银川一中2027届高三年级开学综合模拟检测数学试卷（一）

**基本信息** 2027届高三开学数学模拟卷，以函数、几何、概率统计等核心模块为载体，通过AI检测生产线等创新情境，分层考查数学抽象、逻辑推理与数学建模能力，适配高三开学知识诊断与能力提升需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|8/40|集合、三角函数、立体几何|基础概念辨析，如充要条件判断| |多选题|3/18|向量、正态分布、函数性质|多维度能力考查，如向量夹角与投影| |填空题|3/15|复数、双曲线、正四面体|空间想象与运算，如外接球距离问题| |解答题|5/77|三角函数应用、立体几何、概率统计（AI检测）、导数零点、椭圆综合|创新情境（AI生产线检测）与综合应用（椭圆面积最值），体现数学建模与逻辑推理|

2027届高三年级开学综合模拟检测试卷（一） 数 学 注意事项: 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．设满足，则（　　） A．-1 B．-2 C．1 D．2 2．设、是实数，集合，，若，则的值为（　　） A． B． C． D． 3．已知，是的内角，则“”是“”的（　　） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4．已知中，假如，则的面积为（　　） A． B． C． D． 5．在的三条边上均有3个四等分点，以这9个等分点中的3个等分点为顶点的三角形的个数为（　　） A．75 B．78 C．81 D．84 6．已知圆与直线相交于两点，若为等边三角形，则k的值为（　　） A． B．±2 C． D． 7．已知等比数列的各项均为正数，，是函数的两个极值点，则（　　） A．4052 B．2027 C．2026 D．1013 8．函数的两个极值点，满足，则的最大值为（　　） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9．已知向量，则下列说法正确的是（　　） A．若，则 B．若，则 C．若向量与的夹角为锐角，则 D．若，则向量在上的投影向量的坐标为 10．若，且，，则下列结论正确的是（　　） A． B．的最大值为1 C．若越大，则越大 D．若越大，则的正态密度曲线越“矮胖” 11．已知函数及其导函数的定义域均为，记，若为偶函数且，，则（　　） A． B． C．是奇函数 D． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．若复数（i为虚数单位），则________． 13．已知双曲线的虚轴长是实轴长的3倍，则的离心率为__________. 14．已知正四面体的棱长为，点P为其外接球上的动点，则点P到该正四面体四个面的距离之和的最大值为__________． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分） 设． (1)求函数在区间上的最小值； (2)在中，若且，求的面积． 16．（15分） 如图，在四棱锥中，底面是边长为2的正方形，点M，N分别为BC，PD的中点． (1)证明：平面； (2)若，平面平面，求二面角的正弦值． 17．（15分） “OpenClaw”是一款开源、本地优先、可自行托管的AI智能体执行网关，由一名欧洲开发者在2025年11月发起该项目，2026年1月对项目正式定名.其本质是自主执行型AI助手，可实现数据收集、处理、分析、推理和预测模拟的全过程.某工厂想利用“OpenClaw”通过技能添加实现AI系统模型每天对，，三条生产线的产品缺陷进行在线检测，其检测的准确率分别为，，，且每条生产线的检测结果相互独立. (1)求第一天AI系统检测准确的生产线数量的分布列； (2)若系统对于生产线前一天的缺陷检测准确，则第二天检测准确的概率为，否则准确率为.若系统模型对于生产线的检测准确率不低于0.7，继续用此系统模型进行预测，否则调整检测系统模型，那么预计一个检测系统模型最多可以检测几次就要调整？ 18．（17分） 已知函数. (1)若曲线在点处的切线方程为，求，； (2)若恰有两个零点，求实数的取值范围. 19．（17分） 已知为坐标原点，椭圆：（）的右顶点为，离心率，动点，，过的动直线交椭圆于，两点. (1)求的方程； (2)若，求四边形面积的最大值； (3)设的面积为，若，且斜率不为，试讨论：是否存在定值，使，若存在，求出的值，若不存在，说明理由. 绝密★启用前 数学试题（一） 第1页（共4页） 试卷第4页，共4页 数学试题（一） 第4页（共4页） 学科网（北京）股份有限公司 2027届高三年级开学综合模拟检测试卷（一） 数学参考答案及评分标准 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 A C C D C A A A 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 题号 9 10 11 答案 BD BC AB 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12． 13． 14．8 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．解：（1）由题意得 1分 ， 2分 令，，． 3分 对于，开口向下，对称轴． 4分 由二次函数性质得在对称轴处取最大值；最小值在端点处： 当（即）时：； 5分 当（即）时：． 6分 故最小值为4（当时取得）． 6分 （2）由，设， 7分 则，得到， 8分 而在内无解．或． 9分 若（此时超出三角形内角和，舍去）． ， 10分 由知为等腰三角形，，． 11分 ． 13分 16．解：（1）取的中点为，连接， 1分 又为的中点，则且， 2分 又正方形中，为的中点，则且， 2分 所以且，所以四边形为平行四边形， 3分 故，又因为平面，平面， 4分 所以平面； 4分 （2）取的中点为，的中点为，连接， 5分 因为，所以， 6分 又平面平面，平面平面，平面， 6分 所以平面，又平面，所以， 7分 又四边形为正方形，所以. 7分 以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 因为，，所以， 8分 则， 8分 所以， 10分 设平面的法向量为，则，令，得， 所以平面的一个法向量为. 11分 设平面的法向量为，，令，得， 所以平面的一个法向量为， 12分 所以， 14分 设二面角的大小为，则， 15分 所以二面角的正弦值为． 15分 17．解：（1）由题意可知，随机变量的可能取值为，且三条生产线的检测结果相互独立. 1分 ； 2分 ； 3分 ； 4分 . 5分 因此的分布列如下所示： 6分 X 0 1 2 3 P （2）设为第天生产线检测准确的概率，， 7分 由题意得初始值，当时，递推关系为 ，变形得， 9分 因此数列是首项为，公比为的等比数列. 10分 故通项公式为. 11分 令，即，移项化简得. 13分 当时，，不符合要求， 14分 因此一个检测系统模型最多可以检测3次就要调整. 15分 18．解：（1）函数的定义域是， 2分 因为切线，斜率，所以，得， 3分 所以， 4分 切点在切线上，所以，得. 5分 （2）令，，得，所以 6分 设，则 8分 令，在单调递减， 9分 ， 10分 当时，，单调递增； 当时，，单调递减， 13分 所以在处取得最大值， 14分 ，， 15分 数形结合可得，函数与的图像有两个不同的交点，， 16分 所以方程有两个不同正根 17分 所以恰有两个零点，实数的取值范围是. 17分 19．解：（1）由右顶点为，得．又，所以，从而. 1分 故椭圆的方程为. 2分 （2） 由，设.则. 3分 因为都在椭圆上，所以,. 4分 两式相减，得. 4分 将代入第一式，得.所以. 5分 于是. 5分 由及，得． 6分 因为在轴上，且，所以四边形的面积. 故. 8分 令，则，且. 9分 由基本不等式，.当且仅当，即 时取等号． 10分 因此. 10分 故四边形面积的最大值为. 10分 （3）设，直线的斜率为．由题意，． 11分 由.得. 11分 又因为在椭圆上，所以. 12分 因此即. 12分 直线的方程可设为. 13分 与椭圆方程联立，得 13分 由根与系数的关系，.且. 14分 由，化简得. 15分 因为，所以.上述关于的一元二次方程的判别式为 所以. 16分 又.故,所以 ． 17分 因此.故存在定值，且. 17分 2027届高三年级开学综合模拟检测试卷（一） 数学试题解析部分 1．A 解：依题意，. 2．C 解：因为、是实数，集合，，且， 因为且，若，则，解得， 此时，集合中的元素不满足互异性，不符合题意； 若，即，解得或， 因为，故应舍去，所以，则， 于是有，可得，符合题意. 综上所述，，，故. 3．C 解：因为是的内角，且，所以. 因为在上单调递减，所以，故充分性成立； 反之，在上单调递减，. 若，则，故必要性成立， 所以在中，“”是“”的充要条件. 4．D 解：，因为，所以， 所以． 5．C 解：从9个点中任取3个点共有种方法，当取得的三点在一条直线上时，构不成三角形， 故这样的三角形的个数是. 6．A 解：圆的圆心，半径， 由为等边三角形，得点到直线距离为， 因此。解得，所以的值为. 7．A 解：由题意得，因为是函数的两个极值点，所以， 因为是各项均为正数的等比数列，所以， 所以 8．A 解：函数定义域为， ，令得， 因为函数有两个极值点，则，得， 设，则且，代入，得， 所以， 设，， 设，， 在上恒成立，在单调递增，， 从而，在单调递增，，故的最大值为. 9．BD 解：对于A：由向量，可得， 若，可得，解得，所以A错误； 对于B：由选项A知：，若，可得， 解得，所以B正确； 对于C：若向量与的夹角为锐角，则满足，且向量与不共线， 由，解得， 若与共线，可得，解得， 所以向量与的夹角为锐角，则且，所以C错误； 对于D：当时，可得，则， 则向量在上的投影向量的坐标，所以D正确. 10．BC 解：由可得， 结合，可得； 对于A，正态分布，曲线关于对称， 因此， 由于 ，则，即均值， 在正态分布中，远离均值的右侧概率更小，因此，故A 错误； 对于B，， 当时，取最大值1，故B正确； 对于C，，是关于p的一次函数，该函数为单调递增函数，故C正确； 对于D，当时，单调递增，此时曲线随着p的增大变矮胖， 当时，单调递减，此时曲线随着p的增大变瘦高，故D错误. 11．AB 解：由题可知：，由得，对两边求导得：，即得， 所以关于中心对称，所以，因为为偶函数，所以， 根据关于中心对称得，所以，所以， ，所以A正确，B正确； 对于C，令，其导数为偶函数，且满足，，但是不是奇函数，C错误； 对于D，因为，所以，即， 的周期为8，考虑的前八项，其中，， ， ， 因为可为任意实数，所以不一定为，所以D错误. 12.解：，，， ． 13.解：设双曲线的实半轴长为，虚半轴长为，半焦距为，则实轴长为，虚轴长为． 由题意，，所以 又双曲线中，所以 因为，所以． 故双曲线 的离心率为 14.解：因为正四面体的棱长为，所以正四面体的高，外接球的半径. 由对称性，不妨设点与点分别在平面的异侧，正四面体四个侧面的面积为， 点到平面，平面，平面，平面的距离分别为，，，. 如图所示，有. 根据三棱锥的体积公式，可得， 即. 结合球的性质，当线段恰好为外接球的直径位置时，最大， . 所以. 答案第12页，共13页 数学试题（一）答案 第11页（共11页） 学科网（北京）股份有限公司 $