专题04 绝对值的性质与几何意义的10种热考题型（压轴题专项训练）数学新教材华东师大版七年级上册

**基本信息** 以“性质-几何意义”双主线构建10类热考题型体系，通过通法归纳-题型精讲-压轴挑战三阶设计，实现从概念理解到综合应用的能力迁移。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |通法归纳|1|非负性+符号判断双原则|从代数定义（非负性）到几何意义（距离）构建认知基础| |基础题型（1-5类）|5典例+14变式|非负性应用/绝对值方程解法/数轴化简步骤|由概念直接应用过渡到简单综合，强化运算能力与推理意识| |进阶题型（6-10类）|5典例+16变式|零点分段法/|a|/a化简模型/最值几何意义|通过多绝对值化简、新定义等提升抽象能力与几何直观，培养模型意识| |压轴挑战|17题|分类讨论+数形结合|综合考查知识迁移与问题解决能力，发展创新意识与理性精神|

专题04 绝对值的性质与几何意义的10类热考题型 目 录 通法归纳—明晰核心解法，助力能力迁移 题型精讲—精讲典型题法，夯实解题根基 类型一、利用绝对值的非负性求解 2 类型二、已知一个数的绝对值求这个数 2 类型三、数轴位置型绝对值化简 6 类型四、解绝对值方程 8 类型五、绝对值与代数式运算综合 10 类型六、零点分段法化简绝对值 14 类型七、|a|/ a型绝对值化简 20 类型八、绝对值的最值问题 24 类型九、与绝对值有关的新定义问题 29 类型十、数轴与绝对值综合问题 32 —攻克高难压轴，突破思维上限 通法归纳—明晰核心解法，助力能力迁移 绝对值是有理数章节的核心概念，兼具代数性质与几何意义，是期中期末必考内容。代数上，正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，0 的绝对值是 0；几何上，一个数的绝对值就是数轴上表示这个数的点到原点的距离。本专题归纳 10 类热门题型，由基础概念逐步过渡到化简、方程、最值和综合应用。解题贯穿两条底线原则：一是绝对值具有非负性，任何数的绝对值都大于或等于 0；二是绝对值化简必须先判断绝对值内式子的正负，再去绝对值符号。所有参数结果最终均需检验 题型精讲—精讲典型题法，夯实解题根基 类型一、利用绝对值的非负性求解 典例精讲1（25-26七年级下·湖南衡阳·期末）若，则________． 【答案】2 【详解】解：∵，，， ∴， ∴， 解得：， ∴． 题型归纳 1.特征：题目中出现几个非负数（绝对值、平方、算术平方根）的和等于 0，或绝对值与其他非负数相加等于 0，求字母的值. 2.方法：几个非负数的和为 0，则每一个非负数都必须为 0。据此分别令每个绝对值内的式子等于 0，解方程求出字母的值，再代入计算. 3.易错提醒：误认为和为 0 时只需其中一个为 0；绝对值内是多项式时解方程符号出错；求出字母后忘记代回原式验证 变式训练1（25-26七年级上·河南南阳·阶段检测）若，则的值是________． 【答案】 【分析】根据绝对值与有理数乘方的非负性，求出和的值，再代入所求代数式计算即可． 【详解】解：，，且， ，， 可得：，， 解得：，， 将，代入， 可得： ． 变式训练2（25-26七年级上·四川成都·期末）若有理数满足，则的值为__________． 【答案】 【分析】本题考查非负数的性质，根据平方、绝对值的非负性得出a，b的值，代入计算即可． 【详解】解：由题意知，， ，， ． 故答案为：． 变式训练3（25-26七年级上·江西上饶·期末）已知有理数，请比较两数的大小：_______． 【答案】 【分析】本题考查绝对值的性质和有理数的大小比较，关键是根据绝对值的性质确定、的取值范围．首先利用绝对值的性质，由判断出是非负数，由判断出是非正数，再依据有理数大小比较的规则，即可推出与的大小关系． 【详解】解：∵， ∴； ∵， ∴； ∴． 故答案为：． 类型二、已知一个数的绝对值求这个数 典例精讲2（25-26七年级上·河南平顶山·期末）若，则x的值是_________． 【答案】3或 【分析】本题主要考查了绝对值的意义，根据绝对值的定义，一个数的绝对值表示它到原点的距离，因此方程有两个解． 【详解】解：由绝对值的定义可知，表示x到原点的距离为3， ∴或． 故答案为：3或． 题型归纳 1.特征：已知一个数的绝对值等于某个正数，求这个数；或已知绝对值求原数的取值范围 2.方法：绝对值等于一个正数的数有两个，它们互为相反数；绝对值等于 0 的数只有 0；绝对值不可能等于负数。 3.易错提醒：只写正数解，漏掉负数解；绝对值等于负数时误认为有解；0 的绝对值是 0，不要写成正负 0 变式训练1（25-26七年级上·山东聊城·期末）若，，且，则_____． 【答案】 【分析】本题考查绝对值的性质、有理数的乘方及有理数的加法运算，关键是根据确定与的符号必须相同．先依据绝对值和有理数乘方的定义求出、的所有可能取值，再利用“同号得正”的符号法则筛选出符合的、组合，最后分别计算对应情况下的值． 【详解】解：， 或； ， 或； ， 与同号， 当时，，则； 当时，，则； 故答案为：． 变式训练2（25-26七年级上·浙江杭州·期末）若x的相反数是6，y的绝对值是8，则的值为______． 【答案】2或 【分析】本题考查了有理数的加法，相反数，绝对值，掌握相应的运算法则是关键．根据有理数的加法，相反数，绝对值的运算法则进行计算． 【详解】解：∵x的相反数是6，y的绝对值是8， ∴，， ∴或． 故答案为：或． 变式训练3（25-26七年级上·山东聊城·期末）已知互为相反数，互为倒数，的绝对值是1，则的值为____________． 【答案】 【分析】本题考查了相反数、倒数和绝对值的性质，有理数的混合运算． 根据相反数、倒数和绝对值的性质，得到，，，代入表达式计算． 【详解】解：∵，互为相反数， ∴， ∵，互为倒数， ∴， ∵， ∴即， 原式． 故答案为：． 变式训练4（25-26七年级上·重庆巴南·期末）若是最大的负整数，，则的值为________． 【答案】或4 【分析】本题考查了有理数的加减，绝对值的化简，代数式求值．根据题意得，，分别代入，计算即可求解． 【详解】解：∵是最大的负整数， ∴， ∵， ∴， 当时，， 当时，， 故答案为：或4． 类型三、数轴位置型绝对值化简 典例精讲3（25-26七年级上·湖北武汉·期末）、、三个有理数在数轴上对应点的位置如图所示，化简式子：（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了绝对值的化简，整式的加减运算，掌握数轴上点的符号化简绝对值，整式的加减运算法则是关键． 根据题意得到，根据整式的加减运算求解即可． 【详解】解：根据题意，，且， ， ． 故选：C． 题型归纳 1.特征：给出数轴上若干字母的位置，要求化简含这些字母的绝对值式子，是期中必考基础题 2.方法：根据数轴上点的位置判断每个绝对值内式子的正负（右边的数大，左边的数小）；正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数；去掉绝对值符号后合并同类项 3.易错提醒：判断正负时只看单个字母不看整体式子；负数去绝对值时只变第一项符号，漏变其他项；去绝对值后括号处理不当导致符号错误 变式训练1（25-26七年级上·陕西宝鸡·期末）已知a，b两数表示在数轴上的位置如图所示，则化简的结果是（    ） A． B．2 C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了数轴、绝对值的化简、整式的加减，根据数轴正确判断式子的正负是解题的关键． 由数轴得，，得到，，，再根据绝对值的性质化简即可． 【详解】解：由数轴得，， ∴，，， ∴ ． 故选：B． 变式训练2（25-26七年级上·江苏无锡·期末）对于有理数a，b，定义一种新运算“”，规定：．例如，．当有理数a，b在数轴上的位置如图所示时，化简得______． 【答案】 【分析】易得，化简绝对值即可． 【详解】解：由数轴可知：， ∴， ∴． 变式训练3（25-26七年级上·安徽合肥·期末）有理数在数轴上的位置如图所示，则化简的结果为__________． 【答案】 【分析】本题考查了化简绝对值，整式的加减计算，关键是熟练应用运算法则进行化简；根据代数式的正负进行绝对值的化简后进行整式的加减即可． 【详解】解：由数轴可知：且， ∴，，， ∴原式    ， 故答案为：． 类型四、解绝对值方程 典例精讲4（25-26七年级上·江苏连云港·期末）若，则x的值为______． 【答案】0或2 【分析】本题考查了解含有绝对值的方程；将等式化为，再根据绝对值的意义求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴或， 解得或， 故答案为0或2． 题型归纳 1.特征：方程中含有绝对值符号，如 x 的绝对值等于某数，或 ax 加 b 的绝对值等于某数，或含两个绝对值的方程 2.方法：单个绝对值：先将绝对值部分孤立到等号一侧，若右边为正则拆成两个方程（绝对值内等于右边或等于右边的相反数）；若右边为 0 则绝对值内等于 0；若右边为负则无解。两个绝对值：可用零点分段法分类讨论，或利用几何意义求解 3.易错提醒：未将绝对值孤立就拆分；右边为负数时仍拆方程导致错解；两个绝对值方程分类讨论时遗漏区间或区间端点重复 变式训练1（23-24七年级下·福建泉州·阶段检测）关于的方程的解是______． 【答案】或 【分析】本题考查了解绝对值方程．分，和时三种情况讨论，分别列得方程，再解方程可得． 【详解】解：当时， ，解得； 当时, ，此方程无解； 当时, ，解得； 故答案为：或． 变式训练2（25-26七年级上·甘肃兰州·期末）解方程 (1)； (2)． 【答案】(1)或 (2)或 【分析】本题考查了解含绝对值的一元一次方程，熟练掌握解一元一次方程是解题的关键． （1）根据题意，分类讨论当时，当时，化简原方程求解即可； （2）根据题意，分类讨论当时，当时，当时，化简原方程求解即可． 【详解】（1）解：， 当时，， 解得， 当时，， 解得， 综上，或； （2）解：， 当时，， 解得（不合题意，舍去）， 当时，， 解得， 当时，， 解得， 综上，或． 变式训练3（25-26七年级上·全国·单元测试）解方程：． 解：①当时，解得； ②当时，解得． 所以原方程的解是或． (1)解方程：； (2)解方程：． 【答案】(1)或 (2)或 【分析】本题主要考查了解绝对值方程，理解题意，熟练掌握解一元一次方程的基本步骤，是解题的关键． （1）根据绝对值意义，得出，然后解一元一次方程即可； （2）根据绝对值意义，得出或，然后解一元一次方程即可． 【详解】（1）解：由得：， 当时，； 当时，； 所以原方程的解是或． （2）解：， 或， 解方程，得， 解方程，得， 所以原方程的解是或． 类型五、绝对值与代数式运算综合 典例精讲5（25-26七年级上·北京海淀·期末）若，，且，则的值为________． 【答案】1或5 【分析】本题主要考查了代数式求值，绝对值的定义，有理数的加减法运算，根据绝对值的定义和有理数的加法运算法则可确定a、b的值，再代值计算即可得到答案． 【详解】解：∵，， ∴，， ∵， ∴，， ∴或， 故答案为：1或5． 题型归纳 1.特征：题目结合绝对值的性质与代数式的化简、求值、比较大小等，常需先根据条件确定字母的正负或取值范围 2.方法：先利用绝对值条件确定字母的正负性或具体值；再代入代数式进行化简或计算；涉及多个字母时，分别判断每个字母的情况，必要时分类讨论 3.易错提醒：忽略题目中隐含的正负条件（如乘积小于 0）；多种组合时漏解；代入计算时符号出错 变式训练1（25-26七年级上·陕西渭南·期中）已知，则的值为_____． 【答案】3或 【分析】本题考查了求一个数的绝对值，有理数的乘法法则，有理数的混合运算等知识．根据得到，根据，得到或．分别代入即可求解． 【详解】解：因为， 所以， 因为， 所以或． 当时，； 当时，． 故答案为：3或 变式训练2（24-25七年级上·山东济南·阶段检测）有理数，且互为倒数，互为相反数，的绝对值为2． (1)已知互为倒数，则____________； (2)已知互为相反数，则____________； (3)已知的绝对值为____________； (4)求的值． 【答案】(1)1 (2)0 (3) (4)或 【分析】本题主要考查了代数式求值，倒数的定义，相反数的定义，绝对值的意义，解题的关键是熟练掌握乘积为1的两个数，互为倒数；只有符号不同的两个数互为相反数． （1）根据倒数的定义进行解答即可； （2）根据相反数的定义进行解答即可； （3）根据绝对值的意义进行解答即可； （4）将，，代入求值即可． 【详解】（1）解：∵互为倒数， ∴， 故答案为：1； （2）解：∵互为相反数， ∴， 故答案为：0； （3）解：∵的绝对值为2， ∴， 故答案为：； （4）解：当，，时， ； 当，，时， ； 综上，的值为或． 变式训练3（25-26七年级上·陕西咸阳·期中）已知，． (1)若，求的值； (2)若，求的值． 【答案】(1)4或12 (2)4或12 【分析】本题考查了求代数式的值，绝对值，正确求出、的值是解题的关键． （1）根据绝对值的定义求出、的值，再根据进一步确定、的值，然后分别代入计算即可； （2）根据绝对值的定义求出、的值，再根据进一步确定、的值，然后分别代入计算即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴，， ∵， ∴，或，， 当，时，； 当，时，； 综上，的值是4或12； （2）解：∵，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴，或，， 当，时，； 当，时，； 综上，的值是4或12． 变式训练4（24-25七年级上·江苏宿迁·阶段检测）已知，． (1)若，求的值； (2)若，求的值． 【答案】(1)或 (2)或 【分析】本题考查了绝对值的意义和性质，代数式求值，理解题意并运用分类讨论思想解答是解题的关键． （1）由绝对值的意义可得，，，进而可得，或，，代入代数式即可求解； （2）由可得，即得或，得到，或，，代入代数式即可求解． 【详解】（1）解：∵，， ∴，， ∵， ∴， ∴，， 当，时，； 当，时，； 综上，的值为或； （2）解：∵，，， ∴， ∴或， ∴，或，， ∴或， ∴的值或． 类型六、零点分段法化简绝对值 典例精讲6（25-26七年级上·全国·课后作业）学习了绝对值我们知道，，用这一结论可化简含有绝对值的代数式．如化简代数式时，可令和，分别求得和，我们就称和分别为和的零点值．在有理数范围内，零点值，可将全体有理数分成不重复、不遗漏的五个部分，可在演草本上画出数轴，找到对应的部分然后进行分类讨论如下： ①当时，原式； ②当时，原式； ③当时，原式； ④当时，原式； ⑤当时，原式； 综上所述，原式，以上这种分类讨论化简方法就叫零点分段法，其步骤是：求零点、分段、区段内化简、综合，根据以上材料解决下列问题：化简代数式． 【答案】 【分析】本题考查了化简绝对值，熟练掌握绝对值的性质并运用分类讨论思想是解题的关键． 根据零点分段法和绝对值的性质，分，，三种情况讨论即可． 【详解】解：依题意，和分别为和的零点值， 当时， ； 当时，； 当时，； 综上所述，原式． 题型归纳 1.特征：式子中含有两个或多个绝对值，且绝对值内是含字母的一次式，需要化简，是期中压轴核心题型 2.方法：第一步求零点：令每个绝对值内的式子等于 0，求出对应的 x 值；第二步分区间：将零点在数轴上标出，把数轴分成若干区间；第三步分段讨论：在每个区间内判断每个绝对值内式子的正负，去绝对值符号后化简；第四步综合各区间结果 3.易错提醒：零点求错；区间划分时端点重复或遗漏；某区间内判断正负出错，导致去绝对值后符号全错 变式训练1（25-26七年级上·吉林长春·期中）阅读下列材料． 我们知道，现在我们可以利用这一结论来化简含有绝对值的代数式．例如：化简代数式时，可令和，分别求得和（称，2分别为与的零点值）．在有理数范围内，零点值和可将全体有理数分成不重复且不遗漏的如下3种情况：；；．从而在化简时，可分以下三种情况：①当时，原式；②当时，原式； ③当时，原式=； ∴，通过以上阅读，解决问题： (1)直接写出的零点值是_____； (2)化简； (3)直接写出的最大值为_____． 【答案】(1)3 (2) (3)6 【分析】本题考查的是化简绝对值，整式的加减运算． （1）先令，再解方程可得零点值； （2）先令和，可得和，再分三种情况化简绝对值即可； （3）令和，可得和，再分三种情况化简绝对值，再求解化简后的代数式的值的范围即可得到最大值． 【详解】（1）解：令，解得：， ∴的零点值是． 故答案为：3； （2）解：令和，解得：和 ①当时，原式 ②当时，原式； ③当时，原式． ∴ （3）解：令和，解得：和， 当时， ； 当时， ， 当时，代数式的值最大，最大为， 当时， ， 综上：的最大值为：6． 变式训练2（25-26七年级上·黑龙江哈尔滨·期中）阅读下列材料． 我们知道，现在我们可以利用这一结论来化简含有绝对值的代数式．例如：化简代数式时，可令和，分别求得和（称，2分别为与的零点值）．在有理数范围内，零点值和可将全体有理数分成不重复且不遗漏的如下3种情况：；；．从而在化简时，可分以下三种情况： ①当时，原式； ②当时，原式； ③当时，原式； ∴，通过以上阅读，解决问题： (1)直接写出的零点值是________； (2)化简； (3)直接写出的最大值为________． 【答案】(1) (2) (3)9 【分析】本题主要考查了化简绝对值，整式的加减计算，正确理解题意是解题的关键． （1）求出时x的值即可得到答案； （2）先求出所求式子的零点，再仿照题意求解即可； （3）先求出所求式子的零点，再分三种情况化简绝对值，再求解化简后的代数式的值的范围即可得到最大值． 【详解】（1）解：当时，， ∴的零点值是； （2）解：当时，， 当时，， 当时，； 当时，； 当时，； 综上所述， （3）解：当时，，当时，， 当时，； 当时，， ∴当时，的值最大，最大为； 当时，； ∵， ∴的最大值为9． 变式训练3（24-25七年级上·广东广州·期中）阅读下列材料并解决有关问题： 知道：现在我们可以用这一结论来化简含有绝对值的代数式， 如化简代数式时，可令和，分别求得，（称，分别为与的零点值）．在有理数范围内，零点值和，可将全体有理数分成不重复且不遗漏的如下种情况：（1）（2）（3），从而化简代数式． 通过以上阅读，请你解决以下问题： (1)分别求出和的零点值； (2)化简代数式； (3)求方程：的整数解． 【答案】(1)和的零点值分别是和 (2)当时，；当时，；当时， (3)整数解为，，，，，， 【分析】本题考查了化简含有绝对值的代数式，解题的关键是理解材料内容； （1）根据材料例题进行操作即可； （2）利用分内讨论的思想，当时；当时，；当时，进行讨论； （3）先求出，再取整数解即可． 【详解】（1）解：， ，， 和； （2）解：当时，； 当时，； 当时，； （3）解：， ， 整数解为：，，，，，，． 类型七、|a|/ a型绝对值化简 典例精讲7（25-26七年级上·福建泉州·期末）已知x、y、z是非零有理数，有以下结论： ①的值为0或； ②当时，的值为； ③当，时，的值为或； ④当时，的值为0． 其中结论正确的是________（填序号）． 【答案】①②④ 【分析】本题考查了绝对值的化简运算，有理数的混合运算． 分别根据条件求出字母的正负情况，进而根据绝对值的意义化简后计算即可． 【详解】解：①当x和y同为正时，原式， 当x和y同为负时，原式， 当x和y为一正一负时，原式， 故结论正确； ②当时，则，x和y为一正一负， 若x正y负，， 若x负y正，， 故结论正确； ③当，时，则x，y，z中必有一负两正，可设z为负， ∵，，， ∴； 故结论错误； ④当时，则x，y，z为一正两负或一负两正， 当为一正两负时，可设z为正，， 当为一负两正时，可设z为负，， 故结论正确． 故答案为：①②④． 题型归纳 1.特征：题目形如|a|/ a，或多个此类式子相加，要求判断符号或化简求值 2.方法：当 a 大于 0 时，a 的绝对值除以 a 等于 1；当 a 小于 0 时，a 的绝对值除以 a 等于负 1；a 等于 0 时无意义。多个此类式子相加时，先判断每个字母的正负，再分别代入 1 或负 1 计算 3.易错提醒：忽略 a 不能等于 0 的条件；正数时结果为 1、负数时为负 1，容易搞反；多个字母时正负判断错误导致结果符号错 变式训练1（25-26七年级上·广东深圳·阶段检测）若有理数m，n，p满足，则_______． 【答案】 【分析】本题主要考查绝对值，解决本题的关键是根据已知条件得出． 先根据得出，然后再对原式进行化简即可． 【详解】解：∵ ， ∴m、n、p的符号为两正一负， ∴， ∴． 故答案为：． 变式训练2（25-26七年级上·陕西西安·阶段检测）已知，且，，的最大的值为，最小的值为，则________． 【答案】2 【分析】本题考查了有理数的四则混合运算、代数式求值、绝对值的性质，熟练掌握运算法则是解题关键．先得出中有一个负数，两个正数，再分三种情况：①，②，③，分别求值的值，则可得的值，代入计算即可得． 【详解】解：∵，， ∴中有一个负数，两个正数． ①当时， 则； ②当时， 则； ③当时， 则； ∴的值为0或4或， ∵的最大的值为，最小的值为， ∴， ∴． 故答案为：2． 变式训练3（25-26七年级上·吉林长春·期中）请利用绝对值的性质，解决下面问题： (1)已知，是有理数，当时，则______；当时，则______． (2)已知，，是有理数，，，求的值． (3)如果，，是有理数且，那么的值是______． 【答案】(1)； (2) (3) 【分析】本题考查了绝对值，有理数的加法，有理数的乘法，掌握相应的运算法则是关键． （1）根据绝对值的性质化简求值即可； （2）根据有理数的加法和乘法运算法则可得三个数中必定有两个正数，一个负数，可设，，，再根据绝对值的性质化简求值即可； （3）分四种情况，根据绝对值的性质化简求值即可． 【详解】（1）解：， ； ， ； （2）解：， ，，， 由可知，中有一个负数或三个负数； 若均为负数，则与矛盾， 故中必为两正一负， 分情况讨论： ①，，， ； ②，，， ； ③，，， 综上，的值为； （3）解：①当，，都为正数时，则原式； ②当，，中只有一个负数时， 当是负数，则原式； 当是负数，则原式； 当是负数，则原式； ③当，，中有两个负数时， 当，是负数，则原式； 当，是负数，则原式； 当，是负数，则原式； ④当，，都是负数时，则原式； 综上所述，所求式子的值是． 类型八、绝对值的最值问题 典例精讲8（25-26七年级上·河南·期末）数轴上的两个点A，B，分别用数a，b表示，那么A，B两点之间的距离为，反过来，式子的几何意义是：数轴上表示数a的点和表示数b的点之间的距离．若代数式的最小值是3，则 ______． 【答案】或1/1或 【分析】本题考查数轴、绝对值，理解绝对值的定义，掌握数轴上两点距离的计算方法是正确解答的关键；利用绝对值的几何意义，将代数式转化为数轴上两点之间的距离问题，通过距离最小值的条件建立方程求解． 【详解】解：代数式表示数轴上点x到点2和点的距离之和，其最小值等于点2与点之间的距离，即． 已知最小值为3，因此， 即或， 解得或． 故答案为或1． 题型归纳 1.特征：求若干个绝对值之和的最小值，或求含绝对值的代数式的最值，是期中重难点题型 2.方法：利用绝对值的几何意义：x 减 a 的绝对值表示数轴上 x 到 a 的距离。两个绝对值之和的最小值是两定点间的距离，x 在两点之间时取得；奇数个绝对值之和，x 取中间那个定点时最小；偶数个时 x 在中间两个定点之间（含端点）时最小 3.易错提醒：奇数个和偶数个取最小值的 x 位置不同，容易混淆；x 的取值范围遗漏端点；将绝对值之和误认为差，或计算两定点距离时符号出错 变式训练1（24-25七年级上·江苏无锡·期中）一般地，数轴上表示数和数的两点之间的距离等于．如果，那么______．请你结合数轴与绝对值的知识求得的最小值为______． 【答案】 或 【分析】本题考查了数轴上两点间距离，绝对值的意义，根据绝对值的意义解答①，由得式子表示到的距离与到的距离与到的距离的倍的和，可知，当在的位置时，距离之和最小，据此即可解答②，运用数形结合思想解答是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴或， ∵， ∴式子表示到的距离与到的距离与到的距离的倍的和， 可知，当在的位置时，距离之和最小，最小值为， 故答案为：或，． 变式训练2（25-26七年级上·江苏南京·阶段检测）已知，，若，则的最大值与最小值的乘积为__________． 【答案】 【分析】本题考查了绝对值的化简，多个有理数的乘法法则等知识，判断出a、b、c三个因数中负因数的个数为奇数个，结合的特点分情况讨论是解题关键．先根据，,进而得到．根据得到a、b、c三个因数中负因数的个数为奇数个，结合的特点得到当时，的最大值为，当时，的最小值为，即可求出乘积为． 【详解】解：∵， ∴, ． ∵， ∴a、b、c三个因数中负因数的个数为奇数个， 又∵， ∴a、b、c三个数必有1个负数，2个正数， ∴当时，可有， 当时，可有， 当时，可有， 故的最大值为8，,最小值为， ∴乘积为． 故答案为： 变式训练3（25-26七年级上·全国·单元复习）根据这一性质，解答下列问题： (1)当 时，有最小值，此时最小值为 ； (2)当a取何值时，有最小值？这个最小值是多少？ (3)当a取何值时，有最大值？这个最大值是多少？ 【答案】(1)4，0 (2)，3 (3)，4 【分析】本题考查了整式的绝对值的求解能力，对绝对值的性质的理解和掌握是解题的关键． （1）根据绝对值的性质，可知0的绝对值最小，为0，则可得时，有最小值，由此即可求解； （2）要使有最小值，则要取最小，即，由此即可求解； （3）要使有最大值，则取最小值，结合即可求解． 【详解】（1）因为，所以当时，有最小值，这个最小值是0． 故答案为：4，0 （2）因为，所以当时，有最小值，这个最小值是3． （3）因为，所以，所以当时，有最大值，这个最大值是4． 变式训练4（24-25七年级上·江苏南京·阶段检测）【阅读】：表示7与3差的绝对值，也可理解为7与3两数在数轴上所对应的两点之间的距离：可以看作，表示7与的差的绝对值，也可理解为与两数在数轴上所对应的两点之间的距离． 【探索】： （1）如果，那么 ； （2）有最小值 ； （3）有最大值 ； 【应用】： （4）的最小值为 ； （5）的最大值为 ． 【答案】（1）0或；（2）1；（2）1；（4）；（5）1012． 【分析】本题考查了数轴上两点间的距离，绝对值的化简，熟练掌握数轴上的两点间的距离，绝对值，分类思想，化简绝对值是解题的关键． （1）根据题意，或，计算即可． （2）把问题转化为数轴上点与1，2的距离和问题，即可得出点x在1和2之间（包含1和2）时，有最小值， （3）把问题转化为数轴上点与1，2的距离差问题，当时，即点x在2上或右边时，有最大值， （4）把问题转化为数轴上点与1，2，……2024的距离和问题，当时，即点x在1和的中点时，有最大值， （5）根据绝对值的几何意义，可知在数轴上，表示x到1的距离与x到2的距离的差、x到3距离与x到4距离的差 …x到距离与x到距离的差的和，由（3）可知：在数轴上，当x在最大数右边（或最大数上）时，代数式有最大值． 【详解】（1）解：， ∴或， 解得或， 故答案为：0或． （2）的意义即数轴上点x与1，2的距离和， 当时，距离和为； 当时，距离和为； 当时，距离和为； 故对于任何有理数，有最小值， 当时，即点x在1和2之间（包含1和2）时，最小值为1． （3）的意义即数轴上点x与1，2的距离差； 当时，； 当时， ； 当时， ； 故对于任何有理数，有最大值， 当时，即点x在2上或右边时，最大值为1． （4）表示数轴上点与1，2，……2024的距离和， 由（2）可知：当时，有最小值； 此时： =； （5）表示x到1的距离与x到2的距离的差、x到3距离与x到4距离的差 …x到2023距离与x到2024距离的差的和， 由（3）可知：当x在最大数右边（或最大数上）时有最大值； 即：时， ． 类型九、与绝对值有关的新定义问题 典例精讲9（25-26七年级上·湖北武汉·期末）对任意两个有理数，定义如下运算：．若，则，的关系为（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】本题考查整式的加减运算、绝对值的性质和等式的性质，关键是根据新运算的定义将等式转化为绝对值方程，再利用“若，则或”的性质分情况讨论求解．首先根据给定的新运算规则，分别计算出和的表达式，得到关于、的等式；然后根据绝对值的性质分两种情况进行求解，最终得到与的关系． 【详解】解：，； ． 分两种情况： ①当时，移项得， ； ②当时，得； 综上，与的关系为或． 故选：D． 题型归纳 1.特征：题目定义一个与绝对值相关的新概念（如 "绝对和"" 距离差 ""关联数" 等），要求按定义计算、化简或探究规律 2.方法：仔细阅读定义，明确新概念的运算规则或判定条件；将新定义转化为常规的绝对值运算；代入具体数值验证理解是否正确后再解题 3.易错提醒：未读懂定义就盲目计算；新定义中的条件有多个时漏看；将新定义与已有绝对值概念混淆；多步运算时未按定义规则逐步进行 变式训练1（24-25七年级上·广东深圳·阶段检测）定义一种新运算，规定运算法则为：（m，n均为整数，且）．例：，再定义另一种新运算“☆”，对于任意有理数a，b和c，， 比如，请计算__________ 【答案】14 【分析】本题考查了含乘方的有理数混合运算，绝对值的求解，根据题目中给出的定义代入数字进行计算即可． 【详解】解：，， ， 故答案为：14． 变式训练2（23-24七年级上·湖北恩施·期中）我们定义一种新运算：． 如，有理数的运算法则适用于新运算．按照上述定义计算下列各式： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了有理数混合运算； （1）根据题干信息列式计算即可； （2）根据含乘方的有理数混合运算法则进行计算即可． 本题主要考查了有理数混合运算，解题的关键是熟练掌握有理数混合运算法则，“先算乘方，再算乘除，最后算加减，有小括号的先算小括号里面的”． 【详解】（1）解：； （2）解： ． 变式训练3（25-26七年级上·辽宁大连·阶段检测）定义新运算：． (1)计算的值； (2)已知有理数在数轴上满足，化简． 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）根据新定义求解即可； （2）先判断的范围，再根据新定义求解即可． 【详解】（1）解：由题意得， ； （2）解：∵， ∴， ∴ ． 类型十、数轴与绝对值综合问题 典例精讲10（25-26七年级上·广东深圳·期末）阅读理解：数轴上表示有理数的点到原点（有理数0表示的点）的距离，叫作这个有理数的绝对值．例如：，它表示数轴上表示有理数2的点到原点的距离，从数轴上容易发现，表示有理数2的点到原点的距离是2个单位长度，即（如图①）．同样的，数轴上表示有理数和表示有理数的两个点之间的距离可以用来表示．例如：数轴上表示的点到表示2的点的距离用表示，从数轴上容易发现，表示的点到表示2的点的距离是5个单位长度，即（如图②）． 以上这种借助直观的数轴来解决问题的方法就是研究数学问题常用的“数形结合”的方法．请你根据以上学到的方法完成下列任务． 【任务一】请根据以上阅读计算： 若点表示，点表示1，则两点的距离是 ． 【任务二】根据绝对值的意义求字母的值： 若，求所表示的有理数．根据绝对值的意义，“”指数轴上表示的点到表示3的点的距离是4个单位长度，表示的有理数是 ． 【任务三】设点在数轴上表示的有理数是，借助数轴如图探索： 的最小值是 ． 【答案】任务一：；任务二：或；任务三： 【分析】此题主要考查了数轴上两点间的距离计算，绝对值的几何意义，正确理解题意是解题的关键． 任务一：数轴上表示和表示的两个有理数之间的距离可以用表示，据此求解即可； 任务二：根据题意可得数轴上表示的点到表示3的点的距离是4个单位长度，那么可分x在3的左侧和x在3的右侧两种情况，结合数轴上两点间的距离计算公式求解即可； 任务三：表示数轴上表示的点到表示4的点与表示的点到表示的点的距离之和，那么当位于和4之间时，有最小值，据此求解即可． 【详解】解：任务一：由题意得两点的距离是， 故答案为：； 任务二：∵“”指数轴上表示的点到表示3的点的距离是4个单位长度， ∴由数轴可得或， 故答案为：或； 任务三：表示数轴上表示的点到表示4的点与表示的点到表示的点的距离之和， 故当位于和4之间时，有最小值，最小值为， 故答案为：5 ． 题型归纳 1.特征：题目同时涉及数轴上点的位置、距离、动点运动与绝对值化简，常以解答题形式出现，是月考、期中压轴题型 2.方法：先用数轴确定各点表示的数或大小关系；动点问题设时间 t，用含 t 的式子表示动点位置；两点间距离等于两数差的绝对值；根据距离关系或位置关系列绝对值方程或化简式；分类讨论动点在不同位置时的情况 3.易错提醒：动点位置表达式中速度方向符号错误；距离未加绝对值导致漏解；动点越过定点后绝对值内正负变化，未分段讨论；解出结果后未检验是否符合实际运动范围 变式训练1（25-26七年级上·江西赣州·期中）【阅读材料】借助数轴能更好地理解绝对值的几何意义． 数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值，记作． 如：表示数轴上5这个点与原点的距离，即． 一般地，数轴上表示数m的点与表示数n的点之间的距离等于． 如：数轴上表示3的点与表示的点之间的距离为． 根据以上阅读材料，解答下列问题： (1)数轴上表示的点与表示3的点之间的距离是________；数轴上表示x的点与表示2的点之间的距离可以表示为________；若，则________． (2)【拓展延伸】 ①若，求x的取值范围； ②对于实数x，的最小值是________，此时________． 【方法指导】 对于问题（2），可以理解为：数轴上表示数x的点到表示的点和到表示3的点的距离之和． 要使这个距离之和等于4，x应该取什么位置呢？ (3)综合应用：江西某快递公司在一条东西走向的街道上设置配送点，该街道上有A，B，C，D，E五个小区，它们在数轴上对应的位置如图所示（单位：百米）： 若快递公司只能在其中一个小区设配送点，为使配送点到五个小区的距离之和最小，应选择在哪个小区设置配送点？请说明理由． 【答案】(1)8，，或 (2)①x的取值范围是；②6，1；x应该取和3之间的位置（包括和3） (3)应该选择在小区C设置配送点，理由： 设在小区A，B，C，D，E设配送点，距离之和分别为： 小区：， 小区：， 小区：， 小区：， 小区：， 因为， 所以应该选择在小区设置配送点． 【分析】本题主要考查绝对值的几何意义，数轴上两点之间的距离，绝对值的应用，熟练掌握绝对值的几何意义是解题的关键． （1）根据数轴上的两点距离可直接进行求解前两空；第三空根据绝对值的概念求解即可； （2）根据数轴上的两点距离的几何意义可直接进行求解； （3）设在小区A，B，C，D，E设配送点，分别计算相应的距离之和，即可得到答案． 【详解】（1）解：数轴上表示的点与表示3的点之间的距离是； 数轴上表示x的点与表示2的点之间的距离可以表示为； 若，则或， 所以或． 故答案为：8；；7或． （2）解：①由题意知， 即数轴上表示的点到和3两点的距离之和为4， 而与3之间的距离为4， 所以的取值范围是； ②表示数轴上表示的点到，1和4三点的距离之和 当表示的点正好在表示1的点处时，三个距离之和最小，最小值是6，此时． 故答案为：6；1． 可以理解为：数轴上表示数x的点到表示的点和到表示3的点的距离之和，要使这个距离之和等于4，x应该取和3之间的位置（包括和3）． （3）略 变式训练2（25-26七年级上·广西崇左·阶段检测）在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大，利用此规律，我们可以求数轴上两个点之间的距离，具体方法是：用右边的数减去左边的数的差就是表示这两个数的两点之间的距离． [操作发现] （1）如图，数轴上表示2和7的两点之间的距离是 ；数轴上表示1和4的两点之间的距离是 ；数轴上表示和2的两点之间的距离是 ； [类比探究] （2）若点M表示的数是m，点N表示的数是n，则点M、N之间的距离为 ； [拓展应用] （3）若数轴上分别表示m和的两点A和B之间的距离是24，则 ； （4）表示的几何意义是 ； 表示的几何意义是 ； 表示的几何意义是 ． （5）若数轴上表示a的点位于表示与2的两点之间，求的值； （6）利用数轴分析，若x是整数，且满足，则满足条件的所有x的值的和为 ． 【答案】（1）5；3；5；（2）；（3）22或；（4）在数轴上表示数a的点和表示有理数的点之间的距离；数轴上表示数a的点和表示有理数的点之间的距离；数轴上表示a的点位于表示与2的两点之间；（5）6；（6）． 【分析】本题考查了数轴上两点间距离和绝对值问题，理解两点间距离并正确化简绝对值是解题关键． （1）利用数轴上两点之间的距离：数轴上任意不同的两点，这两点间的距离=右边的数-左边的数，即可得到结果； （2）利用题干中数轴上两点之间的距离的意义和绝对值的意义解答即可； （3）利用分类讨论的思想方法和题干中数轴上两点之间的距离的意义解答即可； （4）根据绝对值的几何意义作答即可； （5）利用题干中数轴上两点之间的距离的意义和绝对值的意义化简运算即可； （6）利用分类讨论的思想方法和题干中数轴上两点之间的距离的意义解答即可． 【详解】（1）解：数轴上表示2和7的两点之间的距离是5；数轴上表示1和4的两点之间的距离是3；数轴上表示和2的两点之间的距离是5； 故答案为：5；3；5； （2）解：若点表示的数是，点表示的数是，则点、之间的距离为； 故答案为：； （3）解：∵数轴上分别表示和的两点和之间的距离是24， ∴， ∴或， ∴或； 故答案为：22或； （4）解：表示的几何意义是在数轴上表示数a的点和表示有理数的点之间的距离； 表示的几何意义是数轴上表示数a的点和表示有理数2的点之间的距离； 表示的几何意义是数轴上表示a的点位于表示与2的两点之间； 故答案为：在数轴上表示数a的点和表示有理数的点之间的距离；数轴上表示数a的点和表示有理数的点之间的距离；数轴上表示a的点位于表示与2的两点之间； （5）解：数轴上表示的点位于表示与2的两点之间， ∴， ∴，， ∴ ； （6）解：数轴上表示和2的两点之间的距离是5， ∴满足的值在数轴上表示的点位于表示与2的两点之间， ∵是整数， ∴，，，0，1，2． ∴满足条件的所有的值的和为：． 故答案为：． 变式训练3（25-26七年级上·广东揭阳·期中）【定义新知】 数形结合就是把“数”与“形”结合起来进行相互转换，充分发挥各自优势解决问题．同学们都知道，表示与2的差的绝对值，可理解为与2两数在数轴上所对应的两点之间的距离；同理，可理解为在数轴上对应的点分别到1和所对应的点的距离和． 请根据数轴解决以下问题： 【举一反三】 （1）可理解为______与______在数轴上所对应的两点之间的距离； （2）若，则的值为______； 【问题解决】 （3）请你结合数轴探究：的最小值是______； （4）借助数轴思考，当x为何值时，与的值相等． 【拓展应用】 （5）如图，、分别为数轴上的两点，点对应的数为，点对应的数为100．现有一只电子蚂蚁从点出发，以6个单位/秒的速度向左运动，同时另一只电子蚂蚁恰好从点出发，以4个单位/秒的速度向右运动，设两只电子蚂蚁在数轴上的点相遇，请你求出点所对应的数是多少． 【答案】（1），3；（2）或0；（3）5；（4）；（5）28 【分析】本题考查了数轴上的动点问题，绝对值的意义； （1）根据为与在数轴上所对应的两点之间的距离，即可求解； （2）根据为与在数轴上所对应的两点之间的距离为，即可求解； （3）表示与和在数轴上所对应的两点之间的距离之和，当时，有最小值； （4）当表示数的点为线段的中点时，与的值相等，据此结合数轴即可求解； （5）先求得的长，进而根据相遇问题可得秒后相遇，进而求得点的路程，即可得出点表示的数 【详解】（1）解：表示与的差的绝对值，可理解为与两数在数轴上所对应的两点之间的距离； 可理解为与在数轴上所对应的两点之间的距离， 故答案为：，； （2）解：，可理解为与在数轴上所对应的两点之间的距离为， 则或， 故答案为：或； （3）解：表示与和在数轴上所对应的两点之间的距离之和， 当时，的最小值是， 故答案为：； （4）解：和可看成数轴上表示数的点与表示的点和表示的点的距离， 又与的值相等， 如图所示：当表示数的点为线段的中点时，与的值相等，此时，               （5）解：，之间的距离为， 依题意有：秒，即秒后相遇， 即相同时间点运动路程为：（个单位）， 则从数向右运动个单位到数， 故点对应的数是． 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 1．（25-26七年级下·安徽宿州·期中）已知，则的值为（     ） A．8 B．6 C．5 D．3 【答案】D 【分析】根据非负数的性质求出和的值，再结合积的乘方的逆运算化简所求式子，代入计算即可得到结果． 【详解】解：∵， ∴，， 解得，． ∴， 代入，，可得， ∴原式． 2．（25-26七年级下·黑龙江绥化·阶段检测）若m，n为有理数，，，且，那么m，n，，的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查有理数的大小比较，方法一结合数轴进行求解，方法二结合已知条件用特殊值法即可快速得出结果． 【详解】方法一：如图所示， ∴ ． 方法二：∵ ，，，，为有理数 ∴ 取满足条件的特殊值 ， 计算得 ，， ∵ ∴ ． 3．（25-26七年级上·四川凉山·期末）已知，互为相反数，，互为倒数，的绝对值为，则的值为（ ） A．0或 B． C． D．0或4 【答案】A 【分析】互为相反数的两数的和为0，互为倒数的两数的积为1，在数轴上，一个数所对应的点到原点（即0点）的距离称为该数的‌绝对值‌． 【详解】解：∵，互为相反数，，互为倒数，的绝对值为， ∴，，， 当时，； 当时，， ∴的值为0或． 4．（25-26七年级上·福建泉州·期末）已知整数满足，则所有满足条件的整数的和是（    ） A．3 B．1 C．0 D． 【答案】D 【分析】本题利用零点分段法化简绝对值方程，确定x的取值范围，找出范围内所有整数x，再计算它们的和即可． 【详解】解：令得，令得， ∴分三种情况讨论： 当时，，， 原方程化为 ， 化简得，解得， 不满足，此种情况不符合题意； 当时，，， 原方程化为 ， 化简得，等式恒成立，故此区间内所有x都满足方程； 当时，，， 原方程化为 ， 化简得，解得， 不满足，此种情况不符合题意； 综上，满足方程的x的范围是， 其中整数为， 计算和得． 5．（25-26七年级上·江西上饶·期末）已知是有理数，且，下列结论： ①；②；③；④若，是有理数，且满足，则或2． 其中正确个数有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题主要考查了化简绝对值，有理数乘除法计算，有理数加减法计算，灵活运用所学知识是解题的关键． 【详解】解：∵ ∴， ∴①，故①错误； ②正确； ③，故③错误； ④∵，则 ；，则 ∴或2，故正确； 故选：B． 6．（25-26七年级上·浙江嘉兴·期末）已知的最小值是，的最大值是，则（    ） A．9 B．10 C．11 D．12 【答案】B 【分析】本题考查的是绝对值的几何意义，化简绝对值，利用绝对值的几何意义，分别求出两个绝对值表达式的最值，再计算的值． 【详解】解：表示数轴上点x到3的距离，表示数轴上点x到的距离． ∴当时，取得最小值， ∴， 当时， ， 当时， ， 当时， ， ∴， ∴． 故选：B 7．（25-26七年级上·山东临沂·期末）有理数a，b，c均不为0，且，设，则代数式的值为（   ） A．0或1 B． C．或 D． 【答案】D 【分析】本题考查绝对值化简、有理数乘方及代数式求值，根据推导等关系，结合的正负性确定的取值，再代入计算代数式的值． 【详解】解：∵ ∴，， ∴ ∵有理数均不为0，且 ∴不能全正或全负，仅存在两正一负或两负一正两种情况 ①当为两正一负时，，∴ ②当为两负一正时，，∴ ∵2026是偶数 ∴，或 ∴ 故选：D． 8．（25-26七年级上·江西吉安·期末）已知，则的所有可能值为______． 【答案】3或7或 【分析】根据绝对值的性质，对a，b，c的正负性按负数个数分类讨论，分别计算代数式的值，即可得到所有可能结果． 【详解】解：根据绝对值的性质可知，对于非零数， 当时，，当时，， 按中负数的个数分类讨论如下. 1. 当a，b，c全为正数时，，则，，，， ∴原式； 2. 当a，b，c中有1个负数，2个正数时，， 则无论哪个数为负，， ， ∴原式； 3. 当a，b，c中有2个负数，1个正数时，， 则无论哪两个数为负，，， ∴原式； 4. 当a，b，c全为负数时，， 则，，，， ∴原式， 综上，所有可能值为3或7或． 9．（25-26七年级上·浙江金华·阶段检测）已知，且，则m的最小值是______． 【答案】 【分析】本题考查了绝对值，有理数的混合运算，体现了分类讨论的数学思想，由可得 ，，，代入 的表达式化简为 ，根据 的符号情况（由于，不能全正或全负），分类讨论所有可能组合，计算的值，并比较得出最小值． 【详解】解：由 ，得 ，，， 代入原式得：，其中 、、 的值取决于对应变量的符号，可能为 1 或 ， 由于，不能全正或全负，需分情况讨论： 当两个正一个负时： 若 ，则 ， 若 ，则 ， 若 ，则 ， 当两个负一个正时： 若 ，则 ， 若 ，则 ， 若 ，则 ， 比较所有值，的最小值为． 故答案为：． 10．（25-26六年级上·上海·期末）的最小值为______． 【答案】 【分析】此题考查了绝对值的几何意义． 根据绝对值的几何意义，多个绝对值之和的最小值出现在中间的数值处．由于点从1到2026共2026个，是偶数，中间的数值为第1013个点和第1014个点的平均值，即． 【详解】解：设．当时，取得最小值． ． 故答案为． 11．（25-26七年级上·安徽合肥·期末）有理数a，b，c在数轴上的位置如图所示，化简：_____． 【答案】/ 【分析】本题考查了数轴，化简绝对值，整式的加减混合运算，正确从数轴可得的大小关系以及符号是解题的关键． 由数轴可得，，则，，再化简绝对值，进行整式的加减混合运算． 【详解】解：由数轴可得，， ∴，， ∴ ， 故答案为：． 12．（25-26七年级上·辽宁大连·阶段检测）已知，，且，求的值． 【答案】或 【分析】根据绝对值意义，结合，先确定x、y的值，然后代入求值即可． 【详解】解：∵，， ∴，， ， ，只能， 当时，； 当时，； 综上，的值为或． 13．（25-26七年级上·宁夏吴忠·期末）有理数a，b，c在数轴上的位置如图所示．化简：． 【答案】0 【详解】解：∵且， ∴， ∴ ． 14．（25-26七年级上·四川宜宾·期中）已知有理数，互为相反数，，互为倒数，的绝对值是4，是最小的正整数，求的值． 【答案】 【分析】根据相反数、倒数、绝对值、最小的正整数的定义，先求出相关量的值，再代入代数式计算即可求解． 【详解】解：由题意得 ，互为相反数，因此 ，互为倒数，因此 ． 的绝对值是，因此 ． 是最小的正整数，因此 ． 所以． 15．（25-26七年级上·河南漯河·期末）如图：数轴上，，三点分别表示的数为、、，点表示的数为． 【阅读材料】：在数轴上表示数的点到原点的距离叫做的绝对值，记为，数轴上表示数的点与表示数的点的距离记为（或），数轴上数表示的点到表示数的点与表示数的点的距离之和记为． (1)填空：______；______； (2)若点表示的数为，当取最小值时，=_____； (3)动点从点出发，以每秒个单位长度的速度向右运动，求当经过多少秒时，点到点、点的距离之和为． 【答案】(1)， (2) (3)或 【分析】本题主要考查整式的加减运算，绝对值、数轴上两点之间的距离公式． (1)根据阅读材料中数轴上两点之间的距离公式计算即可； (2)根据的取值范围，分情况去掉绝对值符号，计算的取值范围，得出当取最小值时y的值； (3)设运动秒时，点表示的数为，根据数轴上两点之间的距离公式分情况求出的值． 【详解】（1）解：数轴上，，三点分别表示的数为、、， ，， 故答案为：，； （2）解：当时， 可得：，，， ， ， ， ； 当时， 可得：，，， ， ， ； 当时， 可得：，，， ， ， ； 当时， 可得：，，， ， ， ； 综上所述，当时，取最小值，最小值为， 故答案为：； （3）解：设运动秒时，点表示的数为， 则，， 点到点、点的距离之和为， ， 当时， 可得：，， ， 解得：； 当时， 可得：，， ， 点到点、点的距离之和不能为； 当时， 可得：，， ， 解得：； 综上所述，当或时，点到点、点的距离之和为． 16．（25-26七年级上·湖南常德·期末）阅读与理解：数形结合就是把“数”与“形”结合起来进行相互转换，充分发挥各自优势解决问题．同学们都知道，表示与2的差的绝对值，可理解为与2两数在数轴上所对应的两点之间的距离；同理，可理解为在数轴上对应的点分别到1和所对应的点的距离之和． 【举一反三】（1）可理解为______与______在数轴上所对应的两点之间的距离； 【问题解决】（2）请你结合数轴探究：的最小值是______； （3）若，则______； 【拓展应用】（4）已知，满足，数轴上点和点所对应的数分别为和，点为数轴上一动点。若点、点分别以2个单位长度/秒和个单位长度/秒的速度同时向右运动，点以3个单位长度/秒的速度同时从原点向左运动。当点与点之间的距离为2个单位长度时，求点所对应的数是多少？ 【答案】（1）；（2）6；（3）或5；（4）或 【分析】本题考查了数轴上两点之间的距离与绝对值，掌握绝对值的性质是解题的关键． （1）根据题意，可理解为与在数轴上所对应的两点之间的距离，即可求解； （2）可知可理解为在数轴上对应的点分别到和所对应的点的距离之和，再结合数轴，即可求解； （3）根据x的大小分类讨论，将原方程化简成普通的一元一次方程，即可求解； （4）先根据绝对值和平方的非负性，求出a、b的值，设运动时间为，则点A所对应的数为，点B所对应的数为，根据题意列方程，求出时间，即可求解． 【详解】（1）解：根据题意可知，可理解为与在数轴上所对应的两点之间的距离． （2）解：可知可理解为在数轴上对应的点分别到和所对应的点的距离之和， 当时，有最小值为． （3）解：根据（2）可知当时，，不符合题目要求， 当时，，解得， 当时，，解得， 综上所述，若，则或． （4）解：， ， 设运动时间为，则点A所对应的数为，点B所对应的数为， 根据题意可得， 解得或， 此时点P所对应的数为或． 17．（25-26七年级上·北京·期末）对于整数a，b，定义一种新的运算“⊙”： 当为偶数时，规定； 当为奇数时，规定． (1)当，时，求的值． (2)已知，，求式子的值． (3)已知，求a的值． 【答案】(1)10 (2)14 (3)15或或10 【分析】本题考查了整式加减，有理数的混合运算，绝对值的性质，掌握有理数混合运算顺序及合并同类项，绝对值的性质的熟练应用是解题的关键． （1）根据新运算定义，先判断的奇偶性，再列式计算； （2）先判断的奇偶性，再列式计算； （3）先判断的奇偶性，列式计算结果为是偶数，求转化为求，针对a的取值分情况讨论，再结合，确定a的取值． 【详解】（1）解：∵，， ∴，为偶数， ∴ ． （2）解：∵，为奇数， ∴， ∴， ∵整数a，b，， ∴，， ∴， 整理得， ∴． （3）解：∵一定为偶数， ∴是偶数， 当a为奇数时， ， ①当a为负奇数时得， ∴， 解得舍去； ②当a为正奇数时，得， ∴， 解得； 当a为偶数时， ， ①当a为负偶数时得 ， ∴， 解得， ②当a为正偶数时得 ， ∴， 解得， 综上所述：a的值为15或或10． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 绝对值的性质与几何意义的10类热考题型 目 录 通法归纳—明晰核心解法，助力能力迁移 题型精讲—精讲典型题法，夯实解题根基 类型一、利用绝对值的非负性求解 1 类型二、已知一个数的绝对值求这个数 2 类型三、数轴位置型绝对值化简 2 类型四、解绝对值方程 3 类型五、绝对值与代数式运算综合 4 类型六、零点分段法化简绝对值 5 类型七、|a|/ a型绝对值化简 7 类型八、绝对值的最值问题 8 类型九、与绝对值有关的新定义问题 9 类型十、数轴与绝对值综合问题 10 —攻克高难压轴，突破思维上限 通法归纳—明晰核心解法，助力能力迁移 绝对值是有理数章节的核心概念，兼具代数性质与几何意义，是期中期末必考内容。代数上，正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，0 的绝对值是 0；几何上，一个数的绝对值就是数轴上表示这个数的点到原点的距离。本专题归纳 10 类热门题型，由基础概念逐步过渡到化简、方程、最值和综合应用。解题贯穿两条底线原则：一是绝对值具有非负性，任何数的绝对值都大于或等于 0；二是绝对值化简必须先判断绝对值内式子的正负，再去绝对值符号。所有参数结果最终均需检验 题型精讲—精讲典型题法，夯实解题根基 类型一、利用绝对值的非负性求解 典例精讲1（25-26七年级下·湖南衡阳·期末）若，则________． 题型归纳 1.特征：题目中出现几个非负数（绝对值、平方、算术平方根）的和等于 0，或绝对值与其他非负数相加等于 0，求字母的值. 2.方法：几个非负数的和为 0，则每一个非负数都必须为 0。据此分别令每个绝对值内的式子等于 0，解方程求出字母的值，再代入计算. 3.易错提醒：误认为和为 0 时只需其中一个为 0；绝对值内是多项式时解方程符号出错；求出字母后忘记代回原式验证 变式训练1（25-26七年级上·河南南阳·阶段检测）若，则的值是________． 变式训练2（25-26七年级上·四川成都·期末）若有理数满足，则的值为__________． 变式训练3（25-26七年级上·江西上饶·期末）已知有理数，请比较两数的大小：_______． 类型二、已知一个数的绝对值求这个数 典例精讲2（25-26七年级上·河南平顶山·期末）若，则x的值是_________． 题型归纳 1.特征：已知一个数的绝对值等于某个正数，求这个数；或已知绝对值求原数的取值范围 2.方法：绝对值等于一个正数的数有两个，它们互为相反数；绝对值等于 0 的数只有 0；绝对值不可能等于负数。 3.易错提醒：只写正数解，漏掉负数解；绝对值等于负数时误认为有解；0 的绝对值是 0，不要写成正负 0 变式训练1（25-26七年级上·山东聊城·期末）若，，且，则_____． 变式训练2（25-26七年级上·浙江杭州·期末）若x的相反数是6，y的绝对值是8，则的值为______． 变式训练3（25-26七年级上·山东聊城·期末）已知互为相反数，互为倒数，的绝对值是1，则的值为____________． 变式训练4（25-26七年级上·重庆巴南·期末）若是最大的负整数，，则的值为________． 类型三、数轴位置型绝对值化简 典例精讲3（25-26七年级上·湖北武汉·期末）、、三个有理数在数轴上对应点的位置如图所示，化简式子：（   ） A． B． C． D． 题型归纳 1.特征：给出数轴上若干字母的位置，要求化简含这些字母的绝对值式子，是期中必考基础题 2.方法：根据数轴上点的位置判断每个绝对值内式子的正负（右边的数大，左边的数小）；正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数；去掉绝对值符号后合并同类项 3.易错提醒：判断正负时只看单个字母不看整体式子；负数去绝对值时只变第一项符号，漏变其他项；去绝对值后括号处理不当导致符号错误 变式训练1（25-26七年级上·陕西宝鸡·期末）已知a，b两数表示在数轴上的位置如图所示，则化简的结果是（    ） A． B．2 C． D． 变式训练2（25-26七年级上·江苏无锡·期末）对于有理数a，b，定义一种新运算“”，规定：．例如，．当有理数a，b在数轴上的位置如图所示时，化简得______． 变式训练3（25-26七年级上·安徽合肥·期末）有理数在数轴上的位置如图所示，则化简的结果为__________． 类型四、解绝对值方程 典例精讲4（25-26七年级上·江苏连云港·期末）若，则x的值为______． 题型归纳 1.特征：方程中含有绝对值符号，如 x 的绝对值等于某数，或 ax 加 b 的绝对值等于某数，或含两个绝对值的方程 2.方法：单个绝对值：先将绝对值部分孤立到等号一侧，若右边为正则拆成两个方程（绝对值内等于右边或等于右边的相反数）；若右边为 0 则绝对值内等于 0；若右边为负则无解。两个绝对值：可用零点分段法分类讨论，或利用几何意义求解 3.易错提醒：未将绝对值孤立就拆分；右边为负数时仍拆方程导致错解；两个绝对值方程分类讨论时遗漏区间或区间端点重复 变式训练1（23-24七年级下·福建泉州·阶段检测）关于的方程的解是______． 变式训练2（25-26七年级上·甘肃兰州·期末）解方程 (1)； (2)． 变式训练3（25-26七年级上·全国·单元测试）解方程：． 解：①当时，解得； ②当时，解得． 所以原方程的解是或． (1)解方程：； (2)解方程：． 类型五、绝对值与代数式运算综合 典例精讲5（25-26七年级上·北京海淀·期末）若，，且，则的值为________． 题型归纳 1.特征：题目结合绝对值的性质与代数式的化简、求值、比较大小等，常需先根据条件确定字母的正负或取值范围 2.方法：先利用绝对值条件确定字母的正负性或具体值；再代入代数式进行化简或计算；涉及多个字母时，分别判断每个字母的情况，必要时分类讨论 3.易错提醒：忽略题目中隐含的正负条件（如乘积小于 0）；多种组合时漏解；代入计算时符号出错 变式训练1（25-26七年级上·陕西渭南·期中）已知，则的值为_____． 变式训练2（24-25七年级上·山东济南·阶段检测）有理数，且互为倒数，互为相反数，的绝对值为2． (1)已知互为倒数，则____________； (2)已知互为相反数，则____________； (3)已知的绝对值为____________； (4)求的值． 变式训练3（25-26七年级上·陕西咸阳·期中）已知，． (1)若，求的值； (2)若，求的值． 变式训练4（24-25七年级上·江苏宿迁·阶段检测）已知，． (1)若，求的值； (2)若，求的值． 类型六、零点分段法化简绝对值 典例精讲6（25-26七年级上·全国·课后作业）学习了绝对值我们知道，，用这一结论可化简含有绝对值的代数式．如化简代数式时，可令和，分别求得和，我们就称和分别为和的零点值．在有理数范围内，零点值，可将全体有理数分成不重复、不遗漏的五个部分，可在演草本上画出数轴，找到对应的部分然后进行分类讨论如下： ①当时，原式； ②当时，原式； ③当时，原式； ④当时，原式； ⑤当时，原式； 综上所述，原式，以上这种分类讨论化简方法就叫零点分段法，其步骤是：求零点、分段、区段内化简、综合，根据以上材料解决下列问题：化简代数式． 题型归纳 1.特征：式子中含有两个或多个绝对值，且绝对值内是含字母的一次式，需要化简，是期中压轴核心题型 2.方法：第一步求零点：令每个绝对值内的式子等于 0，求出对应的 x 值；第二步分区间：将零点在数轴上标出，把数轴分成若干区间；第三步分段讨论：在每个区间内判断每个绝对值内式子的正负，去绝对值符号后化简；第四步综合各区间结果 3.易错提醒：零点求错；区间划分时端点重复或遗漏；某区间内判断正负出错，导致去绝对值后符号全错 变式训练1（25-26七年级上·吉林长春·期中）阅读下列材料． 我们知道，现在我们可以利用这一结论来化简含有绝对值的代数式．例如：化简代数式时，可令和，分别求得和（称，2分别为与的零点值）．在有理数范围内，零点值和可将全体有理数分成不重复且不遗漏的如下3种情况：；；．从而在化简时，可分以下三种情况：①当时，原式；②当时，原式； ③当时，原式=； ∴，通过以上阅读，解决问题： (1)直接写出的零点值是_____； (2)化简； (3)直接写出的最大值为_____． 变式训练2（25-26七年级上·黑龙江哈尔滨·期中）阅读下列材料． 我们知道，现在我们可以利用这一结论来化简含有绝对值的代数式．例如：化简代数式时，可令和，分别求得和（称，2分别为与的零点值）．在有理数范围内，零点值和可将全体有理数分成不重复且不遗漏的如下3种情况：；；．从而在化简时，可分以下三种情况： ①当时，原式； ②当时，原式； ③当时，原式； ∴，通过以上阅读，解决问题： (1)直接写出的零点值是________； (2)化简； (3)直接写出的最大值为________． 变式训练3（24-25七年级上·广东广州·期中）阅读下列材料并解决有关问题： 知道：现在我们可以用这一结论来化简含有绝对值的代数式， 如化简代数式时，可令和，分别求得，（称，分别为与的零点值）．在有理数范围内，零点值和，可将全体有理数分成不重复且不遗漏的如下种情况：（1）（2）（3），从而化简代数式． 通过以上阅读，请你解决以下问题： (1)分别求出和的零点值； (2)化简代数式； (3)求方程：的整数解． 类型七、|a|/ a型绝对值化简 典例精讲7（25-26七年级上·福建泉州·期末）已知x、y、z是非零有理数，有以下结论： ①的值为0或； ②当时，的值为； ③当，时，的值为或； ④当时，的值为0． 其中结论正确的是________（填序号）． 题型归纳 1.特征：题目形如|a|/ a，或多个此类式子相加，要求判断符号或化简求值 2.方法：当 a 大于 0 时，a 的绝对值除以 a 等于 1；当 a 小于 0 时，a 的绝对值除以 a 等于负 1；a 等于 0 时无意义。多个此类式子相加时，先判断每个字母的正负，再分别代入 1 或负 1 计算 3.易错提醒：忽略 a 不能等于 0 的条件；正数时结果为 1、负数时为负 1，容易搞反；多个字母时正负判断错误导致结果符号错 变式训练1（25-26七年级上·广东深圳·阶段检测）若有理数m，n，p满足，则_______． 变式训练2（25-26七年级上·陕西西安·阶段检测）已知，且，，的最大的值为，最小的值为，则________． 变式训练3（25-26七年级上·吉林长春·期中）请利用绝对值的性质，解决下面问题： (1)已知，是有理数，当时，则______；当时，则______． (2)已知，，是有理数，，，求的值． (3)如果，，是有理数且，那么的值是______． 类型八、绝对值的最值问题 典例精讲8（25-26七年级上·河南·期末）数轴上的两个点A，B，分别用数a，b表示，那么A，B两点之间的距离为，反过来，式子的几何意义是：数轴上表示数a的点和表示数b的点之间的距离．若代数式的最小值是3，则 ______． 题型归纳 1.特征：求若干个绝对值之和的最小值，或求含绝对值的代数式的最值，是期中重难点题型 2.方法：利用绝对值的几何意义：x 减 a 的绝对值表示数轴上 x 到 a 的距离。两个绝对值之和的最小值是两定点间的距离，x 在两点之间时取得；奇数个绝对值之和，x 取中间那个定点时最小；偶数个时 x 在中间两个定点之间（含端点）时最小 3.易错提醒：奇数个和偶数个取最小值的 x 位置不同，容易混淆；x 的取值范围遗漏端点；将绝对值之和误认为差，或计算两定点距离时符号出错 变式训练1（24-25七年级上·江苏无锡·期中）一般地，数轴上表示数和数的两点之间的距离等于．如果，那么______．请你结合数轴与绝对值的知识求得的最小值为______． 变式训练2（25-26七年级上·江苏南京·阶段检测）已知，，若，则的最大值与最小值的乘积为__________． 变式训练3（25-26七年级上·全国·单元复习）根据这一性质，解答下列问题： (1)当 时，有最小值，此时最小值为 ； (2)当a取何值时，有最小值？这个最小值是多少？ (3)当a取何值时，有最大值？这个最大值是多少？ 变式训练4（24-25七年级上·江苏南京·阶段检测）【阅读】：表示7与3差的绝对值，也可理解为7与3两数在数轴上所对应的两点之间的距离：可以看作，表示7与的差的绝对值，也可理解为与两数在数轴上所对应的两点之间的距离． 【探索】： （1）如果，那么 ； （2）有最小值 ； （3）有最大值 ； 【应用】： （4）的最小值为 ； （5）的最大值为 ． 类型九、与绝对值有关的新定义问题 典例精讲9（25-26七年级上·湖北武汉·期末）对任意两个有理数，定义如下运算：．若，则，的关系为（   ） A． B． C．或 D．或 题型归纳 1.特征：题目定义一个与绝对值相关的新概念（如 "绝对和"" 距离差 ""关联数" 等），要求按定义计算、化简或探究规律 2.方法：仔细阅读定义，明确新概念的运算规则或判定条件；将新定义转化为常规的绝对值运算；代入具体数值验证理解是否正确后再解题 3.易错提醒：未读懂定义就盲目计算；新定义中的条件有多个时漏看；将新定义与已有绝对值概念混淆；多步运算时未按定义规则逐步进行 变式训练1（24-25七年级上·广东深圳·阶段检测）定义一种新运算，规定运算法则为：（m，n均为整数，且）．例：，再定义另一种新运算“☆”，对于任意有理数a，b和c，， 比如，请计算__________ 变式训练2（23-24七年级上·湖北恩施·期中）我们定义一种新运算：． 如，有理数的运算法则适用于新运算．按照上述定义计算下列各式： (1)； (2)． 变式训练3（25-26七年级上·辽宁大连·阶段检测）定义新运算：． (1)计算的值； (2)已知有理数在数轴上满足，化简． 类型十、数轴与绝对值综合问题 典例精讲10（25-26七年级上·广东深圳·期末）阅读理解：数轴上表示有理数的点到原点（有理数0表示的点）的距离，叫作这个有理数的绝对值．例如：，它表示数轴上表示有理数2的点到原点的距离，从数轴上容易发现，表示有理数2的点到原点的距离是2个单位长度，即（如图①）．同样的，数轴上表示有理数和表示有理数的两个点之间的距离可以用来表示．例如：数轴上表示的点到表示2的点的距离用表示，从数轴上容易发现，表示的点到表示2的点的距离是5个单位长度，即（如图②）． 以上这种借助直观的数轴来解决问题的方法就是研究数学问题常用的“数形结合”的方法．请你根据以上学到的方法完成下列任务． 【任务一】请根据以上阅读计算： 若点表示，点表示1，则两点的距离是 ． 【任务二】根据绝对值的意义求字母的值： 若，求所表示的有理数．根据绝对值的意义，“”指数轴上表示的点到表示3的点的距离是4个单位长度，表示的有理数是 ． 【任务三】设点在数轴上表示的有理数是，借助数轴如图探索： 的最小值是 ． 题型归纳 1.特征：题目同时涉及数轴上点的位置、距离、动点运动与绝对值化简，常以解答题形式出现，是月考、期中压轴题型 2.方法：先用数轴确定各点表示的数或大小关系；动点问题设时间 t，用含 t 的式子表示动点位置；两点间距离等于两数差的绝对值；根据距离关系或位置关系列绝对值方程或化简式；分类讨论动点在不同位置时的情况 3.易错提醒：动点位置表达式中速度方向符号错误；距离未加绝对值导致漏解；动点越过定点后绝对值内正负变化，未分段讨论；解出结果后未检验是否符合实际运动范围 变式训练1（25-26七年级上·江西赣州·期中）【阅读材料】借助数轴能更好地理解绝对值的几何意义． 数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值，记作． 如：表示数轴上5这个点与原点的距离，即． 一般地，数轴上表示数m的点与表示数n的点之间的距离等于． 如：数轴上表示3的点与表示的点之间的距离为． 根据以上阅读材料，解答下列问题： (1)数轴上表示的点与表示3的点之间的距离是________；数轴上表示x的点与表示2的点之间的距离可以表示为________；若，则________． (2)【拓展延伸】 ①若，求x的取值范围； ②对于实数x，的最小值是________，此时________． 【方法指导】 对于问题（2），可以理解为：数轴上表示数x的点到表示的点和到表示3的点的距离之和． 要使这个距离之和等于4，x应该取什么位置呢？ (3)综合应用：江西某快递公司在一条东西走向的街道上设置配送点，该街道上有A，B，C，D，E五个小区，它们在数轴上对应的位置如图所示（单位：百米）： 若快递公司只能在其中一个小区设配送点，为使配送点到五个小区的距离之和最小，应选择在哪个小区设置配送点？请说明理由． 变式训练2（25-26七年级上·广西崇左·阶段检测）在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大，利用此规律，我们可以求数轴上两个点之间的距离，具体方法是：用右边的数减去左边的数的差就是表示这两个数的两点之间的距离． [操作发现] （1）如图，数轴上表示2和7的两点之间的距离是 ；数轴上表示1和4的两点之间的距离是 ；数轴上表示和2的两点之间的距离是 ； [类比探究] （2）若点M表示的数是m，点N表示的数是n，则点M、N之间的距离为 ； [拓展应用] （3）若数轴上分别表示m和的两点A和B之间的距离是24，则 ； （4）表示的几何意义是 ； 表示的几何意义是 ； 表示的几何意义是 ． （5）若数轴上表示a的点位于表示与2的两点之间，求的值； （6）利用数轴分析，若x是整数，且满足，则满足条件的所有x的值的和为 ． 变式训练3（25-26七年级上·广东揭阳·期中）【定义新知】 数形结合就是把“数”与“形”结合起来进行相互转换，充分发挥各自优势解决问题．同学们都知道，表示与2的差的绝对值，可理解为与2两数在数轴上所对应的两点之间的距离；同理，可理解为在数轴上对应的点分别到1和所对应的点的距离和． 请根据数轴解决以下问题： 【举一反三】 （1）可理解为______与______在数轴上所对应的两点之间的距离； （2）若，则的值为______； 【问题解决】 （3）请你结合数轴探究：的最小值是______； （4）借助数轴思考，当x为何值时，与的值相等． 【拓展应用】 （5）如图，、分别为数轴上的两点，点对应的数为，点对应的数为100．现有一只电子蚂蚁从点出发，以6个单位/秒的速度向左运动，同时另一只电子蚂蚁恰好从点出发，以4个单位/秒的速度向右运动，设两只电子蚂蚁在数轴上的点相遇，请你求出点所对应的数是多少． 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 1．（25-26七年级下·安徽宿州·期中）已知，则的值为（     ） A．8 B．6 C．5 D．3 2．（25-26七年级下·黑龙江绥化·阶段检测）若m，n为有理数，，，且，那么m，n，，的大小关系是（   ） A． B． C． D． 3．（25-26七年级上·四川凉山·期末）已知，互为相反数，，互为倒数，的绝对值为，则的值为（ ） A．0或 B． C． D．0或4 4．（25-26七年级上·福建泉州·期末）已知整数满足，则所有满足条件的整数的和是（    ） A．3 B．1 C．0 D． 5．（25-26七年级上·江西上饶·期末）已知是有理数，且，下列结论： ①；②；③；④若，是有理数，且满足，则或2． 其中正确个数有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 6．（25-26七年级上·浙江嘉兴·期末）已知的最小值是，的最大值是，则（    ） A．9 B．10 C．11 D．12 7．（25-26七年级上·山东临沂·期末）有理数a，b，c均不为0，且，设，则代数式的值为（   ） A．0或1 B． C．或 D． 8．（25-26七年级上·江西吉安·期末）已知，则的所有可能值为______． 9．（25-26七年级上·浙江金华·阶段检测）已知，且，则m的最小值是______． 10．（25-26六年级上·上海·期末）的最小值为______． 11．（25-26七年级上·安徽合肥·期末）有理数a，b，c在数轴上的位置如图所示，化简：_____． 12．（25-26七年级上·辽宁大连·阶段检测）已知，，且，求的值． 13．（25-26七年级上·宁夏吴忠·期末）有理数a，b，c在数轴上的位置如图所示．化简：． 14．（25-26七年级上·四川宜宾·期中）已知有理数，互为相反数，，互为倒数，的绝对值是4，是最小的正整数，求的值． 15．（25-26七年级上·河南漯河·期末）如图：数轴上，，三点分别表示的数为、、，点表示的数为． 【阅读材料】：在数轴上表示数的点到原点的距离叫做的绝对值，记为，数轴上表示数的点与表示数的点的距离记为（或），数轴上数表示的点到表示数的点与表示数的点的距离之和记为． (1)填空：______；______； (2)若点表示的数为，当取最小值时，=_____； (3)动点从点出发，以每秒个单位长度的速度向右运动，求当经过多少秒时，点到点、点的距离之和为． 16．（25-26七年级上·湖南常德·期末）阅读与理解：数形结合就是把“数”与“形”结合起来进行相互转换，充分发挥各自优势解决问题．同学们都知道，表示与2的差的绝对值，可理解为与2两数在数轴上所对应的两点之间的距离；同理，可理解为在数轴上对应的点分别到1和所对应的点的距离之和． 【举一反三】（1）可理解为______与______在数轴上所对应的两点之间的距离； 【问题解决】（2）请你结合数轴探究：的最小值是______； （3）若，则______； 【拓展应用】（4）已知，满足，数轴上点和点所对应的数分别为和，点为数轴上一动点。若点、点分别以2个单位长度/秒和个单位长度/秒的速度同时向右运动，点以3个单位长度/秒的速度同时从原点向左运动。当点与点之间的距离为2个单位长度时，求点所对应的数是多少？ 17．（25-26七年级上·北京·期末）对于整数a，b，定义一种新的运算“⊙”： 当为偶数时，规定； 当为奇数时，规定． (1)当，时，求的值． (2)已知，，求式子的值． (3)已知，求a的值． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $