第2讲 相反数与绝对值-【培优竞赛·超级课堂】2026-2027学年七年级全一册数学

a= 4,AB=9 Bc=号cD=号 4 =-3+号- D -3 折痕 6 图2 如图3，当AB:BC:CD=2:1:1时，设AB=2a, BC=a,则CD=a,,a十a十2a=9, 4AB=9 a=是，BC=号，cD= y B C -3 折痕 6 图3 综上所述，折痕点可能的数是、号或公 9C1040或24.1-2. 2设k0点表示的有理数为x,则k1,k2,…,k1o0点所表 示的有理数分别为x一1，x一1十2，x一1十2-3，…， x-1+2-3+4-…-99+100. 由题意得x-1+2-3+4-…-99十100=19.94， 解得x=-30.06. 第2讲相反数与绝对值 例18或4.提示：由题意可知a十b=0,cd=1,x ±2，y=±1.x>y,.x=2,y=±1（当x=-2 时，y=士1>x,不符合题意).当y=1时，原式= (-1)×2-1×1+4×2+3×1=8;当y=-1时，原 式=(-1)×2-1×(-1)+4×2+3×(-1)=4. .原式=8或4. 例2由题意知，a>0>c>b,.|a=|cl, ,∴.a+b<0,c-a<0,c-b>0,a十c=0, 原式=a十a十b+a-c十c-b+0=3a. 刚1)当x≥2时，原式=2x-1; 当x<2时，原式=-(2x-1)=1-2x. (2)当x<1时，原式=-(x-1)-(x-3)=4-2x; 当1≤x<3时，原式=(x-1)-(x-3)=2; 〔参考答案与提示 当x≥3时，原式=(x-1)+(x-3)=2x-4. 例4A提示：因为a十b十c=0,所以a,b,c中至少有 一个为正数，有一个为负数，所以有两种情况. ①当a>0,b>0,c<0时， 原式=8+名++放=-1+1-1-1=0 ②当a>0,b<0,c<0时， 原式-8+。+号气+鉴=11-1+1=0 例5.有理数a,b满足|ab-2十(1-b)2=0, 则可知ab一2=0,1一b=0,则a=2,b=1. ∴原式=议+文2+议十叶2028X20@ 1 1 =1+日日+w+3 1 1 12027 =1-2028-2028 例6方法一当x≤-1时，原式=3-x一x-1=2- 2x,因为x≤-1，所以2-2x≥4； 当-1<x<3时，原式=3-x十x十1=4； 当x≥3时，原式=x-3+x+1=2x-2, 因为x≥3，所以2x-2≥4. 综上所述，x-3+|x+1≥4， 因此x-3引+|x+1有最小值为4. 方法二如图，|x一3十x十1所表示的意义为数轴 上表示数x的点到表示数3和一1的点的距离的和. -1z 3 -2-1012$4→ 由图形可知，当一1≤x≤3时，这个距离之和最小，最 小值为3+1=4. 【变式题组】 1-1C1-2A2-1C 22A提示：，a,b,c为整数，且a-b2晒+|a一c|2晒= 1,.①|a-b|=0,lc-a=1,即a=b,|c-bl= lc-a=1,lb-c=1,②la-b=1,|c-a|=0,即c= a,a-b|=c-b|=|b-cl=1.综上所述，|b-c|= 1.:.la-61+16-c1+lc-al=1+1=2. 31|x十1+|x-2≥3，当-1≤x≤2时等号成立； |y-2+|y+1|≥3，当-1≤y≤2时等号成立； |之-3+|之十1|≥4，当-1≤x≤3时等号成立. 官)培优竞赛超级课堂 7年级数学 由条件得只有|x+1+x-21=3,y-2+y+1= 3,之-3+之+1=4，满足题意， 则当x=2,y=2,之=3时，x十2y十3z的值最大，最 大值为15. 当x=-1,y=-1,z=-1时，x+2y+3z的值最 小，最小值为一6. 