1.2 圆与圆的方程阶段综合-【经纶学霸】2026-2027学年高二数学选择性必修第一册4星学霸黑白题（北师大版）

圆C,相交 (2)解：将两圆方程相减，有x+y-1=0,即两圆公共弦所在直线的方 程为x+y-1=0,圆心C(0,-1)到x+y-1=0的距离d=10-1-1 1+I √2，故公共弦的弦长为2×√4-2=22. 12.解：(1)如图，已知圆心C在直线x+3y+1=0上，则设C(-3a-1,a), 又圆C经过点M(0,-2)和N(3,1),则ICM|=ICNI,即 √(-3a-1)2+(a+2)2=√(-3a-4)2+(a-1)2,解得a=-1,所以 圆心C(2,-1),半径r=1MC1=√22+(-1+2)2=5，所以圆C的方 程为(x-2)2+(y+1)2=5. (2)如图，由已知直线l:(2m+1)x+(1-m)y 6m=0,即m(2x-y-6)+(x+y)=0,令 26=0解得{：=2，即直线1过定点 (x+y=0, (y=-2, A(2,-2),且IAC1=1<5,所以当直线l过 点C时弦长最大为2r=2W5,当直线l⊥AC 时弦长最小为2/2-IAC12=2√5-1=4 13.解：(1)当m=4时，圆心C为(4,8)，圆C的方程为(x-4)2+ (x-8)2=16,则圆心C到直线1的距离d=√42-（√14）2=√2.若 直线l的斜率不存在，则：x=0,此时直线1与圆C相切，不符合题 意：若直线1的斜率存在，可设直线l的方程为y=kx+6,即x-y+6= 0,则d=14-8+6=2,得7-8k+1=0,解得1=1或2=7，所 k2+1 以直线1的方程为x-y+6=0或x-7y+42=0. (2)记圆C的半径为r,因为m>0,则r=m,设M(x,y),由M⑦.M市= 0得(-x,y)·（-x,6-y)=0,化简得x2+y2-6y=0,即x2+(y-3)2= 9,所以M的轨迹为圆，记圆心为C1(0,3),半径为T1=3,圆C上存 在点M满足M⑦·M证=0，即圆C和圆C1有公共点，所以1r-T11≤ 1CC1I≤r+r1,所以1m-31≤√m2+(2m-3)2≤m+3,所以m2-6m+ 9≤5m2-12m+9≤m2+6m+9,所以2m-9n≤0解得 (2m2-3m≥0， 0≤m≤2 m≤0或m≥ 因为>0，所以子≤m≤号，所以实数m的取值 9 3 「391 范围为2,2丁 14.解：(1)设点P的坐标为(x,y),1PA1=√(x-6)2+(y-8)2,1PQ12= 10P12-4=x2+y2-4,由题意有(x-6)2+(y-8)2=x2+y2-4,整理得 3x+4y-26=0,故点P的轨迹方程为3x+4y-26=0,点P的轨迹是斜 率为-3，在y轴上的截距为)的直线 (2)由IPQ1=IPA|和(1)可知，IPQ1的最小值即为点A到直线3x+ 4y26=0的距离，放其最小值为18+32-261-24 √/32+42 5 (3)由圆的性质可知，当直线0P与直线3x+4y-26=0垂直时，以此 时的点P为圆心，且与圆O相外切的圆即为所求，此时OP的方程 78 4 x 为y=子，联立方程3 4 25 解得 104 即P25 78 3x+4y-26=0, y=25 104 25 )又点0到直线3x+4y26=0的距离为2，可得所求圆的半径 5 为6 2 16 5 所求圆的标准方程为）广+(）。 256 25 压轴挑战 BCD解析：对于A,因为两圆半径相等，所以AB的中点恰为C1C2的 中点，所以x1+x2=0+a=a,y1+y2=0+b=b,故A错误；对于B,将圆C1与 圆C,的方程相减可得公共弦AB所在的直线的方程为a2+b2-2ax-2by= 0,故B正确；对于C,由题意，以点P为中点的弦所在直线L1⊥CP, 选择性必修第一册·BS 0,所以0 kc P= ,则直线，为0+yoy=后+6，所以∥化又因 为点G,到直线马的距离为 亏，点P(x0,o)在圆C内，则√好+后< √场+y% 2 r,所以圆心C,到直线12的距离 二>，则直线12与圆心C1相离，故 √场y C正确；对于D,如图，设MW的中点为H,则1OM+O成1=21O,由 m=5,可得1C1=P-(受)） 2,即点H在以点C,为圆心，之为半径的圆 上，所以1i≤10c1+分=v48+分，所 以10M+0成1的最大值为2√a2+b+r,故D正 确.故选BCD. §2 阶段综合 黑题阶段强化 1.A解析：由题意可设圆心坐标为(a,1),其中a>0,因为圆C与直线 4x-3y=0相⊥切，则14a-31 =1.因为a>0,解得a=2,因此，圆C √42+(-3)7 的标准方程为(x-2)2+(y-1)2=1.故选A. 2.A解析：如图，取PQ的中点为E,连接OE, 则0E⊥PQ.因为∠P0Q=120°，故∠P0E= 60,所以10E1=子又直线P0的方程 为cy+1=0,所以11=1 V+i2,放k=t3 故选A. 3.D解析：由光的反射原理知，反射光线的反向延长线必过点(2， -3),设反射光线所在直线的斜率为k,则反射光线所在直线方程为 y+3=k(x-2),即x-y-2k-3=0.又因为反射光线与圆(x+3)2+ （y-22=1相切，所以-36-2-2-31=1，整理得122+25k+12=0. 2+1 舒得=子或=子，放选D 4.AD解析：根据题意画图，如图所示，圆C:x2+y2+2x-2y-1=0可化 为(x+1)2+(y-1)2=3,其圆心C(-1,1),半径r=√3，直线l:y-1= -2-1 -1-2x-2),即x-y-1=0.对于A,1CA1=3,则1CA1-r≤1Q41≤ ICA1+r,因此1QA1∈[3-√5,3+√3]，A正确；对于B,点C到直线1 是9心 32,若d.d成=}，即× 月ms∠NMCV=号，解得em∠MCN=,则∠MCN=60,∠PON= 30°，1PC1=1CWM c03092 <35,矛盾，B错误；对于C,os∠MPN= 21 Cos 2LMPC=2 (CosLMPC)2-1=2 IPM1） IPCI -1=2.1PC2-3 IPC12 11又因为IPc2≥号，所以m∠MNe[-分，1）片 6 1 2<-3,C错误；对于D,设点P(x0,x0-1),以线段PC为直径的 圆为((）°-(）+()博 y2+(1-x0)x-xoy-1=0,与圆C的方程相减得直线MN:(1+x0)x- (2-xo)y=0,此直线恒过坐标原点，D正确故选AD. 黑白题014 (第4题) (第5题) 5.3√2解析：设圆(x-5)2+(y-5)2=16的圆心为M(5,5),半径为4. 如图，当∠PBA最大时，PB与圆M相切，连接MP,BM,可知PM⊥ PB,1BM1=√(0-5)2+(2-5)7=√34,1MP1=4,由勾股定理可得 1PB1=√1BMI2-1MP12=3√2.故答案为3万. 6.[-1,2]解析：设点P(x,y）,则Pi=(-2-x,y),P=(2-x,-y),所 以PA.P=(-2-x)(2-x)+y2=5,则x2+y2=9,所以点P的轨迹方程 为x2+y2=9,其运动轨迹是圆心为(0,0)，半径为3的圆，由此可知圆 (x-a-1)2+(y-3a+2)2=4与x2+y2=9有公共点，又圆(x-a-1)2+ (y-3a+2)2=4的圆心为(a+1,3a-2),半径为2，所以1≤ √/(a+1)2+(3a-2)2≤5，解得-1≤a≤2，即a的取值范围是 [-1,2]故答案为[-1,2]. 7. 2 解析：设P(xo,y0),过点P引圆x2+y2=1的两条切线，切点分 别为B,C喝切点在以0P为直径的圆上，圆心(？，分），半径r √始+后 2 y2-xox-yoy=0.又点B,C在圆x2+y2=1上，两圆方程相减得到x0x+ yoy=1,即直线BC的方程是x0x+y0y=1.因为yo=-2,代人x0x+yoy= 1得0x-2=1,则直线BC恒过定点N(0,-2) 1 ,所以点A(2,1)到 直线C的距商4≤141=√0-2（分一订号所以点 2 A(2,)到直线BC的距离的最大值为号放答案为号 四重难点拨 本题首先要求以OP为直径的圆，利用两圆相减，求得过两圆交点的 直线方程，关键是发现直线BC过定点，这样通过几何关系就容易求 得定点与动直线距离的最大值. 8.解：(1)将圆C:x2+y2-4x-6y+4=0化为标准方程：(x-2)2+ (y-3)2=9,则圆心C(2,3),半径r=3. (2)当直线1的斜率不存在时，直线1的方程为x=4,在圆C:x2+y2- 4x-6y+4=0中，令x=4,得y2-6y+4=0,解得y=3±√5，此时1MN1= 25,与题意矛盾，所以直线1的斜率存在，设斜率为k,则直线1的方 程为y-2=k(x-4),即kx-y-4k+2=0.因为1MW1=4,所以圆心C(2, )到直线1的距离4=√P-(四。9=，所以 12k-3-4+21=5,解得k=2,所以直线1的方程为2x-y6=0,综上 √2+1 所述，直线l的方程为2x-y-6=0. 授.s为.限立40蒲夫，有 7 5x2-40x+76=0,则x1+x2=8,x12= 5,故12=(2x1-6)(22-6)= 4 76.4 41-12(x1+)+36=于，所以0成.0=1+12=写+于=16 9.解：(1)因为圆C的圆心在直线2x-y-2=0上，设圆心为C(a, 2a-2),根据题意可得a-22+(2a-3=1a+2a-2-31,即 2 V5a一16a+1日-3023解得a=1,故圆心为c(1,0),该圆的半8 为1PC1=√1-2)2+(0-1)7=√2，因此，圆C的标准方程为 参考答案 (x-1)2+y2=2. (2)如图，因为MA,MB都与圆C相切，由切线长定理可得IMAI= IMBI.又因为IACI=IBCI,IMCI=IMCI,则△MAC≌△MBC,且 AC⊥MA,MB⊥BC,所以四边形MACB面积S=2S△MAc=IAC|· |MA1=√2·√IMCI2-2,当MC⊥L时，|MCI取最小值，则四边 形MACB面积最小.因为直线1的斜率为1，则直线MC的斜率为-1， 所以直线MC的方程为y=-(g-,即x+y-1=0,由{20，得 2 即点M的坐标为 3 2,2,此时1MC1=1-0+21」 13 y2’ 32 ,则四边形MACB面积的最小值为2×】-2=V5. 2 四方法总结 解析几何中最值与范围问题的常见求法：(1)几何法，若题目的条件 能明显体现几何特征和意义，则考虑利用图形性质来解决；(2)代数 法，若题目的条件能体现一种明确的函数关系，则可首先建立目标函 数，再求这个函数的最值， 10.（1)解：当切线m的斜率不存在时，切线m:x=-3与圆C相离，不符 合题意.当切线m的斜率存在时，可设切线m:y2=k(x+3),即x y+3k+2=0.因为切线m与圆C相切，圆C的圆心C(1,0),半径 =2,所以k-0+3+21=2,即32+4h=0,解得k=0或k= 2+1 3,所以 切线m的方程为y=2或4x+3y+6=0. (2)证明：①当直线1的斜率不存在时，其方程为x=0,此时点A,B 的坐标为(0，-√3)，(0，√3). _2+32-3=-4 所以k+h2=-3 -3 3 ②当直线I的斜率存在时，可设其方程为y=x设A(x1,1),B(x2, ),由=c, {(x-122=4联立，得(2+1)2-2x-3=0.由4=4+1242+ 2 1)>0,得keR,所以 x1+22+1 -3所以所+场=当-2,22-2 x1+3x2+3x1+3 x1x2+1' -3 -2_21+(3k-2)(4+2)-122k·话 k2+ 2-12 +(3k-2)·2+ 七2+3 x1x2+3(x1+x2)+9 -3 -4 1一+3 k2+1 (13 综上所述，为定值子 3 压轴挑战 解：(1)由题意设圆心坐标为(0，b)(b>0),则圆C的方程为x2+ (y-b)2=64(6>0).因为直线12x-9y-1=0与圆c相切，所以点C(0,6) 9 到直线12x-9y-1=0的距离d= V学因为60，所以： 1-96-1= 故圆G的标准方程为+（号）广-号 13 1312 (2)因为1CM1= 13 了<，所以当直线C与这条孩直时，这条 -2= 3 弦的长度最短，故所求最短弦长为2。 /6477215 93 3 黑白题015 (3)假设存在定点B,设B(0,m)(m≠-1)，P(x,y）,则2=64 (}+， 则= √x2+(y-m)7 IPAI √2+(y+1)7 √2+26,35 3y3+(y-m)2 ( m235 3 √2635 .当 32.32 32 3y3+(y+1)2 3 33 3 2 0,即m=3(m=-1合去时，为定值，且定值为2，放存在 3 定点B,且点B的坐标为(0,3) 专题探究1直线中的最值问题 黑题专题强化 1.A解析：l:(1+3入)x+(1+入)y-2-4入=0（入∈R)可化为入(3x+y 利2-0令20第特售即直线过定我01，， (y=1, 则当PQ11时，点P(-2,-1)到直线1的距离最大，即有}-（-， 1-(-2) (）-1,解得A=此时直线为(3x兮）+(： 了y-2-4x写=0，化简得3x+2-5=0,故选A 1 2.B解析：因为两直线交于(1,1)，则1+1+C=0,即C=-2,且A+B+ C=0,则A+B=2由原点到直线2的距离d=1C1 √A2+B2 2 2 V2+(2-A)7V√2(A2-2A+2) ，而A2-2A+2=(A-1)2+1≥1，则d≤ √2，当且仅当A=1时，d取最大值2，此时B=1.即两直线重合时，原 点到直线l2的距离最大，最大值为√2.故选B. 3.D解析：设点A关于直线1的对称点为A'(m,n),则 n-5 m-1-1, n+5_m+l 得2由1PA1=1P,则1PA1+1P阳1 22+1, 1PA'I+1PB1≥1A'B1=√(4+2)2+(2-10)2=10，当且仅当B,P,A 共线时取等号，故|PA|+IPB1的最小值为10.故选D. 4.A解析：如图，设B关于l:x-y-1=0的对称点为C(m,n),则 解得m即c(1,1),故1AC1=2-)2+(3-1= 21 ln=1, 5,IPAI-IPBI=IPAI-|PCI≤IACI=√5，当且仅当P,A,C三点共 线时，等号成立.故选A (第4题) (第5题) 5.23解析：√2-2x+17=√(x-1)2+16表示A(x,0),B(1,4)之 间的距离，√x2-10x+29=√(x-5)2+4表示A(x,0),C(5,2)之间的 距离，又C(5,2)关于x轴的对称点C'(5,-2),如图，所以f(x)= 1AB1+1AC1=|AB1+1AC'1≥|BC'1=√(1-5)2+(4+2)2=2V13,所 以f(x)mim=2√13.故答案为2√13. 解析：设点A(x,y),B(1,4)和直线l:3x+4y5=0,A,B到1的距 选择性必修第一册·BS 离分别为d1,d2,易知f代x,y)=IAB|+d1,如图，显然f(x,y)=1AB1+ 山≥1B1+4-51片故答案为片 5 5 0 (第6题) (第7题) 7.25解析：设P(x,y),0(0,0),A(2,0),B(2,1),C(0,1),因为0< x<2,0<y<1,则点P(x,y)在矩形OABC内部，如图所示，可得 x2+y7+2+(1-y)2+√(2-x)2+y7+√(2-x)2+(1-y)7= 1OPI+ICPI+IAPI+IBPI=(1OP1+IBP1)+(I CPI+IAPI) 10B1+1AC1=25,当且仅当P为0B,Ac的交点(1，号)时，等号 成立.故答案为25. 8.B解析：动直线(a+1)x-y+2=0化为y=(a+1)x+2,可知定点 A(0,2).动直线x+(a+1)y-5a-2=0化为a(y-5)+x+y-2=0,令 -5=0,解得y,可知定点B(-3,5).(a+1)×1-1×(a (x+y-2=0, 1)=0,直线(a+1)x-y+2=0与直线x+(a+1)y-5a-2=0垂直，P 为交点，.PA⊥PB,.1PA12+1PB12=1AB12=(0+3)2+(2-5)2=18. 则SaU=分1PA11PB1≤分.PAI生1PI 2 2 2,当且仅当 IPA=1PB1=3时，等号成立即△PHB的面积的最大值为号故 选B. 9解：()帐题意，得MN方程为y=(-子）：B10B, 1 1AB1=IOBI=1,直线OA方程为y=x,直线AB方程为x=1, y=, 2k-1 0≤4≤1， o. 解得 x=1. 2≤k≤2 a若功兮成可得子司兮（宁）解得=宁 直线心的方为()，整理得+-10 (3)在△Mww中，由(I)知：Saw=号·1AN1·A=子（ ）[司】44小英中1e[号 ]根据基本不等式的性质，当1-长=子，即=之时。 1 (Sa4mw)m32×(2+2+4)=4 专题探究2 隐形圆 黑题 专题强化 1.ABD解析：设P(x,y),A(-1,0),B(2,0),且1PA1=21PB1, √(x+1)2+y2=2√(x-2)2+y,化简得x2+y2-6x+5=0, (x-3)2+y2=4,点P的轨迹是以C(3,0)为圆心，半径r=2的圆. 对于A,C(3,0)到直线-y+1=0的距离4=13-0+1=22，C上 √2 的点到直线x-y+1=0的最小距离为d-r=2W2-2,故A正确；对于B, 黑白题016§2阶段综合 黑题 阶段强化 限时：65min 1.(2025·四川泸州高二期末)若圆C的半径为5.已知点P在圆(x-5)2+(y-5)2=16上，点 1,圆心在第一象限，且与直线4x-3y=0和 A(4,0),B(0,2),当∠PBA最大时，则线段PB x轴都相切，则该圆的标准方程是（ 的长度为 A.(x-2)2+(y-1)2=1 6.(2025·江苏徐州高二月考)已知A(-2,0), B.(x-2)2+(y+1)2=1 B(2,0),若圆(x-a-1)2+(y-3a+2)2=4上存 C.(x+2)2+(y-1)2=1 在点P满足PA·PB=5,则a的取值范围 D.(x-3)2+(y-1)2=1 是 2.(2025·江西景德镇高二期中)若直线y=x+ 7.(2025·湖北武汉高二月考)已知P为直线 1与圆x2+y2=1相交于P,Q两点，且∠P0Q= y=-2上一动点，过点P作圆x2+y2=1的两条 120(其中0为原点)，则k的值为( 切线，切点分别为B,C,则点A(2,1)到直线 A.-√3或5 B.3 BC的距离的最大值为 8.(2025·淅江嘉兴高二月考)已知圆C:x2+y2 C.-√2或2 D.2 4x-6y+4=0,过点P(4,2)的直线1与圆C交 3.(2025·山东菏泽高二月考)一条光线从点 于点M,N,且IMNI=4. (-2,-3)射出，经y轴反射后与圆(x+3)2+ (1)求圆C的圆心坐标和半径； (y-2)2=1相切，则反射光线所在直线的斜 (2)求直线1的方程； 率为 ( (3)设0为坐标原点，求0M·ON的值， 号 c n 4.(多选)(2025·河南南阳高二期中)已知直线 1经过A(2,1),B(-1,-2)两点，P为1上的动 点，过点P作圆C:x2+y2+2x-2y-1=0的两条 切线，切点分别为M,N,且Q为圆C上一点，则 ( A.1QA|∈[3-√3,3+√3] B.成，石的值可以为号 C.Cos LMPN的值可以为-号 D.直线MN一定过坐标原点 第一章黑白题023 9.(2025·山东泰安高二期中)已知圆C过点 压轴挑战∥ P(2,1),圆心在直线2x-y-2=0上，且圆C与 直线x+y-3=0相切. (2025·陕西渭南高二期中)已知半径为8的 (1)求圆C的标准方程； 圆C的圆心在y轴的正半轴上，且直线12x (2)若点M为直线1：x-y+2=0上的动点， 9y-1=0与圆C相切. 过M作圆C的两条切线，切点分别为A, (1)求圆C的标准方程 B,求四边形MACB面积的最小值，并求出 (2)若圆C的一条弦经过点M(0,2),求这条弦 此时点M的坐标. 的最短长度. (3)已知A(0,-1),P为圆C上任意一点，试问 在y轴上是否存在定点B(异于点A),使得 P为定值？若存在，求出点B的坐标；若 IPAI 不存在，请说明理由. 10.(2025·福建漳州高二期中)过原点0的直 线1与圆C:(x-1)2+y2=4交于A,B两点，且 点P(-3,2) (1)过点P作圆C的切线m,求切线m的 方程； (2)设直线PA,PB的斜率分别为k1,k2,求 证：k,+k2为定值 选择性必修第一册·BS黑白题024