5.6函数y＝Asin(ωx＋φ)专项训练-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

**基本信息** 以“五点法”作图为基础，系统整合函数性质、图象变换及综合应用，构建“概念-性质-变换-应用”递进式训练体系，培养几何直观与推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |五点法作图|例1+变式1|列表描点连线，精准定位关键点|从作图步骤到图象特征，夯实直观基础| |函数性质|例1(2)、例3+变式3|整体法求单调区间、对称中心，结合定义域分析值域|由定义域、值域到周期性、奇偶性，形成性质网络| |图象变换|例2+变式2、练习1-3、9|平移（左加右减对x）、伸缩（横纵变换规则），规避变换陷阱|从基础变换到复合变换，建立变换逻辑链| |综合应用|例4、5+变式4、5、练习4-8、10-13|数形结合求参数、零点问题，由图象推解析式|整合性质与变换，提升模型意识与应用能力|

5.6 函数y＝Asin(ωx＋φ) 【知识点归纳】 1.用“五点法”作函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)图象的步骤 列表————描点-----连线 ωx＋φ 0 π 2π x － － － － － f(x) 0 A 0 －A 0 2.关于y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的性质： （1）定义域： R （2）值 域：[－A，A] （3）周 期： （4） 奇偶性：当φ＝kπ，k∈Z时为奇函数；当φ＝kπ＋，k∈Z时为偶函数； （5） 对称轴：x＝＋－，k∈Z 求法：令ωx＋φ＝kπ＋，k∈Z可求 （6） 对称中心：（－，0），k∈Z 求法：令ωx＋φ＝kπ，k∈Z可求 （7） 单调性： 求法：令－＋2kπ≤ωx＋φ≤＋2kπ，k∈Z可求单调递增区间 求法：令＋2kπ≤ωx＋φ≤＋2kπ，k∈Z可求单调递减区间 注意：整体法求 3.三角函数的图象变换（平移、伸缩） 上下平移：，向上，向下； 上下伸缩（振幅变换）：，纵向伸缩倍，振幅； 左右平移：，左加右减； 左右伸缩（周期变换）：，横坐标变为原来倍，周期。 易错：左右平移是对x 本身做加减，不是对加减 由函数y=sin x的图象通过变换得到函数y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的图象的两种方法: 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 【典型例题】 例1.（解答题）已知函数． (1)用“五点法”通过列表在给定的坐标系中，画出函数在上的大致图象； (2)求出函数的对称中心和递增区间： 【答案】(1) (2)函数的对称中心为，递增区间为. 【分析】（1）先求出函数的周期，再确定“五点法”作图所需的关键点，列表后作出大致图象； （2）由正弦型函数的图象变换可求对称中心，再由单调区间的判定求出递增区间； 【解析】（1）函数的振幅为，角频率为，所以周期为. 在区间上取关键点，可得下表： 据此可作出函数在上的大致图象如下： （2）令，解得，所以函数的对称中心为. 由，解得. 所以函数的递增区间为. 【变式1】（解答题）已知函数，若在上有两个不等实根，求实数的取值范围. 【答案】 【分析】将问题转化为函数与的图象有两个交点，数形结合可得. 【解析】（1）由已知可得列表： 0 0 1 0 -1 0 描点､连线，得到在区间上的图象如图所示： 结合图象可知：在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增， 因为，， 在上有两个不等实根， 则或， 所以实数的取值范围为. 例2．（单选题）(1)把函数图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把所得图象向左平移个单位长度得到函数的图象，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】将函数图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变可得，再把所得图象向左平移个单位长度得到函数的图象，则.故选D (2)已知函数，将函数的图象向左平移个单位长度，得到函数的部分图象如图所示，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】平移不改变振幅和周期，所以由图象可知， ，解得：, 函数的图象向左平移个单位长度，得 当时，，且，得 所以，.故选A 【变式2】函数的图象如图所示，现将的图象向右平移个单位长度，所得图象对应的函数解析式为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由图可知，过点，解得， 将的图像向右平移个单位，得到.故选D 例3．（解答题）设函数．求函数在区间上的最小值和最大值，并求出取最值时x的值． 【解析】形如y=asinx+b的值域求法. 当时，，所以，所以， 当，即时，函数取最小值； 当，即时，函数取最大值；所以函数最大值为，此时；最小值为，此时. 【变式3】（填空题）函数的值域为__________. 【答案】 【解析】因为，所以， 则由正弦函数图象可知，所以.故答案为：. 例4．（多选题）已知函数的部分图象如图所示，则（    ） A．B．的图像关于点对称 C．的图像关于直线对称D．函数为偶函数 【答案】ABC 【解析】对选项A，，，所以.因为，所以，，.又因为，所以，，.因为，所以，即，故A正确.对选项B，令，解得，，所以的图像关于点对称，故B正确. 对选项C，令，解得，，所以的图像关于直线对称，故C正确.对选项D，，因为，定义域为，，所以为奇函数，故D错误.故选ABC 【变式4】（解答题）函数的部分图象如图所示. (1)求函数的解析式；(2)求使成立的的取值集合. 【答案】（1） （2）， 【解析】（1）由图象可知，，，解得：， ，，且，得，所以函数的解析式； （2），即，则，， 得：，，所以不等式的解集为，. 例5.（解答题）已知函数，若方程在上恰有两个不同的实数解，求的取值范围？ 【答案】 【分析】根据零点个数以及整体代入法可求得 【解析】时，， 方程在上恰有两个不同的实数解， 即方程在上恰有两个不同的实数解， 则，解得， 【变式5】（单选题）已知函数f(x)=1-2sin2(ωx+)(ω>0)在[0,π]上有且仅有2个零点,则ω的取值范围是(　　) A.[ B.[) C.[ D.[) 【答案】C　 【解析】f(x)=cos(2ωx+),因为x∈[0,π],所以2ωx+∈[,2πω+].因为f(x)在[0,π]上有且仅有2个零点,所以≤2πω+,解得ω∈[).故选C. 【练习】（1-7单选题） 1．已知曲线，，曲线经过怎样的变换可以得到，下列说法正确的是(   ) A．把曲线上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再向右平移个单位长度 B．把曲线上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再向右平移个单位长度 C．把曲线向右平移个单位长度，再把所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变 D．把曲线向右平移个单位长度，再把所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变 【答案】B 【解析】对于,,所以先将所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到,再向右平移个单位长度得到.故选B 2.函数的图象可由函数的图象（    ）个单位得到 A．向右平移 B．向右平移 C．向左平移 D．向左平移 【答案】D 【分析】先将函数变形为，再根据函数图象平移变换可得. 【详解】因为， 根据图象平移规则，函数图象由的图象向左平移个单位得到. 因此函数的图象由函数的图象向左平移个单位得到.故选D 3．已知函数的图象向右平移个单位长度后， 得到函数 的图象， 若的图象关于原点对称， 则 （    ） A． B． C． D． 【解析】由题可知图象关于原点对称， 所以，因为，所以．故选：C. 4.已知函数为偶函数，则的取值可以为（    ） A． B． C． D．0 【答案】A 【解析】因函数为偶函数，则，显然时，，即A满足，B，C，D都不满足.故选A 5.设函数在的图象大致如下图所示，则函数图象的一个对称中心为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据给定的函数图象，结合五点法作图求出函数解析式，再逐项验证判断即可. 【解析】观察图象，得函数的最小正周期， 而，则，解得，当时，， 可得，不符合题意； 当时，，，符合题意， 因此，，， ，， 因此函数图象的一个对称中心为，则A，B，D不是，C是. 故选：C 6.已知函数的部分图象如图所示，则下列结论错误的是（   ） A． B． C．的最小正周期为 D．曲线关于直线对称 【答案】D 【分析】根据图像可知函数的最大值，进而可得，再代入与，进而可得参数值，判断各选项. 【解析】由已知函数的最大值为，即，A选项正确； 即， 又由图像可知函数图像过点，代入可得， ，所以，B选项正确； 即，又函数图像过点， 则函数的周期，C选项正确； 所以，则， 所以， 令，， 解得，，D选项错误； 故选：D. 7.函数的部分图象如图，则、可以取的一组值是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据图象可得周期，继而可求出，把点代入解析式可求出. 【解析】由， ，解得，结合选项可知可取， 由，所以， 则，结合选项取或1时，或， 又，而， 所以、可以取的一组值是，. 故选：. 8.（多选题）关于函数，下列说法正确的是（   ） A．函数在上最大值为 B．函数的图象关于点对称 C．函数在上单调递增 D．函数的最小正周期为 【答案】BD 【解析】对于A，当时，，，最大值为2，A错误；对于B，因为，则函数的图象关于点对称，B正确；对于C，当时，，函数在上不单调，则在上不单调，C错误；对于D，函数的最小正周期，D正确.故选：BD 9.（多选题）函数图象上所有的点经过变换得到函数的图象，这种变换可以是（    ） A．向左平行移动个单位长度 B．向左平行移动个单位长度 C．向右平行移动个单位长度 D．向右平行移动个单位长度 【答案】BD 【分析】根据诱导公式化简再根据平移的大小验证每个选项即可. 【解析】, 若向左平行移动个单位长度， 得，故错误； 若向左平行移动个单位长度， 得故正确； 若向右平行移动个单位长度， 得故错误； 若向右平行移动个单位长度， 得故正确. 故选： 10.（填空题）将函数的图象向右平移个单位长度后，得到函数的图象，则函数的图象的对称轴方程为________ 【答案】， 【解析】将函数的图像向右平移个单位长度后，得到，所以由，得对称轴方程为， 11.（填空题）已知，下列四个命题中正确的序号为______ ①函数的图象关于直线对称；②函数在上单调递增； ③函数的图象关于点对称；④函数在上的值域是. 【答案】③ 【解析】对于①，， 所以函数的图象不关于直线对称，故①错误；对于②，由，可得，因为，所以函数在上不单调，故②错误； 对于③，，所以函数的图象关于点对称，故③正确；对于④，若，则，所以， 所以函数在上的值域是，故④错误 12.（解答题）已知函数的最小值为-1． (1)求实数的值； (2)将函数图象上所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，再把所得函数的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，当时，求函数的值域和单调递增区间． 【答案】(1) (2)值域为 ，单调递增区间为 【解析】（1） ，因此 ，由题意最小值为 ， 所以，得 （2）由（1）知 依题意得， 令 ，，则 在 的取值范围：，即 值域为 由 解得 结合定义域 ，取 ，得的单调递增区间是. 13.（解答题）已知． (1)求函数的对称轴和对称中心； (2)当时，求函数的单调递增区间； (3)若函数在区间的值域为，求实数a的取值范围． 【答案】(1)函数的对称轴为直线，对称中心为. (2) (3) 【分析】（1）先确定函数的最小正周期，求出，然后利用整体代换法可求对称轴和对称中心公式求出即可. （2）根据正弦函数的单调性求解即可. （3）根据正弦函数的值域和图象进行求解即可. 【详解】（1）令，得. 所以函数的对称轴为直线； 令，得. 所以函数的对称中心为. （2）令，解得. 又，所以函数的单调递增区间为，. （3）因为，所以， 因为函数在区间上的值域为， 所以在区间上的值域为， 在区间上的值域为， 所以结合正弦函数的图象可得，解得. 所以实数的取值范围为. 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 5.6 函数y＝Asin(ωx＋φ) 【知识点归纳】 1.用“五点法”作函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)图象的步骤 列表————描点-----连线 ωx＋φ 0 π 2π x － － － － － f(x) 0 A 0 －A 0 2.关于y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的性质： （1）定义域： R （2）值 域：[－A，A] （3）周 期： （4） 奇偶性：当φ＝kπ，k∈Z时为奇函数；当φ＝kπ＋，k∈Z时为偶函数； （5） 对称轴：x＝＋－，k∈Z 求法：令ωx＋φ＝kπ＋，k∈Z可求 （6） 对称中心：（－，0），k∈Z 求法：令ωx＋φ＝kπ，k∈Z可求 （7） 单调性： 求法：令－＋2kπ≤ωx＋φ≤＋2kπ，k∈Z可求单调递增区间 求法：令＋2kπ≤ωx＋φ≤＋2kπ，k∈Z可求单调递减区间 注意：整体法求 3.三角函数的图象变换（平移、伸缩） 上下平移：，向上，向下； 上下伸缩（振幅变换）：，纵向伸缩倍，振幅； 左右平移：，左加右减； 左右伸缩（周期变换）：，横坐标变为原来倍，周期。 易错：左右平移是对x 本身做加减，不是对加减 由函数y=sin x的图象通过变换得到函数y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的图象的两种方法: 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 【典型例题】 例1.（解答题）已知函数． (1)用“五点法”通过列表在给定的坐标系中，画出函数在上的大致图象； (2)求出函数的对称中心和递增区间. 【变式1】（解答题）已知函数，若在上有两个不等实根，求实数的取值范围. 例2．（单选题）(1)把函数图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把所得图象向左平移个单位长度得到函数的图象，则（    ） A． B． C． D． (2)已知函数，将函数的图象向左平移个单位长度，得到函数的部分图象如图所示，则（    ） A． B． C． D． 【变式2】函数的图象如图所示，现将的图象向右平移个单位长度，所得图象对应的函数解析式为（    ） A． B． C． D． 例3．（解答题）设函数．求函数在区间上的最小值和最大值，并求出取最值时x的值． 【变式3】（填空题）函数的值域为__________. 例4．（多选题）已知函数的部分图象如图所示，则（    ） A．B．的图像关于点对称 C．的图像关于直线对称D．函数为偶函数 【变式4】（解答题）函数的部分图象如图所示. (1)求函数的解析式；(2)求使成立的的取值集合. 例5.（解答题）已知函数，若方程在上恰有两个不同的实数解，求的取值范围？ 【变式5】（单选题）已知函数f(x)=1-2sin2(ωx+)(ω>0)在[0,π]上有且仅有2个零点,则ω的取值范围是(　　) A.[ B.[) C.[ D.[) 【练习】（1-7单选题） 1．已知曲线，，曲线经过怎样的变换可以得到，下列说法正确的是(   ) A．把曲线上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再向右平移个单位长度 B．把曲线上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再向右平移个单位长度 C．把曲线向右平移个单位长度，再把所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变 D．把曲线向右平移个单位长度，再把所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变 2.函数的图象可由函数的图象（    ）个单位得到 A．向右平移 B．向右平移 C．向左平移 D．向左平移 3．已知函数的图象向右平移个单位长度后， 得到函数 的图象， 若的图象关于原点对称， 则 （    ） A． B． C． D． 4.已知函数为偶函数，则的取值可以为（    ） A． B． C． D．0 5.设函数在的图象大致如下图所示，则函数图象的一个对称中心为（    ） A． B． C． D． 6.已知函数的部分图象如图所示，则下列结论错误的是（   ） A． B． C．的最小正周期为 D．曲线关于直线对称 7.函数的部分图象如图，则、可以取的一组值是（    ） A． B． C． D． 8.（多选题）关于函数，下列说法正确的是（   ） A．函数在上最大值为 B．函数的图象关于点对称 C．函数在上单调递增 D．函数的最小正周期为 9.（多选题）函数图象上所有的点经过变换得到函数的图象，这种变换可以是（    ） A．向左平行移动个单位长度 B．向左平行移动个单位长度 C．向右平行移动个单位长度 D．向右平行移动个单位长度 10.（填空题）将函数的图象向右平移个单位长度后，得到函数的图象，则函数的图象的对称轴方程为________ 11.（填空题）已知，下列四个命题中正确的序号为______ ①函数的图象关于直线对称；②函数在上单调递增； ③函数的图象关于点对称；④函数在上的值域是. 12.（解答题）已知函数的最小值为-1． (1)求实数的值； (2)将函数图象上所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，再把所得函数的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，当时，求函数的值域和单调递增区间． 13.（解答题）已知． (1)求函数的对称轴和对称中心； (2)当时，求函数的单调递增区间； (3)若函数在区间的值域为，求实数a的取值范围． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $