1.2.4 圆与圆的位置关系(Word教参)-【学霸笔记·同步精讲】2026-2027学年高中数学选择性必修第一册（北师大版）

本讲义聚焦高中数学“圆与圆的位置关系”核心知识点，系统梳理外离、外切、相交、内切、内含五种位置类型，通过几何法（圆心距与半径关系）和代数法（方程组解的个数）两种判断方法构建知识体系，承接直线与圆位置关系，为后续复杂曲线学习奠定基础。 该资料以生活图形观察引入，融合直观想象与数学运算，通过表格对比、问题驱动及题型分类（位置判断、相切、相交问题）引导探究，拓展曲线系方程深化理解。课中助力教师高效授课，课后通过练习题与拓展内容帮助学生查漏补缺，培养逻辑推理与应用意识。

2.4　圆与圆的位置关系 课标 要求 1.能根据给定圆的方程，判断圆与圆的位置关系（数学运算、直观想象）. 2.能用直线和圆的方程解决一些简单的问题，体会用代数方法处理几何问题的思想（数学运算、直观想象）. 　　观察下面这些生活中常见的图形，感受一下圆与圆之间有哪些位置关系？ 【问题】　（1）圆与圆之间有几种位置关系？ （2）能否借助圆的方程来研究圆与圆的位置关系？ 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 知识点　圆与圆的位置关系 1.种类：圆与圆的位置关系有五种，分别为　外离　、　外切　、　相交　、　内切　、　内含　. 2.判断方法 （1）几何法：若两圆的半径分别为r1，r2，两圆圆心距为d，则两圆的位置关系的判断方法如下： 位置关系 外离 外切 相交 内切 内含 图示 d与r1，r2 的关系 　d＞r1＋r2　 　d＝r1＋r2　 　｜r1－r2｜＜d＜r1＋r2　 　d＝｜r1－r2｜　 　d＜｜r1－r2｜　 （2）代数法：设两圆的一般方程为C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0（＋－4F1＞0），C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0（＋－4F2＞0）， 联立方程则方程组解的个数与两圆的位置关系如下： 方程组解的个数 2组 1组 0组 两圆的公共点个数 2个 1个 0个 两圆的位置关系 相交 内切或外切 外离或内含 提醒：判断两圆的位置关系时，应优先使用几何法，因为利用代数法判断两圆位置关系时，若方程组无解或有一组解时，无法准确判断两圆的位置关系. 【想一想】 1.当两圆外离、外切、相交、内切、内含时，公切线的条数分别是多少？ 提示：公切线的条数分别是4，3，2，1，0. 2.当两圆相交、外切、内切时，连心线有什么性质？ 提示：当两圆相交时，连心线垂直平分公共弦；当两圆外切时，连心线垂直于过两圆公共点的公切线；当两圆内切时，连心线垂直于两圆的公切线. 1.判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”） （1）如果两个圆的方程组成的方程组只有一组实数解，则两圆外切.（　×　） （2）如果两圆的圆心距小于两圆的半径之和，则两圆相交.（　×　） （3）从两圆的方程中消掉二次项后得到的二元一次方程是两圆的公共弦所在的直线方程.（　×　） （4）过圆O：x2＋y2＝r2外一点P（x0，y0）作圆的两条切线，切点为A，B，则O，P，A，B四点共圆且直线AB的方程是x0x＋y0y＝r2.（　√　） 2.圆（x＋2）2＋y2＝4与圆（x－2）2＋（y－1）2＝9的位置关系为（　　） A.内切　　　　　　　B.相交 C.外切 D.相离 解析：B　两圆的圆心分别为（－2，0），（2，1），半径分别为r＝2，R＝3，两圆的圆心距为＝，则R－r＜＜R＋r，所以两圆相交. 3.两圆C1：x2＋（y－3）2＝4与C2：（x－4）2＋y2＝9的公切线有（　　） A.1条　　　　　　　　B.2条 C.3条 D.4条 解析：C　由圆C1：x2＋（y－3）2＝4，圆C2：（x－4）2＋y2＝9，可得圆心C1（0，3），r1＝2；圆心C2（4，0），r2＝3，所以｜C1C2｜＝＝5＝r1＋r2，故两圆外切，共有3条公切线，故选C. 4.已知两圆x2＋y2＝10和（x－1）2＋（y－3）2＝20相交于A，B两点，则直线AB的方程是　x＋3y＝0　. 解析：圆的方程（x－1）2＋（y－3）2＝20可化为x2＋y2－2x－6y＝10.又x2＋y2＝10，两式相减得2x＋6y＝0，即x＋3y＝0. 题型一　圆与圆位置关系的判断 已知圆C1：x2＋y2－2ax－2y＋a2－15＝0（a＞0），圆C2：x2＋y2－4ax－2y＋4a2＝0（a＞0）.试求a为何值时，两圆C1，C2的位置关系为：（1）相切；（2）相交；（3）外离；（4）内含. 解：圆C1，C2的标准方程为C1：（x－a）2＋（y－1）2＝16，C2：（x－2a）2＋（y－1）2＝1， ∴圆心C1（a，1），C2（2a，1），半径r1＝4，r2＝1. ∴｜C1C2｜＝＝a. （1）当｜C1C2｜＝r1＋r2＝5，即a＝5时，两圆外切； 当｜C1C2｜＝r1－r2＝3，即a＝3时，两圆内切. （2）当3＜｜C1C2｜＜5，即3＜a＜5时，两圆相交. （3）当｜C1C2｜＞5，即a＞5时，两圆外离. （4）当｜C1C2｜＜3，即0＜a＜3时，两圆内含. 通性通法 判断两圆的位置关系的两种方法 （1）几何法：将两圆的圆心距d与两圆的半径之差的绝对值、半径之和进行比较，进而判断出两圆的位置关系，这是在解析几何中主要使用的方法； （2）代数法：将两圆的方程组成方程组，通过解方程组，根据方程组解的个数进而判断两圆位置关系. 1.〔一题多解〕设圆C1：x2＋y2＝1与圆C2：（x－2）2＋（y＋2）2＝1，则圆C1与C2的位置关系是（　　） A.相交 B.外离 C.外切 D.内含 解析：B　法一　画出两圆，如图所示，由图可直观得出两圆外离. 法二　根据题意，可知圆C1的半径r1＝1，圆C2的半径r2＝1，且圆C1与圆C2的圆心距d＝＝2＞1＋1，即d＞r1＋r2，故两圆外离. 法三　将两圆的方程联立，得到方程组即消去x2，y2，得x－y－2＝0，将其代入圆C1的方程中消去y，得2x2－4x＋3＝0，所以Δ＝16－4×2×3＝－8＜0，所以方程无实数解，即两圆相离.因为两圆半径相等，所以不会出现内含的情况，故两圆外离. 2.（2026·滨州月考）若圆x2＋y2＝r2与x2＋y2＋2x－4y＋4＝0有公共点，则r的取值范围是　[－1，＋1]　. 解析：由x2＋y2＋2x－4y＋4＝0得（x＋1）2＋（y－2）2＝1，两圆圆心之间的距离为＝.因为两圆有公共点，所以｜r－1｜≤≤r＋1，所以－1≤r≤＋1. 题型二　两圆相切的有关问题 已知圆O：x2＋y2＝2，圆C过点M（5，3）且与圆O相切于点N（1，1）. （1）求圆C的标准方程； （2）若P是圆C上异于点N的动点，PA，PB是圆O的两条切线，A，B是切点，求四边形PAOB面积的最大值. 解：（1）设圆C的圆心为（a，b）， 由题意得＝， 化简得2a＋b＝8，因为圆C与圆O相切，切点为N（1，1）， 所以切点N（1，1）在直线OC上，直线OC的方程为y＝x， 将N（1，1）代入y＝x中，得a＝b， 故a＝b＝，圆心为， 故半径为＝， 故圆C的标准方程为＋＝. （2）四边形PAOB的面积可看作两个全等的直角三角形PAO与POB的面积之和，直角三角形PAO中直角边AO长度为，故只需另一条直角边AP的长度最长即可，由勾股定理可知只需OP最长即可， 显然连接OC并延长，交圆C于点P，此时OP最长， 为｜OP｜max＝＋＝， 此时AP最长，为｜AP｜max＝＝， 所以四边形PAOB面积的最大值为2×××＝. 通性通法 处理两圆相切问题的两个步骤 （1）定性：即必须准确把握是内切还是外切，若只是告诉相切，则必须考虑两圆内切还是外切； （2）转化：即将两圆相切的问题转化为两圆的圆心距等于两圆半径之差的绝对值（内切时）或两圆半径之和（外切时）. 1.半径为6的圆与x轴相切，且与圆x2＋（y－3）2＝1内切，则此圆的方程是（　　） A.（x－4）2＋（y－6）2＝6 B.（x＋4）2＋（y－6）2＝6或（x－4）2＋（y－6）2＝6 C.（x－4）2＋（y－6）2＝36 D.（x＋4）2＋（y－6）2＝36或（x－4）2＋（y－6）2＝36 解析：D　由题意可设圆的方程为（x－a）2＋（y－6）2＝36，由题意，得＝5，所以a2＝16，所以a＝±4.故选D. 2.已知圆C满足下列条件：①圆心C在第三象限；②与圆P：x2＋y2－6x＋4y＋4＝0外切；③圆C的一条切线方程为y＝1，则圆C的标准方程可能是　（x＋3）2＋（y＋2）2＝9（答案不唯一）　.（写出一个即可） 解析：设圆心坐标为（a，b），由①可知a＜0，b＜0，半径为r＞0，由②③可知整理可得a2－6a＋6b＋3＝6｜b－1｜（a＜0，b＜0），当b＝－2时，a＝－3，r＝3，所以其中一个同时满足条件①②③的圆C的标准方程是（x＋3）2＋（y＋2）2＝9. 题型三　两圆相交的有关问题 已知圆C1：x2＋y2＋6x－4＝0和圆C2：x2＋y2＋6y－28＝0，求两圆公共弦所在直线的方程及弦长. 解：设两圆交点为A（x1，y1），B（x2，y2）， 联立圆C1与圆C2的方程， 得 由①－②，得x－y＋4＝0. ∴x－y＋4＝0即为两圆公共弦所在直线的方程. 又圆C1的圆心为（－3，0），r＝， ∴C1到直线AB的距离d＝＝， ∴｜AB｜＝2＝2×＝5， 即两圆的公共弦长为5. 通性通法 1.两圆相交时，公共弦所在的直线方程 若圆C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0与圆C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0相交，则两圆公共弦所在直线的方程为（D1－D2）x＋（E1－E2）y＋F1－F2＝0. 2.公共弦长的求法 （1）代数法：将两圆的方程联立，解出交点坐标，利用两点间的距离公式求出弦长； （2）几何法：求出公共弦所在直线的方程，利用圆的半径、半弦长、弦心距构成直角三角形，根据勾股定理求解. 　若☉O：x2＋y2＝5与☉O1：（x－m）2＋y2＝20（m∈R）相交于A，B两点，且两圆在点A处的切线互相垂直，则线段AB的长度为　4　. 解析：如图所示，在Rt△OO1A中，｜OA｜＝，｜O1A｜＝2，∴｜OO1｜＝5，∴｜AC｜＝＝2，∴｜AB｜＝4. 1.圆O1：x2＋y2－2x＝0和圆O2：x2＋y2－4y＝0的位置关系是（　　） A.相离 B.相交 C.外切 D.内切 解析：B　化为标准方程：圆O1：（x－1）2＋y2＝1，圆O2：x2＋（y－2）2＝4，则O1（1，0），r1＝1，O2（0，2），r2＝2，｜O1O2｜＝＝＜r1＋r2，又r2－r1＜，所以两圆相交. 2.与圆x2＋y2－2x＝0外切，圆心在x轴上，且过点（3，－）的圆的方程为（　　） A.（x＋6）2＋y2＝9 B.（x－6）2＋y2＝9 C.（x－4）2＋y2＝4 D.（x＋4）2＋y2＝4 解析：C　因为所求圆的圆心在x轴上，所以可设圆心坐标为（a，0），半径为r，则所求圆的方程为（x－a）2＋y2＝r2，又因为所求圆与圆x2＋y2－2x＝0外切，且过点（3，－），所以解得所以所求圆的方程为（x－4）2＋y2＝4. 3.求以（3，－4）为圆心，且与圆x2＋y2＝64内切的圆的方程为　（x－3）2＋（y＋4）2＝9或（x－3）2＋（y＋4）2＝169　. 解析：设所求圆的半径为r，则＝｜8－r｜，∴r＝3或r＝13，故所求圆的方程为（x－3）2＋（y＋4）2＝9或（x－3）2＋（y＋4）2＝169. 4.若圆x2＋y2＝4与圆x2＋y2＋2ay－6＝0（a＞0）的公共弦长为2，则a＝　1　. 解析：将两圆的方程相减，得相交弦所在的直线方程为y＝，圆心（0，0）到直线的距离为d＝＝＝1，所以a＝1. 拓视野　曲线系方程 　　曲线系也叫曲线族或曲线束，是指具有某种性质的曲线的集合，曲线系方程是指含有参数的二元方程当参数在其取值范围内变化时分别对应的所有曲线，其中最简单的是具有某种性质的直线系方程和圆系方程. 1.直线系方程 （1）与直线l：Ax＋By＋C＝0平行的直线系方程为Ax＋By＋λ＝0（λ为参数）； （2）与直线l：Ax＋By＋C＝0垂直的直线系方程为Bx－Ay＋λ＝0（λ为参数）； （3）过直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0与l2：A2x＋B2y＋C2＝0的交点的直线系方程为（A1x＋B1y＋C1）＋λ（A2x＋B2y＋C2）＝0（不含l2，λ为参数）. 2.圆系方程 （1）过圆O：x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0与直线l：Ax＋By＋C＝0交点的圆系方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＋λ（Ax＋By＋C）＝0（λ为参数）； （2）过圆O1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0与圆O2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0交点的圆系方程为x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＋λ（x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2）＝0（不包括圆O2，λ为参数）. 应用直线系、圆系方程解题的关键是由题设条件确定参数的值. 一、直线系方程 （1）经过两条直线2x＋3y＋1＝0和x－3y＋4＝0的交点，并且垂直于直线3x＋4y－7＝0的直线l的方程为　4x－3y＋9＝0　； （2）求过点A（1，－4）且与直线2x＋3y＋5＝0平行的直线方程. （1）解析：由题意可设直线l的方程为（2x＋3y＋1）＋λ（x－3y＋4）＝0，即（2＋λ）x＋（3－3λ）y＋1＋4λ＝0　①，因为直线l与直线3x＋4y－7＝0垂直，所以3（2＋λ）＋4（3－3λ）＝0，解得λ＝2，代入①式得直线l的方程为4x－3y＋9＝0. （2）解：设所求直线方程为2x＋3y＋c＝0（c≠5），由题意知，2×1＋3×（－4）＋c＝0，所以c＝10，故所求直线方程为2x＋3y＋10＝0. 通性通法 1.与定直线平行的直线系方程 与Ax＋By＋C＝0平行的直线方程（包括原直线）为Ax＋By＋λ＝0（λ为待定系数），若所求的直线过点P（x0，y0），则其方程为A（x－x0）＋B（y－y0）＝0. 2.与定直线垂直的直线系方程 与Ax＋By＋C＝0垂直的直线方程为Bx－Ay＋λ＝0（λ为待定系数），若所求的直线过点P（x0，y0），则其方程为B（x－x0）－A（y－y0）＝0. 3.过交点的直线系方程 设出过l1与l2交点的直线系方程为（A1x＋B1y＋C1）＋λ（A2x＋B2y＋C2）＝0或（A2x＋B2y＋C2）＋λ（A1x＋B1y＋C1）＝0（λ为常数），根据条件求参数λ，从而确定直线方程. 二、圆系方程 （1）经过两圆x2＋y2－2y－4＝0与x2＋y2－4x＋2y＝0的交点，且圆心在直线l：2x＋4y－1＝0上的圆的方程是　x2＋y2－3x＋y－1＝0　； （2）求过直线2x＋y＋4＝0和圆x2＋y2＋2x－4y＋1＝0的交点，且半径最小的圆的面积为　　. 解析：（1）设圆的方程为x2＋y2－4x＋2y＋λ（x2＋y2－2y－4）＝0（λ≠－1），则（1＋λ）x2＋（1＋λ）y2－4x＋（2－2λ）y－4λ＝0，把圆心代入l：2x＋4y－1＝0的方程，可得λ＝，所以所求圆的方程为x2＋y2－3x＋y－1＝0. （2）过直线2x＋y＋4＝0和圆x2＋y2＋2x－4y＋1＝0的交点的圆系方程可设为x2＋y2＋2x－4y＋1＋λ（2x＋y＋4）＝0（λ∈R），即[x＋（λ＋1）]2＋（y＋）2＝λ2－4λ＋4，圆的半径为＝＝，故当λ＝时对应圆的半径最小，且最小半径为，此时圆的面积最小.∴所求圆的面积S＝. 通性通法 1.以（a，b）为圆心的同心圆系方程为（x－a）2＋（y－b）2＝λ2（λ≠0）. 2.与圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0同心的圆系方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋λ＝0（D2＋E2－4λ＞0）. 3.过同一定点（a，b）的圆系方程为（x－a）2＋（y－b）2＋λ1（x－a）＋λ2（y－b）＝0（λ1，λ2不同时为0）. 4.过直线Ax＋By＋C＝0与圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0的交点的圆系方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＋λ（Ax＋By＋C）＝0. 5.过两圆C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0和C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0的交点的圆系方程为（x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1）＋λ（x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2）＝0（λ≠－1）.特别地，在该圆系方程中，①当λ＝－1时，方程（D1－D2）x＋（E1－E2）y＋F1－F2＝0为两圆公共弦所在直线的方程；②当两圆相切（内切或外切）时，方程（D1－D2）x＋（E1－E2）y＋F1－F2＝0为过两圆公共切点的公切线所在直线的方程. 1.圆x2＋4x＋y2＝0与圆（x－2）2＋（y－3）2＝r2有三条公切线，则半径r＝（　　） A.5 B.4 C.3 D.2 解析：C　两圆的圆心分别为（－2，0），（2，3），半径分别为2，r，由于两圆有三条公切线，∴两圆外切，∴＝2＋r，即5＝2＋r，∴r＝3. 2.两内切圆的半径是方程x2＋px＋q＝0的两根，已知两圆的圆心距为1，其中一圆的半径为3，则p＋q＝（　　） A.2或4 B.4 C.1或5 D.5 解析：C　根据题意，设两个圆的半径分别为R，r，且R＝3，则有｜R－r｜＝1，解得r＝2或4.由R，r是方程x2＋px＋q＝0的两根，得当r＝2时，p＝－5，q＝6，此时p＋q＝1；当r＝4时，p＝－7，q＝12，此时p＋q＝5，故p＋q＝1或p＋q＝5.故选C. 3.（2026·厦门期中）若圆C1：x2＋y2－2x＋4y＋m＝0与圆C2：x2＋y2＋2x－1＝0恰有两条公共的切线，则m的取值范围为（　　） A.（－13，3） B.（3，5） C.（－∞，5） D.（－∞，3） 解析：A　由x2＋y2－2x＋4y＋m＝0，配方得（x－1）2＋（y＋2）2＝5－m，所以5－m＞0⇒m＜5，所以C1（1，－2），半径r1＝，由x2＋y2＋2x－1＝0⇒（x＋1）2＋y2＝2，所以C2（－1，0），半径r2＝，因为圆C1：x2＋y2－2x＋4y＋m＝0与圆C2：x2＋y2＋2x－1＝0恰有两条公共的切线，所以这两个圆相交，于是有｜r1－r2｜＜｜C1C2｜＜r1＋r2，得｜－｜＜＜＋，化简，得＜＜3，解得－13＜m＜3，而m＜5，所以实数m的取值范围为（－13，3）.故选A. 4.若直线l与圆C1：（x＋1）2＋y2＝1，圆C2：（x－1）2＋y2＝4都相切，切点分别为A，B，则｜AB｜＝（　　） A.1 B. C. D.2 解析：C　如图所示，设直线l交x轴于点M，由于直线l与圆C1：（x＋1）2＋y2＝1，圆C2：（x－1）2＋y2＝4都相切，切点分别为A，B，则AC1⊥l，BC2⊥l，∴AC1∥BC2，∵｜BC2｜＝2＝2｜AC1｜，∴C1为MC2的中点，A为BM的中点，∴｜MC1｜＝｜C1C2｜＝2，由勾股定理可得｜AB｜＝｜MA｜＝＝. 5.若圆M：x2＋y2＋ax＋by－ab－6＝0（a＞0，b＞0）平分圆N：x2＋y2－4x－2y＋4＝0的周长，则2a＋b的最小值为（　　） A.8 B.9 C.16 D.20 解析：A　两圆方程相减，得（a＋4）x＋（b＋2）y－ab－10＝0，此为相交弦所在的直线方程.又圆N的标准方程是（x－2）2＋（y－1）2＝1，圆心N（2，1），∴2（a＋4）＋b＋2－ab－10＝0，∴＋＝1.∵a＞0，b＞0，∴2a＋b＝（2a＋b）（＋）＝4＋＋≥4＋2＝8，当且仅当＝，即a＝2，b＝4时等号成立.∴2a＋b的最小值为8.故选A. 6.〔多选〕若圆C与直线3x－4y－12＝0相切，且与圆x2－2x＋y2＝0相切于点A（2，0），则圆C的半径为（　　） A.5　　　　B.3 C.　　　　D. 解析：BD　圆x2－2x＋y2＝0的圆心为（1，0），半径为1，圆C与圆x2－2x＋y2＝0相切于点A（2，0），则圆C的圆心在x轴上，设圆心为（a，0），则由题意｜a－2｜＝，解得a＝－1或a＝，当a＝－1时，半径为｜－1－2｜＝3，当a＝时，半径为＝.故选B、D. 7.〔多选〕已知圆O1：x2＋y2－2x＝0和圆O2：x2＋y2＋2x－4y＋1＝0，则（　　） A.圆O2与x轴相切 B.两圆公共弦所在直线的方程为x－y＋1＝0 C.有且仅有一个点P，使得过点P能作两条与两圆都相切的直线 D.两圆的公切线段长为 解析：ACD　圆O1：（x－1）2＋y2＝1的圆心为O1（1，0），半径r1＝1，圆O2：（x＋1）2＋（y－2）2＝4的圆心为O2（－1，2），半径r2＝2.对于A，显然圆O2与x轴相切，故A正确；对于B，易知两圆相交，将方程x2＋y2－2x＝0与x2＋y2＋2x－4y＋1＝0相减，得公共弦所在直线的方程为4x－4y＋1＝0，故B错误；对于C，两圆相交，所以两圆的公切线只有两条，又因为两圆半径不相等，所以公切线交于一点P，即过点P可以作出两条与两圆都相切的直线，故C正确；对于D，因为｜O1O2｜＝2，r2－r1＝1，所以公切线段长为＝，故D正确.故选A、C、D. 8.已知M，N是圆A：x2＋y2－2x＝0与圆B：x2＋y2＋2x－4y＝0的公共点，则△BMN的面积为　　. 解析：由题意，可知圆B的圆心坐标为（－1，2），半径为.联立可得直线MN的方程为x－y＝0，所以B（－1，2）到直线MN的距离为＝，线段MN的长度为2＝，所以△BMN的面积为××＝. 9.与圆x2＋y2－2x＝0外切且与直线x＋y＝0相切于点M（3，－）的圆的方程是　（x－4）2＋y2＝4或x2＋（y＋4）2＝36　. 解析：已知圆的方程可化为（x－1）2＋y2＝1，则圆心为C（1，0），半径为1.设所求圆的方程为（x－a）2＋（y－b）2＝r2（r＞0）.由题意，可得解得或即所求圆的方程为（x－4）2＋y2＝4或x2＋（y＋4）2＝36. 10.（2026·台州月考）已知圆C1：x2＋y2－2x－6y－1＝0和C2：x2＋y2－10x－12y＋45＝0. （1）求证：圆C1和圆C2相交； （2）求圆C1和圆C2的公共弦所在直线的方程和公共弦长. 解：（1）证明：圆C1的标准方程是（x－1）2＋（y－3）2＝11，则C1（1，3），r＝. 圆C2的标准方程是（x－5）2＋（y－6）2＝16，则C2（5，6），R＝4. ｜C1C2｜＝＝5， 显然4－＜5＜4＋，所以两圆相交. （2）两圆方程相减得8x＋6y－46＝0，即4x＋3y－23＝0为公共弦所在直线的方程， 点C1到直线4x＋3y－23＝0的距离d＝＝2，所以公共弦长l＝2＝2. 11.设两圆C1，C2都和两坐标轴相切，且都过点（4，1），则两圆圆心的距离｜C1C2｜＝（　　） A.4 B.4 C.8 D.8 解析：C　因为两圆C1，C2都和两坐标轴相切，且都过点（4，1），所以两圆C1，C2的圆心都在y＝x上.设圆C1，C2的圆心坐标分别为（x1，x1），（x2，x2），则（4－x1）2＋（1－x1）2＝，（4－x2）2＋（1－x2）2＝，即x1，x2是方程（x－4）2＋（x－1）2＝x2的两根，即x1，x2是方程x2－10x＋17＝0的两根.所以x1＋x2＝10，x1x2＝17.所以｜C1C2｜＝｜x1－x2｜＝·＝8. 12.〔多选〕已知圆C：（x－3）2＋（y－4）2＝1和两点A（－m，0），B（m，0）（m＞0），若圆C上存在点P，使得∠APB＝90°，则m的可能取值为（　　） A.7 B.6 C.5 D.8 解析：BC　由圆C：（x－3）2＋（y－4）2＝1可得圆心C的坐标为（3，4），半径为1.因为圆心C到O（0，0）的距离为5，所以圆C上的点到点O的距离的最大值为6，最小值为4.因为圆C上存在点P，使得∠APB＝90°，所以以AB为直径的圆与圆C有交点，所以｜OP｜＝｜AB｜＝m，所以4≤m≤6，所以选项B、C符合题意.故选B、C. 13.已知P为圆O：x2＋y2＝2上一动点，过点P作圆C：x2＋y2－6x－6y＋14＝0的切线，切点分别为A，B，当｜AB｜取最小值时，直线AB的方程为　x＋y－4＝0　. 解析：∵圆C：（x－3）2＋（y－3）2＝4，∴圆心C（3，3），半径r＝2.又∵P为圆O：x2＋y2＝2上的动点，∴｜OC｜＝3，∴2≤｜PC｜≤4.由图可知， ｜AB｜＝，又∵｜AC｜＝2，｜PC｜2＝｜PA｜2＋｜AC｜2，∴｜AB｜＝＝4，∴当｜PC｜最小时，｜AB｜最小.∵｜PC｜min＝2，∴｜AB｜min＝4＝2，此时P（1，1），｜PA｜＝｜PB｜＝2.点A，点B在以P（1，1）为圆心，2为半径的圆上，其方程为（x－1）2＋（y－1）2＝4，即x2＋y2－2x－2y－2＝0.联立②－①整理得x＋y－4＝0.∴直线AB的方程为x＋y－4＝0. 14.已知圆A：x2＋（y＋1）2＝1，圆B：（x－4）2＋（y－3）2＝1. （1）过圆心A的直线l截圆B所得的弦长为，求直线l的斜率； （2）若动圆P同时平分圆A与圆B的周长. ①求动圆圆心P的轨迹方程； ②问动圆P是否过定点？若经过，求出定点坐标；若不经过，请说明理由. 解：（1）由题意知，直线l的斜率存在，且圆心A（0，－1），设直线l的方程为y＝kx－1，由弦长可得圆心B（4，3）到直线l的距离为， 即＝，化简得12k2－25k＋12＝0， 解得k＝或k＝. （2）①由已知可得｜PA｜＝｜PB｜，故圆心P在线段AB的中垂线上. ∵直线AB的斜率为1，∴圆心P所在直线的斜率为－1，且该直线过点（2，1），∴圆心P在直线x＋y－3＝0上.即动圆圆心P的轨迹方程为x＋y－3＝0. ②设P（m，3－m），则动圆P的半径为＝， ∴动圆P的方程为（x－m）2＋（y＋m－3）2＝m2＋（3－m＋1）2＋1， 即x2＋y2－6y－8－2m（x－y－1）＝0. 由 得或故动圆P过定点（2＋，1＋），（2－，1－）. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $