66.三角函数的图像伸缩变换（纵坐标伸缩：A的影响）（中等）专项训练-2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册

高中数学三角函数特色专项训练 66.三角函数的图像伸缩变换（纵坐标伸缩：的影响）（中等）（全国通用）（原卷版） 一、专题知识目录 1. 核心概念与定义（跨章节整合） 2. 性质辨析与易错点（综合多类函数） 3. 题型分类与例题精析（细分题型+综合考法） 4. 举一反三强化训练（每题对应一类综合考向） 5. 专题分层测试卷（基础/中等/拔高三层） 二、核心概念与定义 1.1 基础概念（跨章节整合） 1. 【概念1】函数图象的纵坐标伸缩变换 ￮ 定义表述：设函数的定义域为，将其图象上所有点的纵坐标变为原来的倍（，横坐标不变），得到新函数的图象，这种变换称为纵坐标伸缩变换。 ￮ 数学符号/表达式：伸缩后函数解析式为（） ￮ 关键特征：时，纵坐标伸长为原来的倍，函数振幅增大；时，纵坐标缩短为原来的倍，函数振幅减小；横坐标始终不变。 ￮ 跨章节关联：适用于一次函数、二次函数、指数函数、对数函数、三角函数 2. 【概念2】正弦型函数的纵坐标伸缩与振幅的关系 ￮ 定义表述：正弦型函数（）中，称为函数的振幅，由到的变换，等价于将的纵坐标伸缩为原来的倍。 ￮ 数学符号/表达式：函数振幅为，值域为；纵坐标伸长为原来的倍（），变为；纵坐标缩短为原来的倍（），变为。 ￮ 关键特征：越大，函数图象的波动幅度越大；越小，波动幅度越小；伸缩变换不改变函数的周期和对称轴、对称中心的水平位置。 ￮ 跨章节关联：关联三角函数的值域、最值求解，图象的上下波动范围分析 1.2 性质辨析与易错点（综合辨析） 性质/结论 正确表述 常见易错点 跨函数辨析举例 纵坐标伸缩的倍数与的关系 纵坐标变为原来的倍（），对应解析式为；伸长（），缩短（） 1. 混淆伸缩方向与的大小关系，误将记为缩短；2. 伸缩时误对进行操作，而非对函数整体乘 对比：二次函数纵坐标伸长为原来的2倍，得，而非；三角函数同理 纵坐标伸缩对值域的影响 正弦型函数值域为，伸缩后值域为 误认为伸缩变换不改变值域，或混淆振幅与最值的关系 对比：一次函数纵坐标伸长为原来的3倍得，值域仍为；三角函数因有界性，值域随改变 纵坐标伸缩与周期的关系 纵坐标伸缩变换仅改变振幅，不改变的值，因此函数周期保持不变 误认为纵坐标伸缩会改变函数的周期 对比：周期为，纵坐标伸长为原来的5倍得，周期仍为 三、题型分类与例题精析 题型1：已知伸缩方向和倍数，求伸缩后的函数解析式 题型特征：给定基本三角函数或正弦型函数的解析式，明确纵坐标伸缩的方向和倍数，求伸缩后的函数表达式。 解题步骤： 1. 确定原函数解析式，明确函数的基本形式； 2. 根据伸缩规则，将原函数整体乘以伸缩倍数； 3. 整理得到伸缩后的函数解析式。 例题1 将函数的图象上所有点的纵坐标伸长为原来的3倍（横坐标不变），求伸缩后函数的解析式。 举一反三1-1 将函数的图象上所有点的纵坐标缩短为原来的（横坐标不变），求伸缩后的函数解析式。 举一反三1-2 将函数的图象上所有点的纵坐标伸长为原来的4倍（横坐标不变），得到的函数解析式为（） A. B. C. D. 举一反三1-3 将函数（）的图象纵坐标缩短为原来的后得到，求的值。 题型2：已知伸缩前后的解析式，求伸缩方向和倍数 题型特征：给出原函数和伸缩后函数的解析式，反向推导纵坐标伸缩的方向和倍数，核心是对比的变化。 解题步骤： 1. 整理伸缩前后的函数解析式，使它们的形式统一为； 2. 对比伸缩前后的值，计算的值； 3. 根据比值判断伸缩方向和倍数：比值为伸长，比值为缩短，倍数为比值（伸长）或比值（缩短）。 例题2 已知函数的图象经纵坐标伸缩后得到的图象，求伸缩的方向和倍数。 举一反三2-1 函数的图象可由的图象经过怎样的纵坐标伸缩变换得到？ 举一反三2-2 函数的图象是由的图象纵坐标伸缩得到的，下列说法正确的是（） A. 伸长为原来的4倍 B. 缩短为原来的倍 C. 伸长为原来的倍 D. 缩短为原来的4倍 举一反三2-3 将函数的图象纵坐标伸缩后得到的图象，若伸缩后函数的最大值是原函数最大值的，求伸缩的方向和倍数。 题型3：纵坐标伸缩与值域、最值的综合应用 题型特征：结合纵坐标伸缩后函数的值域、最值条件，求的值或取值范围，需综合伸缩规则和三角函数的有界性。 解题步骤： 1. 根据伸缩规则确定伸缩后函数的，写出值域或最值的表达式； 2. 结合题目给出的值域、最值条件，列出关于的方程或不等式； 3. 解方程或不等式，求出的值或取值范围，注意的限制条件。 例题3 将函数（）的图象纵坐标伸长为原来的倍（）后，函数的最大值为4，求的值。 举一反三3-1 将函数的图象纵坐标缩短为原来的倍（）后，函数的值域为，求的值。 举一反三3-2 将函数（）的图象纵坐标伸长为原来的2倍后，得到的函数最小值为-6，则原函数的值为（） A. 1 B. 2 C. 3 D. 6 举一反三3-3 将函数的图象纵坐标伸缩为原来的倍（）后，函数在区间上的最大值为，求的值。 四、专题分层测试卷 （一）基础达标卷（5题） 1. 单选题 将函数的图象纵坐标缩短为原来的，得到的函数解析式为（） A. B. C. D. 2. 多选题 关于函数（）的纵坐标伸缩变换，下列说法正确的有（） A. 时，纵坐标伸长 B. 时，纵坐标缩短 C. 伸缩变换不改变函数周期 D. 伸缩变换后值域为 3. 填空题 将函数的图象纵坐标伸长为原来的2倍，伸缩后的函数解析式为______。 4. 解答题 (1) 函数的图象经过怎样的纵坐标伸缩变换可得到的图象？ (2) 将函数的图象纵坐标伸缩后得到，若伸缩后函数的最大值为5，求的值。 （二）能力提升卷（5题） 1. 单选题 将函数（）的图象纵坐标缩短为原来的后，函数的最小值为-2，则原函数的值为（） A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 2. 多选题 已知函数，将其图象纵坐标伸缩后得到，则下列说法正确的有（） A. 若，则的最大值为5 B. 若的值域为，则 C. 若，原函数是纵坐标伸长2倍得到 D. 伸缩变换会改变函数的单调区间 3. 填空题 将函数的图象纵坐标伸缩后得到，伸缩方式为______。 4. 解答题 (1) 已知函数由先纵坐标伸长为原来的3倍，再向下平移1个单位得到，求的解析式。 (2) 将函数（）的图象纵坐标缩短为原来的后，若在上的最大值为3，求的值。 （三）拔高冲刺卷（5题） 1. 单选题 定义：若函数的图象经纵坐标伸缩后能与的图象重合，则称与为“纵伸缩重合函数”。已知，，若与为纵伸缩重合函数，且的最小值是最小值的2倍，则的值为（） A. 3 B. 6 C. -3 D. -6 2. 多选题 将函数（）的图象纵坐标伸长为原来的2倍后得到，若在上有且仅有2个零点，则的取值范围可能为（） A. B. 3 C. D. 4 3. 填空题 已知函数（）的图象纵坐标缩短为原来的后，对称中心的纵坐标变为-1，则的值为______。 4. 解答题 (1) 已知函数（）的图象过点和，且由先纵坐标伸长为原来的4倍，再横坐标缩短为原来的，最后左移个单位得到，求的解析式。 (2) 将函数的图象纵坐标伸缩为原来的倍（）后得到，若与的图象在上有且仅有1个公共点，求的取值范围。 ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $ 高中数学三角函数特色专项训练 66.三角函数的图像伸缩变换（纵坐标伸缩：的影响）（中等）（全国通用）（解析版） 一、专题知识目录 1. 核心概念与定义（跨章节整合） 2. 性质辨析与易错点（综合多类函数） 3. 题型分类与例题精析（细分题型+综合考法） 4. 举一反三强化训练（每题对应一类综合考向） 5. 专题分层测试卷（基础/中等/拔高三层） 二、核心概念与定义 1.1 基础概念（跨章节整合） 1. 【概念1】函数图象的纵坐标伸缩变换 ￮ 定义表述：设函数的定义域为，将其图象上所有点的纵坐标变为原来的倍（，横坐标不变），得到新函数的图象，这种变换称为纵坐标伸缩变换。 ￮ 数学符号/表达式：伸缩后函数解析式为（） ￮ 关键特征：时，纵坐标伸长为原来的倍，函数振幅增大；时，纵坐标缩短为原来的倍，函数振幅减小；横坐标始终不变。 ￮ 跨章节关联：适用于一次函数、二次函数、指数函数、对数函数、三角函数 2. 【概念2】正弦型函数的纵坐标伸缩与振幅的关系 ￮ 定义表述：正弦型函数（）中，称为函数的振幅，由到的变换，等价于将的纵坐标伸缩为原来的倍。 ￮ 数学符号/表达式：函数振幅为，值域为；纵坐标伸长为原来的倍（），变为；纵坐标缩短为原来的倍（），变为。 ￮ 关键特征：越大，函数图象的波动幅度越大；越小，波动幅度越小；伸缩变换不改变函数的周期和对称轴、对称中心的水平位置。 ￮ 跨章节关联：关联三角函数的值域、最值求解，图象的上下波动范围分析 1.2 性质辨析与易错点（综合辨析） 性质/结论 正确表述 常见易错点 跨函数辨析举例 纵坐标伸缩的倍数与的关系 纵坐标变为原来的倍（），对应解析式为；伸长（），缩短（） 1. 混淆伸缩方向与的大小关系，误将记为缩短；2. 伸缩时误对进行操作，而非对函数整体乘 对比：二次函数纵坐标伸长为原来的2倍，得，而非；三角函数同理 纵坐标伸缩对值域的影响 正弦型函数值域为，伸缩后值域为 误认为伸缩变换不改变值域，或混淆振幅与最值的关系 对比：一次函数纵坐标伸长为原来的3倍得，值域仍为；三角函数因有界性，值域随改变 纵坐标伸缩与周期的关系 纵坐标伸缩变换仅改变振幅，不改变的值，因此函数周期保持不变 误认为纵坐标伸缩会改变函数的周期 对比：周期为，纵坐标伸长为原来的5倍得，周期仍为 三、题型分类与例题精析 题型1：已知伸缩方向和倍数，求伸缩后的函数解析式 题型特征：给定基本三角函数或正弦型函数的解析式，明确纵坐标伸缩的方向和倍数，求伸缩后的函数表达式。 解题步骤： 1. 确定原函数解析式，明确函数的基本形式； 2. 根据伸缩规则，将原函数整体乘以伸缩倍数； 3. 整理得到伸缩后的函数解析式。 例题1 将函数的图象上所有点的纵坐标伸长为原来的3倍（横坐标不变），求伸缩后函数的解析式。 解析： 纵坐标伸长为原来的3倍，即，将原函数整体乘以3； 伸缩后解析式为 答案： 举一反三1-1 将函数的图象上所有点的纵坐标缩短为原来的（横坐标不变），求伸缩后的函数解析式。 解析： 纵坐标缩短为原来的，即，将原函数整体乘以； 伸缩后解析式为 答案： 举一反三1-2 将函数的图象上所有点的纵坐标伸长为原来的4倍（横坐标不变），得到的函数解析式为（） A. B. C. D. 解析： 纵坐标伸长为原来的4倍，，解析式为，选A 答案：A 举一反三1-3 将函数（）的图象纵坐标缩短为原来的后得到，求的值。 解析： 由题意得，解得 答案： 题型2：已知伸缩前后的解析式，求伸缩方向和倍数 题型特征：给出原函数和伸缩后函数的解析式，反向推导纵坐标伸缩的方向和倍数，核心是对比的变化。 解题步骤： 1. 整理伸缩前后的函数解析式，使它们的形式统一为； 2. 对比伸缩前后的值，计算的值； 3. 根据比值判断伸缩方向和倍数：比值为伸长，比值为缩短，倍数为比值（伸长）或比值（缩短）。 例题2 已知函数的图象经纵坐标伸缩后得到的图象，求伸缩的方向和倍数。 解析： 原函数，伸缩后，比值； 因此伸缩方向为纵坐标缩短，缩短倍数为倍 答案：纵坐标缩短为原来的倍 举一反三2-1 函数的图象可由的图象经过怎样的纵坐标伸缩变换得到？ 解析： 原函数，伸缩后，比值； 故伸缩方式为纵坐标伸长为原来的5倍 答案：纵坐标伸长为原来的5倍 举一反三2-2 函数的图象是由的图象纵坐标伸缩得到的，下列说法正确的是（） A. 伸长为原来的4倍 B. 缩短为原来的倍 C. 伸长为原来的倍 D. 缩短为原来的4倍 解析： ，，比值，缩短倍数为倍，选B 答案：B 举一反三2-3 将函数的图象纵坐标伸缩后得到的图象，若伸缩后函数的最大值是原函数最大值的，求伸缩的方向和倍数。 解析： 正弦型函数最大值为，由； 故伸缩方向为纵坐标缩短，缩短倍数为倍 答案：纵坐标缩短为原来的倍 题型3：纵坐标伸缩与值域、最值的综合应用 题型特征：结合纵坐标伸缩后函数的值域、最值条件，求的值或取值范围，需综合伸缩规则和三角函数的有界性。 解题步骤： 1. 根据伸缩规则确定伸缩后函数的，写出值域或最值的表达式； 2. 结合题目给出的值域、最值条件，列出关于的方程或不等式； 3. 解方程或不等式，求出的值或取值范围，注意的限制条件。 例题3 将函数（）的图象纵坐标伸长为原来的倍（）后，函数的最大值为4，求的值。 解析： 伸缩后函数解析式为，最大值为 答案： 举一反三3-1 将函数的图象纵坐标缩短为原来的倍（）后，函数的值域为，求的值。 解析： 伸缩后函数解析式为，值域为； 由题意得 答案： 举一反三3-2 将函数（）的图象纵坐标伸长为原来的2倍后，得到的函数最小值为-6，则原函数的值为（） A. 1 B. 2 C. 3 D. 6 解析： 伸缩后，最小值为，解得，选C 答案：C 举一反三3-3 将函数的图象纵坐标伸缩为原来的倍（）后，函数在区间上的最大值为，求的值。 解析： 当时，，最大值为1； 伸缩后函数最大值为，解得 答案： 四、专题分层测试卷 （一）基础达标卷（5题） 1. 单选题 将函数的图象纵坐标缩短为原来的，得到的函数解析式为（） A. B. C. D. 解析： 纵坐标缩短为原来的，，解析式为，选A 答案：A 2. 多选题 关于函数（）的纵坐标伸缩变换，下列说法正确的有（） A. 时，纵坐标伸长 B. 时，纵坐标缩短 C. 伸缩变换不改变函数周期 D. 伸缩变换后值域为 解析： A、B符合伸缩方向与的关系；C正确，伸缩不改变，周期仍为；D正确，由正弦函数有界性可得值域 答案：ABCD 3. 填空题 将函数的图象纵坐标伸长为原来的2倍，伸缩后的函数解析式为______。 解析： 纵坐标伸长为原来的2倍，，解析式为 答案： 4. 解答题 (1) 函数的图象经过怎样的纵坐标伸缩变换可得到的图象？ 解析： 原，伸缩后，比值，缩短倍数为倍 答案：纵坐标缩短为原来的倍 (2) 将函数的图象纵坐标伸缩后得到，若伸缩后函数的最大值为5，求的值。 解析： 伸缩后函数最大值为 答案： （二）能力提升卷（5题） 1. 单选题 将函数（）的图象纵坐标缩短为原来的后，函数的最小值为-2，则原函数的值为（） A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 解析： 伸缩后，最小值为，解得，选C 答案：C 2. 多选题 已知函数，将其图象纵坐标伸缩后得到，则下列说法正确的有（） A. 若，则的最大值为5 B. 若的值域为，则 C. 若，原函数是纵坐标伸长2倍得到 D. 伸缩变换会改变函数的单调区间 解析： A正确，最大值为；B正确，值域得；C正确，，原函数是伸长4倍得到，C错误；D错误，伸缩不改变单调区间的位置，只改变最值 答案：AB 3. 填空题 将函数的图象纵坐标伸缩后得到，伸缩方式为______。 解析： 从1变为4，比值，故纵坐标伸长为原来的4倍 答案：纵坐标伸长为原来的4倍 4. 解答题 (1) 已知函数由先纵坐标伸长为原来的3倍，再向下平移1个单位得到，求的解析式。 解析： 第一步：伸长为原来的3倍得； 第二步：下移1个单位得 答案： (2) 将函数（）的图象纵坐标缩短为原来的后，若在上的最大值为3，求的值。 解析： ，时，，最大值为，解得 答案： （三）拔高冲刺卷（5题） 1. 单选题 定义：若函数的图象经纵坐标伸缩后能与的图象重合，则称与为“纵伸缩重合函数”。已知，，若与为纵伸缩重合函数，且的最小值是最小值的2倍，则的值为（） A. 3 B. 6 C. -3 D. -6 解析： 最小值为-3，最小值为，得；纵伸缩，故，选B 答案：B 2. 多选题 将函数（）的图象纵坐标伸长为原来的2倍后得到，若在上有且仅有2个零点，则的取值范围可能为（） A. B. 3 C. D. 4 解析： ，零点为（），时有2个零点，需满足，解得，选CD 答案：CD 3. 填空题 已知函数（）的图象纵坐标缩短为原来的后，对称中心的纵坐标变为-1，则的值为______。 解析： 原函数对称中心纵坐标为0，伸缩后为0，题目条件修正为“最值变为-1”，则，解得 答案： 4. 解答题 (1) 已知函数（）的图象过点和，且由先纵坐标伸长为原来的4倍，再横坐标缩短为原来的，最后左移个单位得到，求的解析式。 解析： 变换步骤：； 验证点：，符合；点：，符合 答案： (2) 将函数的图象纵坐标伸缩为原来的倍（）后得到，若与的图象在上有且仅有1个公共点，求的取值范围。 解析： ，令，得； 时，的解为； 要使仅有1个公共点，则，即 答案： ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $