1.2.2 圆的一般方程(Word教参)-【学霸笔记·同步精讲】2026-2027学年高中数学选择性必修第一册（北师大版）

本讲义聚焦圆的一般方程核心知识点，从圆的标准方程展开引入，通过问题探究方程表示圆的条件（D²+E²-4F>0）及圆心半径公式，构建“标准方程→一般方程→方程应用”的学习支架，衔接前后知识。 资料以隧道、圆拱桥实例驱动“数学眼光”，通过配方推理、条件辨析培养“数学思维”，题型示例（如求动点轨迹）强化“数学语言”。课中助力分层教学，课后练习题与通性通法总结帮助学生查漏补缺，提升运算与推理能力。

2.2　圆的一般方程 课标 要求 1.在平面直角坐标系中，探索并掌握圆的一般方程（逻辑推理）. 2.能根据某些具体条件，运用待定系数法求圆的方程（数学运算）. 　　我们常见的隧道的截面是半圆形，圆拱桥上的弧形也是圆的一部分，圆在日常生活中应用非常广泛.如果把圆的标准方程（x－a）2＋（y－b）2＝r2展开为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，其中D，E，F均为常数. 【问题】　（1）任何一个圆的标准方程是否都可变形为关于x，y的二次项系数为1，且不含xy的项二元二次方程的形式？ （2）若一个形如x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0的二元二次方程表示圆，则D，E，F应满足什么条件？ 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 知识点　圆的一般方程 1.圆的一般方程 当D2＋E2－4F＞0时，二元二次方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0称为圆的一般方程. 2.方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示的图形 条件 图形 D2＋E2－4F＜0 不表示任何图形 D2＋E2－4F＝0 表示　一个点（－，－）　 D2＋E2－4F＞0 表示以　（－，－）　为圆心，以　　为半径的圆 提醒：圆的一般方程表现出明显的代数结构形式，其方程是一种特殊的二元二次方程，圆心和半径长需要代数运算才能得出，且圆的一般方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0（其中D，E，F为常数）具有以下特点：①x2，y2项的系数均为1；②没有xy项；③D2＋E2－4F＞0. 【想一想】 当D2＋E2－4F＝0时，方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示什么图形？当D2＋E2－4F＜0时，方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示什么图形？ 提示：①当D2＋E2－4F＝0时，方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示点（－，－）. ②当D2＋E2－4F＜0时，方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0不表示任何图形. 1.判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”） （1）方程x2＋y2＋x＋1＝0表示一个圆.（　×　） （2）二元二次方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0一定是某个圆的方程.（　×　） （3）若方程x2＋y2－2x＋Ey＋1＝0表示圆，则E≠0.（　√　） （4）任何一个圆的方程都能写成一个二元二次方程.（　√　） 2.已知圆C：x2＋y2－4x＋6y＋9＝0，则下列直线中必过圆心C的是（　　） A.3x－2y＋1＝0 B.3x＋2y＋1＝0 C.3x＋2y＝0 D.3x－2y＝0 解析：C　圆心为C（2，－3）在直线3x＋2y＝0上.故选C. 3.方程x2＋y2－x＋y＋k＝0表示一个圆，则实数k的取值范围是　　. 解析：方程表示圆⇔1＋1－4k＞0⇔k＜. 题型一　圆的一般方程的辨析 若方程x2＋y2＋2mx－2y＋m2＋5m＝0表示圆，求： （1）实数m的取值范围； （2）圆心坐标和半径. 解：（1）由题意知D2＋E2－4F＝（2m）2＋（－2）2－4（m2＋5m）＞0， 即4m2＋4－4m2－20m＞0， 解得m＜， 故m的取值范围为. （2）将方程x2＋y2＋2mx－2y＋m2＋5m＝0写成标准方程为（x＋m）2＋（y－1）2＝1－5m， 故圆心坐标为（－m，1），半径r＝. 通性通法 　　方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆的两种判断方法 （1）配方法：对形如x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0的二元二次方程可以通过配方变形成“标准”形式后，观察是否表示圆； （2）运用圆的一般方程的判断方法求解，即通过判断D2＋E2－4F是否为正，确定它是否表示圆. 提醒：在利用D2＋E2－4F＞0来判断二元二次方程是否表示圆时，务必注意x2及y2的系数. 1.〔一题多解〕（2026·许昌月考）若方程x2＋y2－2y－m＝0表示的图形是圆，则实数m的取值范围为（　　） A.（－∞，1） B.（1，＋∞） C.（－∞，－1） D.（－1，＋∞） 解析：D　法一　因为方程表示的图形是圆，所以4＋4m＞0，解得m＞－1.故实数m的取值范围为（－1，＋∞）. 法二　方程x2＋y2－2y－m＝0可化为x2＋（y－1）2＝m＋1，因为方程表示的图形是圆，所以m＋1＞0，解得m＞－1.故实数m的取值范围为（－1，＋∞）.故选D. 2.〔多选〕已知圆C：x2＋y2－2x＋4y＋m＝0的直径为4，则（　　） A.m＝－1 B.m＝1 C.圆心为（－1，－2） D.圆心为（1，－2） 解析：BD　根据题意，圆C：x2＋y2－2x＋4y＋m＝0，即（x－1）2＋（y＋2）2＝5－m，其圆心为（1，－2），半径为，若其直径为4，则＝2，解得m＝1.故选B、D. 题型二　求圆的一般方程 已知圆P经过点A（－1，2），B（6，3）且圆心在直线x＋y－2＝0上，则圆P的方程为　x2＋y2－6x＋2y－15＝0　. 解析：设圆P的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0， 由题意得解得所以圆P的方程为x2＋y2－6x＋2y－15＝0. 通性通法 待定系数法求圆的方程的解题策略 （1）如果由已知条件容易求得圆心坐标、半径或需利用圆心的坐标或半径列方程的问题，一般采用圆的标准方程，再用待定系数法求出a，b，r； （2）如果已知条件与圆心和半径都无直接关系，一般采用圆的一般方程，再用待定系数法求出常数D，E，F. 求满足下列条件的圆的一般方程： （1）已知圆C：x2＋y2＋Dx＋Ey＋3＝0的圆心在直线x＋y－1＝0上，且圆心在第二象限，半径为； （2）已知圆经过点（4，2）和（－2，－6），该圆与坐标轴的四个截距之和为－2. 解：（1）由题意得圆心C（－，－）， ∵圆心在直线x＋y－1＝0上， ∴－－－1＝0，即D＋E＝－2，　① 又半径r＝＝， ∴D2＋E2＝20，　② 由①②可得或 又圆心在第二象限，∴－＜0，－＞0，即D＞0，E＜0. ∴∴圆C的一般方程为x2＋y2＋2x－4y＋3＝0. （2）设圆的一般方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0（D2＋E2－4F＞0）. ∵圆经过点（4，2）和（－2，－6）， ∴ 设圆在x轴上的截距为x1，x2，则它们是方程x2＋Dx＋F＝0的两个根，故x1＋x2＝－D. 设圆在y轴上的截距为y1，y2，则它们是方程y2＋Ey＋F＝0的两个根，故y1＋y2＝－E. 由已知，得－D＋（－E）＝－2， 即D＋E－2＝0.　③ 联立①②③，解得D＝－2，E＝4，F＝－20. ∴所求圆的一般方程为x2＋y2－2x＋4y－20＝0. 题型三　求动点的轨迹方程 〔一题多解〕已知Rt△ABC的斜边为AB，且A（－1，0），B（3，0），求： （1）直角顶点C的轨迹方程； （2）直角边BC的中点M的轨迹方程. 解：（1）法一　设顶点C（x，y），因为AC⊥BC，且A，B，C三点不共线，所以x≠3，且x≠－1. 又kAC＝，kBC＝，且kAC·kBC＝－1， 所以·＝－1，化简得x2＋y2－2x－3＝0. 因此，直角顶点C的轨迹方程为x2＋y2－2x－3＝0（x≠3，且x≠－1）. 法二　同法一得x≠3，且x≠－1. 由勾股定理得｜AC｜2＋｜BC｜2＝｜AB｜2， 即（x＋1）2＋y2＋（x－3）2＋y2＝16， 化简得x2＋y2－2x－3＝0. 因此，直角顶点C的轨迹方程为x2＋y2－2x－3＝0（x≠3，且x≠－1）. 法三　设AB的中点为D，由中点坐标公式得D（1，0），由直角三角形的性质知，｜CD｜＝｜AB｜＝2，由圆的定义知，动点C的轨迹是以D（1，0）为圆心，以2为半径的圆（由于A，B，C三点不共线，所以应除去与x轴的交点）. 设C（x，y），则直角顶点C的轨迹方程为（x－1）2＋y2＝4（x≠3，且x≠－1）. （2）设点M（x，y），点C（x0，y0）， 因为B（3，0），M是边BC的中点， 由中点坐标公式得x＝（x≠3，且x≠1），y＝，于是有x0＝2x－3，y0＝2y. 由（1）知，点C在圆（x－1）2＋y2＝4（x≠3，且x≠－1）上运动，将x0，y0代入该方程得（2x－4）2＋（2y）2＝4， 即（x－2）2＋y2＝1.因此动点M的轨迹方程为（x－2）2＋y2＝1（x≠3，且x≠1）. 通性通法 代入法求轨迹方程的一般步骤 （2026·徐州月考）已知动点M到点A（2，0）的距离是它到点B（8，0）的距离的一半. （1）求动点M的轨迹方程； （2）若N为线段AM的中点，试求点N的轨迹. 解：（1）设动点M的坐标为（x，y）. 因为A（2，0），B（8，0）， ｜MA｜＝｜MB｜. 所以（x－2）2＋y2＝[（x－8）2＋y2]. 化简得x2＋y2＝16. 即动点M的轨迹方程为x2＋y2＝16. （2）设点N的坐标为（x0，y0）， 因为A（2，0），N为线段AM的中点， 所以点M的坐标为（2x0－2，2y0）. 又点M在圆x2＋y2＝16上， 所以（2x0－2）2＋4＝16， 即得（x0－1）2＋＝4. 所以点N的轨迹是以（1，0）为圆心，2为半径的圆. 1.圆x2＋y2＋4x－6y－3＝0的圆心和半径分别为（　C　） A.（4，－6），16 B.（2，－3），4 C.（－2，3），4 D.（2，－3），16 2.（2026·威海质检）已知两定点A（－2，0），B（1，0），若动点P满足｜PA｜＝2｜PB｜，则P的轨迹为（　　） A.直线　 　B.线段 C.圆　 　D.半圆 解析：C　设点P的坐标为（x，y），∵A（－2，0），B（1，0），动点P满足｜PA｜＝2｜PB｜，∴＝2，两边平方得（x＋2）2＋y2＝4[（x－1）2＋y2]，即（x－2）2＋y2＝4.∴P的轨迹为圆.故选C. 3.方程x2＋y2＋4x－2y＋5m＝0表示圆的条件是（　　） A.m＜1 B.m＞1 C.m＜ D.＜m＜1 解析：A　方程x2＋y2＋4x－2y＋5m＝0，表示圆的条件是42＋（－2）2－4×5m＞0，解得m＜1. 4.若曲线C：x2＋y2－2ax－4ay＋4a2－3＝0上所有的点都在x轴上方，则a的取值范围是　（1，＋∞）　. 解析：曲线C：x2＋y2－2ax－4ay＋4a2－3＝0可化为（x－a）2＋（y－2a）2＝a2＋3，∵a2＋3＞0，∴该曲线为圆，且圆心C（a，2a），半径r＝，由题得即∴a＞1. 1.已知圆C：x2＋y2－2x－2y＝0，则点P（3，1）在（　C　） A.圆内 B.圆上 C.圆外 D.无法确定 2.圆的方程为（x－1）（x＋2）＋（y－2）（y＋4）＝0，则圆心坐标为（　　） A.（1，－1） B. C.（－1，2） D. 解析：D　将圆的方程化为标准方程，得＋（y＋1）2＝，所以圆心为. 3.圆x2＋y2－ax－2y＋1＝0关于直线x－y－1＝0对称的圆的方程是x2＋y2－4x＋3＝0，则a的值为（　　） A.0 B.1 C.2 D.3 解析：C　由于圆x2＋y2－ax－2y＋1＝0的圆心为M（，1），圆x2＋y2－4x＋3＝0的圆心为N（2，0），又两圆关于直线x－y－1＝0对称，故有×1＝－1，解得a＝2. 4.当点P在圆x2＋y2＝1上运动时，它与定点Q（3，0）的线段PQ的中点的轨迹方程是（　　） A.（x＋3）2＋y2＝4 B.（2x－3）2＋4y2＝1 C.（x－3）2＋y2＝1 D.（2x＋3）2＋4y2＝1 解析：B　设P（x0，y0），线段PQ的中点为M（x，y），如图所示.则即因为点P（x0，y0）在圆x2＋y2＝1上运动，即＋＝1，所以（2x－3）2＋（2y）2＝1，即（2x－3）2＋4y2＝1. 5.〔多选〕已知圆x2＋y2－4x－1＝0，则下列说法正确的有（　　） A.关于点（2，0）对称 B.关于直线y＝0对称 C.关于直线x＋3y－2＝0对称 D.关于直线x－y＋2＝0对称 解析：ABC　x2＋y2－4x－1＝0⇒（x－2）2＋y2＝5，所以圆心的坐标为（2，0），半径为.A项，圆是关于圆心对称的中心对称图形，而点（2，0）是圆心，所以本选项正确；B项，圆是关于直径所在直线对称的轴对称图形，直线y＝0过圆心，所以本选项正确；C项，圆是关于直径所在直线对称的轴对称图形，直线x＋3y－2＝0过圆心，所以本选项正确；D项，圆是关于直径所在直线对称的轴对称图形，直线x－y＋2＝0不过圆心，所以本选项不正确.故选A、B、C. 6.〔多选〕若方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示以（2，－4）为圆心，4为半径的圆，则下列结论正确的是（　　） A.F＝4 B.点（0，1）在圆外 C.圆的标准方程为（x＋2）2＋（y－4）2＝42 D.点（2，1）与圆上任一点距离的最大值为9 解析：ABD　由题知解得D＝－4，E＝8，F＝4，A正确；由A知圆的一般方程为x2＋y2－4x＋8y＋4＝0，将（0，1）代入得0＋1－0＋8＋4＝13＞0，故点（0，1）在圆外，B正确；将圆的一般方程化为标准方程为（x－2）2＋（y＋4）2＝42，C错误；因为圆心（2，－4）到点（2，1）的距离为5，所以圆上动点（x，y）到定点（2，1）的距离的最大值为5＋4＝9，D正确. 7.已知圆C：x2＋y2－2x＋2y－3＝0，AB为圆C的一条直径，点A（0，1），则点B的坐标为　（2，－3）　. 解析：由x2＋y2－2x＋2y－3＝0得，（x－1）2＋（y＋1）2＝5，所以圆心C（1，－1）.设B（x0，y0），又A（0，1），由中点坐标公式得解得所以点B的坐标为（2，－3）. 8.已知a∈R，方程a2x2＋（a＋2）y2＋4x＋8y＋5a＝0表示圆，则圆心坐标是　（－2，－4）　，半径是　5　. 解析：由题可得a2＝a＋2，解得a＝－1或a＝2.当a＝－1时，方程为x2＋y2＋4x＋8y－5＝0，即（x＋2）2＋（y＋4）2＝25，圆心为（－2，－4），半径为5；当a＝2时，方程为4x2＋4y2＋4x＋8y＋10＝0，即（x＋）2＋（y＋1）2＝－，不表示圆.故圆心坐标是（－2，－4），半径是5. 9.当圆C：x2＋y2－4x－2my＋2m＝0的面积最小时，m＝　1　. 解析：由圆C：x2＋y2－4x－2my＋2m＝0，得圆C的标准方程为（x－2）2＋（y－m）2＝m2－2m＋4，从而对于圆C的半径r有r2＝m2－2m＋4＝（m－1）2＋3≥3，所以当m＝1时，r2取得最小值，此时圆C的面积最小. 10.〔一题多解〕已知圆C经过（0，2），（1，），（，）三点. （1）求圆C的方程； （2）设定点M（－3，4），动点N在圆C上运动，以OM，ON为邻边作平行四边形MONP（O为坐标原点），求点P的轨迹. 解：（1）设圆C的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0， 由题意得解得 则圆C的方程为x2＋y2＝4. （2）法一（定义法）　设点P（x，y）.由题意知｜MP｜＝｜ON｜＝2，所以动点P在以M为圆心，半径为2的圆上，即（x＋3）2＋（y－4）2＝4.又因为四边形MONP为平行四边形，所以O，M，P三点不共线.当点P在直线OM上时有或 因此所求轨迹为以（－3，4）为圆心，2为半径的圆除去点（－，）和点（－，）. 法二（代入法）　如图所示， 设点P（x，y），N（x0，y0），则线段OP的中点坐标为（，），线段MN的中点坐标为（，）. 由于平行四边形的对角线互相平分，故从而 又点N（x＋3，y－4）在圆x2＋y2＝4上， 故（x＋3）2＋（y－4）2＝4.当点P在直线OM上时，有或 因此所求轨迹为以（－3，4）为圆心，2为半径的圆并除去点（－，）和点（－，）. 11.（2026·淄博月考）若曲线C：x2＋y2＋2ax－4ay＋5a2－4＝0上所有的点均在第二象限内，则a的取值范围为（　　） A.（－∞，－2） B.（－∞，－1） C.（1，＋∞） D.（2，＋∞） 解析：D　由题意得，曲线C的标准方程为（x＋a）2＋（y－2a）2＝4，因此曲线C是圆心为（－a，2a），半径为2的圆.∵曲线C上所有的点均在第二象限内，∴解得a＞2，∴a的取值范围是（2，＋∞）. 12.〔多选〕设直线l的方程为x－y＋m＝0，圆C的方程为x2＋y2－4x－4y＝0，圆C上存在4个点到直线l的距离为，则实数m的取值可能为（　　） A.－1 B.－2 C.0 D.2 解析：AC　圆C的方程为x2＋y2－4x－4y＝0可化为（x－2）2＋（y－2）2＝8，所以圆心为C（2，2），半径为2.当圆心（2，2）到直线l：x－y＋m＝0的距离小于时，圆C上存在4个点到直线l的距离为，所以＜，解得－2＜m＜2.故选A、C. 13.已知A（－2，0），B（0，2），实数k是常数，M，N是圆x2＋y2＋kx＝0上两个不同点，P是圆上的动点，如果M，N关于直线x－y－1＝0对称，则△PAB面积的最大值是　3＋　. 解析：依题意得圆x2＋y2＋kx＝0的圆心（－，0）位于直线x－y－1＝0上，于是有－－1＝0，即k＝－2，因此圆心坐标是（1，0），半径是1.由题意可得｜AB｜＝2，直线AB的方程是＋＝1，即x－y＋2＝0，圆心（1，0）到直线AB的距离等于＝，点P到直线AB的距离的最大值是＋1，△PAB面积的最大值为×2×＝3＋. 14.已知曲线C：（1＋a）x2＋（1＋a）y2－4x＋8ay＝0，a∈R. （1）当a取何值时，方程表示圆； （2）求证：不论a为何值，曲线C必过两定点； （3）当曲线C表示圆时，求圆的面积最小时a的值. 解：（1）当a＝－1时，方程为x＋2y＝0，表示一条直线； 当a≠－1时，方程为（x－）2＋（y＋）2＝， 因为＞0，所以a≠－1时方程表示圆. （2）证明：方程变形为x2＋y2－4x＋a（x2＋y2＋8y）＝0. 对于a取任何值，上式成立，则有 解得或 所以C过定点A（0，0），B（，－）. 所以不论a为何值，曲线C必过两定点. （3）由（2）知曲线C过定点A，B，在这些圆中，当以AB为直径时，圆的面积最小， 从而得以AB为直径的圆的方程为 （x－）2＋（y＋）2＝， 所以＝，＝，＝， 解得a＝. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $