1.2.1 圆的标准方程(Word教参)-【学霸笔记·同步精讲】2026-2027学年高中数学选择性必修第一册（北师大版）

本讲义聚焦高中数学“圆的标准方程”核心知识点，从回顾确定圆的几何要素（圆心、半径）入手，引导学生推导圆的标准方程，进而学习待定系数法求方程、点与圆位置关系判断，最后拓展与圆有关的最值问题，构建从几何要素到方程应用的完整学习支架。 资料以“月亮作为圆”的情境引入，激发学习兴趣，培养直观想象。通过一题多解、母题探究等设计，强化数学运算与逻辑推理能力。课中助力教师系统授课，课后提供分层练习和通性通法总结，帮助学生查漏补缺，巩固知识应用。

2.1　圆的标准方程 课标 要求 1.回顾确定圆的几何要素，在平面直角坐标系中，探索并掌握圆的标准方程（直观想象、数学运算）. 2.会用待定系数法求圆的标准方程，能准确判断点与圆的位置关系（数学运算、逻辑推理）. 月亮，是中国人心目中的宇宙精灵，古代人们在生活中崇拜、敬畏月亮，在文学作品中也大量描写月亮. 【问题】　如果把天空看作一个平面，月亮当作一个圆，建立一个平面直角坐标系，那么圆的坐标方程如何表示？ 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 知识点　圆的标准方程 1.确定圆的标准方程需要两个条件：圆心坐标与半径. 2.圆的简单几何性质 已知圆的方程为x2＋y2＝r2.　① （1）范围：由方程①可得圆上任意一点P（x，y）都满足不等式：｜x｜≤　r　，｜y｜≤　r　； （2）对称性：圆①既是关于　x　轴和　y　轴的轴对称图形，也是关于　原点　的中心对称图形. 提醒：（1）所谓标准方程，是指方程的形式.圆的标准方程体现了圆的集合性质，突出了圆的几何意义：圆心位置和半径；（2）圆的标准方程的右端r2＞0，当方程右端小于或等于0时，对应方程不是圆的标准方程；（3）相同的圆，建立的坐标系不同时，圆心坐标不同，导致圆的方程不同，但是半径是不变的；圆上的点的坐标都满足圆的方程，满足圆的方程的点都在圆上. 【想一想】 1.回忆一下，圆是怎样定义的？确定它的要素又是什么呢？各要素与圆有怎样的关系？ 提示：平面内到定点的距离等于定长的点的集合叫做圆，定点称为圆心，定长称为圆的半径.确定圆的要素：圆心和半径，圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小. 2.已知圆心为A（a，b），半径为r，你能推导出圆的方程吗？ 提示：设圆上任一点M（x，y），则｜MA｜＝r，由两点间的距离公式，得＝r，两边平方，得（x－a）2＋（y－b）2＝r2. 1.判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”） （1）方程（x－a）2＋（y－b）2＝r2（a，b，r∈R）表示一个圆.（　×　） （2）弦的垂直平分线必过圆心.（　√　） （3）圆内的任意两条弦的垂直平分线的交点一定是圆心.（　√　） （4）圆心与切点的连线长是半径长.（　√　） 2.圆（x－2）2＋（y＋3）2＝2的圆心和半径分别是（　　） A.（－2，3），1 B.（2，－3），3 C.（－2，3）， D.（2，－3）， 解析：D　由圆的标准方程可得圆心为（2，－3），半径为.故选D. 3.点P（m2，5）与圆x2＋y2＝24的位置关系是（　　） A.点P在圆内 B.点P在圆外 C.点P在圆上 D.不确定 解析：B　由（m2）2＋52＝m4＋25＞24，得点P在圆外. 4.点（1，1）在圆（x＋2）2＋y2＝m上，则圆的方程是　（x＋2）2＋y2＝10　. 解析：因为点（1，1）在圆（x＋2）2＋y2＝m上，故（1＋2）2＋12＝m，所以m＝10，即圆的方程为（x＋2）2＋y2＝10. 题型一　求圆的标准方程 〔一题多解〕求圆心在直线x－2y－3＝0上，且过点A（2，－3），B（－2，－5）的圆的方程. 解：法一（几何性质法）　设点C为圆心， ∵点C在直线x－2y－3＝0上， ∴可设点C的坐标为（2a＋3，a）. 连接CA，CB（图略）. ∵该圆经过A，B两点，∴｜CA｜＝｜CB｜， ∴ ＝， 解得a＝－2， ∴圆心为C（－1，－2），半径r＝. 故所求圆的标准方程为（x＋1）2＋（y＋2）2＝10. 法二（待定系数法）　设所求圆的标准方程为（x－a）2＋（y－b）2＝r2， 由题设条件知 解得 故所求圆的标准方程为（x＋1）2＋（y＋2）2＝10. 法三（几何性质法）　连接AB（图略），则线段AB的中点的坐标为（0，－4）， 直线AB的斜率kAB＝＝， ∴弦AB的垂直平分线的斜率为k＝－2， ∴弦AB的垂直平分线的方程为y＋4＝－2x， 即2x＋y＋4＝0. 又圆心是直线2x＋y＋4＝0与直线x－2y－3＝0的交点， 由得 ∴圆心坐标为（－1，－2）， ∴圆的半径r＝＝， 故所求圆的标准方程为（x＋1）2＋（y＋2）2＝10. 通性通法 1.直接法求圆的标准方程的策略 （1）确定圆的标准方程只需确定圆心坐标和半径，因此用直接法求圆的标准方程时，首先求出圆心坐标和半径，然后直接写出圆的标准方程； （2）确定圆心和半径时，常用到中点坐标公式、两点间距离公式，有时还用到平面几何知识，如“弦的中垂线必过圆心”“两条弦的中垂线的交点为圆心”等. 2.待定系数法求圆的标准方程的一般步骤 1.以点A（－3，－1）和B（5，5）为直径端点的圆的标准方程是　（x－1）2＋（y－2）2＝25　. 解析：∵AB为直径，∴AB的中点（1，2）为圆心，｜AB｜＝＝5为半径，∴该圆的标准方程为（x－1）2＋（y－2）2＝25. 2.〔一题多解〕已知△ABC的三个顶点坐标分别为A（0，5），B（1，－2），C（－3，－4），求该三角形的外接圆的方程. 解：法一　设所求圆的标准方程为（x－a）2＋（y－b）2＝r2. 因为A（0，5），B（1，－2），C（－3，－4）三点都在圆上，所以它们的坐标都满足圆的标准方程， 于是有 解得 故所求圆的标准方程是（x＋3）2＋（y－1）2＝25. 法二　因为A（0，5），B（1，－2），所以线段AB的中点的坐标为，直线AB的斜率kAB＝＝－7，因此线段AB的垂直平分线的方程是y－＝，即x－7y＋10＝0.同理可得线段BC的垂直平分线的方程是2x＋y＋5＝0. 由得圆心的坐标为（－3，1）， 又圆的半径长r＝＝5， 故所求圆的标准方程是（x＋3）2＋（y－1）2＝25. 题型二　点与圆的位置关系 若点（1，a）不在圆（x＋2）2＋（y－3）2＝13的外部，则实数a的取值范围为　[1，5]　. 解析：因为点（1，a）不在圆（x＋2）2＋（y－3）2＝13的外部，所以（1＋2）2＋（a－3）2≤13，解得1≤a≤5. 【母题探究】 　（变条件）若本例变为若点P（3，3）与Q（5，3）有一点在圆O：（x－5）2＋（y－6）2＝a2（a＞0）内，另一点在圆O外，则实数a的取值范围为　（3，）　. 解析：由已知，得圆心O（5，6）.∵｜PO｜＝＝，｜QO｜＝＝3，∴｜PO｜＞｜QO｜，故点P在圆外，点Q在圆内，∴a的取值范围是3＜a＜. 通性通法 判断点与圆的位置关系的两种方法 （1）几何法：主要利用点到圆心的距离与半径比较大小； （2）代数法：把点的坐标代入圆的标准方程，判断式子两边的大小，并作出判断. 　已知点A（1，2）和圆C：（x－a）2＋（y＋a）2＝2a2，试分别求满足下列条件的实数a的取值范围： （1）点A在圆的内部； （2）点A在圆上； （3）点A在圆的外部. 解：（1）因为点A在圆的内部，所以（1－a）2＋（2＋a）2＜2a2，且a不为0，解得a＜－. （2）因为点A在圆上，所以（1－a）2＋（2＋a）2＝2a2，且a不为0， 解得a＝－. （3）因为点A在圆的外部，所以（1－a）2＋（2＋a）2＞2a2， 且a不为0，解得a＞－且a≠0. 题型三　与圆有关的最值问题 已知实数x，y满足方程（x－2）2＋y2＝3.求的最大值和最小值. 解：原方程表示以点（2，0）为圆心，以为半径的圆，设＝k，即y＝kx， 当直线y＝kx与圆相切时，斜率k取最大值和最小值，此时＝，解得k＝±. 故的最大值为，最小值为－. 【母题探究】 1.（变设问）在本例条件下，求y－x的最大值和最小值. 解：设y－x＝b，即y＝x＋b， 当y＝x＋b与圆相切时，纵截距b取得最大值和最小值，此时＝， 即b＝－2±. 故y－x的最大值为－2＋， 最小值为－2－. 2.（变设问）在本例条件下，求x2＋y2的最大值和最小值. 解：x2＋y2表示圆上的点与原点距离的平方，由平面几何知识知，它在原点与圆心所在直线与圆的两个交点处取得最大值和最小值，又圆心到原点的距离为2，故（x2＋y2）max＝（2＋）2＝7＋4， （x2＋y2）min＝（2－）2＝7－4. 通性通法 与圆有关的最值问题的常见类型及解法 （1）形如u＝形式的最值问题，可转化为过点（x，y）和（a，b）的动直线斜率的最值问题； （2）形如l＝ax＋by形式的最值问题，可转化为动直线y＝－x＋截距的最值问题； （3）形如（x－a）2＋（y－b）2形式的最值问题，可转化为动点（x，y）到定点（a，b）的距离的平方的最值问题. 　（2026·郑州月考）在平面直角坐标系Oxy中，已知（x1－2）2＋＝5，x2－2y2＋4＝0，则（x1－x2）2＋（y1－y2）2的最小值为（　　） A. B. C. D. 解析：B　由已知得点（x1，y1）在圆（x－2）2＋y2＝5上，点（x2，y2）在直线x－2y＋4＝0上，故（x1－x2）2＋（y1－y2）2表示圆（x－2）2＋y2＝5上的点和直线x－2y＋4＝0上点的距离的平方，而距离的最小值为－＝，故（x1－x2）2＋（y1－y2）2的最小值为. 1.圆心为（1，－2），半径为3的圆的方程是（　D　） A.（x＋1）2＋（y－2）2＝9 B.（x－1）2＋（y＋2）2＝3 C.（x＋1）2＋（y－2）2＝3 D.（x－1）2＋（y＋2）2＝9 2.已知圆C：（x＋1）2＋y2＝3，则圆的面积为　3π　，经过圆心C且与直线x＋y＝0垂直的直线方程是　x－y＋1＝0　. 解析：由圆的方程（x＋1）2＋y2＝3，得r2＝3，所以圆的面积S＝πr2＝3π.因为圆心C的坐标为（－1，0），所求直线的斜率k＝1，所求直线的方程是y＝x＋1，即x－y＋1＝0. 3.圆心在x轴上，且过A（1，4），B（2，－3）两点的圆的方程为　（x＋2）2＋y2＝25　. 解析：设圆心为（a，0），则＝，所以a＝－2.半径r＝＝5，故所求圆的方程为（x＋2）2＋y2＝25. 4.若点P（5a＋1，12a）在圆（x－1）2＋y2＝1的外部，则a的取值范围为　∪　. 解析：∵P在圆外，∴（5a＋1－1）2＋（12a）2＞1，169a2＞1，a2＞，∴a＞或a＜－. 1.圆（2 024－x）2＋（2 025＋y）2＝3的圆心在（　　） A.第一象限　　　　　　B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 解析：D　化为圆的标准方程（x－2 024）2＋（y＋2 025）2＝3，得圆心坐标为（2 024，－2 025），所以圆心在第四象限. 2.方程（x＋a）2＋（y－a）2＝2a2（a≠0）表示的圆（　　） A.关于x轴对称 B.关于y轴对称 C.关于直线x－y＝0对称 D.关于直线x＋y＝0对称 解析：D　易得圆心C（－a，a），即圆心在直线y＝－x上，所以该圆关于直线x＋y＝0对称，故选D. 3.若点A（a＋1，3）在圆C：（x－a）2＋（y－1）2＝m外，则实数m的取值范围是（　　） A.（0，＋∞） B.（－∞，5） C.（0，5） D.[0，5] 解析：C　由题意，得（a＋1－a）2＋（3－1）2＞m，即m＜5，又易知m＞0，所以0＜m＜5，故选C. 4.已知一圆的圆心为点A（2，－3），一条直径的端点分别在x轴和y轴上，则圆的标准方程为（　　） A.（x＋2）2＋（y－3）2＝13 B.（x－2）2＋（y＋3）2＝13 C.（x－2）2＋（y＋3）2＝52 D.（x＋2）2＋（y－3）2＝52 解析：B　如图，结合圆的性质可知，原点在圆上，圆的半径为r＝＝.故所求圆的标准方程为（x－2）2＋（y＋3）2＝13. 5.已知圆C过点A（2，5），B（4，3），则圆心C到坐标原点的距离的最小值为（　　） A.4　　　　B.5 C.　　　　D. 解析：C　依题意，可知圆心C在线段AB的中垂线上，AB的斜率为－1，线段AB的中点为（3，4），故线段AB的中垂线的方程为y＝x＋1，故圆心C到坐标原点的距离的最小值为＝.故选C. 6.〔多选〕以直线2x＋y－4＝0与两坐标轴的一个交点为圆心，过另一个交点的圆的标准方程可能为（　　） A.x2＋（y－4）2＝20 B.（x－4）2＋y2＝20 C.x2＋（y－2）2＝20 D.（x－2）2＋y2＝20 解析：AD　令x＝0，则y＝4；令y＝0，则x＝2.所以直线2x＋y－4＝0与两坐标轴的交点分别为A（0，4），B（2，0），｜AB｜＝＝2，以A为圆心，过B点的圆的标准方程为x2＋（y－4）2＝20.以B为圆心，过A点的圆的标准方程为（x－2）2＋y2＝20. 7.〔多选〕已知圆C过点M（1，－2）且与两坐标轴均相切，则下列叙述正确的是（　　） A.满足条件的圆C的圆心在一条直线上 B.满足条件的圆C有且只有一个 C.点（2，－1）在满足条件的圆C上 D.满足条件的圆C有且只有两个，它们的圆心距为4 解析：ACD　因为圆C和两个坐标轴都相切，且过点M（1，－2），所以设圆心坐标为（a，－a）（a＞0），故圆心在y＝－x的图象上，A正确；圆C的方程为（x－a）2＋（y＋a）2＝a2，把点M的坐标代入可得a2－6a＋5＝0，解得a＝1或a＝5，则圆心坐标为（1，－1）或（5，－5），所以满足条件的圆C有且只有两个，故B错误；圆C的方程分别为（x－1）2＋（y＋1）2＝1，（x－5）2＋（y＋5）2＝25，将点（2，－1）代入可知都满足，故C正确；它们的圆心距为＝4，D正确. 8.曲线y＝－（x≤0）的长度为　π　. 解析：由y＝－得x2＋y2＝4（x≤0，y≤0），所以曲线y＝－（x≤0）的图形是以原点为圆心，以2为半径的圆在第三象限的弧长，所以曲线y＝－（x≤0）的长度是×4π＝π. 9.设点P（x，y）是圆：x2＋（y－3）2＝1上的动点，定点A（2，0），B（－2，0），则·的最大值为　12　. 解析：由题意，知＝（2－x，－y），＝（－2－x，－y），所以·＝x2＋y2－4，由于点P（x，y）是圆上的点，故其坐标满足方程x2＋（y－3）2＝1，故x2＝－（y－3）2＋1，所以·＝－（y－3）2＋1＋y2－4＝6y－12.由圆的方程x2＋（y－3）2＝1，易知2≤y≤4，所以，当y＝4时，·的值最大，最大值为6×4－12＝12. 10.已知矩形ABCD的两条对角线相交于点M（2，0），AB边所在直线的方程为x－3y－6＝0，点T（－1，1）在AD边所在的直线上. （1）求AD边所在直线的方程； （2）求矩形ABCD外接圆的标准方程. 解：（1）因为AB边所在直线的方程为x－3y－6＝0，且AD与AB垂直， 所以直线AD的斜率为－3. 又点T（－1，1）在直线AD上， 所以AD边所在直线的方程为y－1＝－3（x＋1）， 即3x＋y＋2＝0. （2）由解得点A的坐标为（0，－2）， 因为矩形ABCD的两条对角线的交点为点M（2，0）， 所以点M为矩形ABCD外接圆的圆心. 又r＝｜AM｜＝＝2， 所以矩形ABCD外接圆的标准方程为（x－2）2＋y2＝8. 11.大约在2 000年前，我国的墨子给出了圆的概念“一中同长也”，意思是说，圆有一个圆心，圆心到圆周的长都相等.这个定义比希腊数学家欧几里得给圆下的定义要早100多年.现有一动点P满足｜OP｜＝2，其中O为坐标原点，若M（，－），则｜PM｜的最小值为（　　） A. B.1 C. D.2 解析：B　动点P的轨迹是以O为圆心，2为半径的圆，即x2＋y2＝4，而｜OM｜＝＝1＜2，故点M（，－）在圆内，所以当O，M，P三点共线且M在O，P之间时，｜PM｜最小，即｜PM｜min＝2－｜OM｜＝2－1＝1. 12.〔多选〕设有一组圆Ck：（x－k）2＋（y－k）2＝4（k∈R），下列命题正确的是（　　） A.不论k如何变化，圆心C始终在一条直线上 B.所有圆Ck均不经过点（3，0） C.经过点（2，2）的圆Ck有且只有一个 D.所有圆的面积均为4π 解析：ABD　圆心坐标为（k，k），在直线y＝x上，A正确；令（3－k）2＋（0－k）2＝4，化简得2k2－6k＋5＝0，∵Δ＝36－40＝－4＜0，∴2k2－6k＋5＝0无实数根，∴B正确；由（2－k）2＋（2－k）2＝4，化简得k2－4k＋2＝0，∵Δ＝16－8＝8＞0，有两不等实根，∴经过点（2，2）的圆Ck有两个，C错误；由圆的半径为2，得圆的面积为4π，D正确.故选A、B、D. 13.已知圆C1：（x＋3）2＋（y－1）2＝4，直线l：14x＋8y－31＝0，求圆C1关于直线l对称的圆C2的标准方程. 解：设圆C2的圆心坐标为（m，n）. 因为直线l的斜率k＝－，圆C1：（x＋3）2＋（y－1）2＝4的圆心坐标为（－3，1），半径r＝2， 所以由对称性知解得所以圆C2的标准方程为（x－4）2＋（y－5）2＝4. 14.阿波罗尼斯（古希腊数学家，约公元前262～公元前190年）的著作《圆锥曲线论》是古代世界光辉的科学成果，它将圆锥曲线的性质网罗殆尽，几乎使后人没有插足的余地.他证明过这样一个命题：平面内与两定点距离的比为常数k（k＞0且k≠1）的点的轨迹是圆.后人将这个圆称为阿氏圆，现有△ABC，AC＝6，sin C＝2sin A，求当△ABC的面积最大时BC的长. 解：如图，以AC的中点为原点，AC边所在直线为x轴建立平面直角坐标系. 因为AC＝6，所以A（－3，0），C（3，0）. 设B（x，y），因为sin C＝2sin A，由正弦定理可得｜AB｜＝2｜BC｜， 所以（x＋3）2＋y2＝4（x－3）2＋4y2， 化简得（x－5）2＋y2＝16（x≠1，且x≠9）， 所以点B的轨迹为以D（5，0）为圆心，4为半径的圆，去掉（1，0），（9，0）两点. 所以当BD⊥AC时，△ABC的面积最大，此时｜BC｜＝＝2. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $