . 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $