精品解析： 四川省射洪中学校2024-2025学年高二下学期5月期中数学试题

射洪中学高2023级高二下学期半期考试 数学试题 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1.本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2.回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.写在本试卷上无效. 3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 一、选择题：（本题共8小题共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 函数的单调递增区间为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】求出函数的导函数，再解关于导函数的不等式，即可得解. 【详解】函数的定义域为，又， 令，解得，所以的单调递增区间为. 故选：D 2. 等差数列的公差为2，且，则（ ） A. 12 B. 14 C. 16 D. 18 【答案】C 【解析】 【分析】根据等差数列通项公式，即可求解. 【详解】由条件可知，等差数列的公差， 则. 故选：C 3. 已知函数在处取得极大值6，则（ ） A. B. 8 C. D. 12 【答案】C 【解析】 【分析】先求函数的导数，把极值点代入导数则可等于0，再把极值点代入原函数则可得到极值，解方程组即可得到，从而验证，即可求解的值. 【详解】因为，所以， 所以，解得， 当时，， 当或时，，当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增， 因此是的极大值点，故，所以. 故选：C 4. 若函数在上为增函数，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】求出函数的导函数，依题意在上恒成立，即在上恒成立，求出，即可得解. 【详解】因为，则， 因为函数在上为增函数， 所以在上恒成立，所以在上恒成立， 即在上恒成立，又， 所以，解得，即的取值范围为. 故选：A 5. 已知为数列的前n项和，且，，则的值为（ ） A. 1009 B. 1010 C. 1011 D. 1012 【答案】D 【解析】 【分析】先根据递推关系求出即可发现数列的周期，再利用周期性计算即可. 【详解】由题意可得，，，， 则数列是以为一个周期的周期数列，且， 因， 所以. 故选：D 6. 四人相约到射洪新时代电影院观看电影《哪吒2》，恰好买到了四张连号的电影票.若甲、乙两人必须坐在丙的同一侧，则不同的坐法种数为（ ） A. 12 B. 16 C. 20 D. 24 【答案】B 【解析】 【分析】利用分类加法原理，可得答案. 【详解】将四张连号的电影票由左到右标号为， 若丙在或号，则情况数为；若丙在或号，则情况数为. 所以不同的坐法种数为. 故选：B. 7. 若函数在区间上不单调，则实数m的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意转化为导数在上有变号零点，列出不等式求解. 【详解】函数，其定义域为， 对求导得， 令，可得. 当时，，单调递减； 当时，，，单调递增. 因为函数在区间上不单调，所以， 所以的取值范围是， 故选：A. 8. 程大位（1533-1606）是明代珠算发明家，徽州人.他所编撰的《直指算法统宗》是最早记载珠算开平方、开立方方法的古算书之一，它完成了计算由筹算向珠算的转变，使算盘成为主要的计算工具.算盘其形长方，周为木框，内贯直柱，俗称“档”.现有一种算盘（如图1）共三档，自右向左分别表示个位、十位和百位，档中横以梁，梁上一珠，下拨一珠记作数字5：梁下五珠，上拨一珠记作数字1.例如：图2中算盘表示整数506.如果拨动图1中算盘的3枚算珠，则可以表示不同的三位整数中能被3整除的个数为（ ） A. 5 B. 7 C. 15 D. 26 【答案】B 【解析】 【分析】分“百位”拨动3枚算珠、“百位”拨动2枚算珠、“百位”拨动1枚算珠三种情况罗列出可表示的数据即可得解. 【详解】由题“百位”拨动3枚算珠可以表示的不同的三位整数有：300、700； “百位”拨动2枚算珠可以表示的不同的三位整数有：210、250、201、205，610、650、601、605； “百位”拨动1枚算珠可以表示的不同的三位整数有：120、102、160、106、111、151、115、155； 520、502、506、560、511、551、515、555. 其中能被3整除的三位整数为：300、210、201、120、102、111、555. 所以共有7个. 故选：B. 二、多选题：（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 已知数列满足，，的前n项和为，则（ ） A. B. 是等比数列 C. D. 【答案】AB 【解析】 【分析】由递推数列以及首项，可得A的正误；对递推公式两边同时加一，根据等比数列的定义，可得B的正误；根据等比数列的通项公式，可得C的正误；根据等比数列的求和公式以及分组求和，可得D的正误. 【详解】对于A，由，则，故A正确； 对于B，由，则，故B正确； 对于C，由B可知数列是以为公比，以为首项的等比数列，则，即，故C错误； 对于D，，故D错误. 故选：AB. 10. 下列说法正确的是（ ） A. 可表示为 B. 若把英文“hello”的字母顺序写错了，则可能出现的错误共有59种 C. 若3个男生与2个女生排成一排，男、女生都相间的排列种数12 D. 不等式的解集为 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据排列数公式，以及相间问题的排列数的应用问题，即可判断. 【详解】A.根据排列数的定义可知，可表示为，故A正确； B. 若把英文“hello”的字母顺序写错了，可能的错误共有种，故B正确； C. 若3个男生与2个女生排成一排，男、女生都相间的排列种数种方法，故C正确； D. 不等式，则，即， 即，得， 且满足，解得， 综上可知，，故D错误. 故选：ABC 11. 对于三次函数，给出定义：是函数的导数，是函数的导数，若方程有实数解，则称为函数的“拐点”.某同学经探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心，若函数，则下列说法正确的是（ ） A. 当时，函数拐点处的切线方程为 B. 当时，函数在区间内存在最小值，则的取值范围是 C. 若经过点可以向曲线作三条切线，则的取值范围是 D. 对任意实数，直线与曲线有唯一公共点 【答案】AD 【解析】 【分析】求出函数的二阶导数，求出拐点处的横坐标，再由导数的几何意义求出切线方程，即可判断A，利用导数说明函数的单调性，求出函数的极小值点，即可得到不等式组，从而判断B，设切点为，利用导数的几何意义表示出切线方程，得到，再转化为交点问题，即可判断C，联立直线与曲线方程，消元，即可判断D. 【详解】对于A：当时，，则，， 令，解得， 又，，所以函数拐点处的切线方程为，即，故A正确； 对于B：当时，则， 所以当时，当或时， 所以在上单调递减，在，上单调递增， 所以在处取得极小值，又， 要使函数在区间内存在最小值， 所以，解得， 即的取值范围是，故B错误； 对于C：因为，则， 设切点为，则， 所以切线方程为， 又切线过点，所以， 整理得， 令，则， 所以当时，当或时， 所以在上单调递增，在，上单调递减， 所以在处取得极小值，在处取得极大值，又，， 因为经过点可以向曲线作三条切线，即与有三个交点， 所以，即的取值范围是，故C错误； 对于D：由，可得， 即， 显然在定义域上单调递增， 所以，即对任意实数，直线与曲线有唯一公共点，故D正确. 故选：AD 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 若，则______. 【答案】3 【解析】 【分析】根据组合数的性质求解． 【详解】∵，∴或，解得或（舍）． 故答案为：3． 13. 已知，则______. 【答案】5 【解析】 【分析】求出函数的导函数，再代入计算可得. 【详解】因为，所以，则. 故答案为： 14. 已知函数，若过点的两条互相垂直的直线分别与的图象交于另外的点和，且四边形ABCD为正方形，则这两条直线的斜率之和为________． 【答案】 【解析】 【分析】由则函数的图象关于点中心对称，不妨设直线AC的方程为，由，解得或或，则，同理可得，由，即，即可求解. 【详解】函数的图象关于点中心对称， 不妨设直线AC的方程为， 由，得， 解得或或， 则， 同理可得， 由，得， 即， 即， 即， 令，则这两条直线的斜率之和为． 故答案为： 【点睛】关键点点睛：不妨设直线AC的方程为，由，求出，即可． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知函数. （1）求的图象在点处的切线方程； （2）若，求在区间上的最大值和最小值. 【答案】（1） （2）最大值为，最小值为 【解析】 【分析】（1）求出、的值，利用点斜式可得出所求切线的方程； （2）利用导数分析函数在区间上的单调性，可得出函数在区间上的最大值和最小值. 【小问1详解】 因为，则，所以，， 所以的图象在点处的切线方程为，即. 【小问2详解】 因为，所以， 由可得，由可得， 所以，函数在区间上单调递增，在区间上单调递减， 所以，函数在区间上的最大值为， 因为，，，故. 16. 已知数列中，，为数列的前n项和，． （1）求数列的通项公式； （2）若数列总满足，求数列的前n项和． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】(1)利用,求得; (2)利用裂项相消法，求得. 【小问1详解】 当时，， 所以， 当时，， 由，当时，，符合 综上所述，； 【小问2详解】 ， 则； 故. 17. 已知函数， （1）求函数的单调区间； （2）若对一切的，恒成立，求实数的取值范围． 【答案】（1）单调递增区间为，单调递减区间为 （2） 【解析】 【分析】（1）求导后，利用的正负即可得到函数的单调区间； （2）参变分离，构造函数，然后利用导数求其最大值即可. 【小问1详解】 函数的定义域为， 因为， 所以当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 所以的单调递增区间为，单调递减区间为. 【小问2详解】 因为， 所以对一切的，恒成立， 即恒成立， 可得，即， 令，其中， 则， 则当时，，此时函数单调递增， 当时，，此时函数单调递减， 所以，则，解得， 所以的取值范围为. 18. 已知数列的前n项和为，，，. （1）求证：数列是等差数列； （2）设，的前n项和为； ①求； ②若对任意的正整数n，不等式恒成立，求实数的取值范围. 【答案】（1）证明见解析 （2）①；②. 【解析】 【分析】（1）变形给定的递推公式，利用等差数列定义推理得证. （2）①由（1）求出，进而求出，再利用错位相减法求和；②由①的结论结合已知不等式，分离参数构造新数列，再判断单调性求出最大值即可. 【小问1详解】 由，得，即， 所以是公差为1的等差数列. 【小问2详解】 ①由（1）及已知得，，则， ，于是， 两边同乘以，得， 两式相减得， ，所以. ②不等式 依题意，对任意的恒成立，令， 则， 因此数列为递减数列，则当时，，则， 所以实数的取值范围是. 19. 对于正数a，b，且，定义为a，b的对数平均值，且，我们把上述不等式称为对数平均不等式.人工智能DeepSeek给出了不等式右端的证明：不妨设，则等价于，即证：，令，即证：对一切恒成立.记，则，所以在上单调递增，从而有证毕. （1）请参照以上方法证明：； （2）已知函数. （i）讨论函数的单调性； （ii）若，证明：. 【答案】（1）证明见解析 （2）（i）答案见解析；（ii）证明见解析 【解析】 【分析】（1）不妨设，将所证不等式转化为，令，， 构造，利用导数研究其单调性，即可证明； （2）（i）求出函数的定义域与导函数，分、两种情况讨论，分别求出函数的单调区间；（ii）由（i）求出，把所证不等式分成两部分分别作等价变形，构造函数，利用导数探讨函数的单调性推理作答. 【小问1详解】 不妨设，则等价于， 即，令，，即证， 令，，则，所以函数在上单调递减， 所以，所以，即成立； 【小问2详解】 （i）函数的定义域为，又， 当时恒成立，所以在单调递增； 当时，则当时，所以在上单调递减， 当时，所以在上单调递增； 综上可得，当时，在上单调递增； 当时，在上单调递增，在上单调递减. （ⅱ）因为，由（i）知，且，解得， 设，则，要证，即证，即证， 即证，设， 则，即在上单调递减，有， 即，则成立，因此成立， 要证，即证，即证，即证，即证， 而，即证， 令，则， 设，求导得，即在上单调递增， 则有，即，在上单调递减，而，当时， ，则当时，成立，故有成立， 所以. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 射洪中学高2023级高二下学期半期考试 数学试题 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1.本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2.回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.写在本试卷上无效. 3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 一、选择题：（本题共8小题共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 函数的单调递增区间为（ ） A. B. C. D. 2. 等差数列的公差为2，且，则（ ） A. 12 B. 14 C. 16 D. 18 3. 已知函数在处取得极大值6，则（ ） A. B. 8 C. D. 12 4. 若函数在上为增函数，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 5. 已知为数列的前n项和，且，，则的值为（ ） A. 1009 B. 1010 C. 1011 D. 1012 6. 四人相约到射洪新时代电影院观看电影《哪吒2》，恰好买到了四张连号的电影票.若甲、乙两人必须坐在丙的同一侧，则不同的坐法种数为（ ） A. 12 B. 16 C. 20 D. 24 7. 若函数在区间上不单调，则实数m的取值范围为（ ） A. B. C. D. 8. 程大位（1533-1606）是明代珠算发明家，徽州人.他所编撰的《直指算法统宗》是最早记载珠算开平方、开立方方法的古算书之一，它完成了计算由筹算向珠算的转变，使算盘成为主要的计算工具.算盘其形长方，周为木框，内贯直柱，俗称“档”.现有一种算盘（如图1）共三档，自右向左分别表示个位、十位和百位，档中横以梁，梁上一珠，下拨一珠记作数字5：梁下五珠，上拨一珠记作数字1.例如：图2中算盘表示整数506.如果拨动图1中算盘的3枚算珠，则可以表示不同的三位整数中能被3整除的个数为（ ） A. 5 B. 7 C. 15 D. 26 二、多选题：（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 已知数列满足，，的前n项和为，则（ ） A. B. 是等比数列 C. D. 10. 下列说法正确的是（ ） A. 可表示为 B. 若把英文“hello”的字母顺序写错了，则可能出现的错误共有59种 C. 若3个男生与2个女生排成一排，男、女生都相间的排列种数12 D. 不等式的解集为 11. 对于三次函数，给出定义：是函数的导数，是函数的导数，若方程有实数解，则称为函数的“拐点”.某同学经探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心，若函数，则下列说法正确的是（ ） A. 当时，函数拐点处的切线方程为 B. 当时，函数在区间内存在最小值，则的取值范围是 C. 若经过点可以向曲线作三条切线，则的取值范围是 D. 对任意实数，直线与曲线有唯一公共点 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 若，则______. 13. 已知，则______. 14. 已知函数，若过点的两条互相垂直的直线分别与的图象交于另外的点和，且四边形ABCD为正方形，则这两条直线的斜率之和为________． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知函数. （1）求的图象在点处的切线方程； （2）若，求在区间上的最大值和最小值. 16. 已知数列中，，为数列的前n项和，． （1）求数列的通项公式； （2）若数列总满足，求数列的前n项和． 17. 已知函数， （1）求函数的单调区间； （2）若对一切的，恒成立，求实数的取值范围． 18. 已知数列的前n项和为，，，. （1）求证：数列是等差数列； （2）设，的前n项和为； ①求； ②若对任意的正整数n，不等式恒成立，求实数的取值范围. 19. 对于正数a，b，且，定义为a，b的对数平均值，且，我们把上述不等式称为对数平均不等式.人工智能DeepSeek给出了不等式右端的证明：不妨设，则等价于，即证：，令，即证：对一切恒成立.记，则，所以在上单调递增，从而有证毕. （1）请参照以上方法证明：； （2）已知函数. （i）讨论函数的单调性； （ii）若，证明：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $