四川遂宁荣兴东辰学校2025-2026学年高二下学期期中考试数学试题

**基本信息** 高二（下）期中数学试卷以“节约粮食”“遂宁旅游景点”“中国诗词大会”等真实情境为载体，融合导数、概率、排列组合等知识，考查数学眼光观察现实、思维逻辑推理及语言表达能力，梯度设计合理。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8/40|导数运算、排列组合（题2）、函数极值（题5）|结合“节约粮食”考组合（题2），导函数图像分析单调性（题3）| |多选题|3/18|二项式定理（题9）、条件概率（题10）|二项式系数与系数和辨析（题9），甲袋取球入乙袋考全概率（题10）| |填空题|3/15|分布列（题12）、二项式系数（题13）|校友群发红包概率递推（题14），体现实际应用| |解答题|5/77|导数应用（17、19）、概率分布（16）、诗词大会情境概率（18）|诗词大会考条件概率与得分期望（18），导数单调性与极值点证明（19）|

高2027届期中考试 数学试题答案 1．【答案】C【详解】，选项A错误； ，选项C正确；，选项B错误； ，选项D错误. 2．【答案】B【详解】解：由题意可知，分三步完成： 第一步，从2种主食中任选一种有2种选法；第二步，从3种素菜中任选一种有3种选法； 第三步，从6种荤菜中任选一种有6种选法， 根据分步计数原理，共有不同的选取方法， 3．【答案】D【详解】A，因时，，则在上单调递减，故A正确； B，因时，，则在上单调递增，故B正确； C，由图可得在上单调递减，在上单调递增，故为极小值点，故C正确； D，由图可得在上单调递增，则不为极值点，故D错误. 故选：D 4.【答案】A【详解】至少有1个白球为2个白球或1个白球， 所以至少有1个白球的取法数为. 5.【答案】C【详解】. 因为函数在处取得极大值，故，解得或， 当时，， 且仅在处为零，导函数不变号，函数在上单调递减，不是极值点，舍去； 当时，， 当时，当时， 故函数在处取得极大值，符合题意. 6.【答案】A【详解】抛掷两枚质地均匀的骰子，共有种情形， 其中事件“至少出现一个6点”的情况数为种，可得， 又由事件“两个点数不相同”，可得，所以， 由条件概率的公式，可得. 7.【答案】D【详解】令，则，则， 令，则，当时，当时， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以，又当时，当时， 所以的图象如下所示： 依题意与有两个交点，则，则. 8.答案：C 9．【答案】CD【详解】对于A选项，因为的次数为5，故展开式共有6项，故A错误； 对于B选项，二项式展开式的通项公式为，，1，2，3，4，5，令，可得第三项为，B不正确； 对于C选项，令可得所有项的系数和为0，故C正确； 对于D选项，所有项的二项式系数和为，故D正确. 10.【答案】AC【详解】由题意得：，， 故，A正确；，，D错误； ，， 故，B错误； ，C正确. 11.【答案】ACD【详解】对于A：函数的定义域为，又因为， 当时，，单调递增，当时，，单调递减， 所以在取到最大值，且， 又因为当时，，当时，，故有唯一零点，故A正确； 对于B：函数的定义域为，又因为， 所以当时，，单调递增， 当时，，单调递减，所以在取到最大值，且， 又因为当时，，当时，， 所以若方程有两个实数解，则，故B错误； 对于C：若对任意恒成立，分情况讨论： 当时，左边，不等式成立； 当时，，不等式变形为， 令，则， 当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 所以在处取得最大值，最大值为，故； 当时，，不等式变形为， 令，求导同， 所以当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 所以在处取得最小值，最小值为，故，综上，，故C正确； 对于D：因为， 令，所以在上恒成立，故， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增，所以的最大值在或上取得，因为， 而，故，故D正确. 12.【答案】【详解】因为，所以，解得， 故或. 13.【答案】4【详解】项系数为，解得． 14．【答案】 【详解】设第n次发出红包的人是乙为事件，，则，且， 因为，， 由全概率公式可得， 即，可得， 且，可知数列是以首项为，公比为的等比数列， 则，所以， 15【答案】(1)(2)【详解】（1）第3项与第项的二项式系数之和为， 即，解得或，又，所以. （2）由（1）得，则的通项公式为，所以， 所以当时，，当时，， 所以从中任取两个相乘，积为负数的概率为. 16【答案】（1）由题意，前两次摸出的球均为黑球的概率； （2）由题意，可取，则， ， ， ， 所以的分布列为 . 17【答案】（1）函数，定义域为， 若，则， （i）， 所以曲线在点处的切线方程为，即. （ii）令，得，所以的单调递增区间为； 令，得，所以的单调递减区间为. （2）（方法一）若恒成立，则，即恒成立. 设，则， 当时，在上单调递增， 当时，在上单调递减， 所以， 则，即，所以的取值范围为. （方法二）设，则. 令，得，令，得， 则，得． 18【答案】（1）（i）已知，则. 在知道诗句的情况下一定答对，即；在不知道诗句的情况下答对的概率. 根据全概率公式，将上述概率值代入可得： . （ii）计算在小王答对第一组题的情况下，他知道该诗句的概率 根据贝叶斯公式. 由前面计算可知，，，代入可得：. （2）设事件为“小王答对第二组题中的第题”（）. 已知小王知道第题诗句的概率为，不知道该诗句的情况下答对的概率为. 则； ； . 因为获得分及以上则挑战成功，所以有以下几种情况： 答对第、题，答错第题，其概率为. 答对第、题，答错第题，其概率为. 答对第、、题，其概率为. 因为这几种情况互斥，所以小王挑战成功的概率为： . 19【答案】（1）函数的定义域为，. 因为函数在区间单调递减，所以. 则，化简得.解得. （2）（i）由题意，的定义域为，， 因为有两个极值点， 所以方程即在上有两不等实根， 即函数在上有两不同零点， 因此只需，解得，即实数的取值范围是； （ii）由（i）知，，，， 所以 ， 因此要证，即证，即证， 构造函数，，则， 又在上为减函数，所以在上单调递减， 又，， 由函数零点存在性定理可得，，使得，即，即； 所以当时，，则单调递增； 当时，，则单调递减； 所以， 又在上显然单调递增， 所以， 所以，即，故. ( 第 1 页 共 8 页 ) 学科网（北京）股份有限公司 $ 高2027届高二（下）期中考试 数学试题 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．下列求导数运算正确的是（    ） A． B． C． D． 2．为响应国家“节约粮食”的号召，某同学决定在某食堂提供的2种主食、3种素菜、6种荤菜中选取一种主食、一种素菜、一种荤菜作为今日伙食，并在用餐时积极践行“光盘行动”，则不同的选取方法有（    ） A．48种 B．36种 C．24种 D．12种 3．已知函数，其导函数的部分图象如图，则对于函数的描述错误的是（    ） A．在上单调递减 B．在上单调递增 C．为极值点 D．为极值点 4.口袋中装有4个白球和5个红球，每个球编有不同的号码，从中取出2个球，则至少有1个白球的取法数为（   ） A．26 B．30 C．32 D．52 5.已知函数在处取得极大值，则的值为（    ） A． B．或1 C．1 D．-1或2 6.抛掷两枚质地均匀的骰子，记事件为“两个点数不相同”，为“至少出现一个6点”，则（   ） A． B． C． D． 7.若函数（是自然对数的底数）有两个零点，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 8.遂宁东辰新闻节目组依次录制遂宁市7个旅游景点：灵泉寺、广德寺、龙凤古镇、大英死海、沱牌产业园、蓬溪红海、观音湖的宣传视频，要求灵泉寺和广德寺不相邻，灵泉寺和观音湖相邻，且龙凤古镇不排在首和尾，不同排列种数为（ ） A． B． C． D． 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．在的展开式中，下列说法正确的是（    ） A．一共有5项 B．第3项为 C．所有项的系数和为0 D．所有项的二项式系数和为32 10.甲袋中有5个红球，2个白球和3个黑球，乙袋中有4个红球，3个白球和3个黑球．先从甲袋中随机取出一球放入乙袋，分别以表示由甲袋取出的球是红球，白球，黑球的事件；再从乙袋中随机取出一球，以B表示由乙袋取出的球是红球的事件，则下列结论中正确的是（    ） A． B． C． D． 11.已知函数，则下列选项正确的有（    ） A．函数有唯一零点 B．若方程有两个实数解，则实数的取值范围为 C．若对任意恒成立，则实数的取值范围为 D．记，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.设随机变量的分布列为，则或__________. 13.已知的展开式中，项的系数为，则________. 14．2026年春节，甲，乙等5个人在一个遂宁东辰校友微信群里发红包（每次发的红包只有1个人能抢到）．甲先发了一个红包，规定抢到红包的人必须立即再发一个新红包，且自己不能领，群里另外4个人等可能地领到．记第n次发出红包的人是乙的概率为．则______，______． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15(13分)已知的展开式中第3项与第项的二项式系数之和为30. （1）求的值； （2）记，从中任取两个相乘，求积为负数的概率. 16（15分）在一个不透明的箱子里有8个大小相同的小球，其中5个黑球，3个红球.从中不放回地依次摸出3个小球. （1）求前两次摸出的球均为黑球的概率； （2）记表示摸出的小球中红球的数量，求的分布列及其数学期望. 17（15分）已知函数. （1）设. （i）求曲线在点处的切线方程； （ii）求的单调区间. （2）若恒成立，求的取值范围. 18（17分）在中国诗词大会的比赛中，选手需要回答两组题展示自己的诗词储备. （1）第一组题是情境共答题，参与比赛者需根据情境填写诗句.小王知道该诗句的概率是，且小王在不知道该诗句的情况下，答对的概率是.记事件A为“小王答对第一组题”，事件B为“小王知道该诗句”. （i）求小王答对第一组题的概率； （ii）在小王答对第一组题的情况下，求他知道该诗句的概率. （2）小王答对第一组题后开始答第二组题.第二组题为画中有诗，该环节共有三道题，每一题答题相互独立，但难度逐级上升，小王知道第n题的诗句的概率仍为，但是在不知道该诗句的情况下，答对的概率为，已知每一题答对的得分表如下（答错得分为0）： 题号 第1题 第2题 第3题 得分 2分 4分 6分 若获得8分及以上则挑战成功，求小王挑战成功的概率. 19（17分）已知 （1）若函数在区间单调递减，求实数的取值范围； （2）若函数有两个极值点， （i）求实数的取值范围； （ii）证明：. ( 第 1 页 试卷 共 4 页 ) 学科网（北京）股份有限公司 $