寒假作业08（y＝Asin（ωx＋φ）的图象与性质）-2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册

高中数学人教A版必修一寒假作业——三角函数篇 08测试范围：三角函数的图象与性质 知识梳理 1．（1）函数y＝Asin（ωx＋φ）（A＞0，ω＞0）中参数A．φ、ω的作用 参数 作用 A A决定了函数的值域以及函数的最大值和最小值，通常称A为 . φ φ决定了x=0时的函数值，通常称φ为 ，ωx＋φ为相位. ω ω决定了函数的周期T＝ . （2）图象的变换 （1）振幅变换：要得到函数y＝Asinx（A＞0，A≠1）的图象，只要将函数y＝sinx的图象上所有点的纵坐标 （当A＞1时）或 （当0＜A＜1时）到原来的A倍（横坐标不变）即可得到． （2）平移变换：要得到函数y＝sin（x＋φ）的图象，只要将函数y＝sinx的图象上所有点 （当φ＞0时）或 （当φ＜0时）平行移动|φ|个单位长度即可得到． （3）周期变换：要得到函数y＝sinωx（x∈R）（其中ω＞0且ω≠1）的图象，可以把函数y＝sinx上所有点的横坐标 （当ω＞1时）或 （当0＜ω＜1时）到原来的 倍（纵坐标不变）即可得到． 2．由的图像变化的图象的两种操作思路 思路一： ，得到， ， 得到， ，得到. 思路二： ，得到， ， 得到， ，得到. 3. “五点法”作的图象的步骤： （1）列表（填写下表）. 0 x y （2）描点，五个点分别是 ， ， ， ， . （3）连线. 08 三角函数的图象与性质的寒假作业 一、单选题 1．（25-26高一上·四川广元·期末）把函数图象向右平移个单位长度后，将所有点的横坐标缩小到原来的，纵坐标不变，得到函数图象，则（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高一上·江苏南京·期末）将函数的图象向左平移后得到函数的图象，若的图象关于直线对称，则的最小值为（   ） A． B． C． D．4 3．（25-26高一上·青海西宁·期末）将函数的图象向左平移个单位长度后得到函数的图象，则图象的一条对称轴方程为（   ） A． B． C． D． 4．（24-25高一下·江西南昌·月考）为了得到函数的图象，可以将的图象（    ） A．向右平移个单位长度 B．向右平移个单位长度 C．向左平移个单位长度 D．向左平移个单位长度 5．（25-26高一上·山东淄博·期末）若函数的图象向右平移个单位长度后关于点对称，则的值为（   ） A． B．1 C． D．2 6．（25-26高一上·重庆·月考）已知函数的最小正周期为，的图象经过点，则的单调递增区间是（   ） A．， B．， C．， D． 7．（25-26高一上·新疆喀什·期末）函数的部分图象如图所示，则下列叙述正确的是（   ） A．函数图象可由的图象向左平移个单位得到 B．函数在区间上单调递减 C．函数图象关于直线对称 D．函数图象的对称中心为 8．（25-26高一上·天津滨海新·月考）已知函数的最小正周期为，则下列说法正确的是（   ） A． B．将函数图象向左平移个单位长度，得到的函数图象恰好关于原点对称 C．关于点对称 D．在区间上的最大值为2 二、多选题 9．（25-26高一上·四川广元·期末）函数在一个周期内的图象如图所示，则下列说法正确的是（    ） A． B． C．的对称轴为， D．的单调递增区间为， 10．（2025高一上·广东广州·专题练习）已知函数的部分图象如图所示，则（   ） A． B．在区间上单调递减 C．的图象关于直线对称 D．将的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象，则为奇函数 11．已知，下面结论正确的是（） A．的最小正周期为 B．在上单调递增 C．在上恰有3个零点 D．的图象向左平移个单位长度后得到的图象关于y轴对称 三、填空题 12．（25-26高一上·安徽阜阳·月考）将函数的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，则 . 13．（25-26高一上·北京海淀·月考）函数的部分图象如图，，则 ． 14．（25-26高一上·天津蓟州·月考）已知函数，，图象的两条相邻对称轴之间的距离为．若，且，则的值 ． 四、解答题 15．（25-26高一上·湖南张家界·期末）已知函数． (1)求的对称中心坐标； (2)将的图象上的各点纵坐标保持不变，横坐标伸长到原来的2倍，再向右平移个单位得到的图象，当时，方程有解，求实数m的取值范围． 16. 已知函数. (1)求的最小正周期和单调递增区间； (2)将函数图象上各点横坐标扩大为原来的2倍，纵坐标不变，再将图象向左平移个单位得到的图象，若锐角满足，求的值. 17．（25-26高一上·吉林延边·期末）某同学用“五点法”画函数在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如表： 0 0 2 0 0 (1)求实数的值和函数的解析式； (2)若函数的图象向左平移个单位长度后，得到的图象． （i）求的单调递减区间； （ii）当时，方程有解，求的取值范围． 18．（25-26高一上·天津·期末）已知． (1)求函数的最小正周期； (2)求函数在区间上的最大值与最小值并求出取得最大值与最小值时的值； (3)若函数在区间上恰有一个实根，求实数的取值范围． 19．（25-26高一上·贵州六盘水·月考）已知函数． (1)求的值； (2)求在上的值域； (3)将函数的图象上的所有点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），得到函数的图象，若不等式对于任意恒成立，求实数的取值范围． 学科网（北京）股份有限公司 $ 高中数学人教A版必修一寒假作业——三角函数篇 08测试范围：三角函数的图象与性质 知识梳理 1．（1）函数y＝Asin（ωx＋φ）（A＞0，ω＞0）中参数A．φ、ω的作用 参数 作用 A A决定了函数的值域以及函数的最大值和最小值，通常称A为 . φ φ决定了x=0时的函数值，通常称φ为 ，ωx＋φ为相位. ω ω决定了函数的周期T＝ . （2）图象的变换 （1）振幅变换：要得到函数y＝Asinx（A＞0，A≠1）的图象，只要将函数y＝sinx的图象上所有点的纵坐标 （当A＞1时）或 （当0＜A＜1时）到原来的A倍（横坐标不变）即可得到． （2）平移变换：要得到函数y＝sin（x＋φ）的图象，只要将函数y＝sinx的图象上所有点 （当φ＞0时）或 （当φ＜0时）平行移动|φ|个单位长度即可得到． （3）周期变换：要得到函数y＝sinωx（x∈R）（其中ω＞0且ω≠1）的图象，可以把函数y＝sinx上所有点的横坐标 （当ω＞1时）或 （当0＜ω＜1时）到原来的 倍（纵坐标不变）即可得到． 【答案】初相 振幅 伸长 缩短 向左 向右 缩短 伸长 2．由的图像变化的图象的两种操作思路 思路一： ，得到， ， 得到， ，得到. 思路二： ，得到， ， 得到， ，得到. 【答案】（振幅变换）横坐标不变，纵坐标变为原来的倍 （周期变换）纵坐标不变，横坐标变为原来的 （平移变换）图像整体向左移个单位长度 （平移变换）图像整体向左移个单位长度 （周期变换）纵坐标不变，横坐标变为原来的 （振幅变换）横坐标不变，纵坐标变为原来的倍. 3. “五点法”作的图象的步骤： （1）列表（填写下表）. 0 x y （2）描点，五个点分别是 ， ， ， ， . （3）连线. 【答案】 0 0 0 08 三角函数的图象与性质的寒假作业 一、单选题 1．（25-26高一上·四川广元·期末）把函数图象向右平移个单位长度后，将所有点的横坐标缩小到原来的，纵坐标不变，得到函数图象，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据函数平移的知识，即可得解. 【详解】函数图象向右平移个单位长度后，得到，再将所有点的横坐标缩小到原来的，纵坐标不变，得到， 故选：C. 2．（25-26高一上·江苏南京·期末）将函数的图象向左平移后得到函数的图象，若的图象关于直线对称，则的最小值为（   ） A． B． C． D．4 【答案】A 【分析】由函数和的关系可以求得的一条对称轴，即可求解. 【详解】由题意，函数的一条对称轴为：.由，.因为，所以当时，取得最小值为. 故选：A 3．（25-26高一上·青海西宁·期末）将函数的图象向左平移个单位长度后得到函数的图象，则图象的一条对称轴方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据平移变换的原则求出函数的解析式，再根据正弦函数的对称性逐一判断即可. 【详解】由题意，对于A，，所以是图象的一条对称轴；对于B，，所以不是图象的一条对称轴； 对于C，，所以不是图象的一条对称轴；对于D，，所以不是图象的一条对称轴. 故选：A. 4．（24-25高一下·江西南昌·月考）为了得到函数的图象，可以将的图象（    ） A．向右平移个单位长度 B．向右平移个单位长度 C．向左平移个单位长度 D．向左平移个单位长度 【答案】D 【分析】化简函数，结合三角函数的图象变换，即可求解. 【详解】因为，将函数向左平移得到：. 故选：D. 5．（25-26高一上·山东淄博·期末）若函数的图象向右平移个单位长度后关于点对称，则的值为（   ） A． B．1 C． D．2 【答案】B 【分析】将点代入变换得到的解析式，结合范围求解. 【详解】将函数的图象向右平移得到，将点代入得，所以，解得，又，所以， 故选：B. 6．（25-26高一上·重庆·月考）已知函数的最小正周期为，的图象经过点，则的单调递增区间是（   ） A．， B．， C．， D． 【答案】D 【分析】利用正弦函数的周期，求出，再代入点的坐标，结合的范围，即可得到函数解析式，然后利用正弦函数的单调性，即可求出结果. 【详解】因为的最小正周期为，所以，所以，又的图象经过点，所以，则或，又，所以，所以，令，则，所以的单调递增区间是. 故选：D 7．（25-26高一上·新疆喀什·期末）函数的部分图象如图所示，则下列叙述正确的是（   ） A．函数图象可由的图象向左平移个单位得到 B．函数在区间上单调递减 C．函数图象关于直线对称 D．函数图象的对称中心为 【答案】B 【分析】根据图象得到解析式，根据三角函数图象变换和三角函数性质逐项验证. 【详解】由图，，因为过点，所以，结合图象的单调性可得，又，所以，又过点，所以，结合五点作图法可得，解得，所以.对于A：由的图象向左平移个单位得到，A错误；对于B：由得，令，因为在单调递减，所以在单调递减，B正确；对于C：因为，所以图象不关于直线对称，C错误；对于D：因为，所以不是的对称中心，D错误； 故选：B. 8．（25-26高一上·天津滨海新·月考）已知函数的最小正周期为，则下列说法正确的是（   ） A． B．将函数图象向左平移个单位长度，得到的函数图象恰好关于原点对称 C．关于点对称 D．在区间上的最大值为2 【答案】D 【分析】由辅助角公式可得，然后由正弦函数最小正周期，图象变换规则，对称性，单调性可判断选项正误. 【详解】.对于A，由题可得，则，故A错误；对于B，由A可知，，将图象向左平移个单位，得到的图象解析式为，易知为偶函数，图象不关于原点对称，故B错误；对于C，代入，得，则在时取得最大值，图象关于对称，不关于中心对称，故C错误；对于D，时，，注意到在上单调递增，在上单调递减，则当，即时，，故D正确. 故选：D 二、多选题 9．（25-26高一上·四川广元·期末）函数在一个周期内的图象如图所示，则下列说法正确的是（    ） A． B． C．的对称轴为， D．的单调递增区间为， 【答案】ACD 【分析】根据图象求得，结合三角函数的对称性、单调性求得正确答案. 【详解】由图知，，则，所以，此时，代入得，即，所以，则， 又，则，所以，故B错误；而，故A正确； 令，解得，故C正确；令， 解得，所以的单调递增区间为，，故D正确. 故选：ACD. 10．（2025高一上·广东广州·专题练习）已知函数的部分图象如图所示，则（   ） A． B．在区间上单调递减 C．的图象关于直线对称 D．将的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象，则为奇函数 【答案】AC 【分析】先根据周期以及最值求出的解析式即可判断A；根据得出，结合正弦函数的性质以及复合函数的单调性判断B；检验是否为判断C；根据变换求出的解析式即可判断D. 【详解】由题意可得，，则，因在取得最大值，则，得，因，则，故A正确；由A选项知，，因，则，因正弦函数图象在上单调递增，故B错误；，故C正确； 由题意得，，则，故为偶函数，故D错误. 故选：AC 11．已知，下面结论正确的是（） A．的最小正周期为 B．在上单调递增 C．在上恰有3个零点 D．的图象向左平移个单位长度后得到的图象关于y轴对称 【答案】ABD 【分析】先化简，再由函数的性质逐项判断即可． 【详解】 ，所以，故A正确；令，当时，， 因为在上单调递增，且是关于的一次函数，且单调递增， 所以在上单调递增，故B正确；令，则，，解得，，当时：当时，；当时，； 当时，；当时，，共4个零点，故C错误； 的图象向左平移个单位长度后，得到的函数为， 因为，所以是偶函数，其图象关于轴对称，故D正确． 故选：ABD 三、填空题 12．（25-26高一上·安徽阜阳·月考）将函数的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，则 . 【答案】 【分析】先根据平移变换法则求得，然后利用诱导公式及特殊角的正切值求解即可. 【详解】因为，所以. 13．（25-26高一上·北京海淀·月考）函数的部分图象如图，，则 ． 【答案】 【分析】先根据正弦函数图像求出的值,然后利用周期及零点求出的值.最后利用对称性及周期求出的值. 【详解】结合题意可知,,又由图像可知,,即,又因为，解得.又由,即，即,从而,故.因为，所以与之间的对称轴为.由图像可以知道该对称轴与零点之间的距离为.因为，，所以.所以. 14．（25-26高一上·天津蓟州·月考）已知函数，，图象的两条相邻对称轴之间的距离为．若，且，则的值 ． 【答案】 【分析】化简函数解析式，根据题意求得函数的最小正周期，从而求得的值，利用，且求得的值，根据诱导公式及同角三角函数关系式即可求出的值. 【详解】函数 .由，图象的两条相邻对称轴之间的距离为，得的最小正周期为，所以.若，则.因为，所以，所以.所以. 四、解答题 15．（25-26高一上·湖南张家界·期末）已知函数． (1)求的对称中心坐标； (2)将的图象上的各点纵坐标保持不变，横坐标伸长到原来的2倍，再向右平移个单位得到的图象，当时，方程有解，求实数m的取值范围． 【答案】(1)；(2) 【分析】（1）先化简，再用整体法算对称点坐标. （2）先将平移变换之后的解析式，然后代入，计算值域，求m的取值范围. 【详解】（1）解：（1）因为． 由，得．故的对称中心坐标为． （2）由（1）知，那么将图象上各点纵坐标保持不变，横坐标伸长到原来的2倍，再向右平移个单位，得到．当时，，，由方程有解，可得实数m的取值范围为。 16. 已知函数. (1)求的最小正周期和单调递增区间； (2)将函数图象上各点横坐标扩大为原来的2倍，纵坐标不变，再将图象向左平移个单位得到的图象，若锐角满足，求的值. 【答案】(1)；(2) 【分析】（1）先化简 为正弦型函数，根据化简后的正弦型函数，利用周期公式求最小正周期，再通过解不等式求单调递增区间； （2）按图像变换规则得到 ，利用已知条件求出 和 ，再用三角恒等变换求. 【详解】（1）.最小正周期 ； 由 ，解得，即单调递增区间为 . （2）将函数图象上各点的横坐标扩大为原来的2倍得 ，再向左平移个单位得：，由，得 ，即 .因为 为锐角，所以 ，， . 17．（25-26高一上·吉林延边·期末）某同学用“五点法”画函数在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如表： 0 0 2 0 0 (1)求实数的值和函数的解析式； (2)若函数的图象向左平移个单位长度后，得到的图象． （i）求的单调递减区间； （ii）当时，方程有解，求的取值范围． 【答案】(1)，，，； (2)（i）；（ii） 【分析】（1）由题意可得过点，且其最大值为2，即可求得函数的解析式，再分别由，和求解即可； （2）（i）由图象的平移可得，结合正弦函数的性质求解即可； （ii）求得函数在上的值域为，由求解即可. 【详解】（1）根据表中已知数据可知：过点，且其最大值为2，故可得，由，解得，故， 所以，解得：，，解得：， ，解得：． 综上，，，，； （2）（i）， 令，解得：， 即，所以的单调递减区间为； （ii）当，使得方程有解，即有解， 即，因为，所以， 所以当，即时，，当，即时，， 所以，解得：．故的取值范围为． 18．（25-26高一上·天津·期末）已知． (1)求函数的最小正周期； (2)求函数在区间上的最大值与最小值并求出取得最大值与最小值时的值； (3)若函数在区间上恰有一个实根，求实数的取值范围． 【答案】(1)最小正周期为 (2)，此时；，此时 (3) 【分析】（1）由三角恒等变换将原式转化为，再求周期即可； （2）利用正弦函数的性质可求得最值及此时的值； （3）利用数形结合可求得实数的取值范围. 【详解】（1）因为 ， 所以函数的最小正周期为； （2）因为，所以，所以，所以，即，所以，此时，解得；，此时，解得； （3）由函数在区间上恰有一个实根，可得和在区间上恰有一个交点，画出函数在区间上的图像如图所示： 根据与有唯一公共点，可得或，所以实数的取值范围为． 19．（25-26高一上·贵州六盘水·月考）已知函数． (1)求的值； (2)求在上的值域； (3)将函数的图象上的所有点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），得到函数的图象，若不等式对于任意恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）直接代入即可求解， （2）在已知x的取值范围的情况下，通过分析的范围，进而得出函数的值域. （3）根据三角函数图象的伸缩变换得到，通过换元构造函数，令，再将进行化简，参变分离，转化为对任意的恒成立，利用基本不等式求a的取值范围. 【详解】（1） （2） 时，，故．即在上的值域为． （3）将函数图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变）， 得到函数，则 ，令，因为，所以. 则不等式对任意的恒成立，等价于对任意的恒成立，即对任意的恒成立. 整理得，因为，所以，则； 令，，，， 由于，故，则， 因此， 当且仅当，即时取到等号， 学科网（北京）股份有限公司 $