国A提示：当ab,c同为正数时，日十名十行 1十1+1=3不满足条件；当a,b,c为两正一负时， 合十合+后-1+1-1=1满足条件，此时k< 0,血=-1，当a,b,c同为负数时，合+6十 abc =-1-1-1=-3,不满足条件；当a,b,c为两负 一正时，不满足条作，综上所述，会-1 2C提示：对于任意非零实数4，有=1x> xi 0),z=-1z,<0),且正数个数为，负数个数为 工2024 l2=nX1+(2025-n)×(-1)=n-2025+ x2025 n=2n-2025 5-]C提示：由绝对值的定义知，lx1十a|≥0，|x2十b|≥ 0,lx3十c|≥0，x4十d|≥0. .lx1+a+|x2+b|+|x3+cl+|x4+d|=0, .lx1+a=0,x2+b|=0,|x3+cl=0,lx4+d|= 0,即x1=-a,x2=-b,x3=-c,x4=-d. 又a,b,c,d都是负数， “x1x2x3x4都是正数，故1的值大于0. 函 提示：由a+b-c|+|b-1|+|2-ab|=0 6-1=0, a=2, 知ab-2=0,则b=1, a+b-c=0,(c=3. 1 1 则原式=1×2X3十2X3×4+3×4X5+…十 x吗xo(22)+号(3文)+ 号(6以4k)+…+专(g86g0又0)= 111 11 1 1 2（1×22×3十2X33×4+3X44X5+…+ 1 6111l9.提示：依题意得a≤b≤c≤d,则原式= (b-a)+(c-b)+(d-c)+(d-a)=2(d-a),① 所以当d=9,a=1时，①式最大，故这个四位数的最 小值为1119. 6-28.提示：m-2+m-4|+|m-6|+|m-8|所 表示的意义为数轴上表示数x的点到表示数2,4,6,8 的点的距离的和，画图如下： -4-202468* 由图可知，当点在4与6之间时，距离之和最小，此时 |m-21+|m-4|+m-6|+m-8|=m-2+m- 4+6-m+8-m=8. 【能力平台】 1A 2D 3B 4D 5C提示：：ab+a十b=l,a,b为整数，∴.|ab= 0,a+b|=1或ab|=1,a十b1=0,∴.a=0,b=1 或a=1,b=0或a=0,b=-1或a=-1,b=0或 a=1,b=-1或a=-1,b=1. 6A提示：abc<0,a+b十c=0,a,b,c中有一 负两正..当a>0,b>0,c<0时，a+b=-c>0, 6+c=-a<0,c十a=-b<0,则m=3a+b la+cl2lb+cl=-3c-6-24=-3-1-2= a c b a -6;当a>0,b<0,c>0时，a+b=-c<0,b十c= -a<0,c+a=-b>0,则m=3到a+bl_la+cl_ C b 26+c_3c--b_2a=3+1-2=2;当a<0,b> c b a 0,c>0时，a+b=-c<0,b十c=-a>0,c+a= -b<,则m=3到a+bl-la十cl_2lb+cl_3c b 名-2-3-1+8=4综上所达，m共有3个不同 的值，x=3.m的最大值为4，最小值为-6， y=4,z=-6,.(y十x)F=(-6+4)3=-8. 7-1012.提示：因为x1=0,所以x2=-|x1+1= 一1.同理可得x3=-1,x4=一2，x5=一2，x6=一3， x7=-3,…,所以(2025-1)÷2=1012，所以x20%s= -1012. 回a-g≤1，÷-13≤3， ..3x+1≥0，x-10, ..原式=3x+1+2(x-1)=5x-1. (2)当|x|+|x十4|最小时，有-4≤x≤0. ①当-4x<-号时，3x+1-21x-1=-(3x+ 1)+2(x一1)=一x一3，此时最大值为1； ②当-号<x<0时，3x+1-2lz-1=3x+1+ 2(x一1)=5x一1，此时最大值为一1. 综上所述，|3x十1|-2x-1的最大值为1. 回A提示原武2。引+引，引+引 引+引x引+引+引x引该 式可以看成数轴上的某点到片，号，行一，各个点 的距离乘以相应系数后所有积的和又号+号+子十 号号+号，故该点在品和时之间时和最小 109;l.提示：c-d=(c-b)+(b-a)+(a-d),(*) .lc-d≤|c-bl+lb-a|+la-d|=9,当a=4, b=6,c=9,d=0时取等号，∴.最大值为9. 由(*)式可知，c一d必定是一个整数，且是一个奇数， ∴.c-d|≥1，当a=0,b=2,c=5,d=4时取等号. 最小值为1. 团6.提示：因为x十1+2x-1+|x十3表示x到 一1，一3的距离以及到1的距离的2倍之和，所以当 x在-一1和1之间时，它们的距离之和最小，此时a十 2b+c=6. 12-16.提示：|x+2+y-4+|x-1|+|y+1川 =8,要使2x-3y最小，则x取最小值，y取最 大值.∴.当-2≤x≤1时，x十2+|x-1的最小 值为3，x的最小值为-2；当-1≤y≤4时，y-4|+ |y十1的最小值为5y的最大值为4..2x-3y 参考答案与提示 的最小值为2×（一2）-3×4=-4-12=-16. 3a≤7.提示：x一y表示数轴上两点x,y之间的距 离，画数轴易知，x一2+|x十3|+x一1+x十1| 表示x到一3，一1,1,2这四个点的距离之和. 令y=|x-2|+|x+3+|x-1|+|x+1. 当x=-3时，y=11;当x=一1时，y=7;当x=1 时，y=7;当x=2时，y=9. 当一1≤x≤1时，由于四点分列在x两边，恒有y= 7;当-3≤x<-1时，7<y≤11；当x<-3时，y> 11;当1≤x<2时，7≤y<9;当x≥2时，y≥9. 综上所述，y≥7. 所以a≤7，即|x-2|+x+3|+|x-1+|x+1|≥ 7对一切实数x恒成立，从而a的取值范围为a≤7. 1418.提示：：a1,a2,a3,a4,a5为互不相等的正偶数， .2026-a1,2026-a2,2026-a3,2026-a4,2026- a5为偶数.又.242=4×6×4×6=2×(-2)×4×6× (-6)=(2026-a1)(2026-a2)(2026-a3)(2026 a4)(2026-a5),.a1,a2,a3,a4,a5分别为2020， 2022,2024,2028,2032.lx-a1|+lx-a2+x a3|+|x一a4|+|x一a5|表示数轴上一点x到a1, a2,aa,a4,a5的距离之和，∴.当x=2024时，有最 小值，最小值为x一a1|+|x-a2|+|x一a3|+|x a4+|x-a5|=4+2+0+4+8=18. 15(1)8. (2)x和2关于3的“美好关联数”为4， .x-3|+2-3=4, ∴.x一3=3，解得x=6或x=0. (3)①1.提示：x0和x1关于1的“美好关联数” 为1， .x0-1+x1-1=1, 在数轴上可以看作数x。到1的距离与数x1到1 的距离之和为1， xo十x1有最小值1. ②820.提示：x1一2|+|x2-2|=1,x1十x2的最 小值为1+2=3： |x3一4+|x4-4=1,x3十x4的最小值为3+4=7； |x5一6+x6一6=1，x5+x6的最小值为5+6=11： |x?-8+|x8-8|=1,x7十x8的最小值为7十8=15； 官)培优竞赛超级课堂 7年级数学 … |x9一40|十|x0一40|=1，x9十x0的最小值为39十 40=79; ∴x1十x2十x3十…十x0的最小值为3十7+11十 15+…+79=3+79)X20=820. 2 旧建立圆环模型（如图所示），把六个数排成一圈，与1 相邻的数尽可能小，即2,3；与2,3相邻的数也尽可能 小，即4,5；最后6在4,5中间，也满足尽可能小. 6 因而取x1=1,x2=2,x3=5,x4=6,x6=4,x6=3, 则S=|x1-x2十x2-x3+|x3-x4+|x4-x5十 |x5-x6+|x6-x1=1+3+1+2+1+2=10. 所以S的最小值为10.（也可以取x1=1,x2=3,x3= 4,x4=6,x5=5,x6=2) 第3讲有理数的加减乘除运算 原式=76×3-76×高+23×品+23×石-53× 名+53×6 -(76×3-3×2云)+(-76×3+23× 3)+(23×元+53×元) =23×名+(-53×3)+76×7启 =1+(-1)+1=1. 例2方法一原式=0.5+1+1.5+2+…十29.5 =(0.5+29.5)X59=885. 方法二原式=0.5+1+1.5+2+…+29.5 =(0.5+1.5+…+29.5)+(1+2+…+29) -0.5+29.5)×30+1+29)×29-885. 2 2 方法三设原式之和为5，对每个括号内的各项倒序相 加，则=合+（层+）+(++)+（告+ +号+)++（需+器+…+品+）将原 序与倒序相加，则有2s=1+2+3+…+59= 1+59)X59=30X59,故5=15×59=885. 2 3(1ω11 nn+1' 1=n+1-n=n+1 n 1 (2》n(m+i一nm+)nm+in(n+n 1 n+1 ③)原式-1-合+号-吉+…+222 1 1_2025 =1-2026-2026 (w原式=合×(1-3)+合×（号-号）+合× (传号)++号×(2020) 合×(1-+日日+…脑d) 11 =号×0-22) -古×号8-0器 例4方法一 原武=（合+日++22）×1+（合+ 合+…+2)×（号+日++2）-（号+ g+…+2)x1-(合+号++2)x(3+ +…+)-（合+++a)-(合十 3++202）=2027 方法=设a=+日++20276号+号+ 1 +2026 则a一b=2027 原式=a(1+b)-(1+a)b=a-b=2027 方法三设2+号+…叶2d6=61计号+号十叶 2026=a,则a-b=1. 原武-=(b+2027)a-(a+202)b第2讲 相反数与绝对值 卑情境课堂 马丁·加德纳(1914一2010)，美国数学家和著名的数学科普作家.1957年，他在 《科学美国人》杂志上开设了一个数学游戏专栏，这个专栏一直延续到1981年才宣告结 束.正是这个专栏奠定了加德纳在趣味数学领域的地位.加德纳最著名的趣味数学作品 集包括《啊哈！灵机一动》《啊哈！原来如此》《从惊讶到思考一一数学悖论奇景》《矩阵博 士的魔法数》等 ℃⊙÷6可 茶杯与硬币 马丁·加德纳 这是一道如今被称为“脑筋急转弯”的问题，它打破了人们的传统思维，向着诡辩的方向发展 [问]如图所示，四枚硬币放在三只玻璃杯中，使每只玻璃杯中的硬币数都是 奇数 [答]奇数个奇数的和仍是奇数，这样的问题似乎无解.但请你注意下面的解 法一一将其中两只玻璃杯摞起来，就找到答案了（注：此题还有其他解答方法，读者 不妨一试) 典例剖析 类型1互为相反数 例1(2026，湖北武汉南湖中学月考)已知a,b互为相反数，c,d互为倒数，x=2,y在数轴上 对应的点到原点的距离为1，且x>y,则(a十b一1)x-cdy十4x十3y的值为 ⑤【学找切入点】利用相反数、倒数与绝对值的性质求a十b,cd,x,y. 变式1-1如图，四个有理数在数轴上所对应的点分别为点M,P,N,Q.若点M,N表示的有理 数互为相反数，则图中表示的数的绝对值最小的点是( ) M P NQ A.点M B.点N C.点P D.点Q 变式12（第十三居“新希望杯”全国大赛）已知1=一 2若a是t的相反数，b是t的倒数，c是 的绝对值，则a十b十c=(). A.-1 B.1 C.-2 D.3 类型2)绝对值的化简 例2（第十届“新希望杯”全国大赛）已知有理数a,b,c的对应点A,B,C在数轴上的位置如图 ·8· 第2讲相反数与绝对值 所示，其中OA=OC,化简：a-|a+b|+|c一a|+c-b|+|a+cl. B C O b 0 一 ⑤【学找切入点】根据各点在数轴上的位置，利用绝对值的性质进行化简. 变式2-1不相等的有理数a,b,c在数轴上的对应点分别是A,B,C,若|a一b|十|b一c|=|a一c|, 那么点B(). A.在点A,C的右边 B.在点A,C的左边 C.在点A,C之间 D.以上说法均有可能 变式2-2(2025，浙江杭州自主招生)已知a,b,c都是整数，且a一b225+|a一c225=1,那么 a一b+|b一c+|c-a|的值为(). A.2 B.1 C.0 D.-1 归纳总结 绝对值的化简与绝对值的基本性质 1.一个正数的绝对值是它本身，一个负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0. a (a>0), a 0 (a=0), -a(a<0). 2.从数轴上看，a表示数a的，点到原，点的距离；a一b表示数a与数b所对应的两，点间的距离 3.绝对值有如下基本性质： (1)a≥0； (2)a2=a2|=a2; (3)abl=lalbl; (b≠0)； (5)a+b|≤|a|+lbl: (6)a-b≥a|-lbl. 例3化简：(1)2x-1;(2)1x-1+|x-3|. ⑤【学找切入点】(1)就2x一1≥0,2x一1<0两种情形去掉绝对值符号. (2)将零点1,3（使x一1=0，x-3=0的值）在同一数轴上表示出来，就x<1,1≤x<3,x≥3三种情况进 行分类讨论. 变式3-1已知(|x+1+x-2)(|y-2|+|y+1|)(z-3|+|之+1)=36，求x+2y+3z的 最大值和最小值 例4若aic≠0，且a+b+e=0,那么合十6十十Tac b c abc 的所有可能的值为( A.0 B.1或-1 C.2或-2 D.0或-2 ⑥【学找切入点】根据a,b,c的所有可能情况去掉绝对值符号，这是解本题的关键。 ·9· 目)培优竞赛超级课堂 7年级数学 变式4025，潮南长沙自主都生)已知非零有理数。，6，满足合十合十后=1，则 b abc 等于( A.-1 B.0 C.1 D.±1 变式4-2(2025，北京昌平区期中)若x1x2x3…x2024x205≠0，且x1,x2,3,…,x2024,x2025这 2025个数中有n个正数，则+x2十+…+x@ |x225的值为( C2024 x2025 A.2025-n B.2025-2n C.2n-2025 D.n-2025 类型3)绝对值的非负性 例5如果有理数a,b满足1ab-2引+(1-b)2=0,试求1十 'ab千(a+1)(b+1D十(a+2)(b+2) 十十 1 (a+2026)(6+2026)的值. ⑤【学找切入点】运用绝对值、非负数的概念与性质，先求出α，b的值，再求式子的值. 变式5已知a,b,c,d都是负数，且x1十a+1x2十b+lx十c+|x4十d=0,则1的值 3 ). A.小于零 B.等于零 C.大于零 D.小于等于零 变式52已知a+b-c|+b-11=-12-ab,则 ic+(a+1)6+1D(c+D+ 1 (a+2)(6+2)(c+2)+…+(a+97)6+97)(c+97)的值为 归纳总结 非负数的性质 大于或等于0的数称为非负数，非负数有以下性质： (1)非负数的最小值为0； (2)如果几个非负数的和为0，那么每个非负数均为0； (3)任何数的绝对值都是非负数 类型4利用绝对值的几何意义求最值 例6求|x一3+|x+1的最小值 ⑤【学找切入点】方法一分情况讨论，求出x一3十|x十1的值，通过比较得出答案。 方法二利用绝对值的几何意义，通过图形直观得出答案。 变式6-1(2025，四川成都竞赛)已知a,b,c,d分别是一个四位数的千位、百位、十位、个位上的 数字，且低位上的数字不小于高位上的数字，当|a-b|十|b一c|+|c一d|十|d一a|取得最大值 ·10· 第2讲相反数与绝对值 时，这个四位数的最小值是 变式6-2(2025，江苏无锡自主招生)已知m是有理数，则|m一2十m一4|+m一6|+m一8| 的最小值是 研讨乐园 数轴上距离最小问题 例7阅读下面的材料： 点A,B在数轴上分别表示数a,b.A,B两点之间的距离表示为|AB|. 当A,B两点中有一点在原点时，不妨设点A在原点，如图1， AB|=|OB|=|b|=a-b1. 当A,B两点都不在原点时： (1)如图2，点A,B都在原点的右边， AB=OB-OA=6-al=b-a=la-bl; (2)如图3，点A,B都在原点的左边， |AB|=OB|-|OA=|b-|a=(-b)-(-a)=|a-b|; (3)如图4，点A,B在原点的两边，不妨设点B在原点左边，点A在原点右边， AB|=|OA|+lOB|=|a|+|b|=a+(-b)=a-b. O(A) B OA B B AO BO A 0(a) 0 ab b a o b 0 a 图1 图2 图3 图4 综上所述，数轴上A,B两点之间的距离AB=|a一b. 回答下列问题： (1)数轴上表示2和5的两点之间的距离是 ,数轴上表示一2和一5的两点之间的 距离是 ,数轴上表示1和一3的两点之间的距离是 (2)数轴上表示x和一1的两点A和B之间的距离是 ,如果|AB|=2,那么x为 (3)当|x一2+x一3取最小值时，x-2|+|x一3-|x一1的值最大是 ,最小 是 ⑤【学找切入点】从数轴上可看出|a一b的意义是数轴上表示数a,b两点之间的距离， 【解】(1)3；3；4.(2)x+1;1或-3.(3)0；-1.[提示：当2≤x≤3时，x-2+|x-3 的值最小，则原式=|2一3一|x一1=1一1x一1.故当x=2时有最大值0；当x=3时有最小 值-1.] 【研讨1】某公共汽车运营线路AB段上有A,D,C,B四个汽车 站，如图所示，现在要在AB段上修建一个加油站M,为了使加油站选址AD C B 合理，要求A,B,C,D四个汽车站到加油站M的路程总和最小，试分析加油站M选址在何处 最好？ ·11· 目)培优竞赛超级课堂 7年级数学 甲的探究设点A,B,C,D,M均在数轴上，与之对应的数为a,b,c,d,x,且a<d<c<b, MA+MB+MC+MD=x-a+x-6+x-c+x-dl, 其中MA十MB=|x一a|+|x一b|,由绝对值的几何意义知当a≤x≤b时，MA十MB的值 最小 同理，当d≤x≤c时，MC+MD的值最小 综上所述，当d≤x≤c时，MA+MB+MC+MD的值最小，即加油站M应建在线段CD上 【研讨2】如果某公共汽车运营线路上有A1,A2,A3,A4,A,五个汽车站（从左到右依次排 列)，上述问题中加油站M建在何处最好？ 乙的探究加油站M应建在A3汽车站， 【研讨3】如果某公共汽车运营线路上有A1,A2,A3,·,A共n个汽车站（从左到右依次 排列)，上述问题中加油站M建在何处最好？ 丙的探究当n为奇数时，加油站M应建在A+汽车站处； 当n为偶数时，加油站M应建在线段A:A+上 【研讨4】根据以上研讨的结论，求|x一1十|x一2+x一3+…+|x一617的最小值， 丁的探究在数轴上找出表示x的点，使它到表示1,2，…，617各点的距离之和最小，当x= 309时，原式的值最小.最小值是|309-1|+|309-2+…+|309-308|+0+|309-310|+|309- 311+…+|309-616|+309-6171=308+307+…+1+1+2+…+308=95172. 【研讨5】拓展应用 (1)求|x一1|+2|x-3|+3x一4|的最小值； (2)求f(x)=|x-1+|2x一1|++|2027x-1|的最小值 戊的探究(1)当3≤x≤4时，原式的最小值为x-1十2(x一3)一3(x一4)=x一1+2x 6-3x+12=5. 76 (2)当x=1434时，/x)取得最小值为839 39 一般情形：设f(x)=|x一a1+|x-a2十…+lx-an,其中a1≤a2≤≤am: 若n=2k,则当a≤x≤a+1时，f(x)取得最小值； 若n=2k十1，则当x=ak+1时，f(x)取得最小值 回到原题，f)1x-1+-2+2-+x-+x-引+x-引+… 1 1 2027 2027 共有1+2+…+2027-2028X2027-=2055378个点. 2027个 1 设a1=1,a2=a3= 2,04=a5=a6=3,…a2078= 2027且2055378=1027689. 2 现在求a1m和a1gm的值设a1es=},则1+2+3十十≥1027689,1+2-十 t-1<1027689,可得t-1434,且a1o27689=a1027690-1434 ·12· 第2讲相反数与绝对值 故x=时x)的值0最小 最小值为f148)=1-184+1-2×1484…中1-1484×134+1485×184 76 1++2027×1434-1=839 39 归纳总结 |a一b的几何意义及其拓展 1.|a一b|的几何意义是数轴上表示数a,b两点之间的距离. 2.如图1，当a≤x≤b时，|x一a+|x-b|的值最小. 如图2，当x=b时，|x一a|+|x一b|+x-c的值最小. a x b a b(x)c 图1 图2 3.一般地，设a1,a2,a3,…,am是数轴上从左到右依次排列的表示有理数的，点. 当n为奇数时，若x=a史，则x一a十z一a2十…十x一an的值最小； 当n为偶数时，若a爱≤x≤ag1则|x一a1十x一a2十…十lx一an的值最小. 能力平台 ⑤培优训练 (建议用时30分钟) A.2a-2b-2c B.-2b 1.(经典，山东临沂中考)在实数a,b,c中，若a十b=0, C.2a-2b D.-2a b-c>c-a>0,则下列结论：①lal>|bl,②a> 5.(2024,浙江宁波自主招生)满足|ab|+a十b|=1 0,③b<0,④c<0,正确的个数有(). 的整数对(a,b)共有( ） A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 A.2对 B.4对 2.(经典，黑龙江大庆中考)下列说法正确的是( C.6对 D.8对 A.a< 6.(2026,湖北华宜寄宿学校检测)已知m-3到a+b B.若x一1+2取最小值，则x=0 C.若x>1>y>-1,则|x|<|y 1a+cl_2lb+c,且abc<0,a+b+c=0,则m a D.若|x十1≤0，则x=一1 的值在分类讨论化简后共有x种不同的结果.若在 3.(2026,山东济南月考)有理数a,b在数轴上对应的 这些不同的m值中，最大的为y,最小的为之，则 点如图所示，则下列结论中正确的有(). (y十x)严的值为(). ①ab>0;②b-a<0:③a+b<0;④la|-lb|>0. A.-8 B.16 C.-1 D.1 0a→ 7.已知x1,x2,x3,x4,…满足下列条件：x1=0,x2= A.1个 B.2个 -x1+1,x3=-x2+2|,x4=-|x3+3,x6= C.3个 D.4个 一x4十4.依此类推，则x22s的值为 4.表示a,b,c三个数的点在数轴上的位置如图所示， 8.(2026,湖北武汉江岸区期末)化简并解答： a-b1+la-c-16+c=() (①当号≤x≤1时，化简13x十1-21z-1, ·13· 目)培优竞赛超级课堂7年级数学 (2)当|x|+x+4最小时，求|3x十1一2x一115.(2026，湖南长沙长郡双语实验中学检测)对于有 的最大值 理数x,y,a,t,若x-a十ly一a=t,则称x和 y关于a的“美好关联数”为t.例如，2-1|+ |3一1=3，则2和3关于1的“美好关联数”为3. (1)一3和5关于2的“美好关联数”为 (2)若x和2关于3的“美好关联数”为4，求x的值 (3)若xo和x1关于1的“美好关联数”为1，x1和 x2关于2的“美好关联数”为1，x2和x3关于 3的“美好关联数”为1，…，x0和x41关于 ⑧竞赛训练 (建议用时30分钟) 41的“美好关联数”为1，… 9若武子8引+x-+员x-十 ①x十x1的最小值为 ②x1十x2十x3十十x0的最小值为 号引+受引+受：-取最小值， 则x满足(). A≤ c<号 D.Isu 1 10.已知a,b,c,d为实数，且a-b|=2,b-c=3, a-d|=4,则|c-d的最大值为 ,最小 值为 16.设x1,x2,x3,x4,x5,x6是六个不同的正整数，取 11.(2025,浙江宁波自主招生)设a=|x十1，b= 值于1,2,3,4,5,6，记S=|x1-x2|+x2-x3|十 |x-1|,c=|x十3|，则a+2b+c的最小值为 |x3一x4|十|x4-x5十|x5一x6+x6一x1|,求 S的最小值. 12.(2025,浙江温州自主招生)已知x十2十x一1= 8-y-4|一|y+1,则2x-3y的最小值为 13.(2025,江苏宿迁自主招生)若不等式|x-2十|x +3+x一1|+x十1|≥a对一切数x都成立， 则a的取值范围是 14.若a1,a2,a3,a4,a5为互不相等的正偶数，且满足 (2026一a1)(2026-a2)(2026一a3)(2026一a4)· (2026-a5)=242,则x-a1+|x-a2|+|x a3十|x一a4十|x一as的最小值为 ·14·